INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN l^1
ABSTRAK
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah definisi Integral Riemann
pada barisan masih berlaku atau tidak jika suatu fungsi di tersebut dirubah
menjadi bernilai barisan . Penelitian diawali dengan menstransformasikan
fungsi nilai mutlak | | di menjadi fungsi norma ‖ ‖ di . Berdasarkan definisi
dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada , akan dibuktikan bahwa
definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada masih berlaku
jika fungsinya menjadi fungsi yang terdefinisi di barisan dengan mencari dan
membuktikan teorema-teorema yang mendukung bahwa fungsi barisan
memenuhi syarat bahwa fungsi tersebut terintegral Riemann.
Kata kunci: Integral Riemann, barisan
, norma.
ABSTRACT
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
By
PURNOMO AJI
Research was conducted to determine whether the definition
ofthe Riemann Integral row is still valid or if a function on is
converted into value-row . The study begins with an absolute value
function can transform |. | in be a function ofthe norm ‖ ‖ in . Based on
the definitions and theorems of Riemann integral exist in , will be proven that
the definitions and theorems of Riemann integral exist in valid if the function
becomes a function defined in the row by finding and proving theorems to
support that row function qualify that the function Riemann integral.
Key words: Integral Riemann, row
, the norm.
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
(Skripsi)
Oleh
PURNOMO AJI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
ABSTRAK
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah definisi Integral Riemann
pada barisan masih berlaku atau tidak jika suatu fungsi di tersebut dirubah
menjadi bernilai barisan . Penelitian diawali dengan menstransformasikan
fungsi nilai mutlak | | di menjadi fungsi norma ‖ ‖ di . Berdasarkan definisi
dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada , akan dibuktikan bahwa
definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada masih berlaku
jika fungsinya menjadi fungsi yang terdefinisi di barisan dengan mencari dan
membuktikan teorema-teorema yang mendukung bahwa fungsi barisan
memenuhi syarat bahwa fungsi tersebut terintegral Riemann.
Kata kunci: Integral Riemann, barisan
, norma.
ABSTRACT
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
By
PURNOMO AJI
Research was conducted to determine whether the definition
ofthe Riemann Integral row is still valid or if a function on is
converted into value-row . The study begins with an absolute value
function can transform |. | in be a function ofthe norm ‖ ‖ in . Based on
the definitions and theorems of Riemann integral exist in , will be proven that
the definitions and theorems of Riemann integral exist in valid if the function
becomes a function defined in the row by finding and proving theorems to
support that row function qualify that the function Riemann integral.
Key words: Integral Riemann, row
, the norm.
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di desa Papanrejo, kecamatan Abung Timur, Kabupaten
Lampug Utara, Privinsi Lampung. Penulis adalah anak ketiga dari pasangan
Bapak Satiran dan Ibu Ratisem.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar (SD) pada tahun 2005 di SD
Negeri 1 Papanrejo Kecamatan Abung Timur, Lampung Utara. Pendidikan
sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Bungamayang Lampung Utara pada
tahun 2008, pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Kotabumi
Lampung Utara pada tahun 2011. Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan
tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa angkatan 2012 Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
MOTTO
“Wahai orang-orang yang beriman! Bersabarlah kamu dan
kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan
bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung.”
(Q.S. Ali Imran : 200)
“Sesunguhnya bersama kesulitan ada kemudahan”
(Q.S. Al-Insyirah : 5-6)
PERSEMBAHAN
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku
persembahkan karya kecil ku ini untuk-Mu ya Allah, yang
selalu memberikan rahmat dan hidayah sehingga skripsi ini
dapat diselesaikan.
Untuk ibu, bapak, kakakku dan adiku yang selalu
memberikan dukungan, kasih sayang, dan tempat istimewa
di hati kalian, yang selalu memberikanku motivasi untuk
tetap semangat dalam melakukan segala aktivitas.
Kepada teman-temanku, yang telah memberi warna indah
di setiap langkah juangku, yang tak pernah henti memberi
dorongan dan arahan.
Ku persembahkan karya ini untuk kalian...
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan
tugas akhir sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains di
Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada
junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat
manusia.
Diselesaikannya penulisan skripsi yang berjudul “Integral Riemann Bernilai
Barisan
” ini tidak terlepas dari doa, bimbingan, dukungan serta saran dari
berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini
penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang
telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi
penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
kedua yang telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi
ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji atas kritik dan saran
yang membangun untuk skripsi ini.
4. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc.,Ph.D., selaku pembimbing akademik yang telah
membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si.,DEA.,Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Ibu, bapak, kakak, dan adik tercinta yang selalu mendoakan dan
menyemangatiku.
9. Sahabat seperjuangan di Matematika angkatan 2012, dan keluarga besar
Matematika FMIPA UNILA.
10. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, semoga
mendapat imbalan yang sesuai dari Allah SWT.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap
penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca, aamiin.
Bandar Lampung, 25 Juli 2016
Penulis
Purnomo Aji
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .................................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................................
1.3 Batasan Masalah ....................................................................................
1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................
1
2
2
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux ...........................................
2.2 Integral Darboux ....................................................................................
2.3 Teorema Bolzano Weierstrass ...............................................................
2.4 Integral Riemann ...................................................................................
2.5 Ruang Barisan .......................................................................................
4
11
18
23
38
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 39
3.2 Metode Penelitian .................................................................................. 39
3.3 Langkah-langkah Penelitian .................................................................. 39
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Integral Riemann Bernilai Barisan ..................................................... 40
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 59
5.2 Saran ...................................................................................................... 60
DAFTAR PUSTAKA
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang dikemukakan
pertama kali oleh Isac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad
ke-17. Selanjutnya konsep ini pada tahun 1850 diteliti secara lebih mendalam
oleh Bernhard Riemann. Riemann mendefinisikan integral suatu fungsi pada
domain berupa interfal tertutup dan terbatas pada himpunan bilangan real sebagai
luas daerah dibawah kurva dari fungsi tersebut. Untuk menentukan luas daerah
tersebut diawali dengan membagi interval dimana fungsi terdefinisi menjadi
subinterval-subinterval yang banyaknya berhingga. Kemudian dibentuk poligonpoligon dengal lebar
dan tinggi
untuk
pada daerah
dibawah kurva dari fungsi tersebut. Selanjutnya ditentukan luas polgon-poligon
di atas kurva dinotasikan dengan ∑
kurva dinotasikan dengan ∑
{
dan luas polygon-poligon di bawah
dimana
} dan
{
. Dengan penghampiran
},
bahwa poligon tersebut banyaknya menuju tak hingga, maka luas daerah di
bawah kurva atau dengan kata lain integral dari suatu fungsi dapat ditentukan jika
limit dari jumlah poligon di atas kurva dan limit dari jumlah poligon di bawah
kurva bernilai sama. Cara Riemann mendefinisikan integral seperti di atas
disebut pendefisian integral secara konstruktif.
1
Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh Jean Gaston Darboux
(1842-1917) dengan mengunakan jumlah atas dan jumlah bawah. Integral
Darboux ini lebih mudah dipahami daripada integral Riemann itu sendiri, dan
ternyata dapat diperlihatkan bahwa integral Darboux ekuivalen dengan integral
Riemann.
Pada pendefinisian integral Riemann tersebut, selisih limit jumlah atas atau
jumlah bawah dengan nilai integralnya mengunakan nilai mutlak | |. Selanjutnya
peneliti tertarik bagaimana jika nilai integralnya diubah menjadi barisan
. Hal
ini dimungkinkan yaitu dengan mengubah nilai mutlak | | menjadi norma ‖ ‖
pada
. Permasalahanya adalah, apakah definisi integral Riemann masih berlaku
atau tidak?
1.2 Tujuan Penelitan
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksikan integral Riemann bernilai
barisan
.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis hanya akan membahas integral Riemann yang
bernilai barisan
.
2
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari hasil penulisan ini adalah:
1. Menambah pengetahuan tentang masalah integral Riemann dan teoremateorema yang berkaitan mengenai integral Riemann.
2. Dapat memberikan kontribusi pemikiran untuk memperluas dan
memperdalam wawasan di bidang analisis.
3. Memberikan informasi tentang integral Riemann bernilai barisan
.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux
Jika diketahui selang
{
, maka himpunan terurut
dengan
merupakan partisi (partition) atau partisi
Riemann pada
. Selanjutnya,
disebut selang bagian ke- dan
disebut panjang selang bagian ke- , dan ‖ ‖
{
disebut norma (norm) partisi , (Rudin, 1987).
Jika
dan
partisi
masing-masing partisi pada
dan
merupakan penghalus (refinement) partisi
paling sederhana (kasar) adalah {
pada
dan
Bukti: Jika partisi
dan
maka terdapat bilangan asli
, maka dikatakan
. Partisi pada
yang
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka ‖ ‖
{
}
} yang dihaluskan oleh partisi
yang lain.
Teorema 2.1.1 Jika
}
‖ ‖ (Darmawijaya, 2006).
}
dengan
‖ ‖
sehingga
{
}
4
Karena
maka tepat salah satu terjadi:
dalam keadaan seperti ini maka diperoleh
‖ ‖
‖ ‖
merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan
dan
. Jadi ada
untuk suatu . Dalam keadaan ini tentu
‖ ‖
‖ ‖
Dari dua hasil yang diperoleh dapat disimpulkan atau terbukti bahwa
‖ ‖
‖ ‖
Perlu dicatat bahwa jika
dan
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka untuk setiap
, selalu berlaku
Contoh:
Misalkan
dan
}
{
{
{
masing-masing partisi pada selang
mudah dilihat bahwa
‖ ‖
}
dengan
‖ ‖
dan
‖ ‖
}
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
5
Jumlah atas dan jumlah bawah
Jika diketahui fungsi
partisi pada
setiap
dan
titik sebarang,
{
dan
{
terbatas
}, maka diperoleh
Karena fungsi
sehingga
berakibat bilangan
dan
{
}
{
terbatas pada
untuk
}
, maka ada bilangan
} dan
{
ada, dan berlaku
} dan
Definisi 2.1.2 Bilangan
∑
Disebut Jumlah Riemann (Riemann Sum) fungsi
pada
bilangan
∑
Disebut Jumlah Darboux Bawah (Lower Darboux Sum) fungsi
pada
,
dan bilangan
∑
Disebut Jumlah Darboux Atas (Upper Darboux Sum) fungsi
pada
,
(Darmawijaya, 2006).
