Inversi Linier Under-Determined
4.2 Inversi Linier Under-Determined
Misalkan kita tinjau permasalahan inversi linier d G m dimana
(c) (d)
jumlah data lebih kecil dari pada jumlah parameter model (N < M) yang disebut sebagai purely under-determined. Terdapat banyak (bahkan tak-
Gambar 4.1 hingga) solusi dengan kesalahan prediksi data E = 0. Selama hubungan Regresi garis lurus pada kasus over-determined (a), even-determined (b)
antara data dengan parameter model d G m bersifat konsisten maka dan under-determined (c). Informasi tambahan berupa intercept ataupun
gradien untuk memperoleh solusi inversi linier under-determined (d). sebenarnya data memberikan informasi mengenai parameter model, namun informasi tersebut tidak cukup untuk menentukan model secara
unik. Untuk memperoleh solusi maka kita perlu suatu cara yang dapat Pada kasus under-determined data tidak cukup memberikan
menentukan atau memilih secara obyektif salah satu dari tak-hingga kendala untuk menentukan solusi atau model secara unik (tunggal).
solusi dengan E = 0. Untuk itu kita perlu menambahkan informasi lain Untuk mengatasi masalah tersebut maka diperlukan informasi tambahan
yang tidak terkandung dalam hubungan d G m . yang diharapkan dapat memberikan kendala atau batasan terhadap model
Informasi tambahan yang sering disebut sebagai informasi yang dicari. Pada contoh regresi garis lurus informasi tersebut misalnya:
"a priori" merupakan kuantifikasi ekspektasi atau harapan mengenai Informasi mengenai titik lain (yang diperoleh secara independen)
karakteristik solusi yang tidak didasarkan pada data pengukuran. Contoh yang harus dilalui garis yang dimaksud sehingga permasalahan
informasi "a priori" pada regresi garis lurus dengan hanya satu data telah inversi menjadi even-determined karena N = M = 2.
dibahas pada sub-Bab terdahulu. Contoh informasi "a priori" lainnya
untuk merepresentasikan kriteria yang lebih realistis. Selain itu arti
adalah dalam bentuk interval harga parameter model, seperti pada
kriteria tersebut secara fisis diharapkan lebih jelas.
pemodelan data gravitasi. Harga rapat massa batuan sudah dapat
Berdasarkan asumsi bahwa norm model harus minimum maka
dipastikan selalu positif ( > 0) atau rapat massa batuan terdapat pada
permasalahan inversi menjadi pencarian model m yang memenuhi
selang atau interval tertentu ( min < < max ). Dalam penyelesaian
kriteria L minimum dengan kendala atau syarat e d G m 0 . Secara
masalah inversi, informasi "a priori" tersebut dapat mempersempit
analitik matematis permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan
"daerah" pencarian solusi yang mungkin.
menggunakan metode pengali Lagrange (Lagrange multipliers). Berikut
Hal-hal yang sering menjadi pertanyaan dalam penggunaan
akan dibahas terlebih dahulu konsep metode pengali Lagrange untuk
informasi "a priori" pada penyelesaian masalah inversi adalah mengenai
suatu fungsi yang umum. Selanjutnya metode pengali Lagrange tersebut
asal, ketelitian dan cara kuantifikasi informasi tersebut. Keberatan atau
digunakan untuk memformulasikan solusi inversi linier purely under-
kritik terhadap penggunaan informasi "a priori" disebabkan oleh sifatnya
determined.
yang cenderung subyektif. Hal tersebut dikhawatirkan akan
Misalkan permasalahannya adalah meminimumkan suatu fungsi
mempengaruhi hasil inversi secara tidak proporsional atau yang disebut
F (x, y) terhadap x dan y dengan kendala (x, y) = 0. Pada nilai minimum
sebagai bias. Oleh karena itu pemilihan informasi "a priori" harus
fungsi F(x, y) perubahan kecil pada x dan y tidak berpengaruh terhadap
dilakukan dengan cermat sehingga solusi yang diperoleh memang dapat
nilai F sehingga berlaku:
menjelaskan data pengamatan dan bukan sebagai akibat pengaruh informasi "a priori" yang dominan.
dF F dx F dy 0 (4.5)
Salah satu informasi "a priori" yang dapat digunakan dalam penyelesaian masalah inversi purely under-determined adalah asumsi
Fungsi kendala (x, y) berharga nol untuk setiap x dan y sehingga
bahwa solusi yang dicari bersifat "sederhana". Konsep kesederhanaan
turunannya terhadap x dan y juga berharga nol:
atau kompleksitas model dikuantifikasikan sebagai panjang vektor atau norm (L 2 ) dari model sebagai berikut:
m 2 i (4.4) Penjumlahan persamaan (4.5) dan (4.6) dengan pengali Lagrange
sebagai pembobot persamaan (4.6) menghasilkan:
Berdasarkan perumusan pada persamaan (4.4), suatu model disebut
dy 0 (4.7) x x
"sederhana" jika L minimum.
