Penggunaan Metode Homotopi Untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan Di Tiga Danau Yang Saling Terhubung
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
A. T. WIBOW0 1, JAHARUDDIN2, DAN A. KUSNANT0
2
Abstrak
Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah
satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun
suatu model matematika. Dalam artikel ini ditinjau model penyebaran
polutan pada tiga danau yang sating terhubung dan diselesaikan dengan
menggunakan metode analisis homotopi. Dalam metode analisis homotopi,
didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan
diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode
perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Graflk fungsi
penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan
berdasarkan bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama.
Kata kuoci: model penyebaran polutan, metode analisis homotopi, masalah
taklinear.
PENDAHULUAN
...
Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau
dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam
lingkungan hidup oleh kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke
tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai
dengan peruntukkannya. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju
pcrencaoaan untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada
danaujiapat dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu
pcnyebaran jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan
pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian
pencemaran yang terjadi.
Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul
pada model matematika. Dalam artikel ini, akan ditinjau masalah laju alir jumlah
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung. Masalah ini
pemah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model matematika tersebut
dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Bebcrapa penelitian
difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik untuk memeroleh
penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu persamaan diferensial.
Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model laju alir
1
Mahasiswa Program Sarjana, Departcmcn Matematika. Fakultas llmu Pcngetahuan Alam. Jalan
Mcranti Kampus IPB Dramaga Bogor, 16680.
ｄｾ ｣ｰ｡ｲｴｭｮ＠
Matcmatika. Fakuhas llmu Pcngctahuan Alam, Jalan Mcranti Karnpus IPB Dramaga
Bogor, 16680.
80
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung adalah metode
aproksimasi Pade' (Merdan 2008), metode perturbasi (Merdan 2009), metode
modifikasi transformasi diferensial (Merdan 20 I0), dan metode iterasi variasi
(Biazar et al. 20 l 0).
Dalam artikel ini akan digunakan metode analisis homotopi (Liao 2004)
untuk menyelesaikan model laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling
terhubung. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode analisis homotopi akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).
FORMULAS! MATEMATIKA
Berikut ini akan dibahas masalah laju alir jumlah polutan tiga danau sating
terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.
sumber
polutan
Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling
terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara
Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau
Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan
olch anak panah pada Gambar 1. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari
sumber polutan. Di dalam danau pertarna polutan dapat mengalir ke danau kedua
dan ketiga. Pada danau kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga,
scdangkan di danau ketiga, polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau
pcrtama. Aliran ini dapat disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan
pada Gambar 2.
,.
81
JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92
F31
..
'
p(t)
Sumber
Polutan
'i
_I Danau l I
I
F21
I Danau 2 I
I
FJ2
I
I
,,
: Danau 3
Ｇ ｾ＠
I
F1 3
Gambar 2 Bagan aliran jumlah pol utan pada tiga danau
Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu
dilambangkan dengan p{t), dan konstanta Fj; dinyatakan sebagai laju aliran
volume polutan dari danau i ke danauj. Misalkan x;(l) merupakan jumlah polutan
dalam danau i pada t 2: 0, dengan i = l, 2, 3. Diasumsikan polutan di masingmasing danau tersebar secara merata di sepanjang danau oleh proses pencampuran,
dan volume air V; di danau i tetap untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi
bersifat homogen dan tidak menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana,
sehingga konsentrasi polutan di danau i pada waktu t diberikan oleh
X;(l)
C;(t)
= v·
I
Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga x;(O) = 0
untuk setiap i = 1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danauj pada setiap waktu
t, ' j;(t) didefinisikan sebagai berikut:
rJI··(t)
Fj,
=FJI·C.(t) = -vx·(t)
I
I
•
I
...
'
Besaran rp(t) digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di danau
i yang mcngalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran, total
laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang masuk
dan keluar. Menerapkan prinsip ini untuk setiap danau menghasilkan sistcm
persamaan diferensial orde pertama berikut:
F 13
x 1 (t)
--=p(t)+-x3(t)-(F21 +F31)-.
cfx 1(1)
ｾ＠
ｾ＠
ｾ＠
dx2(t)
Fi1
F31
dt
V1
Vi
- - =- x1(t)- - x2(t),
(1)
dr3 (t) F31
F 32
F 13
- - =-,-x 1(r)+-x 2 (t)--x 3 (t).
ｾｉ＠
V2
V3
dt
I
dengan
x;(t) jumlah polutan pada danau i dalam waktu t ｾ＠
'
I
0. dimana i = 1, 2, 3,
82
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Fj;
konstanta dari laju alir volume polutan dari danau i ke danau j,
p(t)
fungsi laju jumlah polutan saat masuk ke danau per unit waktu sebagai
sumber polutan,
V;
vo lume air di danau i, dimana i = l, 2, 3.
Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak berubah
selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke dalam danau
sama dengan laju alir volume polutan yang keluar dari danau, sehingga diperoleh
persarnaan berikut:
F13
= F21 + FJ1,
(2)
=F32,
FJ1+ F31
=
F13.
Dalarn artikel ini akan diselesaikan masalah ( l) dengan kendala (2) dan x,{O) = 0, i
= I, 2, 3 dengan menggunakan metode analisis homotopi dan membandingkan
hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan
(2009).
ANALISIS METODE
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi bcrdasarkan
pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:
A[y(t)] = 0.
(3)
Dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan
bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear L yang
memenuhi
(4)
L[f] = 0, bila/= 0.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
J((u(t,q),q) = ( 1 - q) L[u(t,q) - y 0 (t)] + qA [u(t,q)] ,
(5)
denganu fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada I dan parameter q.
FungSi y 0 (t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Pada saat q = 0,
persamaan (5) menjadi
Jf(u(t,0),0) = L[u(t,0) - y 0 (t)] ,
dan pada saat q = I menjadi
Jf(u(t,1), 1) =A[u(t,q)].
Berdasarka n persamaan (3) dan (4), maka penyclesaian persamaan Jf(u(t,0),0) = 0
dan Jf(u(t, I), l) = 0 masing-masing adalah u(t,O) = y 0 (t) , dan u(t, I) = y(t). Deret
Taylor untuk fungsi 11(t,q) terhadap q di sekitar q = 0 adalah
00
u(t,q)
= u(t,O ) +
I
m=l
1 amu(t, q)
iJ m
m.1
q
-
qm.
q=O
JMA. VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92
83
Misalkan dinotasikan
(t) =-l if'u(t,q)
m!
