Penggunaan Teori Graph Dalam Perhitungan Koefisien Korelasi Rank Kendall (τ)

PENGGUNAAN TEORI GRAPH DALAM PERHITUNGAN KOEFISIEN

KORELASI RANK KENDALL (

SKRIPSI

OKTAVIA BR TARIGAN

090823075

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

PENGGUNAAN TEORI GRAPH DALAM PERHITUNGAN KOEFISIEN

KORELASI RANK KENDALL (

SKRIPSI

Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains

OKTAVIA BR TARIGAN

090823075

DEPARTEMEN MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2011

PERSETUJUAN

Judul : PENGGUNAAN TEORI GRAPH DALAM

PERHITUNGAN KOEFISIEN KORELASI RANK KENDALL (

Kategori : SKRIPSI

Nama : OKTAVIA BR TARIGAN

Nomor Induk Mahasiswa : 090823075

Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA

Departemen : MATEMATIKA

Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN

ALAM (MIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

Diluluskan di

Medan, 22 Juni 2011

Komisi Pembimbing :

Pembimbing 2 Pembimbing 1

Drs.Pasukat sembiring , M. Si Drs.Ujian Sinulingga, M. Si NIP. 195311131985031002 NIP. 195603031984031004

Diketahui /Disetujui oleh

Departemen Matematika FMIPA USU

Ketua,

Prof. Dr. Tulus, M.Si

PERNYATAAN

PENGGUNAAN TEORI GRAPH DALAM PERHITUNGAN KOEFISIEN KORELASI RANK KENDALL (

SKRIPSI

Saya mengakui bahwa skripsi ini hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing – masing disebutkan sumbernya.

Medan, juni 2011

Oktavia Br Tarigan 090823075

PENGHARGAAN

Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Tuhan Yang Maha Esa dengan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Skripsi ini disusun sebagai syarat untuk mendapatkan gelar sarjana pada jurusan Matematika di FMIPA USU.

Dengan kerendahan hati penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, tetapi penulis berharap kiranya skripsi ini dapat menambah bahan bacaan yang bermanfaat bagi siapa saja yang membacanya. Selama proses penulisan skripsi ini penulis banyak mendapat bantuan moril maupun materil dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terimakasih yang sebesar-besarnya kepada :

1. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si dan Drs. Pasukat Sembiring, M.Si, selaku

pembimbing pada penyelesaian skripsi ini yang telah memberi panduan dan penuh kepercayaan kepada saya untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat serta profesional telah diberikan agar penulis dapat menyelesaikan tugas ini.

2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si selaku ketua dan Sekretaris Departemen

Matematika FMIPA USU.

3. Dekan dan Pembantu Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan

Alam Universitas Sumatera Utara

4. Seluruh dosen pengajar pada Departemen Matematika FMIPA USU yang telah

membagikan ilmunya serta bimbingan dan arahan kepada penulis dan seluruh staff pegawai yang telah memberikan bantuan dalam penyelesaian skripsi ini.

5. Ayahanda tercinta S. Tarigan Tambun dan Ibunda tercinta M Br Sitepu, kakak

serta adik - adik ku atas segala dukungan yang diberikan baik moril maupun materil selama penyelesaian skripsi ini.

6. Sahabat-sahabatku yang telah banyak memberi dorongan semangat dan atas

semua bantuannya.

Akhirnya penulis berharap kiranya Tuhan Yang Maha Esa membalasnya kebaikan dari semua pihak dan kiranya tulisan ini bermanfaat bagi pembaca khususnya bagi penulis.

ABSTRAK

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini yaitu bagaimana suatu complete asymmetric digraph sebagai suatu adjacency matriks dapat digunakan untuk menentukan nilai koefisien korelasi rank kendall ( ). Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa suatu complete asymmetric digraph sebagai suatu adjacency matriks dapat digunakan untuk menentukan koefisien korelasi rank kendall ( ).

Kata Kunci: graph berarah, complete asymmetric digraph, adjacency matriks dan koefisien korelasi rank kendall ( ).

USING GRAPH THEORY TO FIND COEFFICIENT CORRELATION RANK KENDALL ( )

ABSTRACT

The problem which is discussed in this research is how to use a complete asymmetric digraph as a adjacency matrix to find value of coefficient correlation rank kendall ( ). The result obtained from this research is that a complete asymmetric digraph can be used to find value of coefficient correlation rank kendall ( ).

Keywords: directed graph, complete asymmetric digraph, adjacency matrix and coefficient correlation rank kendall ( )

DAFTAR ISI

Halaman

PERSETUJUAN ii

PERNYATAAN iii

PENGHARGAAN iv

ABSTRAK vi

ABSTRACK vii

DAFTAR ISI viii

DAFTAR TABEL x

DAFTAR GAMBAR xi

BAB 1 PENDAHULUAN 1

1.1Latar Belakang 1

1.2Perumusan Masalah 3

1.3Tinjauan Pustaka 3

1.4Batasan Masalah 4

1.5Tujuan Penelitian 4

1.6Kontribusi Penelitian 4

1.7Metode Penelitian 5

BAB 2 LANDASAN TEORI 6

2.1Pembagian Ilmu Statistik 6

2.2Langkah – langkah Pemilihan Metode Statistik 7

2.3Klasifikasi Data 9

2.4Statistik Nonparametrik 10

2.5Keunggulan Statistik Nonparametrik 11

2.6Keterbatasan Statistik Nonparametrik 12

2.7Korelasi 12

2.7.1 Pengertian Korelasi 12

2.7.2 Koefisien Korelasi 13

2.7.4 Koefisien Rank Korelasi 14

2.7.5 Koefisien Korelasi Rank Kendall ( ) 14

2.7.6 Metode Perhitungan Koefisien Korelasi Rank

Kendall ( ) 14

2.8 Graph Teori 16

2.8.1 Konsep Dasar Graph 16

2.8.2 Graph Tak Berarah (Undirected Graph) 19

2.8.3 Representasi Graph Tidak Berarah (Undirected Graph)

Dalam Matriks 20

2.8.4 Graph berarah (Directed) 23

2.8.4.1 Representasi Graph Berarah (Digraph)

dalam Matriks 24

2.8.4.2 Complete Digraph 25

2.8.4.3 Asymmetric Digraph 25

2.8.4.4 Complete Asymmetric Digraph 26

BAB 3 PEMBAHASAN 27

3.1 Bentuk Graph Sebagai suatu Adjacency Matriks dalam

Menentukan Koefisien Korelasi Rank Kendall ( ) 27

3.2 Penggunaan Model 30

BAB 4 KESIMPULAN DAN SARAN 41

4.1 Kesimpulan 41

4.2 Saran 41

DAFTAR PUSTAKA 42

DAFTAR TABEL

Halaman

Table 3.1 Data Pengamatan Dokter Kepala Bagian Penyakit Dalam

Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi 30

Table 3.2 Ranking Pengamatan Dokter Kepala Bagian Penyakit Dalam

Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi 34

Tabel 3.3 Susunan perankingan Pengamatan Dokter Kepala Bagian

Penyakit Dalam Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi. 35

Tabel 3.4 pasangan yang terurut secara natural (+1) dan pasangan yang

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1 Simple Graph 16

Gambar 2.2 Graph G(6,11) 17

Gambar 2.3 complete graph 19

Gambar 2.4 graph G(5,8) 21

Gambar 2.5 digraph dengan 4 verteks dan 6 arcs 24

Gambar 2.6 complete digraph 25

Gambar 2.7 Asymmetric Digraph 25

Gambar 2.8 Complete Asymmetric Digraph 26

ABSTRAK

Masalah yang dibahas dalam penelitian ini yaitu bagaimana suatu complete asymmetric digraph sebagai suatu adjacency matriks dapat digunakan untuk menentukan nilai koefisien korelasi rank kendall ( ). Hasil dari penelitian ini menunjukkan bahwa suatu complete asymmetric digraph sebagai suatu adjacency matriks dapat digunakan untuk menentukan koefisien korelasi rank kendall ( ).

