Perbandingan nilai opsi call tipe Eropa dengan perluasan model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross

(1)

ABSTRAK

NANU NURUL FAJRI. Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Produk derivatif merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Salah satu produk derivatif adalah opsi. Penentuan nilai opsi call tipe Eropa ini bisa menggunakan beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif. Pada karya ilmiah ini akan dibahas opsi call tipe Eropa, dengan aset yang mendasari adalah zero coupon bond. Sedangkan model yang akan digunakan adalah model Vasicek yang diperluas dan model CIR. Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah (1) menganalisis perluasan model Vasicek, (2) membandingkan nilai opsi yang diperoleh menggunakan perluasan model Vasicek dan dengan menggunakan model CIR. Harga opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan model Vasicek dan model CIR, memberikan hasil hasil yang hampir sama.

(2)

ABSTRACT

NANU NURUL FAJRI. Comparison of Extended Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross Model in Valuation of European Call Option. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

Derivative product is a financial instrument whose value depends on the value of the underlying asset. One of the derivative product is a European option, which has the form of either call or put option. To determine the value of a European call option some models could be used, such as Vasicek and the Cox-Ingersoll-Ross model (CIR). Vasicek model may result in a negative interest rate, so that CIR model can be considered as an alternative in order to obtain nonnegative interest rates. This article discusses the European call option with a zero coupon bond as an underlying asset. The discussion includes the analysis and application of Vasicek and CIR models. The simulation results show that European call option price given by the extended Vasicek model and CIR model are similar.

(3)

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Produk turunan (derivative product) merupakan suatu instrumen keuangan yang nilainya bergantung pada nilai aset yang mendasarinya. Perkembangan produk turunan mengalami peningkatan yang sangat pesat. Opsi adalah salah satu produk turunan yang mengalami perkembangan tersebut dan hingga saat ini opsi banyak diperdagangkan di bursa.

Opsi yang akan dibahas pada tulisan ini adalah opsi call tipe Eropa yang dikenakan kepada obligasi. Jenis obligasi yang akan dibahas adalah zero coupon bond atau obligasi tanpa kupon. Pihak penerbit berkewajiban untuk melunasi pokok investasi dalam obligasi pada waktu jatuh tempo. Opsi obligasi (bond options) adalah obligasi yang dapat dijual kembali, obligasi yang mengijinkan pemegangnya untuk meminta penarikan lebih awal pada harga yang ditentukan sebelumnya pada waktu tertentu di masa mendatang.

Penentuan nilai opsi ini bisa menggunakan beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR

memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif.

1.2Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1. Menganalisis perluasan model Vasicek. 2. Membandingkan nilai opsi yang diperoleh

menggunakan perluasan model Vasicek dengan model satu-faktor Cox-Ingersoll-Ross.

1.3Metodologi dan Sistematika Penulisan Metodologi karya ilmiah ini adalah studi pustaka dengan referensi utama adalah jurnal yang ditulis oleh John Hull dan Alan White berjudul Pricing Interest Rate Derivative Securities tahun 1990.

Pada bab satu diberikan latar belakang dari permasalahan penentuan nilai opsi call tipe Eropa. Pada bab dua diberikan landasan teori yang akan digunakan sebagai dasar pengerjaan karya ilmiah. Sedangkan pada bab tiga akan diuraikan mengenai model Vasicek dan model CIR. Pada bab empat akan diberikan simulasi dari nilai opsi. Pada bab lima akan diberikan kesimpulan yang diperoleh dari karya ilmiah ini. Pada bab terakhir akan diberikan daftar pustaka.

(4)

II. LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa

definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan.

2.1Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi)

Dalam keuangan, investasi dapat diartikan sebagai pengeluaran untuk membeli surat-surat berharga seperti saham dan sekuritas lainnya. Investasi tersebut dikenal juga dengan sebutan investasi keuangan. Dalam analisis ekonomi, istilah investasi sering dihubungkan dengan investasi fisik atau investasi pada aset nyata. Investasi fisik menghasilkan aset baru yang akan menambah kapasitas produksi suatu perusahaan, sementara investasi keuangan hanya memindahkan kepemilikan dari aset yang sudah ada dari seseorang atau lembaga kepada pihak yang lainnya.

(Pass et al. 1988) Definisi 2 (Contingent Claim)

Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan imbal hasil yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.

(Bodie et al. 2002) Definisi 3 (Primitive Security)

Sekuritas primitif (Primitive Security) adalah instrumen seperti saham atau obligasi yang pembayarannya hanya tergantung pada status keuangan pihak penerbit.

(Bodie et al. 2002) Definisi 4(Derivative security)

Sekuritas derivatif (derivative security)

dibentuk dari perangkat sekuritas primitif yang menghasilkan imbal hasil yang tergantung pada faktor-faktor di luar karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain.

(Bodie et al. 2002) Teori Tentang Opsi

Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak

tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu tertentu (jatuh tempo).

Definisi 5 (Opsi Call)

Opsi call memberikan hak kepada pemegangnya untuk membeli suatu aset pada harga tertentu yang disebut harga eksekusi (exercise/strike price) pada saat atau sebelum tanggal jatuh tempo (maturity) yang ditentukan.

Definisi 6 (Opsi Put)

Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya.

Berdasarkan waktu eksekusinya, opsi dibedakan atas opsi Eropa (European option) dan opsi Amerika (American option). Opsi Eropa hanya dapat dieksekusi pada saat kontrak jatuh tempo, sedangkan opsi Amerika dapat dieksekusi sebelum atau pada saat kontrak jatuh tempo.

(Bodie et al. 2002) Definisi 7 (Volatilitas)

Volatilitas menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga saham. Semakin besar nilai volatilitas, semakin tak terduga pergerakan harga saham. Sebaliknya, semakin kecil volatilitas, semakin mudah untuk menduga harga saham tersebut.

(Morgenson dan Harvey 2002) Teori Tentang Obligasi

Karakteristik obligasi meliputi nilai obligasi, jangka waktu obligasi, tingkat suku bunga dan penjadwalan pembayaran.

Nilai Pari

Nilai pari adalah nilai yang ditetapkan atas obligasi. Nilai tersebut menunjukkan jumlah uang yang dipinjam dan dibayar kembali oleh perusahaan pada tanggal jatuh tempo. Misalkan, bila perusahaan membutuhkan dana

(5)

sebesar 500 miliar rupiah maka akan diterbitkan obligasi bernilai 500 miliar rupiah. Jangka waktu Obligasi

Jangka waktu obligasi adalah masa jatuh tempo atau berakhirnya masa pinjaman. Masa jatuh tempo obligasi di Indonesia 1 sampai 10 tahun, rata-rata masa jatuh tempo obligasi di Indonesia adalah 5 tahun. Semakin pendek jangka waktu obligasi maka akan semakin diminati investor, karena risikonya kecil.

Pada saat jatuh tempo, pihak penerbit obligasi berkewajiban untuk melunasi pokok investasi di dalam obligasi tersebut. Sebagai contoh, perusahaan mengeluarkan obligasi dengan nilai 500 miliar rupiah untuk jangka waktu 5 tahun maka saat memasuki masa jatuh tempo, perusahaan wajib membayar pinjaman atau sebesar 500 miliar rupiah kepada investor beserta bunganya.

Tingkat Suku Bunga

Untuk menarik minat para investor, maka perusahaan harus memberikan insentif yang menarik berupa bunga yang relatif lebih besar dari pada tingkat suku bunga perbankan. Istilah tingkat suku bunga dalam instrumen obligasi dikenal dengan nama kupon obligasi.

Penentuan besarnya kupon obligasi sangat penting, untuk dapat menarik minat investor tentunya juga harus mempertimbangkan kemampuan perusahaan untuk membayar kupon tersebut sampai jatuh tempo.

