Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL
DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN
BERULANG
IRESA APRILIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
IRESA APRILIANI. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri
Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan
TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Matriks tridiagonal adalah suatu matriks yang mempunyai entri-entri bernilai nol kecuali pada
diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama
(superdiagonal). Entri pada diagonal utama tidak konstan dan berulang. Setiap entri pada matriks
tridiagonal ini adalah bilangan kompleks. Dalam karya ilmiah ini, akan dibuktikan 3 teorema
untuk menentukan nilai eigen dengan 2 kasus dan 1 teorema untuk menentukan vektor eigen.
Teorema pertama menentukan polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal. Polinomial
karakteristik dari matriks tridiagonal tersebut digunakan untuk menentukan nilai eigen pada
teorema kedua dan ketiga serta menentukan vektor eigen pada teorema keempat.
ABSTRACT
IRESA APRILIANI. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrix with Non Constant and
Recurrent Diagonal Entries. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH
WULANDARI MAS’OED.
A tridiagonal matrix is a matrix which has zero elements except the elements at the main
diagonal, the elements at the first diagonal below the main diagonal (subdiagonal) and the
elements at the first diagonal above the main diagonal (superdiagonal). The diagonal entries are
non constant and recurrent. Each entry in this tridiagonal matrix is a complex number. This
manuscript will prove 3 theorems to determine eigenvalues with 2 cases and a theorem to
determine eigenvectors. The first theorem determines the characteristic polynomial of tridiagonal
matrix. The characteristic polynomial of the tridiagonal matrix can be used to determine the
eigenvalues in the second and third theorems. Furthermore, it can be used to determine the
eigenvectors in the fourth theorem.
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL
DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN
BERULANG
IRESA APRILIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi : Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri
Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang
Nama
: Iresa Apriliani
NIM
: G54070036
Menyetujui,
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.
NIP. 19610104 198803 2 002
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen Matematika,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Bapak dan Mamah (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,
kepercayaan, dan kasih sayangnya), adikku (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang,
dan motivasinya), serta keluarga besar baik dari Bapak maupun dari Mamah (terima kasih atas
doanya).
2. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu,
saran, dan motivasinya).
4. Dra. Farida Hanum, M.Si selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Donny, Pak Hadi, Pak Wayan,
Pak Prapto, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).
7. Muhamad Yakub (terima kasih atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya)
8. Kakak-kakak Matematika angkatan 41, 42, dan 43: Ka Sima, Ka Vino, Ka Bange, Ka Kabil,
Ka Ocoy, Ka Aini, Ka Putri, Ka Apri, Ka Agung, Ka Vera, Ka Mira, Ka Tami, Ka Destya, Ka
Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Cici, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Adi, Ka Amin, Ka Cumi, Ka Sapto,
Ka Chopi, dan lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya).
9. Teman-teman Matematika angkatan 44: Ruhiyat, Wahyu, Ayum, Iam, Fikri, Wenti, Ririh, Sri,
Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Ipul, Cita, Tanty, Arina, Deva, Yuyun, Lingga, Masay, Diana,
Yogie, Lugina, Yanti, Selvie, Ucu, Pepi, Devi, Istiti, Sari, Anis, Aqil, Lilis, Imam, Aswin, Eka,
Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Fani, Phunny,
Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Endro,
Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan,
bantuan, dan kebersamaannya).
10. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2012
Iresa Apriliani
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 April 1989 dari pasangan Maulana dan Ipah. Penulis
merupakan anak pertama dari dua bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB ).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika
(GUMATIKA), divisi Sosialisasi Informasi dan Komunikasi (SOSINKOM) tahun 2009. Selain itu,
penulis juga aktif dalam berbagai kepanitian, diantaranya menjadi panitia pada Masa Perkenalan
Departemen (MPD) 2009.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................................... ix
I
PENDAHULUAN ........................................................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................................................... 1
1.2 Tujuan ........................................................................................................................................ 1
II LANDASAN TEORI ...................................................................................................................... 1
2.1 Matriks ....................................................................................................................................... 1
2.2 Determinan dan Sifat-Sifatnya ................................................................................................... 2
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................................................... 2
2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear ........................................................................................ 2
2.5 Bilangan Kompleks .................................................................................................................... 3
2.6 Trigonometri .............................................................................................................................. 3
2.7 Pemetaan ................................................................................................................................... 3
2.8 Matriks Blok .............................................................................................................................. 3
III PEMBAHASAN .............................................................................................................................. 4
3.1 Matriks Tridiagonal .................................................................................................................. 4
3.1.1 Nilai Eigen ........................................................................................................................ 5
3.1.2 Vektor Eigen ..................................................................................................................... 8
IV SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................... 13
LAMPIRAN .......................................................................................................................................... 14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Bukti Teorema 1 ............................................................................................................. 15
Lampiran 2. Bukti Teorema 2 ............................................................................................................. 21
Lampiran 3. Bukti Teorema 3 ............................................................................................................. 23
Lampiran 4. Bukti Teorema 4 ............................................................................................................. 25
ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matriks adalah susunan segi empat sikusiku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan
entri dalam matriks. Matriks tridiagonal
adalah matriks yang mempunyai entri yang
bernilai nol pada selain diagonal utama, di
bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di
atas diagonal utama (superdiagonal).
Matriks tridiagonal muncul di sebagian
besar cabang ilmu seperti matematika terapan,
matematika modern, teknik, dan lain
sebagainya.
Kata eigen berasal dari bahasa Jerman yang
berarti sebenarnya atau karakteristik. Nilai
eigen dapat dinamakan nilai sebenarnya atau
nilai karakteristik.
Nilai eigen dan vektor eigen akan dicari
dengan
menggunakan
polinomial
karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini
terlebih dahulu akan dibahas polinomial
karakteristik dari suatu matriks tridiagonal
dengan entri diagonal utama tidak tetap.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari
tulisan Said Kouachi (2006) yang berjudul
Eigenvalues and eigenvectors of some
tridiagonal matrices with non constant
diagonal entries.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Mencari nilai polinomial karakteristik
2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks tridiagonal yang entri diagonal
utamanya tidak konstan dan berulang
dengan beberapa kasus.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi latar belakang dan tujuan penulisan.
Bab kedua berupa landasan teori yang berisi
beberapa istilah dan konsep dari matriks
tridiagonal, nilai eigen dan vektor eigen. Bab
ketiga berupa pembahasan bagaimana mencari
nilai eigen dan vektor eigen dengan beberapa
kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi
kesimpulan dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan definisidefinisi tentang karya ilmiah ini.
2.1 Matriks
Definisi 1 (Matriks)
Sebuah matriks adalah susunan segi empat
siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan
entri dalam matriks.
[Anton 1998]
Definisi 2 (Matriks segi berorde n)
Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom
dinamakan matriks segi berorde n, dan entrientri 11 , 22 , …,
dikatakan berada pada
diagonal utama dari A (lihat (2.1)).
A=
11
12
21
22
1
2
1
⋱
2
(2.1)
[Anton 1998]
Definisi 3 (Matriks Tridiagonal)
Suatu matriks tridiagonal yang berukuran
× , dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks
dengan entri-entri tij = 0 jika
− >1
seperti
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
(2.2)
�� =
0 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0
0 0 0
0 0 0 0
[Zhang 1999]
Definisi 4
Entri-entri tepat di atas diagonal utama dari
matriks tridiagonal disebut superdiagonal dan
entri-entri tepat di bawah diagonal utama
matriks tridiagonal disebut subdiagonal.
[Kouachi 2006]
2
2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya
Definisi 5 (Determinan)
Misalkan A adalah matriks × dan Mij
menyatakan matriks
− 1 × − 1 yang
diperoleh dari A dengan menghapus baris ke-i
dan kolom ke-j. Determinan dari suatu matriks
A berorde × , dinotasikan sebagai det(A),
adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan
matriks A dan didefinisikan secara induktif
sebagai:
det(A)=
dengan
11 �12
11 ,
+
12 �12
+
+
=1
1 �1 ,
>1
A1j = (-1)1+ j det (M1j), j = 1,…, n
adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan
dengan entri-entri dalam baris pertama dari A.
[Leon 2001]
Teorema 1
Jika A adalah suatu matriks segitiga atas atau
segitiga bawah yang berukuran × , maka
determinan dari A sama dengan hasil kali
elemen-elemen diagonal utama dari A.
[Leon 2001]
Definisi 6 (Sifat-sifat Determinan)
Operasi baris
1. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari
suatu matriks akan mengubah tanda dari
determinan.
2. Mengalikan satu baris atau kolom dari
suatu matriks dengan suatu skalar sama
akibatnya dengan mengalikan nilai dari
determinan dengan skalar tersebut.
3. Menjumlahkan perkalian dari suatu baris
atau kolom pada baris lain atau kolom
lain tidak akan mengubah nilai dari
determinan.
[Leon 2001]
Teorema 2 (Aturan Cramer)
Misalkan A adalah matriks taksingular
berorde × dan misalkan b ∈ . Misalkan
Ai adalah matriks yang diperoleh dengan
mengganti kolom ke- i dari A dengan b. Jika x
adalah penyelesaian tunggal dari Ax = b,
maka
=
det (�� )
det �
untuk i = 1, 2, …, n.
[Leon 2001]
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 7 (Nilai Eigen, Vektor Eigen,
Persamaan Karakteristik dan
Polinomial Karakteristik)
Misalkan A adalah suatu matriks
× .
Skalar
disebut nilai eigen atau nilai
karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor
taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut
vektor eigen atau vektor karakteristik yang
berpadanan dengan nilai eigen �.
Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam
bentuk
− λ� � = 0.
(2.3)
Persamaan
(2.3)
akan
mempunyai
penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
− λ� singular atau secara ekuivalen
det − λ� = 0.
(2.4)
Jika determinan pada persamaan (2.4)
diuraikan maka didapatkan suatu polinomial
berderajat n dalam peubah
� λ = det − λ�
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik
dan persamaan (2.4) disebut persamaan
karakteristik untuk matriks A.
[Leon 2001]
Teorema 3
Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn.
Himpunan dari setiap nilai eigen yang berbeda
dari matriks A adalah takkosong dan
mempunyai paling banyak n nilai eigen yang
berbeda.
Bukti: lihat [Lancaster & Tismenetsky 1985].
Definisi 8
Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn.
Jika A mempunyai n nilai eigen yang berbeda
maka matriks A disebut sederhana.
[Lancaster & Tismenetsky 1985].
2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear
Definisi 9 (Ruang Vektor)
Misalkan V adalah himpunan di mana
didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan
3
perkalian dengan skalar. Dengan ini dapat
diartikan bahwa untuk setiap pasang elemenelemen x dan y di dalam V, dapat
diasosiasikan dengan elemen x + y yang
tunggal yang juga berada di V dan setiap
skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen
x yang tunggal di dalam V. Himpunan V
bersama-sama
dengan
operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar
dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika
aksioma-aksioma berikut terpenuhi
a. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V.
b. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y,
z di V.
c. Terdapat elemen 0 di V sehingga x+ 0 = x
untuk setiap x ∈ V.
d. Untuk setiap x ∈ V terdapat elemen −x∈ V
sehingga x + (−x) = 0.
e. (x + y) = x + y untuk setiap skalar
dan setiap x dan y di V.
f. ( + ) x = x + x untuk setiap skalar
dan dan setiap x ∈ V.
g. ( ) x = ( x) untuk setiap skalar dan
dan setiap x ∈ V.
h. 1.x = x untuk setiap x ∈ V.
[Leon 2001]
Definisi 10 (Bergantung Linear)
Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang
vektor V disebut bergantung linear jika
terdapat skalar-skalar c1, c2, …, cn yang tidak
semuanya nol sehingga
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0.
Definisi 11 (Bebas Linear)
Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang
vektor V disebut bebas linear jika
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0.
mengakibatkan semua skalar-skalar c1, c2, …,
cn harus sama dengan 0.
[Leon 2001]
2.5 Bilangan Kompleks
Definisi 12 (Bilangan Kompleks)
Bilangan kompleks adalah suatu pasangan
terurut dari bilangan real yang dinyatakan
dengan (a, b) atau a + bi dengan i = −1.
[Anton 1998]
2.6 Trigonometri
Definisi 13 (Kesamaan Trigonometri)
Kesamaan trigonometri adalah hubungan
antara fungsi-fungsi trigonometri, yaitu
1. sin2� + cos2 � = 1
2. sin (−�) = −sin �
3. sin ( + ) = sin cos + cos sin
4. sin ( − ) = sin cos − cos sin
5. cos ( − ) = cos cos + sin sin
6. cos ( + ) = cos cos − sin sin
7. sin 2x = 2 sin x cos x
8. cos 2x = cos2 x – sin 2 x
9. cos 2x = 2cos2 x – 1
10. cos 2x = 1– 2sin 2 x
[Stewart 2001]
2.7 Pemetaan
Definisi 14
Misalkan A dan B adalah dua himpunan.
Pemetaan f dari A ke B biasa juga disebut
bahwa f memetakan A ke B (atau pemetaan A
ke B) dan ditulis f : A B.
[Goldberg 1976]
Definisi 15 (Pemetaan Identitas)
Misalkan A adalah suatu himpunan. Pemetaan
A ke A disebut pemetaan identitas, dinotasikan
IA, jika a anggota dari A maka IA(a) = a atau
dapat ditulis IA : A A.
[Kurtz 1992]
2.8 Matriks Blok (Matriks Terpartisi)
Definisi 16 (Matriks Blok)
Misalkan A, B, C dan D adalah suatu matriks
dengan A adalah matriks berorde n dan D
adalah matriks berorde m. Matriks M disebut
matriks blok jika � =
.
[Zhang 1999]
4
III PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal.
3.1 Matriks Tridiagonal
Misalkan diberikan matriks tridiagonal
dalam bentuk sebagai berikut
A n=
− +
1
1
0
1
2
2
0
0
2
3
0
0
0
⋱
⋱
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
−1
0
0
0
−1
− +
(3.1)
dengan
dan
, = 1, 2, … , − 1 adalah
bilangan kompleks, dan adalah bilangan
kompleks. Misalkan bahwa
= 2 , = 1, 2, … , − 1
(3.2)
ganjil
, = 1,2, … , − 1 (3.3)
,
jika
genap
2
dengan d, b1 dan b2 adalah bilangan kompleks
dengan d ≠ 0.
Jika
adalah pemetaan dari himpunan
bilangan bulat 1 sampai n-1 ke dalam
himpunan bilangan bulat yang lebih besar
σ
dari n-1 maka matriks An menjadi
=
1 , jika
− +
1
1
0
2
1
0
0
0
0
0
2
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
⋱
⋱
⋱
0
2
3
⋱
⋱
…
0
0
0
−1
σ − λ�
=
dan
∆
polinomial karakteristiknya.
Jika
= dengan
adalah pemetaan
dinotasikan
identitas, maka An(i) dan ∆
berturut-turut dengan An dan ∆ .
