MATERI 3
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN
1. Tujuan
Setelah mempelajari materi ini diharapkan peserta dapat: a. Memahami konsep fungsi dan operasi
b. Melakukan manipulasi aljabar untuk menyederhanakan bentuk akar dan pangkat c. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan linier
d. Menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan kuadrat
2. Uraian Materi a. Bentuk Pangkat
Bilangan berpangkat pada mulanya digunakan dalam Matematika sebagai suatu cara ringkas untuk menuliskan perkalian yang berulang-ulang. Pada perkembangan
selanjutnya, bilangan berpagkat dikembangkan untuk bilangan berpangkat bilangan bulat negatif, bilangan rasional bahkan irasional. Untuk lebih memperjelas pemahaman
tentang hal di atas, marilah kita pelajari uraian berikut ini.
Definisi 1: Jika n adalah bilangan Asli dan a
∈R; .
. .
faktor n
sebanyak a
a a
a a
n
× ×
× ×
=
Contoh 1:
8 2
2 2
2
3
= ×
× =
5
3 3 3 3 3 3
243 −
= − × − × − × − × − = − .
Pengertian
k
a
sebagai perkalian a sebanyak k faktor tidak dapat diterapkan untuk bilangan bulat k yang negatif atau nol. Oleh karena itu untuk pangkat bilangan bulat
negatif didefinisikan tersendiri. Definisi 2:
Jika n adalah bilangan Asli, dan a
∈R;
n a
n a
1 =
−
Untuk .
1 ,
= ≠
a a
Contoh 2:
. 16
1 2
2 2
2 1
2 1
2
4 4
= ×
× ×
= =
−
. 64
1 4
4 4
1 4
1 4
3 3
− =
− ×
− ×
− =
− =
−
−
252
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
b. Sifat-sifat Perpangkatan
Jika a dan b adalah bilangan real dan m, n adalah bilangan Asli, maka berlaku: 1
n m
a n
a m
a +
= ×
2 ≠
− =
a untuk
n m
a n
a m
a
3
n m
a n
m a
× =
4 m
b m
a m
b a
× =
×
5
≠
=
b untuk
m b
m a
m b
a
Bukti: 1
a a
a a
a a
a a
n a
m a
× ×
× ×
× ×
× ×
× =
×
. .
. .
. .
= a
a a
a a
a a
a ×
× ×
× ×
× ×
× ×
. .
. .
. .
=
n m
a +
. 2
Untuk m = n
1 =
=
m m
n m
a a
a a
1 =
=
−
a a
n m
karena a tidak nol Jadi untuk m=n,
n m
n m
a a
a
−
= .
3 Untuk mn
n m
n m
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a
−
= ×
× ×
= ×
× ×
× ×
× ×
× ×
= .
. .
. .
. .
. .
4 Untuk mn coba sendiri
5 .
. .
b a
b a
b a
b a
b a
m
× ×
× ×
× ×
× ×
= ×
=
. .
. .
. b
b b
b a
a a
× ×
× ×
× ×
× ×
=
m m
b a
×
. Contoh 3:
a 3
3
× 3
4
= 3
7
b
5 3
8
7 7
7 = c
6 3
2
4 4
=
m‐n m ‐ faktor
n ‐ faktor
m ‐ faktor m ‐ faktor
m ‐ faktor sebanyak m‐faktor
sebanyak n‐faktor
sebanyak m+n‐faktor
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
253
d
3 3
3
5 3
5 3
× =
×
e
4 4
4
4 9
4 9
=
Sifat-sifat perpangkatan di atas juga berlaku untuk pangkat bilangan real. Sifat- sifat tersebut adalah sebagai berikut.
Jika a dan b adalah bilangan real positif dan x, y adalah bilangan real, maka berlaku: 1
y x
y x
a a
a
+
= .
2 ≠
=
−
a untuk
a a
a
n m
n m
3
y x
y x
a a
.
=
4
x x
x
b a
b a
. .
= 5
;
x x
y
a a
b b
b =
≠
Contoh 4: a
5 3
5 2
5 5
2 5
2 2
2 .
