Metode Guided Random Search oleh M parameter yaitu m = (m 1 ,m 2 ,…,m M ).

6.3 Metode Guided Random Search oleh M parameter yaitu m = (m 1 ,m 2 ,…,m M ).

Simulated Annealing

Menurut persamaan (6.7) pada temperatur tinggi sistem dapat mengalami perubahan konfigurasi dan perturbasi yang menghasilkan

Tujuan utama metode inversi umumnya bukan untuk mengetahui

konfigurasi dengan energi rendah memiliki probabilitas lebih besar.

secara keseluruhan bentuk permukaan fungsi obyektif pada ruang model,

Meskipun demikian, perturbasi yang menghasilkan konfigurasi dengan

melainkan mencari nilai minimum. Nilai minimum yang dicari adalah

energi tinggi masih dimungkinkan (probabilitas tidak nol). Pada saat

minimum global dari fungsi obyektif yang berasosiasi dengan model

temperatur menurun, perturbasi yang menghasilkan konfigurasi dengan

optimum. Untuk menghindari konvergensi solusi ke minimum lokal maka

energi lebih rendah memiliki probabilitas makin besar, sedangkan

digunakan metode pencarian global yang dapat memberikan gambaran

perturbasi yang menghasilkan konfigurasi dengan energi lebih tinggi

lebih menyeluruh mengenai bentuk permukaan fungsi obyektif,

probabilitasnya makin kecil. Pada T mendekati 0 terbentuk kristal yaitu

diantaranya dengan metode pencarian sistematik maupun pencarian acak.

konfigurasi dengan energi minimum. Jika proses pendinginan terlalu

Pencarian solusi secara acak kurang efisien mengingat jumlah

cepat maka kondisi kesetimbangan dengan energi minimum tidak dapat

model yang harus di-evaluasi masih cukup besar. Pemilihan model secara

dicapai sehingga terbentuk poli-kristal atau gelas yang bersifat amorf.

acak murni (purely random) menyebabkan semua model dalam ruang

Proses pembentukan kristal (annealing) dalam termodinamika

model memiliki probabilitas yang sama untuk dipilih sebagai sampel

diadopsi dalam penyelesaian masalah inversi, yaitu dengan menggunakan

dalam perhitungan fungsi obyektif. Model pada daerah yang jauh dari

parameter model m untuk mendefinisikan konfigurasi sistem dan fungsi

solusi juga harus dihitung responsnya. Untuk meningkatkan efisiensi

obyektif (misfit) E sebagai energi. Dalam hal inversi, T merupakan faktor

pencarian acak, pemilihan model dimodifikasi sehingga model pada

pengontrol yang tetap disebut sebagai "temperatur" meskipun tidak

daerah tertentu yang mengarah atau dekat dengan solusi memiliki

memiliki arti fisis sebagaimana pada proses annealing. Dalam hal ini

probabilitas lebih besar untuk dipilih. Metode semacam ini disebut

satuan T sama dengan satuan fungsi obyektif dan dipilih k = 1.

sebagai metode guided random search.

Perturbasi model dengan mekanisme simulated annealing

Salah satu metode guided random search atau pencarian acak

dimaksudkan untuk mengeksplorasi ruang model secara acak namun

terarah adalah metode Simulated Annealing (SA). Metode Simulated

lebih terarah. Beberapa algoritma yang dapat digunakan untuk

Annealing dalam inversi didasarkan pada analogi dengan proses

mengimplementasikan metode Simulated Annealing pada inversi non-

termodinamika pembentukan kristal suatu substansi. Pada temperatur

linier antara lain adalah algoritma Metropolis, algoritma heat bath,

tinggi suatu substansi berbentuk cair, kemudian proses pendinginan

algoritma rantai Markov (Markov Chains) dan lain lain. Dalam buku ini algoritma rantai Markov (Markov Chains) dan lain lain. Dalam buku ini

Pada suatu iterasi ke-n perturbasi model menghasilkan perubahan

terdiri dari dua langkah, yaitu perturbasi model dan penentuan diterima

fungsi obyektif atau perubahan misfit E dimana E = E n –E n -1 . Terdapat

atau tidaknya perturbasi model tersebut.

dua kemungkinan harga E yang dihasilkan, yaitu E ≤ 0 atau E > 0

Sebagaimana pada pencarian sistematik dan pencarian acak, ruang

yang akan menentukan penerimaan atau penolakan hasil perturbasi.

model harus didefinisikan terlebih dahulu dengan menentukan secara

Jika E ≤ 0 berarti perturbasi model menghasilkan misfit yang

"a priori" interval harga minimum dan maksimum parameter model

lebih kecil dari (atau sama dengan) sebelumnya. Artinya perturbasi

[ m min i , m max i ], i = 1, 2, … M dimana M adalah jumlah parameter model.

menghasilkan model yang lebih baik dari (atau sama dengan) model

Interval tersebut tidak perlu sama untuk setiap elemen parameter model.

sebelumnya. Pada kasus ini perturbasi model selalu diterima dan iterasi

Perturbasi atau pemilihan harga parameter model m i ditentukan secara

dilanjukan dengan menggunakan model hasil perturbasi tersebut.

acak sebagai bilangan sebarang dalam interval m min <m i < m max i i .