Ym
oqm
'I = 0
Karena u(t,O) = y 0 (t), maka
L
CX)
u(t, q)
= Yo(t) +
(6)
Ym (t)qm.
m =1
Karena u(t, l) = y(t), maka pada saat q = l diperoleh
L
CX)
y(t)
= Yo(t) +
(7)
Ym (t).
m = 1
Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan
Jf(u(t,q),q) = O atau (l - q) L[u(t,q) -y/t)] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan
tersebut diturunkan terhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q = 0, maka
diperoleh persamaan sebagai berikut:
(8)
L[ym(1) - XmYm. 1(t)] = - Rm(Ym - 1),
dengan
(9)
Hasil y m (t) pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8)
digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan
(7).
Berdasarkan persamaan ( l ), didefinisikan operator linear sebagai berikut:
ou,(t,q)
.
ot 'dengan, = 1,2,3,
F13
ou 1 (t,q)
F 13
A i[u, (t,q),u2(t,q),u3(t,q)] =
p(t)- V3 U3(t,q) +
L;[1t;(t,q)]
=
ct -
Yi"' (t,q),
ou 2(t,q) F 21
F32
A 2 [u 1(1,q),112(t,q),u3(t,q)] =
ot - Y;""' (t.q) + Vi t12(t,q),
( l 0)
011 3(1,q) F 31
F 32
F 13
- -y;-ui(t,q)- Vi 112(t,q) + VJ U3(t,q) .
01
dengan u1(t,q), u2 (1,q), dan u3 (t,q) fungsi yang bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi berdasarkan persamaan (3) sebagai berikut:
A 3[u 1(t,q),u2(t,q),u3(t,q)]
=
84
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Jf1 (x(t,q),q)=[x 1(t,q)-x 1,0(t)] +q [x 1.0(1)-p(t) -
1f2(x(t,q),q)=[x2(t,q)-x1.0(r)]+q [.x2•0 (1)- ｾ
Ｑ
Ｑ＠
ｾＺ＠
x 3(t,q )+ ｾ
x 1(r,q)+ ｾ
Ｓ＠
Ｑ x (t,q)],
1
l
ｾ＠
Ｒ x (t,q)].
Ｒ＠
2
.
.
]
F31
Jf3(x(t,q).q)= [X3(t,q)-x3,o(t)
+q [·X3 ,o (t)-Vix1
(t,q)- F32
V2 X2(t,q)+ F13
V3 X3(t,q) ] .
Berdasarkan persamaan (8) dan fungsi homotopi tersebut di atas, maka diperoleh
persamaan berikut:
£1 [x1,m(l)-XmX1,m-I (1)] =-R1.m(X1.m-l1Xl,m-l •XJ.m-d,
£2 [x2.m(t)-Xn,X2.m-I (t)] =-R2.m(X1.m-t•X2.m-l ,XJ.m-1 ),
( 11)
£3 [x3.m(1)-"X.mXJ.m-I (t)] =-R3.m(X1.m-t •X2.m-t •XJ.m-1 ),
dengan
...
...
)- OX1.m-1(/) F [XJ.nr-1(/) Xi.nr-1(/)]
R (...
l.m X1.m-l•x2.m-l•x3.m-1 13
V3 Vi
ot I
0'1- 1p(t)
,
(m-1)! 0 m-1
q=O
q
...
...
...
)- OX2,m-1(l)
[Xz.m-1(1) X1.m-1(t)]
Ri,m (X1.m-t 1X2,m-l•XJ.m-1 iJt
-F21
Vi - v
'
(12)
1
R (...
3.m
..
...
) - OXJ.111-1{!) F X1,m-1(t) F X2.m-1(t)
Xi.m-l •X2.m-l •x3.m-1 dt
13 v
32
v
1
2
X3 m-1(1)
+Fu . V3 .
Misalkan penyelesaian pendekatan awal x1,0 (t)=r 1 , x 2•0 (t)=r2 , dan x3.0(t)=r3 •
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan ( l) dengan metode analisis homotopi
hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:
x 1(t)=x 1.0(1)+x1,1 (r) + x1,2(I) + x1,3(t) + x 1.4(t) + x1.5(t) + x 1,6(t),
X2(t)=x2.o(t)+x2 .1 (t) + X2,2 (I) + X2,3(l) + X2,4(l) + X2.s(t) + X2.6(1),
X3(t)=x3.o(t)+x3,1(1) + x3.2(t) + X3,3(t) + X3.4(t) + X3,5(1) + X3 ,6(1).
'
APLIKASI METODE
Pada bagian ini metode analisis homotopi akan diaplikasikan dengan
masukan data-data sebagai berikut:
• jumlah polutan yang masuk ke danau i pada saat t = 0 adalah ,.i = 0, i = 1,2,3,
3
• volume konstan dari setiap danau adalah V1 = 2900 mi 3 , V2 = 850 mi ,
3
V3 = 1180 mi ,
J
JMA, VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92
"
85
• laju aliran volume polutan ke dalam suatu danau dari danau lainnya tiap
3
tahunnya adalah F21 = 18 mi 3/tahun, F 32 = 18 mi3/tahun, F31 = 20 mi /tahun
dan F 13 = 38 mi3 /tahun. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala
yang diperoleh pada persarnaan (2).
Dalam artikel ini, ditinjau dua kasus laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau
pertarna dari sumber polutan yaitu:
1.
Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terns menerus secara
linear bingga waktu tertentu.
11.
Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumJah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik
terhadap waktu.
Sumber Polutao Berupa Fungsi Konstan
Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
p(t) =
{Ctn ; t
0; t
$ to
> t0 ,
Dengan C1,, adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran
terjadi hingga waktu to dan nilai p(t) = 0 setelah waktu to Asumsikan C;,, = l 00
polutan per satuan waktu. t 0 = I0 yang menyatakan bahwa laju alir jumlah polutan
yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per
tahun untuk selama 10 tahun. Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah
diberikan dengan p(t) = 100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang r ::; 10
sebagai berikut :
x1 (t)
= 4,37 x 10·10exp(-0,0331) (l ,34 x I0 11 exp(0,0331)1 + 2,81 x 10 12exp(0,033t)
Xz (t)
=
+7,874x I0 10 sin(7,37x l0"3 t)-2,81 x l0 1:?cos(7,37x l0-3 t)),
7,69x I 0·3exp(-0,033!) {2,242 x I0 10 exp(0,0331)1 - 5,895 x 10 11 exp(0,033t)
- 3,83 x 10 11 si11(7,37 x 10"3 t) + 5,895 x 1011 cos(7,37x 10·3 t)) ,
x 3 (t) = 7,117x I0- 10exp(-0,033t) {3,36 xl0 10 exp(0,033t)t - 1,092 xl0 12 exp(0,033t)
+ 4,38 x 10 11 sin(? ,37 x I0"3 t) + 1,092 x 10 12 cos(7,37 x 10"3 t )) _
Berikut ini dibcrikan Tabet I yaitu selisih antara penyelesaian metodc homotopi
dcngan penyelesaian eksaknya. Tabet 2 ya itu setisih antara penyelesaian metode
perturbasi homotopi yang diperoteh dari (Merdan 2009) dengan penyelesaian
eksaknya. Berdasarkan Tabet I dan Tabel 2, metodc anatisis homotopi memiliki
penyelesaian yang menghampiri pcnyelesaian eksaknya. Selisih galat yang
dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang t sangat kecil.