Kata Kunci: graph berarah, complete asymmetric digraph, adjacency matriks dan koefisien korelasi rank kendall ( ).

USING GRAPH THEORY TO FIND COEFFICIENT CORRELATION RANK KENDALL ( )

ABSTRACT

The problem which is discussed in this research is how to use a complete asymmetric digraph as a adjacency matrix to find value of coefficient correlation rank kendall ( ). The result obtained from this research is that a complete asymmetric digraph can be used to find value of coefficient correlation rank kendall ( ).

Keywords: directed graph, complete asymmetric digraph, adjacency matrix and coefficient correlation rank kendall ( )

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1Latar Belakang

Korelasi adalah studi yang membahas tentang derajat hubungan antara dua variabel atau lebih. Korelasi merupakan salah satu teknik analisis statistika yang banyak digunakan oleh peneliti karena peneliti umumnya tertarik terhadap peristiwa-peristiwa yang terjadi dan mencoba menghubungkannya. Besarnya tingkat keeratan hubungan antara dua variabel atau lebih dapat diketahui dengan mencari besarnya angka korelasi yang biasa disebut dengan koefisien korelasi.

Metode statistika nonparametrik sering disebut metode bebas sebaran (distribution free) karena model uji statistiknya tidak menetapkan syarat-syarat tertentu tentang bentuk-bentuk distribusi parameter populasinya. Uji satistik nonparametrik hanya menetapkan asumsi/persyaratan bahwa observasi-observasinya harus independen dan bahwa variabel yang diteliti pada dasarnya harus memiliki kontinyuitias. Banyak diantara uji-uji statistik nonparametrik kadangkala disebut sebagai uji ranking, Karena teknik-teknik nonparametrik ini dapat digunakan untuk skor yang bukan skor eksak dalam pengertian keangkaan, melainkan berupa skor yang

semata-mata berupa jenjang-jenjang (ranks).

Salah satu metode pengukuran koefisien korelasi nonparametrik adalah koefisien korelasi rank kendall. Koefisien korelasi rank kendall pertama sekali dikemukakan oleh Maurice G. kendall pada tahun 1938. Koefisien korelasi rank

kendall dinotasikan dengan (tau). Koefisien korelasi rank Kendall ( digunakan untuk mencari hubungan dan menguji hipotesis antara dua variabel atau lebih, bila datanya berbentuk ordinal atau ranking.

Derajat keeratan antara dua peubah dapat ditunjukkan oleh rasio

(perbandingan) antara score +1 dan -1 yang sebenarnya (score actual) dengan

maximum score yang dapat dicapai. +1 diberikan untuk pasangan yang tersusun secara natural dan -1 diberikan untuk pasangan yang tidak tersusun secara natural.

Koefisien korelasi rank kendall ( ) mempunyai kelebihan bila dibandingkan

dengan koefisien korelasi rank spearman (rs). bersifat lebih umum karena dapat

dihitung seperti sebaran normal dan dapat dicari koefisien korelasi parsilnya.

Teori graph pertama kali diperkenalkan oleh Leonard Euler pada tahun 1736 ketika dia membuktikan kemungkinan untuk melewati empat daerah yang terhubung dengan tujuh jembatan di atas sungai Pregel di Königsberg, Rusia dalam sekali jalan melewati tiap jembatan tepat sekali saja dan kembali ke tempat semula. Masalah jembatan Königsberg tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk graph dengan menetukan keempat daerah itu sebagai titik (verteks) dan ketujuh jembatan sebagai sisi (edge) yang menghubungkan pasangan verteks yang sesuai.

Perhitungan menggunakan graph theory dilakukan dengan membentuk

complete asymmetric digraph dengan vertex adalah setiap objek-objek pada

penelitian. Complete asymmetric digraph kemudian dituangkan ke dalam adjancency

matrix. Dari adjancency matrix yang terbentuk dapat dihitung score actualnya. Dan

untuk score maximum yang dapat dicapai adalah sama dengan jumlah edges dengan n

vertex pada complete asymmetric digraph. Banyaknya arc dapat diperoleh dari . Sehingga diperoleh koefisien korelasi rank kendall ( ) adalah rasio (perbandingan)

1.2Perumusan Masalah

Yang menjadi permasalahan dalam tulisan ini adalah bagaimana bentuk digraph

sebagai suatu adjacency matrix digunakan pada penentuan koefisien korelasi rank

kendall ( ).

1.3Tinjauan Pustaka

Suatu graph G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik – titik tidak kosong yang disebut dengan verteks (symbol V(G)) dan himpunan garis – garis yang disebut dengan edge (simbol E(G)). [6][7]

Suatu graph tak berarah (undirected graph) merupakan kumpulan dari titik

yang disebut dengan verteks dan segmen garis yang menghubungkan dua verteks yang disebut edge. Secara matematis, sebuah graph G didefenisikan sebagai pasangan

himpunan dimana merupakan himpunan tidak kosong dari verteks – verteks

(simpul atau titik) dan merupakan himpunan tak terurut dari edge (sisi) yang

menghubungkan sepasang verteks. Atau dapat dinotasikan dengan . [2][6]

Suatu graph berarah (digraph) didefenisikan sebagai pasangan himpunan

, dimana merupakan himpunan tidak kosong dari verteks – verteks

(simpul atau titik) dan himpunan terurut yang menghubungkan sepasang verteks

1.4Batasan Masalah

Untuk memperjelas dan memudahkan penelitian ini agar tidak menyimpang dari sasaran yang dituju maka penulis melakukan pembatasan masalah sebagai berikut:

1. Graph yang digunakan adalah graph berarah (digraph) yang tidak berbobot.

2. Graph sederhana (tidak memuat loop dan arc paralel)

3. Penelitian ini hanya menggunakan jumlah sampel sebanyak 20 sebagai data

simulasi.

1.5Tujuan Penelitian

Tulisan ini diharapkan dapat memperkenalkan model ( cara ) lain untuk menghitung

koefisien korelasi rank kendall . Pada tulisan ini dikenalkan cara menghitung

koefisien korelasi rank kendall menggunakan teori graph.

1.6Kontribusi Penelitian

Hasil dari pemecahan masalah dalam tulisan ini diharapkan dapat memberi manfaat yaitu mendapatkan cara lain untuk mencari nilai koefisien korelasi rank kendall dengan menggunakan graph berarah (digraph).

1.7Metodologi Penelitian

Langkah-langkah untuk menentukan koefisien korelasi rank kendall ( ) melalui

pendekatan teori graphyaitu:

1. Membentuk complete asymmetric digraph dengan vertex adalah setiap objek

pada penelitian.

2. Membentuk adjacency matrix yang diperoleh dari complete asymmetric

digraph.

