Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit
Leptospirosis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Novia Yuliani
NIM G54100075
ABSTRAK
NOVIA YULIANI. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk
Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Penyakit leptospirosis merupakan masalah serius bagi masyarakat dunia.
Salah satu cara pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dilakukan dengan
membangun suatu model matematika. Model penyebaran penyakit leptospirosis
diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, dipilih
operator linear dan taklinear berdasarkan model matematika yang ditinjau.
Hasilnya berupa deret pangkat dengan suku pertama berupa penyelesaian
pendekatan awal. Hasil dari metode perturbasi homotopi dibandingan dengan
metode numerik (Runge-Kutta), dan diperoleh bahwa penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian metode numerik dengan
sangat baik. Contoh ilustratif diberikan untuk menggambarkan dinamika
penyebaran penyakit leptospirosis.
Kata kunci: model penyebaran, penyakit leptospirosis, metode perturbasi
homotopi
ABSTRACT
NOVIA YULIANI. The Implementation of Homotopy Perturbation Method in
Solving Leptospirosis Transmission Model. Supervised by JAHARUDDIN and
ALI KUSNANTO.
Leptospirosis disease is a very serious threat for people in the world. One
way of analyzing the spread of leptospirosis disease is by constructing a
mathematical model. In this work, the leptospirosis transmission model is solved
by using homotopy perturbation method. By this method, linear and nonlinear
operators are selected based on mathematical model under consideration. The
solution of the model is formulated in term of power series with the first term of
the solution constitutes as the initial approach. The result from homotopy
perturbation method is then compared with numerical method, i.e., Runge-Kutta
method. It is demonstrated that both methods provide quite similar results. An
illustrative example is presented to describe the transmission dynamic of the
disease.
Keywords: model of the spread, leptospirosis disease, homotopy perturbation
method
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Nama
: Novia Yuliani
NIM
: G54100075
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya
ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan banyak terima kasih kepada :
1. Ayah dan Ibuku yang selalu memberikan doa terkasihnya, dukungan,
perhatian, serta nasihat.
2. Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing yang
telah banyak meluangkan waktunya untuk memberikan ilmu, motivasi,
serta perhatian dalam pembuatan karya ilmiah ini.
3. Dosen dan staf Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4. Kakak Matematika 46 yang telah memberikan ilmu, masukan, serta
semua bantuannya.
5. Teman-teman seperjuangan Matematika 47 yang telah melewati suka
duka bersama selama kurang lebih tiga tahun ini terutama untuk Yuli,
Leny, Mira, Vina, dan Bilyan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat, dan bisa menginspirasi untuk
melakukan penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2014
Novia Yuliani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Matematika
2
Metode Perturbasi Homotopi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
8
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5)
Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam
penerapan metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok manusia
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok vector
4
7
11
12
12
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis pada
manusia dan vector
Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca
terinfeksi penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
3
13
13
14
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan persamaan (13)-(16)
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Leptospirosis merupakan penyakit yang disebabkan oleh bakteri Leptospira.
Penyakit ini ditularkan dari hewan ke manusia, manusia ke hewan, atau dari
manusia ke manusia melalui air seni. Penularan pada manusia terjadi ketika orang
dengan luka terbuka melakukan kontak langsung dengan air atau tanah yang
sudah dicemari oleh air seni hewan atau manusia yang terinfeksi penyakit ini.
Selain ditularkan melalui luka yang terbuka, bakteri ini juga dapat menyerang
manusia dengan cara masuk melalui mata atau selaput lendir lainnya.
Hewan yang menularkan penyakit ini ke manusia adalah hampir semua jenis
mamalia, seperti tikus, musang, rubah, kerbau, sapi, dan opossum, serta jenis
burung dan serangga. Bakteri ini berdiam pada ginjal hewan, yang kemudian
dikeluarkan bersama air seni dari hewan tersebut. Kontaminasi air seni hewan
pengidap leptospirosis dapat bertahan selama berbulan-bulan di air dan tanah.
Orang dengan pekerjaan tertentu yang sering berinteraksi dengan air dan tanah,
atau yang melakukan kontak langsung dengan hewan tertentu memiliki potensi
lebih besar terserang penyakit ini, seperti petani, dokter hewan, petugas pembersih
selokan dan sungai, serta petugas penjagalan hewan. Selain itu penyakit ini juga
dapat menyerang masyarakat yang tinggal di daerah kumuh, seperti tinggal di
bantaran sungai yang menggunakan air sungai tidak layak pakai untuk mandi dan
mencuci. Penyakit ini lebih sering terjadi pada daerah dengan iklim tropis dan
subtropis, karena bakteri Leptospira tumbuh subur di lingkungan panas dan
lembab.
Leptospirosis berat dapat mengacam jiwa, seperti kegagalan organ dan
pendarahan internal. Hal demikian dapat terjadi apabila bakteri Leptospira
menyerang organ penting seperti ginjal dan hati. Orang yang menderita penyakit
leptospirosis berat umumnya adalah penderita pneumonia, balita, dan orang
dengan usia lanjut. Menurut WHO (World Health Organisation) sekitar 10 juta
penduduk dunia terserang penyakit ini setiap tahunnya, namun kematian karena
penyakit ini sulit dihitung karena banyak rumah sakit yang tidak melaporkan
penyebab kematian. Beberapa peneliti telah melakukan kajian terkait penyakit ini
seperti kajian tentang perilaku dinamika penyakit leptospirosis dan peranan
kontrol optimum terhadap penyebaran penyakit ini (Zaman 2010), model interaksi
dinamis antara vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis dengan populasi
manusia (Zaman et al. 2012), dan perancangan model deterministik sederhana
terhadap penyebaran penyakit leptospirosis di Thailand yang dilakukan oleh
(Triampo et al. 2007). Karena penyakit ini merupakan penyakit yang serius, maka
perlu dilakukan pemantauan terhadap penyebaran penyakit ini.
Pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dapat dilakukan dengan
membangun suatu model matematika. Dalam karya ilmiah ini, model matematika
yang ditinjau didasarkan pada (Khan et al. 2013) yang modelnya berupa
persamaan diferensial taklinear. Seperti yang telah diketahui, persamaan
diferensial taklinear tidak mudah didapatkan solusi eksaknya. Pada banyak kasus
hanya sebagian kecil dari persamaan diferensial taklinear yang bisa didapatkan
solusi eksaknya. Jadi dibutuhkan penyelesaian secara numerik agar didapatkan
2
pendekatan eksaknya. Pada karya tulis ini akan dibahas pendekatan analitik
dengan metode perturbasi homotopi. Metode ini merupakan pengembangan dari
metode homotopi yang dikombinasikan dengan perturbasi. Beberapa peneliti telah
menggunakan metode ini untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam sains,
seperti penggunaan metode perturbasi homotopi untuk model SEIR dengan total
populasi yang bervariasi (Jaharuddin 2014). Metode perturbasi homotopi akan
digunakan untuk menyelesaikan model matematika yang telah diperoleh pada
(Khan et al. 2013). Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan metode
Runge-Kutta yang dianggap sebagai hasil numerik. Pada bahasan berikutnya
hewan yang dapat terinfeksi leptospirosis dinamakan vector.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan
penelitian ini adalah :
a.
Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model
persamaan diferensial dari penyebaran penyakit leptospirosis.
b.
Membandingkan hasil yang diperoleh melalui metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numeriknya.
c.
Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan parameter yang
diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendasari penulisan karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi pembahasan model matematika dari penyebaran
penyakit leptospirosis, konsep dasar metode perturbasi homotopi dari (He 2000),
serta suatu contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Model Matematika
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima
kelompok, yaitu kelompok manusia yang sehat namun rentan terinfeksi penyakit
leptospirosis, kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok
manusia yang telah pulih pasca terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok hewan
yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis, dan kelompok hewan yang terinfeksi
penyakit leptospirosis. Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit ini
diperlihatkan pada Gambar 1.
3
Sh
Sv
Ih
Rh
Iv
Gambar 1 Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis
pada manusia dan vector
Seperti terlihat pada Gambar 1, saat kelompok manusia yang sehat namun
rentan terinfeksi penyakit leptospirosis ( ) melakukan kontak dengan air seni
hewan atau manusia yang terinfeksi leptospirosis, maka kelompok manusia
tersebut masuk ke kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis ( ).
Saat kelompok hewan yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis
melakukan kontak dengan air seni manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis,
maka kelompok hewan tersebut masuk ke kelompok hewan yang terinfeksi
penyakit leptospirosis
Kemudian kelompok manusia yang terinfeksi
leptospirosis ( ) akan masuk ke kelompok manusia yang pulih pasca terinfeksi
leptospirosis
, apabila kelompok manusia tersebut mampu melawan penyakit
tersebut. Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa tidak ada penyembuhan
terhadap hewan yang terinfeksi penyakit leptospirosis.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka diperoleh model persamaan sebagai
berikut yang juga mengacu pada (Khan et al. 2013).
(1)
Penjelasan mengenai notasi-notasi dan satuan pada persamaan (1) disajikan dalam
Tabel 1
4
Tabel 1 Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya
Notasi
Keterangan
koefisien kematian vector akibat
leptospirosis
koefisien kematian manusia akibat
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
Satuan
penyakit
penyakit
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia
yang rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan
dengan manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia
koefisien kematian alami vector
koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi
koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi
Syarat awal untuk persamaan (1) dinyatakan sebagai berikut :
, dan
,
,
,
.
Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan
pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:
[
]
(2)
dengan A adalah operator diferensial umum, adalah variabel bebas, dan u(t)
adalah fungsi yang akan ditentukan. Didefinisikan operator linear
yang
memenuhi
[ ]
bila
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
[
]
[
]
[
]
(3)
dengan
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2), dan
merupakan parameter dimana
[ ]. Berdasarkan persamaan (3) maka pada
saat
memberikan persamaan:
[
]
[
]
5
dan untuk
memberikan persamaan:
[
]
[
]
Sehingga
merupakan
penyelesaian
dari
persamaan
[
]
dan
merupakan
penyelesaian
dari
[
]
Asumsikan bahwa solusi dari persamaan (3) dapat ditulis
sebagai deret pangkat dalam
.
Tetapkan
sehingga diperoleh solusi pendekatan dari persamaan (2) adalah
sebagai berikut:
.
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi, berikut disajikan contoh dari
masalah nilai awal dengan persamaan:
(4)
(5)
dan syarat awal
dan
persamaan (4) dan (5) adalah
. Penyelesaian eksak masalah nilai awal
Berikut akan dicari penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) menggunakan
metode perturbasi homotopi. Didefinisikan operator linear untuk persamaan (4)
dan (5) masing-masing sebagai berikut:
dan operator turunan sebagai berikut:
dengan
sebagai berikut:
. Berdasarkan persamaan (3), maka diperoleh persamaan
6
[
[
]
[
]
[
] =0
(6)
] =0.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (6) berturut-turut dinyatakan dalam deret
pangkat berikut:
(7)
.
Jika persamaan (7) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam
persamaan (6) dan dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan
, maka
memberikan persamaan berikut:
(8)
Berdasarkan syarat awal
dan
, maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (8) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi sebagai
berikut:
=
=
=
=
=
=
=
7
=
Sehingga penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Tabel 2 berikut menyajikan galat antara hasil dari metode perturbasi homotopi
dengan penyelesaian eksak dalam beberapa nilai .
Tabel 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
Dari Tabel 2 rata-rata galat untuk
dan
masing-masing sebesar
dan 9.92
. Hal ini berarti bahwa metode perturbasi homotopi
menghampiri penyelesaian eksak dari persamaan (4) dan (5) dengan baik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penerapan metode perturbasi homotopi dalam
menyelesaikan model dari penyebaran penyakit leptospirosis yang persamaannya
merupakan persamaan diferensial taklinear. Hasil yang diperoleh melalui metode
ini akan dibandingan dengan hampiran numeriknya.