Contoh
Misalkan diberikan
1 = 6
2 = 2
3 = −9
4
dan
=4
12 = 1
17 = −3
7
= 5 − 11
5 =2
22
1 = 6
=
18
2
3 = −4
= 4−2
27 = −6
=9
12 = 36
17 = 12
= 5 + 11
22 = 4 + 2
5 = −18
27 = −6
dengan
= 36,
= 1, 2, … , 5
5, jika ganjil
=
3, jika genap
4
�6 =
Jika ada pemetaan :
:1 7
2 12
3 17
4 22
5 27
Maka
6
3
2
0
0
0
0
18
5
−9
0
0
0
0
0
0
0
−4
3
5 − 11
0
1
2
3
5+
=
=
=
=
=
5
=
1
=
2
4
11
5
2
=4
12 = 1
17 = −3
0
0
0
0
−18
3−3 3
7
= 4−2
27 = −6
7 = 9
12 = 36
22
5
7
=4 3
=3 3
Dapat dibentuk matriks tridiagonal:
5−4 3
6
0
0
0
0
−1
− +
(3.4)
adalah
5
5
5
3
=
17
= 12
4
=
22
= 4+2
= 27 = −6
Dan matriks tridiagonal �6 menjadi
5
5
�6 ( ) =
5−4 3
4
0
0
0
0
0
0
12
3
4−2
0
0
36
5
−3
0
0
9
3
1
0
0
0
Selanjutnya akan dibahas nilai eigen dari
matriks tridiagonal untuk
= = 0 dan
2
= .
5
σ
Dalam kasus
= = 0, matriks
dan polinomial karakteristiknya ∆
dinotasikan berturut-turut 0 σ dan ∆0
sedangkan dalam kasus
≠ 0 dan β ≠ 0
matriks dan polinomial karakteristiknya
dinotasikan dengan An dan ∆ . Untuk mencari
nilai eigen dari matriks tridiagonal digunakan
persamaan berikut yang telah diberikan di
[Kouachi, in press], yaitu
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
(3.5)
dengan
�1 = 1 − dan �2 = 2 −
(3.6)
Jika
∆ = ∆0 −
2
0
�1
0
0
3
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
−1
0
0
−1
�1
−
�1
1
0
�2
0
0
1
2
Jika
0
2
⋱
⋱
Semua entri subdiagonal dan superdiagonal
memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3) maka
=2
∆ =
2
�1 sin 2 + 2 �
sin 2�
3.7
=2
sin 2 + 1 �
sin �
2
3.8
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian C)
0
⋱
⋱
−2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian A)
Jika
∆0 =
∆0 =
Oleh karena itu, akan dibahas mengenai
polinomial karakteristik untuk
= =0
pada Teorema 1.
2
0
0
0
0
−6
3−3 3
Teorema 1
Jika = = 0 maka nilai eigen dari matriks
σ tidak bergantung pada ( , , =
1, … , − 1) dan pemetaan memperlihatkan
kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi dengan
polinomial karakteristiknya
Jika = 2 + 1 maka
Nilai Eigen
�2
0
0
0
4+2 5
5
−6
≠ 0 dan
0
0
−2
�2
≠ 0 maka nilai ∆ menjadi
�2
+
2
0
�1
0
0
2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
polinomial karakteristik jika
dan diperoleh.
−2
(3.9)
−2
�2
≠ 0 dan β ≠ 0
+1
2
[�1 − ( + )] sin 2
+2 �+
sin 2�
2
�2 −
+
sin 2 �
(3.10)
6
dan jika
=2
∆ =
2 −2
2
+2 �−
sin 2
�2 + �1 −
−
sin 2�
2
sin 2 � +
sin 2
−2 �
3.11
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian B)
= 2 , jika
Untuk
=
2
∆ =
polinomial karakteristiknya menjadi
�1 �2 − �2 − �1 sin 2 �
sin 2�
2 −2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian D)
Dari persamaan (3.11) dapat diperoleh
Proposisi 1 yaitu dimana nilai eigen dari
matriks tridiagonal lain yaitu matriks
tridiagonal
dengan
menukar
bilangan
, , 1 dan 2 .
(3.12)
σ sama dengan
dari matriks tridiagonal
σ .
nilai eigen dari matriks tridiagonal
Bukti:
Akan dibuktikan nilai eigen dari matriks
σ sama.
σ dan
tridiagonal
Untuk membuktikan bahwa nilai eigen
kedua matriks tridiagonal tersebut sama,
cukup membuktikan polinomial karakteristik
kedua matriks tridiagonal tersebut sama
karena nilai eigen bergantung pada polinomial
karakteristiknya. Telah didapatkan polinomial
karakteristik untuk n genap sebagai berikut.
Proposisi 1
σ adalah suatu matriks
Misalkan
tridiagonal yang diperoleh dari matriks
σ pada (3.4) dengan menukar
tridiagonal
bilangan
dengan , dengan , 1 dengan
2 , dan 2 dengan 1 .
Jika ukuran suatu matriks tridiagonal
adalah n yang bernilai genap maka nilai eigen
Untuk n genap
Diberikan matriks
− +
1
0
0
2
0
0
0
Maka matriks
− +
1
σ =
Untuk
∆ =
σ
2 −2
2
sin 2
2
1
2
1
⋱
⋱
…
0
2
1
0
0
0
0
0
+2 �−
0
2
1
σ =
1
2
2
⋱
⋱
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
�2 + �1 −
−
sin 2�
2
0
0
0
−1
−1
− +
2
0
0
0
−1
−1
− +
sin 2 � +
1
sin 2
−2 �
7
σ
Sedangkan untuk
∆ =
=
2 −2
2 −2
2
sin 2
2
sin 2
σ )=
σ )=
�1 (
�2 (
+2 �−
+2 �−
−
2 −
1
=
1
+
+
2
2
−
1 −
2
= �2 (
= �1 (
�1 + �2 −
−
sin 2�
�2 + �1 −
−
sin 2�
Karena polinomial karakteristik dari
σ sama,
σ dan
matriks tridiagonal
maka nilai eigen dari matriks tridiagonal
σ sama.
σ dan
1
=
=
2
2
σ )
σ )
sin 2 � +
sin 2 � +
sin 2
sin 2
−2 �
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari
matriks tridiagonal dengan = = 0.
Teorema 2
Jika = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3)
terpenuhi maka nilai eigen dari matriks
σ
adalah berikut ini.
tridiagonal
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … ,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, = + 1, … , 2
2
=
1 ,
− (
−2 �
1
(3.13)
dengan jika n ganjil
� =
,
2 +2
( − )
,
2 +2
� =
,
2 +1
( − )
,
2 +1
=
dan jika n genap
=
= 1, … ,
+ 1, … , 2
= 1, … ,
+ 1, … , 2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 2)
Setelah dalam Teorema 2 dibahas
tentang nilai eigen dari matriks tridiagonal
dengan = = 0. Selanjutnya akan dicari
nilai eigen dari matriks tridiagonal untuk n
genap dan
= 2.
Teorema 3
Jika n genap dan
= 2 dan kondisi (3.2)
dan (3.3) terpenuhi, maka nilai eigen dari
σ adalah sebagai
matriks tridiagonal
berikut.
8
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … , − 1
2
2
2 cos 2 �
1 + 2 + ( 1 − 2 ) + 16
,
= ,…,2 − 2
2
−
− ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, = −1
2
−
+ ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, =
2
(3.14)
1
=
+
− (
2
� =
1
( −
= 1, … ,
,
2
+ 1)
2
,
=
−1
,…,2
−2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 3)
Dari Teorema 1, 2 dan 3 maka
menghasilkan adanya Akibat 1 yaitu
Akibat 1
Setiap entri dalam subdiagonal dan
superdiagonal dari matriks tridiagonal
dan
σ memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3).
,
1, … ,
= 1, … , , dinotasikan dengan �
− + �1
=2
�
−1
dengan
, =
− , ganjil
−
, genap
2
= 1, 2, … , − 1 , = 1, 2, … ,
(3.16)
memenuhi persamaan (3.5) dan � , k =1, …, n
adalah solusi dari persamaan berikut ini.
�
sin 2
( ) ( )
+ − +�
( )
1
�2 = 0
( )
2
�3 = 0
�
( )
=�
( )
=
−
1
=
=0
(3.15)
+1
�1
dan jika
�1 +
�1 + �2 �2 +
−1
2
Selanjutnya akan dibahas vektor eigen dari
σ .
Misalkan
matriks
tridiagonal
komponen dari vektor eigen �
, =
1, … , yang berhubungan dengan nilai eigen
adalah solusi dari persamaan linear
1
Jika
( )
Vektor Eigen
−
+
sin 2
+2 � +[
2
�2 − ( + )] sin 2 � = 0
(3.17)
=2
+2 � −
�2 + �1
−
−
Karena
persamaan
(3.15)
adalah
bergantung
linear
maka
dengan
mengeliminasi persamaan pertama atau baris
pertama diperoleh
2
sin 2 � +
1
2
sin 2
�1 +
�2 +
−2 � =0
( ) ( )
�2 �2
( ) ( )
�3 �3
+
+
( )
�
2 3
( )
�
3 4
(3.18)
=0
=0
� −1 + − + �
� =0
−1
Sistem persamaan linear di atas dituliskan
dalam bentuk matriks berikut ini.
9
( )
�2
2
0
⋱
⋱
⋱
0
( )
�3
⋱
⋱
2
0
0
Vektor eigen �
( )
( )
�2
0
⋱
⋱
⋱
( )
�3
0
−1
(− + �
−1
( )
)
�
= 1, … , , pada
, ,
=
0
(3.19)
k
( )
( )
�3
⋱
2
0
0
=
0
2
0
⋱
⋱
…
…
…
0
Untuk = 2, … , ,
⋱
⋱
−2
⋱
⋱
= 1, … ,
(k)
Persamaan n pada (3.21) ditentukan dari
persamaan (3.10) dan (3.11) dengan
=0
Jika
=2
( )
∆ −1
−2
( )
−
( )
−1
�1
0
0
0
−1
…
…
0
0
1
⋱
⋱
⋱
( )
� +1
+1
−1
0
Kolom ke j-1
(3.20)
0
…
0
0
= 1, … ,
, ,
0
−2
− +�
dan n diganti dengan
−1
diperoleh persamaan berikut ini.
( )
sehingga
+1
2
2 −2
( )
−1 =
∆
dan jika
�
…
⋱
(σ)
j
=
dengan
�2
1
( )
�
sistem persamaan (3.21) dapat dicari dengan
Aturan Cramer, yaitu
( )
�1
0
−
sin 2
=2
∆
Untuk setiap
( )
−1 =
2 −2
+ 2 � − �2 −
sin 2 �
�2 −
= 1, … ,
2
sin 2 � − sin(2
sin 2 �
sin 2 �
(3.21)
− 2)�
(3.22)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian A)
Pertukaran kolom ke- − 2 dengan kolom
, menghasilkan
ke- − 1 dari
�
= −1
dengan
Λ
−2
Λ
∆
−1
, = 2, … ,
(3.23)
adalah determinan dari
matriks blok berikut ini.
�
=
−1 ( )
0
dengan
−1
=
−
−
( )
,
( )
�2
⋱
0
0
0
2
2
⋱
⋱
⋱
0
…
adalah matriks dengan order
diagonal (−
0
( )
�1
0
1
1
�1 ,
2
,…,
0
0
⋱
⋱
⋱
0
−1
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
0
−2
( )
� −1
−1
− 1 dengan
) dan
10
−
�
=
( )
+1
+1
⋱
⋱
⋱
+1
0
0
…
⋱
⋱
⋱
0
⋱
⋱
⋱
0
�
0
−1 (
Jika
=−
0
(− + �
−1
−1
+1 )
∆
( )
−
−1
1
…
= 2, … , ,
Untuk setiap
adalah matriks tridiagonal dengan order −
yang memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3)
karena
=
−
−1
( ) ( )
−
�1 ∆
(3.24)
= 1, … , , dengan
diberikan oleh persamaan (3.10) dan
(3.11) untuk = 0 dan mengganti n dengan
− sehingga diperoleh persamaan berikut
ini.
) memiliki invers maka
ganjil
∆
( )
−
− −2
=
2
− + 2 � − �2 −
sin 2�
sin
− −1
�1
− −1
�2 −
−
, jika ganjil
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika genap
sin 2�
(3.25)
genap
dan jika
∆
( )
−
=
Untuk setiap
− −2
2
= 2, … , ,
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika ganjil
sin 2�
− + 2 � − �1
sin 2�
sin
−
= (−1)
−2
−
sin( − )�
2
, jika genap
(3.26)
= 1, … ,
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian B)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.24)
dengan (3.25) didapatkan
�
sin( − )�
2
1
= (−1)
( )
∆ −
( )
�
−1 1
( )
∆ −1
…
−1
1
…
( )
�1
( )
−
( )
∆ −1
∆
(3.27)
= 2, … , dan = 1, … ,
Dengan menyubstitusi persamaan (3.22),
(3.23), (3.26) dan (3.27) dengan persamaan
(3.28) didapatkan persamaan berikut.
Jika n ganjil
2
sin
1−
�
=
( )
�1
2
2−
�1
2
sin
−
sin
dan jika n genap
1−
�
dengan
=
( )
�1
−
�2 −
2
sin
− +2 � −
+1 � −
�2 −
�2 −
2
sin( − )�
sin( − 1)�
2
, jika ganjil
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika genap
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika ganjil
+1 � −
�2 −
�2 −
sin � − sin( − 2)�
− +2 � −
�2 −
sin( − 1)�
2
�1
−
2
sin( − )�
sin � − sin( − 2)�
= (−1)1−
1
…
−1
(3.28)
, jika genap
(3.29)
11
Untuk setiap
= 2, … , ,
= 1, … ,
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian C)
Maka dapat diperoleh vektor eigen untuk
σ dalam teorema
matriks tridiagonal
berikut ini.