3. Menghitung score actual dari adjacency matrix yang terbentuk.

4. Menghitung score maximum yang mungkin. Score maximum sama dengan

jumlah arcs dengan n vertex pada complete asymmetric digraph. Banyaknya

arcs dapat diperoleh dari .

5. Mensubsitusikan score actual dan score maximum yang mungkin ke dalam

rumus koefisien korelasi rank kendall ( ) dengan pendekatan melalui graph

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Pembagian Ilmu Statistik

Secara garis besar ilmu statistik dibagi menjadi dua bagian yaitu:

1. Statistik Parametrik

Statistik parametrik adalah ilmu statistik yang digunakan untuk data – data yang memiliki distribusi normal. Jika data tidak berdistribusi normal maka statistik nonparametrik dapat digunakan. Apa yang dapat dilakukan jika data tidak berdistribusi secara normal, namum statistik parametrik tetap ingin digunakan? Untuk kasus seperti ini data harus ditransformasikan terlebih dahulu. Transformasi data perlu dilakukan agar data mengikuti distribusi normal. Bagaimana cara melakukan tranformasi data tidak dibahas dalam tulisan ini.

2. Statistik nonparametrik

Statistik nonparametrik disebut juga statistik bebas distribusi. Statistik nonparametrik tidak mensyaratkan bentuk distribusi parameter populasi. Statistik nonparametrik dapat digunakan pada data yang memiliki distribusi normal atau tidak. Statistik nonparametrik biasanya digunakan untuk melakukan analisis pada data nominal atau ordinal.

Contoh metode statistik nonparametrik antara lain adalah Median test, Friedman test, korelasi rank Kendall, korelasi rank Spearman, dan lain – lain.

2.2Langkah – Langkah Pemilihan Metode Statistik

Metode statistik nonparametrik digunakan bila salah satu syarat dalam statistik parametrik tidak terpenuhi. Syarat – syarat yang perlu diperhatikan untuk menentukan statistik apa yang digunakan dalam analisis, yaitu:

1. Apakah distribusi data diketahui?

Jika distribusi data tidak diketahui maka statistik yang sesuai adalah statistik nonparametrik. Jika distribusi data diketahui, maka kita harus melihat jenis distribusi data tersebut.

2. Apakah data berdistribusi normal?

Jika data tidak berdistribusi normal, maka statistik yang sesuai adalah statistik nonparametrik. Jika data berdistribusi normal, maka statistik yang sesuai adalah statistik parametrik.

3. Apakah sampel ditarik secara random?

Jika sampel tidak ditarik secara random maka statistik yang digunakan adalah statistik nonparametrik. Jika sampel ditarik secara random maka statistik yang digunakan adalah statistik parametrik.

4. Apakah varians kelompok sama?

Jika varians kelompok tidak sama, maka statistik yang sesuai adalah statistik nonparametrik. Jika varians kelompok sama, maka statistik yang sesuai adalah statistik parametrik.

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

Jika skala pengukuran data nominal dan ordinal, maka statistik yang sesuai adalah statistik nonparametrik. Jika skala pengukuran data interval dan rasio, maka statistik yang sesuai adalah statistik parametrik.

Langkah – langkah pemilihan metode statistik dapat dilihat pada gambar berikut ini: tidak ya tidak ya tidak ya tidak ya Distribusi populasi diketahui? Distribusi populasi normal?? Skala pengukuran ?? Varians kelompok sama ?? Sampel ditarik random ??

data

STATISTIK NONPARAMETRIK STATISTIK PARAMETRIK Interval dan rasio Nominal dan ordinal

2.3 Klasifikasi Data

Secara umum dapat dikatakan bahwa tujuan diadakannya suatu observasi adalah memperoleh keterangan tentang bagaimana kondisi suatu objek pada berbagai keadaan yang ingin diperhatikan. Sebelum melakukan observasi terhadap variabel yang akan diukur, terlebih dahulu perlu ditentukan skala pengukurannya, karena akan mempengaruhi metode statistika yang akan digunakan.

Dergibson Siagian dan Sugiarto (2000, Hal: 19) menyatakan bahwa dalam statistika dibedakan empat macam skala pengukuran yang mungkin dihasilkan yaitu:

1. Skala Nominal

Skala nominal merupakan pengukuran yang paling sederhana. Nominal berasal dari kata ‘name’. Skala ini mengklasifikasikan (menggolongkan) setiap objek atau kejadian ke dalam kelompok yang menunjukkan kesamaan atau perbedaan ciri-ciri objek. Dengan skala nominal,hasil pengukuran bisa dibedakan tetapi tidak bisa diurutkan mana yang lebih tinggi, mana yang lebih rendah, mana yang utama dan mana yang bisa dikesampingkan. Setiap observasi harus dimasukkan pada satu kategori saja tidak boleh lebih. Sebagai contoh adalah variabel jenis kelamin (pria dan wanita).

2. Skala Ordinal

Dengan menggunakan skala ordinal,objek-objek juga dapat digolongkan dalam kategori tertentu. Ukuran pada skala ordinal tidak memberika nilai absolute pada objek, tetapi hanya urutan (ranking) relative saja sehingga kita dapat mementukan mana yang lebih besar atau kecil (secara umum mana yang lebih dan mana yang kurang). Sebagai contoh adalah status sosial (rendah, sedang, tinggi).

3. Skala Interval

Skala interval memberikan ciri angka kepada kelompok objek yang mempunyai skala nominal dan ordinal, ditambah dengan urutan yang sama pada urutan objeknya.

Data skala interval diberikan apabila kategori yang digunakan bisa dibedakan, diurutkan, mempnyai jarak tertentu, tetapi tidak bisa dibandingkan. Data skala interval diperoleh sebagai hasil pengukuran dan biasanya mempunyai satuan pengukuran. Cirri penting dari skala interval adalah datanya bisa ditambahkan, dikurangi, digandakan, dan dibagi tanpa mempengaruhi jarak relatif skor-skornya. Sebagai contoh, dalam penilaian kinerja karyawan ( dengan skala 0 – 100 ), A mendapat penilaian 40 dan B mendapat penilaian 80 bukan berarti kinerja B dua kali kinerja A.

4. Skala Rasio

Skala rasio mempunyai semua sifat skala interval ditambah satu sifat lain, yaitu memberikan keterangan tentang nilai absolute dari objek yang diukur. Skala rasio merupakan skala pengukuran yang ditujukan pada hasil pengukuran yang bisa dibedakan, diurutkan, mempunyai jarak tertentu, dan bisa dibandingkan. Sebagai contoh adalah umur, nilai uang, tinggi badan, dan lain sebagainya.

2.4 Statistik Nonparametrik

Istilah nonparametrik pertama kali digunakan oleh Wolfwitz pada tahun 1942. Metode statistik nonparametrik merupakan metode statistik yang dapat digunakan dengan mengabaikan asumsi – asumsi yang melandasi penggunaan metode statistik parametrik terutama yang berkaitan dengan distribusi normal. Istilah lain yang sering

digunakan untuk statistik nonparametrik adalah statistik bebas distribusi (

banyak digunakan pada penelitian – penelitian sosial. Data yang diperoleh pada penelitian sosial pada umumnya berbentuk kategori atau berbentuk ranking.