2 =
=
+
b
2 1
3 2
1 3
4 4
×
=
=
3 2
1
4
×
=
3 2
1
4
=
3
2
.
c
3 7
3 1
2
3 3
. 3
=
d
3 2
4 2
3 4
2 2
5 .
5 3
. 3
5 .
3 5
. 3
=
− −
5 6
5 3
= .
Contoh 5:
Jika x=4 dan y=
9 1
, hitung
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
Jawab:
2 1
2 3
2 1
2
. .
.
− −
−
y x
y x
=
− −
2 2
3 1
. y
x y
x
=
1 2
1
.
−
y x
= 9
1 4
2 1
= y
x = 18.
Contoh 6: Sederhanakan berikut ini.
a
y x
y x
. .
3 1
2 −
−
254
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
b
3 2
2 2
1
−
b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
Jawab:
a
y x
y x
. .
3 1
2 −
−
=
1 1
3 2
.
− −
− −
y x
=
2 5
.
−
y x
=
2 5
y x
b
3 2
2 2
1
−
b a
=
3 4
3 1
−
b a
=
3 4
3 1
.b a
c
2 1
2 2
1 2
. .
−
n m
n m
=
2 1
2 2
1 2
. .
.
− −
n m
n m
=
1 2
1 1
2 1
. .
.
− −
−
n m
n m
=
2 2
1 n
n =
−
.
Contoh 7:
Sederhanakan
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
Jawab:
3 2
3
1
− −
−
+
−
+ −
b a
a b
b a
b a
=
3 2
2 3
. .
b a
a b
b a
b a
+ −
+ −
− −
−
3 2
2 3
. .
. b
a b
a b
a b
a +
+ −
− =
− −
.
1
b a
b a
+ −
=
−
b a
b a
− +
=
.
Contoh 8:
Sederhanakan
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
Jawab:
6 7
5
1 1
. 1
1 .
1 1
− −
+ −
−
+
p p
p p
6 6
7 5
1 .
1 .
1 .
1 p
p p
p +
− −
+ =
− −
6 7
6 5
1 .
1
− +
−
− +
= p
p
1 .
1 p
p −
+ =
2
1 p
− =
.
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
255
Contoh 9:
Nyatakan
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
dalam bentuk yang tidak memuat pangkat negatif.
Jawab:
1 2
2 1
2 3
− −
− −
+ −
y x
y x
= y
x x
y xy
x y
y x
y x
2 2
2 2
2 2
2 3
2 1
1 3
+ −
= +
−
+
− =
2 2
2 2
2 .
3 x
y y
x xy
x y
2 .
3
2 2
x y
y x
y x
+ −
=
.
c. Bentuk Akar Kita akan mendefinisikan bentuk akar suatu bilangan dikaitkan dengan fungsi
kuadrat. Kuadrat dari 2 adalah 4 dan kuadrat dari –2 juga 4. Oleh karena itu, jika ditanyakan “bilangan berapa yang kuadratnya 4?”, jawabnya adalah 2 dan –2. Perhatikan
diagram berikut Kalau relasi di atas dibalik, maka diperoleh:
Tentu relasi itu buka fungsi. Agar relasi kebalikannya merupakan fungsi, kita dapat membatasi range-nya hanya merupakan bilangan yang tidak negatif. Relasi kebalikan
dengan membatasi range-nya itu kita sebut dengan bentuk akar. Jadi kita katakan “akar kuadrat dari 4 adalah 2 -2 tidak termasuk”. Selanjutnya notasi akar pangkat dua dari
suatu bilangan a ≥ 0 dinotasikan dengan
2
a
atau hanya ditulis
a
. Definisi yang “analog” digunakan untuk akar pangkat n n adalah bilangan genap dari suatu bilangan
a
≥ 0. Sedangkan untuk bilangan bulat ganjil n tidak mempergunakan syarat a tidak negatif , karena untuk n ganjil merupakan fungsi satu-satu. Definisi tersebut diuraikan
berikut ini. •
2
•
‐2 • 4
kuadratkan
•
2
•
‐2 • 4
kuadrat dari
256
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Definisi 2.1 Misalkan a
≥ 0 dan n adalah bilangan Asli genap. Maka akar pangkat n dari a adalah
bilangan tidak negatif b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
.
