Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
2
3
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya
pada Masalah Arus Lalu Lintas adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2013
Christopher Danny
NIM G54070051
4
ABSTRAK
CHRISTOPHER DANNY. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk
Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu
Lintas. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA HANUM.
Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan
kendaraan bermotor, dan pelanggaran aturan lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas
sering terjadi karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan
kendaraannya. Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan
agar dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan
kecepatan yang diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada
masalah arus lalu lintas ini akan dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan
yang mengacu pada persamaan Burgers. Persamaan Burgers diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi dibandingkan dengan metode numerik.
Kata kunci: persamaan Burgers, metode perturbasi homotopi, masalah arus lalu
lintas
ABSTRACT
CHRISTOPHER DANNY. The Use of Homotopy Perturbation Method for
Solving the Burgers Equation and Implementing Traffic Flow Problems.
Supervised by JAHARUDDIN and FARIDA HANUM.
Traffic flow problems are frequently referred as problems of congestion,
accidents and traffic violations. Traffic accidents often occur because the vehicle
drivers can not control the speed of their vehicle. One of the efforts that must be
made by the vehicle drivers to control the speed of their vehicle is driving under
the road speed limit. On this traffic flow problems, the road speed limit will be
assessed based on the Burgers equation. The Burgers equation can be solved by
the homotopy perturbation methods. The results of the homotopy perturbation
method will be compared to the results of numerical methods.
Keywords : Burgers equation, homotopy perturbation method, traffic flow
problems
5
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas
Christopher Danny
Nama
: 054070051
NIM
Disetujui oleh
Dr J aharuddin, MS
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
22 OCT 2 11
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
vii
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas
Nama
: Christopher Danny
NIM
: G54070051
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
viii
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan ibu Roseline Yather Aden, beserta adik
Samuel Christie, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan, semangat,
pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya,
2. Dr Jaharuddin, MS, Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Siswandi, MSi masing-masing
sebagai dosen pembimbing I, dosen pembimbing II dan dosen penguji luar atas
semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini,
3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya,
4. Kakak Matematika 43, adik Matematika 45 dan 46 atas bantuan, saran dan semua
ilmunya, teman-teman Matematika 44, Andrew, Daniel, Josia, Parulian dan temanteman lainnya di luar Departemen Matematika IPB atas kebersamaan, bantuan,
dukungan dan motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2013
Christopher Danny
ix
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penulisan
2
LANDASAN TEORI
2
Persamaan Burgers
2
Masalah Arus Lalu Lintas
6
Metode Numerik
8
Metode Perturbasi Homotopi
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Aplikasi Metode
10
Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas
10
Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua
13
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
30
x
DAFTAR GAMBAR
1.
Sistem koordinat fluida dua dimensi
2
2.
Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan
metode perturbasi homotopi untuk
dan
12
3.
Tingkat kepadatan mobil
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada saat
12
4.
Tingkat kepadatan kendaraan
,
,
,
yang dinyatakan dalam dua dimensi untuk
dan
13
DAFTAR LAMPIRAN
1.
Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8)
17
2.
Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19)
18
3.
Penurunan Persamaan (22)
19
4.
Penurunan Persamaan (23)
20
5.
Penurunan Persamaan (27)
21
6.
Penurunan Persamaan (34) dan (35)
22
7.
Penurunan Persamaan (52) dan (53)
23
8.
Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62)
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di
alam dan dalam kehidupan sehari-hari. Umumnya model matematika tersebut berupa
masalah taklinear. Masalah arus lalu lintas adalah contoh masalah dalam kehidupan
sehari-hari. Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan
kendaraan bermotor, dan pelanggaran lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas sering terjadi
karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya.
Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan agar dapat
mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan kecepatan yang
diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada karya ilmiah ini akan
dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan yang mengacu pada persamaan Burgers.
Selain digunakan pada masalah arus lalu lintas, persamaan Burgers juga muncul
pada masalah mekanika fluida, khususnya sebagai model persamaan untuk kecepatan
aliran fluida, dinamika gas, dan gerak gelombang. Persamaan Burgers pertama kali
diperkenalkan oleh Johannes Martinus Burgers (1939). Persamaan Burgers telah
digunakan oleh banyak peneliti. Burns et al. (1998) telah menyelesaikan persamaan
Burgers dengan faktor gesekan secara numerik, Taghizadeh et al. (2011) menyelesaikan
persamaan Burgers dengan menggunakan metode transformasi diferensial tereduksi,
Piao et al. (2012) menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dengan suatu
metode numerik, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan persamaan
Burgers. Persamaan Burgers dapat diturunkan dari persamaan Navier Stokes.
Persamaan Navier Stokes didapat dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar
fluida merupakan persamaan-persamaan gerak aliran fluida. Penurunan persamaan dasar
fluida ini dilakukan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan
momentum. Setiap hukum memberikan persamaan yang selanjutnya dinamakan
persamaan kontinuitas untuk hukum kekekalan massa dan persamaan gerak untuk
hukum kekekalan momentum. Persamaan kontinuitas diturunkan dengan asumsi fluida
yang ditinjau tak termampatkan (incompressible) dengan rapat massa yang homogen
dan gerak partikel fluida yang tak berotasi (irrotational). Persamaan gerak diturunkan
dengan asumsi fluida mengalami transfer momentum, yaitu adanya sirkulasi aliran
fluida (convection) dan momentum yang dipindahkan akibat adanya perbedaan tiap
lapis aliran. Analog dengan penurunan persamaan Burgers dari persamaan Navier
Stokes, persamaan Burgers pada masalah arus lalu lintas diturunkan berdasarkan
analogi bahwa rapat massa fluida dinyatakan oleh kepadatan kendaraan sehingga
persamaan kontinuitas berlaku. Model persamaan untuk masalah arus lalu lintas
merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Pada karya ilmiah ini, akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dan berdimensi dua. Konsep dari
metode perturbasi homotopi pertama kali diajukan oleh He JH pada tahun 2000. Metode
ini merupakan kombinasi dari bentuk homotopi dan metode perturbasi. Dalam metode
ini, penyelesaiannya diberikan dalam bentuk deret tak hingga. Metode perturbasi
homotopi bergantung pada suatu parameter kecil dalam persamaan. Banyak peneliti
telah menggunakan metode perturbasi homotopi, seperti He (2000) mengkaji teknik
homotopi dan teknik perturbasi untuk suatu masalah taklinear, Shafieenejad et al.
2
(2009) menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah aliran pipa fluida non
Newtonian, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan metode perturbasi
homotopi.
Tujuan Penulisan
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka tujuan penulisan ini ialah:
1) menurunkan kembali persamaan Burgers dari persamaan Navier Stokes dan
memperluas pada masalah arus lalu lintas,
2) menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan masalah arus lalu
lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua dan membandingkan hasil-hasilnya
dengan metode numerik,
3) menafsirkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode perturbasi homotopi pada
penyelesaian masalah arus lalu lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua.
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya
ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan Burgers yang disarikan dari
(Landajuela 2011), dan konsep dasar metode perturbasi homotopi yang disarikan dari
(Taghizadeh et al. 2011).
Persamaan Burgers
Persamaan Burgers diturunkan dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar
fluida diturunkan berdasarkan kesetimbangan massa terhadap elemen luas
yang
dilalui partikel fluida, seperti pada Gambar 1. Pada elemen luas tersebut, laju perubahan
massa rata-rata merupakan selisih antara massa rata-rata yang masuk dan yang keluar.
Misalkan
merupakan rapat massa fluida dan kecepatan partikel fluida dalam
arah sumbu dan sumbu masing-masing dinotasikan dengan
dan . Rata-rata
massa yang masuk pada elemen luas dalam arah x dan z masing-masing adalah
|
|
dan
. Rata-rata massa yang keluar dalam arah x dan z adalah
|
|
dan
.
Gambar 1 Sistem koordinat fluida dua dimensi
3
Berdasarkan kesetimbangan massa, maka laju perubahan massa dalam elemen luas
tersebut adalah
[
|
Jika persamaan (1) dibagi dengan
[
sehingga untuk
|
dan
|
| ]
]
[
|
|
, maka diperoleh
|
[
| ]
].
