Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan
Polinomial Chebyshev adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Meliza Dita Utami
NIM G54090035
ABSTRAK
MELIZA DITA UTAMI. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks
Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Dibimbing
oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dapat ditentukan dengan
mencari polinomial karakteristiknya. Polinomial karakteristik dari matriks
tridiagonal 2-Toeplitz ditunjukkan memiliki hubungan yang erat dengan
polinomial yang memenuhi hubungan rekursif Chebyshev. Ketika orde dari
matriks tersebut ganjil, nilai eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dengan
ketentuan dari akar Chebyshev dan vektor eigennya ditentukan dengan ketentuan
polinomial yang memenuhi hubungan rekursif tersebut. Untuk matriks berorde
genap, situasinya lebih rumit. Permasalahan dari kasus ini adalah walaupun
formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, nilai awalnya tidak menghasilkan
polinomial Chebyshev.
Kata kunci: matriks tridiagonal 2-Toeplitz, nilai eigen, polinomial Chebyshev,
polinomial karakteristik, vektor eigen
ABSTRACT
MELIZA DITA UTAMI. Calculating the Eigenvalues and Eigenvectors of a
Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix with Chebyshev Polynomial Approach. Supervised
by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
The eigenvalues and eigenvectors of a matrix can be determined by finding
its characteristic polynomials. The characteristic polynomials of a tridiagonal 2Toeplitz matrix is shown to be closely connected to polynomials which satisfy the
Chebyshev recurrence relationship. If the order of the matrix is odd, then the
eigenvalues are found explicitly in terms of the Chebyshev zeros and the
eigenvectors are found in terms of the polynomials satisfying the recurrence
relationship. For even ordered matrices, the situation is more complicated. The
problem in these cases is that although the Chebyshev recurrence formula is still
applied, its initial values are not generating Chebyshev polynomials.
Keywords: characteristic polynomial, Chebyshev polynomial, eigenvalues,
eigenvectors, tridiagonal 2-Toeplitz matrix
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal
2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev
Nama
: Meliza Dita Utami
NIM
: G54090035
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing II
Dra Nur Aliatiningtyas, MS
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerahNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang
dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan
Desember 2012 ini adalah matematika murni, yang berjudul Penentuan Nilai
Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitzdengan Pendekatan
Polinomial Chebyshev.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan
Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi selaku dosen pembimbing, serta Ibu Dra
Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di
samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika
atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, papa, kedua adik dan
seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa
ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46, kakak dan adik kelas, sahabat
SMA dan SMP, teman kos Wisma Gajah serta seluruh pihak yang telah
mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.
Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Meliza Dita Utami
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Matriks
2
Determinan dan Sifat-Sifatnya
3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
4
Polinomial Chebyshev
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Eigen
5
5
Vektor Eigen
15
Contoh Aplikasi
24
SIMPULAN DAN SARAN
28
Simpulan
28
Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
28
RIWAYAT HIDUP
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Istilah ”eigen” di dalam bahasa Jerman mempunyai arti ”asli”. Beberapa
penulis menamakan nilai eigen dengan
nilai asli, nilai karakteristik
(characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih
mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar
pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.
Dalam aljabar linear, sering kali ditemukan persamaan Ax = λx dengan A
merupakan suatu matriks dan jika persamaan tersebut mempunyai solusi taknol x,
maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen dari A
yang bersesuaian dengan λ.
Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran n×n, dengan n merupakan suatu bilangan
bulat. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri bernilai nol pada
selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas
diagonal utama (superdiagonal).
Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dibutuhkan
polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan
dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz.
Polinomial karakteristik yang dimaksud adalah polinomial yang memenuhi suatu
sifat dari formula rekursif Chebyshev setelah dilakukan beberapa tranformasi
sederhana. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan MJC Gover (1994)
yang berjudul The Eigenproblem of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap dan ganjil dengan
pendekatan polinomial Chebyshev untuk polinomial karakteristiknya.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang
akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti matriks, determinan dan
sifat-sifatnya, nilai eigen dan vektor eigen, serta polinomial Chebyshev yang juga
akan dilengkapi dengan contohnya.
Matriks
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan
contohnya, matriks tridiagonal r-Toeplitz dan contohnya, serta matriks tridiagonal
2-Toeplitz dan contohnya. Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang
berukuran
, dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks dengan entri-entri tij= 0
jika |i – j| > 1 seperti matriks (1) berikut ini.
(1)
Tn =
Contoh:
Berikut merupakan contoh untuk matriks tridiagonal dengan n = 3.
T3 =
.
Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut
subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal
disebut superdiagonal (Kouachi 2006). Dalam (Gover 1994), suatu matriks
tridiagonal r-Toeplitz yang berukuran
, dinotasikan sebagai Cn, adalah
matriks tridiagonal dengan entri-entri cij yang memenuhi ci+r, j+r = cijdengan i, j =
1, 2, ..., n - r seperti matriks (2) berikut ini.
Cn =
(2)
3
Contoh:
Berikut ini akan dibahas contoh untuk r = 1, 2, dan 3 jika diberikan matriks
tridiagonal dengan n = 5.
Jika r = 1, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
Jika r = 2, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
(3)
Jika r = 3, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran
, dinotasikan sebagai Bn, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri
bijyang memenuhi bi+2, j+2 = bijdengan i, j = 1, 2, ..., n -2seperti matriks (4) berikut
ini.
Bn =
(4)
Contoh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan n = 5 sama seperti pada
matriks (3).
Determinan dan Sifat-Sifatnya
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari determinan dan sifatsifatnya. Determinan dari suatu matriks A berorde n×n, dinotasikan sebagai
det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan
secara induktif sebagai:
det(A) =
dengan A1j = (-1)1 + j det (M1j), j = 1, ..., n adalah kofaktor-kofaktor yang
diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari Adan M1j menyatakan
4
matriks
kolom yang mengandung
2001).
yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan
. Determinan dari M1j disebut minor dari
(Leon
Operasi Baris
I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda
dari determinan.
II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar
sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar
tersebut.
III. Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau
kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan (Leon 2001).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari nilai eigen, vektor eigen,
persamaan karakteristik dan polinomial karakteristik dari suatu matriks.
Misalkan A adalah suatu matriks
. Skalar λ disebut nilai eigen atau
nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx.
Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan
nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk
(A – λI)x = 0.
(5)
Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A – λI
singular atau secara ekivalen
det(A – λI) x = 0.
(6)
Jika determinan pada persamaan (6) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial
berderajat n dalam peubah λ
p(λ) = det(A – λI).
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik
adalah nilai eigen dari A (Leon 2001).
Polinomial Chebyshev
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh dari polinomial
Chebyshev dan akarnya. Dalam (Gover 1994), polinomial Chebyshev merupakan
suatu polinomial yang memenuhi formula rekursif
=
.Akar dari polinomial Chebyshev pn(µ) dengan polinomial awal
dan
=
adalah
, r = 1, 2, ..., n.
Contoh:
Untuk n = 3, diperoleh:
5
= ,
=
, dan
=
=
=
.