Ukuran tingkat suku bunga sangat dipengaruhi oleh tingkat risikonya. Obligasi dengan tingkat risiko yang lebih tinggi, tentunya akan menawarkan tingkat suku bunga yang lebih tinggi dibandingkan dengan obligasi yang memiliki risiko lebih rendah. Jadwal Pembayaran

Jadwal pembayaran adalah periode waktu yang mewajibkan perusahaan penerbit membayar kupon obligasi. Pembayaran dilakukan secara berkala dengan kesepakatan sebelumnya, bisa dilakukan triwulan, semesteran atau tahunan. Ketepatan pembayaran kupon obligasi kepada investor merupakan aspek penting dalam menjaga reputasi perusahaan.

Definisi 8 (Yield to Maturity)

Yield to maturity adalah suku bunga selama T periode yang membuat nilai kini dari pembayaran obligasi sama dengan harganya. Suku bunga yang dimaksud dapat digambarkan sebagai rata-rata dari suku bunga yang akan dihasilkan oleh suatu obligasi yang dibeli sekarang dipertahankan sampai waktu jatuh tempo.

(Bodie et al. 2002) Definisi 9 (Zero-Coupon Bond)

Zero-coupon bond adalah salah satu jenis obligasi yang tidak memberikan kupon pada pemegang obligasi. Obligasi jenis ini hanya memberikan satu kali cash flow (pembayaran) pada pemiliknya yaitu pada saat waktu jatuh tempo obligasi sebesar nilai pari.

(Rolski et al. 1999) Definisi 10 (Short Rate)

Short rate adalah suku bunga yang berlaku pada interval waktu tertentu.

(Bodie et al. 2002) Definisi 11 (Forward Rate)

Forward rate adalah short rate yang berlaku pada tahun ke-n sedemikian sehingga return dari 2 strategi investasi selama n tahun dan investasi n-1 tahun kemudian diinvestasikan kembali pada tahun ke-n akan sama.

Jika forward rate untuk periode n adalah , maka didefinisikan oleh persamaan

, atau dituliskan

n adalah periode waktu, adalah yield to maturity dan jatuh tempo setelah n-periode. Jadi, total return pada 2 strategi investasi selama n tahun akan sama jika short rate pada tahun ke-n sama dengan .

Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga) Struktur waktu suku bunga (term structure of interest rates) menyatakan hubungan antara yield to maturity dengan waktu jatuh temponya.

(6)

Teori-teori dari struktur waktu, yaitu 1. Hipotesis Harapan

Hipotesis harapan adalah hipotesis sederhana dari struktur waktu yang menyatakan bahwa nilai forward rate periode n sama dengan nilai harapan dari short rate pada waktu mendatang pada periode n, dituliskan

Bahwa liquidity premium sama dengan nol. Sebagai ilustrasi

Maka, yield to maturity selama n periode dapat ditentukan oleh yield to maturity yang berlaku selama n-1 periode dan harapan suku bunga yang berlaku pada periode n.

2. Liquidity Preference

Liquidity Preference menyatakan bahwa investor jangka pendek tidak ingin memiliki obligasi jangka panjang jika

, dan investor jangka panjang tidak ingin memiliki obligasi jangka pendek jika , . Teori liquidity preference menyimpulkan bahwa investor jangka pendek mendominasi pasar maka forward rate lebih besar dari nilai harapan short rate. Selisih antara dengan disebut liquidity premium pada waktu n, yang nilainya diharapkan positif.

3. Segmentasi Pasar

Teori segmentasi pasar menyatakan bahwa obligasi jangka pendek dan obligasi jangka panjang memiliki pasar masing-masing yang berbeda, karena setiap obligasi mempunyai keseimbangan masing-masing yang saling bebas. Suku bunga jangka pendek ditentukan oleh penawaran dan permintaan pada pasar obligasi jangka pendek, begitu pun suku bunga jangka panjang. Struktur waktu suku bunga ditentukan oleh keseimbangan suku bunga pada berbagai waktu jatuh tempo pasar obligasi.

(Bodie et al. 2002)

Definisi 13 (Teori Portfolio)

Jika 2 aset dengan ragam masing-masing adalah dan dikombinasikan dalam satu portfolio dengan proporsi masing-masing dan , maka ragam portofolio diberikan oleh persamaan berikut

cov , Dengan

cov , dan cor , .

cor , adalah korelasi antara return aset 1 dan return aset 2, dengan nilai . artinya kedua aset mempunyai korelasi negatif sempurna, sedangkan

artinya kedua aset mempunyai korelasi positif sempurna.

(Bodie et al. 2002) 2.2Proses Stokastik

Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.

Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut

Definisi 14 (Percobaan Acak)

Dalam suatu percobaan sering kali dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan pasti. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 15 (Ruang Contoh)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh (ruang sampel), dinotasikan dengan Ω.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 16 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 17 (Medan- )

(7)

ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. .

2. Jika , , , … . , maka ∞ . 3. Jika maka , dengan

menyatakan komplemen dari himpunan . (Hogg et al. 2005) Definisi 18 (Ukuran Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada ruang ukuran

Ω, adalah fungsi : , yang memenuhi:

1. Untuk setiap kejadian berlaku .

2. Ω .

3. Jika , , , … . adalah barisan kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu

, untuk setiap pasangan , dengan maka:

∞ ∞

Pasangan (Ω, , disebut dengan ruang peluang (probability space).

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 19 (Peubah Acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi Ω: dengan sifat

Ω: untuk setiap .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah , , , … dari .

Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 21 (Fungsi Masa Peluang)

Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X

adalah fungsi : , yang diberikan

oleh .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 22 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai:

∞

untuk suatu fungsi : ,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut fungsi kepekatan peluang bagi .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 23 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)

Jika adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A dan dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari adalah

jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 24 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)

Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari adalah

∞ ∞

jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)

Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya: 1. Jika adalah suatu konstanta, maka

2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka

(8)

3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, maka

, ,

(Bukti : Lihat Hogg et al. 2005)

(Hogg et al. 2005) Definisi 25 (Ragam dan Simpangan Baku)

Misalkan adalah peubah acak (diskret atau kontinu). Ragam atau

dinotasikan dengan , didefinisikan

Standar deviasi dinotasikn dengan , didefinisikan

(Ghahramani 2005) Definisi 26 (Proses Stokastik)

Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state .

2.3Gerak Brown

Proses stokastik , disebut gerak Brown jika:

2. Untuk , peubah

acak , , , … . ,

saling bebas.

3. Untuk , berdistribusi normal dengan rataan 0 dan ragam .

(Hull 2003) 2.4Proses Wiener

Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan dan ragam . Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1) disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate

Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, , berlaku hal berikut:

Misalkan adalah proses Wiener pada (Ω, , . Integral stokastik adalah proses stokastik dengan bentuk:

(Hull 2003)

2.5Proses Itô

Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari peubah acak dan waktu . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:

, , . (3)

(Hull 2003)

Lema 2 (Lema Itô)

Misalkan proses memenuhi persamaan (3) dan fungsi , adalah kontinu serta turunan-turunan

, , , kontinu, maka

, memenuhi persamaan berikut:

, ,

, 4

dengan

, ,

dan

(Hull 2003) Bukti: Lihat Lampiran 1

(9)

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dijelaskan tentang

beberapa model satu-faktor, diantaranya adalah model Vasicek, model Cox-Ingersoll-Ross. Kedua model tersebut dapat diperluas, namun dalam karya ilmiah ini hanya akan dijelaskan salah satunya yaitu perluasan model Vasicek. Selanjutnya akan diberikan model penentuan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond.

Misalkan diberikan model one-state-variable dari struktur waktu di mana tingkat suku bunga jangka pendek, r, mengikuti proses mean reversion

(5) di mana a, b, σ dan β adalah konstanta positif dan dz adalah proses Wiener.

Hal ini masuk akal untuk menduga bahwa dalam beberapa situasi ekspektasi pasar tentang suku bunga masa depan melibatkan parameter yang tergantung pada waktu. Dengan kata lain, drift rate dan volatilitas dari r merupakan fungsi dari waktu. Ketergantungan dari waktu dapat timbul dari sifat siklus ekonomi, harapan masa depan tentang dampak kebijakan moneter, dan tren yang diharapkan dalam variabel makro ekonomi lainnya.