(1)
(2)
, diperoleh
atau
(3)
.
Persamaan (3) menyatakan rata-rata perubahan rapat massa sebagai hasil dari perubahan
. Persamaan (3) dikenal sebagai
pada vektor kerapatan massa
, dengan
persamaan kontinuitas.
Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator
sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu
(4)
.
Jadi turunan total dari
terhadap waktu t adalah
.
(5)
Persamaan (3) menjadi
atau
.
(6)
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible),
yaitu
(7)
maka
atau
(8)
(penurunan persamaan (3), (6), dan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1). Persamaan (8)
merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang takmampat.
4
Hukum kekekalan momentum didasarkan pada kesetimbangan momentum. Pada
elemen luas dalam Gambar 1, laju perubahan momentum merupakan selisih antara
momentum yang masuk dan yang keluar serta ditambah dengan gaya-gaya yang bekerja
|
pada elemen luas tersebut. Dalam arah-x, momentum yang masuk ialah
dan
|
momentum yang keluar ialah
. Dalam arah-z, momentum yang masuk
|
|
adalah
dan yang keluar adalah
.
Jadi kesetimbangan momentum pada komponen-x adalah
[
|
dan pada komponen-z adalah
[
|
|
|
]
]
[
|
[
|
|
],
|
(9)
].
(10)
Misalkan tegangan geser diperhatikan, maka tegangan geser pada arah perpindahan
momentum pada komponen-x dan arah kecepatan terhadap sumbu-x dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-z dan arah kecepatan-x
dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-x dan arah
kecepatan-z dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan
momentum-z dan arah kecepatan-z dinotasikan sebagai
.
Tegangan geser pada komponen-x adalah
[
|
|
]
Tegangan geser pada komponen-z adalah
[
|
|
|
[
]
|
|
[
|
].
(11)
].
(12)
Faktor lain yang terlibat dalam hukum momentum ialah gaya-gaya yang terjadi pada
elemen luas. Gaya-gaya tersebut muncul sebagai tekanan fluida p dan gaya gravitasi .
Jadi jumlah gaya yang bekerja dalam arah-x adalah
[
|
|
]
(13)
sedangkan jumlah gaya yang bekerja dalam arah-z adalah
[
|
|
]
(14)
.
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x adalah
(15)
.
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z adalah
(16)
.
Jika perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas dan hasil-hasil dari Persamaan
(9), (10), (11), (12), (13), (14), (15), dan (16) digunakan pada hukum kekekalan
momentum, kemudian persamaan yang diperoleh dibagi dengan
, dan limit dari
dan
diambil menuju ke nol, maka diperoleh masing-masing komponen-x dan z
sebagai berikut:
.
(17)
5
.
(18)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut :
dengan,
[
,
]
(19)
.
, dan
.
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida. Penurunan persamaan (17), (18), dan
(19) dapat dilihat di Lampiran 2.
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas (5), maka persamaan (17) dan (18)
masing-masing menjadi
.
.
(20)
(21)
Dalam notasi vektor, persamaan (20) dan (21) ditulis
.
(22)
Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes. Penurunan persamaan (22) dapat
dilihat di Lampiran 3.
Tegangan geser erat kaitannya dengan aliran fluida kental (viscous fluid).
Konstanta kekentalan (viscosity) fluida dinotasikan sebagai . Hubungan antara dan
ialah
,
,
,
dan
.
Jadi persamaan (22) menjadi
.
(23)
Penurunan persamaan (23) dapat dilihat di Lampiran 4.
Selanjutnya asumsikan gaya yang bekerja pada sistem hanya gaya gesekan sedangkan
gaya luar (external force) diabaikan. Gaya luar (external force) yang bekerja pada
sistem adalah gaya yang diakibatkan oleh tekanan (p) dan gaya gravitasi (g). Persamaan
(23) menjadi
6
atau
(24)
.
Kekentalan erat kaitannya dengan kekentalan kinematik (kinematic viscosity).
Kekentalan dibagi rapat massa fluida disebut sebagai kekentalan kinematik yang
. Jika persamaan (24) dibagi dengan rapat massa
dinotasikan sebagai , yaitu
fluida
akan diperoleh
.
(25)
Khusus untuk masalah satu dimensi, persamaan (25) memberikan
(26)
.
Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Secara umum persamaan Burgers berdimensi n adalah
atau
.
(27)
Penurunan persamaan (27) dapat dilihat di Lampiran 5.
Salah satu contoh masalah yang memunculkan persamaan Burgers adalah masalah arus
lalu lintas. Berikut ini diberikan penggunaan persamaan Burgers berdimensi satu pada
masalah arus lalu lintas.
Masalah Arus Lalu Lintas
Pada masalah arus lalu lintas berdimensi satu, diasumsikan mobil melaju di jalan
raya. Mobil melaju dalam satu arah (misalkan dalam arah horizontal). Kepadatan mobil
di jalan dilambangkan dengan
dengan x dan t masing-masing ialah koordinat
horizontal dan waktu. Misalkan
adalah nilai pada
dengan
adalah nilai pada saat mobil dalam keadaan berhimpitan bumper ke bumper.
Jika diasumsikan kepadatan mobil konstan, yaitu
(28)
maka
,
(29)
dengan v kecepatan kendaraan dalam arah-x.
Secara umum, bila kecepatan kendaraan berubah, maka diperoleh persamaan berikut:
atau
7
(30)
.
dengan
. Namun kenyataannya kendaraan tidak melaju konstan. Seorang
pengendara terkadang harus melambatkan kecepatan kendaraannya pada saat kondisi
lalu lintas padat sehingga
atau dengan kata lain, kecepatan kendaraan
sebagai fungsi dari kepadatan kendaraan. Selain itu, f juga dipengaruhi oleh faktor
perlambatan (seperti angin dan lain-lain), dengan konstanta perlambatan dinotasikan D.
Jadi didefinisikan fungsi f sebagai berikut:
(31)
.
Pada situasi lalu lintas di jalan raya, pengendara cenderung untuk mengemudi pada
kecepatan tertentu
(yang merupakan batas kecepatan maksimum), tetapi dengan
kondisi lalu lintas yang semakin padat, pengemudi akan melambatkan kecepatan dari
kecepatan maksimum yang diizinkan. Hubungan paling sederhana dari situasi tersebut
dapat dijelaskan oleh persamaan berikut:
(32)
.
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil
(tidak padat), maka
pengendara mengemudikan kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika
(sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0).
Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut:
,
, dan
,
. Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam
dengan
persamaan (33) maka diperoleh:
[
Jika dimisalkan
]
dan
, dengan
.
(34)
, maka persamaan (34) menjadi
atau
.
(35)
Penurunan persamaan (34) dan (35) dapat dilihat di Lampiran 6.
Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan
Burgers (26) yang akan diselesaikan dengan metode numerik dan metode perturbasi
homotopi. Berikut ini konstruksi numerik persamaan Burgers (26) dan konsep dasar
metode perturbasi homotopi.
8
Metode Numerik
Misalkan persamaan Burgers (26) dinyatakan sebagai berikut:
[
] , dengan
[
]
(36)
.
Jika kedua ruas pada persamaan (36) diintegralkan terhadap x dari
sampai
,
maka diperoleh
∫
[
]
(37)
.
Pendekatan numerik dari setiap suku pada persamaan (37) adalah:
[
]
[
∫
(
[
)
(
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)]
(
(
)
)
,
]
dan
[
]
(
)
(
) .
Jika bentuk-bentuk di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (37), kemudian dibagi
dengan h, maka diperoleh
(38)
dengan
.
Jika diskretisasi turunan terhadap waktu digunakan, maka diperoleh rumus rekursif dari
penyelesaian numerik persamaan Burgers (36) sebagai berikut:
(39)
,
dengan (
) merupakan rata-rata
dan
.