Uji statistik nonparametrik adalah suatu uji statistik yang tidak memerlukan adanya asumsi – asumsi mengenai distribusi data populasi. Uji statistik ini disebut

juga sebagai statistik bebas distribusi (distribution free). Statistik nonparametrik tidak

mensyaratkan bentuk distribusi parameter populasi berdistribusi normal. Statistik nonparametrik dapat digunakan untuk menganalisis data yang berskala nominal atau ordinal karena pada umumnya data berjenis nominal dan ordinal tidak berdistribusi normal. Dari segi jumlah data, pada umumnya statistik nonparametrik digunakan untuk data berjumlah kecil (n < 30).

2.5 Keunggulan Statistik Nonparametrik

Keunggulan statistik nonparametrik diantaranya:

1. Jika pengujian data menunjukkan bahwa salah satu atau beberapa asumsi yang

mendasari uji statistik parametrik (misalnya mengenai sifat distribusi data) tidak terpenuhi, maka statistik nonparametrik lebih sesuai diterapkan dibandingkan statistik parametrik.

2. Uji - ujinya lebih sederhana dan dapat dilaksanakan dengan cepat dan mudah,

sehingga hasil penelitiannya segera dapat disampaikan.

3. Untuk memahami uji – uji dalam statistik nonparametrik tidak memerlukan

dasar matematika serta statistika yang mendalam.

4. Uji – uji pada statistik nonparametrik dapat diterapkan jika kita menghadapi

keterbatasan data yang tersedia, misalnya jika data telah diukur menggunakan skala pengukuran yang lemah (nominal atau ordinal).

5. Efisiensi statistik nonparametrik lebih tinggi dibandingkan dengan metode

2.6 Keterbatasan Statistik Nonparametrik

Disamping keunggulan, statistik nonparametrik juga memiliki keterbatasan. Beberapa keterbatasan statistik nonparametrik antara lain:

1. Jika asumsi uji statistik parametrik terpenuhi, penggunaan uji nonparametrik

meskipun lebih cepat dan sederhana akan menyebabkan pemborosan informasi.

2. Jika jumlah sampel besar, tingkat efisiensi statistik nonparametrik relatif lebih

rendah dibandingkan dengan metode parametrik.

3. Statistik nonparametrik tidak dapat digunakan untuk membuat prediksi

(peramalan).

2.7 Korelasi

2.7.1Pengertian Korelasi

Korelasi adalah statistik yang menyatakan derajat hubungan antara dua variabel atau lebih tanpa memperlihatkan ada atau tidaknya hubungan kausal di antara variabel – variabel tersebut.

Dalam korelasi akan dijumpai bahwa dua variabel bernilai positif, negatif dan/atau nol. Dua variabel dikatakan berkorelasi positif jika kenaikan pada satu variabel diikuti oleh kenaikan variabel lainnya dan/atau penurunan pada satu variabel diikuti oleh penurunan variabel lainnya. Dengan kata lain dua variabel berkorelasi positif jika variabel – variabelnya cenderung berubah secara bersama. Dua variabel dikatakan berkorelasi negatif jika kenaikan pada satu variabel diikuti oleh penurunan pada variabel lainnya atau sebaliknya. Dengan kata lain variabel – variabelnya

cenderung berubah dalam arah yang berlawan. Dua variabel dikatakan berkorelasi nol jika perubahan satu variabel tidak ada hubungannya dengan variabel lainnya. Dengan kata lain dua variabel dikatakan tidak berkorelasi.

2.7.2 Koefisien Korelasi

Besarnya tingkat keeratan hubungan antara dua variabel dapat diketahui dengan mencari besarnya angka korelasi yang disebut koefisien korelasi. Koefisien korelasi dinyatakan dengan lambang . Jika yang diukur adalah korelasi antara variabel x

dengan variabel y dinotasikan dengan .

Nilai dari koefisien korelasi berada diantara -1 dan +1. Jika dua variabel berkorelasi positif maka nilai koefisien korelasi akan mendekati +1, jika dua variabel berkorelasi negative maka nilai koefisien korelasi akan mendekati -1, jika dua variabel tidak berkorelasi maka nilai koefisien korelasi akan bernilai 0. Sehingga besarnya nilai

koefisien korelasi dapat ditulis dalam pertidaksamaan .

2.7.3 Koefisien Determinasi

Koefisien determinasi merupakan pangkat dua dari koefisien korelasi, dinotasikan

dengan . Koefisien determinasi yaitu koefisien yang menunjukkan/menentukan

berapa besar peranan variabel x dalam menentukan besarnya y.

Apabila suatu variabel x mempunyai korelasi dengan variabel y dengan

determinasinya adalah yang menyatakan besarnya persentase x menjelaskan y.

2.7.4 Koefisien Rank Korelasi

Untuk data ; i = 1, 2, 3, …, n yang berskala ordinal maka koefisien korelasi

antara x dan y dihitung berdasarkan statistika nonparametrik yang disebut dengan koefisien rank korelasi. Koefisien rank korelasi pada statistika nonparametrik antara lain koefisien rank korelasi Spearman, Kendall, Somer, Crammer dan sebagainya.

2.7.5 Koefisien Korelasi Rank Kendall

Koefisien korelasi rank kendall mempunyai kegunaan untuk mengukur derajat hubungan dari dua peubah yang pengukurannya minimal dalam skala ordinal. Metode ini dikemukakan untuk pertama kalinya oleh Maurice G. Kendall pada tahun 1938. Koefisien korelasi rank kendall dinotasikan dengan .

2.7.6 Metode Perhitungan Koefisien Korelasi Rank Kendall ( )

Koefisien korelasi rank kendall ( ) dapat diperoleh dengan cara membandingkan score actual dengan score maximum yang mungkin dicapai. Atau dengan kata lain score actual adalah score +1 dan -1 yang sebenarnya. +1 diberikan untuk pasangan yang tersusun secara natural dan -1 diberikan untuk pasangan yang tidak tersusun secara natural. Sedangkan score maksimum yang mungkin dicapai ditentukan oleh susunan

yang dapat diuraikan menjadi . Sehingga koefisien korelasi rank Kendall ( ) dapat dirumuskan :

Selanjutnya score actual diberi symbol S, dan score maksimum ditentukan

oleh susunan , dimana n adalah jumlah objek atau individu pada variabel random X

dan Y. Secara matematis dapat ditulis:

Atau

Dimana : S = score actual (jumlah score +1 dan -1)

n = jumlah objek atau individu pada variabel random X dan Y

Ada kalanya pada variabel random X dan Y mempunyai objek yang sama atau sering disebut dengan rank kembar. Jika ada dua atau lebih nilai pengamatan (baik untuk variabel random X atau Y) yang sama, maka nilai – nilai tersebut diberi rank rata – rata. Pengaruh dari nilai rank kembar tersebut adalah merubah besarnyanilai penyebut pada rumus koefisien korelasi rank kendall ( ). Dalam hal ini rumus koefisien korelasi rank kendall ( ) menjadi:

Dimana : S = score actual (jumlah score +1 dan -1)

n = jumlah objek atau individu pada variabel random X dan Y

= ; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok

kembarnya untuk variabel X

= ; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok

kembarannya untuk variabel Y

2.8 Graph Theory

2.8.1 Konsep Dasar Graph

Defenisi 2.1 Graph

Suatu graph G terdiri dari dua himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik – titik tidak kosong yang disebut dengan verteks yang disimbolkan dengan V(G) dan himpunan garis – garis yang disebut dengan edge yang disimbolkan dengan E(G).