86
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
TABEL I
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
0
0.1
0.2
0.3
0.4
o.s
0.6
0.7
0.8
0.9
J.0
0
3.32653x ＱＰ ｾ＠
2.65734 x 10·5
8.95546 x 10-5
2.11968 x 104
4.13398 x 104
7.13314 x 104
1.13107 x 10·3
1.68591 x 10·3
2.39696 x 10-3
3.28324 x 10-3
0
5.16117x 10·10
8.24475 x 10-9
4.16727 x 10-8
1.31497 x 10·1
3.20528 x 10·1
6.63593 x 10·7
1.22744 x ＱＰ ｾ＠
2.09063 x 10.()
3.34348 x ＱＰ ｾ＠
5.08792 x I0-6
0
3.09877x 10-3
l.23764 x 10·2
2.7805 x 10-2
4.93567 x 10·2
7. 7004 x 10·2
0.1107 19
0.150475
0.196245
0.248001
0.305716
TABEL 2
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus penama
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1.86517 x 10- 13
2.62901 x 10·13
1.42109 x 10·14
I. 77636 x I0" 13
2.20268 x 10· 13
2.55795 x 10·13
2.13163 x 10·13
1.42109 x 10· 14
4.68958 x I 0- 13
1.1 3687 x 10· 12
5.69328 x 10·14
1.28664 x 10·14
2.2999 x 10·14
8.40994 X I0"15
7.43572 x 10·14
1.27842 x io·13
2.83829 x 10·13
6.96609 x 10·13
1.5 3211 x 10·12
3.35787 x 10·12
o.s
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
1.78191 x 10·14
14
9.88046 x 1014
2. 78458 x 10·
1.31867 x 10"13
1.08483 x 10·13
2.03 171 x 10· 14
13
2.2 1656 x 10·
5.46979 x 10· 13
12
1.0 l 069 x I012
2.3 1043 x 10·
Gambar 3 berikut ini merupakan penyelesaian eksak persamaan (I) untuk
kasus pertama. Gambar 3 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk
x1(t), x2(1), dan x3(1).
87
JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92
'
Xt (t)
eoo
'
600
400
.
.....
...
"-
IH
,
Ut
200
0
Ｍｾｴ＠
ＫＭｾ
100
200
300
aoo
JO
UO 100
1'0
JOO
3'0
ｴ＠
X3(t)
1
lOO
IJO
100
so
St
100
1.SO 2t0
l$t
101
HO
Gambar 3 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (I) pada kasus pertama
•
Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa semakin besar nilai t untuk selang
waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada
selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil, tetapi setiap danau
mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada danau pertama, jumlah
polutan menurun hingga konvergen ke 588,234. sedangkan pada danau kedua dan
danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga masing-masing
konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan
yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas l 0 tahun (p(t) = 0, t > I0)
dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau. Jika perubahan jumlah polutan
dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang I tahun diamati, maka danau
pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah
polutan sebesar 99,67; 0, 15; 0,33. Jumlah dari ketiga hasil tersebut sama dengan
laju perubahan jumlah polutan yang berada di ketiga danau yaitu 100
polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan ketiga danau meningkat
sccara linear berganlung pada fungsi konstan p(t) yang diberikan yaitu bernilai
I00. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan akan
menyebar ke setiap danau.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
p(t) = Ci(l
2rrt
+ a sin(T)),
dengan
a
simpangan normal yang memcngaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi
p(t) dan selalu bemilai antara 0 dan I,
88
A. T. WlBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses
pencampuran,
C, rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.
Agar laju alir jumJah polutan tersebut selalu bemilai positif dan berubah-ubah
secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan C; = l 00, a = l, dan
T = 2x.
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi
p(I) = 100( I +sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:
x 1 (t) = -l, l 90x 10·3 exp(-0,0331) cos(7,37x10-3 ,) + 39,68exp(-0,033t)sin(7,37 xl0·3 t)
T
J
'
·.·
+ 1,31 sin(t)- 99,96 cos(1) + 58,82t + 1.290,48,
x 2 (t) = -287,32exp(-0,033t)sin(7,37x10·3 1) + 436,95elp(-0,033t) cos(7,37x10·3 1)
- 0,62sin(t)- 0,02 cos(t) + I7,24t - 435,93,
x 3 (1) = 2.476.40exp(-0,033t)sin(7,37 x10' 3t) + 753,56exp(-0,033t)cos(7,37 xl0'3 t)
- 0,689 fin(t) - 0,018 cos(t) + 23,931 - 753,55.
'
I
I
Berikut inrdiberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode analisis
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabet 4 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
TABEL 3
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
I ,
0
0.1
0.2
0.J
0.4
0.5
0.6
0. 7
0.8
0.9
1.0
2.26849 x 10·14
3.40969 x 10-6
2.79011 X 10·S
9.62569 X JO·S
2.33077x I0-1
4.64719 x 10-4
8.19217 x 10-4
1.32619 x I0-J
2.01673 x 10·3
2.92326 x 10·3
4.0794 x 10·3
1
3.692 16 x 10·14
3.56857 x 10""
1.4755 X 10.J
3.42761 X I0.3
6.28377x 10-3
1.01128 x 10-2
1.4981 x 10-2
2.09517 x I0·2
2.80844 x 10·2
3.64345 x io·2
4.60525 x io·2
4.98677 x 10- 14
3.5589 x 10·3
l.4676 X 10·2
3.40037 X 10-2
6.21788x 10-2
9.98152 x 10-2
0.147498
0.205777
0.275162
0.356116
0.44905
..
89
JMA, VOL. 12, NO. l, JULI 2013, 79-92
•
TABEL4
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua
I
lx11ipm (t)·Xttks(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2.26849 x 10·ll
14
4.61853 x 10·
13
2.77112 x 10·
0
l.20792 x 10·• 3
3.55271x10· 14
13
l.563J9x10·
14
1.42109x 10·
14
4.26326x I0·
5.l 1591x10· 13
l.05 I6x I0- 12
o.s
0.6
0. 7
0.8
0.9
1.0
I
lx21ip111 (t)-X2eks(t)
14
I
lx31ipm(t)-x3tks(t)
14
I
4.98677 x 10·
3.56857 x 104
l.47551 x 10·3
3.42765 x 10·3
6.28391 x 10·3
1.01131 x 10·2
1.49817 x 10·2
2.09531 x 10·2
2.80868 x 10·2
3.64384 x 10·2
4.60586 x 10·2
3.69216 x 10·
3.56857 x 104
1.47551 x 10·3
3.42765 x 10·3
6.28391 x 10·3
1.01131 x 10-2
1.49817 x 10·2
2.09531 x 10·2
2.80868 x 10·2
3.64384 x 10·2
4.60586 x 10·2
Dari Tabel 3 dan Tabel 4, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasil.kan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.