Pada karya ilmiah ini model pada persamaan (5) akan diperluas untuk mencerminkan ketergantungan waktu ini. Akan ditambahkan drift yang tergantung waktu, , pada persamaan (5), dan memungkinkan reversion rate, a, dan faktor volatilitas, , menjadi fungsi dari waktu, sehingga model menjadi seperti berikut:

(6) 3.1Model Vasicek

Model Vasicek adalah model satu-faktor yang merupakan kasus khusus dari persamaan (5) dengan asumsi  . Sehingga diperoleh persamaan

. (7)

Model Vasicek juga digunakan untuk menentukan nilai zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T, dengan persamaan harga obligasi diberikan oleh teorema berikut: Teorema 3.1

Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon

bond untuk adalah

, , , ₍₈₎

dengan

, exp ,

4 . Bukti: lihat (Rolski et al. 1999) .

Pada persamaan (8), merupakan nilai r pada saat t,

Bukti: lihat Lampiran 2

Salah satu kelemahan dari asumsi  adalah bahwa tingkat suku bunga jangka pendek, r, bisa menjadi negatif.

3.2Perluasan Model Vasicek

Perluasan model Vasicek merupakan kasus khusus dari persamaan (6) dengan , sehingga diperoleh persamaan berikut:

(10)

Harga dari contingent claim, f, tergantung pada r memenuhi

dimana

. Harga zero coupon bond dengan nilai pari sebesar $1 pada waktu T adalah solusi untuk persamaan (13) yang memenuhi syarat batas saat , diberikan persamaan berikut

, , , , ₍₁₄₎

Persamaan (14) memenuhi persamaan (13) dan kondisi batas

dan

, (16) dengan

, ; , . (17)

Bukti : lihat Lampiran 3

Ini berarti bahwa jika persamaan (15) dan (16) diselesaikan sesuai dengan kondisi batas pada persamaan (17), persamaan (14) merupakan harga dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T. Penyelesaian persamaan (15) dan (16) untuk situasi dimana , , dan konstan mengikuti formula Vasicek untuk

penentuan harga obligasi pada persamaan (8), (9) dan (10).

Fungsi, , dalam model diperluas harus dipilih untuk mencerminkan volatilitas saat ini dan masa depan tingkat suku bunga jangka pendek, r. Langkah pertama dalam analisis adalah menentukan , ,

, dan , dalam hal , , , , dan .

Turunkan persamaan (15) dan (16) terhadap T, maka diperoleh

. (19) Eliminasi dari persamaan (16) dan (19) menghasilkan

. (20) Eliminasi dari persamaan (15) dan (18) menghasilkan

Kondisi batas untuk persamaan (20) dan (21)

adalah nilai-nilai diketahui , dan

, , , , dan , .

Solusi untuk (20) dan (21) yang memenuhi kondisi batas adalah persamaan (22) dan (23). Selanjutnya substitusikan persamaan (22) dan (23) ke persamaan (15) dan (16), sehingga diperoleh persamaan (24) dan (25).

, , ,

, /

, , , , ,

, , _{, /}

(11)

, /

, / 4

, , ,

, / Bukti: lihat Lampiran 5

3.3Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Perluasan Model Vasicek

Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,

, , , , _.

Menggunakan lema Itô, diperoleh volatilitas , , adalah σ , .

Bukti: lihat Lampiran 6

Karena volatilitas tersebut tidak bergantung pada r, distribusi harga obligasi pada waktu tertentu tergantung pada harga pada waktu sebelumnya harus lognormal.

Diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi X = harga strike

L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi

t = waktu, .

Opsi call dapat dianggap sebagai pilihan untuk pertukaran unit X dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T waktu untuk satu unit zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat s. Diberikan

= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu s, pada waktu

= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu T, pada waktu

= korelasi langsung antara dua harga obligasi.

sehingga nilai opsi C diberikan oleh

, , , ,

(26) dimana

log , ,

, ,

(27) dan • adalah fungsi distribusi kumulatif normal. Salah satu karakteristik dari model satu-faktor adalah instantaneous returns pada obligasi adalah berkorelasi positif sempurna, sehingga, . Selanjutnya, volatilitas dari obligasi yang jatuh tempo pada s dan T dapat ditulis

, , , . Sehingga,

, , .

Dari persamaan (22) menjadi

, _{, /} .

(28) Bukti: lihat Lampiran 7

Persamaan (26) dan (28) memberikan solusi analitik sederhana untuk harga opsi call tipe Eropa.

(12)

3.4Model Cox-Ingersoll-Ross

Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model satu-faktor dan pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga yang negatif. Model CIR dapat dinyatakan oleh persamaan (5) dengan . .

√ (29)

dimana, dz adalah proses Wiener untuk mengukur risiko netral. Model CIR ini juga dapat digunakan dalam penentuan tingkat suku bunga derivatif. Faktor standar deviasi model CIR ini adalah _√ , sehingga memastikan bahwa tingkat bunga tidak akan menjadi negatif.

Pada model CIR, formulasi untuk menghitung harga zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T diberikan oleh teorema 3.2 Teorema 3.2

Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon

bond untuk adalah

, , , ₍₃₀₎ dengan

(31)

(32) dimana

. Bukti: lihat (Rolski et al. 1999).

3.5Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross

Misalkan diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi

X = harga strike

L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi t = waktu,

sehingga nilai opsi C, diberikan oleh persamaan (33)

, , ;4 , _,

, ;4 ,

dimana

log _/, ,

• adalah fungsi distribusi noncentral khi-kuadrat.

(13)

IV. SIMULASI

Pada bagian ini diberikan simulasi yang akan

membandingkan, seberapa baik perluasan model Vasicek dapat menduplikasi harga opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond. Perluasan model Vasicek akan dibandingkan dengan model satu-faktor CIR.

4.1Simulasi pada Model satu-faktor CIR Dengan menggunakan persamaan (30) - (33), dipilih nilai parameter sebagai berikut

. , . , . dan tingkat

suku bunga 10% per tahun, akan dihitung nilai opsi call tipe Eropa dengan waktu jatuh tempo 1 tahun pada zero coupon bond dengan waktu jatuh tempo 3 tahun. Diketahui nilai pari $100 dan harga strike $85. Dari illustrasi tersebut, diperoleh nilai-nilai sebagai berikut:

. .

$ $

. 4 .

. 4 . 4

4. 4 . ; . , .

. 4 .4 ; . , .

Tabel 1 menunjukan nilai opsi call tipe Eropa untuk beberapa harga strike dan jangka waktu, pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan model CIR.

Tabel 1 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Model CIR

Jangka Waktu Opsi

(Tahun)

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90

1 2.0162 0.6053 0.0765 0.0025 0.0000

1.25 3.5988 1.6760 0.4458 0.0449 0.0009

1.5 5.2962 3.1948 1.3741 0.3044 0.0204

1.75 6.9867 4.8909 2.8418 1.1013 0.1831

2 8.6379 6.5904 4.5446 2.5363 0.8513

2.25 10.2471 8.2498 6.2525 4.2557 2.2796

2.5 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 1 Nilai Opsi Call vs Waktu pada Model CIR dengan harga strike $85

4.2Simulasi pada Perluasan Model Vasicek Asumsikan bahwa , , dan adalah parameter dari model CIR dan model ini menggambarkan evolusi yang benar dari

struktur waktu. Ini berarti bahwa , dan , fungsi yang akan diperkirakan untuk perluasan model Vasicek

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

(14)

, 4

dimana

Fungsi A dan B lengkap untuk perluasan model Vasicek dapat dihitung dari , dan , pada persamaan (34) dan (35) menggunakan persamaan (22) dan (23). Persamaan (26) dan (28) dapat digunakan

untuk menilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond.

Parameter nilai-nilai tersebut dipilih . dan . . Tingkat suku bunga jangka pendek awal diasumsikan 10% per tahun. Untuk Perluasan Model Vasicek, sudah ditetapkan sama dengan konstanta

. √ . , ini memastikan bahwa volatilitas suku bunga jangka pendek suku setara dalam model CIR.