Di atas telah disebutkan bahwa fungsi
dan
terbatas maka
masing-masing ada (hingga). Hal ini berakibat bilangan-bilangan
, dan
ada untuk setiap partisi
pada
,
Oleh karena itu
diperoleh teorema dibawah ini.
6
Teorema 2.1.3 Jika fungsi
pada
terbatas, maka untuk setiap partisi
, diperoleh
masing-masing ada, dan
, dengan
{
}
{
}, (Darmawijaya, 2006).
Bukti:
Nilai
dan
setiap partisi
masing-masing bergantung pada partisi , tepatnya
pada
menentukan tepat satu nlai
. Sedangkan nilai
dan tepat satu nilai
tidak hanya bergantung pada partisi
saja
Meskipun demikian,
tetapi juga bergantung pada pemilihan titik
, Teorema 2.1.3 tetap berlaku. Sifat lebih lanjut
apapun pemilihan
tentang hubungan nilai tiga jenis jumlah, yaitu jumlah Riemann dan jumlah
Darboux tersebut di atas tertuang ke dalam teorema di bawah ini.
Teorema 2.1.4 Jika fungsi
partisi pada
dan
terbatas,
masing-masing
maka
, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Mengingat teorema 2.1.3 maka akan ditunjukan
dan
.
Katakan
{
}. Jika untuk suatu
sehingga
{
dengan
{
ada
}
}
7
Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut:
(
)
dengan
dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
Katakan
{
dapat disimpulkan
}. Jika untuk suatu
sehingga
{
}
{
dengan
}
Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
ada
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut:
(
)
8
dengan
dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
dapat disimpulkan
, maka dengan
dan
Karena terbukti
demikian terbukti bahwa
Jika
koleksi semua partisi pada
, dan didefinisikan dua himpunan
bilangan:
{
}
{
}
dan diperoleh teorema dibawah ini.
Teorema 2.1.5 Jika fungsi
terbatas ke atas dan
terbatas maka:
dikatakan terintegral Darboux bawah (lower
Darboux integrable) pada
.
terbatas ke bawah dan
Darboux integrable) pada
dikatakan terintegral Darboux atas ( upper
, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi
{
terbatas maka
{
} masing-masing ada. Menurut teorema 2.1.3 dan
teorema 2.1.4, maka untuk setiap partisi
pada
} dan
berlaku
dan
9
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
satu batas aatasnya adalah
dan
terbatas ke atas dengan salah
terbatas ke bawah dengan salah
satu batas bawahnya adalah
Berdasarkan teorema 2.1.5 maka dapat disusun pengertian-pengertian sebagai
berikut.
Definisi 2.1.6 Diketahui fungsi
( )∫
( )∫
( )∫
( )∫
, (Darmawijaya, 2006).
Teorema 2.1.7 Jika fungsi
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi
( )∫
pada
( )∫
Karena
dari
terbatas, maka bilangan:
terbatas, maka ( ) ∫
terbatas, maka menurut teorema 2.1.5 ( ) ∫
ada. Oleh karena itu, untuk setiap bilangan
( )∫
dan
terdapat partisi
dan
sehingga berlaku
partisi pada
( )∫
dan
maka diperoleh
diperoleh
10
yang berarti
( )∫
( )∫
( )∫
( )∫
2.2 Integral Darboux
Telah diperlihatkan bahwa setiap fungsi
yang terbatas pada suatu selang
tentu terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada selang
dan selalu berlaku ( ) ∫
( )∫
Definisi 2.2.1 Diketahui fungsi
maka dikatakan
terbatas pada
, jika ( ) ∫
terintegral Darboux (Darboux Integrable) pada
( )∫
, dan
bilangan
∫
disebut Integral Darboux fungsi
( )∫
pada
( )∫
, (Darmawijaya, 2006).
Teorema di bawah ini merupakan salah satu kriteria apakah suatu fungsi
terintegral Darboux atau tidak.
Teorema 2.2.2 Fungsi
yang terbatas pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan
sehingga berlaku
terintegral Darboux pada
terdapat partisi
pada
(Darmawijaya, 2006).
11
Bukti:
Syarat perlu: Diketahui fungsi
∫
( )∫
terintegral Darboux pada
( )∫
Oleh karena itu untuk setiap bilangan
, maka
terdapat partisi
pada
sehingga berlaku
∫
dan
( )∫
( )∫
karena
merupakan partisi pada
∫
dan
, maka
diperoleh
dari kedua hasil di atas, maka diperoleh
( )∫
( )∫
yang berakibat
Syarat cukup: Diketahui bahwa untuk setiap bilangan
pada
terdapat partisi
, sehingga
Telah diketahui dari definisi 2.1.6 dan teorema 2.1.7 selalu berlaku
( )∫
( )∫
12
( )∫
dan ketaksamaan terakhir berakibat
, yang berarti
( )∫
( )∫
untuk setiap
( )∫
Beberapa fungsi yang terintegral Darboux.
Tiga teorema di bawah ini memperlihatkan tiga contoh penting fungsi-fungsi
yang terintegral Darboux pada selang tertutup
Teorema 2.2.3
∫
(Darmawijaya, 2006).
Bukti:
Diambil sebarang bilangan
dan sebarang partisi
}. Karena
, untuk setiap
, maka diperoleh
Oleh karena itu diperoleh
∑
∑
yang berakibat
terintegral Darboux pada
untuk setiap
{
atau menurut teorema 2.2.2 fungsi
, maka
13
{
∫
}
{
∫
Diambil sebarang fungsi
}
yang monoton dan terbatas. Jika
konstan maka sudah terbukti. Jika
sebarang bilangan
monoton, maka
fungsi
fungsi naik monoton pada
, untuk
{
yang diambil lebih dahulu, dibentuk partisi
} pada
dengan ‖ ‖
Karena fungsi
naik
. Oleh karena itu, diperoleh
∑
}
∑{
}
∑{
}
{
yang berarti, menurut teorema 2.2.2 maka fungsi naik monoton dan terbatas, dan
terintegral Darboux pada
Bukti sejalan untuk fungsi turun monoton dan
terbatas.
Teorema 2.2.4 Setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup terintegral
Darboux pada selang itu, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diketahui fungsi
seragam pada
kontinu pada selang tertutup
yaitu untuk setiap bilangan
. Fungsi
kontinu
terdapat bilangan
14
yang tak bergantung pada
(A)
dengan |
|
|
|
berakibat
{
Diambil sebarang partisi
|| ||
Jadi
} pada
untuk setiap
pada setiap selang bagian
. Karena |
|
untuk setiap
dengan
Karena fungsi
, dan terdapat
berlaku
(B)
sehingga untuk setiap
kontinu
sehingga
|
maka menurut A,
|
Oleh karena itu, diperoleh
∑
}
∑{
∑
yang berarti terbukti bahwa fungsi
terintegral Darboux pada selang tersebut.
15
Teorema 2.2.5 Setiap fungsi yang terbatas dan kontinu pada suatu selang
tertutup kecuali di beberapa titik, maka fungsi tersebut terintegral Darboux pada
selang tertutup itu, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang fungsi terbatas
yang kontinu pada selang tertutup
kecuali di titik
. Tak mengurangi arti jika dianggap
Karena fungsi
{
Untuk bilangan
}
terbatas pada
{
sebarang diambil bilangan positif
{
maka
} ada.
dengan
} Menurut teorema 2.2.3 karena fungsi
pada selang-selang
tentu ada partisi
kontinu
berturut-turut pada
selang tersebut, sehingga
untuk setiap
jelas bahwa
. Bentuk partisi
partisi pada
jika
dan
{
}
maka diperoleh
{
}
∑{
}
∑
16
∑
∑
Dengan kata lain, dapat dikontruksikan partisi
asalkan
pada
sehingga berakibat
yang berarti terbukti bahwa fungsi
Akibat 2.2.6 Jika fungsi
terintegral Darboux pada
terbatas dan
dibeberapa titik, maka fungsi
untuk setiap
terintegral Darboux pada
kecuali
dan
(Darmawijaya, 2006).
∫
,
Dengan tiga teorema di atas, banyak jenis fungsi dengan secara mudah dapat
ditentukan apakah fungsi itu terintegral Darboux pada selang tertutup
atau
tidak.
17
2.3 Teorema Bolzano Weierstrass
Sebelum membahas tentang teorema Bolzano Weierstrass, ada baiknya terlebih
dahulu membahas beberapa teorema di bawah ini yang merupakan landasan dasar
dari teorema Bolzano Weierstrass.
Teorema 2.3.1 (Barisan Monoton)
Barisan monoton {
(i)
(ii)
} konvergen jika dan hanya jika {
} terbatas. Lebih lanjut
Jika {
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
Jika {
} turun monoton dan terbatas ke bawah, maka
(Berberian, 1996).
