Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
ANDRI TRI WIBOWO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling
Terhubung adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2013
Andri Tri Wibowo
NIM G54090001
ABSTRAK
ANDRI TRI WIBOWO. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan
Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah
satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun suatu
model matematika. Model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling
terhubung diturunkan dan diselesaikan dengan metode homotopi. Dalam metode
homotopi, didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan
diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode
perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Grafik fungsi
penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan berdasarkan
bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama.
Kata kunci: model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung,
metode homotopi, metode perturbasi homotopi
ABSTRACT
ANDRI TRI WIBOWO. The Use of Homotopy Method for Pollution Models in
Interconnected Three Lake Problems. Supervised by JAHARUDDIN and ALI
KUSNANTO.
Pollution of lake is a very serious threat to the environment. One way to
monitor pollution on lakes is constructing a mathematical model. The model of
spreading pollution on interconnected three lakes is solved by using homotopy
method. In homotopy method, it is defined as an operator based on differential
equation forms in mathematical models. The result of this method is compared to
the result of the perturbation homotopy method published by Merdan (2009). The
graph of spreading pollution function on interconnected three lakes is based on the
forms of pollution sources at the first polluted lake.
Keywords: model of spreading pollution on interconnected three lakes, homotopy
method, perturbation homotopy method
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
ANDRI TRI WIBOWO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran
Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung
Nama
: Andri Tri Wibowo
NIM
: G54090001
Disetujui oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr Jaharuddin, MS
NIP. 19651102 199302 1 001
Drs Ali Kusnanto, M.Si
NIP. 19650820 199003 1 001
Diketahui oleh
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ayah A Zawawi (alm) dan ibu Dely Suhartini, beserta kakak Hendro
Wijaya beserta istri, Dede Suhardi, tante Tini atas semua doa, dukungan,
semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih
sayangnya.
2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si. masing-masing
sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4. Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya,
teman-teman Matematika 46 atas kebersamaannya, serta teman-teman
omda Ikamusi atas bantuan, dukungan dan motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penilitian-penilitian selanjutnya.
Bogor, April 2013
Andri Tri Wibowo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Penurunan Model Matematika
2
Metode Homotopi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Analisis Metode
7
Aplikasi Metode
9
Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan
9
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
13
SIMPULAN
17
Simpulan
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus pertama
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua
11
11
14
15
DAFTAR GAMBAR
1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
2 Bagan aliran sumber polutan pada tiga danau
3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan metode
homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan
2
3
7
4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus
pertama
5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus
pertama
6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus
pertama
7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus kedua
8 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus kedua
9 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus kedua
12
12
12
15
16
16
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penurunan persamaan (7)
Penyelesaian masalah nilai awal (10)
Penurunan Persamaan (16)
Program Mathematica untuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6
Program Mathematica untuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9
19
21
22
24
25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Polusi telah menjadi masalah yang sangat serius bagi lingkungan hidup.
Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau dimasukkannya
makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam lingkungan hidup oleh
kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke tingkat tertentu yang
menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai dengan
peruntukkannya. Banyaknya bencana yang terjadi, seperti banjir dan tanah longsor,
merupakan bukti besarnya polusi memengaruhi kelestarian lingkungan hidup.
Salah satu masalah yang terkait pencemaran lingkungan hidup, yaitu
pencemaran danau. Danau memiliki manfaat yang besar bagi kehidupan manusia,
seperti untuk pengairan sawah, sebagai objek pariwisata, sebagai pembangkit
listrik tenaga air (PLTA), sebagai sumber penyedia air bagi makhluk hidup sekitar
dan juga sebagai pengendali banjir dan erosi, sehingga dibutuhkan penyelamatan
bagi danau tersebut. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju perencanaan
untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada danau dapat
dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu penyebaran
jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan
pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian
pencemaran yang terjadi.
Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul
pada model matematika. Dalam karya ilmiah ini, akan dipelajari penyelesaian
masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling
terhubung. Masalah ini pernah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model
matematika tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial.
Sistem persamaan diferensial ini seringkali sulit diselesaikan secara analitik.
Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik
untuk memeroleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu
persamaan diferensial. Beberapa metode yang telah digunakan untuk
menyelesaikan model laju alir polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling
terhubung adalah metode aproksimasi Pade’ (Merdan 00 ), metode perturbasi
(Merdan 2009), metode modifikasi transformasi diferensial (Merdan 2010), dan
metode iterasi variasi (Biazar et al. 2010). Dengan metode aproksimasi Pade’
Merdan (2008) mencari penyelesaian model polutan dengan menggunakan
transformasi Laplace suatu fungsi rasional. Dengan metode perturbasi, Merdan
(2009) memisalkan penyelesaian model polutan ke dalam bentuk deret pangkat
dari suatu parameter kecil. Metode modifikasi transformasi diferensial, Merdan
(2010) menggunakan penyelesaian dalam bentuk deret Taylor. Sedangkan metode
iterasi variasi, Biazar et al. (2010) membentuk suatu fungsi koreksi dengan
menggunakan pengali Lagrange untuk memeroleh penyelesaian model polutan.
Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi (Liao 2004) yaitu
suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah persamaan
diferensial. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator yang didasarkan
pada bentuk persamaan diferensial dari masalah tersebut. Penyelesaian persamaan
diferensial dengan menggunakan metode homotopi dimisalkan dalam bentuk deret
2
yang umum. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode homotopi akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).
Tujuan Karya Ilmiah
a.
b.
c.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan model laju alir
jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung, dan membandingkan
penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksaknya.
Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode homotopi dengan
hasil-hasil yang telah diperoleh dalam (Merdan 2009).
Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan sumber polutan
yang diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi penurunan model laju alir jumlah
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung berdasarkan pada
Biazar et al. (2006), konsep dasar metode homotopi, dan contoh masalah
sederhana yang diselesaikan dengan metode tersebut.
Penurunan Model Matematika
Berikut ini akan dibahas penurunan model dari permasalahan laju alir
jumlah polutan tiga danau saling terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.
danau 1
danau 2
sumber
polutan
danau 3
Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling
terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara
Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau
3
Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan
oleh anak panah pada Gambar 1.
Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari sumber polutan. Di dalam
danau pertama polutan dapat mengalir ke danau kedua dan ketiga. Pada danau
kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga, sedangkan di danau ketiga,
polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau pertama. Aliran ini dapat
disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan pada Gambar 2.
Sumber
Polutan
p(t)
Danau 1
Danau 2
Danau 3
Gambar 2 Bagan aliran jumlah polutan pada tiga danau
Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu
dilambangkan dengan p(t), dan konstanta
dinyatakan sebagai laju aliran
volume polutan dari danau i ke danau j.
Misalkan ( ) merupakan jumlah polutan dalam danau i pada t 0, dengan
i = 1, 2, 3. Diasumsikan polutan di masing-masing danau tersebar secara merata di
sepanjang danau oleh proses pencampuran, dan volume air di danau i tetap
untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi bersifat homogen dan tidak
menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana, sehingga konsentrasi polutan di
danau i pada waktu diberikan oleh
()
Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga
(0) = 0 untuk setiap i = 1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danau j pada
setiap waktu t, ( ) didefinisikan sebagai berikut:
()
()
()
Besaran ( ) digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di
danau i yang mengalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran,
total laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang
masuk dan keluar.
Menerapkan prinsip ini untuk setiap danau menghasilkan sistem persamaan
diferensial orde pertama berikut:
(1)
4
()
()
dengan
jumlah polutan pada danau dalam waktu
, dimana
,
suatu konstanta dari laju alir volume polutan dari danau ke danau ,
p(t)
fungsi laju jumlah polutan saat masuk ke danau per unit waktu sebagai
sumber polutan,
volume air di danau , dimana
.
Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak
berubah selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke
dalam danau sama dengan laju alir volume polutan yang keluar dari danau,
sehingga diperoleh persamaan berikut:
F13
= F21 + F31,
F21
= F32,
(2)
F31 + F32 = F13.
Dalam tulisan ini akan diselesaikan masalah (1) dengan kendala (2) dan
xi(0) = 0, i = 1, 2, 3 dengan menggunakan metode homotopi dan membandingkan
hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan
(2009).