Teorema 4
Vektor eigen �
, = 1, … ,
σ yaitu
tridiagonal
dari matriks
Dipilih
( )
�1
dan
= (− )
2
−1
+1 � −
sin
�2 −
sin � −
= (− )
maka,
−
�2 −
sin
1
…
sin( − 1)� , jika ganjil
2
−2 �
−1
, jika genap
(3.30)
, = 2, … ,
Jika n ganjil
2
�
=
Jika n genap
�
=
�1
− +2 � −
sin
−
�2 −
sin
dengan
− +1 � −
sin
sin
− +1 � −
− +2 � −
, = 2, … , dan � , �1
�2 −
dan �2 ,
�1
2
−
= 1,2, … . ,
� , jika ganjil
− − 1 � , jika genap
sin
sin
−
sin
− − 1 � , jika ganjil
sin
−
� , jika genap
(3.31)
(3.32)
dari persamaan (3.5), (3.17) dan (3.18)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian D)
Contoh
�6
=
5−4 3
4
0
0
0
0
9
3
1
0
0
0
0
36
5
−3
0
0
0
0
12
3
4−2
0
5
0
0
0
4+2 5
5
−6
0
0
0
0
−6
3−3 3
Nilai eigen yang diperoleh dari matriks di atas dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah
1
4 + 16 36 cos 2
= 4 − 109
1 =4−
6
2
1
= 4 − 37
4 + 16 36 cos 2
2 = 4−
2
3
1
4 + 16 36 cos 2
= 4 + 109
3 =4+
2
6
1
= 4 + 37
4 + 16 36 cos 2
4 = 4+
2
3
3
1
3−
(5 − 3)2 + (4 3 + 3 3)2 − 2 5 − 3 (4 3 + 3 3)
5 = 4− 2+
2
2
12
6
= 4− 2+
=4− 2+
3
2
= 4− 2+
Untuk
1
3
2
3−
1
7
1
161 − 4 3 = 4 −
161 − 4 3
3−
2
2
2
1
(5 − 3)2 + (4 3 + 3 3)2 − 2 5 − 3 (4 3 + 3 3)
2
1
7
1
161 − 4 3 = 4 −
161 − 4 3
3+
3+
2
2
2
3+
3
2
= 4 − 109 vektor eigennya
�11
= −6
5
�21
= −6
4
= −6
3
�31
=
9
−
69984
2
= 34992
2
3 3 5−4+ 109 −36
−
4 6 sin
= 432(−9 − 9 109 + 36 3)
= −6
1
−
3
1
2
�41
= −6
�51
= (−6) 4 − 2
�61
= −6
3 − 4 + 109 − 3 3 sin
3+
−3
2
= 3 −3
0
= −18 3
1
2
2
3
3 109 − 9
−
2
3
6
3
sin
3
3
3 − 4 + 109 − 3 3 sin − 3 3 sin 0
5
3
5 − 3 + 3 109 − 9
−6 6 sin −
yaitu
2
− 3 3 sin
3 3 5−4+ 109 −36
36 3 − 9 − 9 109 + 36
= −3 4 − 2
Jadi vektor eigen untuk
1
6 sin
sin
6
3
3 3 5−4+ 109 −36
6
sin 0
34992
432(−9 − 9 109 + 36 3)
−6
3 −3
3
−
1
2
3+
1
2
3 109 − 9
36 3 − 9 − 9 109 + 36
−3 4 − 2
5 − 3 + 3 109 − 9
−18 3
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah
diuraikan sebelumnya, diperoleh beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Matriks tridiagonal yang berukuran ganjil
dan
genap
mempunyai
rumusan
polinomial karakteristik yang berbeda
sehingga nilai eigen dan vektor eigen
mempunyai rumusan yang berbeda juga.
2. Jika n genap maka nilai eigen dari matriks
σ ,
yaitu
matriks
tridiagonal
tridiagonal yang diperoleh dari matriks
σ
dengan menukar
tridiagonal
bilangan
dengan ,
dengan , 1
dengan 2 , dan 2 dengan 1 sama dengan
σ .
nilai eigen dari matriks tridiagonal
4.2 Saran
Bagi yang berminat dapat membahas nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal dengan entri diagonal utama tidak
berulang untuk karya ilmiahnya.
13
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1998. Aljabar Linear Elementer. Ed
ke-5. Silaban P, Susila IN, penerjemah;
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Elementary Linear Algebra.
Goldberg RR. 1976. Methods of Real
Analysis. Ed ke-2. New York: John Wiley
& Sons, Inc.
Kouachi S. 2006. Eigenvalues and
Eigenvectors of some tridiagonal matrices
with non constant diagonal entries. ELA,
In press.
Kurtz DC, Luhrs M, Wallis R, editor. 1992.
Foundations of Abstract Mathematics.
New York: McGraw-Hill, Inc.
Lancaster P, Tismenetsky M. 1985. The
Theory of Matrices with Applications. Ed
ke-2. San Diego: Academic Press, Inc
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah.
Jakarta:
Erlangga.
Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications.
Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed ke-4, jilid 1.
Gunawan H & Susila IN, penerjemah.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Calculus.
Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Result
and Techniques. New York: Springer
Verlag.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1 Bukti Teorema 1
A. Bukti persamaan (3.9)
− �1
∆1 = �1
= (− + 1 ) − (1)
= (− + 1 − )
= (− ) + ( 1 − )
= �1 −
Jika ∆10 adalah polinomial karakteristik dengan
∆1 = ∆10 −
− �2
∆2 = �2
− + 1
=
=
�1 −
1
1
− +
2
1
−
= 0, maka
=
= 0, maka
0
0
�2 −
= �1 −
�2 −
− 1 1
= �1 �2 − �1 − �2 +
− 2
= �1 �2 − 2 − �2 − �1 +
Jika ∆02 adalah polinomial karakteristik dengan
∆2 = ∆02 − �2 − �1 +
1
=
− �3
∆3 = �3
− + 1
0
0 0
1
− 0
=
0
1
2
2
0
− + 1
0 0
2
�1 −
0
1
�
=
1
2
2
0
�1 −
2
�2
1
2
2
= �1 −
− 1 0 � −
�1 −
1
2
− 2 − 1 ( 1 �1 − )
= �1 −
�2 �1 −
2
− �1 −
− 2 �1 −
= �1 − �2 �1 −
− 2 �1 + 2 −
= �2 �1 2 − �1 − �1 +
2
�1 +
2
= �1 2 �2 − �1 �2 − �1 �2 +
�2 − 2 �1 − 2 − 2 �1 + 2
2
2
− 2 +
+ �2
= �1 �2 − 2 �1 − �1 �2 +
2
2
2
− �1 �2 − 2 + �2
= �1 �2 − 2 �1 − �1 �2 −
0
Jika ∆3 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�1
�1
1
2
+
�2
−
∆3 = ∆03 −
�2
�
1
2
2
− �4
∆4 = �4
− + 1
1
=
=
�1 −
1
0
0
0
0
1
�2
2
0
0
1
0
0
2
2
2
1
0
0
2
�1
3
3
− +
0
0
�2 −
3
3
2
0
− 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
16
= (�1 − )
�2
2
0
2
�1
1
−
3
0
�2 −
3
−
= (�1 − ) �2 �1 �2 −
= (�1 − ) �2 �1 �2 − �1 −
= (�1 − ) �1 �2 2 − �1 �2 −
0
2
�1
0
0
1
3
�2 −
2
−
− 1 [ 1 �1 �2 −
− 2 2 �2 −
2
2
2
2
−
− ]
− [�1 �2 −
�2 −
2
2
2
2
�2 − �2 +
− [�1 �2 − �1 − 2 ]
3
2
]
= �1 2 �2 2 − �1 2 �2 − 2 �1 �2 − 2 �1 �2 + 2 �1 − �1 �2 2 + �1 �2 + 2 �2 + 2 �2
− 2
− 2 �1 �2 + 2 �1 + ( 2 )2
2 2
= �1 �2 − 3 2 �1 �2 + ( 2 )2 − �1 �2 2 − 2 2 �2 − �1 2 �2 − 2 2 �1 + (�1 �2 − 2 )
Jika ∆04 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�2
0
�1
0
2
1
�2
2
�
�
∆4 = ∆04 −
−
2
1
3
1
2
2 +
�1
2
0
�2
0
�1
3
2
− �5
∆5 = �5
− + 1
1
=
0
0
0
�1 −
1
=
0
0
0
= �1 −
= �1 −
0
2 0
0
= �1 −
1[ 1
1
�2
2
0
0
�2
2
0
0
�1
3
3
3
4
4
0
4
0
2
2
2
0
0
0
2
�1
3
0
2
�1
3
0
�1
3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
�2
4
0
3
�2
4
3
�2
− +
−
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
�1 −
0
0
−
�1 −
0
−
4
2
−
2
3
2
1
2
)−
3
0
0
0
�1
2
3
0
0
3
0
0
0
3
�2
4
�1 −
4
0
�2
2( 3
�1 −
0
2
1
4
0
�1 −
4
0
3
�2
0
�
4
1 −
−
�2 (�1 �2 �1 −
�1 �2 �1 −
0
0
− 0
0
0
4
�1 −
4
�1 −
]
) −
−
2
1
1
�1
3
0
2 (�2
0
3
�2
4
�1 −
4
�1 −
−
2
) −
�1 −
−
= �1 −
�2 �1 �1 �2 − �2 −
− 2 �1 �2 − �2 − 2
2
2
�2 −
− 1 [ 1 [�1 �1 �2 −
−
�1 − ]]
2
2 2
2 2
= �1 −
�1 �2 − �1 �2 − �2 − 2 �1 �2 + 2 �2 − 2 �1 �2 + 2 �2 − 2 2 −
2
3
[�1 �2 − �1 �2 − 2 − 2 �1 − 2 ]
= �13 �22 − �1 �2 2 − 2 �1 �2 2 − 2 �1 2 �2 + 2 �1 2 − 2 �1 2 �2 + 2 �1 �2 + 2 2 �1
− �12 �22 + �1 �2 + 2 �2 2 − 2 �2 + 2 �1 �2 − 2 �2 − 2 2 − 2 �1 �2 2
+ 2 �1 �2 + 2 2 + 2 2 �1 − 2 2
= �13 �22 − 3 2 �1 2 �2 + 2 2 2 �1 + 2 2 − �12 �22 − 2 �2 2 − 2 2 �1 �2 + 2 2
2
�1 �2 − 2 2 �2 − 2
− �12 �22 − 2 �1 2 − 2 2 �1 �2 + 2 2 +
Jika ∆05 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�2
�1
0 0
0 0
2
1
�2
2
2
3
�1
0
�2
0
2
1
0
�1
+
∆5 = ∆5 −
−
2
�
�
3
4
0
0
2
1
3
2
0
3
�1
�2
3
0 0
0 0
4
0
3
�2
−
17
Jadi, didapatkan bentuk umum
Jika ≠ 0 dan ≠ 0
�2
2
0
�1
0
0
2
∆ =∆ −
0
3
3
⋱
⋱
⋱
⋱
−1
�1
0
0
0
0
−1
�1
−
0
0
0
2
⋱
⋱
⋱
⋱
2
�2
0
0
0
1
�2
1
0
+
−2
�2
−2
2
0
�1
0
0
2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
3
⋱
⋱
0
−2
−2
�2
(3.9)
B. Bukti persamaan (3.10) dan (3.11)
�1 −
1
0
�2
0
0
1
=2
Jika
�2
∆ =∆ −
=
=
2
0
�1
0
0
2
0
∆ =
+ 1 ganjil
3
2
=
2
⋱
⋱
⋱
⋱
�1 sin 2
2
=
3
−1
0
−1
�1
�1 sin(2 + 2)�
−
sin 2�
2
�1 sin 2
2
0
0
0
+2 �−2
+2 �−
�1 sin 2
+
=2
+
sin 2
∆ =∆ −
0
2
0
0
0
3
⋱
⋱
−2
�2 −
0
0
2
0
�1
0
0
2
+
�2
sin 2 + 1 �
+
sin �
cos � sin 2
�2
−2
−2
3
⋱
⋱
� sin 2
2 −2 2
sin 2�
+1 �+
2 sin � cos �
2
�2 sin 2 �
sin 2 � + � + � + sin(2 � + � − �) +
+
+ 2 � + sin 2 � +
sin 2
0
⋱
⋱
+2 �+
1
�2
−1
2
0
0
0
−1
�1
2
sin 2�
0
3
⋱
⋱
⋱
⋱
2
2
+
�1 −
0
0
2
−2
2
0
−
�1
+
0
0
0
2
⋱
⋱
0
⋱
⋱
1
0
�2
0
0
1
�2 −
2
−2
0
2
⋱
⋱
sin 2 �
−2
�2 −
0
⋱
⋱
−2
0
0
−2
�2
�2
+
�
2
−2
�2
�2 sin 2 �
�2 sin 2 �
2
0
�1
0
0
2
−2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
−2
−2
�2
sin(2 + 1)�
�2 sin 2 �
�1 sin 2 �
− 2 −2
− 2 −2
sin �
sin 2�
sin 2�
sin(2
−
1)�
2 −2
+
sin �
2
2
sin
2
+ 1 � cos � − �2 + �1 sin 2 � + 2 sin(2 − 1)� cos �
= 2 −2
2 sin � cos �
2 2 sin 2 + 1 � cos � − �2 + �1 sin 2 � + 2 sin(2 − 1)� cos �
2 −2
=
sin 2�
2
sin 2 � + [sin 2 � + sin(2 − 2)�
[sin
2
+
2
�
+
sin
2
�]
−
�
+
�
2
1
−2
sin 2�
∆ =
=
2
�1
2
0
0
sin 2�
genap
�2
0
+
1
Jika
0
⋱
⋱
sin 2�
+2 �−
�1 −
−
0
0
1
�2
1
0
2
⋱
⋱
2
�1
0
2
18
�2 + �1 −
−
sin 2�
Jadi persamaan (3.10) dan (3.11) terbukti
2
=
−2
2
sin 2
+2 �−
2
sin 2 � +
− 2)�
sin(2
C. Bukti persamaan (3.12)
Jika
=
2
untuk n genap
�2 + �1 − 2 − 2 sin 2 � +
sin 2�
2
[sin
2
+
2
�
+
sin(2
−
2)�]
− �2 + �1 − 2
= 2 −2
sin 2�
2
[2sin 2 � cos 2�] − �2 + �1 − 2 2 sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
2
sin
2
�
cos
2�
−
�2 + �1 − 2 2 sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
[2
cos
2�
−
�
−
�1 + 2 2 ] sin 2 �
2
= 2 −2
sin 2�
[2 2 (2cos 2 � − 1) − �2 − �1 + 2 2 ] sin 2 �
2 −2
=
sin 2�
2
2
2
[4
cos
�
−
2
−
�2 − �1 + 2 2 ] sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
sin
2 �
�
�
−
�
−
�
1 2
2
1
= 2 −2
sin 2�
Jadi persamaan (3.12) terbukti
∆ =
2 −2
2
sin 2
+2 �−
− 2)�
2
sin(2
2
sin 2 �
C. Bukti persamaan (3.7) dan (3.8)
Sebelumnya akan dikonstruksi kembali persamaan (3.7) dan (3.8) yang berkaitan dengan ∆0 −1
dan ∆0 −2 , diperoleh
Jika = 2 + 1 ganjil
sin 2 + 1 �
∆0 −1 = 2
sin �
sin
2 �
∆0 −2 = 2 −2 �1
sin 2�
�1 sin 2 + 2 �
0
2
∆ =
sin 2�
sin 2 �
sin 2 �
sin 2 + 2 �
2
+ �1 2
− �1 2
= �1
sin 2�
sin 2�
sin 2�
2
+ 2 � + sin 2 �
= �1 2
− �1 2
sin 2�
sin 2 + 1 �
sin 2 �
= �1 2
− 2 �1 2 −2
sin �
sin 2�
= �1 ∆0 −1 − 2 ∆0 −2
sin 2
2
sin 2 �
sin 2�
Serta diperoleh juga persamaan dengan menggunakan persamaan (L1.1), yaitu
∆02 +1 = �1 ∆02 − 2 ∆02 −1
Jika = 2 genap
sin 2 �
∆0 −1 = 2 −2 �1
sin 2�
(L1.1)