{
}
{
}
{
}
{
}
Bukti:
}. Jika {
(i) Diambil sebarang barisan monoton {
bilangan
jadi {
sehingga
{
} terbatas. Sebaliknya, jika {
suprimumnya, maka
ada bilangan asli
karena {
{
sehingga
}
} konvergen, maka ada
} terbatas ke atas, sebut
sebagai
}. Maka untuk setiap bilangan nyata
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
18
untuk setiap bilangan asli
bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau
|
|
dengan kata lain terbukti bahwa
{
jadi {
sehingga
{
} terbatas. Sebaliknya, jika {
}
infirmumnya, dengan
maka untuk setiap bilangan nyata
karena {
} konvergen, maka ada
}. Jika {
(ii) Diambil sebarang barisan monoton {
bilangan
}
{
} terbatas ke atas, sebut
}
terdapat bilangan asli
sebagai
sehingga
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
untuk setiap bilangan asli
bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau
|
|
19
dengan kata lain terbukti bahwa
jadi terbukti bahwa barisan monoton {
terbatas.
{
}
}
} konvergen jika dan hanya jika {
Teorema 2.3.2 (Teorema Selang Susut)
Jika barisan selang tertutup {
(i)
} mempunyai sifat-sifat
untuk setiap
(ii)
untuk setiap
maka terdapat satu bilangan nyata
,
(Darmawijaya, 2006).
untuk setiap bilangan asli
Bukti: Karena
barisan {
} naik monoton dan terbatas ke atas dan barisan {
dengan
} konvergen ke infrimumnya, jadi
{
satu pernyataan berikut benar
Untuk
} dan
atau
} turun monoton
} konvergen ke suprimumnya
dan terbatas ke bawah. Menerut teorema 3.3.1 {
dan {
diperoleh
dan
{
tidak mungkin, sebab jika
}. Maka salah
maka mengingat syarat
(ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
Untuk
juga tidak mungkin, sebab jika
maka mengingat
syarat (ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
20
Sehingga pernyataan
Diambil
adalah yang paling tepat.
, akan iperlihatkan
Karena
asli . Karena
{
untuk setiap bilangan asli .
} diperoleh
{
untuk setiap bilangan
} diperoleh
untuk setiap
bilangan asli . Jadi, dapat disumpulkan bahwa
untuk setiap bilangan asli
Ketungalan
atau
cukup jelas karena ketungalan
atau
ketungalan
Teorema 2.3.3 Setiap barisan bilangan nyata paling sedikit mempunyai satu
barisan bagian yang monoton, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang bilangan nyata {
paling sedikit satu terjadi, yaitu:
(i)
(ii)
Untuk setiap
ada
}, maka terdapat tiga kemungkinan,
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
}
Untuk setiap
dan
konstan, maka {
} barisan monoton.
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
monoton.
(iii)
dan
Untuk setiap
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
monoton.
}
{
{
dan
}
{
Jika
} yang
Jika
} yang naik
Jika
} yang turun
21
Teorema 2.3.4 (Teorema Bolzano Weierstrass)
Setiap barisan bilangan nyata yang terbatas mempunyai barisan bagian yang
konvergen, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang barisan {
{
} mempunyai barisan {
} yang terbatas. Menurut teorema 2.3.3
} bagian yang monoton. Jadi {
monoton terbatas. Oleh karena itu, menurut teorema 2.3.1 {
} barisan yang
} konvergen.
Teorema Bolzano Weierstrass dapat juga dibuktikandengan mengunakan teorema
selang susut. Teorema Bolzano Weierstrass mengatakan bahwa jika {
yang terbatas, maka setiap barisan bagianya yang konvergen tidak perlu
} barisan
mempunyai limit yang sama. Tetapi jika setiap barisan bagianya yang konvergen
itu mempunyai limit yang sama, maka barisan aslinya akan konvergen ke limit
yang sama.
22
2.4 Integral Riemann
Telah diketahui bahwa jika fungsi f : [a,b]
terbatas dan P partisi pada [a,b],
maka berakibat
L(f;P)
U ( f ;P )
George Friedrich Bernhard Riemann mengunakan
untuk menyusun
integralnya (Rudin, 1987).
Definisi 2.4.1 (Integral Riemann)
Fungsi f : [a,b]
dikatakan terintegral Riemann (Riemann Integrable) pada
[a,b] jika terdapat bilangan A sehingga untuk setiap bilangan
bilangan
‖ ‖
terdapat
sehingga jika P = { a = x0, x1,...,xn = b } partisi pada [a,b] dengan
berakibat
|
|
|
∑
|
A disebut nilai integral Riemann fungsi f pada [a,b], (Darmawijaya, 2006).
Perlu diingat bahwa pengambilan
[ xi-1,xi ] sebarang, dan ‖ ‖ = maks {
,
i= 1,2,…,n }. Sehingga menurut definisi 2.4.1 fungsi f terintegral Riemann pada
[a,b] jika dan hanya jika
‖ ‖
‖ ‖
∑
Teorema 2.4.2 Jika f terintegral Riemann pada [a,b], maka nilai integralnya
tunggal, (Darmawijaya, 2006).
23
Bukti: Jika A1 dan A2 merupakan nilai integral Riemann pada [a,b], maka untuk
sebarang bilangan
< 0 terdapat bilangan
1
< 0 dan
2
< 0 sehingga jika
P1 = { a = x0, x1, … , xn = b } dan P2 = { a = x0, x1, … , xn = b } adalah partisi
dari [a,b] dengan || P1 || <
|
diambil
dan
|
1
1,
2 },
yang berarti
|
berturut-turut maka berakibat
|
∑
partisi P = { a =
[ Zi-1, Zi]. Karena || P ||
|
2,
|
∑
= min {
dan | |P2 || <
i
= b } dengan || P || <
dengan i = 1,2 maka diperoleh
|
∑
|
|
|∑
dan bukti selesai.
Menurut definisi 2.4.1 dan teorema 2.4.2 jika fungsi f terintegral Riemann pada
[ a,b ] dengan nilai integral Riemannya A, yang dapat ditulis dengan
∫
tunggal.
Teorema 2.4.3. Jika fungsi
terbatas pada
∫
terintegral Riemann pada
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Andaikan fungsi f tak terbatas ke atas pada
bilangan asli
, maka
terdapat
, maka untuk setiap
sehingga
24
Untuk setiap partisi
beratri
{
}, tentu
. Hal ini
‖ ‖
(tidak ada) yang dengan kata lain fungsi
tak terintegral Riemann pada
.
Bukti sejalan, apabila diandaikan tak terbatas kebawah.
Teorema 2.4.4. ( Kriteria Cauchy )
Diketahui fungsi
terbatas. Fungsi
terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan
sehingga jika
dan
partisi pada
berakibat |
|
Bukti:
Syarat perlu: Jika
dengan ‖ ‖
(Berberian, 1996).
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan
partisi pada
dengan ‖ ‖
|
dan
dengan ‖ ‖
pada
berakibat
|
sehingga jika
berakibat
Diambil sebarang dua partisi
|
dan ‖ ‖
, maka ada bilangan
terdapat bilangan
|
‖ ‖
terdapat bilangan
|
|
|
dan
|
25
Syarat cukup: Menurut yang diketahui untuk bilangan 1 terdapat bilangan
sehingga jika
‖ ‖
Tulis
dan
berakibat |
sebagai koleksi semua partisi
untuk setiap
dengan ‖ ‖
masing-masing partisi pada
pada
|
, untuk setiap
|
atau
dengan
‖ ‖
Diambil
dan
diperoleh
|
jadi, himpunan bilangan nyata
{
terbatas. Jika angota
dan oleh karena itu
tangga, maka
banyaknya hingga, maka
terintegral Riemann pada
}
merupakan fungsi tangga
Jika fungsi
bukan fungsi
merupakan himpunan bilangan terbatas yang banyak
angotanya tak hingga. Menurut teorema 2.3.4. (Teorema Bolzano-Weierstrass),
mempunyai paling sedikit satu titik limit, namakan titik limit itu
Hal ini berarti untuk setiap bilangan
terdapat
sehingga
Dengan kata lain fungsi
|
|
terintegral Riemann pada
26
Teorema 2.4.3. mengatakan bahwa setiap fungsi yang tak terbatas pada suatu
selang tertutup tak akan terintegral Riemann pada selang itu. Teorema dibawah
ini akan menunjukan ekuivalensi antara integral Riemann dan integral Darboux.
Teorema 2.4.5. Fungsi
terintegral Riemann jika dan hanya jika
terintegral
Darboux pada selang tertutup yang sama. Lebih lanjut
∫
∫
(Berberian, 1996).
Bukti:
Syarat perlu: Jika fungsi
jika
∫
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan
{
terdapat bilangan
} partisi pada
berakibat
|
|
|
, maka ada bilangan
dan
dengan ‖ ‖
|
∑
atau
sebarang. Karena
Perlu diingat bahwa pemilihan
dan
{
}
27
{
ada, maka untuk setiap
dapat dipilih
}
sehingga
( )
( )
setelah dikalikan dengan
kemudian dijumlahkan, diperoleh
oleh karena itu
yang berakibat
atau fungsi
terintegral Darboux pada
Syarat cukup: Karena
setiap bilangan
terintegral Darboux pada selang
terdapat partisi
pada
, maka untuk
sehingga berlaku
Tetapi telah diketahui bahwa
∫
berdasarkan tiga ketidaksamaan terakhir, dapat disimpulkan bahwa
|
∫
|
28
yang berarti bahwa fungsi
terintegral Riemann pada
∫
, dan
∫
Setelah diketahui adanya ekuivalensi antara integral Riemann dan integral
Darboux, maka akan diselidiki sifat-sifatnya lebih lanjut. Untuk menyingkat
penulisan perlu diadakan kesepakatan bersama bahwa jika tidak ada kerancuan
atau maksud tertentu, untuk selanjutnya yang dimaksud dengan perkataan fungsi
yang terintegral adalah fungsi yang terintegral Riemann atau fungsi yang
terintegral Darboux dan
∫
∫
∫
Himpunan semua fungsi yang terintegral Riemann atau terintegral Darboux pada
selang tertutup
Jadi, jika
berturut-turut ditulis dengan
terintegral pada
ditulis dengan
dan untuk lebih menyingkat nilai integralnya maka dapat ditulis dengan ∫
∫
Jadi
∫
∫
∫
∫
29
{
Mudah dipahami bahwa untuk setiap partisi
pada
,
sebarang konstanta
}
untuk
setiap , selalu berlaku:
1.