Subtitusikan persamaan (34) dan (35) ke persamaan (26) dan (28). Tabel 2 menunjukan menunjukan nilai opsi call tipe Eropa untuk beberapa harga strike dan jangka waktu, pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Perluasan Model Vasicek. Tabel 2 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun

menggunakan Perluasan Model Vasicek Jangka

Waktu Opsi (Tahun)

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90

1 1.9945 0.6145 0.0987 0.0075 0.0003

1.25 3.5834 1.6550 0.4625 0.0660 0.0044

1.5 5.2932 3.1772 1.3561 0.3269 0.0372

1.75 6.9866 4.8883 2.8243 1.0873 0.2084

2 8.6379 6.5904 4.5431 2.5214 0.8416

2.25 10.2471 8.2498 6.2525 4.2553 2.2698

2.5 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 2 Nilai Opsi call vs Waktu pada Perluasan Model Vasicek dengan harga strike $85 0

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

(15)

Tabel 3 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun Jangka

Waktu Opsi (Tahun)

Model

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90 1 Perluasan Vasicek 1.9945 0.6145 0.0987 0.0075 0.0003

CIR 2.0162 0.6053 0.0765 0.0025 0.0000

1.25 Perluasan Vasicek 3.5834 1.6550 0.4625 0.0660 0.0044

CIR 3.5988 1.6760 0.4458 0.0449 0.0009

1.5 Perluasan Vasicek 5.2932 3.1772 1.3561 0.3269 0.0372

CIR 5.2962 3.1948 1.3741 0.3044 0.0204

1.75 Perluasan Vasicek 6.9866 4.8883 2.8243 1.0873 0.2084

CIR 6.9867 4.8909 2.8418 1.1013 0.1831

2 Perluasan Vasicek 8.6379 6.5904 4.5431 2.5214 0.8416

CIR 8.6379 6.5904 4.5446 2.5363 0.8513

2.25 Perluasan Vasicek 10.2471 8.2498 6.2525 4.2553 2.2698

CIR 10.2471 8.2498 6.2525 4.2557 2.2796

2.5 Perluasan Vasicek 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

CIR 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 3 Nilai Opsi call vs Waktu dengan harga strike $85 Dari gambar tersebut, dapat dilihat

bahwa nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan

model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

Jatuh Tempo Opsi

Perluasan Vasicek CIR

(16)

V. SIMPULAN

Penentuan nilai opsi dapat menggunakan

beberapa model, diantaranya adalah model Vasicek dan model Cox-Ingersoll-Ross (CIR). Tetapi model Vasicek dapat memberikan nilai suku bunga yang negatif, model CIR memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif.

Karya ilmiah ini menunjukkan bahwa model Vasicek dapat diperluas. Dalam kasus perluasan model Vasicek, parameter, suku bunga jangka pendek dan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond dapat

ditentukan secara analitik. Hal ini membuat model sangat menarik sebagai alat praktis.

Pada karya ilmiah ini nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama.

Dari karya ilmiah ini terdapat beberapa hal yang dapat dikaji lebih lanjut oleh pihak-pihak yang tertarik dengan bidang ilmu ini, antara lain adalah nilai opsi put tipe Eropa dan nilai opsi tipe Amerika.

(17)

PERBANDINGAN NILAI OPSI CALL TIPE EROPA DENGAN

PERLUASAN MODEL VASICEK DAN MODEL

COX-INGERSOLL-ROSS

NANU NURUL FAJRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(18)

VI. DAFTAR PUSTAKA

Bodie Z, Kane A, Marcus AJ. 2002.

Investments. Ed ke-3. New Jersey: Prentice Hall.

Cox JC, Ingersoll JE, Ross SA. 1985. A Theory of the Term Structure of Interest Rates. Econometrica 53:385-467.

Fabozzi FJ, Modigliani F. 2003. Capital Markets Institusions and Instrumens. Ed ke -3. New Jersey: Prentice Hall.

Ghahramani S. 2005. Fundamentals of Probability with Stochastic Processes. Edisi Ke-3. New Jersey: Pearson Education, Inc.

Grimmett GR, Stirzaker DR. 2001. Probability and Random Processes. New York: Clarendon Press Oxford.

Hogg RV, Carig A, McKean JW. 2005. Intoduduction to Mathematicals Statistic. Ed ke 6. New Jersey: Pretince Hall inc.

Hull J, White A. 1990. Pricing Interest Rate Derivatives Securities. The Review of Financial Studies 3:573-792.

Hull JC. 2003. Options, Futures and Other Derivatives. Ed ke-5. New Jersey: Pearson Education, Inc.

Morgenson G, Harvey CR. 2002. The New York Times Dictionary of Money and Investing: The Essential A-to-Z Guide to The Language of The New Market. New York: Times Books.

Pass C, Bryne L, Davies L. 1988. Kamus Lengkap Ekonomi. Edisi Ke-2. Rumapea T, Haloho P, penerjemah; Sihombing D, editor. New York: HarperCollins Publishing. Terjemahan dari: Dictionary of Economics, Second Edition.

Rolski T, Schimidli H, Schmidt V, Teugels J. 1999. Stochastic Processes for Insurance and Finance. Chicester: John Wiley & Sons.

(19)

PERBANDINGAN NILAI OPSI CALL TIPE EROPA DENGAN

PERLUASAN MODEL VASICEK DAN MODEL

COX-INGERSOLL-ROSS

NANU NURUL FAJRI

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

BOGOR

2011

(20)

ABSTRAK

NANU NURUL FAJRI. Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.

(21)

ABSTRACT

NANU NURUL FAJRI. Comparison of Extended Vasicek and Cox-Ingersoll-Ross Model in Valuation of European Call Option. Supervised by RETNO BUDIARTI and TEDUH WULANDARI MAS’OED.

(22)

PERBANDINGAN NILAI OPSI

CALL

TIPE EROPA DENGAN

PERLUASAN MODEL VASICEK DAN MODEL

COX-INGERSOLL-ROSS

NANU NURUL FAJRI

G54062389

Skripsi

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada

Departemen Matematika

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

INSTITUT PERTANIAN BOGOR

(23)

Judul :

Perbandingan Nilai Opsi

Call

_{Tipe Eropa dengan Perluasan Model}

Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross

Nama : Nanu Nurul Fajri

NIM : G54062389

Menyetujui, Pembimbing I

Ir. Retno Budiarti, MS NIP. 19610729 198903 2 001

Pembimbing II

Teduh Wulandari Mas'oed, M.Si. NIP. 19740915 199903 2 001

Mengetahui,

Ketua Departemen Matematika

Dr. Berlian Setiawaty, MS. NIP: 19650505 198903 2 004

(24)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT karena atas rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah yang berjudul Perbandingan Nilai Opsi Call Tipe Eropa dengan Perluasan Model Vasicek dan Model Cox-Ingersoll-Ross.

Penulis mengucapkan terima kasih kepada:

1. Ibu Ir. Retno Budiarti, MS. selaku dosen pembimbing I yang telah sabar memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik; 2. Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II yang telah sabar

memberikan bimbingan, saran, dan kritik sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan dengan baik;

3. Ibu Dr.Ir. Endar Hasafah Nugrahani, MS. Selaku moderator dalam seminar dan dosen penguji atas waktu luangnya dan kesedian memeriksa abstrak penulis;

4. Seluruh dosen Departemen Matematika atas semua ilmu yang telah bapak dan ibu berikan kepada penulis;

5. Kelurgaku tercinta: Tarwa (Almarhum mama) walaupun beliau telah tiada tetapi kasih sayangmu masih ku rasa. Eli Lutpah Patimah (mimi) yang telah memberikan doa, kasih sayang, motivasi dan kerja kerasnya untuk mengkuliahkan putramu ini. Kakak-kakakku Neni Nur’aeni Jamilah (ceu Neni), Nina Nurhasanah, S.Far, Apt (ceu Na), Nunu Nur’aziz Hakim, S.Hut (a Nunu), Kikie Lukita Andhara, SE (a Kikie), Dini Christin Natalia, S.Hut (teh Dini), dan adikku Neno Dede Nurul Fadli (Dede) terima kasih atas doa, motivasi nasehat dan bantuannya;

6. Shanty Raharjo Pratama, S.TP terima kasih atas doa, motivasi dan semangatnya; 7. Sendi Ahmad Nugraha, teman kosan, terima kasih atas semua bantuan;

8. Staf dan pegawai Departemen Matematika;

9. Resti dan Peli, teman satu bimbingan, seperjuangan, senasib dan sepenanggungan penulis, terimakasih atas bantuan dan semangatnya;

10. Ruhiyat, Iful dan Pepi yang telah bersedia menjadi pembahas dalam seminar tugas akhir penulis;

11. Teman-teman matematika 43: Subro, Ace, Irsyad, Nurmalina, Lia, Elly, Coeey, Slamet, Sofyan, Lina, Supri, Nia, Ecka, CC, Desi, SN, Emta, NS, Syahrul, Destya, Ria, Apri, Andrew, Wira, Ratna, Agung, Albrian, Gandi, Margi, Zul, Adhi, Fardan, Dandi, Razon, Narsih, Vera, Putri, Aini, Nidya, Nene, Arum, Tami, Rias, Erchan, Suci, sabar, Kabil, Ucok, Arif, Kiki, Kunto, Hendra, Faizul, David dan Paisol atas doa, dukungan dan kebersamaannya selama ini;

12. Kakak-kakak kelas dan adik-adik kelas yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu terima kasih atas doa dan dukungannya.