Defenisi 2.2 Loop, Edge Paralel dan Simpel Graph

Sebuah edge yang menghubungkan pasangan verteks yang sama yakni disebut

loop. Dua edge yang berbeda yang menghubungkan verteks yang sama disebut edge paralel. Dan jika ada suatu graph yang tidak memuat loop dan edge paralel disebut simple graph (graph sederhana).

V1 e6 V4

e1 e2 e3 e4

V2 e5 V3

Defenisi 2.3 incident dan adjacent

Suatu edge dalam suatu graph G dengan verteks – verteks ujung dan disebut

saling insiden dengan dan sedangkan dan disebut dua buah verteks yang

saling adjacent. Dua buah edge dan disebut saling adjacent jika kedua edge

tersebut incident pada suatu verteks persekutuan. Sebagai contoh dapat dilihat pada gambar 2.2.

e7

V1 e5 V6 e8

e1 e4 e2 e6 V5

e9 e11

V2 e3 V3 e10 V4

Gambar 2.2 Graph G(6,11)

Dari graph diatas dapat dilihat bahwa dan adalah lima buah edge

yang incident dengan verteks . Sedangkan dan merupakan dua buah edge

yang adjacent dan dengan adalah dua buah verteks yang adjacent.

Defenisi 2.3 Degree

Degree dari sebuah verteks dalam graph G adalah jumlah edge yang incident

dengan , dengan loop dihitung dua kali. Degree dari sebuah verteks dinotasikan

dengan . Bila jumlah edge yang incident dengan jumlah verteks adalah n

maka degree dari adalah n dan dinotasikan dengan .

Sebagai contoh, pada gambar 2.2dapat dilihat bahwa = = 3, = 5 ,

= = 2, dan = 6

Jika pada suatu graph ada suatu verteks yang tidak incident dengan suatu edge atau dengan kata lain degree dari verteks tersebut sama dengan nol. Verteks itu dinamakan isolated verteks (verteks terasing).

Defenisi 2.4 Graph Lengkap (Complete Graph)

Graph lengkap (complete graph) dengan n verteks (disimbolkan dengan ) adalah

graph sederhana dengan n verteks, dimana setiap 2 verteks bebeda dihubungkan dengan suatu edge.

Teorema 2.4.1

Banyaknya edge dalam suatu graph lengkap dengan n verteks adalah atau

buah.

Bukti

Misalkan G adalah suatu graph lengkap dengan n verteks . Ambil

sembarang verteks (sebutlah ). Karena G merupakan graph lengkap, maka

dihubungkan dengan verteks lainnya ). Jadi ada buah

edge.

Selanjutnya, ambil sembarang verteks kedua (sebutlah ). Karena G adalah graph

lengkap, maka juga dihubungkan dengan semua verteks sisanya

sehingga ada buah edge yang berhubungan dengan . Salah satu edge

tersebut dihubungkan dengan . Garis ini sudah diperhitungkan pada waktu

menghitung banyaknya edge yang berhubungan dengan . Jadi ada edge

yang belum diperhitungkan.

Proses dilanjutkan dengan menghitung banyaknya edge yang berhubungan dengan dan yang belum diperhitungkan sebelumnya. Banyak edge yang

didapat berturut – turut adalah : , , …, 3, 2, 1.

Jadi secara keseluruhan terdapat buah edge.

Sebagai contoh dapat dilihat gambar 2.3 dibawah ini:

K2 K3 K4 K5

Gambar 2.3 complete graph

2.8.2 Graph Tak Berarah ( undirected Graph )

Suatu graph tak berarah (undirected graph) merupakan kumpulan dari titik yang disebut verteks dan segmen garis yang menghubungkan dua verteks yang disebut edge. Secara matematis, sebuah graph G didefenisikan sebagai pasangan himpunan

( ).

Dimana: = himpunan tak kosong dari verteks – verteks (simpul atau titik) =

= himpunan tak terurut dari edge (sisi) yang menghubungkan sepasang verteks.

Atau dapat dinotasikan dengan

Defenisi diatas menyatakan bahwa dimana V tidak boleh kosong,

sedangkan E mungkin kosong sehingga sebuah graph dimungkinkan tidak mempunyai edge satu buahpun tetapi harus memiliki verteks minimal satu.

2.8.3 Representasi Graph Tidak Berarah (Undirected graph) dalam Matriks

Matriks dapat digunakan untuk menyatakan suatu graph. Untuk menyelesaikan suatu permasalahan model graph dengan bantuan komputer maka graph tersebut dapat disajikan dalam bentuk matriks. Matriks – matriks yang dapat menyajikan model graph tersebut antara lain:

1. Matriks Ruas

Matriks ruas adalah matriks yang berukuran atau yang

menyatakan ruas (edge) dari graph. Matriks ini tidak dapat mendeteksi adanya verteks terpencil.

2. Matriks adjacency

Matriks adjacency merupakan matriks simetri. Matriks adjacency digunakan untuk menyatakan graph dengan cara menyatakannya dalam jumlah edge yang menghubungkan verteks – verteksnya. Jumlah baris dan kolom matriks adjacency sama dengan jumlah verteks dalam graph. Sehingga matriks hubungnya berbentuk matriks bujur sangkar.

Defenisi matriks adjacency:

Misalkan G adalah graph tak berarah dengan verteks (n

berhingga). Matriks hubung yang sesuai dengan graph G adalah matriks

dengan = jumlah edge yang menghubungkan verteks dengan

verteks ; .

Karena jumlah edge yang menghungkan verteks dengan verteks selalu

sama dengan jumlah edge yang menghubungkan dengan verteks maka

jelas bahwa matriks adjacency selalu merupakan matriks yang simetris

Notasi dari matiks adjacency yaitu:

1 jika ada edge dari verteks ke verteks

=

3. Matriks Incidence

Matriks incidence adalah matriks yang menghubungkan verteks dengan edge. Notasi dari matriks incidence yaitu:

1 jika verteks terhubung ke edge

= 2 jika edge menghubungkan verteks ke verteks

0 dalam hal lain

4. Matriks Connection

Matriks connection dapat mendeteksi suatu graph terhubung atau tidak. Graph terhubung jika dan hanya jika matriks tidak mengandung elemen nol. Tetapi matriks connection tidak ada mendeteksi adanya edge sejajar dan loop.

Notasi dari matriks connection yaitu:

1 bila atau ada edge dari verteks ke verteks

=

0 Dalam hal lain

Sebagai contoh untuk graph seperti dibawah ini:

e5

V1 e4 V4 e8 V5

e1 e2 e6 e7

V2 e3 V3

Maka, Matriks ruas:

Atau

Matriks adjacency:

Matriks Incidence:

Matriks connection:

2.8.4 Graph Berarah ( Directed Graph )

Suatu graph berarah (digraph) D adalah merupakan suatu pasangan dari himpunan

{V(D), A(D)} dimana V(D) = adalah himpunan berhingga yang tidak

kosong yang elemennya disebut node/vertex dan A(D) = adalah suatu

Suatu vertex didalam digraph D disajikan dengan sebuah titik dan sebuah arc yang digambarkan berupa suatu penggalan garis dengan suatu anak panah dari vertex ke vertex . Sebagai contoh, gambar dibawah ini menampilkan suatu digraph yang terdiri dari empat verteks dan enam arcs.