8
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Model penyebaran penyakit leptospirosis pada manusia dan vector yang
diberikan pada persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
Didefinisikan operator linear untuk persamaan (1) adalah sebagai berikut:
(9)
dan operator tak linear sebagai berikut:
(10)
dengan
dan (10) diperoleh:
(
. Berdasarkan persamaan (3) untuk persamaan (9)
(
)
)
9
(
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
)
)
(11)
)
)
dengan
[ ] suatu parameter dan
merupakan pendekatan
awal dari penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (11) dinyatakan
dalam deret pangkat berikut:
(12)
, dan
,
,
,
dengan syarat awal
. Jika persamaan (12) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke
dalam persamaan (11), maka koefisien
memberikan persamaan:
(13)
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(14)
10
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(15)
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(16)
, dan
,
,
,
dengan syarat awal
. Penurunan persamaan (13) sampai (16) dapat dilihat pada Lampiran 1.
,
,
Syarat awal dari persamaan (1) adalah
,
,
dan nilai parameter yang diambil dari Khan et
al.(2013) disajikan dalam Tabel 3:
11
Tabel 3 Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam penerapan
metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik
Notasi
Keterangan
koefisien kematian vector akibat penyakit leptospirosis
koefisien kematian manusia akibat penyakit
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia yang
rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan dengan
manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia
koefisien kematian alami vector
koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi
koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi
Nilai
Berdasarkan data-data pada Tabel 3, dan dengan mengintegralkan persamaan
(13)-(16) serta dengan memasukkan syarat-syarat awalnya, maka diperoleh
penyelesaian masalah nilai awal dari persamaan (1) yang bergantung pada waktu
adalah sebagai berikut:
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (1) menggunakan metode
perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Hasil penyelesaian dari masalah nilai awal pada persamaan (1) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi untuk orde keempat kemudian
12
dibandingkan dengan hampiran numeriknya yang disajikan pada Tabel 4 dan
Tabel 5.
Tabel 4 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
hampiran numerik untuk kelompok manusia
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
Tabel 5 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
hampiran numerik untuk kelompok vector
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
Berdasarkan Tabel 4 dan Tabel 5 rata-rata galat yang dihasilkan untuk
kelompok manusia yang rentan, kelompok manusia yang terinfeksi, kelompok
manusia yang sembuh pasca infeksi, kelompok vector yang rentan, dan kelompok
vector yang terinfeksi masing-masing adalah
,
,
,
, dan
.
Dari kedua tabel tersebut, metode perturbasi homotopi memiliki penyelesaian
yang mendekati hampiran numeriknya. Pada beberapa selang diperoleh galat
yang sangat kecil. Sehingga metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk
menghampiri penyelesaian dari masalah penyebaran penyakit leptospirosis.
Berikut disajikan grafik dari hampiran numerik dengan tiga kondisi.
Kondisi 1 terjadi saat
dan
, kondisi 2 terjadi saat
dan
, dan kondisi 3 terjadi saat
dan
13
Gambar 2 Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
banyaknya populasi manusia yang rentan meningkat hingga
kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya
mengalami penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan
setengah. Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada
angka 1.7, artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan
laju kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya
populasi manusia yang rentan.
Gambar 3 Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi
penyakit leptospirosis
14
Dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama, banyaknya populasi manusia yang
terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika
parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector
dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
untuk waktu yang sama, banyaknya
populasi manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi
awal. Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan
stabil. Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan
parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 170, banyaknya populasi
manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai
parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 343, dan banyaknya
populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan
setengah dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 84.
Artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi vector memengaruhi nilai kestabilan dari populasi manusia
yang terinfeksi dalam jangka panjang.
Gambar 4 Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca
terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia yang
sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal.
Kemudian, ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran
populasi vector dikalikan setengah dari parameter semula, yaitu ketika
15
diubah menjadi
, untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia
yang sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal.
Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil.
Banyaknya populasi manusia yang sembuh dengan menggunakan parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 296, banyaknya populasi manusia yang
sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan
stabil dengan populasi sebanyak 592, dan banyaknya populasi manusia yang
sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 148. Artinya perubahan nilai parameter laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai
kestabilan dari populasi manusia yang sembuh dalam jangka panjang.
Gambar 5 Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, banyaknya populasi vector yang rentan meningkat hingga
kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya mengalami
penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan setengah.
Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada angka 1,
artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya
populasi vector yang rentan.
16
Gambar 6 Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
Dari Gambar 6 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi vector yang
terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika
parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector
dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, untuk waktu yang sama banyaknya
populasi vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal.
Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil.
Banyaknya populasi vector yang terinfeksi dengan menggunakan parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 108, banyaknya populasi vector yang
terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan
stabil dengan populasi sebanyak 216, dan banyaknya populasi vector yang
terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 54. Artinya perubahan nilai parameter laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai
kestabilan dari populasi vector yang terinfeksi dalam jangka panjang.
SIMPULAN
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima,
yaitu kelompok manusia yang rentan terinfeksi, kelompok manusia yang
terinfeksi, kelompok manusia yang sembuh pasca terinfeksi, kelompok vector
yang rentan terinfeksi, dan kelompok vector yang terinfeksi. Dengan model
17
tersebut, maka diperoleh lima persamaan diferensial taklinear yang saling terkait.
Pemantauan dari penyebaran penyakit ini dilakukan dengan menyelesaikan
persamaan diferensial tersebut.
Penyelesaian persamaan diferensial dari penyebaran penyakit ini dapat
dihampiri dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Galat yang
diperoleh antara metode perturbasi homotopi dengan hampiran numeriknya pada
beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini menunjukan bahwa metode perturbasi
homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak dari
penyebaran penyakit leptospirosis.
Perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi vector pada populasi manusia yang rentan dan populasi vector
yang rentan dalam jangka panjang tidak memengaruhi banyaknya individu pada
populasi tersebut, namun untuk populasi manusia yang terinfeksi, populasi
manusia yang sembuh, dan populasi vector yang terinfeksi hal ini akan
memengaruhi nilai kestabilan dalam jangka panjang.