Akar dari
ialah sebagai berikut:
r = 1, maka
=
=
=2
r = 2, maka
=
=
r = 3, maka
=
= 0,
=
,
=
=2
.
=
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Eigen
Misalkan diberikan matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde n×n dalam
bentuk sebagai berikut:
Bn =
,
(7)
sehingga untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde genap dapat dituliskan
seperti di bawah ini
B2m =
dan untuk orde ganjil yaitu
(8)
6
B2m+1=
.
(9)
Salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil
tersebut adalah λ = seperti yang dinyatakan dalam Lema 1 berikut ini.
Lema 1
Jika n = 2m + 1, matriks Bn pada (7) mempunyai nilai eigen yaitu λ =
.
Bukti:
Akan dibuktikan λ =
merupakan nilai eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz berorde ganjil. Untuk membuktikannya,cukup dibuktikan bahwa | Bn I | = | B2m+1 - I | = 0.
| B2m+1 -
I|
=
–
=
=
Selanjutnya akan dilakukan operasi:
baris(2i + 1) – c baris(2i - 1), untuk i = 1, 2, ..., m
secara berurutan pada baris terbaru, dengan
c=
.
Untuk i = 1, maka baris(3) akan menjadi
(10)
7
baris(3) –
baris(1) =
.
Untuk i = 2, maka baris(5) akan menjadi
baris(5) – baris(3) =
.
Untuk i = 3, maka baris(7) akan menjadi
baris(7) – baris(5) =
.
Operasi tersebut hanya dilakukan pada baris ganjil dan akan berakhir pada baris
terakhir yaitu baris 2m + 1, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
| B2m+1 -
I|=
Karena semua elemen pada baris terakhir bernilai nol, maka terbukti bahwa
| B2m+1 - I | = 0. Hal tersebut membuktikan bahwa merupakan salah satu nilai
eigen dari B2m+1.
■
Hasil dari Lema 1 di atas menunjukkan bahwa
merupakan faktor
dari | B2m+1 - I |. Untuk menentukan nilai eigen selanjutnya dari matriks B2m+1
pada (9) dan nilai eigen dari matriks Bnpada (8), maka akan dicari terlebih dahulu
polinomial karakteristik untuk kedua matriks tersebut. Polinomial karakteristik
untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz akan dibahas pada Teorema 1 berikut ini.
Sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu
,
(11)
sehingga akan diperoleh hasil berikut ini.
Teorema 1
Jika diberikan matriks Bn seperti pada (7) dan v pada (11), maka untuk
setiap m∈ , berlaku
dengan
dan
formula rekursif
adalah polinomial berderajat m yang memenuhi
(14)
dan
dengan polinomial awal
didefinisikan pada (10) dan
,
(15)
, serta c seperti yang
dan
.
(16)
8
Bukti:
Orde genap
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari Bn adalah
.
| B2m - I |
=
=
=
=(
=(
| B2m-1 - I |
=(
| B2m-1 - I |
| B2m-2 - I |
Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan
9
| B2m - I | = (
Basis Induksi
| B2m-1 - I |
| B2m-2 - I | =
.
: Untuk m = 1, berlaku | B2 - I | =
=(
–
=
–
=
–
=
.
Hipotesis Induksi :Anggap benar | B2m-1 - I | =
dan | B2m-2 - I | =
, untuk m 2.
Langkah Induksi :
| B2m– I | = (
| B2m-1– I | | B2m-2– I |
=(
=
=
=
=
.
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
berorde genap adalah
.
Orde ganjil
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B2m+1 adalah
.
| B2m+1 - I |
=
10
–
=
=
=(
=(
| B2m - I | -
=(
| B2m - I | -
| B2m-1 - I |
Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan
| B2m+1 - I | = (
| B2m - I | | B2m-1 - I | =
.
: Untuk m = 0, berlaku | B1 - I | =
: Anggap benar | B2m-1 - I |=
untuk m 1.
Langkah Induksi
:
| B2m+1 - I | = (
| B2m - I | | B2m-1 - I |
Basis Induksi
Hipotesis Induksi
=(
-
=
.
11
=(
=(
(
=(
(
=(
(
=
=
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
■
berorde ganjil adalah
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
dan
pada (15) dan (14)
memenuhi formula rekursif baru setelah dilakukan transformasi sederhana untuk
kedua persamaan tersebut yang akan ditunjukkan oleh Teorema 2 berikut.
Teorema 2
Jika
dan
memenuhi (15) dan (14) secara berturut-turut, dengan
, maka
,
(17)
,
(18)
dan
,
(19)
dengan c dan d seperti yang didefinisikan pada (10) dan (16).
dan
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (17), (18), dan (19).
Bukti persamaan (17)
Diketahui persamaan (15) yaitu
maka akan diperoleh
,
.
(20)
Substitusikan persamaan di atas ke (14), sehingga
=
=
=
=
.
(21)
Dari (20) diperoleh
=
.
Selanjutnya persamaan di atas dapat disubstitusikan ke (21) dan diperoleh
=
12
=
=
Bukti persamaan (18)
Diketahui persamaan (14) yaitu
=
.
, maka
=
.
Dari persamaan di atas, diperoleh
Selanjutnya substitusikan
=
.
dan
ke (15) dan diperoleh
=
=
=
=
.
Bukti persamaan (19)
Untuk m = 1, maka dari (14) dan (15) akan diperoleh
=
=
=1
dan
=
=
=
=
■
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan melakukan beberapa substitusi,
persamaan (17) dan (18) dapat direduksi menjadi formula rekursif Chebyshev
yang disajikan dalam Lema 2 berikut ini.
Lema 2
Diberikan matriks Bn pada (7). Jika didefinisikan
(22)
dengan
(23)
dan
,
,
(24)
maka persamaan (17) dan (18) berturut-turut menjadi
(25)
dan
,
(26)
dengan polinomial awal sebagai berikut
,
,
,
dan
.
(27)
13
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (25), (26), dan polinomial awal untuk
dan
seperti pada (27).
Persamaan
dapat diubah dalam bentuk berikut ini
.
dapat dituliskan menjadi
Akibatnya, persamaan (24) untuk
,
dan diperoleh pula persamaan untuk
(28)
(29)
berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (17) ke persamaan di atas, maka akan
diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
Persamaan (24) untuk
.
dapat dituliskan menjadi
,
dan diperoleh pula persamaan untuk
(30)
berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (18) ke persamaan di atas, maka akan
diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (29) dan (30), maka
diperoleh hasil sebagai berikut:
14
=
= 1,
=
=
=
=
= ,
=
= 1, dan
=
=
=
=
=
■
.
Berdasarkan polinomial awal di atas, jelas bahwa
merupakan suatu
polinomial Chebyshev, sedangkan
bukan polinomial Chebyshev karena
.
Karena
adalah
merupakan suatu polinomial Chebyshev, maka akar dari
,
r = 1, 2, ..., m.
(31)
Dengan menyubstitusikan persamaan (31) di atas ke persamaan (28), maka akan
diperoleh
, r = 1, 2, ..., m.
(32)
Selanjutnya dari persamaan (11) dan (32) dapat ditentukan nilai eigen lainnya
untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil yang akan dijelaskan oleh
Teorema 3 di bawah ini.