13. Akhirnya penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang ikut membantu dan tidak dapat penulis sebutkan satu persatu.

Penulis menyadari karya ilmiah ini masih terdapat kekurangan dan jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, dibutuhkan kritik dan saran yang membangun dari pembaca.

Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi kita semua, bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya Matematika

(25)

RIWAYAT HIDUP

Nanu Nurul Fajri dilahirkan di Majalengka pada tanggal 9 Oktober 1987 sebagai anak keempat dari lima bersaudara, dari pasangan Tarwa dan Eli Lutpah Patimah. Penulis memulai pendidikan di SD Negeri Buntu I pada tahun 1994. Pada tahun 2003, penulis menamatkan pendidikan tingkat pertama di SLTP Negeri 2 Ligung dan pada tahun yang sama, diterima di SMA Pasundan 2 Bandung. Pada tahun 2006, penulis lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk Institut Pertanian Bogor (USMI). Penulis memilih Mayor Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam angkatan 43.

Selama menjalani perkuliahan, penulis aktif di Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) IPB sebagai staff departemen Sosial, Informasi dan Komunikasi pada tahun 2008 dan ketua Divisi Hubungan Alumni pada tahun 2009. Penulis juga aktif di Organisasi Mahaswiwa Daerah (OMDA) Himpunan Mahasiswa Majalengka (HIMMAKA) sebagai Wakil Ketua pada tahun 2007, dan anggota Koperasi Mahasiwa IPB tahun 2007-2009. Beberapa kepanitiaan yang pernah diikuti penulis diantaranya adalah Pemilihan Raya BEM KM IPB pada tahun 2008, Pesta Sains pada tahun 2008, Welcome Ceremony Mathematics pada tahun 2008, Campus Fair Kopma IPB pada tahun 2008 dan lain sebagainya. Dalam mengamalkan ilmu yang didapat, penulis pernah menjadi pengajar Pengantar Matematika pada tahun 2008, dan pengajar private di rumah pada tahun 2009.

(26)

DAFTAR ISI

Halaman

DAFTAR TABEL viii

DAFTAR GAMBAR viii

DAFTAR LAMPIRAN viii

I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang ……… ₁

1.2 Tujuan Penulisan ……… ₁

1.3 Metodologi dan Sistematika Penulisan ……….. ₁

II

LANDASAN TEORI

2.1 Istilah Ekonomi dan Keuangan ……….. ₂

2.2 Proses Stokastik ………. ₄

2.3 Gerak Brown ……….. ₆

2.4 Proses Wiener ……… ₆

2.5 Proses Itô ……… ₆

III

PEMBAHASAN

3.1 Model Vasicek ……… ₇

3.2 Perluasan Model Vasicek ……… ₇ 3.3 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan

Perluasan Model Vasicek ……… 9 3.4 Model Cox-Ingersoll-Ross ……….. ₁₀ 3.5 Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan

Model Cox-Ingersoll-Ross ……….. 10

IV

SIMULASI

4.1 Simulasi pada Model CIR ………... ₁₁ 4.2 Simulasi pada Perluasan Model Vasicek ……… ₁₁

V

SIMPULAN ………... 14

VI

DAFTAR PUSTAKA ……… ₁₅

(27)

DAFTAR TABEL

Halaman 1 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun

menggunakan Model CIR ……….. 11

2 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun

menggunakan Perluasan Model Vasicek ……… 12 3 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun …….. 13

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1 Nilai Opsi call vs Waktu pada Model CIR dengan harga strike $85 ……… 11 2 Nilai Opsi call vs Waktu pada Perluasan Model Vasicek

dengan harga strike $85 ………. 12 3 Nilai Opsi call vs Waktu dengan harga strike $85 ……… 13

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Bukti Lema Itô ………... 17

2 Penurunan persamaan (11) ………. 20 3 Penurunan persamaan (13) – (17) ………. 22 4 Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) Memenuhi

Kondisi Batas yang Diberikan ……… 23 5 Penurunan Persamaan (24) dan (25) ……….. 24 6 Bukti volatilitas harga zero coupon bond ………... 27 7 Penurunan persamaan (28) ………. 27 8 Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 ……… 28

(28)

I. PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

memberikan alternatif supaya suku bunga tidak negatif.

1.2Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah sebagai berikut:

1. Menganalisis perluasan model Vasicek. 2. Membandingkan nilai opsi yang diperoleh

menggunakan perluasan model Vasicek dengan model satu-faktor Cox-Ingersoll-Ross.

(29)

II. LANDASAN TEORI

Pada bagian ini akan diuraikan beberapa

definisi dan teori penunjang yang akan digunakan di dalam pembahasan.

2.1Istilah Ekonomi dan Keuangan Definisi 1 (Investasi)

(Pass et al. 1988) Definisi 2 (Contingent Claim)

Contingent Claim adalah sekuritas yang memberikan imbal hasil yang tergantung pada nilai aset lain seperti harga komoditas, harga saham dan obligasi, atau nilai indeks pasar.

(Bodie et al. 2002) Definisi 3 (Primitive Security)

Sekuritas primitif (Primitive Security) adalah instrumen seperti saham atau obligasi yang pembayarannya hanya tergantung pada status keuangan pihak penerbit.

(Bodie et al. 2002) Definisi 4(Derivative security)

Sekuritas derivatif (derivative security)

dibentuk dari perangkat sekuritas primitif yang menghasilkan imbal hasil yang tergantung pada faktor-faktor di luar karakteristik pihak penerbit dan mungkin dikaitkan dengan harga aset lain.

(Bodie et al. 2002) Teori Tentang Opsi

Opsi pada suatu aset adalah suatu kontrak antara dua pihak, yang memberikan hak,

tetapi bukan kewajiban, untuk melakukan jual atau beli aset pada harga tertentu yang disebut strike price atau exercise price dan dalam jangka waktu tertentu (jatuh tempo).

Definisi 5 (Opsi Call)

Definisi 6 (Opsi Put)

Opsi put memberikan hak kepada pemegangnya untuk menjual suatu aset dengan harga eksekusi tertentu pada saat atau sebelum tanggal jatuh temponya.

(Bodie et al. 2002) Definisi 7 (Volatilitas)

(Morgenson dan Harvey 2002) Teori Tentang Obligasi

Karakteristik obligasi meliputi nilai obligasi, jangka waktu obligasi, tingkat suku bunga dan penjadwalan pembayaran.

Nilai Pari

(30)

sebesar 500 miliar rupiah maka akan diterbitkan obligasi bernilai 500 miliar rupiah. Jangka waktu Obligasi

Tingkat Suku Bunga

Penentuan besarnya kupon obligasi sangat penting, untuk dapat menarik minat investor tentunya juga harus mempertimbangkan kemampuan perusahaan untuk membayar kupon tersebut sampai jatuh tempo.