19
∆0 −2 =
∆0 =
=
2
2
=
2
=
2
=
2
=
2
sin(2 − 1)�
sin �
sin 2 + 1 �
sin �
sin(2 − 1)�
sin 2 + 1 �
+ 2
−
sin �
sin �
2 −2
sin 2
+ 1 � + sin(2
sin �
2 sin 2 � cos �
−
sin 2�
2 cos �
4 sin 2 � cos 2 �
−
sin 2�
�1 �2
2 sin 2 �
− 2
sin 2�
2 2 −2
sin 2 �
− 2
sin 2�
sin 2 �
= �2 2 −2 �1
− 2
sin 2�
= �2 ∆0 −1 − 2 ∆0 −2
Sehingga diperoleh,
∆02 = �2 ∆02 −1 − 2 ∆02 −2
Jadi didapatkan
∆02 +2 = �2 ∆02 +1 − 2 ∆02
= �2 �1 ∆02 − 2 ∆02 −1 −
= �1 �2 ∆02 − �2 2 ∆20 −1 −
=
2 −2
�1 �2
= �1 �2 −
2
∆02 − �2
2
− 1)�
−
2 −2
sin(2 − 1)�
sin �
2
2
2
sin(2
sin(2 − 1)�
sin �
2 −2
2
2
sin �
− 1)�
sin(2 − 1)�
sin �
sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 − 1 �
sin �
sin
2
−1 �
−2
sin �
2 −2
2
2 0
∆2
2 0
∆2
∆02 +
2 0
∆2 −2
�2
= �1 �2 − 2 ∆02 − 2 ∆02 − 4 ∆02
= �1 �2 − 2 2 ∆02 − 4 ∆20 −2
−2
1. Akan dibuktikan persamaan (3.8) dengan induksi matematika.
Bukti:
Untuk = 2, = 0
∆02 = �1 �2 − 2
Persamaan terpenuhi
Untuk = 4, = 1
∆04 = �1 2 �2 2 − 3 2 �1 �2 + ( 2 )2
Persamaan terpenuhi
Anggap benar untuk setiap integer < 2 + 2 genap
Akan dibuktikan integer = 2 + 2 benar
Bukti:
Dengan menggunakan persamaan (3.5) dengan (L1.2) maka
∆02 +2 = 4 2 cos 2 � − 2 2 ∆02 − 4 ∆02 −2
Karena ∆02 dan ∆02 −2 dianggap benar, maka
∆02 +2 = 4 2 cos 2 � − 2 2 ∆02 − 4 ∆02 −2
sin 2 − 1 �
sin 2 + 1 �
− 4 2 −2
= 4 2 cos 2 � − 2 2 2
sin �
sin �
(L1.2)
20
=4
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
Jadi,
sin 2 + 1 �
sin 2 + 1 �
− 2 2 +2
−
sin �
sin �
2
(4 cos � − 2) sin 2 + 1 � − sin 2 − 1 �
sin �
2 cos 2� sin 2 + 1 � − sin 2 − 1 �
sin �
2 sin 2 + 1 � cos 2� − sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 + 3 � + sin 2 − 1 � sin 2 − 1 �
−
sin �
sin �
sin 2 + 3 �
sin �
cos 2 �
2 +2
sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 + 1 �
sin �
Persamaan (3.8) terbukti
2. Jika = 2 + 1 ganjil
Dengan persamaan (L1.2) untuk = 2 + 2 didapatkan
∆02 +2 + 2 ∆02
∆02 +1 =
�2
Dengan menggunakan persamaan (3.8) untuk = 2 dan = 2 + 2, didapatkan
+3 �
sin 2 + 1 �
2 +2 sin 2
+ 2 2
sin
�
sin �
0
∆2 +1 =
�2
sin 2 + 3 � + sin 2 + 1 �
= 2 +2
�2 sin �
2 � + 3� − (2 � + �)
2 � + 3� + (2 � + �)
cos
sin
2
2
2 +2
=2
�2 sin �
4 � + 4�
2�
sin
cos
2
2
2 +2
=2
�2 sin �
sin(2 � + 2�) cos �
= 2 2 +2
�2 sin �
sin(2
+ 2)� cos �
= 2 2 +2
�2 sin �
sin(2 + 2)� cos �
2
2
= 2 2 +2 4 cos � sin �
�1
�1 sin(2 + 2)� cos �
= 2
2 cos 2 � sin �
�1 sin(2 + 2)�
= 2
2 sin � cos �
�
sin(2 + 2)�
1
= 2
sin 2�
� sin (2 +2)�
Sehingga persamaannya menjadi ∆20 +1 = 2 1
∆02 =
2
sin 2�
Jadi persamaan (3.7) terbukti.
21
Lampiran 2 Bukti Teorema 2
Akan dibuktikan persamaan (3.13)
Untuk = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi, sehingga dengan
persamaan (3.5) menjadi
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
= 4 2 cos 2 �
( 1− ) 2−
− 2 + 2 = 4 2 cos 2 �
1 2 − 1
2
+ 1 2 − 4 2 cos 2 � = 0
− 1+ 2
2
+
1
±
2
=
=
1
+
2
±
1
+
2
±
−
1
2
1
1
+
2
+
2
+2
2
2
−4
2
2
1 2
1 2
2
+
=
2
2
1
+
2
±
2
±
2
1
=
=
−4
1 +
−2
1 2
+
+ 16
1 2
−4
1 2
2
+ 16
2
cos 2 �
2
2
+ 16
2
2
1 − 2
2
2
+ 16
2
=
dan � = � ,
cos 2 �
cos 2 �
+ 16
2
cos 2 �
cos 2 �
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, =
2
1
Selanjutnya akan dicari untuk
=
Dari persamaan (3.10) dan hipotesis
maka �1 = 0 atau sin 2
Jika �1 = 0 maka sin 2
�1 = 0
=0
1 −
= 1
=2
=
+1
= 1, … ,
+ 1, … , 2
= 0 diperoleh
+ 2 � = 0.
+ 2 � ≠ 0, sehingga
2
�1 sin 2 +2 �
sin 2�
= 0, karena
2
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … ,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, = + 1, … , 2
2
=
1 ,
1
Selanjutnya akan dicari �
Jika ganjil
Dari persamaan (3.10) dan
=
= 0 diperoleh sin 2
+ 2 � = 0 maka �1 ≠ 0, sehingga
≠ 0,
22
sin 2 + 2 � = 0
sin(2 + 2) � = sin 0
2 +2 � =0+ ,
� =
,
(2 + 2)
Jika = + 1, … ,2
( − )
,
� =
(2 + 2)
= 1, … ,
= 1, … ,
=
+ 1, … ,2
Jadi
� =
,
2 +2
( − )
,
2 +2
,
(2 + 1)
Jika = + 1, … ,2
( − )
� =
,
(2 + 1)
+ 1, … , 2
=
Jika genap
Dari persamaan (3.11) dan
sin 2 + 1 � = 0
sin 2 + 1 � = sin 0
2 +1 � =0+ ,
� =
= 1, … ,
=
= 0 diperoleh sin 2
= 1, … ,
= 1, … ,
=
+ 1, … ,2
Jadi
� =
,
2 +1
( − )
,
2 +1
=
= 1, … ,
+ 1, … , 2
+ 1 � = 0 sehingga
23
Lampiran 3 Bukti Teorema 3
Akan dibuktikan persamaan (3.14)
dengan dengan =
dan � = � , persamaan (3.5) menjadi
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
= 4 2 cos 2 �
( 1− ) 2−
− 2 + 2 = 4 2 cos 2 �
1 2 − 1
2
+ 1 2 − 4 2 cos 2 � = 0
− 1+ 2
2
2
±
1 +
2
±
+
2
±
+
1
−
=
=
1
1
1 +
2
1
2
+
2
+2
2
2
−4
2
2
1 2
=
−4
1 2
2
+
2
1
+
2
±
1
+
2
±
2
1
=
=
1
−2
− 2
2
1 2
+
+ 16
−4
2
+ 16
1 2
1 2
2
+ 16
2
cos 2 �
2
2
2
+ 16
2
2
2
cos 2 �
cos 2 �
+ 16
2
cos 2 �
cos 2 �
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
1
= 1, … ,
=
,…,2
−1
−2
Selanjutnya akan dicari = − 1 dan =
Dari persamaan (3.12) dan persamaan (3.6) berlaku, maka persamaan (3.12) menjadi
− ( 1 − ) sin 2 �
−
( 1− ) 2−
2 −
∆ = 2 −2
sin 2�
2
−
−
+
− 2+
− 1+
sin 2 �
1
2
1
2
= 2 −2
sin 2�
[ 2− 1+ 2− −
− ( 2 + 1 − 1 2 )] sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
Dari persamaan di atas diperoleh
− 1+ 2− −
−
2 +
1 − 1 2 = 0 atau
sin 2 � = 0, maka
Jika 2 − 1 + 2 − −
−
2 +
1 − 1 2 = 0 maka sin 2 � ≠ 0 sehingga
2
− 1+ 2− −
−
2 +
1 − 1 2 = 0
=
=
=
=
1
1
+
2
1
+
2
+
1
+
2
−
−
−
2
−
−
−
−
−
− − )2 − 4(−
2
− 2+4 2+4
1 + 2 −
2
2
+ ( + )2 − 2 1 +
1 + 2
2
2 + ( + )2 − 2
+
1
2
1 −
2
± (−
±
±
±
1
+
2
2
1
+
1
−4
2
1 2
)
1 2
+
2
−
−
+4
−4
2
+4
1 2
1
−4
1 2
24
=
1
+
2
Jadi,
−
1
+
2
1
+
2
=
−
−
±
−
−
−
−
−
1
+
Sehingga nilai eigen jika
1
2
=
2
−
−
+ ( + )2 − 2
2
2
2
2
+ ( + )2 − 2
2
2 + ( + )2 − 2
2
2
−
1
1
−
2
−
2
−
2
−
−
,
=
,
−1
=
dan untuk n genap yaitu
+
2
− (
1
Selanjutnya akan dicari �
Jikasin 2 � = 0 maka 2 − 1 + 2 −
sin 2 � = 0
sin 2 � = sin 0
2 � =0+ ,
= 1, … , − 1
,
= 1, … ,
2
Jika = , … ,2 − 2
( − + 1)
� =
,
2
� =
( −
2
,
+ 1)
2
,
−
−1
=
Jadi,
� =
1
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … , − 1
2
2
2 cos 2 �
1 + 2 + ( 1 − 2 ) + 16
,
= ,…,2 − 2
2
−
− ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, = −1
2
−
+ ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, =
2
1
=
1
, … ,2
= 1, … ,
=
−1
,…,2
−2
−2
−
2
+
1
−
1 2
≠ 0 maka sehingga
25
Lampiran 4 Bukti Teorema 4
A. Bukti persamaan (3.21) dan (3.22)
∆
Dari persamaan (3.10) dan (3.11) dengan � = � dan � = �
Jika = 2 + 1 ganjil
=2 +1
−1=2
=0
∆
2
2 −2
( )
−1 =
( )
−1 =
2
2 −2
( )
+2 � −
sin 2
sin 2
Jika = 2 genap
=2
−1= 2 −1
− 1 = (2 + 1) − 2
�1
( )
+ 2 � − �2 −
sin 2�
( )
( )
∆ −1 =
2 −2
=
2 −2
=0
[�2 − ( + )] sin 2
( )
[�2
( )
+ �2 −
−
sin 2�
( )
−1 =
2 −2
( )
�1
2
sin 2�
(�2 − ) sin 2 � − sin(2
sin 2�
sin 2 � +
2
( )
�1
2
sin 2�
( )
∆
= 1, … ,
untuk
sin(2
− 2)�
sin 2 �
2
+2−2 � +
− ( + )] sin 2 � +
( )
−
+
−
+
sin(2
sin(2
− 2)�
− 2)�
− 2)�
B. Bukti persamaan (3.25) dan (3.26)
Dari persamaan (3.17) dan (3.18) dan mengganti
Jika = 2 + 1 ganjil
Jika ganjil
∆
( )
−
=
2
− −2
− +2 � −
sin
=0
∆
( )
−
2
− −2
=
Jika genap
( )
( )
∆ −
− −1
=
[�1
( )
+ �2 −
−
sin 2�
( )
− + 2 � − �2 −
sin 2�
− ( + )] sin
2
− −1+2 � +
2
− diperoleh
sin( − )� +
( )
−
=
− −1
[�1
− ] sin
− +1 � −
sin 2�
sin( − − 2)�
sin( − )�
sin 2�
( )
2
�2 −
=0
( )
∆
sin
( )
�1
dengan
sin( − − 1)�
+
sin( − − 1)�
26
Jadi
∆
( )
−
2
− −2
=
�1
− −1
− + 2 � − �2 −
sin 2�
sin
−
Jika = 2 genap
Jika ganjil
− −1
=
[�2 − ( + )] sin
( )
( )
−
− −1
=
Jika genap
=
− −2
DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN
BERULANG
IRESA APRILIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
ABSTRAK
IRESA APRILIANI. Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri
Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan
TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Matriks tridiagonal adalah suatu matriks yang mempunyai entri-entri bernilai nol kecuali pada
diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas diagonal utama
(superdiagonal). Entri pada diagonal utama tidak konstan dan berulang. Setiap entri pada matriks
tridiagonal ini adalah bilangan kompleks. Dalam karya ilmiah ini, akan dibuktikan 3 teorema
untuk menentukan nilai eigen dengan 2 kasus dan 1 teorema untuk menentukan vektor eigen.
Teorema pertama menentukan polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal. Polinomial
karakteristik dari matriks tridiagonal tersebut digunakan untuk menentukan nilai eigen pada
teorema kedua dan ketiga serta menentukan vektor eigen pada teorema keempat.
ABSTRACT
IRESA APRILIANI. Eigenvalues and Eigenvectors of Tridiagonal Matrix with Non Constant and
Recurrent Diagonal Entries. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH
WULANDARI MAS’OED.
A tridiagonal matrix is a matrix which has zero elements except the elements at the main
diagonal, the elements at the first diagonal below the main diagonal (subdiagonal) and the
elements at the first diagonal above the main diagonal (superdiagonal). The diagonal entries are
non constant and recurrent. Each entry in this tridiagonal matrix is a complex number. This
manuscript will prove 3 theorems to determine eigenvalues with 2 cases and a theorem to
determine eigenvectors. The first theorem determines the characteristic polynomial of tridiagonal
matrix. The characteristic polynomial of the tridiagonal matrix can be used to determine the
eigenvalues in the second and third theorems. Furthermore, it can be used to determine the
eigenvectors in the fourth theorem.
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI MATRIKS TRIDIAGONAL
DENGAN ENTRI DIAGONAL UTAMA TIDAK KONSTAN DAN
BERULANG
IRESA APRILIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
Judul Skripsi : Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal dengan Entri
Diagonal Utama Tidak Konstan dan Berulang
Nama
: Iresa Apriliani
NIM
: G54070036
Menyetujui,
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, MS.
NIP. 19610104 198803 2 002
Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si.
NIP. 19740915 199903 2 001
Mengetahui:
Ketua Departemen Matematika,
Dr. Berlian Setiawaty, MS.
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya serta
shalawat dan salam kepada Nabi Muhammad SAW sehingga karya ilmiah ini berhasil
diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari peranan berbagai pihak. Untuk itu
penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Keluargaku tercinta: Bapak dan Mamah (terima kasih atas doa, dukungan, kesabaran,
kepercayaan, dan kasih sayangnya), adikku (terima kasih atas doa, dukungan, kasih sayang,
dan motivasinya), serta keluarga besar baik dari Bapak maupun dari Mamah (terima kasih atas
doanya).