Teorema 3
Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m + 1 pada (9)
adalah dan solusi dari persamaan kuadratik berikut
(
r = 1, 2, ..., m.
Bukti:
Dari persamaan (11) dan (32) diperoleh hasil berikut ini
,
(33)
15
=
(
=
(
=
(
=
(
=
(
.
■
Sementara itu, karena
bukan merupakan polinomial Chebyshev,
maka dimisalkan bahwa akar dari
adalah
. Dengan
merupakan
suatu fungsi dari r. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (28), maka akan
diperoleh
,
r = 1, 2, ..., m.
(34)
Selanjutnya dari persamaan (11) dan (34) dapat ditentukan nilai eigen untuk
matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yang akan dijelaskan oleh Teorema 4 di
bawah ini.
Teorema 4
Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m pada (8)
adalah solusi dari persamaan kuadratik berikut
(
,
r = 1, 2, ..., m.
(35)
Bukti:
Dari persamaan (11) dan (34) diperoleh hasil berikut ini
=
(
(
=
=
(
=
(
=
(
.
■
Vektor Eigen
Pada Teorema 5 berikut ini akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian
dengan setiap nilai eigen yang diperoleh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde
ganjil.
Teorema 5
Vektor eigen dari matriks B2m+1 pada (9) yang bersesuaian dengan nilai
eigen adalah
16
.
x1 =
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
persamaan kuadratik pada (33) adalah
,
x2 =
dengan s =
dan Pr = 2 cos
yang merupakan solusi dari
(36)
yang merupakan akar dari
.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 5 di atas sama halnya dengan membuktikan
dan
.
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari dua kasus berikut:
(i) Baris ganjil (1, 3, 5, ...,
)
Untuk setiap baris ganjil dari
, dari perkalian matriks
tersebut jelas diperoleh hasil yang bernilai nol.
(ii) Baris genap (2, 4, 6, ..., m)
Untuk setiap baris genap dari
, diperoleh hasil sebagai
berikut:
=
=
=0
Jadi, terbukti bahwa setiap baris dari
adalah nol.
17
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
(i) Baris 1
Akan dibuktikan baris pertama dari
bernilai nol.
Baris pertama dari
adalah
=
=
Karena
, maka diperoleh
.
Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari
(ii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris genap dari
Untuk setiap baris genap akan diperoleh:
=
adalah nol.
bernilai nol.
=
=
=
(37)
Karena
, maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
=
.
18
Dari persamaan (24) diperoleh
dan
.
(38)
Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke
,
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
=
Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (37), maka
diperoleh:
=
=
=
=
=
=
=
= 0.
Jadi, terbukti setiap baris genap dari
(iii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari
baris terakhir akan bernilai nol.
Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh:
=
bernilai nol.
, kecuali pada
=
Dari persamaan (38), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
=
(39)
19
=
=
=
=
=
=
=
=
.
(40)
Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan
(39), maka akan diperoleh hasil berikut ini
=
=
=
=
=
=
=
=
(41)
Karena
,
maka
.
Akibatnya, persamaan (41) menjadi nol.
Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil, kecuali pada baris terakhir dari
bernilai nol.
(iv) Baris
Akan dibuktikan baris terakhir dari
Untuk baris
atau baris terakhir dari
diperoleh hasil sebagai berikut
=
bernilai nol.
akan
20
(42)
=
Dari persamaan (40) diperoleh
=
.
Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (42), diperoleh hasil berikut
=
=
=
=
=
=
(43)
Karena
dan
merupakan akar dari
, maka hasil dari persamaan (43) adalah nol.
Jadi, terbukti bahwa baris terakhir dari
Akibatnya, semua baris dari
bernilai nol.
adalah nol.
Karena setiap baris dari
dan
bernilai
nol, maka terbukti bahwa
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai eigen dan
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen .
■
Selanjutnya untuk memperoleh vektor eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz orde genap akan dibahas pada Teorema 6 berikut ini.
Teorema 6
Vektor eigen dari matriks B2m pada (8) yang bersesuaian dengan nilai eigen
nilai eigen yang merupakan solusi dari (35) adalah
x=
,
(44)
21
dengan s =
dan
merupakan akar dari
.
Bukti:
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
(i) Baris 1
Akan dibuktikan baris pertama dari
bernilai nol.
Baris pertama dari
adalah
=
=
Karena
, maka diperoleh
.
Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari
adalah nol.
(ii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris genap, kecuali pada baris terakhir dari
bernilai nol.
Untuk setiap baris genap, kecuali baris terakhir akan diperoleh:
=
=
=
=
(45)
22
Karena
, maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
=
.
Dari persamaan (24) diperoleh
dan
.
(46)
Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke
,
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
=
Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (45), maka
diperoleh:
=
=
=
=
=
=
=
= 0.
Jadi, terbukti setiap baris genap dari
(iii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari
Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh:
bernilai nol.
adalah nol.
=
=
(47)
23
Dari persamaan (46), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
(48)
Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan
(47), maka akan diperoleh hasil berikut ini
=
=
=
=
=
=
=
(49)
=
Karena
maka
Akibatnya, persamaan (49) menjadi nol.
Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil dari
,
.
bernilai nol.
(iv) Baris 2m
Akan dibuktikan bahwa baris terakhir dari
adalah nol.
Untuk baris terakhir dari
diperoleh hasil berikut ini
=
24
=
=
=
(50)
Pada poin (ii) sebelumnya telah ditunjukkan bahwa
,
sehingga persamaan (3.47) menjadi
=
=
(51)
Karena
merupakan akar dari polinomial
menjadi nol.
Jadi, terbukti baris terakhir dari
, maka persamaan (51)
■
adalah nol.
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks tridiagonal
2-Toeplitz yaitu nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan
karakteristik dan yang diperoleh dengan menggunakan Lema dan Teorema yang
telah dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan.
Misal diberikan matriks B3 dengan m = 1 berikut ini.
.
B3 =
Terlebih dahulu akan dicari nilai eigen dari B3 dengan mencari solusi untuk λ dari
seperti di bawah ini.
=
=0
=0
=0
=0
=0
=0
1
=1
2
=8
3
(52)
= -5
Selanjutnya akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai
eigen di atas yaitu mencari solusi untuk x dari
.
=
= 0.
25
Untuk 1 = 1, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
adalah dengan
2
adalah dengan
.
dan diperoleh solusi yaitu
Untuk 2 = 8, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
dan diperoleh solusi yaitu
1
.
Untuk 3 = -5, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
dan diperoleh solusi yaitu
3
adalah
.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan Lema dan
Teorema yang telah dibahas sebelumnya akan menghasilkan nilai eigen dan
vektor eigen yang sama seperti di atas.
Berdasarkan Lema 1, salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz orde ganjil adalah λ = . Karena matriks B3 memiliki
yaitu 1, maka
salah satu nilai eigen untuk B3 adalah λ = 1.
Pada Teorema 1 dikatakan bahwa polinomial karakteristik untuk B2m+1
adalah
, maka B3 akan memiliki polinomial karakteristik
yaitu
. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa polinomial
karakteristik yang dihasilkan dengan menggunakan Teorema 1 sama dengan
polinomial pada (52).