V1

a1 a3

a2 V2

a4 a5

V3 a6 V4

Gambar 2.5 digraph dengan 4 verteks dan 6 arcs

2.8.4.1Representasi Graph Berarah (Digraph) dalam Matriks

Cara menyatakan graph berarah dalam matris sebenarnya tidaklah jauh berbeda dengan cara menyatakan graph tak berarah dalam suatu matriks. Perbedaannya hanya terletak pada keikutsertaan informasi tentang arah garis yang terdapat dalam graph berarah. Sebuah graph berarah dapat juga dipersentasekan dalam matriks adjacency, matriks incidence dan matriks sirkuit. Adapun reorentase matriks dalam graph berarah yang dibahas dalam tulisan ini adalah matriks adjacency.

Defenisi dari Matriks Adjacency tersebut adalah sebagai berikut:

Misalkan G adalah graph berarah yang terdiri dari n verteks tanpa arc paralel. Matriks hubung yang sesuai dengan graph G adalah matriks bujursangkar

dengan notasi

1 jika ada arc dari verteks ke verteks

=

2.8.4.2Complete Digraph

Digraph disebut sebagai complete digraph (graf berarah lengkap) jika setiap pasang vertex dihubungkan oleh sebuah arc. Atau sebuah graph adalah komplit jika setiap vertex terhubung ke setiap vertex yang lain. Pada gambar di bawah ini dapat dilihat suatu complete digraph.

V1

a1 a2 a3 a4

V2 a5 V3

a6 a7 a8 a9 V5 a10 V4 Gambar 2.6 complete digraph

2.8.4.3Asymmetric Digraph

Suatu digraph dikatakan sebagai asymmetric digraph jika pada digraph yang terbentuk memiliki paling banyak satu arc antara sepasang vertex tanpa loop. Dengan kata lain tidak ada arc yang memiliki arc balik. Pada gambar dibawah ini dapat dilihat suatu asymmetric digraph.

V1 a1 a2

V2 V3

a3 a4

V4

2.8.4.4Complete Asymmetric Digraph

Complete asymmetric digraph adalah suatu asymmetric digraph dimana terdapat tepat satu antara setiap pasang vertex. Complete asymmetric digraph dengan vertices

mengandung arcs.

Bukti

Misalkan D adalah suatu complete asymmetric digraph dengan n verteks

. Ambil sembarang verteks (sebutlah ). Karena D merupakan

complete asymmetric digraph, maka dihubungkan dengan verteks lainnya

). Jadi ada buah arc.

Selanjutnya, ambil sembarang verteks kedua (sebutlah ). Karena D adalah complete

asymmetric digraph, maka juga dihubungkan dengan semua verteks sisanya

sehingga ada buah arc yang berhubungan dengan . Proses

dilanjutkan dengan menghitung banyaknya arc yang berhubungan dengan dan yang belum diperhitungkan sebelumnya. Banyak arc yang

didapat berturut – turut adalah : , , …, 3, 2, 1.

Jadi secara keseluruhan terdapat buah arc

Pada gambar dibawah ini dapat dilihat suatu contoh dari complete asymmetric digraph.

V1 a1 V2 a2 a3 a4 a5

V3 a6 V4

Complete asymmetric digraph dapat direpresentasikan dalam sebuah matriks

adjacency. Jumlah baris dan kolom adjacency matrix sama dengan jumlah vertex

dalam complete asymmetric digraph. Adjacency matrix yang sesuai adalah matrix

bujur sangkar , yaitu matriks A = dengan:

+1 jika ada arc dari titik ke dan ( ) tersusun secara natural

= -1 jika ada arc dari titik ke dan ( ) tidak tersusun secara natural

BAB 3

PEMBAHASAN

3.1 Bentuk Graph Sebagai Suatu Adjacency Matriks dalam Penentuan Koefisien Korelasi Rank Kendall ( )

Graph yang digunakan dalam penentuan koefisien korelasi rank kendall ( ) adalah

graph yang berarah (digraph), karena setiap objek pengamatan pada data yang

diberikan merupakan data berpasangan berurutan. Vertexnya adalah objek-objek

dalam penelitian. Dalam metode korelasi rank Kendall, objek-objek pengamatan dihubungkan kesetiap objek-objek berikutnya yaitu dari objek pertama ke objek kedua, kemudian dari objek pertama ke objek ke tiga, dan seterusnya sampai objek ke-n. Setelah itu dilanjutkan dari objek kedua ke objek ketiga, objek kedua ke objek keempat, dan seterusnya sampai objek n. Hal ini terus dilakukan sampai objek ke-(n-1) ke objek ke-n. Atau dengan kata lain, jika objek-objek pada penelitian adalah

vertex dalam graph maka dari pengertian di atas dapat dituliskan: (vi,vj) dengan i < j ; i,j = 1,2,3,…,n.

vi merupakan titik awal dan vj merupakan titik akhir, sehingga suatu arc dengan titik

ujung (vi,vj) menyatakan garis dari titik i dan titik j. Karena (vi,vj) dihubungkan hanya

sekali dengan i < j ; i,j = 1,2,3,…,n sehingga tidak ada garis paralel dan tidak ada arc

dengan titik ujung (vi,vi) maka graph yang terbetuk adalah suatu asymetric digraph.

Dan karena setiap pasang objek pada penelitian harus dihubungkan atau dengan kata

lain terdapat tepat satu arc antara setiap pasang vertex (vi,vj) dengan i < j ; i,j =

1,2,3,…,n maka bentuk graph yang digunakan dalam perhitungan adalah suatu

complete asymmetric digraph.

Complete asymmetric digraph yang terbentuk kemudian dituangkan ke dalam

vertex dalam complete asymmetric digraph. Adjacency matrix yang sesuai adalah

matrix bujur sangkar , yaitu matriks A = dengan:

+1 jika ada arc dari verteks ke dan ( ) tersusun secara natural

= -1 jika ada arc dari verteks ke dan ( ) tidak tersusun secara natural

1 jika tidak ada arc dari verteks ke

Sehingga terbentuk adjacency matrix-nya menjadi:

A=

Setelah adjacency matrix terbentuk dengan ketentuan seperti diatas,

selanjutnya ditentukan score actual dengan cara menjumlahkan nilai +1 dan -1 yang

diperoleh dari adjacency matrix. Kemudian menentukan score maximum yang

mungkin dicapai. Score maximum yang mungkin sama dengan banyaknya arcs dari

complete asymmetric digraph, sehingga score maximum dapat ditentukan dengan

dimana n adalah jumlah vertex dari complete asymmetric digraph.

Dengan demikian koefisien korelasi rank kendall ( dengan pendekatan

Atau

Untuk koefisien korelasi rank kendall dengan rank kembar maka rumus yang digunakan adalah :

Dengan: S = score actual

; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya

untuk peubah x

; t adalah jumlah rank kembaran tiap kelompok kembarnya

untuk peubah y

Selanjutnya kita dapat menyusun hipotesis nihil dan hipotesis alternative yang nantinya dapat diuji dengan uji hipotesis menggunakan rumusan:

Dimana : Z = test statistik untuk kendall rank korelasi = koefisien korelasi rank kendall

3.2 Penggunaan Model

Sebagai uji model perhitungan koefisien korelasi rank Kendall ( ) menggunakan graph theory, dicontohkan data berikut ini yang hanya merupakan data simulasi. Data simulasi diambil dari buku statistik nonparametrik edisi kedua karangan Samsubar Saleh. Berikut ini adalah data pengamatan dokter kepala bagian penyakit dalam terhadap 20 pasien penderita darah tinggi.