Contoh 1:
3 9
=
, karena 3 tidak negatif dan kuadratnya sama dengan 9. Walaupun kuadrat dari –3 juga 9 tetapi karena bilangan itu negatif, maka –3 tidak
memenuhi.
4
16
=2, karena 2 tidak negatif dan
16 2
4
=
. Walaupun
4
2 −
juga 16 tetapi karena bilangan itu negatif, maka –2 tidak memenuhi.
16 −
tidak ada, karena tidak ada bilangan tak negatif yang kuadratnya sama dengan –
16. Secara umum tertuang dalam kalimat berikut ini.
Definisi 2.2 Misalkan a adalah bilangan real dan n adalah bilangan Asli ganjil. Maka akar pangkat n
dari a adalah bilangan b sehingga
a b
n
=
, ditulis
b a
n
=
. Contoh 2:
3
8 −
= -2 karena
8 2
3
= −
.
3
27
= 3 karena
27 3
3
=
.
3
27 −
= -3 karena
27 3
3
− =
−
.
Catatan: Untuk
0, a ≥
atau
a
dan m adalah bilangan genap atau
a
dan n
adalah bilangan ganjil,
n
a
sering kali ditulis dengan
n a
1
.
n m a
sering kali ditulis dengan
n m
a
Perlu diingat:
Khusus untuk n=2,
n
a
hanya ditulis dengan
a
.
Perlu diingat: Akar pangkat dua dari suatu bilangan negatif
tidak ada, karena tidak ada
bilangan real tak negatif yang kuadratnya merupakan bilangan negatif.
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
257
Contoh 3:
12
dapat ditulis dengan
2 1
12 3
27 −
=
3 3
3 −
=
3 3
3 −
= -3.
5 4
2 5
1 4
2 5
1 16
5 16 =
= =
Dengan memperhatikan definisi 2.1 dan 2.2 di atas, maka bentuk
n m
a
tidak selalu mempunyai makna. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 4:
2 3
2 −
tidak mempunyai makna tidak ada karena
8 3
2 2
3 2
− =
− =
−
. Sedangkan
8 − tidak ada, karena tidak ada bilangan real tak negatif yang kuadratnya
sama dengan –8. Contoh 5:
Jika 25
= x
dan
64 =
y
, tentukan nilai .
3 3
2
x y
x x
y −
Jawab:
.
3 3
2
x y
x x
y −
=
25 64
. 25
25 64
3 3
2
−
5 4
. 5
. 25
2
3 12
− =
125 16
125 16
− =
− =
.
Diskusi Nyatakan benar atau salah untuk setiap pernyataan berikut, sertakan argumentasinya.
Jika x, y dan z adalah bilangan real, maka:
1.
. .
x y x
y =
2.
2
x x
− =
Persamaan Sebelun mempelajari materi ini anda diharap telah mengingat dan memahami
pengertian kalimat terbuka dan kalimat pernyataan. Coba anda jelaskan pengertian dua istilah dan berikan beberapa contoh
Persamaan adalah kalimat terbuka yang menggunakan relasi “=”. Persamaan linier adalah persamaan yang variabelnya berderajad satu.
Coba anda definisikan “Persamaan kuadrat” Berilah beberapa contoh persamaan linier
Berilah beberapa contoh persamaan kuadrat Coba jelaskan apa arti penyelesaian suatu persamaan
258
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
Tiga hal berikut dapat kita lakukan dalam menentukan penyelesaian dari persamaan,
a. Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama. b. Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
c. Membagi atau mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama dan
bukan nol.
Suatu persamaan yang kedua ruasnya ditambah, dikurangi, dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama akan menghasilkan
persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan linear semula.
Ekuivalen artinya adalah mempunyai penyelesaian yang sama.