=
Karena
, maka
=
=
=
,
26
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
.
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3, akan ditunjukkan nilai eigen
lainnya untuk B3 merupakan solusi dari persamaan
(
,
dengan r = 1 akan menghasilkan nilai eigen yaitu 8 dan -5.
=0
(
=0
(
(
=0
=0
=0
=0
(
Akibatnya, diperoleh solusi untuk nilai eigen B3 dengan r = 1 yaitu 8 dan -5.
Dengan menggunakan Teorema 5, akan diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen dari Teorema 3 sebagai berikut.
(i) Untuk nilai eigen
dengan m = 1, vektor eigen yang
bersesuaian dengannya adalah
Karena
dan
.
(ii) Untuk nilai eigen
= 8, vektor
dengannyamenurut Teorema 5 adalah
x=
.
, maka
eigen
,
dengan
sehingga
= 1,
=
=
=
yang
= ,
bersesuaian
27
=
=
=
=
= 2.
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
= 8 adalah
.
x=
(iii) Untuk nilai eigen
= -5, vektor eigen yang bersesuaian dengannya
menurut Teorema 5 adalah
dengan
x=
,
sehingga
= 1,
=
=
,
=
=
=
=
=
=
= 2.
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
.
= -5 adalah
28
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat
disimpulkan bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
sangat erat hubungannya dengan polinomial Chebyshev. Ketika matriks
tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil, maka nilai eigen dan vektor eigennya dapat
ditentukan secara eksplisit dari aturan akar polinomial Chebyshev. Untuk matriks
tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap, kondisinya lebih kompleks. Untuk mencari
nilai eigen dan vektor eigennya, formula rekursif Chebyshev tetap digunakan,
walaupun nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis
menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yaitu dengan menemukan
akar dari polinomial
, membahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal r-Toeplitz, serta dapat pula membahas invers dari matriks Toeplitz.
DAFTAR PUSTAKA
Gover MJC. 1994. The eigenproblem of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix. Linear
Algebra and Its Applications.198(1):63-78.doi:10.1016/0024-3795(94)904812.
Kouachi S. 2006. Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices. ELA.
15(1):115-133.doi:10.4064/am35-1-7.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York (US):
Springer-Verlag.
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 20 Mei 1991. Penulis
merupakan putri pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Asmitrial dan Ibu
Netkornita. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 32 Jakarta dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepengurusan Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2011 dan 2012. Selama dua
tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai Bendahara Biro Kesekretariatan dan
Bendahara Umum. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan,
diantaranya menjadi salah satu anggota divisi konsumsi dari kegiatan Political
Training tahun 2010, bendahara divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi
(PDD) dari Sport and Art Competition on MIPA Faculty (SPIRIT) tahun 2011,
anggota divisi Penanggung Jawab Keluarga (PJK) dari Masa Perkenalan
Departemen Matematika (MPD) tahun 2011, anggota divisi Publikasi, Dekorasi,
dan Dokumentasi (PDD) dari Masa Perkenalan Fakultas MIPA (MPF) tahun
2011, anggota divisi Dana Usaha (Danus) dari Matematika Ria yang merupakan
bagian dari kegiatan Pesta Sains Nasional 2011, anggota divisi Acara Math
Camp2011, anggota divisi Dekorasi dan Dokumentasi (DDD) dari Matematika
Ria 2012.
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan
Polinomial Chebyshev adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi
pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi
mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan
maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan
dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juli 2013
Meliza Dita Utami
NIM G54090035
ABSTRAK
MELIZA DITA UTAMI. Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks
Tridiagonal 2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev. Dibimbing
oleh NUR ALIATININGTYAS dan TEDUH WULANDARI MAS’OED.
Nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dapat ditentukan dengan
mencari polinomial karakteristiknya. Polinomial karakteristik dari matriks
tridiagonal 2-Toeplitz ditunjukkan memiliki hubungan yang erat dengan
polinomial yang memenuhi hubungan rekursif Chebyshev. Ketika orde dari
matriks tersebut ganjil, nilai eigennya dapat ditentukan secara eksplisit dengan
ketentuan dari akar Chebyshev dan vektor eigennya ditentukan dengan ketentuan
polinomial yang memenuhi hubungan rekursif tersebut. Untuk matriks berorde
genap, situasinya lebih rumit. Permasalahan dari kasus ini adalah walaupun
formula rekursif Chebyshev tetap digunakan, nilai awalnya tidak menghasilkan
polinomial Chebyshev.
Kata kunci: matriks tridiagonal 2-Toeplitz, nilai eigen, polinomial Chebyshev,
polinomial karakteristik, vektor eigen
ABSTRACT
MELIZA DITA UTAMI. Calculating the Eigenvalues and Eigenvectors of a
Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix with Chebyshev Polynomial Approach. Supervised
by NUR ALIATININGTYAS and TEDUH WULANDARI MAS’OED.
The eigenvalues and eigenvectors of a matrix can be determined by finding
its characteristic polynomials. The characteristic polynomials of a tridiagonal 2Toeplitz matrix is shown to be closely connected to polynomials which satisfy the
Chebyshev recurrence relationship. If the order of the matrix is odd, then the
eigenvalues are found explicitly in terms of the Chebyshev zeros and the
eigenvectors are found in terms of the polynomials satisfying the recurrence
relationship. For even ordered matrices, the situation is more complicated. The
problem in these cases is that although the Chebyshev recurrence formula is still
applied, its initial values are not generating Chebyshev polynomials.
Keywords: characteristic polynomial, Chebyshev polynomial, eigenvalues,
eigenvectors, tridiagonal 2-Toeplitz matrix
PENENTUAN NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN DARI
MATRIKS TRIDIAGONAL 2-TOEPLITZ DENGAN
PENDEKATAN POLINOMIAL CHEBYSHEV
MELIZA DITA UTAMI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penentuan Nilai Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal
2-Toeplitz dengan Pendekatan Polinomial Chebyshev
Nama
: Meliza Dita Utami
NIM
: G54090035
Disetujui oleh
Teduh Wulandari Mas’oed, MSi
Pembimbing II
Dra Nur Aliatiningtyas, MS
Pembimbing I
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala anugerahNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan dengan baik. Bidang yang
dipilih dalam karya ilmiah yang mulai dikerjakan oleh penulis sejak bulan
Desember 2012 ini adalah matematika murni, yang berjudul Penentuan Nilai
Eigen dan Vektor Eigen dari Matriks Tridiagonal 2-Toeplitzdengan Pendekatan
Polinomial Chebyshev.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra Nur Aliatiningtyas, MS dan
Ibu Teduh Wulandari Mas’oed, MSi selaku dosen pembimbing, serta Ibu Dra
Farida Hanum, MSi selaku dosen penguji yang telah banyak memberi saran. Di
samping itu, terima kasih kepada seluruh dosen dan staf Departemen Matematika
atas segala ilmu yang diberikan dan bantuannya selama masa perkuliahan.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada mama, papa, kedua adik dan
seluruh keluarga besar, atas segala dukungan, doa dan kasih sayangnya. Tak lupa
ucapan terima kasih untuk sahabat Matematika 46, kakak dan adik kelas, sahabat
SMA dan SMP, teman kos Wisma Gajah serta seluruh pihak yang telah
mendukung dan mendoakan penulis hingga terselesaikannya karya ilmiah ini.