DAFTAR PUSTAKA
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear
Mechanic. 35(2000):37-43.doi : pii/S0020746298000857.
Jaharuddin. 2014. Homotopy perturbation method for a SEIR model with varying
total population size. Far East Journal of Mathematical Sciences. 84(2):187198.
Khan MA, Islam S, Ullah M, Khan SA, Zaman G, Saddiq SF. 2013. Analytical
solution of the leptospirosis epidemic model by homotopy perturbation method.
International Science Congress Association. 2(8):66-71.
Triampo W, Baowan D, Tang IM, Nuttavut N, Wong-Ekkabut J, Doungchawee G.
2007. A simple deterministic model for the spread of leptospirosis in Thailand.
International Journal of Biological and Medical Sciences. 2(1):22-26.
Zaman G, Khan MA, Islam S, Chohan MI, Jung IH. 2012. Modeling dynamical
interactions between leptospirosis infected vector and human population.
Applied Mathematical Sciences. 6(26):1287-1302.
Zaman G. 2010. Dynamical behavior of leptospirosis disease and role of optimal
control theory. International Journal of Mathematics and Computation.
7(J10):73-79.
18
Lampiran 1 Penurunan persamaan (13)-(16)
Tinjau persamaan (11) berikut :
)
(
)
(
(
(
(
(
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
)
Misalkan solusi persamaan (11) dinyatakan oleh deret berikut :
)
yang merupakan persamaan (12). Jika persamaan (12) beserta turunannya
disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka diperoleh :
[
atau
[
]
]
19
(
)
(
)
(
)
(
)
(
[
)
]
[
]
atau
(
)
)
(
(
(
(
)
)
)
20
[
]
[
]
atau
(
)
(
(
)
(
)
(
[
)
]
[
]
atau
)
(
(
(
(
)
(
[
atau
)
[
)
)
)
]
]
21
(
)
(
(
(
)
(
)
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
)
)
22
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 29 November 1991 sebagai anak
kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Tugino dan Partini. Pendidikan
formal yang telah ditempuh penulis yaitu SDN Karang Asih 04 pada tahun 19982004, SMPN 1 Cikarang Utara pada tahun 2004-2007, SMAN 1 Cikarang Utara
pada tahun 2007-2010. Di tahun 2010 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjalankan studi di IPB, penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa
Keluarga Mahasiswa Buddhis (UKM KMB) sebagai bendahara umum pada tahun
2011, dan pada tahun 2012 penulis aktif di himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai bendahara divisi Math Event. Penulis pernah
menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Pengantar Teori Peluang pada semester
genap tahun akademik 2012-2013, dan Kalkulus II pada semester ganjil tahun
akademik 2013-2014. Berbagai kegiatan kepanitiaan yang diikuti penulis yaitu
Masa Perkenalan Departemen (MPD) pada tahun 2012, IPB Mathematics
Challenge sebagai staf divisi dana usaha pada tahun 2012, IPB Mathematics
Challenge sebagai staf divisi sponsorship pada tahun 2013, dan sebagai staf divisi
hubungan masyarakat pada Matematika Ria di tahun 2013.
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit
Leptospirosis adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Mei 2014
Novia Yuliani
NIM G54100075
ABSTRAK
NOVIA YULIANI. Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk
Menyelesaikan Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Penyakit leptospirosis merupakan masalah serius bagi masyarakat dunia.
Salah satu cara pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dilakukan dengan
membangun suatu model matematika. Model penyebaran penyakit leptospirosis
diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi. Dalam metode ini, dipilih
operator linear dan taklinear berdasarkan model matematika yang ditinjau.
Hasilnya berupa deret pangkat dengan suku pertama berupa penyelesaian
pendekatan awal. Hasil dari metode perturbasi homotopi dibandingan dengan
metode numerik (Runge-Kutta), dan diperoleh bahwa penyelesaian dengan
metode perturbasi homotopi mendekati penyelesaian metode numerik dengan
sangat baik. Contoh ilustratif diberikan untuk menggambarkan dinamika
penyebaran penyakit leptospirosis.
Kata kunci: model penyebaran, penyakit leptospirosis, metode perturbasi
homotopi
ABSTRACT
NOVIA YULIANI. The Implementation of Homotopy Perturbation Method in
Solving Leptospirosis Transmission Model. Supervised by JAHARUDDIN and
ALI KUSNANTO.
Leptospirosis disease is a very serious threat for people in the world. One
way of analyzing the spread of leptospirosis disease is by constructing a
mathematical model. In this work, the leptospirosis transmission model is solved
by using homotopy perturbation method. By this method, linear and nonlinear
operators are selected based on mathematical model under consideration. The
solution of the model is formulated in term of power series with the first term of
the solution constitutes as the initial approach. The result from homotopy
perturbation method is then compared with numerical method, i.e., Runge-Kutta
method. It is demonstrated that both methods provide quite similar results. An
illustrative example is presented to describe the transmission dynamic of the
disease.
Keywords: model of the spread, leptospirosis disease, homotopy perturbation
method
PENGGUNAAN METODE PERTURBASI HOMOTOPI
UNTUK MENYELESAIKAN MODEL PENYEBARAN
PENYAKIT LEPTOSPIROSIS
NOVIA YULIANI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Perturbasi Homotopi untuk Menyelesaikan
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Nama
: Novia Yuliani
NIM
: G54100075
Disetujui oleh
Dr Jaharuddin, MS
Pembimbing I
Drs Ali Kusnanto, MSi
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr Toni Bakhtiar, MSc
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis haturkan kepada Tuhan yang Maha Esa atas segala
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya
ilmiah ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak. Untuk itu penulis
mengucapkan banyak terima kasih kepada :
1. Ayah dan Ibuku yang selalu memberikan doa terkasihnya, dukungan,
perhatian, serta nasihat.
2. Dr Jaharuddin, MS dan Drs Ali Kusnanto, MSi selaku pembimbing yang
telah banyak meluangkan waktunya untuk memberikan ilmu, motivasi,
serta perhatian dalam pembuatan karya ilmiah ini.
