17
3.4 3.5
3.6 3.7
3.8 3.9
4.0
0. 98
0. 99
1. 00
1. 01
1. 02
1. 03
pH
Be ra
t Je ni
s
Gambar 1. Grafik pengendali bivariat produk Sabun Sirih dengan batas spesifikasi perusahaan
4.2 Estimasi Fungsi Densitas Kernel Bivariat Untuk Data Sabun Sirih
Untuk menentukan nilai estimasi fungsi densitas kernel bivariat yang optimal maka kita perlu menentukan terlebih dahulu nilai H optimal untuk matriks bandwidth yang positif definit pada
data Sabun Sirih dengan menggunakan metode Mean Integrated Squared Error MISE. Dengan bantuan packages ks pada software R-2.12.2 diperoleh matriks bandwidth optimal pada data Sabun
Sirih yaitu .
dengan eigen value
7 2
4 1
10 4710
. 2
, 10
1429 .
7
sehingga bandwidth H positif definit. Informasi lebih lanjut tentang penentuan H bandwidth dapat dilihat pada WEB 2. Selanjutnya,
dihitung nilai estimasi densitas kernelnya dengan menggunakan persamaan 1. Nilai estimasi fungsi densitas kernel dapat ditunjukan pada Gambar 2 dan 3.
H
7 -
6 -
-6 -4
10 2.5299
10 2.0501
- 10
2.0501 -
10 7.1429
18
Ph
Berat Jenis
De nsi
ty fun
ctio n
Gambar 2. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 125 EL 25
bandwidth optimal
Gambar 2 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horizontal AZ 125 derajat dan sudut elevasi vertikal EL 25 derajat.
Gambar 3. Grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih dengan AZ 250 EL 25
bandwidth optimal
19
Gambar 3 menyatakan grafik estimasi densitas kernel untuk data bivariat Sabun Sirih yang dilihat dari sudut rotasi horisontal azimuth 250 derajat dan sudut elevasi vertikal EL 25 derajat.
Dari data Sabun Sirih di atas dapat dibuat grafik pengendali berdasarkan estimasi densitas kernel untuk data bivariat yang ditunjukkan pada Gambar 4. Gambar 4 memperlihatkan perbandingan
antara grafik pengendali berdasarkan batas spesifikasi perusahaan dan batas spesifikasi yang diperoleh berdasarkan estimasi densitas kernel.
Pada Gambar 4 kontur merah menunjukan batas spesifikasi yaitu pada level nilai estimasi densitas kernel
59.8985
dengan tingkat signifikansi α=0.0027 sehingga setiap titik sampel yang berada di dalam kontur merah dianggap terkendali. Sebagai contoh, akan dihitung level untuk titik
sampel ke-1. Data karakteristik produk untuk titik sampel ke-1 dinyatakan dalam
1.0009 3.87
x
. Dengan menggunakan persamaan di bawah ini, dihitung nilai
n i
X x
H X
x
i T
i
e H
n H
x f
1 2
1
1
2 1
1 ;
325 .
367 10
5299 .
2 10
0105 ..
2 10
0501 .
2 10
1429 .
7 2
1 200
1 ;
0009 .
1 10
5299 .
2 10
0501 .
2 10
0501 .
2 10
1429 .
7 87
. 3
2 1
200 1
7 6
6 4
1
1 7
6 6
4
i T
i
X X
i
e H
x f
diperoleh level pada titk sampel ke-1 adalah 367.325, sehingga dapat disimpulkan bahwa titk sampel ke-1 masih berada dalam kontur karena levelnya lebih besar dari batas level
59.8985
. Gambar 4 menunjukan dari data Sabun Sirih terdapat satu titik sampel yang out of control atau berada di luar
batas spesifikasi yaitu titik sampel ke-126 yang berada pada koordinat 3.86, 0.9867 dengan level 59.8982 karena level dari titik sampel ke-126 lebih kecil dari batas level
59.8985
. Hal itu berarti dapat dihitung level untuk setiap titik sampel sehingga dapat diidentifikasi titik sampel yang berada di
dalam kontur dan yang di luar kontur.
20
3.4 3.5
3.6 3.7
3.8 3.9
4.0
0.9 8
0.9 9
1.0 1.0
1 1.0
2 1.0
3
pH
Be rat
Je nis
Gambar 4. Grafik pengendali bivariat Sabun Sirih berdasarkan batas perusahaan dan estimasi densitas kernel
5. Kesimpulan
Melalui pembahasan di atas dapat disimpulakan bahwa dari data bivariat dapat dibuat grafik pengendali dengan menggunakan estimasi fungsi densitas kernel. Selanjutnya berdasarkan estimasi
fungsi densitas kernel dapat ditentukan batas spesifikasi dan diidentifikasi titik-titik yang out of control.
6. Daftar Pustaka
Chacón, J.E. and Duong, T. 2009. Multivariate plug-in bandwidth selection with unconstrained pilot bandwidth matrices. Diunduh pada Minggu, 2 Januari 2012.
www.mvstat.nettduongresearch...chacon-duong-2010-test.pdf Darmawan. 2010. Pengendalian Kualitas Frestea Green Menggunakan Grafik Pengendali Hotelling
T
2
Univariat Dan Multivariat. Salatiga: Fakultas Sains dan Matematika Universitas Kristen Satya Wacana.
Montgomery, Douglas C. 1990. Pengantar Pengendalian Kualitas Statistik. Yogyakarta: Gadjah Mada University Press.
Najib, Mohammad. 2007. Diagram Kontrol Statistik Non Parametrik Sum Of Ranks Untuk Target Pada Data Non-Normal. Diunduh pada Minggu, 1 Januari 2012.
http:digilib.its.ac.idpublicITS-Undergraduate-8035-1303100018-Bab1.pdf
21
Tarn Duong and Martin L. Hazelton. 2003.Plug-In Bandwith Matrices For Bivariate Kernel Density Estomation, hal. 17 - 20. Diunduh pada Minggu, 3 Januari 2012.
http:www.mvstat.nettduongresearch [WEB 1] Kernel Density Estimation. Diunduh pada Sabtu, 20 Agustus 2011.
http:en.wikipedia.orgwikiKernel_density_estimation [WEB 2] Multivariate Kernel Density Estimation. Diunduh pada sabtu, 20 Agustus 2011.
http:en.wikipedia.orgwikiMultivariate_kernel_density_estimation
