masalah heteroskedastisitas pada model regresi tersebut. Tindakan perbaikan ini tergantung dari pengetahuan kita tentang varian dari variabel gangguan. Ada dua
pendekatan untuk melakukan tindakan perbaikan, yaitu jika diketahui dan jika
tidak diketahui.
2 i
σ
2 i
σ
4.1.2.1 Jika
Diketahui
2 i
σ Jika
diketahui atau dapat ditaksir, metode yang paling berkaitan dengan heteroskedastisitas adalah dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
tertimbang weighted least square. Pada metode kuadrat terkecil meminimumkan untuk mendapatkan taksiran, sedangkan pada metode kuadrat terkecil
tertimbang meminimumkan jumlah kuadrat residual tertimbang :
2 i
σ
∑
2 i
ε
∑ ∑
=
− =
2 1
2
ˆ
k i
i i
i i
i
Y Y
w w
ε
[ ]
2 1
1 1
∑
=
+ +
+ −
=
k i
k k
i i
x b
x b
b Y
w L
dimana adalah penaksir kuadrat terkecil tertimbang dan dimana
timbangannya dengan
k
b b
b ,
, ,
1
L
i
w
2
1
i i
w
σ
=
. Untuk menggambarkan metode ini, perhatikan model regresi sampel dua
variabel berikut :
i i
i
e X
Y +
+ =
β α
Dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual tertimbang, diperoleh : 4.4
∑ ∑
− −
=
2 2
i i
i i
i
X Y
w e
w β
α Dengan mendeferensialkan 4.4 terhadap
dan , diperoleh :
α β
∑ ∑
− −
− =
∂ ∂
i i
i i
i
X Y
w e
w
2
2 β
α α
∑ ∑
− −
− =
∂ ∂
i i
i i
i i
X X
Y w
e w
2
2 β
α β
Dengan menetapkan persamaan-persamaan diatas dengan nol, maka diperoleh persamaan normal berikut :
2 =
− −
−
∑
i i
i
X Y
w β
α =
− −
⇔
∑ ∑
∑
i i
i i
i
X w
w Y
w β
α 4.5
∑ ∑
∑
+ =
⇔
i i
i i
X w
Y w
β α
2 =
− −
−
∑
i i
i i
X X
Y w
β α
2
= +
+ −
⇔
∑ ∑
∑
i i
i i
i i
i
X w
X w
Y X
w β
α 4.6
∑ ∑
∑
+ =
⇔
2 i
i i
i i
i i
X w
X w
Y X
w β
α
Nyatakan
∑ ∑
=
i i
i
w X
w X
dan
∑ ∑
=
i i
i
w Y
w Y
, maka persamaan 4.5 memberikan :
∑ ∑
∑ ∑
− =
i i
i i
i i
w X
w w
Y w
β α
X Y
β α
− =
⇔ Dengan menyubstitusikan nilai
kedalam persamaan 4.6, diperoleh : α
∑ ∑
∑
+ −
=
2 i
i i
i i
i i
X w
X w
X Y
Y X
w β
β
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
= ⇔
2 i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
X w
X w
w X
w w
Y w
Y X
w
β β
2 2
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛ −
− −
⇔
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
w X
w X
w w
X w
Y w
Y X
w
β
4.7
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑ ∑
− −
= ⇔
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
w X
w X
w w
X w
Y w
Y X
w
2 2
β
Persamaan 4.7 dapat disederhanakan menjadi :
2 2
X w
X w
X Y
w Y
X w
i i
i i
i i
i
∑ ∑
∑ ∑
− −
= β
2 2
2
2 X
w X
w X
w X
Y w
X Y
w X
Y w
Y X
w
i i
i i
i i
i i
i i
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ −
+ −
− =
2 2
2
2 X
w w
X w
w X
w X
Y w
X w
Y Y
w X
Y X
w
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ −
+ −
− =
2 2
2 X
w X
w X
X w
X Y
w X
Y w
Y X
w Y
X w
i i
i i
i i
i i
i i
i i
i
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
∑
+ −
+ −
− =
4.8
∑ ∑
− −
− =
2
X X
w Y
Y X
X w
i i
i i
i
β
4.1.2.2 Jika
Tidak Diketahui
2 i
σ Pada kenyataanya sulit kita mengetahui besarnya varian variabel
gangguan. Jika hal itu terjadi, maka tindakan perbaikan yang dapat dilakukan adalah dengan melakukan transformasi pada masing-masing asumsi kemungkinan
tipe dari struktur heteroskedastik.