Mekanisme ini memungkinkan pencarian model dengan misfit yang

Caranya adalah mengambil bilangan acak R dengan probabilitas uniform

makin rendah.

antara 0 dan 1 yang dipetakan menjadi harga parameter model

Jika E > 0 berarti perturbasi model menghasilkan misfit yang

menggunakan persamaan berikut:

lebih besar dari pada sebelumnya. Perturbasi model tersebut diterima

m  min R ( max

m i  m i  m i ) (6.8) P (  E )  exp (   E / k T ) (6.9)

min

dengan probabilitas yang dirumuskan oleh persamaan berikut:

Penggunaan persamaan (6.8) di atas untuk perturbasi model atau menentukan harga parameter model menghasilkan bilangan kontinyu

Pada kasus ini 0 < P( E) < 1 dan mekanisme penentuan hasil perturbasi

dalam interval m min i <m i < m max i . Alternatif mekanisme perturbasi yang

diterima dengan probabilitas P( E) diperlihatkan pada Gambar 6.3.

lain adalah memilih secara acak harga diskret dalam interval [ m min i ,

Untuk suatu bilangan acak R dengan distribusi uniform pada interval

m max i ]. Contohnya seperti pada penentuan episenter gempa dengan

[0, 1] jika R ≤ P(E) maka perturbasi model diterima, jika R > P(E)

pemilihan parameter model secara acak pada grid dengan spasi tertentu

maka perturbasi model ditolak. Jika hasil perturbasi model ditolak maka

(lihat sub-Bab 6.2). Misalnya interval [ m min i , m max i ] terbagi menjadi L

model dikembalikan ke model sebelum dilakukan perturbasi. Iterasi

sub-interval, yaitu [ m 1 2 i L , m i ,…, m i ]. Parameter model ditentukan

dilanjutkan dengan model tersebut. Mekanisme probabilistik yang

dengan mengambil bilangan acak R dengan probabilitas uniform antara 0

memungkinkan perturbasi model diterima meskipun misfit-nya lebih

dan 1 yang dipetakan menjadi bilangan bulat antara 1 dan L. Bilangan

besar dimaksudkan untuk menghindari terjebaknya proses iterasi pada

bulat tersebut menjadi indeks dari m i yang terpilih sebagai harga

minimum lokal.

parameter model.

Secara umum untuk harga T tertentu dan E > 0, jika E kecil

Sebagaimana batas harga minimum dan maksimum dapat berbeda

maka probabilitas P( E) besar sehingga hasil perturbasi model memiliki

untuk setiap parameter model, maka jumlah sub-interval tersebut dapat

kemungkinan lebih besar untuk diterima. Sebaliknya jika E besar maka

pula berbeda untuk setiap parameter model. Hal tersebut dimaksudkan

probabilitas P( E) kecil sehingga hasil perturbasi model memiliki

untuk menentukan resolusi masing-masing parametrer model dalam

kemungkinan kecil untuk diterima (atau hasil perturbasi model memiliki

penyelesaian inversi. Dengan demikian jumlah sub-interval L memiliki

kemungkinan besar untuk ditolak). Artinya perturbasi model yang

indeks sesuai elemen atau indeks parameter model, L i .

menghasilkan misfit sedikit lebih besar lebih mungkin diterima.

Proses iteratif dimulai dengan faktor temperatur T cukup tinggi Pada saat faktor temperatur T semakin kecil, perubahan model sehingga hampir semua perturbasi model akan diterima karena berapapun

dengan E ≥ 0 selalu menghasilkan P(E) yang kecil sehingga perturbasi harga E jika E > 0 maka harga P(E) akan cukup besar (Gambar

hampir selalu ditolak karena R hampir selalu lebih besar dari P( E). 6.3a). Pada fase ini dapat dikatakan bahwa pencarian model dilakukan

Dengan asumsi bahwa faktor temperatur turun T secara sangat perlahan secara hampir acak murni. Pada saat temperatur turun secara perlahan,

dan untuk setiap harga T dilakukan perturbasi model dengan jumlah yang perturbasi yang menghasilkan fungsi obyektif yang lebih kecil ( E < 0)

cukup besar maka algoritma akan konvergen menuju minimum global. akan lebih dominan dalam menentukan model.