Definisi 8 (Yield to Maturity)

(Bodie et al. 2002) Definisi 9 (Zero-Coupon Bond)

(Rolski et al. 1999) Definisi 10 (Short Rate)

Short rate adalah suku bunga yang berlaku pada interval waktu tertentu.

(Bodie et al. 2002) Definisi 11 (Forward Rate)

Jika forward rate untuk periode n adalah , maka didefinisikan oleh persamaan

, atau dituliskan

Definisi 12 (Sktruktur Waktu Suku Bunga) Struktur waktu suku bunga (term structure of interest rates) menyatakan hubungan antara yield to maturity dengan waktu jatuh temponya.

(31)

Teori-teori dari struktur waktu, yaitu 1. Hipotesis Harapan

Bahwa liquidity premium sama dengan nol. Sebagai ilustrasi

Maka, yield to maturity selama n periode dapat ditentukan oleh yield to maturity yang berlaku selama n-1 periode dan harapan suku bunga yang berlaku pada periode n.

2. Liquidity Preference

Liquidity Preference menyatakan bahwa investor jangka pendek tidak ingin memiliki obligasi jangka panjang jika

3. Segmentasi Pasar

(Bodie et al. 2002)

Definisi 13 (Teori Portfolio)

Jika 2 aset dengan ragam masing-masing adalah dan dikombinasikan dalam satu portfolio dengan proporsi masing-masing dan , maka ragam portofolio diberikan oleh persamaan berikut

cov , Dengan

cov , dan cor , .

cor , adalah korelasi antara return aset 1 dan return aset 2, dengan nilai . artinya kedua aset mempunyai korelasi negatif sempurna, sedangkan

artinya kedua aset mempunyai korelasi positif sempurna.

(Bodie et al. 2002) 2.2Proses Stokastik

Proses stokastik digunakan sebagai model matematika untuk mewakili suatu peubah yang nilainya berubah secara acak menurut waktu.

Untuk memahami proses stokastik diperlukan definisi berikut

Definisi 14 (Percobaan Acak)

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 15 (Ruang Contoh)

Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh (ruang sampel), dinotasikan dengan Ω.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 16 (Kejadian)

Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 17 (Medan- )

Medan- adalah himpunan yang anggotanya adalah himpunan bagian dari

(32)

ruang contoh Ω yang memenuhi syarat-syarat berikut:

1. .

2. Jika , , , … . , maka ∞ . 3. Jika maka , dengan

menyatakan komplemen dari himpunan . (Hogg et al. 2005) Definisi 18 (Ukuran Peluang)

Suatu ukuran peluang P pada ruang ukuran

Ω, adalah fungsi : , yang memenuhi:

1. Untuk setiap kejadian berlaku .

2. Ω .

3. Jika , , , … . adalah barisan kejadian-kejadian yang saling lepas yaitu

, untuk setiap pasangan , dengan maka:

∞ ∞

Pasangan (Ω, , disebut dengan ruang peluang (probability space).

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 19 (Peubah Acak)

Misalkan adalah medan- dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak adalah suatu fungsi Ω: dengan sifat

Ω: untuk setiap .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 20 (Peubah Acak Diskret)

Peubah acak dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang tercacah , , , … dari .

Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut bilangan tercacah jika C terdiri atas bilangan berhingga atau anggota C dapat dikorespondensikan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 21 (Fungsi Masa Peluang)

Fungsi masa peluang (probability mass function) dari suatu peubah acak diskret X

adalah fungsi : , yang diberikan

oleh .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 22 (Peubah Acak Kontinu)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika fungsi sebarannya dapat diekspresikan sebagai:

∞

untuk suatu fungsi : ,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Selanjutnya fungsi

disebut fungsi kepekatan peluang bagi .

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 23 (Nilai Harapan Peubah Acak Diskret)

Jika adalah peubah acak diskret dengan himpunan semua kemungkinan nilai X adalah A dan dengan fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari adalah

jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Definisi 24 (Nilai Harapan Peubah Acak Kontinu)

Jika adalah peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang , maka nilai harapan dari adalah

∞ ∞

jika jumlah diatas konvergen mutlak. Jika jumlah di atas divergen, maka nilai harapan dari X tidak ada.

(Grimmett dan Stirzaker 1992) Lema 1 (Sifat Nilai Harapan)

Beberapa sifat dari nilai harapan diantaranya: 1. Jika adalah suatu konstanta, maka

2. Jika adalah suatu konstanta dan adalah peubah acak, maka

(33)

3. Jika , adalah konstanta dan , adalah suatu peubah acak, maka

, ,

(Bukti : Lihat Hogg et al. 2005)

(Hogg et al. 2005) Definisi 25 (Ragam dan Simpangan Baku)

Misalkan adalah peubah acak (diskret atau kontinu). Ragam atau

dinotasikan dengan , didefinisikan

Standar deviasi dinotasikn dengan , didefinisikan

(Ghahramani 2005) Definisi 26 (Proses Stokastik)

Proses stokastik , adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang state .

2.3Gerak Brown

Proses stokastik , disebut gerak Brown jika:

2. Untuk , peubah

acak , , , … . ,

saling bebas.

3. Untuk , berdistribusi normal dengan rataan 0 dan ragam .

(Hull 2003) 2.4Proses Wiener

Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan dan ragam . Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak dapat dinyatakan sebagai berikut:

(1) disebut sebagai komponen deterministik dan menyatakan komponen stokastik, serta adalah proses Wiener, sedangkan dan masing-masing menyatakan drift rate dan variance rate dari .

Untuk proses stokastik yang didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω, , berlaku hal berikut:

Misalkan adalah proses Wiener pada (Ω, , . Integral stokastik adalah proses stokastik dengan bentuk:

(Hull 2003)

2.5Proses Itô

Proses Itô adalah proses Wiener umum dengan dan menyatakan suatu fungsi dari peubah acak dan waktu . Proses Itô dapat dinyatakan sebagai berikut:

, , . (3)

(Hull 2003)

Lema 2 (Lema Itô)

Misalkan proses memenuhi persamaan (3) dan fungsi , adalah kontinu serta turunan-turunan

, , , kontinu, maka

, memenuhi persamaan berikut:

, ,

, 4

dengan

, ,

dan

(Hull 2003) Bukti: Lihat Lampiran 1

(34)

III. PEMBAHASAN

Dalam bab ini akan dijelaskan tentang

Misalkan diberikan model one-state-variable dari struktur waktu di mana tingkat suku bunga jangka pendek, r, mengikuti proses mean reversion

(5) di mana a, b, σ dan β adalah konstanta positif dan dz adalah proses Wiener.

(6) 3.1Model Vasicek

Model Vasicek adalah model satu-faktor yang merupakan kasus khusus dari persamaan (5) dengan asumsi  . Sehingga diperoleh persamaan

. (7)

Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon

bond untuk adalah

, , , ₍₈₎

dengan

, exp ,

4 . Bukti: lihat (Rolski et al. 1999) .

Pada persamaan (8), merupakan nilai r pada saat t,

Bukti: lihat Lampiran 2

Salah satu kelemahan dari asumsi  adalah bahwa tingkat suku bunga jangka pendek, r, bisa menjadi negatif.

3.2Perluasan Model Vasicek

Perluasan model Vasicek merupakan kasus khusus dari persamaan (6) dengan , sehingga diperoleh persamaan berikut:

(35)

Harga dari contingent claim, f, tergantung pada r memenuhi

dimana

. Harga zero coupon bond dengan nilai pari sebesar $1 pada waktu T adalah solusi untuk persamaan (13) yang memenuhi syarat batas saat , diberikan persamaan berikut

, , , , ₍₁₄₎

Persamaan (14) memenuhi persamaan (13) dan kondisi batas

dan

, (16) dengan

, ; , . (17)

Bukti : lihat Lampiran 3

penentuan harga obligasi pada persamaan (8), (9) dan (10).

Fungsi, , dalam model diperluas harus dipilih untuk mencerminkan volatilitas saat ini dan masa depan tingkat suku bunga jangka pendek, r. Langkah pertama dalam analisis adalah menentukan , ,

, dan , dalam hal , , , , dan .

