17
3.4 3.5
3.6 3.7
3.8 3.9
4.0
0. 98
0. 99
1. 00
1. 01
1. 02
1. 03
pH
Be ra
t Je ni
s
Gambar 1. Grafik pengendali bivariat produk Sabun Sirih dengan batas spesifikasi perusahaan
4.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Untuk Data Sabun Sirih
Untuk menentukan nilai estimasi fungsi densitas kernel bivariat yang optimal maka kita perlu menentukan terlebih dahulu nilai H optimal untuk matriks bandwidth yang positif definit pada
data Sabun Sirih dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error MISE. Dengan bantuan packages ks pada software R-2.12.2 diperoleh matriks bandwidth optimal pada data Sabun
Sirih yaitu .
dengan eigen value
7 2
4 1
10 4710
. 2
, 10
1429 .
7
sehingga bandwidth H positif definit. Informasi lebih lanjut tentang penentuan H bandwidth dapat dilihat pada WEB 2. Selanjutnya,
dihitung nilai estimasi densitas kernelnya dengan menggunakan persamaan 1. Nilai estimasi fungsi densitas kernel dapat ditunjukan pada Gambar 2 dan 3.
H
7 -
6 -
-6 -4
10 2.5299
10 2.0501
- 10
2.0501 -
10 7.1429
18
Ph
Berat Jenis
De nsi
ty fun
ctio n
Gambar 2. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL 25
bandwidth optimal
Gambar 2 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horizontal AZ 125 derajat dan sudut elevasi vertikal EL 25 derajat.
Gambar 3. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25
bandwidth optimal
19
Gambar 3 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horisontal azimuth 250 derajat dan sudut elevasi vertikal EL 25 derajat.
Dari data Sabun Sirih di atas dapat dibuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gambar 4 memperlihatkan perbandingan
antara grafik pengendali berdasarkan batas spesifikasi perusahaan dan batas spesifikasi yang diperoleh berdasarkan estimasi densitas kernel.
Pada Gambar 4 kontur merah menunjukan batas spesifikasi yaitu pada level nilai estimasi densitas kernel
59.8985
dengan tingkat signifikansi α=0.0027 sehingga setiap titik sampel yang berada di dalam kontur merah dianggap terkendali. Sebagai contoh, akan dihitung level untuk titik
sampel ke-1. Data karakteristik produk untuk titik sampel ke-1 dinyatakan dalam
1.0009 3.87
x
. Dengan menggunakan persamaan di bawah ini, dihitung nilai
n i
X x
H X
x
i T
i
e H
n H
x f
1 2
1
1
2 1
1 ;
325 .
367 10
5299 .
2 10
0105 ..
2 10
0501 .
2 10
1429 .
7 2
1 200
1 ;
0009 .
1 10
5299 .
2 10
0501 .
2 10
0501 .
2 10
1429 .
7 87
. 3
2 1
200 1
7 6
6 4
1
1 7
6 6
4
i T
i
X X
i
e H
x f
diperoleh level pada titk sampel ke-1 adalah 367.325, sehingga dapat disimpulkan bahwa titk sampel ke-1 masih berada dalam kontur karena levelnya lebih besar dari batas level
59.8985
. Gambar 4 menunjukan dari data Sabun Sirih terdapat satu titik sampel yang out of control atau berada di luar
batas spesifikasi yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada koordinat 3.86, 0.9867 dengan level 59.8982 karena level dari titik sampel ke-126 lebih kecil dari batas level
59.8985
. Hal itu berarti dapat dihitung level untuk setiap titik sampel sehingga dapat diidentifikasi titik sampel yang berada di
dalam kontur dan yang di luar kontur.
20
3.4 3.5
3.6 3.7
3.8 3.9
4.0
0.9 8
0.9 9
1.0 1.0
1 1.0
2 1.0
3
pH
Be rat
Je nis
Gambar 4. Grafik pengendali bivariat Sabun Sirih berdasarkan batas perusahaan dan estimasi densitas kernel
5. Kesimpulan
Melalui pembahasan di atas dapat disimpulakan bahwa dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Selanjutnya berdasarkan estimasi
fungsi densitas kernel dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control.
6. Daftar Pustaka
Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012.
www.mvstat.nettduongresearch...chacon-duong-2010-test.pdf Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling
T
2
Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012.
http:digilib.its.ac.idpublicITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf
21
Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012.
http:www.mvstat.nettduongresearch [WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011.
http:en.wikipedia.orgwikiKernel_density_estimation [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011.
http:en.wikipedia.orgwikiMultivariate_kernel_density_estimation
22
2.1 Grafik Pengendali
Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menaksir parameter suatu proses produksi menentukan kemampuan
dan memberikan informasi yang berguna dalam meningkatkan proses itu Montgomery, 1990. Berdasarkan banyaknya karakteristik kualitas yang diukur, grafik pengendali dibedakan
menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali bivariat atau multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik kualitas yang diukur,
sedangkan grafik pengendali bivariat atau multivariat digunakan jika diperlukan pengendalian dua atau lebih karakteristik kualitas yang berhubungan secara bersama-sama.
