Salah satu penerapan atau penggunaan turunan dalam matematika adalah menentukan kemiringan garis singgung menggunakan konsep turunan. Pada
mata kuliah kali ini kita akan mempelajari cara Menentukan Kemiringan Garis Singgung Menggunakan Konsep Turunan. Untuk memudahkan dalam
mempelajari materi Persamaan Garis Singgung pada Kurva Menggunakan Turunan, sebaiknya juga baca materi definisi turunan , turunan fungsi
aljabar dan turunan fungsi trigonometri.
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana cara mencari kemiringan garis singgung menggunakan konsep turunan
2. Bagaimana cara mendeteksi nilai ekstrim suatu fungsi 3. Apa contoh penerapan konsep turunan dalam kehidupan sehari-hari
C. Tujuan Penulisan
1. Mengetahui cara mencari kemiringan garis singgung menggunakan konsep turunan
2. Mengetahui cara mendeteksi nilai ekstrim suatu fungsi 3. Mengetahui contoh penerapan konsep turunan dalam kehidupan sehari-
hari
4 1
BAB II PEMBAHASAN
A. Konsep Turunan Untuk Mencari Kemiringan Garis Singgung
1. Menentukan Gradien garis singgung Perhatikan gambar berikut
A. Titik Px,y adalah sembarang titik pada kurva y=fx, sehingga
koordinat titik P dapat dituliskan sebagai x,fx. Absis titik Q adalah x+h sehingga koordinat titik Q adalah {x+h,fx+h}. Jika h → 0, maka
S akan menjadi garis singgung pada kurva di titik P yaitu PS. Dengan demikian gradien garis singgung pada kurva di titik P adalah sebagai
berikut. m=tanQPR=limh→0fx+h−fxh=f′x
Artinya gradien garis singgung di titik Aa,fa adalah m=f′a . 2. Langkah-langkah menentukan gradien di titik Aa,fa pada kurva y=fx :
i. Tentukan
turunan fungsinya
f′x ii. Substitusi nilai
x=a atau absis titik Aa,fa
iii. Gradiennya m adalah m=f′a
5 2
3. Menentukan Persamaan Garis Singgung pada Kurva Secara umum persamaan garis di titik Ax1,y1 pada kurva y=fx
dapat ditentukan
dengan rumus
: Persamaan
garis lurus
: y−y1=mx−x1
dengan gradiennya : m=f′x1 .
Contoh : 1. Tentukan persamaan garis singgung di titik 2,6 pada kurva
y=x3−3x+4 ? Penyelesaian
a. Menentukan turunan fungsinya : y=x3−3x+4→f′x=3x2−3 b.
Menentukan gradien di titik 2,6 : m=f′2→m=3.22−3=9
. Menyusun persamaan garis singgung PGS di titik 2,6 dan m=9 y−y1y−6y−6y=mx−x1=9x−2=9x−18=9x−12
Jadi, PGS
nya adalah
y=9x−12 .
6 3
. Secara geometri seperti gambar berikut :
2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y=x2−x+2 di titik dengan absis 1, dan tentukan titik potong garis singgungnya terhadap
sumbu X dan Sumbu Y ? Penyelesaian
. Menentukan titik singgung x1,y1 dengan substitusi absis x=1 ke persamaan kurvanya,
x=1→y=x2−x+2=12−1+2=2 Sehingga titik singgungnya x1,y1=1,2
7 4
. Menentukan turunan fungsi, y=x2−x+2→f′x=2x−1
. Menentukan gradiennya di titik 1,2 m=f′1→m=2.1−1=1
. Menyusun persamaan garis singgung PGS di titik 1,2 dan m=1
y−y1y−2y−2y=mx−x1=1x−1=x−1=x+1 Jadi, PGS nya adalah y=x+1 .
. Menentukan titik potong pada sumbu-sumbu : Titik potong sumbu X, substitusi y=0
y=0→y=x+1→0=x+1→x=−1 . Sehingga titik potong sumbu X di titik −1,0.
Titik potong sumbu Y, substitusi x=0 x=0→y=x+1→y=0+1→y=1 .
Sehingga titik potong sumbu Y di titik 0,1. 3. . Garis y=x+1 memotong parabola y=x2+2x+1 di titik A dan B.
Tentukan persamaan garis singgung parabola itu di titik A dan B. Jika titik potong kedua garis singgung adalah a,b, maka nilai
a+b=.... ? Penyelesaian :
. Menentukan titik potong kedua kedua persamaan yaitu titik A dan B
y1x2+2x+1x2+xxx+1x=0 ∨x=y2=x+1=0=0=−1
Substitusi x=0 dan x=−1 ke salah satu persamaan : untuk x=0→y=x+1=0+1=1
Sehingga titik potong pertamanya A0,1, untuk x=−1→y=x+1=−1+1=0
8 5
Sehingga titik potong keduanya B−1,0, Diperoleh titik potongnya di A0,1 dan B−1,0
. Menentukan persamaan garis singgung di titik A dan B pada parabola,
Turunan fungsi : y=x2+2x+1→f′x=2x+2 Titik A0,1,
gradien : m=f′0=2.0+2=2 PGS : y−y1=mx−x2→y−1=2x−0→y=2x+1
Titik B−1,0, gradien : m=f′−1=2.−1+2=0
PGS : y−y1=mx−x2→y−0=0x−−1→y=0
Diperoleh persamaan garis singgung di titik A adalah y=2x+1 dan di titik B adalah y=0 .
. Menentukan titik potong kedua garis singgung : garis singgungnya : y=0 dan y=2x+1
substitusi persi ke persii : y=0→y02xx=2x+1=2x+1=−1=−12
Diperoleh titik potong kedua garis singgungnya −12,0 , pada soal juga dikatakan titik potong kedua garis singgung adalah a,b
, aritnya a,b=−12,0
Sehingga nilai a+b=−12+0=−12 Jadi, nilai a+b=−12
9 6
B. Cara Mendeteksi Nilai Ekstrim Suatu Fungsi