3. Dosen dan staf Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4. Kakak Matematika 46 yang telah memberikan ilmu, masukan, serta
semua bantuannya.
5. Teman-teman seperjuangan Matematika 47 yang telah melewati suka
duka bersama selama kurang lebih tiga tahun ini terutama untuk Yuli,
Leny, Mira, Vina, dan Bilyan.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat, dan bisa menginspirasi untuk
melakukan penelitian selanjutnya.
Bogor, Mei 2014
Novia Yuliani
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Model Matematika
2
Metode Perturbasi Homotopi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
8
SIMPULAN
16
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
18
RIWAYAT HIDUP
23
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5)
Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam
penerapan metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok manusia
Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numerik untuk kelompok vector
4
7
11
12
12
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis pada
manusia dan vector
Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca
terinfeksi penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
3
13
13
14
15
16
DAFTAR LAMPIRAN
1 Penurunan persamaan (13)-(16)
18
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Leptospirosis merupakan penyakit yang disebabkan oleh bakteri Leptospira.
Penyakit ini ditularkan dari hewan ke manusia, manusia ke hewan, atau dari
manusia ke manusia melalui air seni. Penularan pada manusia terjadi ketika orang
dengan luka terbuka melakukan kontak langsung dengan air atau tanah yang
sudah dicemari oleh air seni hewan atau manusia yang terinfeksi penyakit ini.
Selain ditularkan melalui luka yang terbuka, bakteri ini juga dapat menyerang
manusia dengan cara masuk melalui mata atau selaput lendir lainnya.
Hewan yang menularkan penyakit ini ke manusia adalah hampir semua jenis
mamalia, seperti tikus, musang, rubah, kerbau, sapi, dan opossum, serta jenis
burung dan serangga. Bakteri ini berdiam pada ginjal hewan, yang kemudian
dikeluarkan bersama air seni dari hewan tersebut. Kontaminasi air seni hewan
pengidap leptospirosis dapat bertahan selama berbulan-bulan di air dan tanah.
Orang dengan pekerjaan tertentu yang sering berinteraksi dengan air dan tanah,
atau yang melakukan kontak langsung dengan hewan tertentu memiliki potensi
lebih besar terserang penyakit ini, seperti petani, dokter hewan, petugas pembersih
selokan dan sungai, serta petugas penjagalan hewan. Selain itu penyakit ini juga
dapat menyerang masyarakat yang tinggal di daerah kumuh, seperti tinggal di
bantaran sungai yang menggunakan air sungai tidak layak pakai untuk mandi dan
mencuci. Penyakit ini lebih sering terjadi pada daerah dengan iklim tropis dan
subtropis, karena bakteri Leptospira tumbuh subur di lingkungan panas dan
lembab.
Leptospirosis berat dapat mengacam jiwa, seperti kegagalan organ dan
pendarahan internal. Hal demikian dapat terjadi apabila bakteri Leptospira
menyerang organ penting seperti ginjal dan hati. Orang yang menderita penyakit
leptospirosis berat umumnya adalah penderita pneumonia, balita, dan orang
dengan usia lanjut. Menurut WHO (World Health Organisation) sekitar 10 juta
penduduk dunia terserang penyakit ini setiap tahunnya, namun kematian karena
penyakit ini sulit dihitung karena banyak rumah sakit yang tidak melaporkan
penyebab kematian. Beberapa peneliti telah melakukan kajian terkait penyakit ini
seperti kajian tentang perilaku dinamika penyakit leptospirosis dan peranan
kontrol optimum terhadap penyebaran penyakit ini (Zaman 2010), model interaksi
dinamis antara vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis dengan populasi
manusia (Zaman et al. 2012), dan perancangan model deterministik sederhana
terhadap penyebaran penyakit leptospirosis di Thailand yang dilakukan oleh
(Triampo et al. 2007). Karena penyakit ini merupakan penyakit yang serius, maka
perlu dilakukan pemantauan terhadap penyebaran penyakit ini.
Pemantauan penyebaran penyakit leptospirosis dapat dilakukan dengan
membangun suatu model matematika. Dalam karya ilmiah ini, model matematika
yang ditinjau didasarkan pada (Khan et al. 2013) yang modelnya berupa
persamaan diferensial taklinear. Seperti yang telah diketahui, persamaan
diferensial taklinear tidak mudah didapatkan solusi eksaknya. Pada banyak kasus
hanya sebagian kecil dari persamaan diferensial taklinear yang bisa didapatkan
solusi eksaknya. Jadi dibutuhkan penyelesaian secara numerik agar didapatkan
2
pendekatan eksaknya. Pada karya tulis ini akan dibahas pendekatan analitik
dengan metode perturbasi homotopi. Metode ini merupakan pengembangan dari
metode homotopi yang dikombinasikan dengan perturbasi. Beberapa peneliti telah
menggunakan metode ini untuk menyelesaikan beberapa masalah dalam sains,
seperti penggunaan metode perturbasi homotopi untuk model SEIR dengan total
populasi yang bervariasi (Jaharuddin 2014). Metode perturbasi homotopi akan
digunakan untuk menyelesaikan model matematika yang telah diperoleh pada
(Khan et al. 2013). Hasil yang diperoleh akan dibandingkan dengan metode
Runge-Kutta yang dianggap sebagai hasil numerik. Pada bahasan berikutnya
hewan yang dapat terinfeksi leptospirosis dinamakan vector.
Tujuan Penelitian
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan di atas, maka tujuan
penelitian ini adalah :
a.
Menggunakan metode perturbasi homotopi untuk menyelesaikan model
persamaan diferensial dari penyebaran penyakit leptospirosis.
b.
Membandingkan hasil yang diperoleh melalui metode perturbasi homotopi
dengan hampiran numeriknya.
c.
Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan parameter yang
diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini akan dibahas teori-teori yang mendasari penulisan karya ilmiah
ini. Teori-teori tersebut meliputi pembahasan model matematika dari penyebaran
penyakit leptospirosis, konsep dasar metode perturbasi homotopi dari (He 2000),
serta suatu contoh masalah yang diselesaikan dengan metode perturbasi homotopi.