Turunkan persamaan (15) dan (16) terhadap T, maka diperoleh

. (19) Eliminasi dari persamaan (16) dan (19) menghasilkan

. (20) Eliminasi dari persamaan (15) dan (18) menghasilkan

Kondisi batas untuk persamaan (20) dan (21)

adalah nilai-nilai diketahui , dan

, , , , dan , .

, , ,

, /

, , , , ,

, , _{, /}

(36)

, /

, / 4

, , ,

, / Bukti: lihat Lampiran 5

3.3Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Perluasan Model Vasicek

Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,

, , , , _.

Menggunakan lema Itô, diperoleh volatilitas , , adalah σ , .

Bukti: lihat Lampiran 6

Karena volatilitas tersebut tidak bergantung pada r, distribusi harga obligasi pada waktu tertentu tergantung pada harga pada waktu sebelumnya harus lognormal.

Diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi X = harga strike

L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi

t = waktu, .

Opsi call dapat dianggap sebagai pilihan untuk pertukaran unit X dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada T waktu untuk satu unit zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat s. Diberikan

= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu s, pada waktu

= volatilitas harga zero coupon bond yang jatuh tempo pada waktu T, pada waktu

= korelasi langsung antara dua harga obligasi.

sehingga nilai opsi C diberikan oleh

, , , ,

(26) dimana

log , ,

, ,

, , , . Sehingga,

, , .

Dari persamaan (22) menjadi

, _{, /} .

(28) Bukti: lihat Lampiran 7

Persamaan (26) dan (28) memberikan solusi analitik sederhana untuk harga opsi call tipe Eropa.

(37)

3.4Model Cox-Ingersoll-Ross

Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) adalah model satu-faktor dan pertama kali menghilangkan kemungkinan dari suku bunga yang negatif. Model CIR dapat dinyatakan oleh persamaan (5) dengan . .

√ (29)

Pada model CIR, formulasi untuk menghitung harga zero coupon bond pada waktu t dengan nilai pari sebesar $1 pada saat jatuh tempo T diberikan oleh teorema 3.2 Teorema 3.2

Misalkan t adalah waktu, dengan T adalah waktu jatuh tempo obligasi dan r adalah suku bunga bebas risiko. Maka harga zero coupon

bond untuk adalah

, , , ₍₃₀₎ dengan

(31)

(32) dimana

. Bukti: lihat (Rolski et al. 1999).

3.5Penentuan nilai Opsi call tipe Eropa pada Zero Coupon Bond menggunakan Model Cox-Ingersoll-Ross

Misalkan diberikan opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond, dengan karakteristik opsi

X = harga strike

L = nilai pari (par value) T = waktu jatuh tempo opsi s = waktu jatuh tempo obligasi t = waktu,

sehingga nilai opsi C, diberikan oleh persamaan (33)

, , ;4 , _,

, ;4 ,

dimana

log _/, ,

• adalah fungsi distribusi noncentral khi-kuadrat.

(38)

IV. SIMULASI

Pada bagian ini diberikan simulasi yang akan

membandingkan, seberapa baik perluasan model Vasicek dapat menduplikasi harga opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond. Perluasan model Vasicek akan dibandingkan dengan model satu-faktor CIR.

4.1Simulasi pada Model satu-faktor CIR Dengan menggunakan persamaan (30) - (33), dipilih nilai parameter sebagai berikut

. , . , . dan tingkat

. .

$ $

. 4 .

. 4 . 4

4. 4 . ; . , .

. 4 .4 ; . , .

Tabel 1 menunjukan nilai opsi call tipe Eropa untuk beberapa harga strike dan jangka waktu, pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan model CIR.

Tabel 1 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun menggunakan Model CIR

Jangka Waktu Opsi

(Tahun)

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90

1 2.0162 0.6053 0.0765 0.0025 0.0000

1.25 3.5988 1.6760 0.4458 0.0449 0.0009

1.5 5.2962 3.1948 1.3741 0.3044 0.0204

1.75 6.9867 4.8909 2.8418 1.1013 0.1831

2 8.6379 6.5904 4.5446 2.5363 0.8513

2.25 10.2471 8.2498 6.2525 4.2557 2.2796

2.5 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 1 Nilai Opsi Call vs Waktu pada Model CIR dengan harga strike $85

4.2Simulasi pada Perluasan Model Vasicek Asumsikan bahwa , , dan adalah parameter dari model CIR dan model ini menggambarkan evolusi yang benar dari

struktur waktu. Ini berarti bahwa , dan , fungsi yang akan diperkirakan untuk perluasan model Vasicek

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

(39)

, 4

dimana

Fungsi A dan B lengkap untuk perluasan model Vasicek dapat dihitung dari , dan , pada persamaan (34) dan (35) menggunakan persamaan (22) dan (23). Persamaan (26) dan (28) dapat digunakan

untuk menilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond.

Parameter nilai-nilai tersebut dipilih . dan . . Tingkat suku bunga jangka pendek awal diasumsikan 10% per tahun. Untuk Perluasan Model Vasicek, sudah ditetapkan sama dengan konstanta

. √ . , ini memastikan bahwa volatilitas suku bunga jangka pendek suku setara dalam model CIR.

menggunakan Perluasan Model Vasicek Jangka

Waktu Opsi (Tahun)

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90

1 1.9945 0.6145 0.0987 0.0075 0.0003

1.25 3.5834 1.6550 0.4625 0.0660 0.0044

1.5 5.2932 3.1772 1.3561 0.3269 0.0372

1.75 6.9866 4.8883 2.8243 1.0873 0.2084

2 8.6379 6.5904 4.5431 2.5214 0.8416

2.25 10.2471 8.2498 6.2525 4.2553 2.2698

2.5 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 2 Nilai Opsi call vs Waktu pada Perluasan Model Vasicek dengan harga strike $85 0

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

(40)

Tabel 3 Nilai Opsi call Tipe Eropa pada zero coupon bond dengan jatuh tempo 3 tahun Jangka

Waktu Opsi (Tahun)

Model

Harga Strike

80 82.5 85 87.5 90 1 Perluasan Vasicek 1.9945 0.6145 0.0987 0.0075 0.0003

CIR 2.0162 0.6053 0.0765 0.0025 0.0000

1.25 Perluasan Vasicek 3.5834 1.6550 0.4625 0.0660 0.0044

CIR 3.5988 1.6760 0.4458 0.0449 0.0009

1.5 Perluasan Vasicek 5.2932 3.1772 1.3561 0.3269 0.0372

CIR 5.2962 3.1948 1.3741 0.3044 0.0204

1.75 Perluasan Vasicek 6.9866 4.8883 2.8243 1.0873 0.2084

CIR 6.9867 4.8909 2.8418 1.1013 0.1831

2 Perluasan Vasicek 8.6379 6.5904 4.5431 2.5214 0.8416

CIR 8.6379 6.5904 4.5446 2.5363 0.8513

2.25 Perluasan Vasicek 10.2471 8.2498 6.2525 4.2553 2.2698

CIR 10.2471 8.2498 6.2525 4.2557 2.2796

2.5 Perluasan Vasicek 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

CIR 11.8151 9.8668 7.9186 5.9703 4.0220

Gambar 3 Nilai Opsi call vs Waktu dengan harga strike $85 Dari gambar tersebut, dapat dilihat

bahwa nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan

model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

1 1.25 1.5 1.75 2 2.25 2.5

Nila

i Opsi

Jatuh Tempo Opsi

Perluasan Vasicek CIR

(41)

V. SIMPULAN

Penentuan nilai opsi dapat menggunakan

Karya ilmiah ini menunjukkan bahwa model Vasicek dapat diperluas. Dalam kasus perluasan model Vasicek, parameter, suku bunga jangka pendek dan nilai opsi call tipe Eropa pada zero coupon bond dapat

ditentukan secara analitik. Hal ini membuat model sangat menarik sebagai alat praktis.

Pada karya ilmiah ini nilai opsi call tipe Eropa yang diperoleh dengan menggunakan perluasan model Vasicek dan model CIR memberikan hasil yang hampir sama.