2.
3.
asalkan
4.
asalkan
5.
asalkan
6.
asalkan
7.
8.
Teorema 2.4.6. R
merupakan ruang linear untuk setiap
dan
Lebih lanjut
i.
ii.
∫
∫
∫
∫
(Stewart, 2002).
Bukti: Karena
∫
, maka menurut teorema 2.4.3. fungsi
masing-masing terbatas pada
{|
|
dan fungsi
Namakan
}
{|
|
}
30
dan
{| |
karena
}
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
terdapat bilangan
partisi pada
dengan ‖ ‖
berakibat
|
|∫
|
|∫
selanjutnya diperoleh
i.
| ∫
|
| |
| ∫
Dengan kata lain terbukti bahwa
ii.
| ∫
|∫
∫
∫
|
|
|∫
∫
∫
|
∫
|
dan
∫
∫
terbatas dan
kecuali dibeberapa titik, maka fungsi
|
dan
|∫
Dengan kata lain, terbukti bahwa
Menurut akibat 2.2.6. jika fungsi
| | |∫
|
untuk setiap
,
terintegral dan
∫
dengan mengunakan hasil tersebut akan dibuktikan teorema dibawah ini.
31
Teorema 2.4.7. Jika
, fungsi
kecuali di beberapa titik, maka
Bukti: Karena fungsi
untuk setiap
dan
, kecuali dibeberapa titik. Oleh karena itu
menurut akibat 2.2.6 fungsi
terintegral dan
∫
∫
dan
∫
∫
∫
untuk setiap
, maka
∫
(Berberian, 1996).
Bukti: Karena
setiap partisi
dan
mempunyai sifat terbatas pada
untuk setiap
Teorema 2.4.8 Jika
∫
terbatas pada
, maka fungsi
∫
, dan
, dan
∫
(Berberian, 1996).
terbatas pada
untuk setiap
{
dan
} pada
, maka untuk
diperoleh
dengan
Hal ini berakibat
{
}
‖ ‖
{
}
∫
32
Teorema 2.4.9 Jika
dan
untuk setiap
∫
(Berberian, 1996).
Bukti: Dibentuk fungsi
∫
Mudah difahami bahwa
untuk setiap
dan
Menurut teorema 2.4.8 diperoleh
∫
atau terbukti bahwa
maka
∫
∫
∫
∫
Teorema 2.4.10 Diketahui
jika dan hanya jika
dan
dan
∫
(Stewart, 2002).
∫
terbatas.
. Dalam hal ini
∫
∫
Bukti:
Syarat perlu: Karena
partisi
pada
dibentuk
dan
partisi pada
, maka untuk setiap bilangan
terdapat
, sehingga
{ }
dengan
Jelas bahwa
partisi pada
dan
Oleh karena itu diperoleh
33
dari
diperoleh
}
{
}
{
yang berakibat
dengan kata lain terbukti bahwa
dan
{
∫
}
{
{
∫
. Lebih lanjut
}
∫
Syarat cukup: Karena
dan
{
}
}
, maka nilai-nilai limit dibawah
ini ada:
dengan
∫
‖
‖
merupakan partisi pada
jelas bahwa
partisi pada
∫
‖ ‖
‖
∫
∫
dan
‖
‖
merupakan partisi pada
Oleh karena itu
‖ ‖
‖
‖
‖
∫
34
Catatan: Syarat cukup dapat dibuktikan dengan memanfaatkan bahwa fungsi
terintegral Darboux pada
maupun pada
Teorema 2.4.11 Jika fungsi
terintegralkan pada
kontinu pada
fungsi
dan
untuk setiap
terintegral pada
Bukti: Karena
maka
} ada. Lebih lanjut, fungsi
Oleh karena itu untuk sebarang bilangan
sehingga jika
{
Diambil
partisi
pada
katakana
|
|
|
|
berakibat
} Karena fungsi
terintegral pada
} dan
{
, maka terdapat
}
}
}
{
}
{
tersebut menjadi dua kelompok yang terpisah
{
dan berakibat
kontinu seragam pada
terdapat bilangan
{
Jika
terbatas disana.
sehingga berlaku
{
dibedakan indeks
maka
(Berberian, 1996).
kontinu pada selang tertutup
{
Jadi,
serta fungsi
}
maka diperoleh |
{
|
35
| (
oleh karena itu
)
|
dan
∑
jika
maka diperoleh
Oleh karena itu
∑
∑
jika
maka diperoleh
dan
∑
∑
{
oleh karena itu, untul
}
diperoleh
∑
dari
dapat disimpulkan
dengan kata lain terbukti fungsi
terintegral pada
36
Teorema 2.4.12 Jika
, maka
Bukti: karena
(Gaughan, 1998).
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
|∫
dengan ‖ ‖
partisi pada
|
terdapat bilangan
berakibat
|∫
|
selanjutnya diperoleh
| ∫
∫
|∫
∫
|∫
∫
|∫
|
|
∫
∫
∫
|
∫
|
∫
|
(∫
(∫
|
| (∫
)|
)|
)|
dengan kata lain terbukti bahwa
37
2.5 Ruang Barisan
Definisi 2.5.1
Deberikan
yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi:
a. Untuk setiap bilangan real
{
{ }
b. Untuk
pada
∑
{ ̅
}
{
dengan
} dan norm pada
‖ ‖
∑| |
yaitu
{
{ }
‖ ‖
pada
didefinisikan
yaitu
(Darmawijaya, 2007).
didefinisikan
| |
didefinsikan
c. Untuk
}
‖ ‖
∑
yaitu
| |
} dan norm
| |
} dan norm
∑| |
{
{ }
| |
38
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran 20152016.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka, yaitu dengan
mengkaji buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penelitian ini.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Mengetahui definisi tentang integral Riemann dan teorema-teorema yang
berkaitan dengan integral Riemann.
Menganti fungsi nilai mutlak | | di
dengan fungsi norma ‖ ‖ di
.
Membuktikan apakah definisi dan teorema-teorema yang terkait dengan
integral Riemann bernilai barisan
.
39
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada penelitian ini telah berhasil dikonstruksikan integral Riemann untuk fungsifungsi bernilai barisan
yang merupakan pengembangan dari integral Riemann
fungsi-fungsi bernilai real
Fungsi ̅
dikatakan terintegal Riemann pada
bilangan ̅
sehingga untuk setiap bilangan
terdapat bilangan
‖
berakibat
̅
‖
integral Riemann fungsi ̅ pada
Perlu diingat bahwa pengambilan
jika dan hanya jika
‖ ̅
∑|
dengan ̅
{
{
sehingga jika
dengan ‖ ‖
pada
jika ada
dan ̅
.
} partisi
∑ ̅
∑
‖
|
, ̅ disebut nilai
sebarang dan ‖ ‖
}. Selanjutnya fungsi ̅ terintegral Riemann pada
59
‖ ‖
Jika ̅
‖ ‖
terintegral Riemann pada
tunggal. Fungsi ̅
̅
, maka nilai integralnya
terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika
Riemann pada
∑ ̅
masing-masing terintegral
.
5.2 Saran
Pembahasan skripsi ini hanya berfokus pada integral Riemann yang bernilai
barisan
, sehingga penulis menyarankan agar dilakukan penelitian yang lain.
60
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S.K. 1996. Fundamental of real Analysis. Unyversity of Texas,
USA.
Darmawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Universitas Gajah
Mada, Yogyakarta.
Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah
Mada, Yogyakarta.
Gaughan, Edward, D. 1998. Introduction to Analysis. Fifth Edition. New
Mexico State University, Mexico.
Rudin, Walter. 1987. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition.
McGraw-Hill, New York.
Stewart, J. 2002. Kalkulus. Edisi keempat, Jilid 1. Alih Bahasa oleh I Nyoman
Susila dan Hendra Gunawan. Erlangga, Jakarta.
61
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah definisi Integral Riemann
pada barisan masih berlaku atau tidak jika suatu fungsi di tersebut dirubah
menjadi bernilai barisan . Penelitian diawali dengan menstransformasikan
fungsi nilai mutlak | | di menjadi fungsi norma ‖ ‖ di . Berdasarkan definisi
dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada , akan dibuktikan bahwa
definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada masih berlaku
jika fungsinya menjadi fungsi yang terdefinisi di barisan dengan mencari dan
membuktikan teorema-teorema yang mendukung bahwa fungsi barisan
memenuhi syarat bahwa fungsi tersebut terintegral Riemann.
Kata kunci: Integral Riemann, barisan
, norma.
ABSTRACT
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
By
PURNOMO AJI
Research was conducted to determine whether the definition
ofthe Riemann Integral row is still valid or if a function on is
converted into value-row . The study begins with an absolute value
function can transform |. | in be a function ofthe norm ‖ ‖ in . Based on
the definitions and theorems of Riemann integral exist in , will be proven that
the definitions and theorems of Riemann integral exist in valid if the function
becomes a function defined in the row by finding and proving theorems to
support that row function qualify that the function Riemann integral.
Key words: Integral Riemann, row
, the norm.
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
(Skripsi)
Oleh
PURNOMO AJI
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
ABSTRAK
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Telah dilakukan penelitian untuk mengetahui apakah definisi Integral Riemann
pada barisan masih berlaku atau tidak jika suatu fungsi di tersebut dirubah
menjadi bernilai barisan . Penelitian diawali dengan menstransformasikan
fungsi nilai mutlak | | di menjadi fungsi norma ‖ ‖ di . Berdasarkan definisi
dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada , akan dibuktikan bahwa
definisi dan teorema-teorema integral Riemann yang ada pada masih berlaku
jika fungsinya menjadi fungsi yang terdefinisi di barisan dengan mencari dan
membuktikan teorema-teorema yang mendukung bahwa fungsi barisan
memenuhi syarat bahwa fungsi tersebut terintegral Riemann.