Algoritma Simulated Annealing secara garis besar diperlihatkan Meskipun demikian, perubahan model yang menghasilkan fungsi

pada Gambar 6.4. Sebagaimana telah dijelaskan, algoritma tersebut obyektif yang lebih besar dibanding sebelumnya atau E > 0 tetap

merupakan algoritma Metropolis sederhana. Perbedaan diantara varian memiliki kemungkinan untuk diterima terutama jika harga E tidak

lain dari metode Simulated Annealing terutama menyangkut mekanisme terlalu besar (atau P( E) tidak terlalu kecil). Artinya perturbasi yang

perturbasi model dan penentuan keputusan apakah suatu perturbasi model menjauhi suatu solusi yang sementara dianggap optimum tetap memiliki

diterima atau ditolak.

kemungkinan untuk diterima meskipun probabilitasnya kecil (Gambar

6.3b). Solusi optimum sementara tersebut kemungkinan berasosiasi

dengan minimum lokal (near optimum solution) dan bukan minimum global. Mekanisme ini memungkinkan algoritma menghindar atau keluar dari minimum lokal.

Gambar 6.3 Ilustrasi mekanisme pemilihan dua alternatif berdasarkan bobot

probabilitas untuk dua harga P( E) yang berbeda. (a) Jika probabilitas P( E) besar maka bilangan random R memiliki

kemungkinan lebih besar berada pada posisi R 1 dan model diterima.

(b) Jika probabilitas P( E) kecil maka bilangan random R memiliki

kemungkinan lebih besar berada pada posisi R 2 dan model ditolak.

Gambar 6.4 Algoritma Simulated Annealing sederhana untuk inversi non-linier.

Mekanisme penurunan temperatur merupakan salah satu faktor Interval harga parameter model dapat dibuat tetap selama iterasi yang harus dicoba-coba (tuning) agar sesuai dengan permasalahan yang

berlangsung atau berubah sesuai dengan perkembangan iterasi atau ditinjau. Penurunan temperatur tidak boleh terlalu cepat karena akan

penurunan temperatur. Perubahan interval sesuai dengan perkembangan menyebabkan proses mudah terjebak pada minimum lokal. Sebaliknya,

iterasi didasarkan pada asumsi bahwa pada iterasi yang sudah lanjut atau penurunan temperatur yang terlalu lamban akan membutuhkan waktu

pada T kecil pola dominan parameter model sudah terbentuk sehingga yang lama menuju konvergensi. Skema penurunan temperatur secara

tinggal penyesuaian dalam skala kecil. Dalam hal ini interval ditentukan logaritmik dan geometrik dirumuskan sebagai berikut:

berdasarkan harga parameter model pada iterasi tertentu, misalkan dengan menentukan m min =m /2 dan m maks i i i = 2m i setelah iterasi mencapai

T n  T 0 / log( n ) (6.10a) temperatur tertentu. Selain itu dapat pula digunakan probabilitas yang

tidak uniform pada penentuan harga parameter model.

T n   T n  1 atau T n  T n 0  (6.10b)

dimana T 0 adalah temperatur awal, n adalah iterasi dan  adalah faktor penurunan temperatur. Harga  harus dipilih kurang dari 1, biasanya antara 0.9 sampai 0.99.

Gambar 6.5 memperlihatkan beberapa kurva skema penurunan temperatur sebagai fungsi dari iterasi berdasarkan persamaan (6.10) dengan T 0 = 5. Tampak bahwa penurunan temperatur secara logaritmik

relatif lebih cepat pada awal iterasi dan kemudian secara asimtotik menuju suatu harga yang hampir konstan. Penurunan temperatur secara geometrik lebih perlahan pada awal iterasi dan kemudian dengan relatif

cepat mendekati harga sangat kecil atau menuju nol. Faktor lain yang harus disesuaikan dengan permasalahan yang

ditinjau adalah mekanisme perturbasi model. Parameter model yang di-

Gambar 6.5

update dipilih secara deterministik berurutan dari satu parameter model Beberapa pola perubahan atau penurunan temperatur sebagai fungsi dari ke parameter model lainnya. Pemilihan parameter model yang akan

iterasi.

diubah dapat pula ditentukan secara acak. Kedua hal tersebut

kemungkinan lebih cocok untuk parameterisasi homogen. Cara lain

Algoritma Genetika

adalah mengubah semua parameter model secara bersama-sama, kemudian ditentukan apakah perubahan tersebut diterima atau ditolak.