Model Matematika
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima
kelompok, yaitu kelompok manusia yang sehat namun rentan terinfeksi penyakit
leptospirosis, kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok
manusia yang telah pulih pasca terinfeksi penyakit leptospirosis, kelompok hewan
yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis, dan kelompok hewan yang terinfeksi
penyakit leptospirosis. Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit ini
diperlihatkan pada Gambar 1.
3
Sh
Sv
Ih
Rh
Iv
Gambar 1 Diagram kompartemen dari penyebaran penyakit leptospirosis
pada manusia dan vector
Seperti terlihat pada Gambar 1, saat kelompok manusia yang sehat namun
rentan terinfeksi penyakit leptospirosis ( ) melakukan kontak dengan air seni
hewan atau manusia yang terinfeksi leptospirosis, maka kelompok manusia
tersebut masuk ke kelompok manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis ( ).
Saat kelompok hewan yang rentan terinfeksi penyakit leptospirosis
melakukan kontak dengan air seni manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis,
maka kelompok hewan tersebut masuk ke kelompok hewan yang terinfeksi
penyakit leptospirosis
Kemudian kelompok manusia yang terinfeksi
leptospirosis ( ) akan masuk ke kelompok manusia yang pulih pasca terinfeksi
leptospirosis
, apabila kelompok manusia tersebut mampu melawan penyakit
tersebut. Dalam karya ilmiah ini diasumsikan bahwa tidak ada penyembuhan
terhadap hewan yang terinfeksi penyakit leptospirosis.
Berdasarkan penjelasan di atas, maka diperoleh model persamaan sebagai
berikut yang juga mengacu pada (Khan et al. 2013).
(1)
Penjelasan mengenai notasi-notasi dan satuan pada persamaan (1) disajikan dalam
Tabel 1
4
Tabel 1 Penjelasan notasi pada persamaan (1) beserta satuannya
Notasi
Keterangan
koefisien kematian vector akibat
leptospirosis
koefisien kematian manusia akibat
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
Satuan
penyakit
penyakit
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia
yang rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan
dengan manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia
koefisien kematian alami vector
koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi
koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi
Syarat awal untuk persamaan (1) dinyatakan sebagai berikut :
, dan
,
,
,
.
Metode Perturbasi Homotopi
Berikut ini diberikan konsep dasar metode perturbasi homotopi berdasarkan
pada He (2000). Misalkan diberikan persamaan diferensial sebagai berikut:
[
]
(2)
dengan A adalah operator diferensial umum, adalah variabel bebas, dan u(t)
adalah fungsi yang akan ditentukan. Didefinisikan operator linear
yang
memenuhi
[ ]
bila
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
[
]
[
]
[
]
(3)
dengan
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian persamaan (2), dan
merupakan parameter dimana
[ ]. Berdasarkan persamaan (3) maka pada
saat
memberikan persamaan:
[
]
[
]
5
dan untuk
memberikan persamaan:
[
]
[
]
Sehingga
merupakan
penyelesaian
dari
persamaan
[
]
dan
merupakan
penyelesaian
dari
[
]
Asumsikan bahwa solusi dari persamaan (3) dapat ditulis
sebagai deret pangkat dalam
.
Tetapkan
sehingga diperoleh solusi pendekatan dari persamaan (2) adalah
sebagai berikut:
.
Untuk lebih memahami metode perturbasi homotopi, berikut disajikan contoh dari
masalah nilai awal dengan persamaan:
(4)
(5)
dan syarat awal
dan
persamaan (4) dan (5) adalah
. Penyelesaian eksak masalah nilai awal
Berikut akan dicari penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) menggunakan
metode perturbasi homotopi. Didefinisikan operator linear untuk persamaan (4)
dan (5) masing-masing sebagai berikut:
dan operator turunan sebagai berikut:
dengan
sebagai berikut:
. Berdasarkan persamaan (3), maka diperoleh persamaan
6
[
[
]
[
]
[
] =0
(6)
] =0.
Misalkan penyelesaian dari persamaan (6) berturut-turut dinyatakan dalam deret
pangkat berikut:
(7)
.
Jika persamaan (7) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke dalam
persamaan (6) dan dipisahkan berdasarkan derajat kepangkatan
, maka
memberikan persamaan berikut:
(8)
Berdasarkan syarat awal
dan
, maka diperoleh penyelesaian
dari persamaan (8) dengan menggunakan metode perturbasi homotopi sebagai
berikut:
=
=
=
=
=
=
=
7
=
Sehingga penyelesaian dari persamaan (4) dan (5) dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Tabel 2 berikut menyajikan galat antara hasil dari metode perturbasi homotopi
dengan penyelesaian eksak dalam beberapa nilai .
Tabel 2 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
penyelesaian eksak untuk persamaan (4) dan (5)
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
Dari Tabel 2 rata-rata galat untuk
dan
masing-masing sebesar
dan 9.92
. Hal ini berarti bahwa metode perturbasi homotopi
menghampiri penyelesaian eksak dari persamaan (4) dan (5) dengan baik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penerapan metode perturbasi homotopi dalam
menyelesaikan model dari penyebaran penyakit leptospirosis yang persamaannya
merupakan persamaan diferensial taklinear. Hasil yang diperoleh melalui metode
ini akan dibandingan dengan hampiran numeriknya.
8
Model Penyebaran Penyakit Leptospirosis
Model penyebaran penyakit leptospirosis pada manusia dan vector yang
diberikan pada persamaan (1) dapat dituliskan kembali sebagai berikut:
Didefinisikan operator linear untuk persamaan (1) adalah sebagai berikut:
(9)
dan operator tak linear sebagai berikut:
(10)
dengan
dan (10) diperoleh:
(
. Berdasarkan persamaan (3) untuk persamaan (9)
(
)
)
9
(
(
(
(
(
)
)
)
)
(
(
(
)
)
(11)
)
)
dengan
[ ] suatu parameter dan
merupakan pendekatan
awal dari penyelesaian. Misalkan penyelesaian dari persamaan (11) dinyatakan
dalam deret pangkat berikut:
(12)
, dan
,
,
,
dengan syarat awal
. Jika persamaan (12) beserta turunan-turunannya disubstitusikan ke
dalam persamaan (11), maka koefisien
memberikan persamaan:
(13)
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(14)
10
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(15)
dengan syarat awal
. Koefisien
,
,
memberikan persamaan:
,
, dan
(16)
, dan
,
,
,
dengan syarat awal
. Penurunan persamaan (13) sampai (16) dapat dilihat pada Lampiran 1.