Mohon maaf karena penulis tidak dapat menyebutkannya satu per satu.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Juli 2013
Meliza Dita Utami
DAFTAR ISI
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan
1
TINJAUAN PUSTAKA
2
Matriks
2
Determinan dan Sifat-Sifatnya
3
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
4
Polinomial Chebyshev
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Eigen
5
5
Vektor Eigen
15
Contoh Aplikasi
24
SIMPULAN DAN SARAN
28
Simpulan
28
Saran
28
DAFTAR PUSTAKA
28
RIWAYAT HIDUP
29
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Istilah ”eigen” di dalam bahasa Jerman mempunyai arti ”asli”. Beberapa
penulis menamakan nilai eigen dengan
nilai asli, nilai karakteristik
(characteristic value), atau akar laten (latent root). Dalam bahasa yang lebih
mudah, nilai eigen merupakan suatu nilai yang menunjukkan seberapa besar
pengaruh suatu variabel terhadap pembentukan karakteristik sebuah matriks.
Dalam aljabar linear, sering kali ditemukan persamaan Ax = λx dengan A
merupakan suatu matriks dan jika persamaan tersebut mempunyai solusi taknol x,
maka λ disebut sebagai nilai eigen dari A dan x merupakan vektor eigen dari A
yang bersesuaian dengan λ.
Dalam karya ilmiah ini akan dicari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran n×n, dengan n merupakan suatu bilangan
bulat. Matriks tridiagonal adalah matriks yang mempunyai entri bernilai nol pada
selain diagonal utama, di bawah diagonal utama (subdiagonal) dan di atas
diagonal utama (superdiagonal).
Untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen dari suatu matriks dibutuhkan
polinomial karakteristik, sehingga dalam karya ilmiah ini terlebih dahulu akan
dibahas polinomial karakteristik dari suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz.
Polinomial karakteristik yang dimaksud adalah polinomial yang memenuhi suatu
sifat dari formula rekursif Chebyshev setelah dilakukan beberapa tranformasi
sederhana. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi tulisan MJC Gover (1994)
yang berjudul The Eigenproblem of a Tridiagonal 2-Toeplitz Matrix.
Tujuan
Tujuan dari karya ilmiah ini adalah untuk mencari nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap dan ganjil dengan
pendekatan polinomial Chebyshev untuk polinomial karakteristiknya.
2
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai definisi dari berbagai istilah yang
akan digunakan pada bab hasil dan pembahasan, seperti matriks, determinan dan
sifat-sifatnya, nilai eigen dan vektor eigen, serta polinomial Chebyshev yang juga
akan dilengkapi dengan contohnya.
Matriks
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan
contohnya, matriks tridiagonal r-Toeplitz dan contohnya, serta matriks tridiagonal
2-Toeplitz dan contohnya. Dalam (Zhang 1999), suatu matriks tridiagonal yang
berukuran
, dinotasikan sebagai Tn, adalah matriks dengan entri-entri tij= 0
jika |i – j| > 1 seperti matriks (1) berikut ini.
(1)
Tn =
Contoh:
Berikut merupakan contoh untuk matriks tridiagonal dengan n = 3.
T3 =
.
Entri-entri tepat di bawah diagonal utama dari matriks tridiagonal disebut
subdiagonal dan entri-entri tepat di atas diagonal utama dari matriks tridiagonal
disebut superdiagonal (Kouachi 2006). Dalam (Gover 1994), suatu matriks
tridiagonal r-Toeplitz yang berukuran
, dinotasikan sebagai Cn, adalah
matriks tridiagonal dengan entri-entri cij yang memenuhi ci+r, j+r = cijdengan i, j =
1, 2, ..., n - r seperti matriks (2) berikut ini.
Cn =
(2)
3
Contoh:
Berikut ini akan dibahas contoh untuk r = 1, 2, dan 3 jika diberikan matriks
tridiagonal dengan n = 5.
Jika r = 1, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
Jika r = 2, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
(3)
Jika r = 3, maka diperoleh matriks C5 seperti di bawah ini
C5 =
Dalam (Gover 1994), suatu matriks tridiagonal 2-Toeplitz yang berukuran
, dinotasikan sebagai Bn, adalah matriks tridiagonal dengan entri-entri
bijyang memenuhi bi+2, j+2 = bijdengan i, j = 1, 2, ..., n -2seperti matriks (4) berikut
ini.
Bn =
(4)
Contoh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan n = 5 sama seperti pada
matriks (3).
Determinan dan Sifat-Sifatnya
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari determinan dan sifatsifatnya. Determinan dari suatu matriks A berorde n×n, dinotasikan sebagai
det(A), adalah suatu skalar yang diasosiasikan dengan matriks A dan didefinisikan
secara induktif sebagai:
det(A) =
dengan A1j = (-1)1 + j det (M1j), j = 1, ..., n adalah kofaktor-kofaktor yang
diasosiasikan dengan entri-entri dalam baris pertama dari Adan M1j menyatakan
4
matriks
kolom yang mengandung
2001).
yang diperoleh dari A dengan menghapus baris dan
. Determinan dari M1j disebut minor dari
(Leon
Operasi Baris
I. Pertukaran dua baris (atau kolom) dari suatu matriks akan mengubah tanda
dari determinan.
II. Mengalikan satu baris atau kolom dari suatu matriks dengan suatu skalar
sama akibatnya dengan mengalikan nilai dari determinan dengan skalar
tersebut.
III. Menjumlahkan perkalian dari satu baris (atau kolom) pada baris lain (atau
kolom lain) tidak akan mengubah nilai dari determinan (Leon 2001).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dari nilai eigen, vektor eigen,
persamaan karakteristik dan polinomial karakteristik dari suatu matriks.
Misalkan A adalah suatu matriks
. Skalar λ disebut nilai eigen atau
nilai karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax = λx.
Vektor x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang berpadanan dengan
nilai eigen λ. Persamaan Ax = λx dapat dituliskan dalam bentuk
(A – λI)x = 0.
(5)
Persamaan (5) akan mempunyai penyelesaian taktrivial jika dan hanya jika A – λI
singular atau secara ekivalen
det(A – λI) x = 0.
(6)
Jika determinan pada persamaan (6) diuraikan, maka diperoleh suatu polinomial
berderajat n dalam peubah λ
p(λ) = det(A – λI).
Polinomial ini disebut polinomial karakteristik dan persamaan (6) disebut
persamaan karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinomial karakteristik
adalah nilai eigen dari A (Leon 2001).
Polinomial Chebyshev
Berikut ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh dari polinomial
Chebyshev dan akarnya. Dalam (Gover 1994), polinomial Chebyshev merupakan
suatu polinomial yang memenuhi formula rekursif
=
.Akar dari polinomial Chebyshev pn(µ) dengan polinomial awal
dan
=
adalah
, r = 1, 2, ..., n.
