Diberikan sistem dinamik ̇ =
dengan ∈ ℝ . Penyelesaian dengan kondisi awal
= pada saat dinotasikan dengan
, maka a
Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil jika untuk setiap ada sedemikian sehingga jika ‖ − ̅‖ maka ‖
− ̅‖ untuk semua .
b Titik ekuilibrium ̅ dikatakan stabil asimtotis jika titik ̅ stabil dan jika ada sedemikian
sehingga lim
→∞
‖ − ̅‖ = apabila ‖ − ̅‖ .
c Titik ekuilibrium ̅ dikatakan tidak stabil jika tidak memenuhi kedua kondisi di atas.
Gambar 2.2 Titik ekuilibrium stabil Gambar 2.3. Titik ekuilibrium stabil
asimtotik Apabila terdapat sistem
̇ = � dengan titik ekuilibrium
̅, sistem tersebut stabil jika titik ekuilibriumnya stabil. Namun, jika titik ekuilibriumnya tidak stabil maka sistem dikatakan tidak
stabil.
C. Sistem Dinamik Linear
Menurut Perko 2001: 1, sistem linear dapat dinyatakan dalam bentuk ̇ = � , ∈ ℝ
2.2
dimana A adalah matriks persegi berukuran × dan adalah matriks berukuran × .
Sebelum melanjutkan pembahasan mengenai sistem linear, terlebih dahulu akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen.
Definisi 2.5 Howard Anton, 1998, 277
Jika A adalah matriks berukuran × dan sistem persamaan diferensial biasa homogen ̇ = � ,
= , ∈ ℝ , maka vektor taknol ∈ ℝ disebut vektor eigen eigenvector dari A jika terdapat suatu skalar
∈ ℝ sedemikian sehingga
� =
2.3
Nilai skalar dinamakan nilai eigen eigenvalue dari A. Nilai eigen dari matriks A yang berukuran
× dapat dicari dengan menuliskan Persamaan 2.3 ke dalam bentuk lain sebagai
� − =
2.4
dengan I adalah matriks identitas. Persamaan 2.4 mempunyai pemecahan tak nol jika dan hanya jika
− � =
2.5
Persamaan 2.5 dinamakan persamaan karakteristik dari matriks A.
Contoh 2.3
Tentukan nilai eigen dan vektor eigen dari matriks A berikut ini.
� = [ ]
Karena
− � = [ ] − [
] = [ −
− −
− −
],
maka persamaan karakteristik dari A adalah
− � = [
− −
− −
− ] =
− −
, 2.6
sehingga berdasarkan persamaan 2.6 diperoleh nilai eigen dari matriks A yaitu = ,
= , dan = .
Berdasarkan Definisi 2.5,
= [ ]
adalah vektor eigen dari matriks A yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah pemecahan tak nol dari
− � = , yaitu dari
[ −
− −
− −
] [ ] = [ ]
2.7
Untuk = , maka Persamaan 2.7 menjadi
[− −
− −
] [ ] = [ ]
2.8
Sistem 2.8 ekuivalen dengan persamaan berikut − −
=
2.9a
− −
+ =
2.9b
Berdasarkan Persamaan 2.9 didapatkan pemecahan dari sistem 2.8 adalah = − dan =
. Misal = , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[− ]
Untuk = , maka persamaan 2.7 menjadi
[− −
− ] [ ] = [ ]
2.10
Sistem 2.10 ekuivalen dengan persamaan berikut =
2.11a
− =
2.11b
− −
+ =
2.11c
Berdasarkan Persamaan 2.11 didapatkan pemecahan dari sistem 2.10 adalah = . Misal
= , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[ ]
Untuk = , maka persamaan 2.7 menjadi
[ −
− −
− −
] [ ] = [ ]
2.12
Sistem 2.12 ekuivalen dengan persamaan berikut
− =
2.13a
− − =
2.13b
− −
= 2.13c
Berdasarkan Persamaan 2.13 didapatkan pemecahan dari sistem 2.12 adalah = dan =
. Misal = , maka vektor eigen yang bersesuaian dengan = adalah
[ ]
Maka, vektor eigen yang bersesuaian dengan matriks A adalah [− ], [ ], dan [ ].
Definisi 2.6 Anton, 1991: 284
Matriks bujur sangkar A dikatakan terdiagonalisasi jika terdapat matriks P yang mempunyai invers sehingga
�
−
�� diagonal sehingga matriks P dikatakan mendiagonalisasi matriks A. [− ], [ ],
dan
[ ]
Contoh 2.4
Tunjukkan bahwa matriks [
] dapat didiagonalisasi.
Berdasarakan contoh 2.2 matriks tersebut mempunyai 3 vektor eigen, yaitu � = [− ], � = [ ],
dan � = [ ].
Maka
� = [− ], dengan �
−
= [ ]
Sistem 2.2 dengan kondisi awal = mempunyai solusi
=
�
2.14
dengan
�
adalah fungsi matriks berukuran × yang didefinisikan sebagai deret Taylor.
Definisi 2.7 Perko, 2001: 1
Bentuk
�
adalah fungsi matriks berukuran × yang dinyatakan
�
= + ∑
�
� �
∞ =
2.15
Jika deret 2.15 didiferensialkan suku demi suku maka diperoleh
[
�
] = ∑ �
−
−
∞ =
= � [ + ∑ �
∞ =
] = �
�
sehingga turunan pertama dari
�
adalah
�
= �
�
Sebagai hasil dari interpretasi fungsi matrikss eksponensial
�
, dapat dituliskan solusi dari masalah nilai awal
̇ = � , =
dalam bentuk =
�
Dalam hal ini terdapat tiga kemungkinan bentuk
�
, yaitu : 1.
Jika matriks A memiliki nilai eigen real dan berbeda maka bentuk
�
menjadi
�
= � [
]�
−
dengan � = [
. . ] adalah matriks invertibel, dan adalah nilai eigen dari matriks A,
dengan , ∈ ℕ dan
[ ] = [
⋱
�
].
Sehingga Persamaan 2.14 menjadi = �
[ ]�
−
2.16
2. Jika matriks A berukuran ×
dengan blok × sepanjang diagonal, memiliki sebanyak
nilai eigen kompleks yang berbeda maka bentuk
�
menjadi
�
= � [cos
− sin
cos ] �
−
dengan � = [
. . ] adalah matriks invertibel, dan = ±
adalah nilai eigen dari matriks A, dengan
, ∈ ℕ. Sehingga Persamaan 2.14 menjadi
= � [cos
− sin
cos ] �
−
2.17
3. Jika matriks A berukuran × , mempunyai sebanyak nilai eigen kembar maka bentuk
�
menjadi
�
= � [
]�
−
[ + � + + �
− −
− ]
dengan � = [
. . ] adalah matriks invertibel, dan adalah nilai eigen dari matriks A, dan � adalah matriks nilpotent � = � − , =
[ ], dengan syarat �
−
≠ dan � = untuk
�.
Sehingga Persamaan 2.14 menjadi
= � [
]�
−
[ + � + +
�
− −
−
]
2.18
D. Sistem Dinamik Non Linear