9
Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur
pada (Taghizadeh et al. 2011). Untuk mengilustrasikan ide dasar dari metode ini,
diberikan persamaan diferensial taklinear berikut:
[
dengan kondisi batasnya adalah
]
(40)
(41)
dengan operator turunan taklinear, operator batas,
fungsi yang diketahui, Ω
adalah domain,
adalah batas dari domain Ω dan
adalah fungsi yang akan
ditentukan yang bergantung pada . Operator
dapat dikatakan terpisah dalam dua
bagian yaitu dan , dengan adalah operator linear dan adalah operator taklinear,
sehingga persamaan (40) dapat ditulis sebagai berikut:
[
]
[
]
(42)
.
Dalam metode homotopi, dikonstruksikan suatu homotopi berikut:
yang memenuhi persamaan berikut:
atau
[
[
]
]
[
]
(
)
,
(43)
[ ] adalah suatu parameter, dan
dengan adalah fungsi perturbasi homotopi,
adalah pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (40) yang memenuhi kondisi
awal. Jelas bahwa:
(44)
.
Berdasarkan persamaan (43), maka penyelesaian persamaan
masing-masing diperoleh
(45)
dan
dan
.
Proses peningkatan nilai p dari 0 ke 1 yang mengakibatkan perubahan v(r,p) dari
ke u(r) disebut deformasi. Bentuk
dan
disebut
sebagai homotopi dalam topologi. Jika parameter ;
yang disebut parameter
kecil digunakan dalam perturbasi klasik, maka diasumsikan bahwa persamaan (44) dan
(45) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam
yaitu:
.
(46)
10
Jika
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan (43) sebagai
(47)
.
Kombinasi dari metode perturbasi dan metode homotopi disebut metode perturbasi
homotopi. Deret (47) adalah konvergen bagi banyak kasus. Bagaimanapun juga, tingkat
kekonvergenan deret (47) bergantung pada operator taklinear
.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi Metode
Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas
Tinjau model persamaan untuk masalah arus lalu lintas yang diberikan dalam
persamaan Burgers (48) berikut:
(48)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
,
dengan kata lain pada posisi awal tingkat kepadatan mobil lebih kecil dari setengah
tingkat kepadatan maksimum, kemudian pada posisi akhir tingkat kendaraan tidak padat
. Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (48)
dan (49) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut:
.
(50)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dengan bentuk deret berikut:
.
(51)
11
Jika persamaan (51) disubstitusikan ke dalam persamaan (50), kemudian dipisahkan
berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien
dan
masingmasing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien
∑
Pendekatan awal
berbentuk:
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 masing-masing adalah
∫
∫
∫
∫
sedangkan
,
,
, dan
dapat dilihat pada Lampiran 7.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan
(49) hingga orde ke-delapan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah
(53)
Penurunan persamaan (52) dan (53) dapat dilihat di Lampiran 7. Berdasarkan
persamaan (48) dan (49), diperoleh grafik penyelesaian numerik dan grafik
penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dinyatakan dalam
[ ]. Gambar 2
dua dimensi pada saat faktor perlambatan
,
dan
menyatakan grafik penyelesaian numerik dan grafik penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi untuk masalah nilai awal (48) dan (49) dengan
,
[ ].
dan
12
u(x,t)
0.8
Metode
Perturbasi
Homotopi
0.6
................ Metode Numerik
0.4
0.2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gambar 2 Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan
metode perturbasi homotopi untuk
dan
Dari Gambar 2 diperoleh bahwa penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49)
menggunakan metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian
menggunakan metode numerik dengan rata-rata galat 0.00139027. Gambar 3
menunjukkan tingkat kepadatan mobil pada posisi x dan waktu t yang dinyatakan dalam
tiga dimensi dengan menggunakan metode numerik.
Misalkan kecepatan maksimum pada suatu jalan raya yang diperkenankan adalah 60
km/jam dengan panjang jalan raya tersebut adalah 60 km. Jadi
km/jam,
km, dan
. Gambar 3 menunjukkan tingkat kepadatan mobil yang
diperoleh berdasarkan
dengan u penyelesaian masalah nilai awal (48) dan
(49) dan
.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
0.8
0
0
0.6
0.2
0.4
0.4
0.2
0.6
x
Gambar 3 Tingkat kepadatan mobil
saat
0.8
1
t
0
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada
Berdasarkan Gambar 3, dengan
diperoleh bahwa pada posisi x=0 untuk setiap
waktu, tingkat kepadatan sebesar 0.490842
. Dengan bertambahnya jarak yang
ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin berkurang tetapi untuk
tingkat kepadatan mobil tidak nol.
13
Gambar 4 menunjukkan tingkat kepadatan kendaraan
dimensi dengan menggunakan metode numerik, untuk
, dan
.
yang dinyatakan dalam dua
,
,
,
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
t
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gambar 4 Tingkat kepadatan kendaraan
untuk
,
,
0.6
0.7
0.8
0.9
1
yang dinyatakan dalam dua dimensi
,
dan
Gambar 4 menunjukkan bahwa semakin kecil
( mendekati nol), maka
akan
semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat kepadatan kendaraan akan semakin
kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di suatu jalan raya akan semakin lancar.
Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua
Tinjau model persamaan Burgers berdimensi dua sebagai berikut:
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(55)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah
(56)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (54) dan (55)
dengan metode perturbasi homotopi. Misalkan didefinisikan operator linear L dan
operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
14
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
.
(57)
Misalkan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut:
(58)
.
Jika persamaan (58) disubstitusikan ke dalam persamaan (57), kemudian dipisahkan
berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien
dan
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
(59)
Secara umum, koefisien
∑
Pendekatan awal
berbentuk:
,
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (55) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3,... masing-masing adalah
.
Secara umum,
berbentuk:
(60)
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan
(55) dengan metode perturbasi homotopi adalah:
.
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54)
dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi:
,
.
(62)
15
Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak (56) dari masalah nilai
awal (54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini
sangat tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Penurunan
persamaan (59), (60), (61), dan (62) dapat dilihat di Lampiran 8.
SIMPULAN
Persamaan Burgers berdimensi satu diaplikasikan pada masalah arus lalu lintas.
Persamaan Burgers untuk masalah arus lalu lintas dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode numerik. Penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian dengan metode numerik.
Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi memberikan pendekatan
dengan akurasi yang lebih tinggi. Apabila diberikan faktor perlambatan
maka
pada posisi awal x=0 tingkat kepadatan mobil sebesar 0.490842
, kemudian
dengan bertambahnya jarak yang ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin
berkurang dan untuk waktu yang lama tingkat kepadatan mobil tidak nol. Hasil yang
diperoleh pada masalah arus lalu lintas juga menunjukkan bahwa semakin kecil (
mendekati nol), maka
akan semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat
kepadatan kendaraan akan semakin kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di
suatu jalan raya akan semakin lancar.
Persamaan Burgers berdimensi dua dapat diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat
dengan penyelesaian eksaknya. Semakin tinggi orde yang digunakan, maka didapatkan
penyelesaian eksaknya. Hasil dari metode perturbasi homotopi juga menunjukkan
tingkat validitas serta keakuratan yang tinggi. Hasil tersebut juga menunjukkan bahwa
metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian masalah
nilai awal persamaan linear dan taklinear dengan orde tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Burns J, Balogh A, Gilliam DS, Shubov VI. 1998. Numerical stationary solutions for a
viscous Burgers equation. Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control
8(2):1-16.
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for
nonlinear problems. International Journal of Nonlinear Mechanic 35(1):37-43.
Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method.
New York (US): Boca Raton.
Landajuela M. 2011. Burgers Equation. Paris (FR): Basque Center for Applied
Mathematics.
Piao XF, Kim SD, Kim P, Kim DH. 2012. A new time stepping method for solving one
dimensional Burgers equation. Kyungpook Mathematical Journal. 52(3):327-346.
doi:10.5666/KMJ.2012.52.3.327.
16
Shafieenejad I, Moallemi N, Afshari HH, Novinzadeh AB. 2009. Application of He’s
homotopy perturbation method for pipe flow of non-Newtonian fluid. Adv. Studies
Theor. Phys. 3(5):199-211.