Gambar 4 merupakan penyelesaian eksak persamaan ( l) untuk kasus kedua.
Gambar 4 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk x 1(t), x2(t), dan
X3(t).
x1(t)
•
·-
s
10
15
X3(t)
120
100
80
60
40
20
.5
10
1.5
20
Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (I) pada kasus kedua
90
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa semakin besar nilai t, semakin besar
jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan
bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0 sampai 2 tahun,
jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2
sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t
3
sama dengan 1f. Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu berikutnya. Pada
2
danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah sesuai selang
waktu tcrtentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan
meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara
signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan
berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik. Jika perubahan
jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang 1 tahun diamati,
maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju
perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0, 17; 0,37.
it
SIMPULAN
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika
Serikat dan Kanada. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama sebagai sumber
polutan yang berupa fi.mgsi konstan, dan fungsi sinusoidal. Hal ini akan
memengaruhi perubahan jumlah polutan pada setiap danau. Dari kedua fungsi
masukan sebagai sumber polutan tersebut, metode analisis homotopi memiliki
penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang
dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini
berarti metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menghampiri
penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung.
Pada fungsi masukan (sumber polutan) bcrupa fungsi konstan, semakin
besar nilai t untuk selang waktu selama I 0 tahun, semakin besar jumlah polutan
yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi
stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pcrtama
pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga
danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi
masukan yang diberikan, yaitu bemilai I 00 polutan/tahun. Dengan demikian
polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.
Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bcrgantung pada selang waktu tertentu. Untuk selang waktuantara
0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada
selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan
311
melalui titik belok di t sama dengan • Hal itu terjadi terus menerus untuk selang
2
•
JMA, VOL. 12, NO. l , JULI 2013, 79-92
91
waktu berikutnya.Pada
danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubah...._
ubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktuantara 0 sampai 7
tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan
meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan
oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
•
DAFTAR PUSTAKA
[I] Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of lakes. Applied
Mathematics and Computation.178:423-430.
[2] Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 20 I 0. VIM for solving the pollution problem of a system
of lakes. Journal ofControl Science and Engineering. 20 I 0:0-6. IO.doi: I0.1155/20 I 0/829152.
[3] Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca
Raton, New York.
[4] Merdan M. 2008. He's variational iteration method applied to the solution of modelling the
pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi.2008( 18) 1302-3055.
[5] Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the pollution of a
system of lakes. SDU Journal ofScience (E-Jouma/). 4( I ):99-111.
[6] Merdan M. 2010. A new application of modified differential transformation method for
modelling the pollution of a system of lakes. Selcuk Journal of Applied
Mathematics. 11(2):27-40.
•
I
92
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
'
•
ｊｾ＠
Vol 12 No.1 Juli 2013
ISSN: 1412-677X
TATA CARA PENULISAN MAKALAH
..
•
ＱＮｦｬｾ＠
menerima makalah dalam bahasa Indonesia atau bahasa lnggris. Makalah dapat
dikirim melalui pos (berupa 2 hard copy beserta soft copy) atau lewat email ke alamat
berikut:
Redaksi JJUI
Departemen Matematika
FMIPA - lnstitut Pertanian Bogor
Jin. Meranti, Kampus IPB Dramaga
Bogor
Phone/Fax: (0251) 8625276
Email: math@ipb.ac.id, jma.mathipb@gmail.com
Makalah orisinil berupa hasil penelitian matematika mumi atau terapan mendapat
prioritas utama untuk diterima. Tulisan yang bersifat review juga bisa diterima.
Makalah akan diseleksi oleh redaksi dan hasil seleksi akan diinformasikan.
Makalah ditulis dengan LATEX!fEX/MS-WORD dengan kualitas baik, format A4,
bolak batik, spasi satu, font 12, margin kiri 4 cm, margin kanan 3 cm. Margin atas dan
bawah 4 cm. Maksimum jumlah halaman 20, termasuk tabel. illustrasi, dan gambar.
Judul makalah dibuat singkat, jelas, dan merepresentasikan isi makalah. Nama penulis
diletakkan pada catatan kaki, diikuti nama instansi (bila ada), dan alamat (termasuk
einail jika ada).
Abstrak diletakkan di bawah nama dan alamat penulis, ditulis tidak melebihi 250 kata,
meringkas hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan. Di bawah abstrak boleh
dilctakkan kata kunci. Kata kunci terdiri atas satu kata atau lebih yang merupakan
istilah yang paling dominan digunakan dan merupakan istilah yang paling
mencntukan isi tulisan.
Ack11owledgme111/U11gkapan Terima Kasih ditulis pada akhir tulisan sebelum
referensi.
Refererrsi!Dapar Pustaka diletakkan pada akhir tulisan setelah Ungkapan Terima
Kasih, penulisan mengikuti pola pada contoh berikut ini dengan pengurutan naik
didasarkan abjad huruf pertama pada nama belakang penulis pertama.
[I] S. Guritman, F. Hooweg. and J. Simonis, ''The Degree of Functions and Weights
in Linear Codes, "Discrete Applied Mathematics, vol. I I I, no. I, pp. 87-102, 2001
(2) J.H. van Lint, /11troductio11 to Coding TheOl)', 2nd ed. Berlin, Germany, SpringerVerlag, 1992.
lllustrasi atau Gambar sedapat mungkin ditempatkan pada badan tulisan mengikuti
apa yang diillustrasikan atau yang digambarkan. Jika itu tidak mungkin, boleh juga
ditempatkan sctelah referensi. Tidak ada illustrasi atau gambar yang ditulis tangan.
Untuk keterangan lebih rinci, silakan unduh template JMA di website
www.math.ipb.ac. id/ojs.
Journal of Mathematics and Its Applications
•
Jurnal Matematika dan Aplikasinya
Vol 12 No.I, Juli 2013
Sedethana ｾ＠
Metode Galetfdn
ｾ＠
Dalam Matlab
H. A1atas. A D. Gama
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
A. T. WIBOW0 1, JAHARUDDIN2, DAN A. KUSNANT0
2
Abstrak
Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah
satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun
suatu model matematika. Dalam artikel ini ditinjau model penyebaran
polutan pada tiga danau yang sating terhubung dan diselesaikan dengan
menggunakan metode analisis homotopi. Dalam metode analisis homotopi,
didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan
diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode
perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Graflk fungsi
penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan
berdasarkan bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama.