Coba cari persamaan linear yang setara ekivalen dengan persamaan: a. 3x + 4 = 5 b. 5t - 7 = 6 c. 7z = 8
Coba selesaikan persamaan linier 3 +
1 2
�
2; � ≠ 0.
d. Persamaan Kuadrat Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel
� adalah ��
2
+ �� + � =
0; �, �, � ∈ �, � ≠ 0.
Beberapa cara menyelesaikan persamaan kuadrat sebagai berikut. 1 Cara Memfaktorkan
Contoh 1:
�
2
+ 2 � − 15 = 0
⇔ � + 5� − 3 = 0 ⇔ � = −5 atau � = 3.
Contoh 2: 2
�
2
− 11� + 15 = 0 ⇔ 2� − 5� − 3 = 0
⇔ � =
5 2
atau � = 3.
2 Cara Melengkapkan Kuadrat Sempurna
Contoh 3: �
2
+ 3 � − 18 = 0
⇔ �
2
+ 3 � = 18
⇔ �
2
+ 3 � + �
3 2
�
2
= 18 + �
3 2
�
2
⇔ �� +
3 2
�
2
=
81 4
⇔ � +
3 2
= ±
9 2
⇔ �
1
= 3, �
2
= −6
Contoh 4: 2
�
2
+ 6 � + 3 = 0
⇔ 2�
2
+ 6 � = −3
⇔ �
2
+ 3 � = −
3 2
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
259
⇔ �
2
+ 3 � + �
3 2
�
2
= −
3 2
+ �
3 2
�
2
⇔ �� + 3
2 �
2
= 3
4 ⇔ � +
3 2
= ±
√3 2
⇔ �
1
= −
3 2
+
√3 2
, �
2
= −
3 2
−
√3 2
.
3 Cara Menggunakan Rumus
Berikut ini diberikan penurunan rumus menentukan akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0; �, �, � ∈ �, � ≠ 0. Perhatikan dan amati setiap langkah Adakah
langkah yang salah? Jika ada jelaskan mengapa salah kemudian buatlah penurunan yang benar
��
2
+ �� + � = 0. Karena � tidak nol,maka dapat ditulis,
⇔ ⇔
⇔ ⇔
⇔
2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
+ = ±
⇔
2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − ±
Sehingga dipeloleh dua nilai � yaitu,
1 2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − +
dan
2 2
2 4 2
4 b
b ac
x a
a −
= − −
⇔
2 1
4 2
2 b
b ac
x a
a −
= − +
dan
2 2
4 2
2 b
b ac
x a
a −
= − −
Dengan menyederhanakan bentuk diatas, diperoleh ⇔
2 1
4 2
b b
ac x
a +
− = −
dan
2 2
4 2
b b
ac x
a −
− = −
JIka
2
4 b
ac −
disingkat dengan D, maka diperoleh akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah
1,2
2 b
D x
a ±
= −
Contoh 5: 2
�
2
− 5� − 12 = 0 2
2
2 2
2
= +
− +
+ a
c a
b a
b x
a b
x
a c
a b
a b
x a
b x
− =
+ +
2 2
2
2 2
2 2
2 2
4 4
4 2
a ac
a b
a b
x −
= +
2 2
2
4 4
2 a
ac b
a b
x −
= +
260
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
�
1,2
= 5 ±
�25 − 4.2−12 2.2
�
1,2
= 5 ±
√121 4
�
1
= 5 + 11
4 ,
�
2
= 5
− 11 4
�
1
= 4 , �
2
= −
3 2
Kita ingat kembali bahwa akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � = 0
adalah �
1,2
= −� ± √�
2
− 4� 2
� Atau dapat ditulis dengan,
�
1,2
= −� ± √�
2 �
Berdasarkan rumus tersebut diperoleh, �
1
=
−�+√� 2
�
dan �
2
=
−�−√� 2
�
. Dengan demikian jumlah akar-akarnya adalah
�
1
+ �
2
= −� − √�
2 �
+ −� − √�
2 �
= −
2 �
. Sedangkan hasil kali akar-akarnya adalah
�
1
. �
2
= −� − √�
2 �
. −� − √�
2 �
= �
� .