Taghizadeh N, Akbari M, Afshari HH, Ghelichzadeh A. 2011. Exact solution of
Burgers equation by homotopy perturbation method and reduced differential
transformation method. Australian Journal of Basic and Applied Sciences. 5(5):580589.
17
Lampiran 1 Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8)
Perhatikan persamaan berikut:
[
|
|
Jika persamaan (1) dibagi dengan luas
diperoleh
[
]
[
|
|
dan untuk
]
|
|
[
|
(1)
].
dan
|
, maka
]
atau
(3)
.
atau
Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator
sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu
(4)
sehingga turunan total dari
terhadap waktu t adalah
(5)
sehingga persamaan (3) menjadi
(6)
dengan
.
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible),
yaitu
,
maka
atau
.
Persamaan (8) merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang tak mampat.
(8)
18
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19)
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x dan untuk
adalah
[
|
[
|
|
]
[
|
|
]
[
]
|
]
|
|
[
dan
]
|
|
atau
(17)
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z dan untuk
adalah
[
|
[
|
|
]
|
[
|
]
|
[
]
|
|
]
[
|
dan
|
]
atau
(18)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut :
⃗
[
]
.
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida.
(19)
19
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (22)
Diketahui persamaan dasar fluida :
[
]
20
⃗
⃗
⃗
Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes.
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (23)
Diketahui persamaan Navier Stokes:
(22)
21
(23)
.
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (27)
Diketahui persamaan (23):
Karena variabel dan disebut sebagai gaya luar (external force) sehingga variabel
dan diabaikan dan kecepatan dalam satu arah saja, yaitu arah- , maka persamaan (23)
akan menjadi
atau
atau
.
(24)
22
Jika persamaan (24) dibagi dengan
, maka diperoleh
(25)
dengan
.
Jika mempertimbangkan masalah satu dimensi, maka persamaan (25) menghasilkan :
(26)
.
Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Persamaan umum dari persamaan Burgers, yaitu :
atau
(27)
.
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (34) dan (35)
Diketahui persamaan (31) dan (32) berikut:
.
(31)
.
(32)
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil
(tidak padat) maka
pengendara melaju kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika
(sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0).
Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh
[
atau
]
[ [
atau
]
]
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut:
,
, dan
, dengan
.
23
Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (33), maka
diperoleh:
atau
(
atau
[
]
[
atau
Misalkan:
)
[
]
[
, dengan
]
]
dan
.
(34)
, maka persamaan (34) memberikan
atau
atau
(35)
.
Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan
Burgers (26).
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (52) dan (53)
Tinjau model persamaan Burgers (48) berikut:
(48)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
,
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
24
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
(50)
.
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dalam bentuk deret berikut:
(51)
.
Jika persamaan (51) diturunkan satu kali terhadap
maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap ,
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (50), maka diperoleh:
(
)
atau
Kemudian persamaan di atas dipisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka
koefisien
dan
masing-masing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien
∑
berbentuk:
.
25
Pendekatan awal
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4 diperoleh sebagai berikut:
Koefisien
memberikan penyelesaian:
dengan penyelesaian
.
Koefisien
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian
Koefisien
∫
.
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian
∫
Koefisien
atau
memberikan penyelesaian :
.
26
dengan penyelesaian
∫
Koefisien
memberikan penyelesaian :
atau
dengan penyelesaian
∫
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan
(49) hingga orde ke-n dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah
(53)
.
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62)
Tinjau model persamaan untuk persamaan Burgers berdimensi dua (54) berikut:
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(55)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah
(56)
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
.
(57)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut:
.
(58)
27
Jika persamaan (58) diturunkan satu kali terhadap
dan , maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (57), maka diperoleh:
Kemudian pisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p , maka koefisien
dan
masing-masing memberikan persamaan berikut:
(59)
Secara umum, koefisien
berbentuk:
∑
Pendekatan awal
yaitu:
,
dipilih berdasarkan syarat awal
.
pada persamaan (55)
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3 diperoleh sebagai berikut:
28
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian
.
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian:
.
Jika syarat awal
digunakan, maka diperoleh
.
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian:
∫[
atau
]
.
digunakan, maka diperoleh
Jika syarat awal
.
Koefisien
memberikan penyelesaian :
dengan penyelesaian:
∫[
atau
]
.
digunakan, maka diperoleh
Jika syarat awal
.
Secara umum,
berbentuk:
.
(60)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan
(55) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah:
29
=
.
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54)
dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi:
,
.
(62)
Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
(54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini sangat
tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua.
30
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Desember 1988 sebagai anak pertama
dari dua bersaudara, anak dari pasangan Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan Roseline
Yather Aden.
Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Teladan lulus pada
tahun 1995, SD Santo Antonius 1 Jakarta Timur lulus pada tahun 2001, SMP
Marsudirini Jakarta Timur lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 31 Jakarta Timur lulus
pada tahun 2007 dan pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Keilmuan pada tahun 2009.
Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa matematika
seperti Matematika Ria 2009 sebagai staf divisi Khusus dan Pelatihan Komputasi
(PLATKOM) 2009 sebagai ketua panitia.
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
2
3
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya
pada Masalah Arus Lalu Lintas adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Oktober 2013
Christopher Danny
NIM G54070051
4
ABSTRAK
CHRISTOPHER DANNY. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk
Menyelesaikan Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu
Lintas. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan FARIDA HANUM.
Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan
kendaraan bermotor, dan pelanggaran aturan lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas
sering terjadi karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan
kendaraannya. Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan
agar dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan
kecepatan yang diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada
masalah arus lalu lintas ini akan dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan
yang mengacu pada persamaan Burgers. Persamaan Burgers diselesaikan dengan
metode perturbasi homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi dibandingkan dengan metode numerik.
Kata kunci: persamaan Burgers, metode perturbasi homotopi, masalah arus lalu
lintas
ABSTRACT
CHRISTOPHER DANNY. The Use of Homotopy Perturbation Method for
Solving the Burgers Equation and Implementing Traffic Flow Problems.
Supervised by JAHARUDDIN and FARIDA HANUM.
Traffic flow problems are frequently referred as problems of congestion,
accidents and traffic violations. Traffic accidents often occur because the vehicle
drivers can not control the speed of their vehicle. One of the efforts that must be
made by the vehicle drivers to control the speed of their vehicle is driving under
the road speed limit. On this traffic flow problems, the road speed limit will be
assessed based on the Burgers equation. The Burgers equation can be solved by
the homotopy perturbation methods. The results of the homotopy perturbation
method will be compared to the results of numerical methods.
Keywords : Burgers equation, homotopy perturbation method, traffic flow
problems
5
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN PERSAMAAN BURGERS
DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH
ARUS LALU LINTAS
CHRISTOPHER DANNY
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas
Christopher Danny
Nama
: 054070051
NIM
Disetujui oleh
Dr J aharuddin, MS
Pembimbing I
Tanggal Lulus:
22 OCT 2 11
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
vii
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Persamaan Burgers dan Penerapannya pada Masalah Arus Lalu Lintas
Nama
: Christopher Danny
NIM
: G54070051
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Dra Farida Hanum, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Berlian Setiawaty, MS
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
viii
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan terima
kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan ibu Roseline Yather Aden, beserta adik
Samuel Christie, seluruh keluarga atas semua doa, dukungan, semangat,
pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih sayangnya,
2. Dr Jaharuddin, MS, Dra Farida Hanum, MSi dan Drs Siswandi, MSi masing-masing
sebagai dosen pembimbing I, dosen pembimbing II dan dosen penguji luar atas
semua ilmu, kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini,
3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya,
4. Kakak Matematika 43, adik Matematika 45 dan 46 atas bantuan, saran dan semua
ilmunya, teman-teman Matematika 44, Andrew, Daniel, Josia, Parulian dan temanteman lainnya di luar Departemen Matematika IPB atas kebersamaan, bantuan,
dukungan dan motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitianpenelitian selanjutnya.
Bogor, Oktober 2013
Christopher Danny
ix
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
x
DAFTAR LAMPIRAN
x
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penulisan
2
LANDASAN TEORI
2
Persamaan Burgers
2
Masalah Arus Lalu Lintas
6
Metode Numerik
8
Metode Perturbasi Homotopi
9
HASIL DAN PEMBAHASAN
10
Aplikasi Metode
10
Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas
10
Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua
13
SIMPULAN
15
DAFTAR PUSTAKA
15
RIWAYAT HIDUP
30
x
DAFTAR GAMBAR
1.
Sistem koordinat fluida dua dimensi
2
2.
Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan
metode perturbasi homotopi untuk
dan
12
3.
Tingkat kepadatan mobil
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada saat
12
4.
Tingkat kepadatan kendaraan
,
,
,
yang dinyatakan dalam dua dimensi untuk
dan
13
DAFTAR LAMPIRAN
1.
Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8)
17
2.
Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19)
18
3.
Penurunan Persamaan (22)
19
4.
Penurunan Persamaan (23)
20
5.
Penurunan Persamaan (27)
21
6.
Penurunan Persamaan (34) dan (35)
22
7.
Penurunan Persamaan (52) dan (53)
23
8.
Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62)
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Model matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di
alam dan dalam kehidupan sehari-hari. Umumnya model matematika tersebut berupa
masalah taklinear. Masalah arus lalu lintas adalah contoh masalah dalam kehidupan
sehari-hari. Masalah arus lalu lintas sering berupa masalah kemacetan, kecelakaan
kendaraan bermotor, dan pelanggaran lalu lintas. Kecelakaan lalu lintas sering terjadi
karena pengemudi kendaraan tidak dapat mengendalikan kecepatan kendaraannya.
Salah satu upaya yang harus dilakukan oleh pengemudi kendaraan agar dapat
mengendalikan kecepatan kendaraannya adalah melaju dengan kecepatan yang
diperkenankan pada saat kondisi-kondisi tertentu di jalan. Pada karya ilmiah ini akan
dikaji besaran kecepatan yang diperkenankan yang mengacu pada persamaan Burgers.
Selain digunakan pada masalah arus lalu lintas, persamaan Burgers juga muncul
pada masalah mekanika fluida, khususnya sebagai model persamaan untuk kecepatan
aliran fluida, dinamika gas, dan gerak gelombang. Persamaan Burgers pertama kali
diperkenalkan oleh Johannes Martinus Burgers (1939). Persamaan Burgers telah
digunakan oleh banyak peneliti. Burns et al. (1998) telah menyelesaikan persamaan
Burgers dengan faktor gesekan secara numerik, Taghizadeh et al. (2011) menyelesaikan
persamaan Burgers dengan menggunakan metode transformasi diferensial tereduksi,
Piao et al. (2012) menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dengan suatu
metode numerik, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan persamaan
Burgers. Persamaan Burgers dapat diturunkan dari persamaan Navier Stokes.
Persamaan Navier Stokes didapat dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar
fluida merupakan persamaan-persamaan gerak aliran fluida. Penurunan persamaan dasar
fluida ini dilakukan berdasarkan hukum kekekalan massa dan hukum kekekalan
momentum. Setiap hukum memberikan persamaan yang selanjutnya dinamakan
persamaan kontinuitas untuk hukum kekekalan massa dan persamaan gerak untuk
hukum kekekalan momentum. Persamaan kontinuitas diturunkan dengan asumsi fluida
yang ditinjau tak termampatkan (incompressible) dengan rapat massa yang homogen
dan gerak partikel fluida yang tak berotasi (irrotational). Persamaan gerak diturunkan
dengan asumsi fluida mengalami transfer momentum, yaitu adanya sirkulasi aliran
fluida (convection) dan momentum yang dipindahkan akibat adanya perbedaan tiap
lapis aliran. Analog dengan penurunan persamaan Burgers dari persamaan Navier
Stokes, persamaan Burgers pada masalah arus lalu lintas diturunkan berdasarkan
analogi bahwa rapat massa fluida dinyatakan oleh kepadatan kendaraan sehingga
persamaan kontinuitas berlaku. Model persamaan untuk masalah arus lalu lintas
merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Pada karya ilmiah ini, akan digunakan metode perturbasi homotopi untuk
menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi satu dan berdimensi dua. Konsep dari
metode perturbasi homotopi pertama kali diajukan oleh He JH pada tahun 2000. Metode
ini merupakan kombinasi dari bentuk homotopi dan metode perturbasi. Dalam metode
ini, penyelesaiannya diberikan dalam bentuk deret tak hingga. Metode perturbasi
homotopi bergantung pada suatu parameter kecil dalam persamaan. Banyak peneliti
telah menggunakan metode perturbasi homotopi, seperti He (2000) mengkaji teknik
homotopi dan teknik perturbasi untuk suatu masalah taklinear, Shafieenejad et al.
2
(2009) menggunakan metode perturbasi homotopi pada masalah aliran pipa fluida non
Newtonian, dan masih banyak lagi peneliti yang telah menggunakan metode perturbasi
homotopi.
Tujuan Penulisan
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka tujuan penulisan ini ialah:
1) menurunkan kembali persamaan Burgers dari persamaan Navier Stokes dan
memperluas pada masalah arus lalu lintas,
2) menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan masalah arus lalu
lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua dan membandingkan hasil-hasilnya
dengan metode numerik,
3) menafsirkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode perturbasi homotopi pada
penyelesaian masalah arus lalu lintas dan persamaan Burgers berdimensi dua.
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam penyusunan karya
ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi persamaan Burgers yang disarikan dari
(Landajuela 2011), dan konsep dasar metode perturbasi homotopi yang disarikan dari
(Taghizadeh et al. 2011).
Persamaan Burgers
Persamaan Burgers diturunkan dari persamaan dasar fluida. Persamaan dasar
fluida diturunkan berdasarkan kesetimbangan massa terhadap elemen luas
yang
dilalui partikel fluida, seperti pada Gambar 1. Pada elemen luas tersebut, laju perubahan
massa rata-rata merupakan selisih antara massa rata-rata yang masuk dan yang keluar.
Misalkan
merupakan rapat massa fluida dan kecepatan partikel fluida dalam
arah sumbu dan sumbu masing-masing dinotasikan dengan
dan . Rata-rata
massa yang masuk pada elemen luas dalam arah x dan z masing-masing adalah
|
|
dan
. Rata-rata massa yang keluar dalam arah x dan z adalah
|
|
dan
.
Gambar 1 Sistem koordinat fluida dua dimensi
3
Berdasarkan kesetimbangan massa, maka laju perubahan massa dalam elemen luas
tersebut adalah
[
|
Jika persamaan (1) dibagi dengan
[
sehingga untuk
|
dan
|
| ]
]
[
|
|
, maka diperoleh
|
[
| ]
].
(1)
(2)
, diperoleh
atau
(3)
.
Persamaan (3) menyatakan rata-rata perubahan rapat massa sebagai hasil dari perubahan
. Persamaan (3) dikenal sebagai
pada vektor kerapatan massa
, dengan
persamaan kontinuitas.
Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator
sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu
(4)
.
Jadi turunan total dari
terhadap waktu t adalah
.
(5)
Persamaan (3) menjadi
atau
.
(6)
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible),
yaitu
(7)
maka
atau
(8)
(penurunan persamaan (3), (6), dan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1). Persamaan (8)
merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang takmampat.
4
Hukum kekekalan momentum didasarkan pada kesetimbangan momentum. Pada
elemen luas dalam Gambar 1, laju perubahan momentum merupakan selisih antara
momentum yang masuk dan yang keluar serta ditambah dengan gaya-gaya yang bekerja
|
pada elemen luas tersebut. Dalam arah-x, momentum yang masuk ialah
dan
|
momentum yang keluar ialah
. Dalam arah-z, momentum yang masuk
|
|
adalah
dan yang keluar adalah
.
Jadi kesetimbangan momentum pada komponen-x adalah
[
|
dan pada komponen-z adalah
[
|
|
|
]
]
[
|
[
|
|
],
|
(9)
].
(10)
Misalkan tegangan geser diperhatikan, maka tegangan geser pada arah perpindahan
momentum pada komponen-x dan arah kecepatan terhadap sumbu-x dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-z dan arah kecepatan-x
dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan momentum-x dan arah
kecepatan-z dinotasikan sebagai
. Tegangan geser pada arah perpindahan
momentum-z dan arah kecepatan-z dinotasikan sebagai
.
Tegangan geser pada komponen-x adalah
[
|
|
]
Tegangan geser pada komponen-z adalah
[
|
|
|
[
]
|
|
[
|
].
(11)
].
(12)
Faktor lain yang terlibat dalam hukum momentum ialah gaya-gaya yang terjadi pada
elemen luas. Gaya-gaya tersebut muncul sebagai tekanan fluida p dan gaya gravitasi .
Jadi jumlah gaya yang bekerja dalam arah-x adalah
[
|
|
]
(13)
sedangkan jumlah gaya yang bekerja dalam arah-z adalah
[
|
|
]
(14)
.
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x adalah
(15)
.
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z adalah
(16)
.
Jika perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas dan hasil-hasil dari Persamaan
(9), (10), (11), (12), (13), (14), (15), dan (16) digunakan pada hukum kekekalan
momentum, kemudian persamaan yang diperoleh dibagi dengan
, dan limit dari
dan
diambil menuju ke nol, maka diperoleh masing-masing komponen-x dan z
sebagai berikut:
.
(17)
5
.
(18)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut :
dengan,
[
,
]
(19)
.
, dan
.
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida. Penurunan persamaan (17), (18), dan
(19) dapat dilihat di Lampiran 2.
Dengan menggunakan persamaan kontinuitas (5), maka persamaan (17) dan (18)
masing-masing menjadi
.
.
(20)
(21)
Dalam notasi vektor, persamaan (20) dan (21) ditulis
.
(22)
Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes. Penurunan persamaan (22) dapat
dilihat di Lampiran 3.
Tegangan geser erat kaitannya dengan aliran fluida kental (viscous fluid).
Konstanta kekentalan (viscosity) fluida dinotasikan sebagai . Hubungan antara dan
ialah
,
,
,
dan
.
Jadi persamaan (22) menjadi
.
(23)
Penurunan persamaan (23) dapat dilihat di Lampiran 4.
Selanjutnya asumsikan gaya yang bekerja pada sistem hanya gaya gesekan sedangkan
gaya luar (external force) diabaikan. Gaya luar (external force) yang bekerja pada
sistem adalah gaya yang diakibatkan oleh tekanan (p) dan gaya gravitasi (g). Persamaan
(23) menjadi
6
atau
(24)
.
Kekentalan erat kaitannya dengan kekentalan kinematik (kinematic viscosity).
Kekentalan dibagi rapat massa fluida disebut sebagai kekentalan kinematik yang
. Jika persamaan (24) dibagi dengan rapat massa
dinotasikan sebagai , yaitu
fluida
akan diperoleh
.
(25)
Khusus untuk masalah satu dimensi, persamaan (25) memberikan
(26)
.
Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Secara umum persamaan Burgers berdimensi n adalah
atau
.
(27)
Penurunan persamaan (27) dapat dilihat di Lampiran 5.
Salah satu contoh masalah yang memunculkan persamaan Burgers adalah masalah arus
lalu lintas. Berikut ini diberikan penggunaan persamaan Burgers berdimensi satu pada
masalah arus lalu lintas.
Masalah Arus Lalu Lintas
Pada masalah arus lalu lintas berdimensi satu, diasumsikan mobil melaju di jalan
raya. Mobil melaju dalam satu arah (misalkan dalam arah horizontal). Kepadatan mobil
di jalan dilambangkan dengan
dengan x dan t masing-masing ialah koordinat
horizontal dan waktu. Misalkan
adalah nilai pada
dengan
adalah nilai pada saat mobil dalam keadaan berhimpitan bumper ke bumper.
Jika diasumsikan kepadatan mobil konstan, yaitu
(28)
maka
,
(29)
dengan v kecepatan kendaraan dalam arah-x.
Secara umum, bila kecepatan kendaraan berubah, maka diperoleh persamaan berikut:
atau
7
(30)
.
dengan
. Namun kenyataannya kendaraan tidak melaju konstan. Seorang
pengendara terkadang harus melambatkan kecepatan kendaraannya pada saat kondisi
lalu lintas padat sehingga
atau dengan kata lain, kecepatan kendaraan
sebagai fungsi dari kepadatan kendaraan. Selain itu, f juga dipengaruhi oleh faktor
perlambatan (seperti angin dan lain-lain), dengan konstanta perlambatan dinotasikan D.
Jadi didefinisikan fungsi f sebagai berikut:
(31)
.
Pada situasi lalu lintas di jalan raya, pengendara cenderung untuk mengemudi pada
kecepatan tertentu
(yang merupakan batas kecepatan maksimum), tetapi dengan
kondisi lalu lintas yang semakin padat, pengemudi akan melambatkan kecepatan dari
kecepatan maksimum yang diizinkan. Hubungan paling sederhana dari situasi tersebut
dapat dijelaskan oleh persamaan berikut:
(32)
.
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil
(tidak padat), maka
pengendara mengemudikan kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika
(sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0).
Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut:
,
, dan
,
. Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam
dengan
persamaan (33) maka diperoleh:
[
Jika dimisalkan
]
dan
, dengan
.
(34)
, maka persamaan (34) menjadi
atau
.
(35)
Penurunan persamaan (34) dan (35) dapat dilihat di Lampiran 6.
Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan
Burgers (26) yang akan diselesaikan dengan metode numerik dan metode perturbasi
homotopi. Berikut ini konstruksi numerik persamaan Burgers (26) dan konsep dasar
metode perturbasi homotopi.
8
Metode Numerik
Misalkan persamaan Burgers (26) dinyatakan sebagai berikut:
[
] , dengan
[
]
(36)
.
Jika kedua ruas pada persamaan (36) diintegralkan terhadap x dari
sampai
,
maka diperoleh
∫
[
]
(37)
.
Pendekatan numerik dari setiap suku pada persamaan (37) adalah:
[
]
[
∫
(
[
)
(
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
(
)
)]
(
(
)
)
,
]
dan
[
]
(
)
(
) .
Jika bentuk-bentuk di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (37), kemudian dibagi
dengan h, maka diperoleh
(38)
dengan
.
Jika diskretisasi turunan terhadap waktu digunakan, maka diperoleh rumus rekursif dari
penyelesaian numerik persamaan Burgers (36) sebagai berikut:
(39)
,
dengan (
) merupakan rata-rata
dan
.
9
Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan alur
pada (Taghizadeh et al. 2011). Untuk mengilustrasikan ide dasar dari metode ini,
diberikan persamaan diferensial taklinear berikut:
[
dengan kondisi batasnya adalah
]
(40)
(41)
dengan operator turunan taklinear, operator batas,
fungsi yang diketahui, Ω
adalah domain,
adalah batas dari domain Ω dan
adalah fungsi yang akan
ditentukan yang bergantung pada . Operator
dapat dikatakan terpisah dalam dua
bagian yaitu dan , dengan adalah operator linear dan adalah operator taklinear,
sehingga persamaan (40) dapat ditulis sebagai berikut:
[
]
[
]
(42)
.
Dalam metode homotopi, dikonstruksikan suatu homotopi berikut:
yang memenuhi persamaan berikut:
atau
[
[
]
]
[
]
(
)
,
(43)
[ ] adalah suatu parameter, dan
dengan adalah fungsi perturbasi homotopi,
adalah pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (40) yang memenuhi kondisi
awal. Jelas bahwa:
(44)
.
Berdasarkan persamaan (43), maka penyelesaian persamaan
masing-masing diperoleh
(45)
dan
dan
.
Proses peningkatan nilai p dari 0 ke 1 yang mengakibatkan perubahan v(r,p) dari
ke u(r) disebut deformasi. Bentuk
dan
disebut
sebagai homotopi dalam topologi. Jika parameter ;
yang disebut parameter
kecil digunakan dalam perturbasi klasik, maka diasumsikan bahwa persamaan (44) dan
(45) dapat dinyatakan sebagai deret kuasa dalam
yaitu:
.
(46)
10
Jika
berikut:
, maka diperoleh penyelesaian pendekatan dari persamaan (43) sebagai
(47)
.
Kombinasi dari metode perturbasi dan metode homotopi disebut metode perturbasi
homotopi. Deret (47) adalah konvergen bagi banyak kasus. Bagaimanapun juga, tingkat
kekonvergenan deret (47) bergantung pada operator taklinear
.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Aplikasi Metode
Kasus pertama : Masalah arus lalu lintas
Tinjau model persamaan untuk masalah arus lalu lintas yang diberikan dalam
persamaan Burgers (48) berikut:
(48)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
,
dengan kata lain pada posisi awal tingkat kepadatan mobil lebih kecil dari setengah
tingkat kepadatan maksimum, kemudian pada posisi akhir tingkat kendaraan tidak padat
. Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (48)
dan (49) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi.
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut:
.
(50)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dengan bentuk deret berikut:
.
(51)
11
Jika persamaan (51) disubstitusikan ke dalam persamaan (50), kemudian dipisahkan
berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien
dan
masingmasing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien
∑
Pendekatan awal
berbentuk:
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4,5,6,7,8 masing-masing adalah
∫
∫
∫
∫
sedangkan
,
,
, dan
dapat dilihat pada Lampiran 7.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan
(49) hingga orde ke-delapan dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah
(53)
Penurunan persamaan (52) dan (53) dapat dilihat di Lampiran 7. Berdasarkan
persamaan (48) dan (49), diperoleh grafik penyelesaian numerik dan grafik
penyelesaian dengan menggunakan metode perturbasi homotopi yang dinyatakan dalam
[ ]. Gambar 2
dua dimensi pada saat faktor perlambatan
,
dan
menyatakan grafik penyelesaian numerik dan grafik penyelesaian dengan menggunakan
metode perturbasi homotopi untuk masalah nilai awal (48) dan (49) dengan
,
[ ].
dan
12
u(x,t)
0.8
Metode
Perturbasi
Homotopi
0.6
................ Metode Numerik
0.4
0.2
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Gambar 2 Penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49) dengan metode numerik dan
metode perturbasi homotopi untuk
dan
Dari Gambar 2 diperoleh bahwa penyelesaian masalah nilai awal (48) dan (49)
menggunakan metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian
menggunakan metode numerik dengan rata-rata galat 0.00139027. Gambar 3
menunjukkan tingkat kepadatan mobil pada posisi x dan waktu t yang dinyatakan dalam
tiga dimensi dengan menggunakan metode numerik.
Misalkan kecepatan maksimum pada suatu jalan raya yang diperkenankan adalah 60
km/jam dengan panjang jalan raya tersebut adalah 60 km. Jadi
km/jam,
km, dan
. Gambar 3 menunjukkan tingkat kepadatan mobil yang
diperoleh berdasarkan
dengan u penyelesaian masalah nilai awal (48) dan
(49) dan
.
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
1
0.8
0
0
0.6
0.2
0.4
0.4
0.2
0.6
x
Gambar 3 Tingkat kepadatan mobil
saat
0.8
1
t
0
yang dinyatakan dalam tiga dimensi pada
Berdasarkan Gambar 3, dengan
diperoleh bahwa pada posisi x=0 untuk setiap
waktu, tingkat kepadatan sebesar 0.490842
. Dengan bertambahnya jarak yang
ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin berkurang tetapi untuk
tingkat kepadatan mobil tidak nol.
13
Gambar 4 menunjukkan tingkat kepadatan kendaraan
dimensi dengan menggunakan metode numerik, untuk
, dan
.
yang dinyatakan dalam dua
,
,
,
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
t
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Gambar 4 Tingkat kepadatan kendaraan
untuk
,
,
0.6
0.7
0.8
0.9
1
yang dinyatakan dalam dua dimensi
,
dan
Gambar 4 menunjukkan bahwa semakin kecil
( mendekati nol), maka
akan
semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat kepadatan kendaraan akan semakin
kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di suatu jalan raya akan semakin lancar.
Kasus kedua : Persamaan Burgers berdimensi dua
Tinjau model persamaan Burgers berdimensi dua sebagai berikut:
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(55)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah
(56)
Berikut ini akan dicari penyelesaian dari masalah nilai awal persamaan (54) dan (55)
dengan metode perturbasi homotopi. Misalkan didefinisikan operator linear L dan
operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
14
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
.
(57)
Misalkan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut:
(58)
.
Jika persamaan (58) disubstitusikan ke dalam persamaan (57), kemudian dipisahkan
berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka koefisien
dan
masing-masing
memberikan persamaan berikut:
(59)
Secara umum, koefisien
∑
Pendekatan awal
berbentuk:
,
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (55) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3,... masing-masing adalah
.
Secara umum,
berbentuk:
(60)
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan
(55) dengan metode perturbasi homotopi adalah:
.
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54)
dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi:
,
.
(62)
15
Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak (56) dari masalah nilai
awal (54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini
sangat tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Penurunan
persamaan (59), (60), (61), dan (62) dapat dilihat di Lampiran 8.
SIMPULAN
Persamaan Burgers berdimensi satu diaplikasikan pada masalah arus lalu lintas.
Persamaan Burgers untuk masalah arus lalu lintas dapat diselesaikan dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi dan metode numerik. Penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi konsisten dengan penyelesaian dengan metode numerik.
Hal ini menunjukkan bahwa metode perturbasi homotopi memberikan pendekatan
dengan akurasi yang lebih tinggi. Apabila diberikan faktor perlambatan
maka
pada posisi awal x=0 tingkat kepadatan mobil sebesar 0.490842
, kemudian
dengan bertambahnya jarak yang ditempuh kendaraan, tingkat kepadatan mobil semakin
berkurang dan untuk waktu yang lama tingkat kepadatan mobil tidak nol. Hasil yang
diperoleh pada masalah arus lalu lintas juga menunjukkan bahwa semakin kecil (
mendekati nol), maka
akan semakin kecil ( mendekati nol) sehingga tingkat
kepadatan kendaraan akan semakin kecil (tidak padat). Ini berarti kondisi lalu lintas di
suatu jalan raya akan semakin lancar.
Persamaan Burgers berdimensi dua dapat diselesaikan dengan metode perturbasi
homotopi. Hasil yang diperoleh dengan metode perturbasi homotopi sangat dekat
dengan penyelesaian eksaknya. Semakin tinggi orde yang digunakan, maka didapatkan
penyelesaian eksaknya. Hasil dari metode perturbasi homotopi juga menunjukkan
tingkat validitas serta keakuratan yang tinggi. Hasil tersebut juga menunjukkan bahwa
metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk menentukan penyelesaian masalah
nilai awal persamaan linear dan taklinear dengan orde tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Burns J, Balogh A, Gilliam DS, Shubov VI. 1998. Numerical stationary solutions for a
viscous Burgers equation. Journal of Mathematical Systems, Estimation, and Control
8(2):1-16.
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation technique for
nonlinear problems. International Journal of Nonlinear Mechanic 35(1):37-43.
Liao SJ. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method.
New York (US): Boca Raton.
Landajuela M. 2011. Burgers Equation. Paris (FR): Basque Center for Applied
Mathematics.
Piao XF, Kim SD, Kim P, Kim DH. 2012. A new time stepping method for solving one
dimensional Burgers equation. Kyungpook Mathematical Journal. 52(3):327-346.
doi:10.5666/KMJ.2012.52.3.327.
16
Shafieenejad I, Moallemi N, Afshari HH, Novinzadeh AB. 2009. Application of He’s
homotopy perturbation method for pipe flow of non-Newtonian fluid. Adv. Studies
Theor. Phys. 3(5):199-211.
Taghizadeh N, Akbari M, Afshari HH, Ghelichzadeh A. 2011. Exact solution of
Burgers equation by homotopy perturbation method and reduced differential
transformation method. Australian Journal of Basic and Applied Sciences. 5(5):580589.
17
Lampiran 1 Penurunan Persamaan (3), (6), dan (8)
Perhatikan persamaan berikut:
[
|
|
Jika persamaan (1) dibagi dengan luas
diperoleh
[
]
[
|
|
dan untuk
]
|
|
[
|
(1)
].
dan
|
, maka
]
atau
(3)
.
atau
Penulisan bentuk lain dari persamaan (3) adalah dengan menggunakan operator
sebagai simbol untuk turunan total terhadap waktu t, yaitu
(4)
sehingga turunan total dari
terhadap waktu t adalah
(5)
sehingga persamaan (3) menjadi
(6)
dengan
.
Berdasarkan asumsi bahwa fluida yang ditinjau tak termampatkan (incompressible),
yaitu
,
maka
atau
.
Persamaan (8) merupakan persamaan kontinuitas untuk fluida yang tak mampat.
(8)
18
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (17), (18), dan (19)
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-x dan untuk
adalah
[
|
[
|
|
]
[
|
|
]
[
]
|
]
|
|
[
dan
]
|
|
atau
(17)
Perubahan rata-rata momentum dalam elemen luas pada arah-z dan untuk
adalah
[
|
[
|
|
]
|
[
|
]
|
[
]
|
|
]
[
|
dan
|
]
atau
(18)
Persamaan (17) dan (18) dapat ditulis dalam notasi vektor seperti berikut :
⃗
[
]
.
Persamaan (19) disebut persamaan dasar fluida.
(19)
19
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (22)
Diketahui persamaan dasar fluida :
[
]
20
⃗
⃗
⃗
Persamaan (22) disebut persamaan Navier Stokes.
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (23)
Diketahui persamaan Navier Stokes:
(22)
21
(23)
.
Lampiran 5 Penurunan Persamaan (27)
Diketahui persamaan (23):
Karena variabel dan disebut sebagai gaya luar (external force) sehingga variabel
dan diabaikan dan kecepatan dalam satu arah saja, yaitu arah- , maka persamaan (23)
akan menjadi
atau
atau
.
(24)
22
Jika persamaan (24) dibagi dengan
, maka diperoleh
(25)
dengan
.
Jika mempertimbangkan masalah satu dimensi, maka persamaan (25) menghasilkan :
(26)
.
Persamaan (26) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu.
Persamaan umum dari persamaan Burgers, yaitu :
atau
(27)
.
Lampiran 6 Penurunan Persamaan (34) dan (35)
Diketahui persamaan (31) dan (32) berikut:
.
(31)
.
(32)
Berdasarkan persamaan (32), jika kepadatan mobil
(tidak padat) maka
pengendara melaju kendaraannya dengan kecepatan maksimum. Namun, jika
(sangat padat), maka mobil berhenti (v = 0).
Jika persamaan (31) dan (32) disubstitusikan ke dalam persamaan (30), maka diperoleh
[
atau
]
[ [
atau
]
]
(33)
.
Selanjutnya didefinisikan variabel tak berdimensi berikut:
,
, dan
, dengan
.
23
Jika variabel tak berdimensi di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (33), maka
diperoleh:
atau
(
atau
[
]
[
atau
Misalkan:
)
[
]
[
, dengan
]
]
dan
.
(34)
, maka persamaan (34) memberikan
atau
atau
(35)
.
Persamaan (35) merupakan persamaan Burgers berdimensi satu, seperti pada persamaan
Burgers (26).
Lampiran 7 Penurunan Persamaan (52) dan (53)
Tinjau model persamaan Burgers (48) berikut:
(48)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(49)
,
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
24
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
(50)
.
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (50) dalam bentuk deret berikut:
(51)
.
Jika persamaan (51) diturunkan satu kali terhadap
maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap ,
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (50), maka diperoleh:
(
)
atau
Kemudian persamaan di atas dipisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p, maka
koefisien
dan
masing-masing memberikan persamaan berikut:
(52)
Secara umum, koefisien
∑
berbentuk:
.
25
Pendekatan awal
dipilih berdasarkan syarat awal
pada persamaan (49) yaitu:
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (52) untuk n= 0,1,2,3,4 diperoleh sebagai berikut:
Koefisien
memberikan penyelesaian:
dengan penyelesaian
.
Koefisien
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian
Koefisien
∫
.
memberikan penyelesaian:
atau
dengan penyelesaian
∫
Koefisien
atau
memberikan penyelesaian :
.
26
dengan penyelesaian
∫
Koefisien
memberikan penyelesaian :
atau
dengan penyelesaian
∫
.
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (48) dengan syarat awal pada persamaan
(49) hingga orde ke-n dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah
(53)
.
Lampiran 8 Penurunan Persamaan (59), (60), (61), dan (62)
Tinjau model persamaan untuk persamaan Burgers berdimensi dua (54) berikut:
(54)
.
Misalkan syarat awal diberikan dalam bentuk:
(55)
Penyelesaian eksak masalah nilai awal (54) dan (55) adalah
(56)
Misalkan didefinisikan operator linear L dan operator taklinear A sebagai berikut:
dan
.
Berdasarkan persamaan (43) diperoleh persamaan berikut :
.
(57)
Asumsikan penyelesaian dari persamaan (57) dengan bentuk sebagai berikut:
.
(58)
27
Jika persamaan (58) diturunkan satu kali terhadap
dan , maka diperoleh :
dan diturunkan dua kali terhadap
Jika hasil-hasil di atas disubstitusikan ke dalam persamaan (57), maka diperoleh:
Kemudian pisahkan berdasarkan koefisien kepangkatan p , maka koefisien
dan
masing-masing memberikan persamaan berikut:
(59)
Secara umum, koefisien
berbentuk:
∑
Pendekatan awal
yaitu:
,
dipilih berdasarkan syarat awal
.
pada persamaan (55)
,
sehingga diperoleh pula syarat-syarat awal berikut:
.
Penyelesaian persamaan (59) untuk n= 0,1,2,3 diperoleh sebagai berikut:
28
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian
.
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian:
.
Jika syarat awal
digunakan, maka diperoleh
.
Koefisien
memberikan:
dengan penyelesaian:
∫[
atau
]
.
digunakan, maka diperoleh
Jika syarat awal
.
Koefisien
memberikan penyelesaian :
dengan penyelesaian:
∫[
atau
]
.
digunakan, maka diperoleh
Jika syarat awal
.
Secara umum,
berbentuk:
.
(60)
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (54) dengan syarat awal pada persamaan
(55) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi adalah:
29
=
.
(61)
Jika deret geometri digunakan, maka diperoleh penyelesaian dari persamaan (54)
dengan syarat awal pada persamaan (55) dengan metode perturbasi homotopi:
,
.
(62)
Hasil ini menunjukkan kesesuaian dengan penyelesaian eksak dari masalah nilai awal
(54) dan (55). Dengan demikian metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk
menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua. Akurasi dari metode ini sangat
tinggi untuk menyelesaikan persamaan Burgers berdimensi dua.
30
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 7 Desember 1988 sebagai anak pertama
dari dua bersaudara, anak dari pasangan Ramot Mulia Tunggal Sitompul dan Roseline
Yather Aden.
Pendidikan formal yang telah ditempuh penulis yaitu di TK Teladan lulus pada
tahun 1995, SD Santo Antonius 1 Jakarta Timur lulus pada tahun 2001, SMP
Marsudirini Jakarta Timur lulus pada tahun 2004, SMA Negeri 31 Jakarta Timur lulus
pada tahun 2007 dan pada tahun 2007 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor (IPB) melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan Gugus
Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf divisi Keilmuan pada tahun 2009.
Berbagai kegiatan kepanitiaan penulis ikuti selama menjadi mahasiswa matematika
seperti Matematika Ria 2009 sebagai staf divisi Khusus dan Pelatihan Komputasi
(PLATKOM) 2009 sebagai ketua panitia.