Kata kuoci: model penyebaran polutan, metode analisis homotopi, masalah
taklinear.
PENDAHULUAN
...
Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau
dimasukkannya makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam
lingkungan hidup oleh kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke
tingkat tertentu yang menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai
dengan peruntukkannya. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju
pcrencaoaan untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada
danaujiapat dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu
pcnyebaran jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan
pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian
pencemaran yang terjadi.
Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul
pada model matematika. Dalam artikel ini, akan ditinjau masalah laju alir jumlah
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung. Masalah ini
pemah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model matematika tersebut
dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial. Bebcrapa penelitian
difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik untuk memeroleh
penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu persamaan diferensial.
Beberapa metode yang telah digunakan untuk menyelesaikan model laju alir
1
Mahasiswa Program Sarjana, Departcmcn Matematika. Fakultas llmu Pcngetahuan Alam. Jalan
Mcranti Kampus IPB Dramaga Bogor, 16680.
ｄｾ ｣ｰ｡ｲｴｭｮ＠
Matcmatika. Fakuhas llmu Pcngctahuan Alam, Jalan Mcranti Karnpus IPB Dramaga
Bogor, 16680.
80
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung adalah metode
aproksimasi Pade' (Merdan 2008), metode perturbasi (Merdan 2009), metode
modifikasi transformasi diferensial (Merdan 20 I0), dan metode iterasi variasi
(Biazar et al. 20 l 0).
Dalam artikel ini akan digunakan metode analisis homotopi (Liao 2004)
untuk menyelesaikan model laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling
terhubung. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode analisis homotopi akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).
FORMULAS! MATEMATIKA
Berikut ini akan dibahas masalah laju alir jumlah polutan tiga danau sating
terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.
sumber
polutan
Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling
terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara
Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau
Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan
olch anak panah pada Gambar 1. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari
sumber polutan. Di dalam danau pertarna polutan dapat mengalir ke danau kedua
dan ketiga. Pada danau kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga,
scdangkan di danau ketiga, polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau
pcrtama. Aliran ini dapat disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan
pada Gambar 2.
,.
81
JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92
F31
..
'
p(t)
Sumber
Polutan
'i
_I Danau l I
I
F21
I Danau 2 I
I
FJ2
I
I
,,
: Danau 3
Ｇ ｾ＠
I
F1 3
Gambar 2 Bagan aliran jumlah pol utan pada tiga danau
Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu
dilambangkan dengan p{t), dan konstanta Fj; dinyatakan sebagai laju aliran
volume polutan dari danau i ke danauj. Misalkan x;(l) merupakan jumlah polutan
dalam danau i pada t 2: 0, dengan i = l, 2, 3. Diasumsikan polutan di masingmasing danau tersebar secara merata di sepanjang danau oleh proses pencampuran,
dan volume air V; di danau i tetap untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi
bersifat homogen dan tidak menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana,
sehingga konsentrasi polutan di danau i pada waktu t diberikan oleh
X;(l)
C;(t)
= v·
I
Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga x;(O) = 0
untuk setiap i = 1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danauj pada setiap waktu
t, ' j;(t) didefinisikan sebagai berikut:
rJI··(t)
Fj,
=FJI·C.(t) = -vx·(t)
I
I
•
I
...
'
Besaran rp(t) digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di danau
i yang mcngalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran, total
laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang masuk
dan keluar. Menerapkan prinsip ini untuk setiap danau menghasilkan sistcm
persamaan diferensial orde pertama berikut:
F 13
x 1 (t)
--=p(t)+-x3(t)-(F21 +F31)-.
cfx 1(1)
ｾ＠
ｾ＠
ｾ＠
dx2(t)
Fi1
F31
dt
V1
Vi
- - =- x1(t)- - x2(t),
(1)
dr3 (t) F31
F 32
F 13
- - =-,-x 1(r)+-x 2 (t)--x 3 (t).
ｾｉ＠
V2
V3
dt
I
dengan
x;(t) jumlah polutan pada danau i dalam waktu t ｾ＠
'
I
0. dimana i = 1, 2, 3,
82
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Fj;
konstanta dari laju alir volume polutan dari danau i ke danau j,
p(t)
fungsi laju jumlah polutan saat masuk ke danau per unit waktu sebagai
sumber polutan,
V;
vo lume air di danau i, dimana i = l, 2, 3.
Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak berubah
selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke dalam danau
sama dengan laju alir volume polutan yang keluar dari danau, sehingga diperoleh
persarnaan berikut:
F13
= F21 + FJ1,
(2)
=F32,
FJ1+ F31
=
F13.
Dalarn artikel ini akan diselesaikan masalah ( l) dengan kendala (2) dan x,{O) = 0, i
= I, 2, 3 dengan menggunakan metode analisis homotopi dan membandingkan
hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan
(2009).
ANALISIS METODE
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi bcrdasarkan
pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:
A[y(t)] = 0.
(3)
Dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan
bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear L yang
memenuhi
(4)
L[f] = 0, bila/= 0.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
J((u(t,q),q) = ( 1 - q) L[u(t,q) - y 0 (t)] + qA [u(t,q)] ,
(5)
denganu fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada I dan parameter q.
FungSi y 0 (t) merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Pada saat q = 0,
persamaan (5) menjadi
Jf(u(t,0),0) = L[u(t,0) - y 0 (t)] ,
dan pada saat q = I menjadi
Jf(u(t,1), 1) =A[u(t,q)].
Berdasarka n persamaan (3) dan (4), maka penyclesaian persamaan Jf(u(t,0),0) = 0
dan Jf(u(t, I), l) = 0 masing-masing adalah u(t,O) = y 0 (t) , dan u(t, I) = y(t). Deret
Taylor untuk fungsi 11(t,q) terhadap q di sekitar q = 0 adalah
00
u(t,q)
= u(t,O ) +
I
m=l
1 amu(t, q)
iJ m
m.1
q
-
qm.
q=O
JMA. VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92
83
Misalkan dinotasikan
(t) =-l if'u(t,q)
m!
Ym
oqm
'I = 0
Karena u(t,O) = y 0 (t), maka
L
CX)
u(t, q)
= Yo(t) +
(6)
Ym (t)qm.
m =1
Karena u(t, l) = y(t), maka pada saat q = l diperoleh
L
CX)
y(t)
= Yo(t) +
(7)
Ym (t).
m = 1
Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan
Jf(u(t,q),q) = O atau (l - q) L[u(t,q) -y/t)] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan
tersebut diturunkan terhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q = 0, maka
diperoleh persamaan sebagai berikut:
(8)
L[ym(1) - XmYm. 1(t)] = - Rm(Ym - 1),
dengan
(9)
Hasil y m (t) pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8)
digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan
(7).
