Atau dapat ditulis dalam bentuk matriks Xsebagai berikut :
2-1
Dengan adalah objek ke-i pada variabel ke-j
adalah banyaknya item atau objek adalah banyaknya variabel
Dapat juga dinotasikan dengan dan j = 1,2,...,p
2.3 Vektor dan Matriks
Variabel dan data yang diolah dalam analisis multivariat biasanya dinyatakan dalam bentuk vektor dan matriks.
a. Pengertian vektor dan matriks
Matriks adalah susunan segi empat siku – siku dari bilangan –
bilangan Howard Anton, 1987 : 22. Bilangan – bilangan dalam susunan
tersebut dinamakan entri dalam matriks. Matriks A dengan p baris dan n kolom disebut matriks dengan ukuran, ditulis
2-2
Atau dalam notasi matriks A = dengan
adalah unsur pada baris ke – i dan kolom ke – j.
Suatu matriks yang terdiri dari satu baris atau satu kolom disebut vektor.Matriks yang terdiri dari satu baris disebut vektor baris sedangkan
matriks yang terdiri dari satu kolom disebut vektor kolom. b.
Operasi pada Matriks Berikut ini akan dijelaskan beberapa bentuk operasi pada matriks.
1. Kesamaan matriks
Dua matriks dan
dikatakan sama, ditulis
A =
B jika
Johnson Wincern, 2007 : 90. Jadi, dua matriks dikatakan sama jika
a Ukuran kedua matriks sama,
b Setiap elemen atau entri yang seletak sama.
2. Penambahan dan Pengurangan Matriks
Jika A dan B adalah sebarang dua matriks yang ukuran sama, maka jumlah dua matriks A + B adalah matriks yang
diperoleh dengan menambahkan setiap entri yang bersuaian pada kedua matriks tersebut Howard anton, 1987 : 23.
Misalkan dan
Maka A+B = 2-3
dengan notasi matriks, A+B = [ Pengukuran dua
matriks juga hanya didefinisikan jika kedua matriks berukuran sama. Pengurangan dua matriks, yang dinyatakan dengan A
– B adalah matriks yang ditentukan dengan aturan A
– B = [ , sehingga
2-4
3. Perkalian Matriks dengan Skalar
Misalkan adalah suatu matriks dan cadalah
skalar, hasil kali cdengan matriks Aadalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap entri dari A oleh c, yang dinotasikan
dengan cA = .
4. Perkalian Matriks dengan Matriks
Jika A adalah mariks dan B adalah matriks
, maka hasil kali AB adalah matriks
yang entri – entrinya
ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari AB,pilih baris i dari matriks A dan kolom j dari
matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil
kali yang dihasilkan Howard anton, 1987 : 25 5.
Transpose Matriks Transpose suatu matriks A, yang lazim dinyatakan dengan
notasi A adalah matriks yang diperoleh dengan mempertukarkan baris dan kolom, yaitu elemen baris ke-i dari Amenjadi elemen
kolom ke-i dari A sedangkan ke-j dari Amenjadi baris ke-j dariA Suryanto, 1988 : 20.
Misalkan A =
Maka 2-5
c. Beberapa Matriks Khusus
Matriks khusus adalah matriks yang mempunyai sifat tertentu sedemikian sehingga dalam operasi pada matriks menghasilkan sifat
– sifat khusus Suryanto, 1988 : 21. Beberapa matriks khusus antara lain.
1 Matriks persegi
Matriks persegi adalah matriks dengan banyak kolom dan baris sama, secara matematis
2-6
Barisan entri-entri yang nomor kolomnya sama dengan nomor barisnya
disebut diagonal utama. Entri-entri yang nomor kolomnya lebih besar daripada nomor
barisnya disebut unur-unsur diatas diagonal utama, sedangkan unsur
– unsur yang nomor kolompoknya lebih kecil daripada barisnya disebut unsur-unsur di bawah diagonal utama Suryanto,
1988 : 22. 2
Matriks Diagonal Matriks persegi yang semua entrinya nol kecuali pada
diagonal utama disebut matriks diagonal.Suatu matriks diagonal dapat ditulis sebagai berikut :
2-7
Matriks diagonal yang setiap unsur diagonal utamanya adalah 1 disebut matriks identitas, misalkan
2-8
3 Matriks Simetris
Suatu matriks persegi dikatakan simetris jika A = A .
Dengan kata lain, jika simetris maka
dan .
d. Invers Matriks
Menurut Anton 2004: 46, jika A adalah matriks persegi, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga
, maka A disebut dapat dibalik invertible dan Bdisebut sebagai invers inverse dari A.
Jika A dapat dibalik, maka inversnya dapat dinyatakan dengan simbol
. Jadi , dan
2-9 Invers dari matriks didefinisikan hanya untuk matriks persegi yang
determinannya tidak 0 Suryanto, 1988: 42. e.
Nilai eigen dan Vektor Eigen AndaikanI adalah matriks identitas dan A adalah matriks persegi
dan kedua matriks itu berukuran sama. Nilai- nilai yang memenuhi persamaan
= 0 disebut persamaan karakteristik. Suryanto, 1988 : 55.
Nilai eigen memiliki sifat antara lain : a
Hasil kali nilai-nilai eigen dari matriks Asama dengan , dan b
Jumlah nilai-nilai eigen dari matriks A sama dengan trA.
Setiap nilai eigen dari matriks persegiAyang berukuan
menentukan vektor yang mempunyai sifat
dan untuk setiap c yang bukan nol maka merupakan vektor karakteristik atau vektor eigen yang ditentukan oleh
. Contoh :
Akan dicari basis-basis untuk ruang eigen dari
A =
Penyelesaian : Persamaan karakteristik dari A adalah
, sehingga nilai-nilai eigen dari A adalah
dan jadi, diperoleh dua ruang
eigen dari A. Menurut definisi
X =
Adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika x adalah pemecahan taktrivial dari
, yakni dari
Jika , maka menjadi
Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan
Jadi, vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan adalah vektor-
vektor taknol yang berbentuk
Karena
dan
Adalah vektor-vektor bebas linear, maka vektoor-vektor tersebut akan membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan
Jika , maka
Dengan memecahkan sistem ini maka akan menghasilkan
Jadi, vektor-vektor eigen yang bersesuaian dengan adalah vektor-
vektor taknol yang terbentuk
Sehingga
Adalah basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan
2.4 Distribusi Normal Multivariat