Contoh:
Untuk n = 3, diperoleh:
5
= ,
=
, dan
=
=
=
.
Akar dari
ialah sebagai berikut:
r = 1, maka
=
=
=2
r = 2, maka
=
=
r = 3, maka
=
= 0,
=
,
=
=2
.
=
HASIL DAN PEMBAHASAN
Nilai Eigen
Misalkan diberikan matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde n×n dalam
bentuk sebagai berikut:
Bn =
,
(7)
sehingga untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde genap dapat dituliskan
seperti di bawah ini
B2m =
dan untuk orde ganjil yaitu
(8)
6
B2m+1=
.
(9)
Salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil
tersebut adalah λ = seperti yang dinyatakan dalam Lema 1 berikut ini.
Lema 1
Jika n = 2m + 1, matriks Bn pada (7) mempunyai nilai eigen yaitu λ =
.
Bukti:
Akan dibuktikan λ =
merupakan nilai eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz berorde ganjil. Untuk membuktikannya,cukup dibuktikan bahwa | Bn I | = | B2m+1 - I | = 0.
| B2m+1 -
I|
=
–
=
=
Selanjutnya akan dilakukan operasi:
baris(2i + 1) – c baris(2i - 1), untuk i = 1, 2, ..., m
secara berurutan pada baris terbaru, dengan
c=
.
Untuk i = 1, maka baris(3) akan menjadi
(10)
7
baris(3) –
baris(1) =
.
Untuk i = 2, maka baris(5) akan menjadi
baris(5) – baris(3) =
.
Untuk i = 3, maka baris(7) akan menjadi
baris(7) – baris(5) =
.
Operasi tersebut hanya dilakukan pada baris ganjil dan akan berakhir pada baris
terakhir yaitu baris 2m + 1, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut:
| B2m+1 -
I|=
Karena semua elemen pada baris terakhir bernilai nol, maka terbukti bahwa
| B2m+1 - I | = 0. Hal tersebut membuktikan bahwa merupakan salah satu nilai
eigen dari B2m+1.
■
Hasil dari Lema 1 di atas menunjukkan bahwa
merupakan faktor
dari | B2m+1 - I |. Untuk menentukan nilai eigen selanjutnya dari matriks B2m+1
pada (9) dan nilai eigen dari matriks Bnpada (8), maka akan dicari terlebih dahulu
polinomial karakteristik untuk kedua matriks tersebut. Polinomial karakteristik
untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz akan dibahas pada Teorema 1 berikut ini.
Sebelumnya didefinisikan terlebih dahulu
,
(11)
sehingga akan diperoleh hasil berikut ini.
Teorema 1
Jika diberikan matriks Bn seperti pada (7) dan v pada (11), maka untuk
setiap m∈ , berlaku
dengan
dan
formula rekursif
adalah polinomial berderajat m yang memenuhi
(14)
dan
dengan polinomial awal
didefinisikan pada (10) dan
,
(15)
, serta c seperti yang
dan
.
(16)
8
Bukti:
Orde genap
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari Bn adalah
.
| B2m - I |
=
=
=
=(
=(
| B2m-1 - I |
=(
| B2m-1 - I |
| B2m-2 - I |
Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan
9
| B2m - I | = (
Basis Induksi
| B2m-1 - I |
| B2m-2 - I | =
.
: Untuk m = 1, berlaku | B2 - I | =
=(
–
=
–
=
–
=
.
Hipotesis Induksi :Anggap benar | B2m-1 - I | =
dan | B2m-2 - I | =
, untuk m 2.
Langkah Induksi :
| B2m– I | = (
| B2m-1– I | | B2m-2– I |
=(
=
=
=
=
.
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
berorde genap adalah
.
Orde ganjil
Akan dibuktikan polinomial karakteristik dari B2m+1 adalah
.
| B2m+1 - I |
=
10
–
=
=
=(
=(
| B2m - I | -
=(
| B2m - I | -
| B2m-1 - I |
Selanjutnya akan dilakukan induksi matematik untuk membuktikan persamaan
| B2m+1 - I | = (
| B2m - I | | B2m-1 - I | =
.
: Untuk m = 0, berlaku | B1 - I | =
: Anggap benar | B2m-1 - I |=
untuk m 1.
Langkah Induksi
:
| B2m+1 - I | = (
| B2m - I | | B2m-1 - I |
Basis Induksi
Hipotesis Induksi
=(
-
=
.
11
=(
=(
(
=(
(
=(
(
=
=
Jadi, terbukti bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
■
berorde ganjil adalah
Selanjutnya akan dibuktikan bahwa
dan
pada (15) dan (14)
memenuhi formula rekursif baru setelah dilakukan transformasi sederhana untuk
kedua persamaan tersebut yang akan ditunjukkan oleh Teorema 2 berikut.
Teorema 2
Jika
dan
memenuhi (15) dan (14) secara berturut-turut, dengan
, maka
,
(17)
,
(18)
dan
,
(19)
dengan c dan d seperti yang didefinisikan pada (10) dan (16).
dan
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (17), (18), dan (19).
Bukti persamaan (17)
Diketahui persamaan (15) yaitu
maka akan diperoleh
,
.
(20)
Substitusikan persamaan di atas ke (14), sehingga
=
=
=
=
.
(21)
Dari (20) diperoleh
=
.
Selanjutnya persamaan di atas dapat disubstitusikan ke (21) dan diperoleh
=
12
=
=
Bukti persamaan (18)
Diketahui persamaan (14) yaitu
=
.
, maka
=
.
Dari persamaan di atas, diperoleh
Selanjutnya substitusikan
=
.
dan
ke (15) dan diperoleh
=
=
=
=
.
Bukti persamaan (19)
Untuk m = 1, maka dari (14) dan (15) akan diperoleh
=
=
=1
dan
=
=
=
=
■
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan melakukan beberapa substitusi,
persamaan (17) dan (18) dapat direduksi menjadi formula rekursif Chebyshev
yang disajikan dalam Lema 2 berikut ini.
Lema 2
Diberikan matriks Bn pada (7). Jika didefinisikan
(22)
dengan
(23)
dan
,
,
(24)
maka persamaan (17) dan (18) berturut-turut menjadi
(25)
dan
,
(26)
dengan polinomial awal sebagai berikut
,
,
,
dan
.
(27)
13
Bukti:
Akan dibuktikan persamaan (25), (26), dan polinomial awal untuk
dan
seperti pada (27).
Persamaan
dapat diubah dalam bentuk berikut ini
.
dapat dituliskan menjadi
Akibatnya, persamaan (24) untuk
,
dan diperoleh pula persamaan untuk
(28)
(29)
berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (17) ke persamaan di atas, maka akan
diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
Persamaan (24) untuk
.
dapat dituliskan menjadi
,
dan diperoleh pula persamaan untuk
(30)
berikut
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (18) ke persamaan di atas, maka akan
diperoleh
=
=
=
=
=
=
=
.