Table 3.1 Data Pengamatan Dokter Kepala Bagian Penyakit Dalam Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi

No Pasien Umur (Th) Tekanan Darah

1 A 56 147

2 B 42 125

3 C 72 160

4 D 36 118

5 E 63 149

6 F 47 128

7 G 55 150

8 H 49 145

9 I 38 115

10 J 42 140

11 K 68 152

12 L 60 155

13 M 50 148

14 N 43 127

15 O 39 125

16 P 71 173

17 Q 65 169

18 R 73 176

19 S 44 132

Untuk mendapatkan nilai skor maksimum dari data diatas maka dapat diperoleh dari jumlah arc maksimum yang diperoleh dari complete asymmetric digraph. 20 pasien

penderita darah tinggi menjadi verteks dari complete asymmetric digraph. Score

maximum sama dengan banyaknya arcs dari complete asymmetric digraph, sehingga

score maximum dapat ditentukan dengan dimana n adalah jumlah vertex dari

complete asymmetric digraph. Dari data diatas diketahui banyaknya n adalah 20,

sehingga score maksimum dapat diperoleh dari banyaknya arc dari complete asymmetric digraph dengan menggunakan teorema 2.4.1, maka nilai score maksimum dapat diperoleh dengan:

= = 190

Dapat direpresentasikan dengan digraph akan diperoleh graph dengan 20 verteks dan 190 arcs. Dan dapat dilihat dalam gambar berikut :

V1 V2

V3 V4 V5

V6 V7 V8 V9

V10 V11 V12 V13 V14

V15 V16 V17 V18 V19 V20

Sehingga skor maksimum yang diperoleh adalah sama dengan banyaknya arc dari complete asymmetric digraph yaitu 190.

Untuk menentukan nilai skore actualnya dapat diperoleh dengan menggunakan matriks adjacency yang berbentuk matriks segitiga atas. Langkah – langkah untuk mendapatkan matriks adjacency adalah sebagai berikut:

Lakukan perangkingan dari data diatas, dan akan diperoleh urutan ranking sebagai berikut:

Urutan Ranking Umur Urutan Ranking Tekanan Darah

2 73 1 176

3 72 2 173

4 71 3 169

5 68 4 160

6 65 5 155

7 63 6 152

8 60 7 150

9 56 8 149

10 55 9 148

11 50 10 147

12 49 11 145

13 47 12 140

14 44 13 132

15 43 14 128

16 42 15,5 15 127

17 42 16 125 16,5

18 39 17 125

19 38 18 118

20 36 19 115 19,5

Table 3.2 Ranking Pengamatan Dokter Kepala Bagian Penyakit Dalam Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi

No Pasien

Ranking Pengamatan

UMUR

TEKANAN DARAH

1 A 8 10

2 B 15,5 16,5

3 C 2 4

4 D 19 18

5 E 6 8

6 F 12 14

7 G 9 7

8 H 11 11

9 I 18 19,5

10 J 15,5 12

11 K 4 6

12 L 7 5

13 M 10 9

14 N 14 15

15 O 17 16,5

16 P 3 2

17 Q 5 3

18 R 1 1

19 S 13 13

Selanjutnya perankingan tersebut susun berdasarkan urutannya. Hasilnya disajikan dalam tabel berikut ini:

Tabel 3.3 Susunan perankingan Pengamatan Dokter Kepala Bagian Penyakit Dalam Terhadap 20 Pasien Penderita Darah Tinggi.

No Pasien

Ranking Pengamatan

UMUR

TEKANAN DARAH

1 R 1 1

2 C 2 4

3 P 3 2

4 K 4 6

5 Q 5 3

6 E 6 8

7 L 7 5

8 A 8 10

9 G 9 7

10 M 10 9

11 H 11 11

12 F 12 14

13 S 13 13

14 N 14 15

15 B 15,5 16,5

16 J 15,5 12

17 O 17 16,5

18 I 18 19,5

19 D 19 18

Setelah rank umur diurutkan secara natural, langkah selanjutnya adalah membentuk adjacency matriks yang sesuai dengan complete asymmetric digraph.

Dari adjacency matriks diatas dihitung total nilai +1 dan -1. Dari sini diperoleh score actual. Besarnya score actual dapat dilihat dari table dibawah ini. Setiap baris dalam table ini menunjukkan banyaknya nilai +1 (pasangan yang tersusun secara natural) dan banyaknya nilai -1 (pasangan yang tidak tersusun secara natural) dari setiap baris dalam adjacency matriks.

Tabel 3.4 pasangan yang terurut secara natural (+1) dan pasangan yang tidak tersusun secara natural (-1) dari setiap baris dalam adjacency matriks

Banyak Pasangan Yang terurut secara natural (+1)

Banyak pasangan yang tidak terurut secara natural (-1)

19 16 17 14 15 12 13 10 11 10 9 6 6 5 3 4 3 0 1 0 -2 0 -2 0 - 2 0 - 2 0 0 0 - 2 -1 - 1 - 1 0 0 -1 0

Dari table diatas diperoleh score actual dengan menjumlahkan banyak pasangan yang terurut secara natural dengan banyak pasangan yang tidak tersusun secara natural.

Karena yang akan diuji memiliki rank kembar, maka selanjutnya dicari nilai Tx dan

Ty. Dimana pengamatan terhadap umur dimisalkan dengan x dan pengamatan

terhadap tekanan darah dimisalkan dengan y. Pada rank pengamatan terhadap umur terdapat satu kelompok nilai kembar yaitu: ranking 15,5 dengan t = 2. Sehingga nilai Tx adalah :

=

= 1

Pada rank pengamatan terhadap tekanan darah terdapat dua kelompok nilai kembar

yaitu: ranking 16,5 dengan t = 2 dan ranking 19,5 dengan t = 2. Sehingga nilai Ty

adalah :

=

Dengan demikian harga koefisien korelasi rank Kendall dapat dicari menggunakan rumus (3.3):

Selanjutnya pengujian terhadap :

1. Menentukan hipotesis nihil dan hipotesis alternative, yaitu:

H0 : tidak ada korelasi antara umur dengan tekanan darah

H1 : ada korelasi antara umur dengan tekanan darah

2. Kriteria pengambilan keputusan:

H0 diterima dan H1 ditolak apabila - Zα/2 ZH ≤ + Zα/2

H0 ditolak dan H1 diterima apabila ZH > + Zα/2 atau ZH < - Zα/2

4. Nilai kritis pada = 5% = ± Z1/2(1 ) = Z1/2(1-0,05) Z1/2(0,95) = Z0,475 = ± 1,96 (gunakan kurva normal)

5. Kesimpulan

H0 ditolak karena ZH = 5,2330 > Z0,025 = + 1,96

Artinya : ada korelasi yang cukup berarti antara umur dengan tekanan darah dari 20 pasien penderita tekanan darah tinggi

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. untuk menentukan score maksimum dapat diperoleh dari jumlah arc dari complete

asymmetric digraph.