Kata kunci: Integral Riemann, barisan
, norma.
ABSTRACT
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
By
PURNOMO AJI
Research was conducted to determine whether the definition
ofthe Riemann Integral row is still valid or if a function on is
converted into value-row . The study begins with an absolute value
function can transform |. | in be a function ofthe norm ‖ ‖ in . Based on
the definitions and theorems of Riemann integral exist in , will be proven that
the definitions and theorems of Riemann integral exist in valid if the function
becomes a function defined in the row by finding and proving theorems to
support that row function qualify that the function Riemann integral.
Key words: Integral Riemann, row
, the norm.
INTEGRAL RIEMANN BERNILAI BARISAN
Oleh
PURNOMO AJI
Skripsi
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG
2016
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di desa Papanrejo, kecamatan Abung Timur, Kabupaten
Lampug Utara, Privinsi Lampung. Penulis adalah anak ketiga dari pasangan
Bapak Satiran dan Ibu Ratisem.
Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar (SD) pada tahun 2005 di SD
Negeri 1 Papanrejo Kecamatan Abung Timur, Lampung Utara. Pendidikan
sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Bungamayang Lampung Utara pada
tahun 2008, pendidikan sekolah menengah atas di SMA Negeri 2 Kotabumi
Lampung Utara pada tahun 2011. Penulis melanjutkan pendidikan di perguruan
tinggi dan terdaftar sebagai mahasiswa angkatan 2012 Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
MOTTO
“Wahai orang-orang yang beriman! Bersabarlah kamu dan
kuatkanlah kesabaranmu dan tetaplah bersiap siaga dan
bertaqwalah kepada Allah agar kamu beruntung.”
(Q.S. Ali Imran : 200)
“Sesunguhnya bersama kesulitan ada kemudahan”
(Q.S. Al-Insyirah : 5-6)
PERSEMBAHAN
Dengan segala kerendahan hati dan rasa syukur, aku
persembahkan karya kecil ku ini untuk-Mu ya Allah, yang
selalu memberikan rahmat dan hidayah sehingga skripsi ini
dapat diselesaikan.
Untuk ibu, bapak, kakakku dan adiku yang selalu
memberikan dukungan, kasih sayang, dan tempat istimewa
di hati kalian, yang selalu memberikanku motivasi untuk
tetap semangat dalam melakukan segala aktivitas.
Kepada teman-temanku, yang telah memberi warna indah
di setiap langkah juangku, yang tak pernah henti memberi
dorongan dan arahan.
Ku persembahkan karya ini untuk kalian...
SANWACANA
Puji syukur penulis ucapkan kehadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan
rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan penulisan
tugas akhir sebagai salah satu syarat memperoleh gelar sarjana sains di
Universitas Lampung ini. Shalawat serta salam semoga tetap tercurahkan kepada
junjungan kita Nabi Muhammad SAW, penuntun jalan bagi seluruh umat
manusia.
Diselesaikannya penulisan skripsi yang berjudul “Integral Riemann Bernilai
Barisan
” ini tidak terlepas dari doa, bimbingan, dukungan serta saran dari
berbagai pihak yang telah membantu. Oleh karena itu, dalam kesempatan ini
penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Bapak Dr. Muslim Ansori, M.Si., selaku dosen pembimbing utama yang
telah meluangkan waktu untuk membimbing, mengarahkan, dan memotivasi
penulis sehingga skripsi ini dapat diselesaikan.
2. Bapak Drs. Suharsono S., M.S., M.Sc., Ph.D., selaku dosen pembimbing
kedua yang telah memberikan pengarahan dalam proses penyusunan skripsi
ini.
3. Bapak Agus Sutrisno, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji atas kritik dan saran
yang membangun untuk skripsi ini.
4. Ibu Ir. Netti Herawati, M.Sc.,Ph.D., selaku pembimbing akademik yang telah
membimbing penulis selama mengikuti perkuliahan di Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Lampung.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
6. Bapak Prof. Warsito, S.Si.,DEA.,Ph.D., selaku Dekan Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
7. Dosen, staff, dan karyawan Jurusan Matematika FMIPA UNILA yang telah
memberikan ilmu pengetahuan dan bantuan kepada penulis.
8. Ibu, bapak, kakak, dan adik tercinta yang selalu mendoakan dan
menyemangatiku.
9. Sahabat seperjuangan di Matematika angkatan 2012, dan keluarga besar
Matematika FMIPA UNILA.
10. Semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini, semoga
mendapat imbalan yang sesuai dari Allah SWT.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari sempurna dan penulis juga berharap
penelitian ini dapat berguna dan bermanfaat bagi pembaca, aamiin.
Bandar Lampung, 25 Juli 2016
Penulis
Purnomo Aji
DAFTAR ISI
Halaman
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah .................................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................................
1.3 Batasan Masalah ....................................................................................
1.4 Manfaat Penelitian .................................................................................
1
2
2
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux ...........................................
2.2 Integral Darboux ....................................................................................
2.3 Teorema Bolzano Weierstrass ...............................................................
2.4 Integral Riemann ...................................................................................
2.5 Ruang Barisan .......................................................................................
4
11
18
23
38
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ............................................................... 39
3.2 Metode Penelitian .................................................................................. 39
3.3 Langkah-langkah Penelitian .................................................................. 39
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Integral Riemann Bernilai Barisan ..................................................... 40
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan ............................................................................................ 59
5.2 Saran ...................................................................................................... 60
DAFTAR PUSTAKA
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang dan Masalah
Integral adalah salah satu konsep penting dalam Matematika yang dikemukakan
pertama kali oleh Isac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad
ke-17. Selanjutnya konsep ini pada tahun 1850 diteliti secara lebih mendalam
oleh Bernhard Riemann. Riemann mendefinisikan integral suatu fungsi pada
domain berupa interfal tertutup dan terbatas pada himpunan bilangan real sebagai
luas daerah dibawah kurva dari fungsi tersebut. Untuk menentukan luas daerah
tersebut diawali dengan membagi interval dimana fungsi terdefinisi menjadi
subinterval-subinterval yang banyaknya berhingga. Kemudian dibentuk poligonpoligon dengal lebar
dan tinggi
untuk
pada daerah
dibawah kurva dari fungsi tersebut. Selanjutnya ditentukan luas polgon-poligon
di atas kurva dinotasikan dengan ∑
kurva dinotasikan dengan ∑
{
dan luas polygon-poligon di bawah
dimana
} dan
{
. Dengan penghampiran
},
bahwa poligon tersebut banyaknya menuju tak hingga, maka luas daerah di
bawah kurva atau dengan kata lain integral dari suatu fungsi dapat ditentukan jika
limit dari jumlah poligon di atas kurva dan limit dari jumlah poligon di bawah
kurva bernilai sama. Cara Riemann mendefinisikan integral seperti di atas
disebut pendefisian integral secara konstruktif.
1
Pada tahun 1875, integral Riemann dimodifikasi oleh Jean Gaston Darboux
(1842-1917) dengan mengunakan jumlah atas dan jumlah bawah. Integral
Darboux ini lebih mudah dipahami daripada integral Riemann itu sendiri, dan
ternyata dapat diperlihatkan bahwa integral Darboux ekuivalen dengan integral
Riemann.
Pada pendefinisian integral Riemann tersebut, selisih limit jumlah atas atau
jumlah bawah dengan nilai integralnya mengunakan nilai mutlak | |. Selanjutnya
peneliti tertarik bagaimana jika nilai integralnya diubah menjadi barisan
. Hal
ini dimungkinkan yaitu dengan mengubah nilai mutlak | | menjadi norma ‖ ‖
pada
. Permasalahanya adalah, apakah definisi integral Riemann masih berlaku
atau tidak?
1.2 Tujuan Penelitan
Tujuan dari penelitian ini adalah mengkonstruksikan integral Riemann bernilai
barisan
.
1.3 Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, penulis hanya akan membahas integral Riemann yang
bernilai barisan
.
2
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat yang diharapkan dari hasil penulisan ini adalah:
1. Menambah pengetahuan tentang masalah integral Riemann dan teoremateorema yang berkaitan mengenai integral Riemann.
2. Dapat memberikan kontribusi pemikiran untuk memperluas dan
memperdalam wawasan di bidang analisis.
3. Memberikan informasi tentang integral Riemann bernilai barisan
.
3
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Integral Atas dan Integral Bawah Darboux
Jika diketahui selang
{
, maka himpunan terurut
dengan
merupakan partisi (partition) atau partisi
Riemann pada
. Selanjutnya,
disebut selang bagian ke- dan
disebut panjang selang bagian ke- , dan ‖ ‖
{
disebut norma (norm) partisi , (Rudin, 1987).
Jika
dan
partisi
masing-masing partisi pada
dan
merupakan penghalus (refinement) partisi
paling sederhana (kasar) adalah {
pada
dan
Bukti: Jika partisi
dan
maka terdapat bilangan asli
, maka dikatakan
. Partisi pada
yang
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka ‖ ‖
{
}
} yang dihaluskan oleh partisi
yang lain.
Teorema 2.1.1 Jika
}
‖ ‖ (Darmawijaya, 2006).