Dengan menyubstitusikan persamaan (19) ke persamaan (29) dan (30), maka
diperoleh hasil sebagai berikut:
14
=
= 1,
=
=
=
=
= ,
=
= 1, dan
=
=
=
=
=
■
.
Berdasarkan polinomial awal di atas, jelas bahwa
merupakan suatu
polinomial Chebyshev, sedangkan
bukan polinomial Chebyshev karena
.
Karena
adalah
merupakan suatu polinomial Chebyshev, maka akar dari
,
r = 1, 2, ..., m.
(31)
Dengan menyubstitusikan persamaan (31) di atas ke persamaan (28), maka akan
diperoleh
, r = 1, 2, ..., m.
(32)
Selanjutnya dari persamaan (11) dan (32) dapat ditentukan nilai eigen lainnya
untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde ganjil yang akan dijelaskan oleh
Teorema 3 di bawah ini.
Teorema 3
Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m + 1 pada (9)
adalah dan solusi dari persamaan kuadratik berikut
(
r = 1, 2, ..., m.
Bukti:
Dari persamaan (11) dan (32) diperoleh hasil berikut ini
,
(33)
15
=
(
=
(
=
(
=
(
=
(
.
■
Sementara itu, karena
bukan merupakan polinomial Chebyshev,
maka dimisalkan bahwa akar dari
adalah
. Dengan
merupakan
suatu fungsi dari r. Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (28), maka akan
diperoleh
,
r = 1, 2, ..., m.
(34)
Selanjutnya dari persamaan (11) dan (34) dapat ditentukan nilai eigen untuk
matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yang akan dijelaskan oleh Teorema 4 di
bawah ini.
Teorema 4
Nilai eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz dengan orde 2m pada (8)
adalah solusi dari persamaan kuadratik berikut
(
,
r = 1, 2, ..., m.
(35)
Bukti:
Dari persamaan (11) dan (34) diperoleh hasil berikut ini
=
(
(
=
=
(
=
(
=
(
.
■
Vektor Eigen
Pada Teorema 5 berikut ini akan ditentukan vektor eigen yang bersesuaian
dengan setiap nilai eigen yang diperoleh untuk matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde
ganjil.
Teorema 5
Vektor eigen dari matriks B2m+1 pada (9) yang bersesuaian dengan nilai
eigen adalah
16
.
x1 =
Vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen
persamaan kuadratik pada (33) adalah
,
x2 =
dengan s =
dan Pr = 2 cos
yang merupakan solusi dari
(36)
yang merupakan akar dari
.
Bukti:
Untuk membuktikan Teorema 5 di atas sama halnya dengan membuktikan
dan
.
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari dua kasus berikut:
(i) Baris ganjil (1, 3, 5, ...,
)
Untuk setiap baris ganjil dari
, dari perkalian matriks
tersebut jelas diperoleh hasil yang bernilai nol.
(ii) Baris genap (2, 4, 6, ..., m)
Untuk setiap baris genap dari
, diperoleh hasil sebagai
berikut:
=
=
=0
Jadi, terbukti bahwa setiap baris dari
adalah nol.
17
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
(i) Baris 1
Akan dibuktikan baris pertama dari
bernilai nol.
Baris pertama dari
adalah
=
=
Karena
, maka diperoleh
.
Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari
(ii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris genap dari
Untuk setiap baris genap akan diperoleh:
=
adalah nol.
bernilai nol.
=
=
=
(37)
Karena
, maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
=
.
18
Dari persamaan (24) diperoleh
dan
.
(38)
Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke
,
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
=
Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (37), maka
diperoleh:
=
=
=
=
=
=
=
= 0.
Jadi, terbukti setiap baris genap dari
(iii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari
baris terakhir akan bernilai nol.
Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh:
=
bernilai nol.
, kecuali pada
=
Dari persamaan (38), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
=
(39)
19
=
=
=
=
=
=
=
=
.
(40)
Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan
(39), maka akan diperoleh hasil berikut ini
=
=
=
=
=
=
=
=
(41)
Karena
,
maka
.
Akibatnya, persamaan (41) menjadi nol.
Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil, kecuali pada baris terakhir dari
bernilai nol.
(iv) Baris
Akan dibuktikan baris terakhir dari
Untuk baris
atau baris terakhir dari
diperoleh hasil sebagai berikut
=
bernilai nol.
akan
20
(42)
=
Dari persamaan (40) diperoleh
=
.
Dengan menyubstitusikannya ke persamaan (42), diperoleh hasil berikut
=
=
=
=
=
=
(43)
Karena
dan
merupakan akar dari
, maka hasil dari persamaan (43) adalah nol.
Jadi, terbukti bahwa baris terakhir dari
Akibatnya, semua baris dari
bernilai nol.
adalah nol.
Karena setiap baris dari
dan
bernilai
nol, maka terbukti bahwa
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan
nilai eigen dan
merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai
eigen .
■
Selanjutnya untuk memperoleh vektor eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz orde genap akan dibahas pada Teorema 6 berikut ini.
Teorema 6
Vektor eigen dari matriks B2m pada (8) yang bersesuaian dengan nilai eigen
nilai eigen yang merupakan solusi dari (35) adalah
x=
,
(44)
21
dengan s =
dan
merupakan akar dari
.
Bukti:
Akan dibuktikan
*
.
Untuk membuktikan bahwa setiap baris dari hasil
adalah nol, akan ditentukan dari empat kasus berikut:
(i) Baris 1
Akan dibuktikan baris pertama dari
bernilai nol.
Baris pertama dari
adalah
=
=
Karena
, maka diperoleh
.
Jadi, terbukti bahwa baris pertama dari
adalah nol.
(ii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris genap, kecuali pada baris terakhir dari
bernilai nol.
Untuk setiap baris genap, kecuali baris terakhir akan diperoleh:
=
=
=
=
(45)
22
Karena
, maka persamaan di atas dapat dituliskan menjadi
=
.
Dari persamaan (24) diperoleh
dan
.
(46)
Selanjutnya substitusikan persamaan di atas ke
,
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
=
Dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan (45), maka
diperoleh:
=
=
=
=
=
=
=
= 0.
Jadi, terbukti setiap baris genap dari
(iii) Baris
Akan dibuktikan setiap baris ganjil dari
Untuk setiap baris tersebut akan diperoleh:
bernilai nol.
adalah nol.
=
=
(47)
23
Dari persamaan (46), maka persamaan (15) dapat dituliskan menjadi
=
=
=
=
=
=
=
=
=
.
(48)
Selanjutnya dengan menyubstitusikan persamaan di atas ke persamaan
(47), maka akan diperoleh hasil berikut ini
=
=
=
=
=
=
=
(49)
=
Karena
maka
Akibatnya, persamaan (49) menjadi nol.
Jadi, terbukti untuk setiap baris ganjil dari
,
.
bernilai nol.
(iv) Baris 2m
Akan dibuktikan bahwa baris terakhir dari
adalah nol.
Untuk baris terakhir dari
diperoleh hasil berikut ini
=
24
=
=
=
(50)
Pada poin (ii) sebelumnya telah ditunjukkan bahwa
,
sehingga persamaan (3.47) menjadi
=
=
(51)
Karena
merupakan akar dari polinomial
menjadi nol.