Meskipun kriteria norm model minimum tersebut kurang memiliki landasan fisis namun dapat dijadikan kriteria untuk memperoleh solusi
Jika persamaan (4.7) berlaku untuk setiap maka problematika
inversi linier pada kasus dimana N < M (purely under-determined). Untuk
menjadi pencarian minimum fungsi F + tanpa fungsi kendala. Salah
sementara kriteria norm model minimum dianggap dapat diterima. Pada
satu syarat agar persamaan (4.7) berlaku adalah masing-masing suku
pembahasan selanjutnya kriteria yang berhubungan dengan sifat yang
berharga nol sehingga terdapat 3 persamaan dengan 3 variabel tak
harus dipenuhi oleh solusi atau model akan dikembangkan lebih umum
diketahui yaitu x , y dan . Persamaan tersebut adalah sebagai berikut:
Dengan memperhatikan penurunan solusi inversi linier pada 0 ,
F
F
0 , ( x , y ) 0 (4.8) x x y
persamaan (2.22) maka persamaan (4.10) dapat ditulis kembali dalam bentuk matriks sebagai berikut:
Persamaan (4.5) sampai (4.8) dapat diperluas untuk fungsi F dan yang
2 G λ (4.12) q fungsi kendala sehingga juga merupakan besaran vektor x = 0 ( k ;
1 merupakan fungsi dari suatu vektor x (x T i ; i = 1, 2, ... , p) dengan sejumlah m
Substitusi persamaan (4.12) ke dalam persamaan kendala d G m
k = 1, 2, ... , q). Dengan demikian persamaan simultan yang harus
menghasilkan d G m G [ 0 . 5 G T λ ] sehingga diperoleh pengali
diselesaikan berjumlah (p + q) dan dinyatakan sebagai berikut:
Lagrange
2 [ G G T λ 1 ] d . Selanjutnya substitusi pengali Lagrange
p F k
0 dan k ( x ) 0 (4.9)
tersebut ke dalam persamaan (4.12) menghasilkan:
1 m G [ G G ] d (4.13) dimana i = 1, 2, ... , p dan k = 1, 2, ... , q.
Sebagaimana solusi inversi linier pada persamaan (2.23) yang
Berdasarkan analogi dengan permasalahan minimisasi mengguna-
secara umum berlaku untuk kondisi over-determined (N > M), persamaan
kan konsep pengali Lagrange di atas maka minimisasi panjang vektor
(4.13) di atas adalah solusi untuk masalah inversi linier purely under-
atau norm model T L m m dengan kendala e d G m 0 pada
determined (N < M). Solusi tersebut sering pula disebut sebagai solusi
dasarnya adalah minimisasi ) (m L e T λ yang dapat diuraikan
inversi linier dengan norm model minimum karena diperoleh dengan
menjadi:
meminimumkan "panjang" vektor model m. Dalam hal ini matriks G G
adalah matriks bujur-sangkar (N N) yang diasumsikan bahwa inversnya
G G T (m ) L
bukan matriks singulir. Contoh penerapan dari
dapat dihitung atau
inversi linier under-determined ini akan dibahas pada Bab tentang
aplikasi inversi linier pada data gravitasi dan magnetik.
Sebagaimana telah dilakukan pada metode inversi linier over- determined , matriks resolusi data, matriks resolusi model serta matriks
Dalam hal ini jumlah pengali Lagrange adalah N yang sama dengan
satuan ko-variansi model dapat dirumuskan berdasarkan matriks
jumlah data. Jika g (m) minimum maka turunannya terhadap m atau generalized inverse untuk inversi linier purely under-determined G
G setiap elemen parameter model m q sama dengan nol ( /m q T = 0) [ G G T ] 1 sehingga diperoleh:
sehingga diperoleh suatu sistem persaman berikut (q = 1, 2, ... , M):
1 N G G G G [ G G ] I (4.14) M m
R G G G [ G G ] G (4.15)
m G G G [ G G ] G [ G G ]
0 2 m q i G iq
Tampak bahwa pada inversi linier dengan kriteria norm model minimum matriks resolusi data adalah matriks identitas. Dengan demikian data dapat ter-resolusi dengan baik. Hal tersebut sesuai dengan perumusan solusi yang diperoleh dengan meminimumkan model dengan kendala kesalahan prediksi data E = 0.