2. Dra. Nur Aliatiningtyas, MS selaku dosen pembimbing I (terima kasih atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini).
3. Teduh Wulandari Mas’oed, M.Si selaku dosen pembimbing II (terima kasih atas semua ilmu,
saran, dan motivasinya).
4. Dra. Farida Hanum, M.Si selaku dosen penguji (terima kasih atas semua ilmu dan sarannya).
5. Segenap dosen Departemen Matematika: Bu Anggi, Bu Ida, Pak Donny, Pak Hadi, Pak Wayan,
Pak Prapto, dan lainnya (terima kasih atas semua ilmu yang telah diberikan).
6. Staf Departemen Matematika: Pak Yono, Bu Susi, Mas Heri, Pak Bono, Bu Ade, Mas Deni,
dan lainnya (terima kasih atas bantuan dan motivasinya).
7. Muhamad Yakub (terima kasih atas doa, dukungan, dan kasih sayangnya)
8. Kakak-kakak Matematika angkatan 41, 42, dan 43: Ka Sima, Ka Vino, Ka Bange, Ka Kabil,
Ka Ocoy, Ka Aini, Ka Putri, Ka Apri, Ka Agung, Ka Vera, Ka Mira, Ka Tami, Ka Destya, Ka
Wira, Ka Cupit, Ka Ro’fah, Ka Cici, Ka Lia, Ka Nanu, Ka Adi, Ka Amin, Ka Cumi, Ka Sapto,
Ka Chopi, dan lainnya (terima kasih atas ilmu, bantuan, dan semuanya).
9. Teman-teman Matematika angkatan 44: Ruhiyat, Wahyu, Ayum, Iam, Fikri, Wenti, Ririh, Sri,
Fajar, Mutia, Rachma, Ayung, Ipul, Cita, Tanty, Arina, Deva, Yuyun, Lingga, Masay, Diana,
Yogie, Lugina, Yanti, Selvie, Ucu, Pepi, Devi, Istiti, Sari, Anis, Aqil, Lilis, Imam, Aswin, Eka,
Aze, Ali, Vianey, Nadiroh, Nurus, Na’im, Dhika, Ima, Dora, Atik, Nunuy, Yuli, Fani, Phunny,
Dian, Rofi, Della, Tyas, Denda, Pandi, Rizqy, Indin, Sholih, Siska, Lili, Tita, Lina, Endro,
Lukman, Puying, Tendhy, Ikhsan, Chopa, dan Zae (terima kasih atas doa, semangat, dukungan,
bantuan, dan kebersamaannya).
10. Adik-adik Matematika angkatan 45 (terima kasih atas dukungan dan bantuannya).
11. Teman-teman lainnya yang telah mendukung selama ini, baik moril maupun materil.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi dunia ilmu pengetahuan khususnya matematika
dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, Januari 2012
Iresa Apriliani
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 25 April 1989 dari pasangan Maulana dan Ipah. Penulis
merupakan anak pertama dari dua bersaudara.
Tahun 2007 penulis lulus dari SMA Negeri 38 Jakarta dan pada tahun yang sama diterima sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI (Undangan Seleksi Masuk IPB ).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai pengurus Gugus Mahasiswa Matematika
(GUMATIKA), divisi Sosialisasi Informasi dan Komunikasi (SOSINKOM) tahun 2009. Selain itu,
penulis juga aktif dalam berbagai kepanitian, diantaranya menjadi panitia pada Masa Perkenalan
Departemen (MPD) 2009.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ......................................................................................................................... ix
I
PENDAHULUAN ........................................................................................................................... 1
1.1 Latar Belakang ........................................................................................................................... 1
1.2 Tujuan ........................................................................................................................................ 1
II LANDASAN TEORI ...................................................................................................................... 1
2.1 Matriks ....................................................................................................................................... 1
2.2 Determinan dan Sifat-Sifatnya ................................................................................................... 2
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen .................................................................................................... 2
2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear ........................................................................................ 2
2.5 Bilangan Kompleks .................................................................................................................... 3
2.6 Trigonometri .............................................................................................................................. 3
2.7 Pemetaan ................................................................................................................................... 3
2.8 Matriks Blok .............................................................................................................................. 3
III PEMBAHASAN .............................................................................................................................. 4
3.1 Matriks Tridiagonal .................................................................................................................. 4
3.1.1 Nilai Eigen ........................................................................................................................ 5
3.1.2 Vektor Eigen ..................................................................................................................... 8
IV SIMPULAN DAN SARAN ........................................................................................................... 12
DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................................... 13
LAMPIRAN .......................................................................................................................................... 14
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
Lampiran 1. Bukti Teorema 1 ............................................................................................................. 15
Lampiran 2. Bukti Teorema 2 ............................................................................................................. 21
Lampiran 3. Bukti Teorema 3 ............................................................................................................. 23
Lampiran 4. Bukti Teorema 4 ............................................................................................................. 25
ix
I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matriks adalah susunan segi empat sikusiku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan
entri dalam matriks. Matriks tridiagonal
adalah matriks yang mempunyai entri yang
bernilai nol pada selain diagonal utama, di
bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di
atas diagonal utama (superdiagonal).
Matriks tridiagonal muncul di sebagian
besar cabang ilmu seperti matematika terapan,
matematika modern, teknik, dan lain
sebagainya.
Kata eigen berasal dari bahasa Jerman yang
berarti sebenarnya atau karakteristik. Nilai
eigen dapat dinamakan nilai sebenarnya atau
nilai karakteristik.
Nilai eigen dan vektor eigen akan dicari
dengan
menggunakan
polinomial
karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini
terlebih dahulu akan dibahas polinomial
karakteristik dari suatu matriks tridiagonal
dengan entri diagonal utama tidak tetap.
Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari
tulisan Said Kouachi (2006) yang berjudul
Eigenvalues and eigenvectors of some
tridiagonal matrices with non constant
diagonal entries.
1.2 Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah:
1. Mencari nilai polinomial karakteristik
2. Mencari nilai eigen dan vektor eigen dari
matriks tridiagonal yang entri diagonal
utamanya tidak konstan dan berulang
dengan beberapa kasus.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab.
Bab pertama merupakan pendahuluan yang
berisi latar belakang dan tujuan penulisan.
Bab kedua berupa landasan teori yang berisi
beberapa istilah dan konsep dari matriks
tridiagonal, nilai eigen dan vektor eigen. Bab
ketiga berupa pembahasan bagaimana mencari
nilai eigen dan vektor eigen dengan beberapa
kasus. Bab terakhir pada tulisan ini berisi
kesimpulan dari keseluruhan penulisan.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan definisidefinisi tentang karya ilmiah ini.
2.1 Matriks
Definisi 1 (Matriks)
Sebuah matriks adalah susunan segi empat
siku-siku dari bilangan-bilangan. Bilanganbilangan dalam susunan tersebut dinamakan
entri dalam matriks.
[Anton 1998]
Definisi 2 (Matriks segi berorde n)
Sebuah matriks A dengan n baris dan n kolom
dinamakan matriks segi berorde n, dan entrientri 11 , 22 , …,
dikatakan berada pada
diagonal utama dari A (lihat (2.1)).
A=
11
12
21
22
1
2
1
⋱
2
(2.1)
[Anton 1998]
Definisi 3 (Matriks Tridiagonal)
Suatu matriks tridiagonal yang berukuran
× , dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks
dengan entri-entri tij = 0 jika
− >1
seperti
0 0 0 0
0 0 0
0 0
0
(2.2)
�� =
0 0 ⋱ ⋱ ⋱ 0
0 0 0
0 0 0 0
[Zhang 1999]
Definisi 4
Entri-entri tepat di atas diagonal utama dari
matriks tridiagonal disebut superdiagonal dan
entri-entri tepat di bawah diagonal utama
matriks tridiagonal disebut subdiagonal.
[Kouachi 2006]
2
2.2 Determinan dan Sifat-sifatnya
Definisi 5 (Determinan)
Misalkan A adalah matriks × dan Mij
menyatakan matriks
− 1 × − 1 yang
diperoleh dari A dengan menghapus baris ke-i
dan kolom ke-j. Determinan dari suatu matriks
A berorde × , dinotasikan sebagai det(A),
adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan
matriks A dan didefinisikan secara induktif
sebagai:
det(A)=
dengan
11 �12
11 ,
+
12 �12
+
+
=1
1 �1 ,
>1
A1j = (-1)1+ j det (M1j), j = 1,…, n
adalah kofaktor-kofaktor yang diasosiasikan
dengan entri-entri dalam baris pertama dari A.
[Leon 2001]
Teorema 1
Jika A adalah suatu matriks segitiga atas atau
segitiga bawah yang berukuran × , maka
determinan dari A sama dengan hasil kali
elemen-elemen diagonal utama dari A.
[Leon 2001]
Definisi 6 (Sifat-sifat Determinan)
Operasi baris
1. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari
suatu matriks akan mengubah tanda dari
determinan.
2. Mengalikan satu baris atau kolom dari
suatu matriks dengan suatu skalar sama
akibatnya dengan mengalikan nilai dari
determinan dengan skalar tersebut.
3. Menjumlahkan perkalian dari suatu baris
atau kolom pada baris lain atau kolom
lain tidak akan mengubah nilai dari
determinan.
[Leon 2001]
Teorema 2 (Aturan Cramer)
Misalkan A adalah matriks taksingular
berorde × dan misalkan b ∈ . Misalkan
Ai adalah matriks yang diperoleh dengan
mengganti kolom ke- i dari A dengan b. Jika x
adalah penyelesaian tunggal dari Ax = b,
maka
=
det (�� )
det �
untuk i = 1, 2, …, n.
[Leon 2001]
2.3 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 7 (Nilai Eigen, Vektor Eigen,
Persamaan Karakteristik dan
Polinomial Karakteristik)
Misalkan A adalah suatu matriks
× .
Skalar
disebut nilai eigen atau nilai
karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor
taknol x, sehingga Ax = λx. Vektor x disebut
vektor eigen atau vektor karakteristik yang
berpadanan dengan nilai eigen �.
Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam
bentuk
− λ� � = 0.
(2.3)
Persamaan
(2.3)
akan
mempunyai
penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika
− λ� singular atau secara ekuivalen
det − λ� = 0.
(2.4)
Jika determinan pada persamaan (2.4)
diuraikan maka didapatkan suatu polinomial
berderajat n dalam peubah
� λ = det − λ�
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik
dan persamaan (2.4) disebut persamaan
karakteristik untuk matriks A.
[Leon 2001]
Teorema 3
Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn.
Himpunan dari setiap nilai eigen yang berbeda
dari matriks A adalah takkosong dan
mempunyai paling banyak n nilai eigen yang
berbeda.
Bukti: lihat [Lancaster & Tismenetsky 1985].
Definisi 8
Misalkan A adalah suatu matriks berorde nxn.
Jika A mempunyai n nilai eigen yang berbeda
maka matriks A disebut sederhana.
[Lancaster & Tismenetsky 1985].
2.4 Ruang Vektor dan Kebebasan Linear
Definisi 9 (Ruang Vektor)
Misalkan V adalah himpunan di mana
didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan
3
perkalian dengan skalar. Dengan ini dapat
diartikan bahwa untuk setiap pasang elemenelemen x dan y di dalam V, dapat
diasosiasikan dengan elemen x + y yang
tunggal yang juga berada di V dan setiap
skalar , dapat diasosiasikan dengan elemen
x yang tunggal di dalam V. Himpunan V
bersama-sama
dengan
operasi-operasi
penjumlahan dan perkalian dengan skalar
dikatakan membentuk suatu ruang vektor jika
aksioma-aksioma berikut terpenuhi
a. x + y = y + x untuk setiap x dan y di V.
b. (x + y) + z = x + (y + z) untuk setiap x, y,
z di V.
c. Terdapat elemen 0 di V sehingga x+ 0 = x
untuk setiap x ∈ V.
d. Untuk setiap x ∈ V terdapat elemen −x∈ V
sehingga x + (−x) = 0.
e. (x + y) = x + y untuk setiap skalar
dan setiap x dan y di V.
f. ( + ) x = x + x untuk setiap skalar
dan dan setiap x ∈ V.
g. ( ) x = ( x) untuk setiap skalar dan
dan setiap x ∈ V.
h. 1.x = x untuk setiap x ∈ V.
[Leon 2001]
Definisi 10 (Bergantung Linear)
Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang
vektor V disebut bergantung linear jika
terdapat skalar-skalar c1, c2, …, cn yang tidak
semuanya nol sehingga
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0.
Definisi 11 (Bebas Linear)
Vektor-vektor v1, v2, …, vn dalam ruang
vektor V disebut bebas linear jika
c1v1 + c2v2 + … + cnvn = 0.
mengakibatkan semua skalar-skalar c1, c2, …,
cn harus sama dengan 0.
[Leon 2001]
2.5 Bilangan Kompleks
Definisi 12 (Bilangan Kompleks)
Bilangan kompleks adalah suatu pasangan
terurut dari bilangan real yang dinyatakan
dengan (a, b) atau a + bi dengan i = −1.
[Anton 1998]
2.6 Trigonometri
Definisi 13 (Kesamaan Trigonometri)
Kesamaan trigonometri adalah hubungan
antara fungsi-fungsi trigonometri, yaitu
1. sin2� + cos2 � = 1
2. sin (−�) = −sin �
3. sin ( + ) = sin cos + cos sin
4. sin ( − ) = sin cos − cos sin
5. cos ( − ) = cos cos + sin sin
6. cos ( + ) = cos cos − sin sin
7. sin 2x = 2 sin x cos x
8. cos 2x = cos2 x – sin 2 x
9. cos 2x = 2cos2 x – 1
10. cos 2x = 1– 2sin 2 x
[Stewart 2001]
2.7 Pemetaan
Definisi 14
Misalkan A dan B adalah dua himpunan.
Pemetaan f dari A ke B biasa juga disebut
bahwa f memetakan A ke B (atau pemetaan A
ke B) dan ditulis f : A B.
[Goldberg 1976]
Definisi 15 (Pemetaan Identitas)
Misalkan A adalah suatu himpunan. Pemetaan
A ke A disebut pemetaan identitas, dinotasikan
IA, jika a anggota dari A maka IA(a) = a atau
dapat ditulis IA : A A.
[Kurtz 1992]
2.8 Matriks Blok (Matriks Terpartisi)
Definisi 16 (Matriks Blok)
Misalkan A, B, C dan D adalah suatu matriks
dengan A adalah matriks berorde n dan D
adalah matriks berorde m. Matriks M disebut
matriks blok jika � =
.
[Zhang 1999]
4
III PEMBAHASAN
Dalam bab ini akan dibahas mengenai nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal.