}
dengan
‖ ‖
sehingga
{
}
4
Karena
maka tepat salah satu terjadi:
dalam keadaan seperti ini maka diperoleh
‖ ‖
‖ ‖
merupakan himpunan bagian sejati dari himpunan
dan
. Jadi ada
untuk suatu . Dalam keadaan ini tentu
‖ ‖
‖ ‖
Dari dua hasil yang diperoleh dapat disimpulkan atau terbukti bahwa
‖ ‖
‖ ‖
Perlu dicatat bahwa jika
dan
masing-masing merupakan partisi pada selang
maka untuk setiap
, selalu berlaku
Contoh:
Misalkan
dan
}
{
{
{
masing-masing partisi pada selang
mudah dilihat bahwa
‖ ‖
}
dengan
‖ ‖
dan
‖ ‖
}
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
5
Jumlah atas dan jumlah bawah
Jika diketahui fungsi
partisi pada
setiap
dan
titik sebarang,
{
dan
{
terbatas
}, maka diperoleh
Karena fungsi
sehingga
berakibat bilangan
dan
{
}
{
terbatas pada
untuk
}
, maka ada bilangan
} dan
{
ada, dan berlaku
} dan
Definisi 2.1.2 Bilangan
∑
Disebut Jumlah Riemann (Riemann Sum) fungsi
pada
bilangan
∑
Disebut Jumlah Darboux Bawah (Lower Darboux Sum) fungsi
pada
,
dan bilangan
∑
Disebut Jumlah Darboux Atas (Upper Darboux Sum) fungsi
pada
,
(Darmawijaya, 2006).
Di atas telah disebutkan bahwa fungsi
dan
terbatas maka
masing-masing ada (hingga). Hal ini berakibat bilangan-bilangan
, dan
ada untuk setiap partisi
pada
,
Oleh karena itu
diperoleh teorema dibawah ini.
6
Teorema 2.1.3 Jika fungsi
pada
terbatas, maka untuk setiap partisi
, diperoleh
masing-masing ada, dan
, dengan
{
}
{
}, (Darmawijaya, 2006).
Bukti:
Nilai
dan
setiap partisi
masing-masing bergantung pada partisi , tepatnya
pada
menentukan tepat satu nlai
. Sedangkan nilai
dan tepat satu nilai
tidak hanya bergantung pada partisi
saja
Meskipun demikian,
tetapi juga bergantung pada pemilihan titik
, Teorema 2.1.3 tetap berlaku. Sifat lebih lanjut
apapun pemilihan
tentang hubungan nilai tiga jenis jumlah, yaitu jumlah Riemann dan jumlah
Darboux tersebut di atas tertuang ke dalam teorema di bawah ini.
Teorema 2.1.4 Jika fungsi
partisi pada
dan
terbatas,
masing-masing
maka
, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Mengingat teorema 2.1.3 maka akan ditunjukan
dan
.
Katakan
{
}. Jika untuk suatu
sehingga
{
dengan
{
ada
}
}
7
Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut:
(
)
dengan
dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
Katakan
{
dapat disimpulkan
}. Jika untuk suatu
sehingga
{
}
{
dengan
}
Mudah dipahami bahwa
untuk setiap dengan
Diperoleh suku kesuku dari
ada
dari
terpecah menjadi
, dengan hubungan sebagai berikut:
(
)
8
dengan
dengan
Oleh karena itu, dengan menjumlahkan seluruh
dapat disimpulkan
, maka dengan
dan
Karena terbukti
demikian terbukti bahwa
Jika
koleksi semua partisi pada
, dan didefinisikan dua himpunan
bilangan:
{
}
{
}
dan diperoleh teorema dibawah ini.
Teorema 2.1.5 Jika fungsi
terbatas ke atas dan
terbatas maka:
dikatakan terintegral Darboux bawah (lower
Darboux integrable) pada
.
terbatas ke bawah dan
Darboux integrable) pada
dikatakan terintegral Darboux atas ( upper
, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi
{
terbatas maka
{
} masing-masing ada. Menurut teorema 2.1.3 dan
teorema 2.1.4, maka untuk setiap partisi
pada
} dan
berlaku
dan
9
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
satu batas aatasnya adalah
dan
terbatas ke atas dengan salah
terbatas ke bawah dengan salah
satu batas bawahnya adalah
Berdasarkan teorema 2.1.5 maka dapat disusun pengertian-pengertian sebagai
berikut.
Definisi 2.1.6 Diketahui fungsi
( )∫
( )∫
( )∫
( )∫
, (Darmawijaya, 2006).
Teorema 2.1.7 Jika fungsi
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Karena fungsi
( )∫
pada
( )∫
Karena
dari
terbatas, maka bilangan:
terbatas, maka ( ) ∫
terbatas, maka menurut teorema 2.1.5 ( ) ∫
ada. Oleh karena itu, untuk setiap bilangan
( )∫
dan
terdapat partisi
dan
sehingga berlaku
partisi pada
( )∫
dan
maka diperoleh
diperoleh
10
yang berarti
( )∫
( )∫
( )∫
( )∫
2.2 Integral Darboux
Telah diperlihatkan bahwa setiap fungsi
yang terbatas pada suatu selang
tentu terintegral Darboux atas dan terintegral Darboux bawah pada selang
dan selalu berlaku ( ) ∫
( )∫
Definisi 2.2.1 Diketahui fungsi
maka dikatakan
terbatas pada
, jika ( ) ∫
terintegral Darboux (Darboux Integrable) pada
( )∫
, dan
bilangan
∫
disebut Integral Darboux fungsi
( )∫
pada
( )∫
, (Darmawijaya, 2006).
Teorema di bawah ini merupakan salah satu kriteria apakah suatu fungsi
terintegral Darboux atau tidak.
Teorema 2.2.2 Fungsi
yang terbatas pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan
sehingga berlaku
terintegral Darboux pada
terdapat partisi
pada
(Darmawijaya, 2006).
11
Bukti:
Syarat perlu: Diketahui fungsi
∫
( )∫
terintegral Darboux pada
( )∫
Oleh karena itu untuk setiap bilangan
, maka
terdapat partisi
pada
sehingga berlaku
∫
dan
( )∫
( )∫
karena
merupakan partisi pada
∫
dan
, maka
diperoleh
dari kedua hasil di atas, maka diperoleh
( )∫
( )∫
yang berakibat
Syarat cukup: Diketahui bahwa untuk setiap bilangan
pada
terdapat partisi
, sehingga
Telah diketahui dari definisi 2.1.6 dan teorema 2.1.7 selalu berlaku
( )∫
( )∫
12
( )∫
dan ketaksamaan terakhir berakibat
, yang berarti
( )∫
( )∫
untuk setiap
( )∫
Beberapa fungsi yang terintegral Darboux.
Tiga teorema di bawah ini memperlihatkan tiga contoh penting fungsi-fungsi
yang terintegral Darboux pada selang tertutup
Teorema 2.2.3
∫
(Darmawijaya, 2006).
Bukti:
Diambil sebarang bilangan
dan sebarang partisi
}. Karena
, untuk setiap
, maka diperoleh
Oleh karena itu diperoleh
∑
∑
yang berakibat
terintegral Darboux pada
untuk setiap
{
atau menurut teorema 2.2.2 fungsi
, maka
13
{
∫
}
{
∫
Diambil sebarang fungsi
}
yang monoton dan terbatas. Jika
konstan maka sudah terbukti. Jika
sebarang bilangan
monoton, maka
fungsi
fungsi naik monoton pada
, untuk
{
yang diambil lebih dahulu, dibentuk partisi
} pada
dengan ‖ ‖
Karena fungsi
naik
. Oleh karena itu, diperoleh
∑
}
∑{
}
∑{
}
{
yang berarti, menurut teorema 2.2.2 maka fungsi naik monoton dan terbatas, dan
terintegral Darboux pada
Bukti sejalan untuk fungsi turun monoton dan
terbatas.
Teorema 2.2.4 Setiap fungsi kontinu pada suatu selang tertutup terintegral
Darboux pada selang itu, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diketahui fungsi
seragam pada
kontinu pada selang tertutup
yaitu untuk setiap bilangan
. Fungsi
kontinu
terdapat bilangan
14
yang tak bergantung pada
(A)
dengan |
|
|
|
berakibat
{
Diambil sebarang partisi
|| ||
Jadi
} pada
untuk setiap
pada setiap selang bagian
. Karena |
|
untuk setiap
dengan
Karena fungsi
, dan terdapat
berlaku
(B)
sehingga untuk setiap
kontinu
sehingga
|
maka menurut A,
|
Oleh karena itu, diperoleh
∑
}
∑{
∑
yang berarti terbukti bahwa fungsi
terintegral Darboux pada selang tersebut.
15
Teorema 2.2.5 Setiap fungsi yang terbatas dan kontinu pada suatu selang
tertutup kecuali di beberapa titik, maka fungsi tersebut terintegral Darboux pada
selang tertutup itu, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang fungsi terbatas
yang kontinu pada selang tertutup
kecuali di titik
. Tak mengurangi arti jika dianggap
Karena fungsi
{
Untuk bilangan
}
terbatas pada
{
sebarang diambil bilangan positif
{
maka
} ada.
dengan
} Menurut teorema 2.2.3 karena fungsi
pada selang-selang
tentu ada partisi
kontinu
berturut-turut pada
selang tersebut, sehingga
untuk setiap
jelas bahwa
. Bentuk partisi
partisi pada
jika
dan
{
}
maka diperoleh
{
}
∑{
}
∑
16
∑
∑
Dengan kata lain, dapat dikontruksikan partisi
asalkan
pada
sehingga berakibat
yang berarti terbukti bahwa fungsi
Akibat 2.2.6 Jika fungsi
terintegral Darboux pada
terbatas dan
dibeberapa titik, maka fungsi
untuk setiap
terintegral Darboux pada
kecuali
dan
(Darmawijaya, 2006).
∫
,
Dengan tiga teorema di atas, banyak jenis fungsi dengan secara mudah dapat
ditentukan apakah fungsi itu terintegral Darboux pada selang tertutup
atau
tidak.
17
2.3 Teorema Bolzano Weierstrass
Sebelum membahas tentang teorema Bolzano Weierstrass, ada baiknya terlebih
dahulu membahas beberapa teorema di bawah ini yang merupakan landasan dasar
dari teorema Bolzano Weierstrass.