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan
pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:
A[y(t)] = 0.
(3)
dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan
bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear yang
memenuhi
[f] = 0, bila f = 0.
(4)
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
(u(t,q),q) = (1 - q) [u(t,q) - 0 ] + qA[u(t,q)],
(5)
dengan u fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q.
Fungsi 0
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Pada saat q = 0,
persamaan (5) menjadi
(u(t,0),0) = [u(t,0) - 0 ],
dan pada saat q = 1 menjadi
(u(t,1),1) = A[u(t,q)].
Berdasarkan persamaan (3) dan (4), maka penyelesaian persamaan
(u(t,0),0) = 0 dan (u(t,1),1) = 0 masing-masing adalah u(t,0) = 0 , dan
u(t,1) = y(t).
Deret Taylor untuk fungsi u(t,q) terhadap q di sekitar q = 0 adalah
5
0
0
Misalkan dinotasikan
0
Karena u(t,0) =
0
, maka
(6)
0
Karena u(t,1) = y(t), maka pada saat q = 1 diperoleh
(7)
0
Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan
(u(t,q),q) = 0 atau (1 - q) [u(t,q) - 0 ] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan
tersebut diturunkan terhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q = 0, maka
diperoleh persamaan sebagai berikut:
] = - Rm( m - 1),
(8)
[
– m dengan
=( 0 ,
…
),
(
0
)
0
(9)
Hasil
pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8)
digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan
(7). Penurunan persamaan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Untuk lebih memahami metode homotopi yang telah dibahas di atas,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut:
(10)
dengan syarat awal x(0) =
persamaan (10) adalah
()
e (
dan y(0) =
e
e
. Penyelesaian eksak masalah nilai awal
)
(11)
()
6
Berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan
menggunakan metode homotopi. Misalkan didefinisikan operator berikut
(12)
dengan q merupakan suatu parameter,
dan
adalah suatu fungsi yang
bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan
(12) sebagai berikut:
( )
0
0
( ) 0( )
( )
0
Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga
diperoleh
( )
()(
()
)
dengan
(
)
0
(13)
0
(
)
dan
diberikan pada persamaan (9). Misalkan penyelesaian pendekatan awal
, 0
. Selanjutnya persamaan (13) disubstitusikan ke persamaan
0
( )
0,
( )
0 dan diintegralkan kedua ruas terhadap t
sehingga diperoleh
()
0
(14)
( ) ds
0
Misalkan penyelesaian pendekatan awal 0
= r1 dan
untuk m = 1 dan berdasarkan persamaan (14) diperoleh
0
= r2, maka
dan
dan untuk m = 2, diperoleh
dan
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
,
…
dan
,
,
…. Sehingga penyelesaian masalah nilai awal (10)
berdasarkan metode homotopi adalah
7
…
…
Program Mathematica untuk menggambarkan grafik
dan
dapat
dilihat pada Lampiran 2. Gambar 3 menunjukkan perbandingan penyelesaian
masalah nilai awal (10) secara eksak dengan penyelesaian menggunakan metode
homotopi. Berdasarkan Gambar 3 tersebut diperoleh bahwa penyelesaian
pendekatan dari masalah nilai awal (10) mendekati penyelesaian eksaknya dengan
baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode homotopi dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan nilai awal atau nilai batas
yang diberikan.
400
y(t)
300
200
x(t)
100
HOMOTOP I
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
EKSAK
t
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan
metode homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak
dengan
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi untuk
menyelesaikan masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling
terhubung. Pada bagian ini juga, diberikan contoh dua kasus berdasarkan bentuk
fungsi dari sumber polutan. Hasilnya berupa kurva yang menyatakan hubungan
antara jumlah polutan pada ketiga danau terhadap waktu. Hasil-hasil tersebut akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh pada (Merdan 2009).
Analisis Metode
Akan digunakan perluasan metode homotopi untuk menyelesaikan model
dari permasalahan laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung.
Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut:
8
dengan
(15)
–
dengan
fungsi yang bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan
(15) sebagai berikut:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
()
0(
0
)
0
Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga
diperoleh
( ()- )
(16)
()
(
)
(
)
()
dengan
()
()
()
()
()
()
()
()
()
(17)
()
()
Penurunan persamaan (16) diberikan pada lampiran 3 dan
diberikan pada
persamaan (9).
Misalkan penyelesaian pendekatan awal
,
, dan
0
0
. Jika bentuk pada persamaan (17) disubstitusikan ke persamaan (16),
0
dengan
,
, dan
pada persamaan (15), kemudian
kedua ruasnya diintegralkan terhadap t, maka untuk m
… diperoleh
()
0
()
(18)
9
()
0
()
()
0
()
0
()
()
0
0
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (1) dengan metode homotopi
hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:
0
0
0
Aplikasi Metode
Pada bagian ini metode homotopi akan diaplikasikan dengan masukan datadata sebagai berikut:
jumlah polutan yang masuk ke danau i pada saat t = 0 adalah i 0, dengan
i = 1,2,3,
volume konstan dari setiap danau adalah
00 mi ,
0 mi ,
0 mi ,
laju aliran volume polutan ke dalam suatu danau dari danau lainnya tiap
tahunnya adalah
mi tah n,
mi tah n,
0 mi tah n
dan
mi tah n. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala
yang diperoleh pada persamaan (2).
Dalam karya ilmiah ini, ditinjau dua kasus laju alir jumlah polutan yang
masuk ke danau pertama dari sumber polutan yaitu:
i. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terus menerus secara
linear hingga waktu tertentu.
ii. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik
terhadap waktu.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan
Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber
polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
0
0
0
10
dengan Cin adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran
terjadi hingga waktu t0 dan nilai
= 0 setelah waktu t0. Asumsikan
= 100
polutan per satuan waktu, 0
0 yang menyatakan bahwa laju alir jumlah polutan
yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per
tahun untuk selama 10 tahun.
Berdasarkan persamaan (18), untuk m = 1 diperoleh
00
Untuk
, diperoleh
00
00
00
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
…
,
… dan
,
… Jadi berdasarkan metode homotopi
diperoleh penyelesaian model persamaan (1) sampai orde keenam dengan p(t)
fungsi konstan sebagai berikut:
0
0
0
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan p(t) =
100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang t 10 sebagai berikut:
0
0
0
0
0
0 0
0
0
( 00
( 00
(00
)(
)(
0
0
)(
0
0
(0 0
0
0
0
0
0
)
os
0
0
(0 0
t)
(0 0 )
0
os
0
0
(0 0
)
(0 0 )
0
0
0
os
0
0
(0 0
)
11
Berikut ini diberikan Tabel 1 yaitu selisih antara penyelesaian metode
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 2 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
Tabel 1 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
3.32653 × 10-6
2.65734 × 10-5
8.95546 × 10-5
2.11968 × 10-4
4.13398 × 10-4
7.13314 × 10-4
1.13107 × 10-3
1.68591 × 10-3
2.39696 × 10-3
3.28324 × 10-3
0
5.16117 × 10-10
8.24475 × 10-9
4.16727 × 10-8
1.31497 × 10-7
3.20528 × 10-7
6.63593 × 10-7
1.22744 × 10-6
2.09063 × 10-6
3.34348 × 10-6
5.08792 × 10-6
0
3.09877 × 10-3
1.23764 × 10-2
2.7805 × 10-2
4.93567 × 10-2
7.7004 × 10-2
0.110719
0.150475
0.196245
0.248001
0.305716
Tabel 2 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus
pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
1.86517 × 10-13
2.62901 × 10-13
1.42109 × 10-14
1.77636 × 10-13
2.20268 × 10-13
2.55795 × 10-13
2.13163 × 10-13
1.42109 × 10-14
4.68958 × 10-13
1.13687 × 10-12
0
5.69328 × 10-14
1.28664 × 10-14
2.2999 × 10-14
8.40994 × 10-15
7.43572 × 10-14
1.27842 × 10-13
2.83829 × 10-13
6.96609 × 10-13
1.53211 × 10-12
3.35787 × 10-12
0
1.78191 × 10-14
9.88046 × 10-14
2.78458 × 10-14
1.31867 × 10-13
1.08483 × 10-13
2.03171 × 10-14
2.21656 × 10-13
5.46979 × 10-13
1.01069 × 10-12
2.31043 × 10-12
Berdasarkan Tabel 1 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan
metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing sebesar
9.55 × 10-4; 1,29 × 10-6, dan 0,12. Pada Tabel 2 dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi, danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing
menghasilkan rata-rata galat sebesar 2,95 × 10-13; 6,17 × 10-13 dan 4,49 × 10-13.
Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi konstan.
12
Berikut ini diberikan Gambar 4, 5, dan 6 yang merupakan penyelesaian
eksak persamaan (1) untuk kasus pertama. Gambar 4, 5, dan 6 masing-masing
menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan x3(t).
x1(t)
800
600
400
200
0
200
100
300
t
Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada
kasus pertama
x2(t)
160
140
120
100
80
60
40
t
Gambar 5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada
kasus pertama
50
100
150
200
250
300
350
x3(t)
200
150
100
50
t
Gambar 6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada
kasus pertama
50
100
150
200
250
300
350
Berdasarkan Gambar 4, 5, dan 6 diperoleh bahwa semakin besar nilai t
untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang
dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil,
tetapi setiap danau mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada
danau pertama, jumlah polutan menurun hingga konvergen ke 588,234, sedangkan
pada danau kedua dan danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga
masing-masing konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak
13
adanya polutan yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas 10 tahun
( p(t) = 0, t > 10 ) dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau.
Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam
selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing
menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 99,67; 0,15; 0,33. Jumlah
dari ketiga hasil tersebut sama dengan laju perubahan jumlah polutan yang berada
di ketiga danau yaitu 100 polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan
ketiga danau meningkat secara linear bergantung pada fungsi konstan p(t) yang
diberikan yaitu bernilai 100. Dengan demikian polutan yang diberikan dari
sumber polutan akan menyebar ke setiap danau.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber
polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
(
(
))
dengan
a
simpangan normal yang memengaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi
p(t) dan selalu bernilai antara 0 dan 1,
T
periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses
pencampuran,
Ci
rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.
Agar laju alir jumlah polutan tersebut selalu bernilai positif dan berubahubah secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan
= 100, a = 1, dan T = 2 .
Berdasarkan persamaan (17), untuk m = 1 diperoleh
00
Untuk m = 2, diperoleh
00
00
–
–
00
00
00
00
00
00
14
–
–
t
t
t
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
…
,
… dan
,
… Jadi berdasarkan metode homotopi
diperoleh penyelesaian model sampai orde keenam persamaan (1) dengan p(t)
fungsi sinusoidal sebagai berikut:
0
0
0
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi
p(t) = 100(1 + sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:
0
0
( 00
)
0
( 00
)
0
0
( 00
0
0
( 00
)
0
00
0
-0
)
( 00
)
-00
0
( 00
)
0
-
Berikut ini diberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 4 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
Tabel 3 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.26849 × 10-14
3.40969 × 10-6
2.79011 × 10-5
9.62569 × 10-5
2.33077 × 10-4
4.64719 × 10-4
8.19217 × 10-4
1.32619 × 10-3
2.01673 × 10-3
2.92326 × 10-3
4.0794 × 10-3
3.69216 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.4755 × 10-3
3.42761 × 10-3
6.28377 × 10-3
1.01128 × 10-2
1.4981 × 10-2
2.09517 × 10-2
2.80844 × 10-2
3.64345 × 10-2
4.60525 × 10-2
4.98677 × 10-14
3.5589 × 10-3
1.4676 × 10-2
3.40037 × 10-2
6.21788 × 10-2
9.98152 × 10-2
0.147498
0.205777
0.275162
0.356116
0.44905
15
Berdasarkan Tabel 3 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan
metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing
menghasilkan rata-rata galat sebesar 7,91 × 10-4; 1,22 × 10-2 dan 0,12.
Tabel 4 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus
kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.26849 × 10-14
4.61853 × 10-14
2.77112 × 10-13
0
1.20792×10-13
3.55271×10-14
1.56319×10-13
1.42109×10-14
4.26326×10-14
5.11591×10-13
1.0516×10-12
3.69216 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.47551 × 10-3
3.42765 × 10-3
6.28391 × 10-3
1.01131 × 10-2
1.49817 × 10-2
2.09531 × 10-2
2.80868 × 10-2
3.64384 × 10-2
4.60586 × 10-2
4.98677 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.47551 × 10-3
3.42765 × 10-3
6.28391 × 10-3
1.01131 × 10-2
1.49817 × 10-2
2.09531 × 10-2
2.80868 × 10-2
3.64384 × 10-2
4.60586 × 10-2
Pada Tabel 4 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi, danau
pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan rata-rata galat sebesar
1,23 × 10-13; 1,22 × 10-2 dan 8,57 × 10-3.
Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.
Berikut ini diberikan Gambar 7, 8, dan 9 yang merupakan penyelesaian
eksak persamaan (1) untuk kasus kedua. Gambar 7, 8, dan 9 masing-masing
menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan x3(t).
x1(t)
1500
1000
500
t
Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus
kedua
5
10
15
20
16
x2(t)
100
80
60
40
20
5
10
15
20
t
Gambar 8 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada
kasus kedua
x3(t)
120
100
80
60
40
20
5
10
15
20
t
Gambar 9 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada
kasus kedua
Berdasarkan Gambar 7, 8, dan 9 diperoleh bahwa semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0
sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang
waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui
titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu
berikutnya. Pada danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah
sesuai selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah
polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara
signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan
berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam
selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing
menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0,17; 0,37.
17
SIMPULAN
Simpulan
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika
Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau Michigan.
Tiap danau memiliki saluran penghubung berupa pipa. Polutan dikenakan ke
dalam danau pertama sebagai sumber polutan yang berupa fungsi konstan, dan
fungsi sinusoidal. Hal ini akan memengaruhi perubahan jumlah polutan pada
setiap danau.
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
diselesaikan dengan menggunakan metode homotopi. Dari kedua fungsi masukan
sebagai sumber polutan tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi
dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga
danau yang saling terhubung.
Pada fungsi masukan (sumber polutan) berupa fungsi konstan, semakin
besar nilai t untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan
yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi
stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pertama
pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga
danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi
masukan yang diberikan, yaitu bernilai 100 polutan/tahun. Dengan demikian
polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.
Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bergantung pada selang waktu tertentu. Untuk selang waktu antara
0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada
selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan
melalui titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang
waktu berikutnya. Pada danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubahubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7
tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan
meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan
oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
DAFTAR PUSTAKA
Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of
lakes. Applied Mathematics and Computation. 178:423-430.
Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 2010. VIM for solving the pollution problem
of a system of lakes. Journal of Control Science and Engineering. 2010:06.10. doi:10.1155/2010/829152.
18
Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method.
Boca Raton, New York.
Merdan M 00 He’s variational iteration method applied to the sol tion of
modelling the pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi.
2009(18):1302-3055.
Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the
pollution of a system of lakes. SDU Journal of Science (E-Journal). 4(1):99111.
Merdan M. 2010. A new application of modified differential transformation
method for modelling the pollution of a system of lakes. Selcuk Journal of
Applied Mathematics. 11(2):27-40.
19
Lampiran 1 Penurunan persamaan (7)
Tinjau persamaan berikut :
atau
-
.
-
0
0
0
Selanjutnya, persamaan di atas diturunkan terhadap
Turunan pertama (m = 1)
0
0
–
0
0
–
–0
–
0
0
0
–0
0
t
Turunan ke-dua (m = 2)
–
0
–
–0
–
–
0
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
kali.