3.1 Matriks Tridiagonal
Misalkan diberikan matriks tridiagonal
dalam bentuk sebagai berikut
A n=
− +
1
1
0
1
2
2
0
0
2
3
0
0
0
⋱
⋱
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
−1
0
0
0
−1
− +
(3.1)
dengan
dan
, = 1, 2, … , − 1 adalah
bilangan kompleks, dan adalah bilangan
kompleks. Misalkan bahwa
= 2 , = 1, 2, … , − 1
(3.2)
ganjil
, = 1,2, … , − 1 (3.3)
,
jika
genap
2
dengan d, b1 dan b2 adalah bilangan kompleks
dengan d ≠ 0.
Jika
adalah pemetaan dari himpunan
bilangan bulat 1 sampai n-1 ke dalam
himpunan bilangan bulat yang lebih besar
σ
dari n-1 maka matriks An menjadi
=
1 , jika
− +
1
1
0
2
1
0
0
0
0
0
2
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
⋱
⋱
⋱
0
2
3
⋱
⋱
…
0
0
0
−1
σ − λ�
=
dan
∆
polinomial karakteristiknya.
Jika
= dengan
adalah pemetaan
dinotasikan
identitas, maka An(i) dan ∆
berturut-turut dengan An dan ∆ .
Contoh
Misalkan diberikan
1 = 6
2 = 2
3 = −9
4
dan
=4
12 = 1
17 = −3
7
= 5 − 11
5 =2
22
1 = 6
=
18
2
3 = −4
= 4−2
27 = −6
=9
12 = 36
17 = 12
= 5 + 11
22 = 4 + 2
5 = −18
27 = −6
dengan
= 36,
= 1, 2, … , 5
5, jika ganjil
=
3, jika genap
4
�6 =
Jika ada pemetaan :
:1 7
2 12
3 17
4 22
5 27
Maka
6
3
2
0
0
0
0
18
5
−9
0
0
0
0
0
0
0
−4
3
5 − 11
0
1
2
3
5+
=
=
=
=
=
5
=
1
=
2
4
11
5
2
=4
12 = 1
17 = −3
0
0
0
0
−18
3−3 3
7
= 4−2
27 = −6
7 = 9
12 = 36
22
5
7
=4 3
=3 3
Dapat dibentuk matriks tridiagonal:
5−4 3
6
0
0
0
0
−1
− +
(3.4)
adalah
5
5
5
3
=
17
= 12
4
=
22
= 4+2
= 27 = −6
Dan matriks tridiagonal �6 menjadi
5
5
�6 ( ) =
5−4 3
4
0
0
0
0
0
0
12
3
4−2
0
0
36
5
−3
0
0
9
3
1
0
0
0
Selanjutnya akan dibahas nilai eigen dari
matriks tridiagonal untuk
= = 0 dan
2
= .
5
σ
Dalam kasus
= = 0, matriks
dan polinomial karakteristiknya ∆
dinotasikan berturut-turut 0 σ dan ∆0
sedangkan dalam kasus
≠ 0 dan β ≠ 0
matriks dan polinomial karakteristiknya
dinotasikan dengan An dan ∆ . Untuk mencari
nilai eigen dari matriks tridiagonal digunakan
persamaan berikut yang telah diberikan di
[Kouachi, in press], yaitu
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
(3.5)
dengan
�1 = 1 − dan �2 = 2 −
(3.6)
Jika
∆ = ∆0 −
2
0
�1
0
0
3
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
−1
0
0
−1
�1
−
�1
1
0
�2
0
0
1
2
Jika
0
2
⋱
⋱
Semua entri subdiagonal dan superdiagonal
memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3) maka
=2
∆ =
2
�1 sin 2 + 2 �
sin 2�
3.7
=2
sin 2 + 1 �
sin �
2
3.8
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian C)
0
⋱
⋱
−2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian A)
Jika
∆0 =
∆0 =
Oleh karena itu, akan dibahas mengenai
polinomial karakteristik untuk
= =0
pada Teorema 1.
2
0
0
0
0
−6
3−3 3
Teorema 1
Jika = = 0 maka nilai eigen dari matriks
σ tidak bergantung pada ( , , =
1, … , − 1) dan pemetaan memperlihatkan
kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi dengan
polinomial karakteristiknya
Jika = 2 + 1 maka
Nilai Eigen
�2
0
0
0
4+2 5
5
−6
≠ 0 dan
0
0
−2
�2
≠ 0 maka nilai ∆ menjadi
�2
+
2
0
�1
0
0
2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
polinomial karakteristik jika
dan diperoleh.
−2
(3.9)
−2
�2
≠ 0 dan β ≠ 0
+1
2
[�1 − ( + )] sin 2
+2 �+
sin 2�
2
�2 −
+
sin 2 �
(3.10)
6
dan jika
=2
∆ =
2 −2
2
+2 �−
sin 2
�2 + �1 −
−
sin 2�
2
sin 2 � +
sin 2
−2 �
3.11
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian B)
= 2 , jika
Untuk
=
2
∆ =
polinomial karakteristiknya menjadi
�1 �2 − �2 − �1 sin 2 �
sin 2�
2 −2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 1 bagian D)
Dari persamaan (3.11) dapat diperoleh
Proposisi 1 yaitu dimana nilai eigen dari
matriks tridiagonal lain yaitu matriks
tridiagonal
dengan
menukar
bilangan
, , 1 dan 2 .
(3.12)
σ sama dengan
dari matriks tridiagonal
σ .
nilai eigen dari matriks tridiagonal
Bukti:
Akan dibuktikan nilai eigen dari matriks
σ sama.
σ dan
tridiagonal
Untuk membuktikan bahwa nilai eigen
kedua matriks tridiagonal tersebut sama,
cukup membuktikan polinomial karakteristik
kedua matriks tridiagonal tersebut sama
karena nilai eigen bergantung pada polinomial
karakteristiknya. Telah didapatkan polinomial
karakteristik untuk n genap sebagai berikut.
Proposisi 1
σ adalah suatu matriks
Misalkan
tridiagonal yang diperoleh dari matriks
σ pada (3.4) dengan menukar
tridiagonal
bilangan
dengan , dengan , 1 dengan
2 , dan 2 dengan 1 .
Jika ukuran suatu matriks tridiagonal
adalah n yang bernilai genap maka nilai eigen
Untuk n genap
Diberikan matriks
− +
1
0
0
2
0
0
0
Maka matriks
− +
1
σ =
Untuk
∆ =
σ
2 −2
2
sin 2
2
1
2
1
⋱
⋱
…
0
2
1
0
0
0
0
0
+2 �−
0
2
1
σ =
1
2
2
⋱
⋱
…
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
⋱
⋱
⋱
0
…
…
⋱
⋱
⋱
�2 + �1 −
−
sin 2�
2
0
0
0
−1
−1
− +
2
0
0
0
−1
−1
− +
sin 2 � +
1
sin 2
−2 �
7
σ
Sedangkan untuk
∆ =
=
2 −2
2 −2
2
sin 2
2
sin 2
σ )=
σ )=
�1 (
�2 (
+2 �−
+2 �−
−
2 −
1
=
1
+
+
2
2
−
1 −
2
= �2 (
= �1 (
�1 + �2 −
−
sin 2�
�2 + �1 −
−
sin 2�
Karena polinomial karakteristik dari
σ sama,
σ dan
matriks tridiagonal
maka nilai eigen dari matriks tridiagonal
σ sama.
σ dan
1
=
=
2
2
σ )
σ )
sin 2 � +
sin 2 � +
sin 2
sin 2
−2 �
Selanjutnya akan dicari nilai eigen dari
matriks tridiagonal dengan = = 0.
Teorema 2
Jika = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3)
terpenuhi maka nilai eigen dari matriks
σ
adalah berikut ini.
tridiagonal
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … ,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, = + 1, … , 2
2
=
1 ,
− (
−2 �
1
(3.13)
dengan jika n ganjil
� =
,
2 +2
( − )
,
2 +2
� =
,
2 +1
( − )
,
2 +1
=
dan jika n genap
=
= 1, … ,
+ 1, … , 2
= 1, … ,
+ 1, … , 2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 2)
Setelah dalam Teorema 2 dibahas
tentang nilai eigen dari matriks tridiagonal
dengan = = 0. Selanjutnya akan dicari
nilai eigen dari matriks tridiagonal untuk n
genap dan
= 2.
Teorema 3
Jika n genap dan
= 2 dan kondisi (3.2)
dan (3.3) terpenuhi, maka nilai eigen dari
σ adalah sebagai
matriks tridiagonal
berikut.
8
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … , − 1
2
2
2 cos 2 �
1 + 2 + ( 1 − 2 ) + 16
,
= ,…,2 − 2
2
−
− ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, = −1
2
−
+ ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, =
2
(3.14)
1
=
+
− (
2
� =
1
( −
= 1, … ,
,
2
+ 1)
2
,
=
−1
,…,2
−2
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 3)
Dari Teorema 1, 2 dan 3 maka
menghasilkan adanya Akibat 1 yaitu
Akibat 1
Setiap entri dalam subdiagonal dan
superdiagonal dari matriks tridiagonal
dan
σ memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3).
,
1, … ,
= 1, … , , dinotasikan dengan �
− + �1
=2
�
−1
dengan
, =
− , ganjil
−
, genap
2
= 1, 2, … , − 1 , = 1, 2, … ,
(3.16)
memenuhi persamaan (3.5) dan � , k =1, …, n
adalah solusi dari persamaan berikut ini.
�
sin 2
( ) ( )
+ − +�
( )
1
�2 = 0
( )
2
�3 = 0
�
( )
=�
( )
=
−
1
=
=0
(3.15)
+1
�1
dan jika
�1 +
�1 + �2 �2 +
−1
2
Selanjutnya akan dibahas vektor eigen dari
σ .
Misalkan
matriks
tridiagonal
komponen dari vektor eigen �
, =
1, … , yang berhubungan dengan nilai eigen
adalah solusi dari persamaan linear
1
Jika
( )
Vektor Eigen
−
+
sin 2
+2 � +[
2
�2 − ( + )] sin 2 � = 0
(3.17)
=2
+2 � −
�2 + �1
−
−
Karena
persamaan
(3.15)
adalah
bergantung
linear
maka
dengan
mengeliminasi persamaan pertama atau baris
pertama diperoleh
2
sin 2 � +
1
2
sin 2
�1 +
�2 +
−2 � =0
( ) ( )
�2 �2
( ) ( )
�3 �3
+
+
( )
�
2 3
( )
�
3 4
(3.18)
=0
=0
� −1 + − + �
� =0
−1
Sistem persamaan linear di atas dituliskan
dalam bentuk matriks berikut ini.
9
( )
�2
2
0
⋱
⋱
⋱
0
( )
�3
⋱
⋱
2
0
0
Vektor eigen �
( )
( )
�2
0
⋱
⋱
⋱
( )
�3
0
−1
(− + �
−1
( )
)
�
= 1, … , , pada
, ,
=
0
(3.19)
k
( )
( )
�3
⋱
2
0
0
=
0
2
0
⋱
⋱
…
…
…
0
Untuk = 2, … , ,
⋱
⋱
−2
⋱
⋱
= 1, … ,
(k)
Persamaan n pada (3.21) ditentukan dari
persamaan (3.10) dan (3.11) dengan
=0
Jika
=2
( )
∆ −1
−2
( )
−
( )
−1
�1
0
0
0
−1
…
…
0
0
1
⋱
⋱
⋱
( )
� +1
+1
−1
0
Kolom ke j-1
(3.20)
0
…
0
0
= 1, … ,
, ,
0
−2
− +�
dan n diganti dengan
−1
diperoleh persamaan berikut ini.
( )
sehingga
+1
2
2 −2
( )
−1 =
∆
dan jika
�
…
⋱
(σ)
j
=
dengan
�2
1
( )
�
sistem persamaan (3.21) dapat dicari dengan
Aturan Cramer, yaitu
( )
�1
0
−
sin 2
=2
∆
Untuk setiap
( )
−1 =
2 −2
+ 2 � − �2 −
sin 2 �
�2 −
= 1, … ,
2
sin 2 � − sin(2
sin 2 �
sin 2 �
(3.21)
− 2)�
(3.22)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian A)
Pertukaran kolom ke- − 2 dengan kolom
, menghasilkan
ke- − 1 dari
�
= −1
dengan
Λ
−2
Λ
∆
−1
, = 2, … ,
(3.23)
adalah determinan dari
matriks blok berikut ini.
�
=
−1 ( )
0
dengan
−1
=
−
−
( )
,
( )
�2
⋱
0
0
0
2
2
⋱
⋱
⋱
0
…
adalah matriks dengan order
diagonal (−
0
( )
�1
0
1
1
�1 ,
2
,…,
0
0
⋱
⋱
⋱
0
−1
…
…
⋱
⋱
⋱
0
0
0
−2
( )
� −1
−1
− 1 dengan
) dan
10
−
�
=
( )
+1
+1
⋱
⋱
⋱
+1
0
0
…
⋱
⋱
⋱
0
⋱
⋱
⋱
0
�
0
−1 (
Jika
=−
0
(− + �
−1
−1
+1 )
∆
( )
−
−1
1
…
= 2, … , ,
Untuk setiap
adalah matriks tridiagonal dengan order −
yang memenuhi kondisi (3.2) dan (3.3)
karena
=
−
−1
( ) ( )
−
�1 ∆
(3.24)
= 1, … , , dengan
diberikan oleh persamaan (3.10) dan
(3.11) untuk = 0 dan mengganti n dengan
− sehingga diperoleh persamaan berikut
ini.
) memiliki invers maka
ganjil
∆
( )
−
− −2
=
2
− + 2 � − �2 −
sin 2�
sin
− −1
�1
− −1
�2 −
−
, jika ganjil
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika genap
sin 2�
(3.25)
genap
dan jika
∆
( )
−
=
Untuk setiap
− −2
2
= 2, … , ,
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika ganjil
sin 2�
− + 2 � − �1
sin 2�
sin
−
= (−1)
−2
−
sin( − )�
2
, jika genap
(3.26)
= 1, … ,
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian B)
Dengan menyubstitusi persamaan (3.24)
dengan (3.25) didapatkan
�
sin( − )�
2
1
= (−1)
( )
∆ −
( )
�
−1 1
( )
∆ −1
…
−1
1
…
( )
�1
( )
−
( )
∆ −1
∆
(3.27)
= 2, … , dan = 1, … ,
Dengan menyubstitusi persamaan (3.22),
(3.23), (3.26) dan (3.27) dengan persamaan
(3.28) didapatkan persamaan berikut.
Jika n ganjil
2
sin
1−
�
=
( )
�1
2
2−
�1
2
sin
−
sin
dan jika n genap
1−
�
dengan
=
( )
�1
−
�2 −
2
sin
− +2 � −
+1 � −
�2 −
�2 −
2
sin( − )�
sin( − 1)�
2
, jika ganjil
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika genap
sin( − + 1)� − sin( − − 1)�
, jika ganjil
+1 � −
�2 −
�2 −
sin � − sin( − 2)�
− +2 � −
�2 −
sin( − 1)�
2
�1
−
2
sin( − )�
sin � − sin( − 2)�
= (−1)1−
1
…
−1
(3.28)
, jika genap
(3.29)
11
Untuk setiap
= 2, … , ,
= 1, … ,
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian C)
Maka dapat diperoleh vektor eigen untuk
σ dalam teorema
matriks tridiagonal
berikut ini.