Berdasarkan persamaan ( l ), didefinisikan operator linear sebagai berikut:
ou,(t,q)
.
ot 'dengan, = 1,2,3,
F13
ou 1 (t,q)
F 13
A i[u, (t,q),u2(t,q),u3(t,q)] =
p(t)- V3 U3(t,q) +
L;[1t;(t,q)]
=
ct -
Yi"' (t,q),
ou 2(t,q) F 21
F32
A 2 [u 1(1,q),112(t,q),u3(t,q)] =
ot - Y;""' (t.q) + Vi t12(t,q),
( l 0)
011 3(1,q) F 31
F 32
F 13
- -y;-ui(t,q)- Vi 112(t,q) + VJ U3(t,q) .
01
dengan u1(t,q), u2 (1,q), dan u3 (t,q) fungsi yang bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi berdasarkan persamaan (3) sebagai berikut:
A 3[u 1(t,q),u2(t,q),u3(t,q)]
=
84
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Jf1 (x(t,q),q)=[x 1(t,q)-x 1,0(t)] +q [x 1.0(1)-p(t) -
1f2(x(t,q),q)=[x2(t,q)-x1.0(r)]+q [.x2•0 (1)- ｾ
Ｑ
Ｑ＠
ｾＺ＠
x 3(t,q )+ ｾ
x 1(r,q)+ ｾ
Ｓ＠
Ｑ x (t,q)],
1
l
ｾ＠
Ｒ x (t,q)].
Ｒ＠
2
.
.
]
F31
Jf3(x(t,q).q)= [X3(t,q)-x3,o(t)
+q [·X3 ,o (t)-Vix1
(t,q)- F32
V2 X2(t,q)+ F13
V3 X3(t,q) ] .
Berdasarkan persamaan (8) dan fungsi homotopi tersebut di atas, maka diperoleh
persamaan berikut:
£1 [x1,m(l)-XmX1,m-I (1)] =-R1.m(X1.m-l1Xl,m-l •XJ.m-d,
£2 [x2.m(t)-Xn,X2.m-I (t)] =-R2.m(X1.m-t•X2.m-l ,XJ.m-1 ),
( 11)
£3 [x3.m(1)-"X.mXJ.m-I (t)] =-R3.m(X1.m-t •X2.m-t •XJ.m-1 ),
dengan
...
...
)- OX1.m-1(/) F [XJ.nr-1(/) Xi.nr-1(/)]
R (...
l.m X1.m-l•x2.m-l•x3.m-1 13
V3 Vi
ot I
0'1- 1p(t)
,
(m-1)! 0 m-1
q=O
q
...
...
...
)- OX2,m-1(l)
[Xz.m-1(1) X1.m-1(t)]
Ri,m (X1.m-t 1X2,m-l•XJ.m-1 iJt
-F21
Vi - v
'
(12)
1
R (...
3.m
..
...
) - OXJ.111-1{!) F X1,m-1(t) F X2.m-1(t)
Xi.m-l •X2.m-l •x3.m-1 dt
13 v
32
v
1
2
X3 m-1(1)
+Fu . V3 .
Misalkan penyelesaian pendekatan awal x1,0 (t)=r 1 , x 2•0 (t)=r2 , dan x3.0(t)=r3 •
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan ( l) dengan metode analisis homotopi
hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:
x 1(t)=x 1.0(1)+x1,1 (r) + x1,2(I) + x1,3(t) + x 1.4(t) + x1.5(t) + x 1,6(t),
X2(t)=x2.o(t)+x2 .1 (t) + X2,2 (I) + X2,3(l) + X2,4(l) + X2.s(t) + X2.6(1),
X3(t)=x3.o(t)+x3,1(1) + x3.2(t) + X3,3(t) + X3.4(t) + X3,5(1) + X3 ,6(1).
'
APLIKASI METODE
Pada bagian ini metode analisis homotopi akan diaplikasikan dengan
masukan data-data sebagai berikut:
• jumlah polutan yang masuk ke danau i pada saat t = 0 adalah ,.i = 0, i = 1,2,3,
3
• volume konstan dari setiap danau adalah V1 = 2900 mi 3 , V2 = 850 mi ,
3
V3 = 1180 mi ,
J
JMA, VOL. 12, NO.I, JULI 2013, 79-92
"
85
• laju aliran volume polutan ke dalam suatu danau dari danau lainnya tiap
3
tahunnya adalah F21 = 18 mi 3/tahun, F 32 = 18 mi3/tahun, F31 = 20 mi /tahun
dan F 13 = 38 mi3 /tahun. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala
yang diperoleh pada persarnaan (2).
Dalam artikel ini, ditinjau dua kasus laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau
pertarna dari sumber polutan yaitu:
1.
Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terns menerus secara
linear bingga waktu tertentu.
11.
Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumJah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik
terhadap waktu.
Sumber Polutao Berupa Fungsi Konstan
Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
p(t) =
{Ctn ; t
0; t
$ to
> t0 ,
Dengan C1,, adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran
terjadi hingga waktu to dan nilai p(t) = 0 setelah waktu to Asumsikan C;,, = l 00
polutan per satuan waktu. t 0 = I0 yang menyatakan bahwa laju alir jumlah polutan
yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per
tahun untuk selama 10 tahun. Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah
diberikan dengan p(t) = 100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang r ::; 10
sebagai berikut :
x1 (t)
= 4,37 x 10·10exp(-0,0331) (l ,34 x I0 11 exp(0,0331)1 + 2,81 x 10 12exp(0,033t)
Xz (t)
=
+7,874x I0 10 sin(7,37x l0"3 t)-2,81 x l0 1:?cos(7,37x l0-3 t)),
7,69x I 0·3exp(-0,033!) {2,242 x I0 10 exp(0,0331)1 - 5,895 x 10 11 exp(0,033t)
- 3,83 x 10 11 si11(7,37 x 10"3 t) + 5,895 x 1011 cos(7,37x 10·3 t)) ,
x 3 (t) = 7,117x I0- 10exp(-0,033t) {3,36 xl0 10 exp(0,033t)t - 1,092 xl0 12 exp(0,033t)
+ 4,38 x 10 11 sin(? ,37 x I0"3 t) + 1,092 x 10 12 cos(7,37 x 10"3 t )) _
Berikut ini dibcrikan Tabet I yaitu selisih antara penyelesaian metodc homotopi
dcngan penyelesaian eksaknya. Tabet 2 ya itu setisih antara penyelesaian metode
perturbasi homotopi yang diperoteh dari (Merdan 2009) dengan penyelesaian
eksaknya. Berdasarkan Tabet I dan Tabel 2, metodc anatisis homotopi memiliki
penyelesaian yang menghampiri pcnyelesaian eksaknya. Selisih galat yang
dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang t sangat kecil.