0
0
–
hingga
0
0
20
Turunan ke-tiga (m = 3)
sehingga diperoleh
Dengan langkah yang sama, turunan ke m pada saat q = 0 adalah
0
0
0
Jika kedua ruas dari persamaan di atas di bagi denganm!, maka diperoleh
0
0
0
0
0
atau
()dengan
-
(
…
0
(
dan
-
-
)
0
0
(
-
)
( ))
0
0
0
21
Lampiran 2 Penyelesaian masalah nilai awal (10)
n=6; r1=5; r2=8;
METODE HOMOTOPI
x[1,t_]:=(r1+r2)t
y[1,t_]:=(9r1+r2)t
i t
i
t
i t
i
t
t
0
t
0
n
t
r
i
s
s
i
s
i
s
i
i
s
s ds
i
s ds
it
i
t
s
r
n
it
i
h[t_]:=1/6 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1-r2+Exp[6t]r2)
g[t_]:=1/2 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1+r2+Exp[6t]r2)
Plot[{x[t],y[t],h[t],g[t]},{t,0,1},PlotStyle{Automatic,Automatic,Dashed,Dashed
}]
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (16)
Tinjau persamaan (7) yang telah diperluas berikut :
( ()- )
()
(
)
(
)
()
dengan
dan
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
.
Berikut ini bentuk
akan
disederhanakan.
Diberikan operator taklinear berikut
maka
dapat
-
-
ditentukan penyederhanaan
- , dan
(
(
,
-
-
nilai
-
-
-
-
, dan
-
-
)
0
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
0
()
(
(
)
)
0
)
0
()
()
0
0
,
23
(
)
(
m
)
(
)
0
0
()
()
(
(
(
0
)
0
()
)
0
)
(
0
)
(
(
0
)
( )
0
)
(
)
( )
0
0
( )
24
Lampiran 4 Program Mathematica untuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6
r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;
F21=18; p=100; h=-1; n=6;
METODE HOMOTOPI
a[1,t_] := - (r1 - F13 (r3/v3-r1/v1) t – p t)
b[1,t_] := - (r2 - F21 (r1/v1-r2/v2) t)
c[1,t_] := - (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t)
t
m s am s
am t
a m t (a m t
ds )
0
bm t
bm
m t
t
m
(b m
t
t
( m
t
t
r
am
s
am
s
bm
s
ds)
bm
s
0
n
at
0
t
am t
m
n
bt
r
bm t
m
n
t
r
m t
m
f D olve
t
0
t
v
0 0
00
t
0
v
t
v
t
0
t
0
(
)
t
v
v
t
t
v
t
y1[t_] Evaluate[x[t]/.f]
y2[t_] Evaluate[y[t]/.f]
y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]
f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
able
able
able
bs a i
bs b i
bs i
i
i
i
i00 00
i00 00
i00 00
v
t
m
s
ds )
25
Lampiran 5 Program Mathematica untuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9
r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;
F21=18; h=-1; n=6;
METODE HOMOTOPI
a[1, t_] := h ( r1 - F13 (r3/v3 - r1/v1) t – t + Cos[t])
b[1, t_] := h (r2 - F21 (r1/v1 - r2/v2) t)
c[1, t_] := h (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t)
t
m s am s
am t
a m t (a m t
ds )
0
bm t
bm
m t
t (b m
m
t
t ( m
t
t
r
0
am
s bm
am
s
s
ds)
bm
s
0
n
at
t
am t
m
n
bt
r
bm t
m
n
t
r
m t
m
f D olve
t
0
t
v
0 0
00
t
0
v
00 sin(t)
t
0
t
0
t
v
v
t
t
(
)
v
v
t
y1[t_]:=Evaluate[x[t]/.f]
y2[t_] Evaluate[y[t]/.f]
y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]
f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
Table[Abs[a[i] – y1[i]],{i,0,1,0.1}]
Table[Abs[b[i] – y2[i]],{i,0,1,0.1}]
Table[Abs[c[i] – y3[i]],{i,0,1,0.1}]
v
t
t
m
s
ds )
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lahat, Sumatera Selatan pada tanggal 4 Juni 1991
sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan A Zawawi (alm) dan Dely
Suhartini.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Bhayangkari Muara
Enim lulus pada tahun 1997, SD Negeri 18 Muara Enim lulus pada tahun 2003,
SMP Negeri 1 Muara Enim lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 1 Muara Enim
lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departmen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai Sekretaris Umum pada
tahun 2011, dan sebagai Wakil Ketua pada tahun 2012. Penulis juga pernah
menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang
Matematika di tingkat region 3 pada tahun 2011 dan 2012. Selain itu penulis
pernah menjadi pengajar olimpiade matematika di SMP Negeri 5 Bogor, serta
menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Persamaan Differensial Biasa pada tahun
2011, Pengantar Teori Peluang pada tahun 2011, Persamaan Differensial Parsial
pada tahun 2012 dan 2013, dan Kalkulus III pada tahun 2012 dan 2013.
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
ANDRI TRI WIBOWO
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penggunaan Metode
Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling
Terhubung adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, April 2013
Andri Tri Wibowo
NIM G54090001
ABSTRAK
ANDRI TRI WIBOWO. Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan
Model Aliran Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung. Dibimbing oleh
JAHARUDDIN dan ALI KUSNANTO.
Pencemaran danau merupakan masalah serius bagi lingkungan hidup. Salah
satu cara pemantauan polusi pada danau dilakukan dengan membangun suatu
model matematika. Model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling
terhubung diturunkan dan diselesaikan dengan metode homotopi. Dalam metode
homotopi, didefinisikan suatu operator yang didasarkan pada bentuk persamaan
diferensial dalam model matematika. Hasil metode ini sesuai dengan metode
perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009). Grafik fungsi
penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung diberikan berdasarkan
bentuk-bentuk sumber polutan yang masuk pada danau pertama.
Kata kunci: model penyebaran polutan pada tiga danau yang saling terhubung,
metode homotopi, metode perturbasi homotopi
ABSTRACT
ANDRI TRI WIBOWO. The Use of Homotopy Method for Pollution Models in
Interconnected Three Lake Problems. Supervised by JAHARUDDIN and ALI
KUSNANTO.
Pollution of lake is a very serious threat to the environment. One way to
monitor pollution on lakes is constructing a mathematical model. The model of
spreading pollution on interconnected three lakes is solved by using homotopy
method. In homotopy method, it is defined as an operator based on differential
equation forms in mathematical models. The result of this method is compared to
the result of the perturbation homotopy method published by Merdan (2009). The
graph of spreading pollution function on interconnected three lakes is based on the
forms of pollution sources at the first polluted lake.
Keywords: model of spreading pollution on interconnected three lakes, homotopy
method, perturbation homotopy method
PENGGUNAAN METODE HOMOTOPI UNTUK
MENYELESAIKAN MODEL ALIRAN POLUTAN
DI TIGA DANAU YANG SALING TERHUBUNG
ANDRI TRI WIBOWO
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2013
Judul Skripsi : Penggunaan Metode Homotopi untuk Menyelesaikan Model Aliran
Polutan di Tiga Danau yang Saling Terhubung
Nama
: Andri Tri Wibowo
NIM
: G54090001
Disetujui oleh
Pembimbing I
Pembimbing II
Dr Jaharuddin, MS
NIP. 19651102 199302 1 001
Drs Ali Kusnanto, M.Si
NIP. 19650820 199003 1 001
Diketahui oleh
Ketua Departemen Matematika
Dr. Berlian Setiawaty, MS
NIP. 19650505 198903 2 004
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Penulisan karya ilmiah ini
juga tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Untuk itu penulis mengucapkan
terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Ayah A Zawawi (alm) dan ibu Dely Suhartini, beserta kakak Hendro
Wijaya beserta istri, Dede Suhardi, tante Tini atas semua doa, dukungan,
semangat, pengorbanan, nasihat, pendidikan, perhatian, cinta dan kasih
sayangnya.
2. Dr. Jaharuddin, M.S. dan Drs. Ali Kusnanto, M.Si. masing-masing
sebagai dosen pembimbing I dan dosen pembimbing II atas semua ilmu,
kesabaran, motivasi, dan bantuannya selama penulisan skripsi ini.
3. Dosen dan staf penunjang Departemen Matematika atas semua ilmu dan
bantuannya.
4. Kakak Matematika 45 dan 44 atas bantuan, saran dan semua ilmunya,
teman-teman Matematika 46 atas kebersamaannya, serta teman-teman
omda Ikamusi atas bantuan, dukungan dan motivasinya selama ini.
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat dan menjadi inspirasi bagi
penilitian-penilitian selanjutnya.
Bogor, April 2013
Andri Tri Wibowo
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
ix
DAFTAR GAMBAR
ix
DAFTAR LAMPIRAN
ix
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Karya Ilmiah
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Penurunan Model Matematika
2
Metode Homotopi
4
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Analisis Metode
7
Aplikasi Metode
9
Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan
9
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
13
SIMPULAN
17
Simpulan
17
DAFTAR PUSTAKA
17
LAMPIRAN
19
RIWAYAT HIDUP
26
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus pertama
Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus kedua
11
11
14
15
DAFTAR GAMBAR
1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
2 Bagan aliran sumber polutan pada tiga danau
3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan metode
homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak dengan
2
3
7
4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus
pertama
5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus
pertama
6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus
pertama
7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus kedua
8 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada kasus kedua
9 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada kasus kedua
12
12
12
15
16
16
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
Penurunan persamaan (7)
Penyelesaian masalah nilai awal (10)
Penurunan Persamaan (16)
Program Mathematica untuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6
Program Mathematica untuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9
19
21
22
24
25
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Polusi telah menjadi masalah yang sangat serius bagi lingkungan hidup.
Polusi atau pencemaran lingkungan hidup adalah masuknya atau dimasukkannya
makhluk hidup, zat, energi, atau komponen lain ke dalam lingkungan hidup oleh
kegiatan manusia sehingga kualitasnya turun sampai ke tingkat tertentu yang
menyebabkan lingkungan hidup tidak dapat berfungsi sesuai dengan
peruntukkannya. Banyaknya bencana yang terjadi, seperti banjir dan tanah longsor,
merupakan bukti besarnya polusi memengaruhi kelestarian lingkungan hidup.
Salah satu masalah yang terkait pencemaran lingkungan hidup, yaitu
pencemaran danau. Danau memiliki manfaat yang besar bagi kehidupan manusia,
seperti untuk pengairan sawah, sebagai objek pariwisata, sebagai pembangkit
listrik tenaga air (PLTA), sebagai sumber penyedia air bagi makhluk hidup sekitar
dan juga sebagai pengendali banjir dan erosi, sehingga dibutuhkan penyelamatan
bagi danau tersebut. Pemantauan polusi adalah langkah awal menuju perencanaan
untuk menyelamatkan lingkungan hidup. Pemantauan polusi pada danau dapat
dilakukan dengan pendekatan sistem dalam membangun model suatu penyebaran
jumlah polusi pada danau. Model ini dapat digunakan sebagai bahan
pertimbangan atau acuan untuk memformulasi kebijakan dalam pengendalian
pencemaran yang terjadi.
Penggunaan persamaan diferensial dari pemantauan polusi sering muncul
pada model matematika. Dalam karya ilmiah ini, akan dipelajari penyelesaian
masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling
terhubung. Masalah ini pernah dimodelkan oleh Biazar et al. (2006). Model
matematika tersebut dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial.
Sistem persamaan diferensial ini seringkali sulit diselesaikan secara analitik.
Beberapa penelitian difokuskan pada penemuan metode pendekatan analitik
untuk memeroleh penyelesaian dari masalah yang dimodelkan dalam suatu
persamaan diferensial. Beberapa metode yang telah digunakan untuk
menyelesaikan model laju alir polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling
terhubung adalah metode aproksimasi Pade’ (Merdan 00 ), metode perturbasi
(Merdan 2009), metode modifikasi transformasi diferensial (Merdan 2010), dan
metode iterasi variasi (Biazar et al. 2010). Dengan metode aproksimasi Pade’
Merdan (2008) mencari penyelesaian model polutan dengan menggunakan
transformasi Laplace suatu fungsi rasional. Dengan metode perturbasi, Merdan
(2009) memisalkan penyelesaian model polutan ke dalam bentuk deret pangkat
dari suatu parameter kecil. Metode modifikasi transformasi diferensial, Merdan
(2010) menggunakan penyelesaian dalam bentuk deret Taylor. Sedangkan metode
iterasi variasi, Biazar et al. (2010) membentuk suatu fungsi koreksi dengan
menggunakan pengali Lagrange untuk memeroleh penyelesaian model polutan.
Dalam karya ilmiah ini akan digunakan metode homotopi (Liao 2004) yaitu
suatu metode pendekatan analitik untuk menyelesaikan suatu masalah persamaan
diferensial. Dalam metode ini, akan didefinisikan suatu operator yang didasarkan
pada bentuk persamaan diferensial dari masalah tersebut. Penyelesaian persamaan
diferensial dengan menggunakan metode homotopi dimisalkan dalam bentuk deret
2
yang umum. Hasil-hasil yang diperoleh dengan metode homotopi akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh dengan metode perturbasi
homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan (2009).
Tujuan Karya Ilmiah
a.
b.
c.
Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah:
Menggunakan metode homotopi untuk menyelesaikan model laju alir
jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung, dan membandingkan
penyelesaian metode tersebut dengan penyelesaian eksaknya.
Membandingkan hasil-hasil yang diperoleh dari metode homotopi dengan
hasil-hasil yang telah diperoleh dalam (Merdan 2009).
Menginterpretasikan hasil-hasil yang didapat sesuai dengan sumber polutan
yang diberikan.
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini akan dibahas teori-teori yang digunakan dalam menyusun
karya ilmiah ini. Teori-teori tersebut meliputi penurunan model laju alir jumlah
polutan pada tiga danau dengan saluran yang saling terhubung berdasarkan pada
Biazar et al. (2006), konsep dasar metode homotopi, dan contoh masalah
sederhana yang diselesaikan dengan metode tersebut.
Penurunan Model Matematika
Berikut ini akan dibahas penurunan model dari permasalahan laju alir
jumlah polutan tiga danau saling terhubung yang diperlihatkan oleh Gambar 1.
danau 1
danau 2
sumber
polutan
danau 3
Gambar 1 Laju alir jumlah polutan pada tiga danau
Model permasalahan laju alir jumlah polutan tiga danau yang saling
terhubung didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara
Amerika Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau
3
Michigan. Ketiga danau tersebut memiliki saluran berupa pipa yang diperlihatkan
oleh anak panah pada Gambar 1.
Polutan dikenakan ke dalam danau pertama dari sumber polutan. Di dalam
danau pertama polutan dapat mengalir ke danau kedua dan ketiga. Pada danau
kedua polutan hanya bisa mengalir ke danau ketiga, sedangkan di danau ketiga,
polutan hanya bisa kembali mengalir ke dalam danau pertama. Aliran ini dapat
disederhanakan ke dalam bagan alir yang diperlihatkan pada Gambar 2.
Sumber
Polutan
p(t)
Danau 1
Danau 2
Danau 3
Gambar 2 Bagan aliran jumlah polutan pada tiga danau
Pada Gambar 2, laju jumlah polutan yang masuk ke danau per unit waktu
dilambangkan dengan p(t), dan konstanta
dinyatakan sebagai laju aliran
volume polutan dari danau i ke danau j.
Misalkan ( ) merupakan jumlah polutan dalam danau i pada t 0, dengan
i = 1, 2, 3. Diasumsikan polutan di masing-masing danau tersebar secara merata di
sepanjang danau oleh proses pencampuran, dan volume air di danau i tetap
untuk setiap danau. Diasumsikan pula polusi bersifat homogen dan tidak
menyusut ke bentuk lain yang lebih sederhana, sehingga konsentrasi polutan di
danau i pada waktu diberikan oleh
()
Diasumsikan tiap danau pada awalnya bebas dari pencemaran, sehingga
(0) = 0 untuk setiap i = 1, 2, 3. Arus alir polutan dari danau i ke danau j pada
setiap waktu t, ( ) didefinisikan sebagai berikut:
()
()
()
Besaran ( ) digunakan untuk mengukur laju perubahan jumlah polutan di
danau i yang mengalir ke danau j pada waktu t. Berdasarkan proses pencampuran,
total laju perubahan polutan sama dengan selisih laju perubahan polutan yang
masuk dan keluar.
Menerapkan prinsip ini untuk setiap danau menghasilkan sistem persamaan
diferensial orde pertama berikut:
(1)
4
()
()
dengan
jumlah polutan pada danau dalam waktu
, dimana
,
suatu konstanta dari laju alir volume polutan dari danau ke danau ,
p(t)
fungsi laju jumlah polutan saat masuk ke danau per unit waktu sebagai
sumber polutan,
volume air di danau , dimana
.
Selanjutnya, asumsikan pula bahwa volume ketiga danau tersebut tidak
berubah selama proses pencampuran polutan. Jadi laju alir volume polutan ke
dalam danau sama dengan laju alir volume polutan yang keluar dari danau,
sehingga diperoleh persamaan berikut:
F13
= F21 + F31,
F21
= F32,
(2)
F31 + F32 = F13.
Dalam tulisan ini akan diselesaikan masalah (1) dengan kendala (2) dan
xi(0) = 0, i = 1, 2, 3 dengan menggunakan metode homotopi dan membandingkan
hasilnya dengan metode perturbasi homotopi yang telah dilakukan oleh Merdan
(2009).
Metode Homotopi
Berikut ini diberikan ilustrasi konsep dasar metode homotopi berdasarkan
pada (Liao, 2004). Misalkan diberikan persamaan diferensial berikut:
A[y(t)] = 0.
(3)
dengan A suatu operator turunan dan y fungsi yang akan ditentukan dan
bergantung pada t. Selanjutnya didefinisikan pula suatu operator linear yang
memenuhi
[f] = 0, bila f = 0.
(4)
Didefinisikan suatu fungsi homotopi sebagai berikut:
(u(t,q),q) = (1 - q) [u(t,q) - 0 ] + qA[u(t,q)],
(5)
dengan u fungsi yang akan ditentukan dan bergantung pada t dan parameter q.
Fungsi 0
merupakan pendekatan awal dari penyelesaian. Pada saat q = 0,
persamaan (5) menjadi
(u(t,0),0) = [u(t,0) - 0 ],
dan pada saat q = 1 menjadi
(u(t,1),1) = A[u(t,q)].
Berdasarkan persamaan (3) dan (4), maka penyelesaian persamaan
(u(t,0),0) = 0 dan (u(t,1),1) = 0 masing-masing adalah u(t,0) = 0 , dan
u(t,1) = y(t).
Deret Taylor untuk fungsi u(t,q) terhadap q di sekitar q = 0 adalah
5
0
0
Misalkan dinotasikan
0
Karena u(t,0) =
0
, maka
(6)
0
Karena u(t,1) = y(t), maka pada saat q = 1 diperoleh
(7)
0
Pada metode homotopi, fungsi u(t,q) adalah penyelesaian dari persamaan
(u(t,q),q) = 0 atau (1 - q) [u(t,q) - 0 ] = - qA[u(t,q)]. Selanjutnya persamaan
tersebut diturunkan terhadap q hingga m kali dan dievaluasi pada q = 0, maka
diperoleh persamaan sebagai berikut:
] = - Rm( m - 1),
(8)
[
– m dengan
=( 0 ,
…
),
(
0
)
0
(9)
Hasil
pada metode homotopi dengan menyelesaikan persamaan (8)
digunakan untuk memeroleh penyelesaian persamaan (3) yaitu pada persamaan
(7). Penurunan persamaan (8) dapat dilihat pada Lampiran 1.
Untuk lebih memahami metode homotopi yang telah dibahas di atas,
misalkan diberikan suatu masalah nilai awal berikut:
(10)
dengan syarat awal x(0) =
persamaan (10) adalah
()
e (
dan y(0) =
e
e
. Penyelesaian eksak masalah nilai awal
)
(11)
()
6
Berikut ini akan dicari penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan
menggunakan metode homotopi. Misalkan didefinisikan operator berikut
(12)
dengan q merupakan suatu parameter,
dan
adalah suatu fungsi yang
bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan
(12) sebagai berikut:
( )
0
0
( ) 0( )
( )
0
Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga
diperoleh
( )
()(
()
)
dengan
(
)
0
(13)
0
(
)
dan
diberikan pada persamaan (9). Misalkan penyelesaian pendekatan awal
, 0
. Selanjutnya persamaan (13) disubstitusikan ke persamaan
0
( )
0,
( )
0 dan diintegralkan kedua ruas terhadap t
sehingga diperoleh
()
0
(14)
( ) ds
0
Misalkan penyelesaian pendekatan awal 0
= r1 dan
untuk m = 1 dan berdasarkan persamaan (14) diperoleh
0
= r2, maka
dan
dan untuk m = 2, diperoleh
dan
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
,
…
dan
,
,
…. Sehingga penyelesaian masalah nilai awal (10)
berdasarkan metode homotopi adalah
7
…
…
Program Mathematica untuk menggambarkan grafik
dan
dapat
dilihat pada Lampiran 2. Gambar 3 menunjukkan perbandingan penyelesaian
masalah nilai awal (10) secara eksak dengan penyelesaian menggunakan metode
homotopi. Berdasarkan Gambar 3 tersebut diperoleh bahwa penyelesaian
pendekatan dari masalah nilai awal (10) mendekati penyelesaian eksaknya dengan
baik. Hasil ini menunjukkan bahwa metode homotopi dapat digunakan untuk
menyelesaikan sistem persamaan diferensial dengan nilai awal atau nilai batas
yang diberikan.
400
y(t)
300
200
x(t)
100
HOMOTOP I
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
EKSAK
t
Gambar 3 Perbandingan penyelesaian masalah nilai awal (10) dengan
metode homotopi hingga orde keenam dan penyelesaian eksak
dengan
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bagian ini akan dibahas penggunaan metode homotopi untuk
menyelesaikan masalah laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling
terhubung. Pada bagian ini juga, diberikan contoh dua kasus berdasarkan bentuk
fungsi dari sumber polutan. Hasilnya berupa kurva yang menyatakan hubungan
antara jumlah polutan pada ketiga danau terhadap waktu. Hasil-hasil tersebut akan
dibandingkan dengan hasil-hasil yang telah diperoleh pada (Merdan 2009).
Analisis Metode
Akan digunakan perluasan metode homotopi untuk menyelesaikan model
dari permasalahan laju alir jumlah polutan pada tiga danau yang saling terhubung.
Misalkan didefinisikan operator linear sebagai berikut:
8
dengan
(15)
–
dengan
fungsi yang bergantung pada t dan q.
Didefinisikan suatu fungsi homotopi yang diperluas berdasarkan persamaan
(15) sebagai berikut:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0
0
()
0(
0
)
0
Pada metode homotopi dibutuhkan perluasan persamaan (8), sehingga
diperoleh
( ()- )
(16)
()
(
)
(
)
()
dengan
()
()
()
()
()
()
()
()
()
(17)
()
()
Penurunan persamaan (16) diberikan pada lampiran 3 dan
diberikan pada
persamaan (9).
Misalkan penyelesaian pendekatan awal
,
, dan
0
0
. Jika bentuk pada persamaan (17) disubstitusikan ke persamaan (16),
0
dengan
,
, dan
pada persamaan (15), kemudian
kedua ruasnya diintegralkan terhadap t, maka untuk m
… diperoleh
()
0
()
(18)
9
()
0
()
()
0
()
0
()
()
0
0
Penyelesaian masalah nilai awal persamaan (1) dengan metode homotopi
hingga orde keenam dinyatakan dalam persamaan berikut:
0
0
0
Aplikasi Metode
Pada bagian ini metode homotopi akan diaplikasikan dengan masukan datadata sebagai berikut:
jumlah polutan yang masuk ke danau i pada saat t = 0 adalah i 0, dengan
i = 1,2,3,
volume konstan dari setiap danau adalah
00 mi ,
0 mi ,
0 mi ,
laju aliran volume polutan ke dalam suatu danau dari danau lainnya tiap
tahunnya adalah
mi tah n,
mi tah n,
0 mi tah n
dan
mi tah n. Besaran-besaran ini harus memenuhi kendala-kendala
yang diperoleh pada persamaan (2).
Dalam karya ilmiah ini, ditinjau dua kasus laju alir jumlah polutan yang
masuk ke danau pertama dari sumber polutan yaitu:
i. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi konstan. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama bertambah terus menerus secara
linear hingga waktu tertentu.
ii. Laju alir jumlah polutan berupa fungsi sinusoidal. Pada kasus ini, jumlah
polutan yang masuk ke dalam danau pertama berubah-ubah secara periodik
terhadap waktu.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Konstan
Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber
polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
0
0
0
10
dengan Cin adalah rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran
terjadi hingga waktu t0 dan nilai
= 0 setelah waktu t0. Asumsikan
= 100
polutan per satuan waktu, 0
0 yang menyatakan bahwa laju alir jumlah polutan
yang masuk ke danau pertama sebagai sumber polutan sebesar 100 polutan per
tahun untuk selama 10 tahun.
Berdasarkan persamaan (18), untuk m = 1 diperoleh
00
Untuk
, diperoleh
00
00
00
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
…
,
… dan
,
… Jadi berdasarkan metode homotopi
diperoleh penyelesaian model persamaan (1) sampai orde keenam dengan p(t)
fungsi konstan sebagai berikut:
0
0
0
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan p(t) =
100, diperoleh penyelesaian eksak pada selang t 10 sebagai berikut:
0
0
0
0
0
0 0
0
0
( 00
( 00
(00
)(
)(
0
0
)(
0
0
(0 0
0
0
0
0
0
)
os
0
0
(0 0
t)
(0 0 )
0
os
0
0
(0 0
)
(0 0 )
0
0
0
os
0
0
(0 0
)
11
Berikut ini diberikan Tabel 1 yaitu selisih antara penyelesaian metode
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 2 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
Tabel 1 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
3.32653 × 10-6
2.65734 × 10-5
8.95546 × 10-5
2.11968 × 10-4
4.13398 × 10-4
7.13314 × 10-4
1.13107 × 10-3
1.68591 × 10-3
2.39696 × 10-3
3.28324 × 10-3
0
5.16117 × 10-10
8.24475 × 10-9
4.16727 × 10-8
1.31497 × 10-7
3.20528 × 10-7
6.63593 × 10-7
1.22744 × 10-6
2.09063 × 10-6
3.34348 × 10-6
5.08792 × 10-6
0
3.09877 × 10-3
1.23764 × 10-2
2.7805 × 10-2
4.93567 × 10-2
7.7004 × 10-2
0.110719
0.150475
0.196245
0.248001
0.305716
Tabel 2 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus
pertama
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0
1.86517 × 10-13
2.62901 × 10-13
1.42109 × 10-14
1.77636 × 10-13
2.20268 × 10-13
2.55795 × 10-13
2.13163 × 10-13
1.42109 × 10-14
4.68958 × 10-13
1.13687 × 10-12
0
5.69328 × 10-14
1.28664 × 10-14
2.2999 × 10-14
8.40994 × 10-15
7.43572 × 10-14
1.27842 × 10-13
2.83829 × 10-13
6.96609 × 10-13
1.53211 × 10-12
3.35787 × 10-12
0
1.78191 × 10-14
9.88046 × 10-14
2.78458 × 10-14
1.31867 × 10-13
1.08483 × 10-13
2.03171 × 10-14
2.21656 × 10-13
5.46979 × 10-13
1.01069 × 10-12
2.31043 × 10-12
Berdasarkan Tabel 1 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan
metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing sebesar
9.55 × 10-4; 1,29 × 10-6, dan 0,12. Pada Tabel 2 dengan menggunakan metode
perturbasi homotopi, danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing
menghasilkan rata-rata galat sebesar 2,95 × 10-13; 6,17 × 10-13 dan 4,49 × 10-13.
Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi konstan.
12
Berikut ini diberikan Gambar 4, 5, dan 6 yang merupakan penyelesaian
eksak persamaan (1) untuk kasus pertama. Gambar 4, 5, dan 6 masing-masing
menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan x3(t).
x1(t)
800
600
400
200
0
200
100
300
t
Gambar 4 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada
kasus pertama
x2(t)
160
140
120
100
80
60
40
t
Gambar 5 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada
kasus pertama
50
100
150
200
250
300
350
x3(t)
200
150
100
50
t
Gambar 6 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada
kasus pertama
50
100
150
200
250
300
350
Berdasarkan Gambar 4, 5, dan 6 diperoleh bahwa semakin besar nilai t
untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan yang
dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi stabil,
tetapi setiap danau mengalami perubahan penambahan jumlah polutan. Pada
danau pertama, jumlah polutan menurun hingga konvergen ke 588,234, sedangkan
pada danau kedua dan danau ketiga, jumlah polutan mengalami kenaikan hingga
masing-masing konvergen ke 172,415 dan 239,352. Hal ini disebabkan oleh tidak
13
adanya polutan yang masuk ke danau pertama pada selang waktu di atas 10 tahun
( p(t) = 0, t > 10 ) dan terjadi proses pencampuran dari ketiga danau.
Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam
selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing
menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 99,67; 0,15; 0,33. Jumlah
dari ketiga hasil tersebut sama dengan laju perubahan jumlah polutan yang berada
di ketiga danau yaitu 100 polutan/tahun. Total laju perubahan dari jumlah polutan
ketiga danau meningkat secara linear bergantung pada fungsi konstan p(t) yang
diberikan yaitu bernilai 100. Dengan demikian polutan yang diberikan dari
sumber polutan akan menyebar ke setiap danau.
Sumber Polutan Berupa Fungsi Sinusoidal
Misalkan laju alir jumlah polutan yang masuk ke danau pertama dari sumber
polutan, yaitu p(t) diberikan sebagai berikut:
(
(
))
dengan
a
simpangan normal yang memengaruhi nilai maksimum dan minimum fungsi
p(t) dan selalu bernilai antara 0 dan 1,
T
periode yang dibutuhkan dalam perubahan jumlah polutan selama proses
pencampuran,
Ci
rata-rata laju alir jumlah polutan selama proses pencampuran.
Agar laju alir jumlah polutan tersebut selalu bernilai positif dan berubahubah secara periodik dari 0 sampai dengan 200, maka diasumsikan
= 100, a = 1, dan T = 2 .
Berdasarkan persamaan (17), untuk m = 1 diperoleh
00
Untuk m = 2, diperoleh
00
00
–
–
00
00
00
00
00
00
14
–
–
t
t
t
Jika proses dilanjutkan, maka diperoleh penyelesaian
,
…
,
… dan
,
… Jadi berdasarkan metode homotopi
diperoleh penyelesaian model sampai orde keenam persamaan (1) dengan p(t)
fungsi sinusoidal sebagai berikut:
0
0
0
Berdasarkan nilai parameter-parameter yang telah diberikan dengan fungsi
p(t) = 100(1 + sin t), diperoleh penyelesaian eksak sebagai berikut:
0
0
( 00
)
0
( 00
)
0
0
( 00
0
0
( 00
)
0
00
0
-0
)
( 00
)
-00
0
( 00
)
0
-
Berikut ini diberikan Tabel 3 yaitu selisih antara penyelesaian metode
homotopi dengan penyelesaian eksaknya. Tabel 4 yaitu selisih antara penyelesaian
metode perturbasi homotopi yang diperoleh dari (Merdan 2009) dengan
penyelesaian eksaknya.
Tabel 3 Galat metode homotopi orde ke enam pada kasus kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.26849 × 10-14
3.40969 × 10-6
2.79011 × 10-5
9.62569 × 10-5
2.33077 × 10-4
4.64719 × 10-4
8.19217 × 10-4
1.32619 × 10-3
2.01673 × 10-3
2.92326 × 10-3
4.0794 × 10-3
3.69216 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.4755 × 10-3
3.42761 × 10-3
6.28377 × 10-3
1.01128 × 10-2
1.4981 × 10-2
2.09517 × 10-2
2.80844 × 10-2
3.64345 × 10-2
4.60525 × 10-2
4.98677 × 10-14
3.5589 × 10-3
1.4676 × 10-2
3.40037 × 10-2
6.21788 × 10-2
9.98152 × 10-2
0.147498
0.205777
0.275162
0.356116
0.44905
15
Berdasarkan Tabel 3 rata-rata galat yang dihasilkan dengan menggunakan
metode homotopi untuk danau pertama, kedua, dan ketiga masing-masing
menghasilkan rata-rata galat sebesar 7,91 × 10-4; 1,22 × 10-2 dan 0,12.