Teorema 4
Vektor eigen �
, = 1, … ,
σ yaitu
tridiagonal
dari matriks
Dipilih
( )
�1
dan
= (− )
2
−1
+1 � −
sin
�2 −
sin � −
= (− )
maka,
−
�2 −
sin
1
…
sin( − 1)� , jika ganjil
2
−2 �
−1
, jika genap
(3.30)
, = 2, … ,
Jika n ganjil
2
�
=
Jika n genap
�
=
�1
− +2 � −
sin
−
�2 −
sin
dengan
− +1 � −
sin
sin
− +1 � −
− +2 � −
, = 2, … , dan � , �1
�2 −
dan �2 ,
�1
2
−
= 1,2, … . ,
� , jika ganjil
− − 1 � , jika genap
sin
sin
−
sin
− − 1 � , jika ganjil
sin
−
� , jika genap
(3.31)
(3.32)
dari persamaan (3.5), (3.17) dan (3.18)
(Bukti dapat dilihat di Lampiran 4 bagian D)
Contoh
�6
=
5−4 3
4
0
0
0
0
9
3
1
0
0
0
0
36
5
−3
0
0
0
0
12
3
4−2
0
5
0
0
0
4+2 5
5
−6
0
0
0
0
−6
3−3 3
Nilai eigen yang diperoleh dari matriks di atas dengan menggunakan persamaan (3.14) adalah
1
4 + 16 36 cos 2
= 4 − 109
1 =4−
6
2
1
= 4 − 37
4 + 16 36 cos 2
2 = 4−
2
3
1
4 + 16 36 cos 2
= 4 + 109
3 =4+
2
6
1
= 4 + 37
4 + 16 36 cos 2
4 = 4+
2
3
3
1
3−
(5 − 3)2 + (4 3 + 3 3)2 − 2 5 − 3 (4 3 + 3 3)
5 = 4− 2+
2
2
12
6
= 4− 2+
=4− 2+
3
2
= 4− 2+
Untuk
1
3
2
3−
1
7
1
161 − 4 3 = 4 −
161 − 4 3
3−
2
2
2
1
(5 − 3)2 + (4 3 + 3 3)2 − 2 5 − 3 (4 3 + 3 3)
2
1
7
1
161 − 4 3 = 4 −
161 − 4 3
3+
3+
2
2
2
3+
3
2
= 4 − 109 vektor eigennya
�11
= −6
5
�21
= −6
4
= −6
3
�31
=
9
−
69984
2
= 34992
2
3 3 5−4+ 109 −36
−
4 6 sin
= 432(−9 − 9 109 + 36 3)
= −6
1
−
3
1
2
�41
= −6
�51
= (−6) 4 − 2
�61
= −6
3 − 4 + 109 − 3 3 sin
3+
−3
2
= 3 −3
0
= −18 3
1
2
2
3
3 109 − 9
−
2
3
6
3
sin
3
3
3 − 4 + 109 − 3 3 sin − 3 3 sin 0
5
3
5 − 3 + 3 109 − 9
−6 6 sin −
yaitu
2
− 3 3 sin
3 3 5−4+ 109 −36
36 3 − 9 − 9 109 + 36
= −3 4 − 2
Jadi vektor eigen untuk
1
6 sin
sin
6
3
3 3 5−4+ 109 −36
6
sin 0
34992
432(−9 − 9 109 + 36 3)
−6
3 −3
3
−
1
2
3+
1
2
3 109 − 9
36 3 − 9 − 9 109 + 36
−3 4 − 2
5 − 3 + 3 109 − 9
−18 3
IV SIMPULAN DAN SARAN
4.1 Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah
diuraikan sebelumnya, diperoleh beberapa
kesimpulan sebagai berikut:
1. Matriks tridiagonal yang berukuran ganjil
dan
genap
mempunyai
rumusan
polinomial karakteristik yang berbeda
sehingga nilai eigen dan vektor eigen
mempunyai rumusan yang berbeda juga.
2. Jika n genap maka nilai eigen dari matriks
σ ,
yaitu
matriks
tridiagonal
tridiagonal yang diperoleh dari matriks
σ
dengan menukar
tridiagonal
bilangan
dengan ,
dengan , 1
dengan 2 , dan 2 dengan 1 sama dengan
σ .
nilai eigen dari matriks tridiagonal
4.2 Saran
Bagi yang berminat dapat membahas nilai
eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal dengan entri diagonal utama tidak
berulang untuk karya ilmiahnya.
13
DAFTAR PUSTAKA
Anton H. 1998. Aljabar Linear Elementer. Ed
ke-5. Silaban P, Susila IN, penerjemah;
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Elementary Linear Algebra.
Goldberg RR. 1976. Methods of Real
Analysis. Ed ke-2. New York: John Wiley
& Sons, Inc.
Kouachi S. 2006. Eigenvalues and
Eigenvectors of some tridiagonal matrices
with non constant diagonal entries. ELA,
In press.
Kurtz DC, Luhrs M, Wallis R, editor. 1992.
Foundations of Abstract Mathematics.
New York: McGraw-Hill, Inc.
Lancaster P, Tismenetsky M. 1985. The
Theory of Matrices with Applications. Ed
ke-2. San Diego: Academic Press, Inc
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan
Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A,
penerjemah.
Jakarta:
Erlangga.
Terjemahan dari: Linear Algebra with
Applications.
Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed ke-4, jilid 1.
Gunawan H & Susila IN, penerjemah.
Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari:
Calculus.
Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Result
and Techniques. New York: Springer
Verlag.
14
LAMPIRAN
15
Lampiran 1 Bukti Teorema 1
A. Bukti persamaan (3.9)
− �1
∆1 = �1
= (− + 1 ) − (1)
= (− + 1 − )
= (− ) + ( 1 − )
= �1 −
Jika ∆10 adalah polinomial karakteristik dengan
∆1 = ∆10 −
− �2
∆2 = �2
− + 1
=
=
�1 −
1
1
− +
2
1
−
= 0, maka
=
= 0, maka
0
0
�2 −
= �1 −
�2 −
− 1 1
= �1 �2 − �1 − �2 +
− 2
= �1 �2 − 2 − �2 − �1 +
Jika ∆02 adalah polinomial karakteristik dengan
∆2 = ∆02 − �2 − �1 +
1
=
− �3
∆3 = �3
− + 1
0
0 0
1
− 0
=
0
1
2
2
0
− + 1
0 0
2
�1 −
0
1
�
=
1
2
2
0
�1 −
2
�2
1
2
2
= �1 −
− 1 0 � −
�1 −
1
2
− 2 − 1 ( 1 �1 − )
= �1 −
�2 �1 −
2
− �1 −
− 2 �1 −
= �1 − �2 �1 −
− 2 �1 + 2 −
= �2 �1 2 − �1 − �1 +
2
�1 +
2
= �1 2 �2 − �1 �2 − �1 �2 +
�2 − 2 �1 − 2 − 2 �1 + 2
2
2
− 2 +
+ �2
= �1 �2 − 2 �1 − �1 �2 +
2
2
2
− �1 �2 − 2 + �2
= �1 �2 − 2 �1 − �1 �2 −
0
Jika ∆3 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�1
�1
1
2
+
�2
−
∆3 = ∆03 −
�2
�
1
2
2
− �4
∆4 = �4
− + 1
1
=
=
�1 −
1
0
0
0
0
1
�2
2
0
0
1
0
0
2
2
2
1
0
0
2
�1
3
3
− +
0
0
�2 −
3
3
2
0
− 0
0
0
0
0
0 0
0 0
0
0
16
= (�1 − )
�2
2
0
2
�1
1
−
3
0
�2 −
3
−
= (�1 − ) �2 �1 �2 −
= (�1 − ) �2 �1 �2 − �1 −
= (�1 − ) �1 �2 2 − �1 �2 −
0
2
�1
0
0
1
3
�2 −
2
−
− 1 [ 1 �1 �2 −
− 2 2 �2 −
2
2
2
2
−
− ]
− [�1 �2 −
�2 −
2
2
2
2
�2 − �2 +
− [�1 �2 − �1 − 2 ]
3
2
]
= �1 2 �2 2 − �1 2 �2 − 2 �1 �2 − 2 �1 �2 + 2 �1 − �1 �2 2 + �1 �2 + 2 �2 + 2 �2
− 2
− 2 �1 �2 + 2 �1 + ( 2 )2
2 2
= �1 �2 − 3 2 �1 �2 + ( 2 )2 − �1 �2 2 − 2 2 �2 − �1 2 �2 − 2 2 �1 + (�1 �2 − 2 )
Jika ∆04 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�2
0
�1
0
2
1
�2
2
�
�
∆4 = ∆04 −
−
2
1
3
1
2
2 +
�1
2
0
�2
0
�1
3
2
− �5
∆5 = �5
− + 1
1
=
0
0
0
�1 −
1
=
0
0
0
= �1 −
= �1 −
0
2 0
0
= �1 −
1[ 1
1
�2
2
0
0
�2
2
0
0
�1
3
3
3
4
4
0
4
0
2
2
2
0
0
0
2
�1
3
0
2
�1
3
0
�1
3
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
3
�2
4
0
3
�2
4
3
�2
− +
−
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
4
�1 −
0
0
−
�1 −
0
−
4
2
−
2
3
2
1
2
)−
3
0
0
0
�1
2
3
0
0
3
0
0
0
3
�2
4
�1 −
4
0
�2
2( 3
�1 −
0
2
1
4
0
�1 −
4
0
3
�2
0
�
4
1 −
−
�2 (�1 �2 �1 −
�1 �2 �1 −
0
0
− 0
0
0
4
�1 −
4
�1 −
]
) −
−
2
1
1
�1
3
0
2 (�2
0
3
�2
4
�1 −
4
�1 −
−
2
) −
�1 −
−
= �1 −
�2 �1 �1 �2 − �2 −
− 2 �1 �2 − �2 − 2
2
2
�2 −
− 1 [ 1 [�1 �1 �2 −
−
�1 − ]]
2
2 2
2 2
= �1 −
�1 �2 − �1 �2 − �2 − 2 �1 �2 + 2 �2 − 2 �1 �2 + 2 �2 − 2 2 −
2
3
[�1 �2 − �1 �2 − 2 − 2 �1 − 2 ]
= �13 �22 − �1 �2 2 − 2 �1 �2 2 − 2 �1 2 �2 + 2 �1 2 − 2 �1 2 �2 + 2 �1 �2 + 2 2 �1
− �12 �22 + �1 �2 + 2 �2 2 − 2 �2 + 2 �1 �2 − 2 �2 − 2 2 − 2 �1 �2 2
+ 2 �1 �2 + 2 2 + 2 2 �1 − 2 2
= �13 �22 − 3 2 �1 2 �2 + 2 2 2 �1 + 2 2 − �12 �22 − 2 �2 2 − 2 2 �1 �2 + 2 2
2
�1 �2 − 2 2 �2 − 2
− �12 �22 − 2 �1 2 − 2 2 �1 �2 + 2 2 +
Jika ∆05 adalah polinomial karakteristik dengan = = 0, maka
�2
�1
0 0
0 0
2
1
�2
2
2
3
�1
0
�2
0
2
1
0
�1
+
∆5 = ∆5 −
−
2
�
�
3
4
0
0
2
1
3
2
0
3
�1
�2
3
0 0
0 0
4
0
3
�2
−
17
Jadi, didapatkan bentuk umum
Jika ≠ 0 dan ≠ 0
�2
2
0
�1
0
0
2
∆ =∆ −
0
3
3
⋱
⋱
⋱
⋱
−1
�1
0
0
0
0
−1
�1
−
0
0
0
2
⋱
⋱
⋱
⋱
2
�2
0
0
0
1
�2
1
0
+
−2
�2
−2
2
0
�1
0
0
2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
⋱
⋱
0
0
0
0
3
⋱
⋱
0
−2
−2
�2
(3.9)
B. Bukti persamaan (3.10) dan (3.11)
�1 −
1
0
�2
0
0
1
=2
Jika
�2
∆ =∆ −
=
=
2
0
�1
0
0
2
0
∆ =
+ 1 ganjil
3
2
=
2
⋱
⋱
⋱
⋱
�1 sin 2
2
=
3
−1
0
−1
�1
�1 sin(2 + 2)�
−
sin 2�
2
�1 sin 2
2
0
0
0
+2 �−2
+2 �−
�1 sin 2
+
=2
+
sin 2
∆ =∆ −
0
2
0
0
0
3
⋱
⋱
−2
�2 −
0
0
2
0
�1
0
0
2
+
�2
sin 2 + 1 �
+
sin �
cos � sin 2
�2
−2
−2
3
⋱
⋱
� sin 2
2 −2 2
sin 2�
+1 �+
2 sin � cos �
2
�2 sin 2 �
sin 2 � + � + � + sin(2 � + � − �) +
+
+ 2 � + sin 2 � +
sin 2
0
⋱
⋱
+2 �+
1
�2
−1
2
0
0
0
−1
�1
2
sin 2�
0
3
⋱
⋱
⋱
⋱
2
2
+
�1 −
0
0
2
−2
2
0
−
�1
+
0
0
0
2
⋱
⋱
0
⋱
⋱
1
0
�2
0
0
1
�2 −
2
−2
0
2
⋱
⋱
sin 2 �
−2
�2 −
0
⋱
⋱
−2
0
0
−2
�2
�2
+
�
2
−2
�2
�2 sin 2 �
�2 sin 2 �
2
0
�1
0
0
2
−2
3
0
0
0
3
⋱
⋱
0
⋱
⋱
−2
−2
�2
sin(2 + 1)�
�2 sin 2 �
�1 sin 2 �
− 2 −2
− 2 −2
sin �
sin 2�
sin 2�
sin(2
−
1)�
2 −2
+
sin �
2
2
sin
2
+ 1 � cos � − �2 + �1 sin 2 � + 2 sin(2 − 1)� cos �
= 2 −2
2 sin � cos �
2 2 sin 2 + 1 � cos � − �2 + �1 sin 2 � + 2 sin(2 − 1)� cos �
2 −2
=
sin 2�
2
sin 2 � + [sin 2 � + sin(2 − 2)�
[sin
2
+
2
�
+
sin
2
�]
−
�
+
�
2
1
−2
sin 2�
∆ =
=
2
�1
2
0
0
sin 2�
genap
�2
0
+
1
Jika
0
⋱
⋱
sin 2�
+2 �−
�1 −
−
0
0
1
�2
1
0
2
⋱
⋱
2
�1
0
2
18
�2 + �1 −
−
sin 2�
Jadi persamaan (3.10) dan (3.11) terbukti
2
=
−2
2
sin 2
+2 �−
2
sin 2 � +
− 2)�
sin(2
C. Bukti persamaan (3.12)
Jika
=
2
untuk n genap
�2 + �1 − 2 − 2 sin 2 � +
sin 2�
2
[sin
2
+
2
�
+
sin(2
−
2)�]
− �2 + �1 − 2
= 2 −2
sin 2�
2
[2sin 2 � cos 2�] − �2 + �1 − 2 2 sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
2
sin
2
�
cos
2�
−
�2 + �1 − 2 2 sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
[2
cos
2�
−
�
−
�1 + 2 2 ] sin 2 �
2
= 2 −2
sin 2�
[2 2 (2cos 2 � − 1) − �2 − �1 + 2 2 ] sin 2 �
2 −2
=
sin 2�
2
2
2
[4
cos
�
−
2
−
�2 − �1 + 2 2 ] sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
sin
2 �
�
�
−
�
−
�
1 2
2
1
= 2 −2
sin 2�
Jadi persamaan (3.12) terbukti
∆ =
2 −2
2
sin 2
+2 �−
− 2)�
2
sin(2
2
sin 2 �
C. Bukti persamaan (3.7) dan (3.8)
Sebelumnya akan dikonstruksi kembali persamaan (3.7) dan (3.8) yang berkaitan dengan ∆0 −1
dan ∆0 −2 , diperoleh
Jika = 2 + 1 ganjil
sin 2 + 1 �
∆0 −1 = 2
sin �
sin
2 �
∆0 −2 = 2 −2 �1
sin 2�
�1 sin 2 + 2 �
0
2
∆ =
sin 2�
sin 2 �
sin 2 �
sin 2 + 2 �
2
+ �1 2
− �1 2
= �1
sin 2�
sin 2�
sin 2�
2
+ 2 � + sin 2 �
= �1 2
− �1 2
sin 2�
sin 2 + 1 �
sin 2 �
= �1 2
− 2 �1 2 −2
sin �
sin 2�
= �1 ∆0 −1 − 2 ∆0 −2
sin 2
2
sin 2 �
sin 2�
Serta diperoleh juga persamaan dengan menggunakan persamaan (L1.1), yaitu
∆02 +1 = �1 ∆02 − 2 ∆02 −1
Jika = 2 genap
sin 2 �
∆0 −1 = 2 −2 �1
sin 2�
(L1.1)