86
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
TABEL I
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
0
0.1
0.2
0.3
0.4
o.s
0.6
0.7
0.8
0.9
J.0
0
3.32653x ＱＰ ｾ＠
2.65734 x 10·5
8.95546 x 10-5
2.11968 x 104
4.13398 x 104
7.13314 x 104
1.13107 x 10·3
1.68591 x 10·3
2.39696 x 10-3
3.28324 x 10-3
0
5.16117x 10·10
8.24475 x 10-9
4.16727 x 10-8
1.31497 x 10·1
3.20528 x 10·1
6.63593 x 10·7
1.22744 x ＱＰ ｾ＠
2.09063 x 10.()
3.34348 x ＱＰ ｾ＠
5.08792 x I0-6
0
3.09877x 10-3
l.23764 x 10·2
2.7805 x 10-2
4.93567 x 10·2
7. 7004 x 10·2
0.1107 19
0.150475
0.196245
0.248001
0.305716
TABEL 2
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus penama
0
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
1.86517 x 10- 13
2.62901 x 10·13
1.42109 x 10·14
I. 77636 x I0" 13
2.20268 x 10· 13
2.55795 x 10·13
2.13163 x 10·13
1.42109 x 10· 14
4.68958 x I 0- 13
1.1 3687 x 10· 12
5.69328 x 10·14
1.28664 x 10·14
2.2999 x 10·14
8.40994 X I0"15
7.43572 x 10·14
1.27842 x io·13
2.83829 x 10·13
6.96609 x 10·13
1.5 3211 x 10·12
3.35787 x 10·12
o.s
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
1.78191 x 10·14
14
9.88046 x 1014
2. 78458 x 10·
1.31867 x 10"13
1.08483 x 10·13
2.03 171 x 10· 14
13
2.2 1656 x 10·
5.46979 x 10· 13
12
1.0 l 069 x I012
2.3 1043 x 10·
Gambar 3 berikut ini merupakan penyelesaian eksak persamaan (I) untuk
kasus pertama. Gambar 3 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk
x1(t), x2(1), dan x3(1).
87
JMA, VOL. 12, NO.l, JULI 2013, 79-92
'
Xt (t)
eoo
'
600
400
.
.....
...
"-
IH
,
Ut
200
0
Ｍｾｴ＠
ＫＭｾ
100
200
300
aoo
JO
UO 100
1'0
JOO
3'0
ｴ＠
X3(t)
1
lOO
IJO
100
so
St
100
1.SO 2t0
l$t
101
HO
Gambar 3 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (I) pada kasus pertama
•
Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa semakin besar nilai t untuk selang
waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada
selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil, tetapi setiap danau
mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada danau pertama, jumlah
polutan menurun hingga konvergen ke 588,234. sedangkan pada danau kedua dan
danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga masing-masing
konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan
yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas l 0 tahun (p(t) = 0, t > I0)
dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau. Jika perubahan jumlah polutan
dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang I tahun diamati, maka danau
pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju perubahan jumlah
polutan sebesar 99,67; 0, 15; 0,33. Jumlah dari ketiga hasil tersebut sama dengan
laju perubahan jumlah polutan yang berada di ketiga danau yaitu 100
polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan ketiga danau meningkat
sccara linear berganlung pada fungsi konstan p(t) yang diberikan yaitu bernilai
I00. Dengan demikian polutan yang diberikan dari sumber polutan akan
menyebar ke setiap danau.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
Misalkan sumber polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
p(t) = Ci(l
2rrt
+ a sin(T)),
dengan
a
simpangan normal yang memcngaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi
p(t) dan selalu bemilai antara 0 dan I,
88
A. T. WlBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses
pencampuran,
C, rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.
Agar laju alir jumJah polutan tersebut selalu bemilai positif dan berubah-ubah
secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan C; = l 00, a = l, dan
T = 2x.
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi
p(I) = 100( I +sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:
x 1 (t) = -l, l 90x 10·3 exp(-0,0331) cos(7,37x10-3 ,) + 39,68exp(-0,033t)sin(7,37 xl0·3 t)
T
J
'
·.·
+ 1,31 sin(t)- 99,96 cos(1) + 58,82t + 1.290,48,
x 2 (t) = -287,32exp(-0,033t)sin(7,37x10·3 1) + 436,95elp(-0,033t) cos(7,37x10·3 1)
- 0,62sin(t)- 0,02 cos(t) + I7,24t - 435,93,
x 3 (1) = 2.476.40exp(-0,033t)sin(7,37 x10' 3t) + 753,56exp(-0,033t)cos(7,37 xl0'3 t)
- 0,689 fin(t) - 0,018 cos(t) + 23,931 - 753,55.
'
I
I
Berikut inrdiberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode analisis
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabet 4 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
TABEL 3
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
I ,
0
0.1
0.2
0.J
0.4
0.5
0.6
0. 7
0.8
0.9
1.0
2.26849 x 10·14
3.40969 x 10-6
2.79011 X 10·S
9.62569 X JO·S
2.33077x I0-1
4.64719 x 10-4
8.19217 x 10-4
1.32619 x I0-J
2.01673 x 10·3
2.92326 x 10·3
4.0794 x 10·3
1
3.692 16 x 10·14
3.56857 x 10""
1.4755 X 10.J
3.42761 X I0.3
6.28377x 10-3
1.01128 x 10-2
1.4981 x 10-2
2.09517 x I0·2
2.80844 x 10·2
3.64345 x io·2
4.60525 x io·2
4.98677 x 10- 14
3.5589 x 10·3
l.4676 X 10·2
3.40037 X 10-2
6.21788x 10-2
9.98152 x 10-2
0.147498
0.205777
0.275162
0.356116
0.44905
..
89
JMA, VOL. 12, NO. l, JULI 2013, 79-92
•
TABEL4
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua
I
lx11ipm (t)·Xttks(t)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
2.26849 x 10·ll
14
4.61853 x 10·
13
2.77112 x 10·
0
l.20792 x 10·• 3
3.55271x10· 14
13
l.563J9x10·
14
1.42109x 10·
14
4.26326x I0·
5.l 1591x10· 13
l.05 I6x I0- 12
o.s
0.6
0. 7
0.8
0.9
1.0
I
lx21ip111 (t)-X2eks(t)
14
I
lx31ipm(t)-x3tks(t)
14
I
4.98677 x 10·
3.56857 x 104
l.47551 x 10·3
3.42765 x 10·3
6.28391 x 10·3
1.01131 x 10·2
1.49817 x 10·2
2.09531 x 10·2
2.80868 x 10·2
3.64384 x 10·2
4.60586 x 10·2
3.69216 x 10·
3.56857 x 104
1.47551 x 10·3
3.42765 x 10·3
6.28391 x 10·3
1.01131 x 10-2
1.49817 x 10·2
2.09531 x 10·2
2.80868 x 10·2
3.64384 x 10·2
4.60586 x 10·2
Dari Tabel 3 dan Tabel 4, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasil.kan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.