1 Asumsi 1
Heteroskedastisitas berbentuk :
[ ]
2 2
2 i
i i
i
X E
X Var
σ ε
ε =
= .
Dalam kasus ini diasumsikan bahwa pola varians variabel gangguan adalah proporsional dengan
, maka transformasi yang dibutuhkan adalah:
2 i
X
i i
i i
i
X X
X Y
ε β
α +
+ =
1
i i
v X
+ +
= β
α 1
dimana
i i
i
X v
ε =
adalah faktor gangguan baru yang telah ditransformasi. Untuk menyelidiki apakah faktor-faktor gangguan homoskedastik atau tidak, maka
harus diperoleh varians dari
i
v
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
i i
X ε
.
[ ]
2 2
2
1
i i
i i
i i
E X
X E
X Var
ε ε
ε
= ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎣
⎡ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
.
Karena telah diasumsikan bahwa
[ ]
2 2
2 i
i
X E
σ ε
=
, maka :
2 2
2 2
1 σ
σ ε
= =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
i i
i i
X X
X Var
Terbukti bahwa faktor gangguan yang baru di dalam model memiliki sebuah varians konstan tertentu. Oleh karena itu, OLS dapat diterapkan pada model
transformasi, yaitu sebagai berikut :
i i
i i
i
X X
X Y
ε β
α +
+ =
1
Dalam transformasi ini, posisi dari koefisien-koefisien telah berubah. Parameter variabel
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
i
X 1
dalam model transformasi merupakan intercept
pada model aslinya, sedangkan faktor konstanta dalam model transformasi merupakan parameter dari variabel bebas X pada model aslinya. Oleh karena
itu, untuk memperoleh kembali model aslinya harus mengalikan regresi dengan
.
i
X 2
Asumsi 2 Heteroskedastisitas berbentuk :
[ ]
i i
i i
X E
X Var
2 2
σ ε
ε =
= .
Dalam kasus ini diasumsikan bahwa pola varians variabel gangguan adalah proporsional dengan
, maka transformasi yang dibutuhkan seharusnya adalah :
i
X
i i
i i
i i
i
X X
X X
X Y
ε β
α
+ +
=
atau :
i i
i i
i
v X
X X
Y +
+ =
β α
1
dimana
i i
i
X v
ε
=
adalah faktor gangguan baru yang telah ditransformasi dan
. Untuk menyelidiki apakah faktor-faktor gangguan dalam bentuk transformasi homoskedastik atau tidak, maka harus diperoleh varians dari
i
X
⎟ ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎜
⎝ ⎛
i i
X ε
.
[ ]
2 2
1
i i
i i
i i
E X
X E
X Var
ε ε
ε =
⎥ ⎥
⎦ ⎤
⎢ ⎢
⎣ ⎡
= ⎟
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎜ ⎝
⎛
Karena telah diasumsikan bahwa
[ ]
i i
X E
2 2
σ ε
=
, maka :
2 2
1 σ
σ ε
= =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
i i
i i
X X
X Var
.
Jadi faktor gangguan dalam model transformasi ini adalah homoskedastik. Dengan kata lain, OLS dapat diterapkan pada model transformasi :
i i
i i
i i
i i
i
v X
X X
X X
X Y
+ +
= +
+ =
β α
ε β
α
1 .