19
∆0 −2 =
∆0 =
=
2
2
=
2
=
2
=
2
=
2
sin(2 − 1)�
sin �
sin 2 + 1 �
sin �
sin(2 − 1)�
sin 2 + 1 �
+ 2
−
sin �
sin �
2 −2
sin 2
+ 1 � + sin(2
sin �
2 sin 2 � cos �
−
sin 2�
2 cos �
4 sin 2 � cos 2 �
−
sin 2�
�1 �2
2 sin 2 �
− 2
sin 2�
2 2 −2
sin 2 �
− 2
sin 2�
sin 2 �
= �2 2 −2 �1
− 2
sin 2�
= �2 ∆0 −1 − 2 ∆0 −2
Sehingga diperoleh,
∆02 = �2 ∆02 −1 − 2 ∆02 −2
Jadi didapatkan
∆02 +2 = �2 ∆02 +1 − 2 ∆02
= �2 �1 ∆02 − 2 ∆02 −1 −
= �1 �2 ∆02 − �2 2 ∆20 −1 −
=
2 −2
�1 �2
= �1 �2 −
2
∆02 − �2
2
− 1)�
−
2 −2
sin(2 − 1)�
sin �
2
2
2
sin(2
sin(2 − 1)�
sin �
2 −2
2
2
sin �
− 1)�
sin(2 − 1)�
sin �
sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 − 1 �
sin �
sin
2
−1 �
−2
sin �
2 −2
2
2 0
∆2
2 0
∆2
∆02 +
2 0
∆2 −2
�2
= �1 �2 − 2 ∆02 − 2 ∆02 − 4 ∆02
= �1 �2 − 2 2 ∆02 − 4 ∆20 −2
−2
1. Akan dibuktikan persamaan (3.8) dengan induksi matematika.
Bukti:
Untuk = 2, = 0
∆02 = �1 �2 − 2
Persamaan terpenuhi
Untuk = 4, = 1
∆04 = �1 2 �2 2 − 3 2 �1 �2 + ( 2 )2
Persamaan terpenuhi
Anggap benar untuk setiap integer < 2 + 2 genap
Akan dibuktikan integer = 2 + 2 benar
Bukti:
Dengan menggunakan persamaan (3.5) dengan (L1.2) maka
∆02 +2 = 4 2 cos 2 � − 2 2 ∆02 − 4 ∆02 −2
Karena ∆02 dan ∆02 −2 dianggap benar, maka
∆02 +2 = 4 2 cos 2 � − 2 2 ∆02 − 4 ∆02 −2
sin 2 − 1 �
sin 2 + 1 �
− 4 2 −2
= 4 2 cos 2 � − 2 2 2
sin �
sin �
(L1.2)
20
=4
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
=
2 +2
Jadi,
sin 2 + 1 �
sin 2 + 1 �
− 2 2 +2
−
sin �
sin �
2
(4 cos � − 2) sin 2 + 1 � − sin 2 − 1 �
sin �
2 cos 2� sin 2 + 1 � − sin 2 − 1 �
sin �
2 sin 2 + 1 � cos 2� − sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 + 3 � + sin 2 − 1 � sin 2 − 1 �
−
sin �
sin �
sin 2 + 3 �
sin �
cos 2 �
2 +2
sin 2 − 1 �
sin �
sin 2 + 1 �
sin �
Persamaan (3.8) terbukti
2. Jika = 2 + 1 ganjil
Dengan persamaan (L1.2) untuk = 2 + 2 didapatkan
∆02 +2 + 2 ∆02
∆02 +1 =
�2
Dengan menggunakan persamaan (3.8) untuk = 2 dan = 2 + 2, didapatkan
+3 �
sin 2 + 1 �
2 +2 sin 2
+ 2 2
sin
�
sin �
0
∆2 +1 =
�2
sin 2 + 3 � + sin 2 + 1 �
= 2 +2
�2 sin �
2 � + 3� − (2 � + �)
2 � + 3� + (2 � + �)
cos
sin
2
2
2 +2
=2
�2 sin �
4 � + 4�
2�
sin
cos
2
2
2 +2
=2
�2 sin �
sin(2 � + 2�) cos �
= 2 2 +2
�2 sin �
sin(2
+ 2)� cos �
= 2 2 +2
�2 sin �
sin(2 + 2)� cos �
2
2
= 2 2 +2 4 cos � sin �
�1
�1 sin(2 + 2)� cos �
= 2
2 cos 2 � sin �
�1 sin(2 + 2)�
= 2
2 sin � cos �
�
sin(2 + 2)�
1
= 2
sin 2�
� sin (2 +2)�
Sehingga persamaannya menjadi ∆20 +1 = 2 1
∆02 =
2
sin 2�
Jadi persamaan (3.7) terbukti.
21
Lampiran 2 Bukti Teorema 2
Akan dibuktikan persamaan (3.13)
Untuk = = 0 dan kondisi (3.2) dan (3.3) terpenuhi, sehingga dengan
persamaan (3.5) menjadi
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
= 4 2 cos 2 �
( 1− ) 2−
− 2 + 2 = 4 2 cos 2 �
1 2 − 1
2
+ 1 2 − 4 2 cos 2 � = 0
− 1+ 2
2
+
1
±
2
=
=
1
+
2
±
1
+
2
±
−
1
2
1
1
+
2
+
2
+2
2
2
−4
2
2
1 2
1 2
2
+
=
2
2
1
+
2
±
2
±
2
1
=
=
−4
1 +
−2
1 2
+
+ 16
1 2
−4
1 2
2
+ 16
2
cos 2 �
2
2
+ 16
2
2
1 − 2
2
2
+ 16
2
=
dan � = � ,
cos 2 �
cos 2 �
+ 16
2
cos 2 �
cos 2 �
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, =
2
1
Selanjutnya akan dicari untuk
=
Dari persamaan (3.10) dan hipotesis
maka �1 = 0 atau sin 2
Jika �1 = 0 maka sin 2
�1 = 0
=0
1 −
= 1
=2
=
+1
= 1, … ,
+ 1, … , 2
= 0 diperoleh
+ 2 � = 0.
+ 2 � ≠ 0, sehingga
2
�1 sin 2 +2 �
sin 2�
= 0, karena
2
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … ,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
, = + 1, … , 2
2
=
1 ,
1
Selanjutnya akan dicari �
Jika ganjil
Dari persamaan (3.10) dan
=
= 0 diperoleh sin 2
+ 2 � = 0 maka �1 ≠ 0, sehingga
≠ 0,
22
sin 2 + 2 � = 0
sin(2 + 2) � = sin 0
2 +2 � =0+ ,
� =
,
(2 + 2)
Jika = + 1, … ,2
( − )
,
� =
(2 + 2)
= 1, … ,
= 1, … ,
=
+ 1, … ,2
Jadi
� =
,
2 +2
( − )
,
2 +2
,
(2 + 1)
Jika = + 1, … ,2
( − )
� =
,
(2 + 1)
+ 1, … , 2
=
Jika genap
Dari persamaan (3.11) dan
sin 2 + 1 � = 0
sin 2 + 1 � = sin 0
2 +1 � =0+ ,
� =
= 1, … ,
=
= 0 diperoleh sin 2
= 1, … ,
= 1, … ,
=
+ 1, … ,2
Jadi
� =
,
2 +1
( − )
,
2 +1
=
= 1, … ,
+ 1, … , 2
+ 1 � = 0 sehingga
23
Lampiran 3 Bukti Teorema 3
Akan dibuktikan persamaan (3.14)
dengan dengan =
dan � = � , persamaan (3.5) menjadi
�1 �2 = 4 2 cos 2 �
= 4 2 cos 2 �
( 1− ) 2−
− 2 + 2 = 4 2 cos 2 �
1 2 − 1
2
+ 1 2 − 4 2 cos 2 � = 0
− 1+ 2
2
2
±
1 +
2
±
+
2
±
+
1
−
=
=
1
1
1 +
2
1
2
+
2
+2
2
2
−4
2
2
1 2
=
−4
1 2
2
+
2
1
+
2
±
1
+
2
±
2
1
=
=
1
−2
− 2
2
1 2
+
+ 16
−4
2
+ 16
1 2
1 2
2
+ 16
2
cos 2 �
2
2
2
+ 16
2
2
2
cos 2 �
cos 2 �
+ 16
2
cos 2 �
cos 2 �
Jadi,
1
=
1
+
+
2
2
− (
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
+ ( 1 − 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
2
1
= 1, … ,
=
,…,2
−1
−2
Selanjutnya akan dicari = − 1 dan =
Dari persamaan (3.12) dan persamaan (3.6) berlaku, maka persamaan (3.12) menjadi
− ( 1 − ) sin 2 �
−
( 1− ) 2−
2 −
∆ = 2 −2
sin 2�
2
−
−
+
− 2+
− 1+
sin 2 �
1
2
1
2
= 2 −2
sin 2�
[ 2− 1+ 2− −
− ( 2 + 1 − 1 2 )] sin 2 �
= 2 −2
sin 2�
2
Dari persamaan di atas diperoleh
− 1+ 2− −
−
2 +
1 − 1 2 = 0 atau
sin 2 � = 0, maka
Jika 2 − 1 + 2 − −
−
2 +
1 − 1 2 = 0 maka sin 2 � ≠ 0 sehingga
2
− 1+ 2− −
−
2 +
1 − 1 2 = 0
=
=
=
=
1
1
+
2
1
+
2
+
1
+
2
−
−
−
2
−
−
−
−
−
− − )2 − 4(−
2
− 2+4 2+4
1 + 2 −
2
2
+ ( + )2 − 2 1 +
1 + 2
2
2 + ( + )2 − 2
+
1
2
1 −
2
± (−
±
±
±
1
+
2
2
1
+
1
−4
2
1 2
)
1 2
+
2
−
−
+4
−4
2
+4
1 2
1
−4
1 2
24
=
1
+
2
Jadi,
−
1
+
2
1
+
2
=
−
−
±
−
−
−
−
−
1
+
Sehingga nilai eigen jika
1
2
=
2
−
−
+ ( + )2 − 2
2
2
2
2
+ ( + )2 − 2
2
2 + ( + )2 − 2
2
2
−
1
1
−
2
−
2
−
2
−
−
,
=
,
−1
=
dan untuk n genap yaitu
+
2
− (
1
Selanjutnya akan dicari �
Jikasin 2 � = 0 maka 2 − 1 + 2 −
sin 2 � = 0
sin 2 � = sin 0
2 � =0+ ,
= 1, … , − 1
,
= 1, … ,
2
Jika = , … ,2 − 2
( − + 1)
� =
,
2
� =
( −
2
,
+ 1)
2
,
−
−1
=
Jadi,
� =
1
− 2 )2 + 16 2 cos 2 �
,
= 1, … , − 1
2
2
2 cos 2 �
1 + 2 + ( 1 − 2 ) + 16
,
= ,…,2 − 2
2
−
− ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, = −1
2
−
+ ( 1 − 2 )2 + ( + )2 − 2 1 − 2 ( − )
1 + 2 −
, =
2
1
=
1
, … ,2
= 1, … ,
=
−1
,…,2
−2
−2
−
2
+
1
−
1 2
≠ 0 maka sehingga
25
Lampiran 4 Bukti Teorema 4
A. Bukti persamaan (3.21) dan (3.22)
∆
Dari persamaan (3.10) dan (3.11) dengan � = � dan � = �
Jika = 2 + 1 ganjil
=2 +1
−1=2
=0
∆
2
2 −2
( )
−1 =
( )
−1 =
2
2 −2
( )
+2 � −
sin 2
sin 2
Jika = 2 genap
=2
−1= 2 −1
− 1 = (2 + 1) − 2
�1
( )
+ 2 � − �2 −
sin 2�
( )
( )
∆ −1 =
2 −2
=
2 −2
=0
[�2 − ( + )] sin 2
( )
[�2
( )
+ �2 −
−
sin 2�
( )
−1 =
2 −2
( )
�1
2
sin 2�
(�2 − ) sin 2 � − sin(2
sin 2�
sin 2 � +
2
( )
�1
2
sin 2�
( )
∆
= 1, … ,
untuk
sin(2
− 2)�
sin 2 �
2
+2−2 � +
− ( + )] sin 2 � +
( )
−
+
−
+
sin(2
sin(2
− 2)�
− 2)�
− 2)�
B. Bukti persamaan (3.25) dan (3.26)
Dari persamaan (3.17) dan (3.18) dan mengganti
Jika = 2 + 1 ganjil
Jika ganjil
∆
( )
−
=
2
− −2
− +2 � −
sin
=0
∆
( )
−
2
− −2
=
Jika genap
( )
( )
∆ −
− −1
=
[�1
( )
+ �2 −
−
sin 2�
( )
− + 2 � − �2 −
sin 2�
− ( + )] sin
2
− −1+2 � +
2
− diperoleh
sin( − )� +
( )
−
=
− −1
[�1
− ] sin
− +1 � −
sin 2�
sin( − − 2)�
sin( − )�
sin 2�
( )
2
�2 −
=0
( )
∆
sin
( )
�1
dengan
sin( − − 1)�
+
sin( − − 1)�
26
Jadi
∆
( )
−
2
− −2
=
�1
− −1
− + 2 � − �2 −
sin 2�
sin
−
Jika = 2 genap
Jika ganjil
− −1
=
[�2 − ( + )] sin
( )
( )
−
− −1
=
Jika genap
=
− −2