Teorema 2.3.1 (Barisan Monoton)
Barisan monoton {
(i)
(ii)
} konvergen jika dan hanya jika {
} terbatas. Lebih lanjut
Jika {
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
Jika {
} turun monoton dan terbatas ke bawah, maka
(Berberian, 1996).
{
}
{
}
{
}
{
}
Bukti:
}. Jika {
(i) Diambil sebarang barisan monoton {
bilangan
jadi {
sehingga
{
} terbatas. Sebaliknya, jika {
suprimumnya, maka
ada bilangan asli
karena {
{
sehingga
}
} konvergen, maka ada
} terbatas ke atas, sebut
sebagai
}. Maka untuk setiap bilangan nyata
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
18
untuk setiap bilangan asli
bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau
|
|
dengan kata lain terbukti bahwa
{
jadi {
sehingga
{
} terbatas. Sebaliknya, jika {
}
infirmumnya, dengan
maka untuk setiap bilangan nyata
karena {
} konvergen, maka ada
}. Jika {
(ii) Diambil sebarang barisan monoton {
bilangan
}
{
} terbatas ke atas, sebut
}
terdapat bilangan asli
sebagai
sehingga
} naik monoton dan terbatas ke atas, maka
untuk setiap bilangan asli
bilangan asli
Dari hasil A dan B diperoleh, untuk setiap
berlaku
atau
|
|
19
dengan kata lain terbukti bahwa
jadi terbukti bahwa barisan monoton {
terbatas.
{
}
}
} konvergen jika dan hanya jika {
Teorema 2.3.2 (Teorema Selang Susut)
Jika barisan selang tertutup {
(i)
} mempunyai sifat-sifat
untuk setiap
(ii)
untuk setiap
maka terdapat satu bilangan nyata
,
(Darmawijaya, 2006).
untuk setiap bilangan asli
Bukti: Karena
barisan {
} naik monoton dan terbatas ke atas dan barisan {
dengan
} konvergen ke infrimumnya, jadi
{
satu pernyataan berikut benar
Untuk
} dan
atau
} turun monoton
} konvergen ke suprimumnya
dan terbatas ke bawah. Menerut teorema 3.3.1 {
dan {
diperoleh
dan
{
tidak mungkin, sebab jika
}. Maka salah
maka mengingat syarat
(ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
Untuk
juga tidak mungkin, sebab jika
maka mengingat
syarat (ii) diperoleh suatu kontradiksi, yaitu:
20
Sehingga pernyataan
Diambil
adalah yang paling tepat.
, akan iperlihatkan
Karena
asli . Karena
{
untuk setiap bilangan asli .
} diperoleh
{
untuk setiap bilangan
} diperoleh
untuk setiap
bilangan asli . Jadi, dapat disumpulkan bahwa
untuk setiap bilangan asli
Ketungalan
atau
cukup jelas karena ketungalan
atau
ketungalan
Teorema 2.3.3 Setiap barisan bilangan nyata paling sedikit mempunyai satu
barisan bagian yang monoton, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang bilangan nyata {
paling sedikit satu terjadi, yaitu:
(i)
(ii)
Untuk setiap
ada
}, maka terdapat tiga kemungkinan,
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
}
Untuk setiap
dan
konstan, maka {
} barisan monoton.
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
monoton.
(iii)
dan
Untuk setiap
ada
sehingga
hal ini terjadi, maka terdapat barisan bagian {
monoton.
}
{
{
dan
}
{
Jika
} yang
Jika
} yang naik
Jika
} yang turun
21
Teorema 2.3.4 (Teorema Bolzano Weierstrass)
Setiap barisan bilangan nyata yang terbatas mempunyai barisan bagian yang
konvergen, (Darmawijaya, 2006).
Bukti: Diambil sebarang barisan {
{
} mempunyai barisan {
} yang terbatas. Menurut teorema 2.3.3
} bagian yang monoton. Jadi {
monoton terbatas. Oleh karena itu, menurut teorema 2.3.1 {
} barisan yang
} konvergen.
Teorema Bolzano Weierstrass dapat juga dibuktikandengan mengunakan teorema
selang susut. Teorema Bolzano Weierstrass mengatakan bahwa jika {
yang terbatas, maka setiap barisan bagianya yang konvergen tidak perlu
} barisan
mempunyai limit yang sama. Tetapi jika setiap barisan bagianya yang konvergen
itu mempunyai limit yang sama, maka barisan aslinya akan konvergen ke limit
yang sama.
22
2.4 Integral Riemann
Telah diketahui bahwa jika fungsi f : [a,b]
terbatas dan P partisi pada [a,b],
maka berakibat
L(f;P)
U ( f ;P )
George Friedrich Bernhard Riemann mengunakan
untuk menyusun
integralnya (Rudin, 1987).
Definisi 2.4.1 (Integral Riemann)
Fungsi f : [a,b]
dikatakan terintegral Riemann (Riemann Integrable) pada
[a,b] jika terdapat bilangan A sehingga untuk setiap bilangan
bilangan
‖ ‖
terdapat
sehingga jika P = { a = x0, x1,...,xn = b } partisi pada [a,b] dengan
berakibat
|
|
|
∑
|
A disebut nilai integral Riemann fungsi f pada [a,b], (Darmawijaya, 2006).
Perlu diingat bahwa pengambilan
[ xi-1,xi ] sebarang, dan ‖ ‖ = maks {
,
i= 1,2,…,n }. Sehingga menurut definisi 2.4.1 fungsi f terintegral Riemann pada
[a,b] jika dan hanya jika
‖ ‖
‖ ‖
∑
Teorema 2.4.2 Jika f terintegral Riemann pada [a,b], maka nilai integralnya
tunggal, (Darmawijaya, 2006).
23
Bukti: Jika A1 dan A2 merupakan nilai integral Riemann pada [a,b], maka untuk
sebarang bilangan
< 0 terdapat bilangan
1
< 0 dan
2
< 0 sehingga jika
P1 = { a = x0, x1, … , xn = b } dan P2 = { a = x0, x1, … , xn = b } adalah partisi
dari [a,b] dengan || P1 || <
|
diambil
dan
|
1
1,
2 },
yang berarti
|
berturut-turut maka berakibat
|
∑
partisi P = { a =
[ Zi-1, Zi]. Karena || P ||
|
2,
|
∑
= min {
dan | |P2 || <
i
= b } dengan || P || <
dengan i = 1,2 maka diperoleh
|
∑
|
|
|∑
dan bukti selesai.
Menurut definisi 2.4.1 dan teorema 2.4.2 jika fungsi f terintegral Riemann pada
[ a,b ] dengan nilai integral Riemannya A, yang dapat ditulis dengan
∫
tunggal.
Teorema 2.4.3. Jika fungsi
terbatas pada
∫
terintegral Riemann pada
(Darmawijaya, 2006).
Bukti: Andaikan fungsi f tak terbatas ke atas pada
bilangan asli
, maka
terdapat
, maka untuk setiap
sehingga
24
Untuk setiap partisi
beratri
{
}, tentu
. Hal ini
‖ ‖
(tidak ada) yang dengan kata lain fungsi
tak terintegral Riemann pada
.
Bukti sejalan, apabila diandaikan tak terbatas kebawah.
Teorema 2.4.4. ( Kriteria Cauchy )
Diketahui fungsi
terbatas. Fungsi
terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika untuk setiap bilangan
sehingga jika
dan
partisi pada
berakibat |
|
Bukti:
Syarat perlu: Jika
dengan ‖ ‖
(Berberian, 1996).
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan
partisi pada
dengan ‖ ‖
|
dan
dengan ‖ ‖
pada
berakibat
|
sehingga jika
berakibat
Diambil sebarang dua partisi
|
dan ‖ ‖
, maka ada bilangan
terdapat bilangan
|
‖ ‖
terdapat bilangan
|
|
|
dan
|
25
Syarat cukup: Menurut yang diketahui untuk bilangan 1 terdapat bilangan
sehingga jika
‖ ‖
Tulis
dan
berakibat |
sebagai koleksi semua partisi
untuk setiap
dengan ‖ ‖
masing-masing partisi pada
pada
|
, untuk setiap
|
atau
dengan
‖ ‖
Diambil
dan
diperoleh
|
jadi, himpunan bilangan nyata
{
terbatas. Jika angota
dan oleh karena itu
tangga, maka
banyaknya hingga, maka
terintegral Riemann pada
}
merupakan fungsi tangga
Jika fungsi
bukan fungsi
merupakan himpunan bilangan terbatas yang banyak
angotanya tak hingga. Menurut teorema 2.3.4. (Teorema Bolzano-Weierstrass),
mempunyai paling sedikit satu titik limit, namakan titik limit itu
Hal ini berarti untuk setiap bilangan
terdapat
sehingga
Dengan kata lain fungsi
|
|
terintegral Riemann pada
26
Teorema 2.4.3. mengatakan bahwa setiap fungsi yang tak terbatas pada suatu
selang tertutup tak akan terintegral Riemann pada selang itu. Teorema dibawah
ini akan menunjukan ekuivalensi antara integral Riemann dan integral Darboux.
Teorema 2.4.5. Fungsi
terintegral Riemann jika dan hanya jika
terintegral
Darboux pada selang tertutup yang sama. Lebih lanjut
∫
∫
(Berberian, 1996).