,
,
Syarat awal dari persamaan (1) adalah
,
,
dan nilai parameter yang diambil dari Khan et
al.(2013) disajikan dalam Tabel 3:
11
Tabel 3 Nilai parameter yang digunakan untuk persamaan (1) dalam penerapan
metode perturbasi homotopi dan hampiran numerik
Notasi
Keterangan
koefisien kematian vector akibat penyakit leptospirosis
koefisien kematian manusia akibat penyakit
leptospirosis
laju kelahiran populasi manusia
laju kelahiran populasi vector
koefisien penyebaran langsung antara manusia yang
rentan dengan manusia yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara manusia yang rentan
dengan vector yang terinfeksi
koefisien penyebaran antara vector yang rentan dengan
manusia yang terinfeksi
koefisien kematian alami manusia
koefisien kematian alami vector
koefisien ketika manusia kembali rentan terinfeksi
koefisien penyembuhan manusia yang terinfeksi
Nilai
Berdasarkan data-data pada Tabel 3, dan dengan mengintegralkan persamaan
(13)-(16) serta dengan memasukkan syarat-syarat awalnya, maka diperoleh
penyelesaian masalah nilai awal dari persamaan (1) yang bergantung pada waktu
adalah sebagai berikut:
Dengan demikian penyelesaian dari persamaan (1) menggunakan metode
perturbasi homotopi hingga orde keempat adalah:
Hasil penyelesaian dari masalah nilai awal pada persamaan (1) dengan
menggunakan metode perturbasi homotopi untuk orde keempat kemudian
12
dibandingkan dengan hampiran numeriknya yang disajikan pada Tabel 4 dan
Tabel 5.
Tabel 4 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
hampiran numerik untuk kelompok manusia
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
Tabel 5 Galat antara penyelesaian dengan metode perturbasi homotopi dengan
hampiran numerik untuk kelompok vector
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
0
0
0
0
Berdasarkan Tabel 4 dan Tabel 5 rata-rata galat yang dihasilkan untuk
kelompok manusia yang rentan, kelompok manusia yang terinfeksi, kelompok
manusia yang sembuh pasca infeksi, kelompok vector yang rentan, dan kelompok
vector yang terinfeksi masing-masing adalah
,
,
,
, dan
.
Dari kedua tabel tersebut, metode perturbasi homotopi memiliki penyelesaian
yang mendekati hampiran numeriknya. Pada beberapa selang diperoleh galat
yang sangat kecil. Sehingga metode perturbasi homotopi dapat digunakan untuk
menghampiri penyelesaian dari masalah penyebaran penyakit leptospirosis.
Berikut disajikan grafik dari hampiran numerik dengan tiga kondisi.
Kondisi 1 terjadi saat
dan
, kondisi 2 terjadi saat
dan
, dan kondisi 3 terjadi saat
dan
13
Gambar 2 Grafik populasi pada kelompok manusia yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Dari Gambar 2 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
banyaknya populasi manusia yang rentan meningkat hingga
kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya
mengalami penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan
setengah. Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada
angka 1.7, artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan
laju kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya
populasi manusia yang rentan.
Gambar 3 Grafik populasi pada kelompok manusia yang terinfeksi
penyakit leptospirosis
14
Dari Gambar 3 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama, banyaknya populasi manusia yang
terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika
parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector
dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
untuk waktu yang sama, banyaknya
populasi manusia yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi
awal. Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan
stabil. Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan
parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 170, banyaknya populasi
manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai
parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 343, dan banyaknya
populasi manusia yang terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan
setengah dari nilai parameter awal akan stabil dengan populasi sebanyak 84.
Artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi vector memengaruhi nilai kestabilan dari populasi manusia
yang terinfeksi dalam jangka panjang.
Gambar 4 Grafik populasi pada kelompok manusia yang sembuh pasca
terinfeksi penyakit leptospirosis
Dari Gambar 4 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula, yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia yang
sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal.
Kemudian, ketika parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran
populasi vector dikalikan setengah dari parameter semula, yaitu ketika
15
diubah menjadi
, untuk waktu yang sama banyaknya populasi manusia
yang sembuh pasca terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal.
Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil.
Banyaknya populasi manusia yang sembuh dengan menggunakan parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 296, banyaknya populasi manusia yang
sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan
stabil dengan populasi sebanyak 592, dan banyaknya populasi manusia yang
sembuh dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 148. Artinya perubahan nilai parameter laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai
kestabilan dari populasi manusia yang sembuh dalam jangka panjang.
Gambar 5 Grafik populasi pada kelompok vector yang rentan terinfeksi
penyakit leptospirosis
Dari Gambar 5 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, banyaknya populasi vector yang rentan meningkat hingga
kemudian menurun. Sedangkan untuk parameter semula, populasinya mengalami
penurunan dari waktu awal, begitu juga untuk parameter yang laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector yang dikalikan setengah.
Dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi ini akan stabil pada angka 1,
artinya perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi dalam jangka panjang tidak akan memengaruhi banyaknya
populasi vector yang rentan.
16
Gambar 6 Grafik populasi pada kelompok vector yang terinfeksi penyakit
leptospirosis
Dari Gambar 6 dapat dilihat bahwa ketika parameter laju kelahiran
populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector ditingkatkan dua kali dari
parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, maka untuk waktu yang sama banyaknya populasi vector yang
terinfeksi penyakit leptospirosis meningkat dari populasi awal. Kemudian, ketika
parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector
dikalikan setengah dari parameter semula yaitu ketika
dan
diubah menjadi
dan
, untuk waktu yang sama banyaknya
populasi vector yang terinfeksi penyakit leptospirosis menurun dari populasi awal.