Evolusi biologis yang menghasilkan populasi yang lebih unggul Perubahan harga parameter model dapat dilakukan secara diskret atau

atau lebih sesuai dengan kondisi alam dan lingkungan sebagaimana kontinyu. Jika perubahan harga parameter model bersifat kontinyu maka

prinsip survival for the fittest telah mengilhami penyelesaian inversi non- setiap harga dalam batas interval (minimum dan maksimum) memiliki

linier dengan pendekatan global yang disebut algoritma genetika (Genetic peluang yang sama menjadi harga parameter yang diubah.

Algorithm ). Variasi dari algoritma yang dilandasi analogi dengan proses Algorithm ). Variasi dari algoritma yang dilandasi analogi dengan proses

sepasang individu induk dipilih berdasarkan fitness-nya dan keturunannya genetika dan algoritma evolusi termasuk dalam kategori guided random

(offspring) merupakan hasil pertukaran karakteristik atau parameter induk search .

yang dipilih secara acak. Dalam hubungannya dengan pencarian solusi Dalam algoritma genetika populasi atau kumpulan individu

pada ruang model, proses pertukaran tersebut merepresentasikan direpresentasikan oleh sejumlah model, sedangkan konsep fitness

kerjasama individu untuk sampai pada titik lain dalam ruang model dinyatakan oleh kesesuaian antara respons model dengan data. Dengan

secara langsung tanpa melalui proses perturbasi sedikit demi sedikit. demikian fitness yang tinggi berasosiasi dengan misfit yang rendah.

Proses pertukaran karakteristik induk disebut juga sebagai cross-over Selanjutnya dalam konteks pemodelan inversi menggunakan algoritma

atau penyilangan

genetika istilah individu dan model dapat saling dipertukarkan. Hal ini

 Mutasi

dimaksudkan untuk memberikan gambaran lebih jelas hubungan antara Dalam proses mutasi, karakteristik atau parameter pada suatu individu

konsep genetika dengan konsep inversi. dapat berubah secara acak dengan harapan akan diperoleh individu yang

Dalam algoritma genetika, anggota suatu populasi dipilih

lebih baik.

berdasarkan fitness-nya dan jumlah populasi dalam satu generasi dibuat tetap. Evolusi dari satu generasi ke generasi berikutnya dilakukan melalui

Gambar 6.6 memberikan ilustrasi bagaimana mekanisme atau beberapa mekanisme berikut:

algoritma genetika sederhana bekerja. Pada proses seleksi, satu populasi yang terdiri dari individu-individu dipilih berdasarkan fitness-nya. Hasil

 Seleksi seleksi kemudian dipasangkan pada proses reproduksi atau persilangan

Pemilihan sekumpulan individu atau model untuk dijadikan anggota (cross-over) dengan hasil offspring yang memiliki karakteristik yang populasi didasarkan pada fitness-nya. Model dengan respons yang dekat

disumbangkan oleh masing-masing induk. Proses diulang hingga dengan data pengamatan (misfit kecil) memiliki probabilitas lebih besar

beberapa genererasi dan anggota populasi memiliki fitness tinggi yang untuk terpilih. Mekanisme seleksi berdasarkan misfit juga digunakan

merepresentasikan karakteristik optimum atau solusi inversi. untuk menentukan individu atau model yang akan menjalani proses

Dalam algoritma genetika, individu umumnya di-kode-kan sebagai reproduksi. Karakteristik individu dalam satu generasi dengan fitness

bilangan biner (0 dan 1) pada sejumlah "bit" yang merepresentasikan cukup besar memiliki kemungkinan lebih besar untuk bertahan sampai

harga parameter model. Pada Gambar 6.6b salah satu individu generasi berikutnya melalui proses reproduksi. Individu terbaik dari satu

digambarkan sebagai x dan y untuk menggantikan 0 dan 1 untuk generasi dapat secara otomatis terpilih menjadi anggota populasi pada

memperjelas proses reproduksi. Selain rekombinasi sederhana (single- generasi berikutnya (prinsip elitism).

point cross-over ) seperti pada Gambar 6.6b dapat pula dilakukan multi-  Reproduksi

point cross-over atau uniform cross-over sebagai alternatif mekanisme reproduksi.