Coba jelaskan banyak akar persamaan kuadrat berdasarkan nilai diskriminannya
Contoh 6: Jika
� dan � merupakan akar-akar persamaan 6�
2
+ 5 � − 6 = 0, tentukan nilai:
a �
2
+ �
2
b �
2
� + ��
2
Jawab: � �
2
+ �
2
= � + �
2
− 2�� = −
5 12
2
− 2 �−
6 6
� =
939 432
. � �
2
� + ��
2
= � + ��� = −
5 12
−1 =
5 12
.
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
261
e. Menyusun Persamaan Kuadrat yang Diketahui Akar-akarnya
Jika bilangan real � dan � merupakan akar-akar persamaan kuadrat ��
2
+ �� + � =
0, maka � − � dan � − � merupakan faktor dari ��
2
+ �� + �. Dengan demikian
jika � dan � merupakan akar-akar suatu persamaan kuadrat, maka persamaan
kuadrat yang dimaksud adalah � − �� − � = 0 atau dapat ditulis menjadi
�
2
− � + �� + �� = 0. Kerjakan
1. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya adalah:
a −7 dan 4
b 5 dan 11
c −
2 3
dan 8 d
1 3
dan
2 5
2. Jika akar-akar persamaan kuadrat �
2
+ 4 � − 2 = 0 adalah � dan �, tentukan
persamaan kuadrat yang akar-akarnya �
2
� dan ��
2
f. Pertidaksamaan Berikut ini, manakah yang dapat kita lakukan untuk menyelesaikan
pertidaksamaan? 1.
Menambah kedua ruas dengan bilangan yang sama 2.
Mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama 3.
Mengalikan kedua ruas dengan bilangan yang sama 4.
Membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama 5.
Mengkuadratkan kedua ruas 6.
Menarik akar kedua ruas 7.
Mengalikan silang
Diskusi 1. Misal
� adalah konstanta tidak nol dan x adalah variabel pada bilangan real. Amati setiap langkah penyelesaian pertidaksaman
5 8
x a
+ ≤ −
berikut ini.
5 8
x a
+ ≤ − .
5 8
x a
a a
+ ≤ −
5 8
x a
a +
≤ − ⇔ 12
x a
≤ − .
Setelah anda mengamati, adakah langkah yang salah? Jika ada, tunjukkan dan jelaskan argumentasimu
Kalimat terbuka yang menggunakan relasi “”, “ ≥“, “”, atau “≤” disebut
pertidaksamaan.
262
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
2. Nyatakan benar atau salah pernyataan berikut ini dan kemukakan argumentasimu
a Jika 2
8 x
− − ≤ − , maka 2 8
x ≤
b Jika 4
5 x
− ≤ , maka 5 4
x − ≤ − −
g. Pertidaksamaan Kuadrat
Untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat ��
2
+ �� + � 0, maka
langkah pertama kita selesaikan dahulu persamaan ��
2
+ �� + � = 0. Dengan
meletakkan penyelesaian itu dalam garis bilangan, selanjutnya kita tentukan daerah penyelesaian.
Contoh 5: Selesaikan
�
2
+ 7 � + 12 0.
Jawab: �
2
+ 7 � + 12 = 0
⇔ � + 4� + 3 = 0 ⇔ �
1
= 3, �
2
= −6
Himpunan penyelesaian dari
�
2
+ 7 � + 12 0 adalah
{ � ∈ �: −6 � 3}.
Latihan coba tentukan penyelesaian pertidaksamaan
�
2
−4�+ �
2
−3�
≥ 0. •
• ‐6
3 + +
- ‐
- ‐
PENDALAMAN MATERI MATEMATIKA
263
MATERI 4
GEOMETRI
1. Tujuan
Setelah mempelajari modul ini diharapkan peserta diklat memahami dan dapat menjelaskan unsur-unsur geometri, hubungan titik, garis dan bidang; sudut; melukis
bangun geometri; segibanyak; lingkaran; kesebangunan dan kongruensi segitiga; bangun ruang.
2. Uraian Materi
Kategori