2.2 Estimasi Fungsi Densitas Bivariat
Estimasi fungsi densitas merupakan salah satu bagian dalam analisis data statistik, dimana estimasi fungsi densitas adalah suatu gambaran tentang sebuah sebaran data. Dalam statistik, estimasi
fungsi densitas kernel merupakan salah satu metode non-parametrik untuk menduga fungsi kepadatan probabilitas dari suatu variabel acak WEB1. Misalkan suatu sampel bivariat
n
X X
X ,...,
,
2 1
yang diambil dari suatu populasi dengan fungsi densitas f, maka estimasi fungsi densitas kernelnya adalah
n i
i H
X x
K n
H x
f
1 1
; ˆ
dengan X
1
, X
2
, . . . ,X
n
adalah sampel dari n data H adalah matrix bandwidth ,
T
x x
x
2 1
,
dan
T i
i i
X X
X
2 1
,
untuk i = 1, 2,. . . ., n. Dalam hal ini
x H
K H
x K
H 2
1 2
1
dan
2 2
12 12
2 1
h h
h h
H adalah matriks bandwidth yang simetris positif definit definite positive dengan
1 2
1
var
i
X h
,
2 2
2
var
i
X h
dan
2 1
12
, cov
i i
X X
h
. Dalam
hal ini
x x
x K
T
2 1
exp 2
1
adalah kernel normal standard bivariat. Hal yang menjadi faktor penting dalam estimasi fungsi densitas kernel adalah memilih
nilai H optimal untuk matriks bandwidth. Pemilihan nilai H optimal untuk matriks bandwidth dapat dilakukan dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error MISE yang dijelaskan pada
Tarn Duong dan Martin L. Hazelton 2003.
1. Metode Penelitian
Dalam penelitian ini digunakan langkah-langkah yang dijelaskan sebagai berikut:
23
Membuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk dua titik sampel Membangkitkan data simulasi bivariat dari distribusi normal bivariat N dengan rumus
, 20
8 1
, 25
4 N
p N
p
dengan bobot 0p1 dan matrik kovarians
1 5
. 5
. 1
. Jika digunakan ukuran sampel sample size n=500 dengan p=0.5. Mencari nilai H bandwidth optimal dari data simulasi dengan
menggunakan packages ks pada software R-2.15.2. Menghitung estimasi fungsi densitas kernel dari data simulasi berdasarkan nilai H bandwidth optimal. Membuat grafik pengendali untuk data
simulasi bivariat berdasarkan estimasi fungsi densitas kernel. Menentukan banyaknya titik sampel yang out of control.
Menentukan banyaknya titik yang out of control untuk n=500, n=1000, n=1500 dan p=0.5. Melakukan pengulangan dengan p yang berbeda-beda yaitu p=0.1, p=0.8.
2. Analisis dan Pembahasan
4.1 Estimasi Kernel Densitas Bivariat dari Dua Titik
Jika dipunyai dua titik sembarang
2 ,
1
1
x
dan
4 ,
3
2
x
dan dengan menggunakan matriks bandwidth identitas
1
1 H
maka estimasi densitas kernel dapat digambarkan dengan grafik 3 dimensi pada Gambar 1 dan 2. Gambar 1 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari
sudut rotasi horizontal AZ 20 derajat dan sudut elevasi vertikal EL 25 derajat, sedangkan Gambar 2 adalah estimasi densitas kernel bila dilihat dari sudut rotasi horizontal AZ 60 derajat dan sudut
elevasi vertikal EL 125 derajat.
Gambar 1. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 20 EL 25
24
Gambar 2. Grafik Estimasi Densitas Bivariat 2 titik AZ 60 EL 125
Berdasarkan estimasi densitas kernel dapat dibuat grafik pengendali bivariat untuk 2 titik yang ditunjukan pada Gambar 3. Kurva garis putus-putus menunjukkan batas grafik pengendali bivariat
berdasarkan estimasi densitas kernel.
Gambar 3. Grafik Pengendali Berdasarkan Estimasi Densitas Bivariat 2 Titik 4.2
Estimasi Fungsi Densitas Bivariat Untuk Data Simulasi Untuk memberikan gambaran, pada simulasi ini, dibangkitkan data acak bivariat dari
distribusi normal
, 20
8 1
, 25
4 N
p N
p
dengan bobot 0p1 dan matrik kovarians
1 5
. 5
. 1
. Pemilihan rata-rata distribusi bivariat normal yaitu 4,25
T
dan 8,20
T
dan matriks kovariansi ∑ hanya untuk memberikan gambaran
simulasi. Jika digunakan ukuran sampel sample size n=500 dengan p=0.5 dan dengan bantuan
packages ks pada software R-2.15.2 diperoleh matriks bandwidth optimal adalah
3214 .
0124 .
0124 .
2452 .
H