(1)

Substitusikan ke persamaan (5h) ke (5a),

, _, _, _,

, ,

, _,

, , ,

, , , ,

, , _{, /} ,

, ,

, , , , , ,

, /

, ,

, /

, ,

, , ,

, , , _{, /}

, , ,

, /

, , ,

, / maka persamaan (25) terbukti

(2)

Lampiran 6

Bukti volatilitas harga zero coupon bond

Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,

, , , , _.

Menggunakan lema Itô, diperoleh

dan

, , σ ,

Maka terbukti bahwa volatilitas , , adalah σ ,

■

Lampiran 7

Penurunan persamaan (28) Diketahui persamaan (27)

Karena menggunakan model satu-faktor, . dengan,

, , , . sehingga,

, , .

Subtitusikan persamaan (24) , , , , /

(3)

, , , /

, ,

, /

, , , ,

, /

, , _{, /}

maka persamaan (28) terbukti ■ Lampiran 8

Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 Diketahui Fungsi Distribusi Kumulatif Normal, • .

• Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Diketahui persamaan (31)

Diketahui persamaan (32)

Persamaan harga obligasi

, , ,

Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan model CIR, persamaan (33)

In[1]:= a1=0.319381530; a2= −0.356563782; a3=1.781477937; a4= −1.821255978; a5=1.330274429;

In[2]:= norcum@p_D:= 1− 1

2π ∗

−p₂2_∗_I

a1∗1êH1+0.2316419pL+a2∗H1êH1+0.2316419pLL2

+a3∗H1êH1+0.2316419pLL3+a4∗H1êH1+0.2316419pLL4+a5∗H1êH1+0.2316419pLL5M p≥0

1−norcum@−pD p<0

In[3]:= Bcir@t_,T_D:=2J gHT-tL−1N í JHγ + ψL J g HT-tL−1N+2γN

In[4]:= Acir@t_,T_D:= 2γ

Hg +yL HT-tL

2 ì JHγ + ψL J gHT-tL−1N+2γN

2φ

σcir 2

(4)

log _/, ,

, , ;4 , _,

, ;4 , _ξ

• Perluasan Model Vasicek

Subtitusikan persamaan (35) ke persamaan (22)

selanjutnya

Diketahui Persamaan (23)

, , , , , , , _{, /}

Karena , log , , substitusikan persamaan (22) sehingga menjadi

log , log ,_, , log ,

, , _{, /}

Untuk memudahkan, persamaan tersebut akan dibagi menjadi beberapa bagian. In[6]:= Xi@t_,T_D:= 2γ

σcir2I g HT-tL−1M

In[7]:= η = Hγ + ψL σcir2

;

In[8]:= rstar@T_,s_,L_, X_D:=

LogBAcir@T,sD

XêL F

Bcir@T,sD

In[9]:= opsiCIR@r_,t_,T_,s_,L_,X_D:=

LPcir@r,t,sD∗NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4φ σcir2

, 2HXi@t,TDL 2_r gHT-tL Xi@t,TD+ η +Bcir@T,sDF, 2 rstar@T,s,L,XD HXi@t,TD+ η +Bcir@T,sDLFF−

XPcir@r,t,TD∗NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4φ σcir2

, 2HXi@t,TDL 2_r gHT-tL

Xi@t,TD+ η F, 2 rstar@T,s,L,XD HXi@t,TD+ ηLFF

In[10]:= SimplifyBBcir@0,TD−Bcir@0,tD D@Bcir@0,tD,tD F

Out[10]=

−

−t_γ

I

t_γ

₋

T_γ

M II

1 +

tγ

M

γ +

I

−

1 +

tγ

M

ψ

M

γ

II

1 +

Tγ

M

γ +

I

−

1 +

Tγ

M

ψ

M

In[11]:= Bev@t_,T_D:= −

−tγ_I tγ − T γ_{M II}₁₊ tγ_M_{γ +}_I₋₁₊ tγ_M_ψ_M

(5)

log ,

, /

maka

log , log ,_, , log ,

, , _{, /}

dengan , log , .

Persamaan harga obligasi

, , , _.

Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan perluasan model Vasicek Diketahui persamaan (28)

, ,

, /

, / In[12]:= Simplify@D@Log@Acir@0,tDD,tDD

Out[12]=

−

I

−

1 +

tγ

M

φ

I

γ

− ψ

M

σ

cir

II

1 +

tγ

M

γ +

I

−

1 +

tγ

M

ψ

M

In[13]:= tur1@t_D:= − I−1+

tγ_M_φ_I_γ2_{− ψ}2M σcir2II1+ tγMγ +I−1+ tγMψM

In[14]:= IntegrateAH1êD@Bcir@0,τD,τDL2,8τ, 0,t<E

Out[14]=

− −2 tγ_H_{γ − ψ}_L4

−8 −tγHγ − ψL3Hγ + ψL+8 tγHγ − ψL Hγ + ψL3+ 2 tγHγ + ψL4+4γI−10γ2ψ +6ψ3+3 tIγ2− ψ2M2M 32γ5

In[15]:= int1@t_D:= 1 32γ5 J− −

2tγ_H_{γ − ψ}_L4₋₈ −tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L

+8 tγHγ − ψL Hγ + ψL3+ 2tγHγ + ψL4+4γJ−10γ2ψ +6ψ3+3tIγ2_{− ψ}2_M2_NN

In[16]:= Abar

@

t_

T_

D

:=Log

B

Acir

@

T

D

Acir

@

t

D

F

−Bev

@

t

T

D

∗tur1

@

t

D

−

2∗

H

Bcir

@

T

D

−Bcir

@

t

DL

2_∗

_H

_int1

_@

t

DL

;

In[17]:= Aev@

t_

T_

D:= Abar@t,TD

(6)

sehingga,

log _{, ,}, ,

Persamaan (26)

, , , ,

Parameter yang digunakan

In[19]:= IntegrateAH1êD@Bcir@0,τD,τDL2,8τ,t,T<E

Out[19]=

1 32γ5J

−2 tγ_JH_{γ − ψ}_L4

+8 tγHγ − ψL3Hγ + ψL−8 3 tγHγ − ψL Hγ + ψL3− 4 tγHγ + ψL4−12 2 tγtγIγ2− ψ2M2N+ −2 Tγ_J₋_H_{γ − ψ}_L4

−8 TγHγ − ψL3Hγ + ψL+8 3 TγHγ − ψL Hγ + ψL3+ 4 TγHγ + ψL4+12 2 TγTγIγ2− ψ2M2NN In[20]:= int2@t_,T_D:=

1 32γ5J

−2tγ_JH_{γ − ψ}_L4₊₈ tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L₋_{8 3}tγ_H_{γ − ψ}_{L H}_{γ + ψ}_L3₋ 4tγ_H_{γ + ψ}_L4₋_{12 2}tγ_t_γ_I_γ2_{− ψ}2_M2_N + −2Tγ_J₋_H_{γ − ψ}_L4₋₈ Tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L₊_{8 3}Tγ_H_{γ − ψ}_{L H}_{γ + ψ}_L3₊ 4Tγ_H_{γ + ψ}_L4₊_{12 2}Tγ_T_γ_I_γ2_{− ψ}2_M2_NN

In[21]:= sigmaPV@t_,T_,s_D:= σHBcir@0,sD−Bcir@0,TDL int2@t,TD

In[22]:=

ha

@

r_

,

t_

,

T_

,

s_

,

L_

,

X_

D

:

=

1 sigmaPV

@

_t

,

_T

,

_s

D

∗

Log

B

L

Pev

@

_r

,

_t

,

_s

D

Pev

@

_r

,

_t

,

_T

D

_X

F

+

sigmaPV

@

_t

,

_T

,

_s

D

2

In[23]:= opsiEV@r_,t_,T_,s_,L_,X_D:=LPev@r,t,sDnorcum@ha@r,t,T,s,L, XDD−

XPev@r,t,TDnorcum@ha@r,t,T,s,L,XD−sigmaPV@t,T,sDD

In[24]:= φ =0.02;

σ =0.06∗ 0.1 ; σcir=0.06; ψ =0.2;

γ = ψ2+2σcir2;

In[29]:= opsiEV@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[29]= 0.0987123

In[30]:= opsiCIR@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[30]= 0.0765442