Jadi, terbukti baris terakhir dari
, maka persamaan (51)
■
adalah nol.
Contoh Aplikasi
Selanjutnya akan dibahas mengenai contoh aplikasi dari matriks tridiagonal
2-Toeplitz yaitu nilai eigen dan vektor eigen yang diperoleh dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear yang diperoleh dari persamaan
karakteristik dan yang diperoleh dengan menggunakan Lema dan Teorema yang
telah dibuktikan dalam bab Hasil dan Pembahasan.
Misal diberikan matriks B3 dengan m = 1 berikut ini.
.
B3 =
Terlebih dahulu akan dicari nilai eigen dari B3 dengan mencari solusi untuk λ dari
seperti di bawah ini.
=
=0
=0
=0
=0
=0
=0
1
=1
2
=8
3
(52)
= -5
Selanjutnya akan dicari vektor eigen yang bersesuaian dengan setiap nilai
eigen di atas yaitu mencari solusi untuk x dari
.
=
= 0.
25
Untuk 1 = 1, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
adalah dengan
2
adalah dengan
.
dan diperoleh solusi yaitu
Untuk 2 = 8, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
dan diperoleh solusi yaitu
1
.
Untuk 3 = -5, maka vektor eigen yang bersesuaian dengan
dengan mencari solusi SPL dari 3 persamaan berikut:
=0
=0
= 0,
dan diperoleh solusi yaitu
3
adalah
.
Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa dengan menggunakan Lema dan
Teorema yang telah dibahas sebelumnya akan menghasilkan nilai eigen dan
vektor eigen yang sama seperti di atas.
Berdasarkan Lema 1, salah satu nilai eigen dari matriks tridiagonal 2Toeplitz orde ganjil adalah λ = . Karena matriks B3 memiliki
yaitu 1, maka
salah satu nilai eigen untuk B3 adalah λ = 1.
Pada Teorema 1 dikatakan bahwa polinomial karakteristik untuk B2m+1
adalah
, maka B3 akan memiliki polinomial karakteristik
yaitu
. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa polinomial
karakteristik yang dihasilkan dengan menggunakan Teorema 1 sama dengan
polinomial pada (52).
=
Karena
, maka
=
=
=
,
26
sehingga diperoleh
=
=
=
=
=
.
Selanjutnya dengan menggunakan Teorema 3, akan ditunjukkan nilai eigen
lainnya untuk B3 merupakan solusi dari persamaan
(
,
dengan r = 1 akan menghasilkan nilai eigen yaitu 8 dan -5.
=0
(
=0
(
(
=0
=0
=0
=0
(
Akibatnya, diperoleh solusi untuk nilai eigen B3 dengan r = 1 yaitu 8 dan -5.
Dengan menggunakan Teorema 5, akan diperoleh vektor eigen yang
bersesuaian dengan nilai eigen dari Teorema 3 sebagai berikut.
(i) Untuk nilai eigen
dengan m = 1, vektor eigen yang
bersesuaian dengannya adalah
Karena
dan
.
(ii) Untuk nilai eigen
= 8, vektor
dengannyamenurut Teorema 5 adalah
x=
.
, maka
eigen
,
dengan
sehingga
= 1,
=
=
=
yang
= ,
bersesuaian
27
=
=
=
=
= 2.
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
= 8 adalah
.
x=
(iii) Untuk nilai eigen
= -5, vektor eigen yang bersesuaian dengannya
menurut Teorema 5 adalah
dengan
x=
,
sehingga
= 1,
=
=
,
=
=
=
=
=
=
= 2.
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
.
= -5 adalah
28
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan sebelumnya, dapat
disimpulkan bahwa polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz
sangat erat hubungannya dengan polinomial Chebyshev. Ketika matriks
tridiagonal 2-Toeplitz berorde ganjil, maka nilai eigen dan vektor eigennya dapat
ditentukan secara eksplisit dari aturan akar polinomial Chebyshev. Untuk matriks
tridiagonal 2-Toeplitz berorde genap, kondisinya lebih kompleks. Untuk mencari
nilai eigen dan vektor eigennya, formula rekursif Chebyshev tetap digunakan,
walaupun nilai awalnya tidak menghasilkan polinomial Chebyshev.
Saran
Bagi yang berminat untuk memperluas tema dari karya ilmiah ini, penulis
menyarankan untuk melanjutkan pembahasan mengenai nilai eigen dan vektor
eigen dari matriks tridiagonal 2-Toeplitz orde genap yaitu dengan menemukan
akar dari polinomial
, membahas nilai eigen dan vektor eigen dari matriks
tridiagonal r-Toeplitz, serta dapat pula membahas invers dari matriks Toeplitz.
DAFTAR PUSTAKA
Gover MJC. 1994. The eigenproblem of a tridiagonal 2-Toeplitz matrix. Linear
Algebra and Its Applications.198(1):63-78.doi:10.1016/0024-3795(94)904812.
Kouachi S. 2006. Eigenvalues and eigenvectors of tridiagonal matrices. ELA.
15(1):115-133.doi:10.4064/am35-1-7.
Leon SJ. 2001. Aljabar Linear dan Aplikasinya. Ed ke-5. Bondan A, penerjemah.
Jakarta (ID): Erlangga. Terjemahan dari: Linear Algebra with Applications.
Zhang F. 1999. Matrix Theory: Basic Results and Techniques. New York (US):
Springer-Verlag.
29
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Tangerang pada tanggal 20 Mei 1991. Penulis
merupakan putri pertama dari tiga bersaudara dari Bapak Asmitrial dan Ibu
Netkornita. Tahun 2009 penulis lulus dari SMA Negeri 32 Jakarta dan pada tahun
yang sama penulis diterima sebagai mahasiswi Institut Pertanian Bogor (IPB)
melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis tercatat sebagai
mahasiswi Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam (FMIPA).
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif di berbagai kegiatan organisasi
dan kepanitiaan. Penulis aktif tergabung dalam kepengurusan Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) selama dua periode, yaitu 2011 dan 2012. Selama dua
tahun tersebut, penulis diamanahi sebagai Bendahara Biro Kesekretariatan dan
Bendahara Umum. Selain itu, penulis juga aktif dalam kegiatan kepanitiaan,
diantaranya menjadi salah satu anggota divisi konsumsi dari kegiatan Political
Training tahun 2010, bendahara divisi Publikasi, Dekorasi, dan Dokumentasi
(PDD) dari Sport and Art Competition on MIPA Faculty (SPIRIT) tahun 2011,
anggota divisi Penanggung Jawab Keluarga (PJK) dari Masa Perkenalan
Departemen Matematika (MPD) tahun 2011, anggota divisi Publikasi, Dekorasi,
dan Dokumentasi (PDD) dari Masa Perkenalan Fakultas MIPA (MPF) tahun
2011, anggota divisi Dana Usaha (Danus) dari Matematika Ria yang merupakan
bagian dari kegiatan Pesta Sains Nasional 2011, anggota divisi Acara Math
Camp2011, anggota divisi Dekorasi dan Dokumentasi (DDD) dari Matematika
Ria 2012.