Namun dalam jangka waktu yang panjang ketiga kondisi tersebut akan stabil.
Banyaknya populasi vector yang terinfeksi dengan menggunakan parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 108, banyaknya populasi vector yang
terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan dua dari nilai parameter awal akan
stabil dengan populasi sebanyak 216, dan banyaknya populasi vector yang
terinfeksi dengan menggunakan parameter yang laju kelahiran populasi manusia
dan laju kelahiran populasi vectornya dikalikan setengah dari nilai parameter awal
akan stabil dengan populasi sebanyak 54. Artinya perubahan nilai parameter laju
kelahiran populasi manusia dan laju kelahiran populasi vector memengaruhi nilai
kestabilan dari populasi vector yang terinfeksi dalam jangka panjang.
SIMPULAN
Model penyebaran penyakit leptospirosis dikelompokkan menjadi lima,
yaitu kelompok manusia yang rentan terinfeksi, kelompok manusia yang
terinfeksi, kelompok manusia yang sembuh pasca terinfeksi, kelompok vector
yang rentan terinfeksi, dan kelompok vector yang terinfeksi. Dengan model
17
tersebut, maka diperoleh lima persamaan diferensial taklinear yang saling terkait.
Pemantauan dari penyebaran penyakit ini dilakukan dengan menyelesaikan
persamaan diferensial tersebut.
Penyelesaian persamaan diferensial dari penyebaran penyakit ini dapat
dihampiri dengan menggunakan metode perturbasi homotopi. Galat yang
diperoleh antara metode perturbasi homotopi dengan hampiran numeriknya pada
beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini menunjukan bahwa metode perturbasi
homotopi dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak dari
penyebaran penyakit leptospirosis.
Perubahan nilai parameter laju kelahiran populasi manusia dan laju
kelahiran populasi vector pada populasi manusia yang rentan dan populasi vector
yang rentan dalam jangka panjang tidak memengaruhi banyaknya individu pada
populasi tersebut, namun untuk populasi manusia yang terinfeksi, populasi
manusia yang sembuh, dan populasi vector yang terinfeksi hal ini akan
memengaruhi nilai kestabilan dalam jangka panjang.
DAFTAR PUSTAKA
He JH. 2000. A coupling method of homotopy technique and perturbation
technique for nonlinear problems. International Journal of Nonlinear
Mechanic. 35(2000):37-43.doi : pii/S0020746298000857.
Jaharuddin. 2014. Homotopy perturbation method for a SEIR model with varying
total population size. Far East Journal of Mathematical Sciences. 84(2):187198.
Khan MA, Islam S, Ullah M, Khan SA, Zaman G, Saddiq SF. 2013. Analytical
solution of the leptospirosis epidemic model by homotopy perturbation method.
International Science Congress Association. 2(8):66-71.
Triampo W, Baowan D, Tang IM, Nuttavut N, Wong-Ekkabut J, Doungchawee G.
2007. A simple deterministic model for the spread of leptospirosis in Thailand.
International Journal of Biological and Medical Sciences. 2(1):22-26.
Zaman G, Khan MA, Islam S, Chohan MI, Jung IH. 2012. Modeling dynamical
interactions between leptospirosis infected vector and human population.
Applied Mathematical Sciences. 6(26):1287-1302.
Zaman G. 2010. Dynamical behavior of leptospirosis disease and role of optimal
control theory. International Journal of Mathematics and Computation.
7(J10):73-79.
18
Lampiran 1 Penurunan persamaan (13)-(16)
Tinjau persamaan (11) berikut :
)
(
)
(
(
(
(
(
(
)
)
(
)
(
)
)
(
)
)
Misalkan solusi persamaan (11) dinyatakan oleh deret berikut :
)
yang merupakan persamaan (12). Jika persamaan (12) beserta turunannya
disubstitusikan ke dalam persamaan (11), maka diperoleh :
[
atau
[
]
]
19
(
)
(
)
(
)
(
)
(
[
)
]
[
]
atau
(
)
)
(
(
(
(
)
)
)
20
[
]
[
]
atau
(
)
(
(
)
(
)
(
[
)
]
[
]
atau
)
(
(
(
(
)
(
[
atau
)
[
)
)
)
]
]
21
(
)
(
(
(
)
(
)
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
)
)
22
Koefisien
berturut-turut memberikan persamaan :
23
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bekasi pada tanggal 29 November 1991 sebagai anak
kedua dari tiga bersaudara, anak dari pasangan Tugino dan Partini. Pendidikan
formal yang telah ditempuh penulis yaitu SDN Karang Asih 04 pada tahun 19982004, SMPN 1 Cikarang Utara pada tahun 2004-2007, SMAN 1 Cikarang Utara
pada tahun 2007-2010. Di tahun 2010 penulis diterima sebagai mahasiswa Institut
Pertanian Bogor jalur USMI di Departemen Matematika, Fakultas Matematika
dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjalankan studi di IPB, penulis aktif di Unit Kegiatan Mahasiswa
Keluarga Mahasiswa Buddhis (UKM KMB) sebagai bendahara umum pada tahun
2011, dan pada tahun 2012 penulis aktif di himpunan profesi Gugus Mahasiswa
Matematika (GUMATIKA) sebagai bendahara divisi Math Event. Penulis pernah
menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Pengantar Teori Peluang pada semester
genap tahun akademik 2012-2013, dan Kalkulus II pada semester ganjil tahun
akademik 2013-2014. Berbagai kegiatan kepanitiaan yang diikuti penulis yaitu
Masa Perkenalan Departemen (MPD) pada tahun 2012, IPB Mathematics
Challenge sebagai staf divisi dana usaha pada tahun 2012, IPB Mathematics
Challenge sebagai staf divisi sponsorship pada tahun 2013, dan sebagai staf divisi
hubungan masyarakat pada Matematika Ria di tahun 2013.