Bukti:
Syarat perlu: Jika fungsi
jika
∫
terintegral Riemann pada
sehingga untuk setiap bilangan
{
terdapat bilangan
} partisi pada
berakibat
|
|
|
, maka ada bilangan
dan
dengan ‖ ‖
|
∑
atau
sebarang. Karena
Perlu diingat bahwa pemilihan
dan
{
}
27
{
ada, maka untuk setiap
dapat dipilih
}
sehingga
( )
( )
setelah dikalikan dengan
kemudian dijumlahkan, diperoleh
oleh karena itu
yang berakibat
atau fungsi
terintegral Darboux pada
Syarat cukup: Karena
setiap bilangan
terintegral Darboux pada selang
terdapat partisi
pada
, maka untuk
sehingga berlaku
Tetapi telah diketahui bahwa
∫
berdasarkan tiga ketidaksamaan terakhir, dapat disimpulkan bahwa
|
∫
|
28
yang berarti bahwa fungsi
terintegral Riemann pada
∫
, dan
∫
Setelah diketahui adanya ekuivalensi antara integral Riemann dan integral
Darboux, maka akan diselidiki sifat-sifatnya lebih lanjut. Untuk menyingkat
penulisan perlu diadakan kesepakatan bersama bahwa jika tidak ada kerancuan
atau maksud tertentu, untuk selanjutnya yang dimaksud dengan perkataan fungsi
yang terintegral adalah fungsi yang terintegral Riemann atau fungsi yang
terintegral Darboux dan
∫
∫
∫
Himpunan semua fungsi yang terintegral Riemann atau terintegral Darboux pada
selang tertutup
Jadi, jika
berturut-turut ditulis dengan
terintegral pada
ditulis dengan
dan untuk lebih menyingkat nilai integralnya maka dapat ditulis dengan ∫
∫
Jadi
∫
∫
∫
∫
29
{
Mudah dipahami bahwa untuk setiap partisi
pada
,
sebarang konstanta
}
untuk
setiap , selalu berlaku:
1.
2.
3.
asalkan
4.
asalkan
5.
asalkan
6.
asalkan
7.
8.
Teorema 2.4.6. R
merupakan ruang linear untuk setiap
dan
Lebih lanjut
i.
ii.
∫
∫
∫
∫
(Stewart, 2002).
Bukti: Karena
∫
, maka menurut teorema 2.4.3. fungsi
masing-masing terbatas pada
{|
|
dan fungsi
Namakan
}
{|
|
}
30
dan
{| |
karena
}
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
terdapat bilangan
partisi pada
dengan ‖ ‖
berakibat
|
|∫
|
|∫
selanjutnya diperoleh
i.
| ∫
|
| |
| ∫
Dengan kata lain terbukti bahwa
ii.
| ∫
|∫
∫
∫
|
|
|∫
∫
∫
|
∫
|
dan
∫
∫
terbatas dan
kecuali dibeberapa titik, maka fungsi
|
dan
|∫
Dengan kata lain, terbukti bahwa
Menurut akibat 2.2.6. jika fungsi
| | |∫
|
untuk setiap
,
terintegral dan
∫
dengan mengunakan hasil tersebut akan dibuktikan teorema dibawah ini.
31
Teorema 2.4.7. Jika
, fungsi
kecuali di beberapa titik, maka
Bukti: Karena fungsi
untuk setiap
dan
, kecuali dibeberapa titik. Oleh karena itu
menurut akibat 2.2.6 fungsi
terintegral dan
∫
∫
dan
∫
∫
∫
untuk setiap
, maka
∫
(Berberian, 1996).
Bukti: Karena
setiap partisi
dan
mempunyai sifat terbatas pada
untuk setiap
Teorema 2.4.8 Jika
∫
terbatas pada
, maka fungsi
∫
, dan
, dan
∫
(Berberian, 1996).
terbatas pada
untuk setiap
{
dan
} pada
, maka untuk
diperoleh
dengan
Hal ini berakibat
{
}
‖ ‖
{
}
∫
32
Teorema 2.4.9 Jika
dan
untuk setiap
∫
(Berberian, 1996).
Bukti: Dibentuk fungsi
∫
Mudah difahami bahwa
untuk setiap
dan
Menurut teorema 2.4.8 diperoleh
∫
atau terbukti bahwa
maka
∫
∫
∫
∫
Teorema 2.4.10 Diketahui
jika dan hanya jika
dan
dan
∫
(Stewart, 2002).
∫
terbatas.
. Dalam hal ini
∫
∫
Bukti:
Syarat perlu: Karena
partisi
pada
dibentuk
dan
partisi pada
, maka untuk setiap bilangan
terdapat
, sehingga
{ }
dengan
Jelas bahwa
partisi pada
dan
Oleh karena itu diperoleh
33
dari
diperoleh
}
{
}
{
yang berakibat
dengan kata lain terbukti bahwa
dan
{
∫
}
{
{
∫
. Lebih lanjut
}
∫
Syarat cukup: Karena
dan
{
}
}
, maka nilai-nilai limit dibawah
ini ada:
dengan
∫
‖
‖
merupakan partisi pada
jelas bahwa
partisi pada
∫
‖ ‖
‖
∫
∫
dan
‖
‖
merupakan partisi pada
Oleh karena itu
‖ ‖
‖
‖
‖
∫
34
Catatan: Syarat cukup dapat dibuktikan dengan memanfaatkan bahwa fungsi
terintegral Darboux pada
maupun pada
Teorema 2.4.11 Jika fungsi
terintegralkan pada
kontinu pada
fungsi
dan
untuk setiap
terintegral pada
Bukti: Karena
maka
} ada. Lebih lanjut, fungsi
Oleh karena itu untuk sebarang bilangan
sehingga jika
{
Diambil
partisi
pada
katakana
|
|
|
|
berakibat
} Karena fungsi
terintegral pada
} dan
{
, maka terdapat
}
}
}
{
}
{
tersebut menjadi dua kelompok yang terpisah
{
dan berakibat
kontinu seragam pada
terdapat bilangan
{
Jika
terbatas disana.
sehingga berlaku
{
dibedakan indeks
maka
(Berberian, 1996).
kontinu pada selang tertutup
{
Jadi,
serta fungsi
}
maka diperoleh |
{
|
35
| (
oleh karena itu
)
|
dan
∑
jika
maka diperoleh
Oleh karena itu
∑
∑
jika
maka diperoleh
dan
∑
∑
{
oleh karena itu, untul
}
diperoleh
∑
dari
dapat disimpulkan
dengan kata lain terbukti fungsi
terintegral pada
36
Teorema 2.4.12 Jika
, maka
Bukti: karena
(Gaughan, 1998).
, maka untuk setiap bilangan
sehingga jika
|∫
dengan ‖ ‖
partisi pada
|
terdapat bilangan
berakibat
|∫
|
selanjutnya diperoleh
| ∫
∫
|∫
∫
|∫
∫
|∫
|
|
∫
∫
∫
|
∫
|
∫
|
(∫
(∫
|
| (∫
)|
)|
)|
dengan kata lain terbukti bahwa
37
2.5 Ruang Barisan
Definisi 2.5.1
Deberikan
yaitu koleksi semua barisan bilangan real, jadi:
a. Untuk setiap bilangan real
{
{ }
b. Untuk
pada
∑
{ ̅
}
{
dengan
} dan norm pada
‖ ‖
∑| |
yaitu
{
{ }
‖ ‖
pada
didefinisikan
yaitu
(Darmawijaya, 2007).
didefinisikan
| |
didefinsikan
c. Untuk
}
‖ ‖
∑
yaitu
| |
} dan norm
| |
} dan norm
∑| |
{
{ }
| |
38
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan di jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam Universitas Lampung pada semester ganjil tahun ajaran 20152016.
3.2 Metode Penelitian
Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah studi pustaka, yaitu dengan
mengkaji buku-buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penelitian ini.
3.3 Langkah-Langkah Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan pada penelitian ini adalah sebagai
berikut:
Mengetahui definisi tentang integral Riemann dan teorema-teorema yang
berkaitan dengan integral Riemann.
Menganti fungsi nilai mutlak | | di
dengan fungsi norma ‖ ‖ di
.
Membuktikan apakah definisi dan teorema-teorema yang terkait dengan
integral Riemann bernilai barisan
.
39
V. KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Pada penelitian ini telah berhasil dikonstruksikan integral Riemann untuk fungsifungsi bernilai barisan
yang merupakan pengembangan dari integral Riemann
fungsi-fungsi bernilai real
Fungsi ̅
dikatakan terintegal Riemann pada
bilangan ̅
sehingga untuk setiap bilangan
terdapat bilangan
‖
berakibat
̅
‖
integral Riemann fungsi ̅ pada
Perlu diingat bahwa pengambilan
jika dan hanya jika
‖ ̅
∑|
dengan ̅
{
{
sehingga jika
dengan ‖ ‖
pada
jika ada
dan ̅
.
} partisi
∑ ̅
∑
‖
|
, ̅ disebut nilai
sebarang dan ‖ ‖
}. Selanjutnya fungsi ̅ terintegral Riemann pada
59
‖ ‖
Jika ̅
‖ ‖
terintegral Riemann pada
tunggal. Fungsi ̅
̅
, maka nilai integralnya
terintegral Riemann pada
jika dan hanya jika
Riemann pada
∑ ̅
masing-masing terintegral
.
5.2 Saran
Pembahasan skripsi ini hanya berfokus pada integral Riemann yang bernilai
barisan
, sehingga penulis menyarankan agar dilakukan penelitian yang lain.
60
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S.K. 1996. Fundamental of real Analysis. Unyversity of Texas,
USA.
Darmawijaya, Soeparna. 2006. Pengantar Analisis Real. Universitas Gajah
Mada, Yogyakarta.
Darmawijaya, Soeparna. 2007. Pengantar Analisis Abstrak. Universitas Gajah
Mada, Yogyakarta.
Gaughan, Edward, D. 1998. Introduction to Analysis. Fifth Edition. New
Mexico State University, Mexico.
Rudin, Walter. 1987. Principles of Mathematical Analysis. Third Edition.
McGraw-Hill, New York.
Stewart, J. 2002. Kalkulus. Edisi keempat, Jilid 1. Alih Bahasa oleh I Nyoman
Susila dan Hendra Gunawan. Erlangga, Jakarta.
61