Tidak ada faktor intercept dalam model transformasi ini. Oleh karena itu, harus digunakan model regresi yang melalui titik nol dalam menaksir
α
dan β . Untuk memperoleh kembali model aslinya harus mengalikan taksiran
regresi itu dengan
i
X . 3
Asumsi 3 Heteroskedastisitas berbentuk :
[ ]
[ ]
2 2
2 i
i i
i
Y E
E X
Var σ
ε ε
= =
. Dalam kasus ini diiasumsikan bahwa pola varians variabel gangguan adalah
proporsional terhadap rerata hitung kuadrat dari variabel terikat ,
dimana
[ ]
2 i
Y E
[ ]
i i
X Y
E β
α + =
, maka transformasi yang dibutuhkan adalah : 4.9
i i
i i
i i
i
X X
X X
X Y
β α
ε β
α β
β α
α β
α +
+ +
+ +
= +
i i
i i
v X
X X
+ +
+ +
= β
α β
β α
α
dimana
i i
i
X v
β α
ε +
= adalah faktor gangguan baru yang telah ditransformasi
dan . Untuk menyelidiki apakah faktor-faktor gangguan dalam bentuk transformasi homoskedastik atau tidak, maka harus diperoleh varians dari
i
X
i i
X
β α
ε
+
.
[ ]
2 2
2 2
2 2
2
1 1
σ β
α σ
β α
ε β
α β
α ε
β α
ε
= +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ =
⎥ ⎦
⎤ ⎢
⎣ ⎡
+ =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+
i i
i i
i i
i i
X X
E X
X E
X Var
Faktor gangguan yang baru adalah homoskedastik. Namun pada model transformasi yang digambarkan pada 4.9 diatas tidak operasional dalam
kasus ini. Hal ini disebabkan nilai-nilai
α
dan β tidak diketahui. Tetapi
karena regresi bisa diperoleh, maka transformasi dapat dilakukan
melalui dua langkah berikut :
i i
X Y
β α ˆ
ˆ ˆ
+ =
Pertama, lakukan regresi OLS biasa tanpa memperhatikan heteroskedastisitas yang terkandung dalam data dan mendapatkan
. Dengan menggunakan taksiran
, kita mentransformasikan model sebagai berikut :
i
Yˆ
i
Yˆ
4.10
i i
i i
i i
i
Y Y
X Y
Y Y
ˆ ˆ
ˆ 1
ˆ
ε β
α
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
=
.
Kedua, lakukan regresi 4.10 untuk mendapatkan
α
dan β . Secara
umum, jika heteroskedastisitas berbentuk
[ ]
i i
i
X f
E
2 2
2
σ σ
ε
= =
, maka versi transformasi dari model bisa diperoleh dengan membagi keseluruhan
komponen model aslinya dengan
i
X f
.
4.2 Pembahasan
Heteroskedastisitas pada suatu data dapat menimbulkan konsekuensi serius pada estimator OLS karena estimator yang diperoleh dengan metode OLS
tidak lagi mempunyai varians yang minimum sehingga menyebabkan perhitungan standard error metode OLS tidak lagi bisa dipercaya kebenarannya dalam
pengujian hipotesis. Oleh karena itu sangat penting untuk mengetahui ada tidaknya heteroskedastisitas pada suatu data dan pendeteksian ini dapat dilakukan
dengan pengujian korelasi rank Spearman. Heteroskedastisitas sering kali terjadi pada data cross-section seperti
dalam contoh kasus ini berikut ini, yaitu data jumlah tenaga kerja dan output yang dihasilkan industri ISIC 3 digit tahun 1993 Widarjono, 2007:151. Data ini
merupakan data cross-section karena data ini terdiri dari 30 jenis industri dan masing-masing jenis industri tentu mempunyai skala yang berbeda-beda sehingga
tingkat penyerapan tenaga kerja juga berbeda-beda. Datanya sebagai berikut : Klasifikasi industri besar dan
sedang ISIC 3 digit Jumlah tenaga
kerja orang Jumlah output yang
dihasilkan rupiah 311 Makanan
312 Makanan 313 Minuman
314 Pengolahan tembakau dan 369248
143493 21127
184304 18740153851
3488229886 829310486
8215641238