Gambar 4 merupakan penyelesaian eksak persamaan ( l) untuk kasus kedua.
Gambar 4 masing-masing menunjukkan grafik penyelesaian untuk x 1(t), x2(t), dan
X3(t).
x1(t)
•
·-
s
10
15
X3(t)
120
100
80
60
40
20
.5
10
1.5
20
Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (I) pada kasus kedua
90
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa semakin besar nilai t, semakin besar
jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan jumlah polutan
bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0 sampai 2 tahun,
jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang waktu antara 2
sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui titik belok di t
3
sama dengan 1f. Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu berikutnya. Pada
2
danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah sesuai selang
waktu tcrtentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah polutan
meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara
signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan
berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik. Jika perubahan
jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam selang 1 tahun diamati,
maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan laju
perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0, 17; 0,37.
it
SIMPULAN
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika
Serikat dan Kanada. Polutan dikenakan ke dalam danau pertama sebagai sumber
polutan yang berupa fi.mgsi konstan, dan fungsi sinusoidal. Hal ini akan
memengaruhi perubahan jumlah polutan pada setiap danau. Dari kedua fungsi
masukan sebagai sumber polutan tersebut, metode analisis homotopi memiliki
penyelesaian yang menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang
dihasilkan oleh metode ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini
berarti metode analisis homotopi dapat digunakan untuk menghampiri
penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau yang saling terhubung.
Pada fungsi masukan (sumber polutan) bcrupa fungsi konstan, semakin
besar nilai t untuk selang waktu selama I 0 tahun, semakin besar jumlah polutan
yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi
stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pcrtama
pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga
danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi
masukan yang diberikan, yaitu bemilai I 00 polutan/tahun. Dengan demikian
polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.
Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bcrgantung pada selang waktu tertentu. Untuk selang waktuantara
0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada
selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan
311
melalui titik belok di t sama dengan • Hal itu terjadi terus menerus untuk selang
2
•
JMA, VOL. 12, NO. l , JULI 2013, 79-92
91
waktu berikutnya.Pada
danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubah...._
ubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktuantara 0 sampai 7
tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan
meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan
oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
•
DAFTAR PUSTAKA
[I] Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of lakes. Applied
Mathematics and Computation.178:423-430.
[2] Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 20 I 0. VIM for solving the pollution problem of a system
of lakes. Journal ofControl Science and Engineering. 20 I 0:0-6. IO.doi: I0.1155/20 I 0/829152.
[3] Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca
Raton, New York.
[4] Merdan M. 2008. He's variational iteration method applied to the solution of modelling the
pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi.2008( 18) 1302-3055.
[5] Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the pollution of a
system of lakes. SDU Journal ofScience (E-Jouma/). 4( I ):99-111.
[6] Merdan M. 2010. A new application of modified differential transformation method for
modelling the pollution of a system of lakes. Selcuk Journal of Applied
Mathematics. 11(2):27-40.
•
I
92
A. T. WIBOWO, JAHARUDDIN, DAN A. KUSNANTO
'
•
ｊｾ＠
Vol 12 No.1 Juli 2013
ISSN: 1412-677X
TATA CARA PENULISAN MAKALAH
..
•
ＱＮｦｬｾ＠
menerima makalah dalam bahasa Indonesia atau bahasa lnggris. Makalah dapat
dikirim melalui pos (berupa 2 hard copy beserta soft copy) atau lewat email ke alamat
berikut:
Redaksi JJUI
Departemen Matematika
FMIPA - lnstitut Pertanian Bogor
Jin. Meranti, Kampus IPB Dramaga
Bogor
Phone/Fax: (0251) 8625276
Email: math@ipb.ac.id, jma.mathipb@gmail.com
Makalah orisinil berupa hasil penelitian matematika mumi atau terapan mendapat
prioritas utama untuk diterima. Tulisan yang bersifat review juga bisa diterima.
Makalah akan diseleksi oleh redaksi dan hasil seleksi akan diinformasikan.
Makalah ditulis dengan LATEX!fEX/MS-WORD dengan kualitas baik, format A4,
bolak batik, spasi satu, font 12, margin kiri 4 cm, margin kanan 3 cm. Margin atas dan
bawah 4 cm. Maksimum jumlah halaman 20, termasuk tabel. illustrasi, dan gambar.
Judul makalah dibuat singkat, jelas, dan merepresentasikan isi makalah. Nama penulis
diletakkan pada catatan kaki, diikuti nama instansi (bila ada), dan alamat (termasuk
einail jika ada).
Abstrak diletakkan di bawah nama dan alamat penulis, ditulis tidak melebihi 250 kata,
meringkas hasil yang diperoleh dan metode yang digunakan. Di bawah abstrak boleh
dilctakkan kata kunci. Kata kunci terdiri atas satu kata atau lebih yang merupakan
istilah yang paling dominan digunakan dan merupakan istilah yang paling
mencntukan isi tulisan.
Ack11owledgme111/U11gkapan Terima Kasih ditulis pada akhir tulisan sebelum
referensi.
Refererrsi!Dapar Pustaka diletakkan pada akhir tulisan setelah Ungkapan Terima
Kasih, penulisan mengikuti pola pada contoh berikut ini dengan pengurutan naik
didasarkan abjad huruf pertama pada nama belakang penulis pertama.
[I] S. Guritman, F. Hooweg. and J. Simonis, ''The Degree of Functions and Weights
in Linear Codes, "Discrete Applied Mathematics, vol. I I I, no. I, pp. 87-102, 2001
(2) J.H. van Lint, /11troductio11 to Coding TheOl)', 2nd ed. Berlin, Germany, SpringerVerlag, 1992.
lllustrasi atau Gambar sedapat mungkin ditempatkan pada badan tulisan mengikuti
apa yang diillustrasikan atau yang digambarkan. Jika itu tidak mungkin, boleh juga
ditempatkan sctelah referensi. Tidak ada illustrasi atau gambar yang ditulis tangan.
Untuk keterangan lebih rinci, silakan unduh template JMA di website
www.math.ipb.ac. id/ojs.
Journal of Mathematics and Its Applications
•
Jurnal Matematika dan Aplikasinya
Vol 12 No.I, Juli 2013
Sedethana ｾ＠
Metode Galetfdn
ｾ＠
Dalam Matlab
H. A1atas. A D. Gama