Bobot yang menyatakan sejauhmana fitness menentukan tingkat reproduksi identik dengan faktor temperatur pada metode simulated

Pada kasus pengkodean biner, mutasi dilakukan dengan mengubah annealing . Jika selektivitas rendah maka semua solusi (individu) akan

salah satu nilai "bit" menjadi kebalikannya. Parameter probabilitas mutasi diterima, sedangkan jika selektivitas tinggi akan menyebabkan satu solusi

digunakan untuk mengatur tingkat kejadian mutasi pada suatu populasi.

Pada algoritma genetika terdapat pula beberapa variabel atau Parameter yang juga memerlukan pengkajian lebih lanjut adalah parameter yang harus dipilih dan diatur (tuning) sedemikian hingga

jumlah populasi. Jika jumlah populasi terlalu sedikit maka eksplorasi penyelesaian inversi dapat berjalan sesuai dengan yang diharapkan. Salah

"ruang model" menjadi terbatas. Sementara itu jika jumlah populasi satu parameter yang harus dipilih adalah panjang "bit" atau binary digit

terlalu besar maka konvergensi akan sulit dicapai atau dapat dicapai pada peng-kode-an parameter model menjadi bilangan biner. Semakin

dengan jumlah generasi yang sangat besar.

besar jumlah "bit" maka resolusi parameter model akan semakin baik. Sebenarnya masih banyak aspek algoritma genetika yang dapat Namun demikian hal tersebut akan memperbesar jumlah kombinasi

dielaborasi lebih jauh. Pembahasan tentang algoritma genetika secara parameter model yang harus di-eksplorasi dalam pencarian solusi

lebih lengkap terdapat pada banyak sumber literatur. Hal ini mengingat optimum. Oleh karena itu perlu ditentukan panjang "bit" yang tepat

penerapan algoritma genetika sangat luas, tidak hanya untuk pemodelan sesuai dengan resolusi parameter model dan karakteristik data.

inversi geofisika, namun pada hampir semua bidang yang memerlukan Alternatif lain dari pengkodean biner sebagai representasi individu

optimasi non-linier.

adalah representasi integer dan representasi real. Pada ketiga jenis

representasi individu tersebut diperlukan penyesuaian atau pengaturan terutama yang menyangkut "pemetaan" atau konversi dari kode atau representasi menjadi bilangan yang menyatakan harga parameter model. Demikian pula dengan pemilihan alternatif atau variasi mekanisme rekombinasi elemen-elemen dari suatu individu pada proses reproduksi yang berbeda sesuai dengan representasi yang digunakan.

Pemetaan atau konversi dari misfit menjadi fitness yang digunakan sebagai dasar pemilihan individu unggul juga merupakan masalah tersendiri. Hal yang perlu diperhatikan adalah adanya ambiguitas pada pemodelan geofisika yang mungkin menyebabkan nilai fitness hasil konversi dari misfit menjadi kurang representatif.

Parameter lain yang juga perlu diatur meskipun pengaruhnya tidak terlalu besar terhadap proses dan hasil inversi adalah probabilitas reproduksi dan probabilitas mutasi. Jika probabilitas reproduksi terlalu kecil, maka hampir tidak ada perbaikan individu dari satu generasi ke generasi berikutnya. Individu yang dihasilkan dari proses reproduksi akan mengalami mutasi sesuai dengan probabilitas mutasi. Pada evolusi

biologis di alam, probabilitas terjadinya mutasi sangat kecil. Pada inversi

Gambar 6.6

menggunakan algoritma genetika, probabilitas mutasi yang terlalu besar (a) Konsep algoritma genetika, (b) reproduksi atau cross-over, (c) mutasi.

dapat mengacaukan sistem yang sudah mulai konvergen menuju populasi Posisi bit untuk cross-over dan mutasi ditentukan secara acak. dengan karakteristik yang optimum atau dekat dengan solusi inversi.

Aplikasi Pemodelan Inversi Linier

7 pada Data Gravitasi

Persamaan pemodelan kedepan tersebut di atas masih dinyatakan hanya sebagai fungsi variabel bebas (x) karena variabel yang dipilih

sebagai parameter model akan menentukan masalah inversi yang ditinjau, linier atau non-linier. Pada kasus ini geometri bola (jari-jari dan posisi) dianggap konstan dan diketahui. Dengan demikian parameter model

The road leading to a goal

adalah rapat massa bola sehingga hubungan antara data dan parameter

does not separate you from the destination;

model bersifat linier. Jika geometri dianggap sebagai parameter model,

it is essentially a part of it.

maka inversinya menjadi non-linier.

– Charles de Lint

Data sintetik dihitung dengan membuat model sintetik yang terdiri dari 4 bola masing-masing dengan rapat massa yang berbeda, yaitu  k , k = 1, ... , 4. Persamaan untuk perhitungan respons model adalah: