Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Getaran Taklinear
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN
MASALAH GETARAN TAKLINEAR
TIKA PURWANTI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(2)
ABSTRAK
TIKA PURWANTI. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Masalah Getaran Taklinear. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear pada model matematikanya, salah satunya masalah getaran. Secara analitik masalah taklinear ini sulit untuk diselesaikan, sehingga diperlukan suatu metode pendekatan analitik. Dalam tulisan ini masalah getaran taklinear diselesaikan menggunakan metode homotopi. Penggunaan metode homotopi dilakukandengan mendefinisikan fungsi homotopi yang memerlukan parameter bantu untuk mengontrol daerah kekonvergenan penyelesaian. Penyelesaianyang dihasilkan merupakansuatu rumus rekursif dengan suatu hampiran awal yang diberikan. Dengan menggunakan software
MAPLE diperoleh penyelesaian berupa besaran frekuensi dan titik keseimbangan yang konvergen ke suatu nilai. Kekonvergenan dari penyelesaian bergantung pada pemilihan nilai parameter bantu dalam fungsi homotopi.
(3)
ABSTRACT
TIKA PURWANTI. The Use of Homotopy Methods to Solve Nonlinear Oscillation Problem. Supervised by JAHARUDDIN and ALI KUSNANTO.
Nonlinear problem is a problem that contains nonlinear mathematical equation. One example of nonlinear problem is oscillation. Nonlinear problem is difficult to solve directly, so it needs an analytical approach. Homotopy method is one of the known analytical approaches. In this paper, nonlinear oscillation problem is solved using the homotopy method. The use of homotopy method is done by defining a homotopy function that requires auxiliary parameters to control the convergence region of the solution. The solutionis a recursive formula with given initial conditions. A case study using MAPLE shows that oscillation frequency and the equilibrium position converge to some certain values. This convergence of solution depends on the selection of auxiliary parameters in the homotopy function.
(4)
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK MENYELESAIKAN
MASALAH GETARAN TAKLINEAR
TIKA PURWANTI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
(5)
Menyetujui,
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr. Jaharuddin, MS Drs. Ali Kusnanto, M.Si
NIP. 19651102 199302 1 001 NIP. 19650820 199003 1 001
Mengetahui
Ketua Departemen
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus :
Judul Skripsi
: Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan
Masalah Getaran Taklinear
Nama
: Tika Purwanti
(6)
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penyusunan karya ilmiah ini juga tidak lepas dari bantuan berbagai pihak. Oleh karena itu penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam proses penyusunan karya ilmiah ini antara lain :
1. Alm. Sunardi (Ayah) dan Sutanti (Ibu) selaku orangtua, Rizal Adi Saputra, adik-adikku Ichsan Setiawan dan Annisa Fatika atas semua do’a, dukungan, semangat, pengorbanan, nasihat, perhatian, dan kasih sayang sehingga penulis dapat menyelesaikan karya ilmiah ini.
2. Dr. Jaharuddin, MS. selaku dosen pembimbing pertamadan Drs. Ali Kusnanto, M.Si selaku pembimbing kedua atas semua ilmu, motivasi, dan bantuannya selama penulisan karya ilmiah ini.
3. Drs. Siswandi M.Si selaku dosen penguji atas saran dan kritik untuk perbaikan penulisan karya ilmiah ini.
4. Seluruh dosen Departemen Matematika yang telah memberikan ilmu kepada penulis. 5. Seluruh staf Departemen Matematika yang telah membantu dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini.
6. Keluarga besar Karya Salemba Empat (KSE) atas dukungan dan bantuannya.
7. Teman terbaik Ade Nelvia dan Surya Pratiwi yang selalu memberikan motivasi dan semangat kepada penulis.
8. Teman-teman Math 45: Ana, Santi, Isna, Dewi, Wulan, Fina, dan semuanya. 9. Teman-teman kost Wisma Ayu.
Penulis menyadari bahwa karya ilmiah ini memiliki kekurangan sehingga perlu masukan. Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi penelitian-penelitian selanjutnya.
Bogor, September 2012
(7)
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sukoharjo tanggal 5 Januari 1991 sebagai anak pertama dari tiga bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sutanti. Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di SDN 08 Pagi Cilandak lulus pada tahun 2002, SMPN 37 Jakarta lulus pada tahun 2005, SMAN 34 Jakarta lulus pada tahun 2008 dan pada tahun yang sama penulis di terima di Institut Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis pernah berkecimpung dalam himpunan profesi Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai staf kesekretariatan tahun 2009-2010. Penulis mendapat beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) periode 2008-2010, beasiswa Karya Salemba Empat (KSE) periode 2010-2012. Selain itu penulis juga pernah menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Kalkulus II, menjadi pengajar bimbel di sekitar kampus, serta pengajar di Bimbingan Test Alumni (BTA).
(8)
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ... ix
DAFTAR GAMBAR ... ix
DAFTAR LAMPIRAN ... ix
I PENDAHULUAN ... 1
1.1 Latar Belakang ... 1
1.2 Tujuan ... 1
1.3 Sistematika Penulisan ... 1
II LANDASAN TEORI ... 2
2.1 Masalah Nilai Awal ... 2
2.2 Konsep Deret Taylor ... 2
2.3 Persamaan Osilasi Bebas Taklinear ... 2
2.4 Metode Homotopi ... 3
2.5 Contoh Kasus ... 4
III HASIL PEMBAHASAN ... 6
3.1 Analisis Metode ... 6
3.2 Aplikasi Metode ... 6
3.3 Hasil Numerik ... 10
IV KESIMPULAN ... 13
DAFTAR PUSTAKA ... 14
(9)
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Pendekatan analitik hingga orde saat ... 11
2 Pendekatan analitik hingga orde saat ... 12
DAFTAR GAMBAR
Halaman 1 Perubahan getaran pada pegas ... 22 Perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (2.19) dengan beberapa nilai ... 5
3 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ... 11
4 Fungsi titik keseimbangan terhadap parameter bantu saat ... 11
5 Perbandingan penyelesaian numerik denganpenyelesaian dengan metode homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat ... 11
6 Fungsi frekuensi terhadap parameter bantu saat ... 12
7 Fungsi titik keseimbangan terhadapparameter bantu saat ... 12
8 Perbandingan penyelesaian numerik dengan penyelesaian dengan metode homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat ... 12
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman 1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19) ... 162 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31) ... 18
3 Penurunan Persamaan (3.32) ... 22
4 Penurunan Persamaan (3.36) ... 23
5 Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan(3.45)-(3.47) ... 25
6 Program Maple untuk Gambar 3 ... 29
7 Program Maple untuk Gambar 4 ... 29
8 Program Maple untuk Gambar 5 ... 29
9 Program Maple untuk Gambar 6 ... 29
10 Program Maple untuk Gambar 7 ... 29
(10)
I PENDAHULUAN
1.1 Latar BelakangModel matematika dapat digunakan untuk menjelaskan fenomena yang terjadi di alam. Umumnya model matematika tersebut berupa masalah yang melibatkan persamaan diferensial taklinear.
Masalah taklinear merupakan masalah yang memuat bentuk taklinear dan biasanya digunakan dalam beberapa bidang ilmu seperti fisika, teknik, dan sebagainya. Contoh dalam bidang fisikaadalah masalah getaran atau osilasi. Getaran banyak terjadi pada beberapa aspek kehidupan manusia. Salah satunya pada tubuh manusia yaitu osilasi frekuensi rendah pada jantung dan osilasi frekuensi tinggi pada telinga. Selain itu, getaran atau osilasi juga terjadi pada mesin seperti mesin cuci, kipas angin, dan sebagainya. Penelitian tentang getaran dilakukan oleh Galileo Galilei yang berhasil menunjukkan adanya hubungan antara frekuensi, amplitudo, dan periode getaran (Balachandran danMagrab 2009).
Getaran atau osilasi merupakan gerak suatu partikel yang bergerak bolak-balik melalui lintasan yang sama dalam suatu periode waktu. Terdapat dua jenis getaran, yaitu getaran bebas dan getaran paksa. Getaran paksa merupakan getaran yang terjadi karena rangsangan gaya luar secara terus menerus. Jika rangsangan tersebut berosilasi, maka sistem dipaksa untuk bergetar pada frekuensi rangsangan. Contoh getaran paksa adalah getaran gedung pada saat gempa bumi, sedangkan getaran bebas terjadi jika sistem dibiarkan bergetar secara bebas setelah diberi gangguan atau gaya dari luar sistem.Jika gaya yang diberikan dalam bentuk linear, maka model matematika dari getaran bebas tersebut berbentuk linear, sedangkan apabila gaya yang yang diberikan berbentuk taklinear, maka model matematika dari getaran bebas tersebut berbentuk taklinear. Contoh getaran bebas adalah memukul garpu tala dan membiarkannya bergetar.
Penyelesaian masalah taklinear biasanya sulit dilakukan.Terdapat beberapa metode pendekatan yang bersifat analitik untuk menyelesaikan masalah taklinear, diantaranya adalah metode perturbasi. Metode perturbasi digunakan untuk masalah taklinear yang mengandung parameter ketaklinearan yang kecil. Karena tidak semua masalah taklinear memuat parameter ketaklinearan yang kecil, maka dikembangkan metodenon-perturbasi seperti metode dekomposisi Adomian. Metode
dekomposisi Adomian adalah penyelesaian masalah taklinear yang dinyatakan dalam suatu deret pangkat dan hanya terdefinisi pada daerah kekonvergenannya (Adomian 1988). Namun metode perturbasi dan non-perturbasi tersebut tidak dapat menentukan cara sederhana untuk mengontrol kekonvergenan dari pendekatan daerah penyelesaiannya
(Jianmin dan Zhengcai 2008). Tahun 1992, Liao menggunakan ide-ide dasar homotopi dari topologi untuk mengusulkan suatu metode untuk menyelesaikan masalah taklinear secara umum yang dinamakan metode homotopi. Terdapat beberapa keunggulan dari metode ini yaitu tetap valid walaupun masalah taklinear tersebut memiliki sembarang parameter (Liao 2004).
Karya ilmiah ini akan membahas penyelesaian masalah getaran bebas dengan ketaklinearan berupa fungsi kuadrat menggunakan metode homotopi dimana faktor taklinear tidak perlu diperlemah sehingga metode homotopi dapat digunakan.
1.2 Tujuan
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan karya ilmiah ini adalah :
a. Mengkonstruksi suatu rumus rekursif berdasarkan fungsi homotopi yang melibatkan suatu fungsi bantu untuk menyelesaikan masalah getaran taklinear b. Menentukan parameter bantu yang tepat
agar penyelesaian segera mencapai kekonvergenan.
c. Menggambarkan frekuensi dan simpangan dari getaran dengan ketaklinearan berupa fungsi kuadrat.
1.3 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri dari empat bab. Bab pertama merupakanpendahuluan yang berisi latar belakang, tujuan, dan sistematika penulisan karya ilmiah. Bab kedua merupakan landasan teori yang berisi beberapa istilah dan konsep dari metode homotopi untuk menyelesaikan persamaan getaran bebas taklinear yang digunakan dalam pembahasan. Bab ketiga berupa pembahasan yang berisi analisis metode homotopi yang akan digunakan untuk menyelesaikan persamaan getaran bebas taklinear dan aplikasi berupa hasil numerik disajikan untuk memperlihatkan validitas dari metode homotopi. Bab keempat berisi kesimpulan dari karya ilmiah ini.
(11)
2
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendukung karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi masalah nilai awal, konsep dasar deret Taylor, penurunan persamaan osilasi bebasdan konsep metode homotopi.
2.1 Masalah Nilai Awal
Penyelesaian dari persamaan diferensial adalah suatu fungsi yang tidak lagi mengandung turunan-turunan yang memenuhi persamaan diferensial tersebut. Dalam penyelesaian persamaan diferensial terdapat penyelesaian umum dan penyelesaian khusus. Untuk memperoleh penyelesaian khusus dibutuhkan suatu syarat awal atau syarat batas. Masalah nilai awal adalah suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan diberikannya suatu nilai awal. Bentuk umum dari suatu masalah nilai awal dinyatakan oleh
( )
dengan syarat awal:
Hasil yang diperoleh dari masalah nilai awal berupa penyelesaian khusus dimana tidak terdapat lagi konstanta atau variabel hasil pengintegralan dari persamaan diferensial.
Selanjutnya masalah nilai batas adalah suatu masalah untuk menyelesaikan persamaan diferensial dengan diberikannya suatu syarat batas pada selang tertentu. Misalkan diberikan suatu persamaan diferensial kemudian akan ditentukan suatu penyelesaian pada daerah dalam selang
dengan dan , maka dan merupakan syarat batas.
(Stanley 1994)
2.2 Konsep Deret Taylor
Deret Taylor adalah bentuk khusus dari suatu fungsi yang dapat digunakan sebagai pendekatan dari integral suatu fungsi yang tidak memiliki antiturunan elementer dan dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial.
Misalkan fungsi sebarang yang dapat dinyatakan sebagai suatu deret pangkat sebagai berikut
(2.1) dengan menyatakan koefisien deret pangkat dan menyatakan titik pusatnya.
Jika fungsi dinyatakan dalam bentuk deret berikut ( ) 0 ( ) ( ) ! n n n f a x a n
(2.2) maka deret (2.2) disebut deret Taylor dari fungsi yang berpusat di .(Kreyszig 1998)
2.3Persamaan Osilasi Bebas Tak Linear
Persamaan osilasi biasanya digunakan pada masalah getaran sebuah pegas yang diregangkan(Halliday 1987).
Tinjau pegas yang terdapat pada Gambar 1. Mula-mula pegas dalam keadaan diam lalu diregangkan sepanjang sehingga menyebabkan gaya pada pegas meningkat. Hal ini memperlihatkan bahwa adalah gaya yang sebanding dengan regangan sebesar , yaitu
adalah konstanta pegas. Tanda negatif mengidentifikasi bahwa regangan yang diberikan berlawanan dengan gaya yang dihasilkan.
Saat pegas dalam keadaan setimbang terjadi simpangan sebesar yang diukur
(12)
dari keseimbangan. Jika posisi awal lalu diregangkan sehingga , maka menurut hukum Hooke, gaya yang bekerja pada pegas diberikan oleh
(2.3) Kemudian menurut hukum Newton kedua, gaya yang yang bekerja pada pegas berbentuk
(2.4)
dengan adalah gaya, massa, dan
merupakan percepatan getaran yang dapat dituliskan sebagai , maka persamaan (2.4) menjadi
(2.5)
Dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.5), maka didapat persamaan untuk model getaran pegas dalam bentuk linear berikut
(2.6)
Misalkan terdapat sebarang gaya luar yang bekerja pada pegas dan bentuknya taklinear kuadratik, misalnya
[ ]
dengan adalah konstanta. Persamaan (2.6) menjadi
(2.7)
Bentuk umum dari persamaan (2.7) dapat dituliskan sebagai berikut
[ ]. (2.8)
Secara fisis, getaran bebas merupakan suatu gerak yang periodik. Misalkan dan masing-masing adalah frekuensi dan amplitudo getaran, maka didefinisikan titik keseimbangan getaran sebagai berikut
∫
dengan periode getaran yang dinyatakan oleh
Misalkan
dan , dengan bernilai tak nol.
2.4 Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopidari (Liao 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut :
[ ] (2.9) dengan suatu operator turunan taklinear, variabel bebas dan fungsi yang akan ditentukan. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear yang memenuhi
[ ] bila (2.10) Misalkan operator dibagi menjadi dua bagian, yaitu dan yang masing-masing merupakan operator linear dan taklinear, sehingga persamaan diferensial (2.9) menjadi
[ ] [ ]
Misalkan merupakan pendekatan awal dari persamaan (2.9) dan [ ] suatu parameter. Didefinisikan suatu fungsi sebagai berikut :
[ ] [ ] [ ]
(2.11) Berdasarkan persamaan (2.11), maka untuk
dan masing-masing memberikan persamaan berikut :
[ ] [ ]
dan
[ ] [ ].
Sehingga menurut persamaan (2.9), (2.10), dan (2.11) diperoleh bahwa fungsi :
dan
masing-masing merupakan penyelesaian dari persamaan
[ ]
dan
(13)
4
Dengan demikian peningkatan nilai dari 0 ke 1 menyatakan perubahan nilai [ ] dari
[ ] ke [ ]. Dalam topologi hal ini disebut dengan deformasi.
Untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear diperlukan perluasan konsep dasar metode homotopi. Perluasan dari konsep dasar metode homotopi yang telah diuraikan di atas memerlukan fungsi yang bergantung pada parameter dan fungsi . Kemudian akan ditentukan solusi dari persamaan (2.9) yang akan diperoleh dari penyelesaian persamaan deformasi orde nol berikut:
[ ] [ ]
(2.12) dengan merupakan pemetaan dari , [ ] merupakan operator taklinear, serta dan yang masing-masing merupakan parameter dan fungsi bantu.
Berdasarkan persamaan (2.12), maka pada saat dan akan diperoleh:
(2.13) dan
. (2.14) Karena parameter bernilai dari sampai , maka memetakan dari penduga awal ke penyelesaian eksak
Selanjutnya dengan menggunakan konsep deret Taylor, dapat diuraikan menjadi ∑ (2.15) dengan | (2.16) Kemudian dengan menurunkan persamaan (2.12) terhadap hingga kali dan mengevaluasi pada kemudian dibagi oleh , maka diperoleh persamaan berikut: [ ] [ ⃗ ] (2.17) dengan ⃗ , [ ⃗ ] [ ] (2.18) dan
0,
1
1, lainnya.
m
m
m
Dengan demikian apabila diberikan masalah taklinear dengan persamaan diferensial pada persamaan (2.9), maka dengan metode homotopi diperoleh penyelesaian pendekatan masalah taklinear tersebut sebagai berikut:
∑
dengan diperoleh dari persamaan (2.17) dan merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2.9).
2.5 Contoh Kasus
Untuk lebih memahami penggunaan metode homotopi, diberikan suatu contoh masalah taklinear yang dinyatakan dalam masalah nilai awal berikut :
( ) , (2.19)
dengan nilai awal .
Penyelesaian eksak masalah nilai awal pada persamaan (2.19) adalah
( )
Misalkan
[ ] ( )
dan
[ ]
sehingga dengan menggunakan persamaan (2.17), diperoleh
∫ [ ⃗ ]
(14)
dengan [ ⃗ ] diberikan pada persamaan (2.18). Karena dan dipilih pendekatan awal , maka diperoleh
Penurunan diberikan pada Lampiran 1 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (2.19) secara eksak dan penyelesaian dengan metode homotopi diberikan pada Gambar 2. dengan nilai dan nilai h
berbeda-beda.
Pada Gambar 2 terlihat bahwa penyelesaian eksak dan penyelesaian menggunakan metode homotopi cukup mendekati penyelesaian eksak pada saat h bernilai negatif yaitu ketika
. Sedangkan ketika h bernilai positif yaitu ketika penyelesaian berubah dengan cepat sehingga tidak mencapai kekonvergenan. Hal ini menunjukkan bahwa pemilihan nilai parameter bantu sangat berpengaruh pada hasil pendekatan penyelesaian suatu masalah taklinear.
Gambar 2 Perbandingan penyelesaian eksak dan metode homotopi dari masalah nilai awal (2.19) dengan beberapa nilai h.
(15)
6
III HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan dari metode homotopi untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode homotopi yang diterapkan dalam karya ilmiah ini mengikuti pustaka pada (Liao 2004).
3.1 Analisis Metode
Dalam karya ilmiah ini akan dibahas masalah nilai awal pada persamaan (2.7) dengan menggunakan metode homotopi untuk mencari penyelesaian pendekatannya. Masalah nilai awal tersebut secara umum dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan (2.8). Perluasan metode homotopi lebih lanjut dapat dituliskan dalam bentuk persamaan deformasi orde nol berikut :
{ [ ]} [ ]
[ ]
(3.1) Dengan adalah pendekatan awal, dan masing-masing adalah parameter bantu dan fungsi bantu kedua, sedangkan
[ ] adalah operator bantu yang bernilai nol ketika dan yang dituliskan
[ ] [ ]
Jika dan , maka dari persamaan (3.1) akan diperoleh
(3.2)
[ ] (3.3) Selanjutnya karena parameter bernilai dari 0 sampai 1, maka memetakan dari penduga awal ke penyelesaian eksak
.
Dengan menggunakan konsep deret Taylor, dapat diuraikan menjadi
∑ (3.4) dimana |
Selanjutnya, dengan menurunkan persamaan (3.1) terhadap hingga kali kemudian mengevaluasi pada dan dibagi akan diperoleh bentuk persamaan orde ke-m
berikut: [ ] [ ⃗ ] (3.5) dengan [ ⃗ ] [ ] | [ ] | dan
0,
1
1, lainnya.
m
m
m
Untuk , persamaan (3.4)menjadi
∑
(3.6) Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (2.7) dengan pendekatan awal dan
yang akan ditentukan. Penyelesaian pendekatan diperoleh dari persamaan (3.5) dengan terlebih dahulu menentukan operator linear . Pemilihan operator linear perlu memerhatikan validitas dari metode homotopi.
3.2 Aplikasi Metode
Berikut ini akan dibahas mengenai penggunaan metode homotopi yang telah diuraikan sebelumnya. Tinjau persamaan getaran bebas berikut
(3.7) dengan syarat awal
dan (3.8) dengan waktu dan suatu konstanta.
(16)
Untuk menggunakan metode homotopi, misalkan
dan sehingga persamaan (3.7) menjadi
[ ] (3.9) dan syarat awal
(3.10) Misalkan diberikan fungsi basis berupa fungsi cosinus berikut:
{ | } (3.11) maka penyelesaian dari persamaan (3.9) berbentuk
∑
(3.12)
dengan adalah koefisien deret.
Berikut ini akan ditentukan penyelesaian dari masalah nilai awal (3.9) dengan
menggunakan pendekatan metode homotopi. Operator linear yang dipilih adalah
[ ]
(3.13) Berdasarkan operator diperoleh
. (3.14)
dimana dan adalah konstanta.
Kemudian dari persamaan (3.9) didefinisikan operator taklinear sebagai berikut:
[ ]
[ ]
(3.15) dengan [ ] merupakan suatu parameter,
adalah fungsi yang bergantung pada dan , fungsi yang bergantung pada . Didefinisikan fungsi homotopi
sebagai berikut:
[ ]
[ ] [ ]
{ [ ] [ ] [ ] }
(3.16) dengan merupakan pendekatan awal
dari penyelesaian dan fungsi didefinisikan sebagai berikut:
[ ] [ ]
yang serupa dengan persamaan (2.8)
Selanjutnya, misalkan fungsi yang akan dibahas adalah penyelesaian dari persamaan berikut:
; ,q Ω ,Δ ,q q H ,H2 , , ,h h q2 0
atau [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] (3.17) dengan syarat awal|
Berdasarkan persamaan (3.17), untuk
diperoleh
, , yang masing-masing merupakan pendekatan awal dari . Kemudian untuk
, diperoleh
, , . yang merupakan pendekatan analitik dari
, dan dengan metode homotopi. Berdasarkan nilai awal (3.10) dan persamaan (3.12), pendekatan awal dari penyelesaian dipilih berbentuk:
. (3.18)
Pemilihan pendekatan awal tersebut menjamin adanya fungsi yang dapat diturunkan hingga kali terhadap .
(17)
8
Turunan ke- dari fungsi ,
, dan terhadap di masing-masing dinotasikan sebagai berikut:
| (3.19) | (3.20) | (3.21) Deret Taylor dari fungsi , , dan
di sekitar masing-masing adalah
∑ (3.22) ∑ (3.23) ∑ (3.24) Selanjutnya, dengan pemilihan parameter bantu , serta fungsi bantu dan
mengakibatkan kekonvergenan dari persamaan (3.22), (3.23), dan (3.24) di dan berdasarkan
, , ,
, , , maka untuk diperoleh
∑ (3.25) ∑ (3.26) ∑ (3.27) Hasil ini menunjukkan adanya hubungan antara penyelesaian eksak dari persamaan (3.9) dengan pendekatan awal , , ,dan , yang akan
ditentukan. Persamaan untuk menentukan
diperoleh jika kedua ruas dari persamaan (3.17) diturunkan terhadap hingga kali dan dievaluasi pada kemudian dibagi , maka akan diperoleh persamaan berikut:
[ ]
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗⃗ ]
(3.28) dengan syarat awal
(3.29) dimana [ ⃗ ⃗⃗ ] [ ] (3.30) dan [ ⃗⃗ ] (∑ ∑ ) [ ( ) ( )] (3.31) dengan ( ) [ ] dan
Penurunan diberikan pada Lampiran 2 Jika persamaan (3.9) disubstitusikan ke persamaan (3.30) dan (3.31), maka diperoleh bentuk yang lebih sederhana sebagai berikut: [ ⃗ ⃗⃗ ] ∑ ∑ ∑ (3.32) dan ( ) ∑ , (3.33)
0,
1
1, lainnya.
m
m
m
(18)
dengan
Penurunan diberikan pada Lampiran 3 Terdapat tiga variabel yang akan ditentukan yaitu , , dan
ketika atau , , dan
ketika , sedangkan hanya terdapat satu persamaan yaitu persamaan (3.28) untuk
. Dengan demikian dibutuhkan suatu persamaan tambahan untuk menentukan dan ketika atau dan ketika .
Berdasarkan persamaan (3.12) dan (3.28) dapat dipilih fungsi bantu dan berikut
, dengan dan bilangan bulat. Untuk penyederhanaan dipilih , sehingga .
Kemudian berdasarkan persamaan (3.12), ruas kanan persamaan (3.28) dapat dinyatakan sebagai berikut:
∑
(3.34) dimana suatu bilangan bulat bergantung pada m dan merupakan koefisien deret yang bernilai nol saat . Berdasarkan persamaan (3.14) diperoleh penyelesaian dari persamaan (3.28) memuat bentuk jika . Selain itu ketika
menghasilkan penyelesaian yang memuat konstanta
. Kedua bentuk
tersebut tidak memenuhi persamaan (3.12),sehingga dipilih
(3.35) Jadi penyelesaian masalah nilai awal persamaan (3.9)-(3.10) berbentuk
∑
dimana dan adalah konstanta integral. Penurunan diberikan pada Lampiran 4 Berdasarkan nilai awal (3.29) diperoleh
. Untuk menjamin bahwa amplitudo osilasi sama dengan , digunakan
(3.37) yang juga digunakan untuk menentukan . Karena terdapat dua parameter yaitu , kasus pertama dipilih untuk mendapatkan solusi hampiran dari dari persamaan (3.9), sehingga dari persamaan (3.28) dan (3.35) untuk diperoleh persamaan aljabar dan sebagai berikut:
(3.38) dan
. (3.39) Kemudian dari persamaan (3.38) dan (3.39) diperoleh
(3.40) Selanjutnya dari persamaan (3.28) untuk
diperoleh pendekatan orde pertama berikut
(3.41) Untuk diperoleh pendekatan orde kedua berikut
( )
(3.42) Untuk diperoleh pendekatan orde ketiga berikut (3.36) ( ) (3.43) dan seterusnya.
(19)
10
Kemudian untuk nilai diperoleh pendekatan dan hingga orde tiga dengan menentukan pendekatan awal dan , sebagai berikut:
,
(3.44) dan dari persamaan (3.28) untuk diperoleh pendekatan orde pertama berikut:
(3.45) Kemudian untuk diperoleh pendekatan orde kedua berikut:
[ ]
(3.46) Saat diperoleh diperoleh pendekatan
orde ketiga berikut:
{
[ ]} {
[ ] [ ]}
(3.47) dan seterusnya.
Dengan demikian simpangan getaran, frekuensi getaran, dan titik keseimbangan getaran untuk masalah getaran pada persamaan (3.9) diperoleh pendekatan dalam bentuk
∑
(3.48)
∑
(3.49)
∑
(3.50)
3.3 Hasil Numerik
Untuk menyelesaikan masalah nilai awal (3.9) maka berikut ini merupakan langkah-langkah yang harus dilakukan:
1. Misalkan diberikan penyelesaian pendekatan awal dari persamaan (3.9) yaitu
2. Menentukan penyelesaian pendekatan untuk orde ke M yaitu , , dan dari persamaan (3.9) dilakukan sebagai berikut:
i. Menentukan dan dari persamaan (3.32) dan (3.33) ii. Menentukan dari persamaan
(3.28)
iii. Menentukan dan dari persamaan (3.28) dan (3.35) 3. Menentukan penyelesaian (3.9) dari
persamaan (3.48), (3.49) dan (3.50). Untuk memperoleh hasil numerik dari pendekatan dalam penyelesaian persamaan getaran bebas dengan kudratik taklinear
(20)
diperlukan nilai dari parameter yang terdapat pada persamaan getaran tersebut. Pendekatan penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada saat √ ketika . Misalkan dipilih dan Pendekatan dari nilai frekuensi dan titik keseimbangan bergantung pada parameter bantu tak nol . Gambar 3 menunjukkan bahwa penyelesaian untuk frekuensi dengan metode homotopi akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya, jika dipilih pada . Gambar 4 menunjukkan bahwa titik keseimbangan getaran akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya, jika dipilih pada .
Misalkan dipilih diperoleh hasil pendekatan analitik dari frekuensi dan titik keseimbangan getaran dengan ,
dalam Tabel 1 berikut:
Tabel 1 Pendekatan analitik hingga orde
saat
Orde ke-
Frekuensi
(ω) keseimbangan Titik (δ) 1 0.982209 −0.020416 2 0.982780 −0.020408 3 0.982880 −0.020405 4 0.982893 −0.020404 5 0.982894 −0.020404 6 0.982894 −0.020404 7 0.982894 −0.020404 8 0.982894 −0.020404 9 0.982894 −0.020404 10 0.982894 −0.020404
Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi dan titik keseimbangan mendekatinilai
dan .
Kemudian dari hasil tersebut dapat diperoleh pendekatan penyelesaian dari persamaan getaran bebas dengan ketaklinearan berbentuk fungsi kudratpada Gambar 5.
Pada Gambar 5 terlihat bahwa pendekatan metode Homotopi memiliki hasil yang hampir sesuai dengan penyelesaian numerik dari persamaan getaran bebas.
Selanjutnya untuk pendekatan penyelesaian persamaan (3.9) konvergen pada saat . Pendekatan dari nilai frekuensi dan titik keseimbangan bergantung pada parameter bantu tak nol . Gambar 6 menunjukkan bahwa penyelesaian untuk frekuensi dengan metode homotopi akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya, jika dipilih pada .2. Gambar 7 menunjukkan bahwa titik keseimbangan Gambar 3 Fungsi frekuensi terhadap
parameter bantu saat .
Gambar 5 Perbandingan penyelesaian numerik dengan penyelesaian dengan metode homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat .
Gambar 4 Fungsi titik keseimbangan terhadap parameter bantu saat .
(21)
12
getaran akan cepat mendekati penyelesaian eksaknya jika dipilih pada −1.5 −0.2.
Misalkan dipilih diperoleh hasil pendekatan analitik dari frekuensi dan titik keseimbangan getarandengan , dalam Tabel 2 berikut:
Tabel 2 Pendekatan analitik hingga orde
saat
Orde ke- Frekuensi
(ω) keseimbangan Titik (δ)
1
0.981727 −0.0199502
0.982855 −0.0203723
0.923779 −0.0204654
0.982816 −0.0204855
0.982806 −0.0204906
0.982806 −0.0204917
0.982806 −0.0204918
0.982806 −0.0204919
0.982806 −0.02049110
0.982806 −0.020491Berdasarkan Tabel 1 terlihat bahwa frekuensi dan titik keseimbangan getaran mendekati nilai dan . Kemudian diperoleh pendekatan penyelesaian persamaan getaran bebas dengan ketaklinearan berbentuk fungsi kuadrat dengan metode Homotopi terlihat pada Gambar 5 berikut:
Terlihat pada Gambar 8, hasil pendekatan dengan metode Homotopi dapat sesuai dengan hasil numerik dari model getaran bebas. Pemilihan operator bantu dan memengaruhi kekonvergenan dari penyelesaian persamaan getaran bebas dengan ketaklinearan berbentuk kuadrat.
Gambar 8 Perbandingan penyelesaian numerik dengan penyelesaian dengan metode homotopi orde ke-2 dan orde ke-9 saat
. Gambar 6 Fungsi frekuensi terhadap
parameter bantu saat .
Gambar 7 Fungsi titik keseimbangan terhadap parameter bantu saat .
(22)
IV KESIMPULAN
Metode homotopi merupakan salah satu metode untuk menyelesaikan suatu masalah taklinear. Metode homotopi memerlukan suatu parameter bantu dan operator linear dan taklinear yang dipilih berdasarkan model persamaan yang muncul dalam masalah tersebut. Parameter bantu dalam metode homotopi mempengaruhi daerah penyelesaian masalah taklinear.
Model getaran dengan ketaklinearan berbentuk kuadrat merupakan salah satu masalah yang dapat diselesaikan menggunakan metode homotopi. Persamaan dalam model getaran tersebut memuat frekuensi dan titik keseimbangan getaran yang ditentukan dalam metode ini. Dalam metode ini, diperoleh suatu rumus rekursif untuk menentukan frekuensi dan titik keseimbangan getaran.
Dengan menggunakan software Maple diperoleh penyelesaian masalah getaran
taklinear serta pendekatan analitik dari frekuensi dan titik keseimbangan getaran. Dalam penelitian ini, diperoleh bahwa semakin tinggi orde yang digunakan maka hampiran penyelesaian mendekati penyelesaian eksaknya. Pemilihan parameter untuk dan memengaruhi daerah kekonvergenan dari solusi hampiran untuk frekuensi dan titik keseimbangan getaran. Jika amplitudo getaran dipilih dan , maka parameter dipilih pada dan untuk medapatkanfrekuensi yang mendekati penyelesaian eksaknya. Sedangkan titik keseimbangan getaran memenuhi pada
. dalam hal , pemilihan
pada memberikan nilai frekuensi yang mendekati penyelesaian eksaknya, sedangkan untuk memberikan nilai titik keseimbangan getaran yang mendekati penyelesaian eksaknya.
(23)
14
DAFTAR PUSTAKA
Adomian G. 1988. A review of TheDecomposition Method in Applied Mathematics. J. Math. Anal. Appl., 135, 501-544.
Balachandran B,Magrab E.2009.
Oscillation 2nd edition. Nelson Education Ltd, Kanada.
Jianmin W, Zhengcai C.2008. Nonlinear
oscillations with parametric excitation solvedby homotopy analysis method.
Acta Mech Sin(24:325–329).
Halliday R. 1987. Fisika Jilid 1.Edisi Ketiga. P Silaban dan E Sucipto, penerjemah. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Physics, 3rd Edition.
Kreyszig E. 1998. Advanced Engineering Mathematics 8th edition. John Wiley, New York.
Liao S.2004. Beyond Pertubation: Introduction to the Homotopy Analysis Method. Boca Raton, New York Washington,D.C.
Stanley JF.1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications. Mc Graw-Hill Inc, USA.
(24)
(25)
16
Lampiran 1 Penyelesaian pada Contoh Masalah Nilai Awal (2.19)
Perhatikan masalah nilai awal (2.19) berikut:
( ) ,
Didefinisikan
[ ] ( ) dan [ ]
Dengan menggunakan persamaan (2.20) yaitu
[ ] [ ⃗ ]
diperoleh
[ ] [ ⃗ ]
atau
∫ [ ⃗ ]
atau
∫ [ ⃗ ]
Jika dipilih , maka diperoleh
∫ [ ⃗ ]
atau
∫ [ ]
Karena dan dipilih pendekatan awal , maka untuk m = 1
∫ [
∫
( ) ∫
Untuk m = 2
∫ ( ( ))
∫ ( ) ∫
( ) ( )
∫
(26)
Dengan cara yang sama untuk nilai m yang lainnya, diperoleh barisan sebagai berikut
. .
.
Dengan demikian penyelesaian masalah nilai awal (2.19) dengan menggunakan metode homotopi adalah
atau
(27)
18
Lampiran 2 Penurunan Persamaan (3.28), (3.30), dan (3.31)
Tinjau persamaan (3.17) sebagai berikut:
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ]
atau
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ]
Turunan pertama terhadap q dari kedua ruas persamaan (3.17), diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
[ ]
| [ ]
[ ]| [ ] | [ ] [ ] |
[ ] | [ ] |
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di atas menjadi
[ |
]
[ ]|
[ [ ] |
]
atau
[ ] [ ]|
[ [ ] |
]
(28)
Selanjutnya, jika kedua ruas pada persamaan (3.17) diturunkan dua kali (m = 2) terhadap q maka diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
( )
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
[ ]
|
[ ]
|
[ ] |
[ ]
|
[ ] |
|
( )|
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di atas menjadi
[ |
|
]
[ ] |
( [ ] | [ ] |
)
(29)
20
[ ] [ ] |
( [ ] |
[ ] |
)
Dengan cara yang sama dengan sebelumnya, untuk m = 3,diperoleh
[ ]
[ ]
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ]
[ ]
Untuk q = 0 kemudian kedua ruas dikalikan
diperoleh
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
[ ]
|
|
|
Karena dan berdasarkan persamaan (3.19)-(3.21), maka persamaan di atas menjadi
(30)
[ |
|
]
[ ] |
(
[ ]
|
[ ]
| )
atau
[ ] [ ] |
(
[ ]
|
[ ]
| )
Dengan demikian secara umum diperoleh untuk m = 1,2,3,...
[ ]
[ ]
|
(∑
∑
)
[ ]
|
[ ]
|
atau
[ ] [ ⃗ ⃗⃗ ] [ ⃗⃗ ]
dengan
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ] [ ⃗⃗ ] (∑ ∑
) [ ( ) ( )]
dan
( ) [ ]
0,
1
1, lainnya.
mm
m
(31)
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (3.32)
Tinjau Persamaan (3.30) berikut:
[ ⃗ ⃗⃗ ]
[ ]
dan persamaan (3.15) Untuk m = 1
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ]| [ ] |
atau
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ]
karena , , dan maka diperoleh
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ]
Untuk m = 2
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ]
(
[ ] | )
|
Berdasarkan persamaan (3.15)-(3.21) diperoleh
[ ⃗ ⃗⃗ ] [ ]
Dengan demikian secara umum untuk , diperoleh
[ ⃗ ⃗⃗ ] ∑ ∑
∑
dengan
(32)
Lampiran 4 Penurunan Persamaan (3.36)
Karena [ ] [
], dan berdasarkan persamaan (3.28) dan (3.34)
berikut
[ ] ∑
maka diperoleh
( ) ∑
atau
( ) ∑
Penyelesaian tak homogen diperoleh dengan metode koefisien tak tentu, untuk , misalkan
∑
∑
∑
∑
∑
Jadi,
∑
∑
Untuk ,
( ) ∑
∑
(33)
24 ∑ ∑ Misal ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ dan seterusnya.
Sehingga bentuk sebagai berikut:
∑
Penyelesaian homogennya sebagai berikut:
persamaan karakteristik :
diperoleh penyelesaian
sehingga diperoleh solusi homogennya sebagai berikut
Secara umum bentuk dapat dituliskan sebagai berikut:
∑
(34)
Lampiran 5. Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan (3.45)-(3.47) Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43)
> restart; > m:=10:
> V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U): > k:=1..4:
> if k=1 then chi:=0; else
chi:=1; fi: > p1:=0:
for j from 0 to k-1 do q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i]; od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2) od:
> p1:=combine(p1,trig): > p1:=frontend(expand,[p1]): > p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]); od:
> p2:=combine(p2,trig): > p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2: > p:=frontend(expand,[p]):
> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)): > q:=indets(p):
> r:=0:
for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])) fi; od;
> r:
> frontend(expand,[r]): > C:=p-frontend(expand,[r]):
> sol_delta:=solve({C=0},[delta[k-1]]): > if k=1 then
if (signum(rhs(sol_delta[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then delta[0]:=rhs(sol_delta[2][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[2],coef_cos),[omega[0]]); else
delta[0]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[0]]); fi;
else
delta[k-1]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[k-1]]); fi:
> if k=1 then
if (signum(rhs(sol_omega[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then omega[0]:=rhs(sol_omega[2][1]);
else
(35)
26
fi; else
omega[k-1]:=rhs(sol_omega[1][1]); fi:
> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))): > uSpecial:=0:
> for j from 2 to 5 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau); od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+h/omega[0]^2*uSpecial+solution): > v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]): > appr:=0:
> for i from 0 to 4 do appr:=appr+V[i]; od:
> gamma:
> appr0:=unapply(appr,(h,gamma,a,tau)): > omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i]; od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1): > omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)): > omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i]; od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2): > omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)): > omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i] end do;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3); > omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x); > delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i] od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=delta_appr1*gamma:
> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1): > delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)): > delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i]; od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)): > delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i] od;
> delta_appr3;
(36)
> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);
Program Maple Persamaan (3.45)-(3.47)
> restart: > m:=10:
> V:=array(0..m): > V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U): > h2:=-1:
> delta[0]:=(omega[0]^2-1)/(2*gamma): > k:=1..3:
> if k=1 then chi:=0; else
chi:=1; fi: > p1:=0:
for j from 0 to k-1 do q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i]; od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2) od:
> p1:=combine(p1,trig): > p1:=frontend(expand,[p1]): > p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]); od:
> p2:=combine(p2,trig): > p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2: > p:=frontend(expand,[p]):
> p3:=0:
for j from 0 to k do
p3:=p3+omega[j]*omega[k-j]; od:
> p4:=0:
for j from 0 to k-1 do
p4:=p4+omega[j]*omega[k-1-j]; od:
> p4:
> p_omega:=-a*cos(tau)*(p3-chi*p4)*h2: > p5:=0:
for j from 0 to k do
p5:=p5+delta[j]*delta[k-j]; od:
> p6:=0:
for j from 0 to k-1 do p6:=p6+delta[j]*delta[k-1-j]; od:
> p_delta:=(delta[k]+gamma*p5-chi*(delta[k-1]+gamma*p5))*h2: > p:=p*h+p_omega+p_delta:
> p:=frontend(expand,[p]): > q:=indets(p):
> nops(q): > r:=0:
(37)
28
> for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])); fi od:
> r:
> C:=p-frontend(expand,[r]): > coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):
> p:=p-frontend(expand,[coef_cos*cos(tau)])-C: > sol_delta:=solve(C,[delta[k]]):
> sol_omega:=solve(coef_cos,[omega[k]]): > delta[k]:=rhs(sol_delta[1][1]):
> omega[k]:=rhs(sol_omega[1][1]): > solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))): > uSpecial:=0:
> for j from 2 to 4 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau); od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+1/omega[0]^2*uSpecial+solution): > v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]): > V[k]:=frontend(expand,[V[k]]):
> omega[0]:=(1-16/9*a^2*gamma^2)^(1/4): > omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i]; od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1): > omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)): > omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i]; od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2): > omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)): > omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i] od;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3); > omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x); > delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i] od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=simplify(delta_appr1*gamma): > delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1): > delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)): > delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i]; od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)): > delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
(38)
od;
> delta_appr3;
> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma)); > delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);
Lampiran 6. Program Mapleuntuk Gambar 3
> appr2 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr2 := appr2+omega[i] end do; > appr3 := unapply(appr2, h, a, gamma);
> plot(appr3(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.5 .. 1.5);
Lampiran 7. Program Maple untuk Gambar 4
> appr1 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr1 := appr1+delta[i] end do; > appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.1 .. 0.1);
Lampiran 8. Program Maple untuk Gambar 5
> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]); > solusi := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2];
> solusi1 := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]+V[7]+V[8]+V[9]; > tau :=0.982894*t;
> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t); > grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = magenta, thickness = 2, linestyle = dash, legend = HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik1(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = yellow, thickness = 2, linestyle = dashdot, legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0; > ics := u(0) = 0.2-0.87398e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric, stiff = true, range = 0 .. 15); > plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, thickness = 2, legend = numerik); > plots[display](plot1, plot2, plot3);
Lampiran 9. Program Maple untuk Gambar 6
> appr1 := 0;
> for i from 0 to 11 do appr1 := appr1+omega[i] end do; > appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -1 .. 1.5);
Lampiran 10. Program Maple untuk Gambar 7
> appr := 0;
> for i from 0 to 11 do appr := appr+delta[i] end do; > appr0 := unapply(appr, h, a, gamma);
> plot(appr0(h, .2, 1), h = -2.3 .. 1, -0.05 .. 0.01);
Lampiran 11. Program Mapleuntuk Gambar 8
> with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]); solusi:=−0.020491V[0]+V[1]+V[2]:
> solusi1 := −0.020491+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]; > tau := 0.982806*t;
(39)
30
> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = blue, linestyle = dash, thickness = 2, legend = HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = green, linestyle = dashdot, thickness = 2, legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0; > ics := u(0) = 02-0.89363e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric,stiff=true, range = 0 .. .1);
> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, color = red, thickness = 2, legend = numerik); > plot3;
(1)
Lampiran 5. Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43) dan Persamaan (3.45)-(3.47) Program Maple Persamaan (3.40)-(3.43)
> restart; > m:=10:
> V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U): > k:=1..4:
> if k=1 then chi:=0; else
chi:=1; fi: > p1:=0:
for j from 0 to k-1 do q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i]; od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2) od:
> p1:=combine(p1,trig): > p1:=frontend(expand,[p1]): > p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]); od:
> p2:=combine(p2,trig): > p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2: > p:=frontend(expand,[p]):
> coef_cos:=coeff(p,cos(tau)): > q:=indets(p):
> r:=0:
for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])) fi; od;
> r:
> frontend(expand,[r]): > C:=p-frontend(expand,[r]):
> sol_delta:=solve({C=0},[delta[k-1]]): > if k=1 then
if (signum(rhs(sol_delta[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then delta[0]:=rhs(sol_delta[2][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[2],coef_cos),[omega[0]]); else
delta[0]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[0]]); fi;
else
delta[k-1]:=rhs(sol_delta[1][1]);
sol_omega:=solve(subs(sol_delta[1],coef_cos),[omega[k-1]]); fi:
> if k=1 then
if (signum(rhs(sol_omega[2][1])) assuming a>0 assuming gamma>0)=1 then omega[0]:=rhs(sol_omega[2][1]);
else
(2)
fi; else
omega[k-1]:=rhs(sol_omega[1][1]); fi:
> solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))): > uSpecial:=0:
> for j from 2 to 5 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau); od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+h/omega[0]^2*uSpecial+solution): > v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]): > appr:=0:
> for i from 0 to 4 do appr:=appr+V[i]; od:
> gamma:
> appr0:=unapply(appr,(h,gamma,a,tau)): > omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i]; od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1): > omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)): > omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i]; od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2): > omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)): > omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i] end do;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3); > omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x); > delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i] od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=delta_appr1*gamma:
> delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1): > delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)): > delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i]; od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)): > delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do delta_appr3 := delta_appr3+delta[i] od;
> delta_appr3;
(3)
> delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x); Program Maple Persamaan (3.45)-(3.47) > restart:
> m:=10:
> V:=array(0..m): > V[0]:=a*cos(tau):
> L:=U->omega[0]^2*(diff(U,tau$2)+U): > h2:=-1:
> delta[0]:=(omega[0]^2-1)/(2*gamma): > k:=1..3:
> if k=1 then chi:=0; else
chi:=1; fi: > p1:=0:
for j from 0 to k-1 do q:=0:
for i from 0 to j do
q:=q+omega[i]*omega[j-i]; od;
p1:=p1+q*diff(V[k-1-j],tau$2) od:
> p1:=combine(p1,trig): > p1:=frontend(expand,[p1]): > p2:=0:
for j from 0 to k-1 do
p2:=p2+(delta[j]+V[j])*(delta[k-1-j]+V[k-1-j]); od:
> p2:=combine(p2,trig): > p2:=frontend(expand,[p2]):
> p:=p1+delta[k-1]+V[k-1]+gamma*p2: > p:=frontend(expand,[p]):
> p3:=0:
for j from 0 to k do
p3:=p3+omega[j]*omega[k-j]; od:
> p4:=0:
for j from 0 to k-1 do
p4:=p4+omega[j]*omega[k-1-j]; od:
> p4:
> p_omega:=-a*cos(tau)*(p3-chi*p4)*h2: > p5:=0:
for j from 0 to k do
p5:=p5+delta[j]*delta[k-j]; od:
> p6:=0:
for j from 0 to k-1 do p6:=p6+delta[j]*delta[k-1-j]; od:
> p_delta:=(delta[k]+gamma*p5-chi*(delta[k-1]+gamma*p5))*h2: > p:=p*h+p_omega+p_delta:
> p:=frontend(expand,[p]): > q:=indets(p):
> nops(q): > r:=0:
(4)
> for i from 1 to nops(q) do
if hasfun(q[i],cos) then r:=r+coeff(p,cos(op(q[i])))*cos(op(q[i])); fi od:
> r:
> C:=p-frontend(expand,[r]): > coef_cos:=coeff(p,cos(tau)):
> p:=p-frontend(expand,[coef_cos*cos(tau)])-C: > sol_delta:=solve(C,[delta[k]]):
> sol_omega:=solve(coef_cos,[omega[k]]): > delta[k]:=rhs(sol_delta[1][1]):
> omega[k]:=rhs(sol_omega[1][1]): > solution:=rhs(dsolve(L(u(tau)))): > uSpecial:=0:
> for j from 2 to 4 do
uSpecial:=uSpecial+coeff(p,cos(j*tau))/(1-j^2)*cos(j*tau); od:
> V[k]:=subs(_C1=0,chi*V[k-1]+1/omega[0]^2*uSpecial+solution): > v:=unapply(V[k],tau):
> V[k]:=subs(_C2=solve(v(0)-v(Pi),_C2),V[k]): > V[k]:=frontend(expand,[V[k]]):
> omega[0]:=(1-16/9*a^2*gamma^2)^(1/4): > omega_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
omega_appr1:=omega_appr1+omega[i]; od:
> omega_appr1:
> omega_appr1:=subs(a=x/gamma,omega_appr1): > omega_appr1:=unapply(omega_appr1,(h,x)): > omega_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
omega_appr2:=omega_appr2+omega[i]; od:
> omega_appr2:
> omega_appr2:=subs(a=x/gamma,omega_appr2): > omega_appr2:=unapply(omega_appr2,(h,x)): > omega_appr3 := 0;
> for i from 0 to 3 do omega_appr3 := omega_appr3+omega[i] od;
> omega_appr3;
> omega_appr3 := subs(a = x/gamma, omega_appr3); > omega_appr3 := unapply(omega_appr3, h, x); > delta_appr1:=0:
> for i from 0 to 1 do
delta_appr1:=delta_appr1+delta[i] od:
> delta_appr1:
> delta_appr1:=simplify(delta_appr1*gamma): > delta_appr1:=subs(a=x/gamma,delta_appr1): > delta_appr1:=unapply(delta_appr1,(h,x)): > delta_appr2:=0:
> for i from 0 to 2 do
delta_appr2:=delta_appr2+delta[i]; od:
> delta_appr2:
> delta_appr2:=subs(a=x/gamma,simplify(delta_appr2*gamma)): > delta_appr2:=unapply(delta_appr2,(h,x)):
> delta_appr3 := 0;
(5)
od;
> delta_appr3;
> delta_appr3 := subs(a = x/gamma, simplify(delta_appr3*gamma)); > delta_appr3 := unapply(delta_appr3, h, x);
Lampiran 6. Program Mapleuntuk Gambar 3 > appr2 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr2 := appr2+omega[i] end do; > appr3 := unapply(appr2, h, a, gamma);
> plot(appr3(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.5 .. 1.5); Lampiran 7. Program Maple untuk Gambar 4 > appr1 := 0;
> for i from 0 to 8 do appr1 := appr1+delta[i] end do; > appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -0.1 .. 0.1); Lampiran 8. Program Maple untuk Gambar 5 > with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]); > solusi := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2];
> solusi1 := −0.020404+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]+V[7]+V[8]+V[9]; > tau :=0.982894*t;
> grafik := unapply(solusi, h, a, gamma, t); > grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = magenta, thickness = 2, linestyle = dash, legend = HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik1(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = yellow, thickness = 2, linestyle = dashdot, legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0; > ics := u(0) = 0.2-0.87398e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric, stiff = true, range = 0 .. 15); > plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, thickness = 2, legend = numerik); > plots[display](plot1, plot2, plot3);
Lampiran 9. Program Maple untuk Gambar 6 > appr1 := 0;
> for i from 0 to 11 do appr1 := appr1+omega[i] end do; > appr2 := unapply(appr1, h, a, gamma);
> plot(appr2(h, .2, 1), h = -3 .. 2, -1 .. 1.5); Lampiran 10. Program Maple untuk Gambar 7 > appr := 0;
> for i from 0 to 11 do appr := appr+delta[i] end do; > appr0 := unapply(appr, h, a, gamma);
> plot(appr0(h, .2, 1), h = -2.3 .. 1, -0.05 .. 0.01); Lampiran 11. Program Mapleuntuk Gambar 8 > with(plots); with(Student[NumericalAnalysis]); solusi:=−0.020491V[0]+V[1]+V[2]:
> solusi1 := −0.020491+V[0]+V[1]+V[2]+V[3]+V[4]+V[5]+V[6]; > tau := 0.982806*t;
(6)
> grafik1 := unapply(solusi1, h, a, gamma, t);
> plot1 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = blue, linestyle = dash, thickness = 2, legend = HAM_orde_2);
> plot2 := plot(grafik(-0.8, 0.2, 1, t), t = 0 .. 15, color = green, linestyle = dashdot, thickness = 2, legend = HAM_orde_6);
> ode := diff(u(t), t, t)+u(t)+1*u(t)^2 = 0; > ics := u(0) = 02-0.89363e-1, (D(u))(0) = 0;
> sol := dsolve({ics, ode}, u(t), numeric,stiff=true, range = 0 .. .1);
> plot3 := odeplot(sol, 0 .. 15, refine = 1, color = red, thickness = 2, legend = numerik); > plot3;