2. Untuk mendapatkan score actual dapat diperoleh dengan menggunakan matriks

adjacency dari complete asymmetric digraph yang berbentuk matriks segitiga atas.

3. Dari hasil pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa graph berarah (digraph)

dapat digunakan untuk menentukan nilai koefisien korelasi rank kendall ( ).

4.2 Saran

Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah:

1. Diharapkan untuk dapat membuat suatu program komputerisasi untuk mencari

koefisien korelasi rank kendall menggunakan graph teori mengingat akan ada data yang berskala besar. Dengan adanya program komputerisasinya bentuk graph dari adjacency matriksnya juga dapat tersaji dengan jelas, sehingga pembaca bisa mengerti hanya dengan melihat graph saja.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Alavi, Y, Dkk. 1985. Graph Theory with Applications to Algorithms and

Computer Science. USA: John Wiley & Sons, Inc

[2] Beineke, Lowell W & Wilson, Robin J. 1983. Selected Topics in Graph Theory 2.

New York: Academic Press Inc.

[3] Djarwanto Ps. Edisi 2004. Statistika Nonparametrik. Yogyakarta:

BPFE-Yogyakarta

[4] Harary, Frank. 1971. Graph Theory. Second Printing. Philippines:

Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

[5

[6] Johnsonbaugh, R. 2002. Matematika Diskrit. Jilid 2. Edisi Bahasa Indonesia.

Terjemahan Pearson Education Asia Pte.ltd. dan PT. Prenhallindo.

[7] Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit. Edisi Ketiga. Bandung: Informatika

[8] Narsingh, Deo. 1984. Graph Theory with application to Engineering and

Computer Science. New Delhi: Prentice Hall of India, Private Limited.

[9] Palmer, Edgar M. 1985. Graphical Evolution. Amsterdam: Mathematisch

Centrum.

[10] Siagian,dkk. 2000. Metode statistika untuk bisnis dan ekonomi. Jakarta: PT

Gramedia Pustaka Utama

[11] Saleh, Samsubar. 1996. Statistik Nonparametrik. Edisi Kedua. Yogyakarta:

BPFE-Yogyakarta

[12] Wilson, Robin J. 1985. Introduction to Graph Theory. Third Edition. New York:

Dari adjacency matriks diatas dihitung total nilai +1 dan -1. Dari sini diperoleh score actual. Besarnya score actual dapat dilihat dari table dibawah ini. Setiap baris dalam table ini menunjukkan banyaknya nilai +1 (pasangan yang tersusun secara natural) dan banyaknya nilai -1 (pasangan yang tidak tersusun secara natural) dari setiap baris dalam adjacency matriks.

Tabel 3.4 pasangan yang terurut secara natural (+1) dan pasangan yang tidak tersusun secara natural (-1) dari setiap baris dalam adjacency matriks

Banyak Pasangan Yang terurut secara natural (+1)

Banyak pasangan yang tidak terurut secara natural (-1)

19 16 17 14 15 12 13 10 11 10 9 6 6 5 3 4 0 -2 0 -2 0 - 2 0 - 2 0 0 0 - 2 -1 - 1 - 1 0 0

Dari table diatas diperoleh score actual dengan menjumlahkan banyak pasangan yang terurut secara natural dengan banyak pasangan yang tidak tersusun secara natural.

Karena yang akan diuji memiliki rank kembar, maka selanjutnya dicari nilai Tx dan

Ty. Dimana pengamatan terhadap umur dimisalkan dengan x dan pengamatan

terhadap tekanan darah dimisalkan dengan y. Pada rank pengamatan terhadap umur terdapat satu kelompok nilai kembar yaitu: ranking 15,5 dengan t = 2. Sehingga nilai Tx adalah :

=

= 1

Pada rank pengamatan terhadap tekanan darah terdapat dua kelompok nilai kembar yaitu: ranking 16,5 dengan t = 2 dan ranking 19,5 dengan t = 2. Sehingga nilai Ty

adalah :

=

Dengan demikian harga koefisien korelasi rank Kendall dapat dicari menggunakan rumus (3.3):

Selanjutnya pengujian terhadap :

1. Menentukan hipotesis nihil dan hipotesis alternative, yaitu: H0 : tidak ada korelasi antara umur dengan tekanan darah

H1 : ada korelasi antara umur dengan tekanan darah

2. Kriteria pengambilan keputusan:

H0 diterima dan H1 ditolak apabila - Zα/2 ZH ≤ + Zα/2

4. Nilai kritis pada = 5% = ± Z1/2(1 ) = Z1/2(1-0,05)

Z1/2(0,95) = Z0,475 = ± 1,96 (gunakan kurva normal)

5. Kesimpulan

H0 ditolak karena ZH = 5,2330 > Z0,025 = + 1,96

Artinya : ada korelasi yang cukup berarti antara umur dengan tekanan darah dari 20 pasien penderita tekanan darah tinggi

BAB 4

KESIMPULAN DAN SARAN

4.1 Kesimpulan

1. untuk menentukan score maksimum dapat diperoleh dari jumlah arc dari complete asymmetric digraph.

2. Untuk mendapatkan score actual dapat diperoleh dengan menggunakan matriks adjacency dari complete asymmetric digraph yang berbentuk matriks segitiga atas. 3. Dari hasil pembahasan diatas dapat disimpulkan bahwa graph berarah (digraph)

dapat digunakan untuk menentukan nilai koefisien korelasi rank kendall ( ).

4.2 Saran

Adapun saran yang dapat penulis berikan adalah:

1. Diharapkan untuk dapat membuat suatu program komputerisasi untuk mencari koefisien korelasi rank kendall menggunakan graph teori mengingat akan ada data yang berskala besar. Dengan adanya program komputerisasinya bentuk graph dari adjacency matriksnya juga dapat tersaji dengan jelas, sehingga pembaca bisa mengerti hanya dengan melihat graph saja.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Alavi, Y, Dkk. 1985. Graph Theory with Applications to Algorithms and

Computer Science. USA: John Wiley & Sons, Inc

[2] Beineke, Lowell W & Wilson, Robin J. 1983. Selected Topics in Graph Theory 2. New York: Academic Press Inc.

[3] Djarwanto Ps. Edisi 2004. Statistika Nonparametrik. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta

[4] Harary, Frank. 1971. Graph Theory. Second Printing. Philippines: Addison-Wesley Publishing Company, Inc.

[5

[6] Johnsonbaugh, R. 2002. Matematika Diskrit. Jilid 2. Edisi Bahasa Indonesia. Terjemahan Pearson Education Asia Pte.ltd. dan PT. Prenhallindo.

[7] Munir, Rinaldi. 2007. Matematika Diskrit. Edisi Ketiga. Bandung: Informatika [8] Narsingh, Deo. 1984. Graph Theory with application to Engineering and

Computer Science. New Delhi: Prentice Hall of India, Private Limited.

[9] Palmer, Edgar M. 1985. Graphical Evolution. Amsterdam: Mathematisch Centrum.

[10] Siagian,dkk. 2000. Metode statistika untuk bisnis dan ekonomi. Jakarta: PT Gramedia Pustaka Utama

[11] Saleh, Samsubar. 1996. Statistik Nonparametrik. Edisi Kedua. Yogyakarta: BPFE-Yogyakarta

[12] Wilson, Robin J. 1985. Introduction to Graph Theory. Third Edition. New York: Longman, Inc.