Tabel 4 Galat metode perturbasi homotopi orde ke enam pada kasus
kedua
t
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
2.26849 × 10-14
4.61853 × 10-14
2.77112 × 10-13
0
1.20792×10-13
3.55271×10-14
1.56319×10-13
1.42109×10-14
4.26326×10-14
5.11591×10-13
1.0516×10-12
3.69216 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.47551 × 10-3
3.42765 × 10-3
6.28391 × 10-3
1.01131 × 10-2
1.49817 × 10-2
2.09531 × 10-2
2.80868 × 10-2
3.64384 × 10-2
4.60586 × 10-2
4.98677 × 10-14
3.56857 × 10-4
1.47551 × 10-3
3.42765 × 10-3
6.28391 × 10-3
1.01131 × 10-2
1.49817 × 10-2
2.09531 × 10-2
2.80868 × 10-2
3.64384 × 10-2
4.60586 × 10-2
Pada Tabel 4 dengan menggunakan metode perturbasi homotopi, danau
pertama, kedua dan ketiga masing-masing menghasilkan rata-rata galat sebesar
1,23 × 10-13; 1,22 × 10-2 dan 8,57 × 10-3.
Dari kedua tabel tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang t sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi dapat
digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga danau
yang saling terhubung pada kasus p(t) berupa fungsi sinusoidal.
Berikut ini diberikan Gambar 7, 8, dan 9 yang merupakan penyelesaian
eksak persamaan (1) untuk kasus kedua. Gambar 7, 8, dan 9 masing-masing
menunjukkan grafik penyelesaian untuk x1(t), x2(t), dan x3(t).
x1(t)
1500
1000
500
t
Gambar 7 Penyelesaian masalah nilai awal (1) untuk danau 1 pada kasus
kedua
5
10
15
20
16
x2(t)
100
80
60
40
20
5
10
15
20
t
Gambar 8 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 2 pada
kasus kedua
x3(t)
120
100
80
60
40
20
5
10
15
20
t
Gambar 9 Penyelesaian eksak masalah nilai awal (1) untuk danau 3 pada
kasus kedua
Berdasarkan Gambar 7, 8, dan 9 diperoleh bahwa semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bergantung pada suatu selang waktu. Untuk selang waktu antara 0
sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada selang
waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan melalui
titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang waktu
berikutnya. Pada danau kedua dan ketiga, perubahan jumlah polutan berubah-ubah
sesuai selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7 tahun, jumlah
polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan meningkat secara
signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan oleh sumber polutan
berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
Jika perubahan jumlah polutan dari ketiga danau pada bulan ketiga dalam
selang 1 tahun diamati, maka danau pertama, kedua dan ketiga masing-masing
menghasilkan laju perubahan jumlah polutan sebesar 124,37; 0,17; 0,37.
17
SIMPULAN
Simpulan
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
didasarkan pada tiga danau besar yang berada di perbatasan antara Amerika
Serikat dan Kanada, yaitu danau Superior, danau Huron, dan danau Michigan.
Tiap danau memiliki saluran penghubung berupa pipa. Polutan dikenakan ke
dalam danau pertama sebagai sumber polutan yang berupa fungsi konstan, dan
fungsi sinusoidal. Hal ini akan memengaruhi perubahan jumlah polutan pada
setiap danau.
Model permasalahan laju alir polutan pada tiga danau yang saling terhubung
diselesaikan dengan menggunakan metode homotopi. Dari kedua fungsi masukan
sebagai sumber polutan tersebut, metode homotopi memiliki penyelesaian yang
menghampiri penyelesaian eksaknya. Selisih galat yang dihasilkan oleh metode
ini pada beberapa selang waktu sangat kecil. Hal ini berarti metode homotopi
dapat digunakan untuk menghampiri penyelesaian eksak masalah polutan di tiga
danau yang saling terhubung.
Pada fungsi masukan (sumber polutan) berupa fungsi konstan, semakin
besar nilai t untuk selang waktu selama 10 tahun, semakin besar jumlah polutan
yang dihasilkan. Pada selang waktu di atas 10 tahun, jumlah polutan menjadi
stabil. Hal ini disebabkan oleh tidak adanya polutan yang masuk ke danau pertama
pada selang waktu di atas 10 tahun. Perubahan total dari jumlah polutan ketiga
danau meningkat secara linear bergantung pada nilai konstan pada fungsi
masukan yang diberikan, yaitu bernilai 100 polutan/tahun. Dengan demikian
polutan yang diberikan dari sumber polutan menyebar ke setiap danau.
Pada fungsi masukan berupa fungsi sinusoidal, semakin besar nilai t,
semakin besar jumlah polutan yang dihasilkan. Pada danau pertama, perubahan
jumlah polutan bergantung pada selang waktu tertentu. Untuk selang waktu antara
0 sampai 2 tahun, jumlah polutan meningkat secara signifikan. Namun pada
selang waktu antara 2 sampai 4 tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan
melalui titik belok di t sama dengan . Hal itu terjadi terus menerus untuk selang
waktu berikutnya. Pada danau 2 dan 3, perubahan jumlah polutan pun berubahubah sesuai dengan selang waktu tertentu. Pada selang waktu antara 0 sampai 7
tahun, jumlah polutan meningkat secara perlahan. Setelah itu, jumlah polutan
meningkat secara signifikan untuk selang waktu yang besar. Hal ini disebabkan
oleh sumber polutan berupa fungsi sinusoidal yang berubah-ubah secara periodik.
DAFTAR PUSTAKA
Biazar J, Farrokhi L, Islam MR. 2006. Modelling the pollution of a system of
lakes. Applied Mathematics and Computation. 178:423-430.
Biazar J, Shahbala M, Ebrahimi H. 2010. VIM for solving the pollution problem
of a system of lakes. Journal of Control Science and Engineering. 2010:06.10. doi:10.1155/2010/829152.
18
Liao. 2004. Beyond Perturbation: Introduction to the Homotopy Analysis Method.
Boca Raton, New York.
Merdan M 00 He’s variational iteration method applied to the sol tion of
modelling the pollution of a system of lakes. DPU Fen Bilimleri Dergisi.
2009(18):1302-3055.
Merdan M. 2009. Homotopy perturbation method for solving modelling the
pollution of a system of lakes. SDU Journal of Science (E-Journal). 4(1):99111.
Merdan M. 2010. A new application of modified differential transformation
method for modelling the pollution of a system of lakes. Selcuk Journal of
Applied Mathematics. 11(2):27-40.
19
Lampiran 1 Penurunan persamaan (7)
Tinjau persamaan berikut :
atau
-
.
-
0
0
0
Selanjutnya, persamaan di atas diturunkan terhadap
Turunan pertama (m = 1)
0
0
–
0
0
–
–0
–
0
0
0
–0
0
t
Turunan ke-dua (m = 2)
–
0
–
–0
–
–
0
sehingga diperoleh
sehingga diperoleh
kali.
0
0
–
hingga
0
0
20
Turunan ke-tiga (m = 3)
sehingga diperoleh
Dengan langkah yang sama, turunan ke m pada saat q = 0 adalah
0
0
0
Jika kedua ruas dari persamaan di atas di bagi denganm!, maka diperoleh
0
0
0
0
0
atau
()dengan
-
(
…
0
(
dan
-
-
)
0
0
(
-
)
( ))
0
0
0
21
Lampiran 2 Penyelesaian masalah nilai awal (10)
n=6; r1=5; r2=8;
METODE HOMOTOPI
x[1,t_]:=(r1+r2)t
y[1,t_]:=(9r1+r2)t
i t
i
t
i t
i
t
t
0
t
0
n
t
r
i
s
s
i
s
i
s
i
i
s
s ds
i
s ds
it
i
t
s
r
n
it
i
h[t_]:=1/6 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1-r2+Exp[6t]r2)
g[t_]:=1/2 Exp[-2t](3r1+3Exp[6t]r1+r2+Exp[6t]r2)
Plot[{x[t],y[t],h[t],g[t]},{t,0,1},PlotStyle{Automatic,Automatic,Dashed,Dashed
}]
22
Lampiran 3 Penurunan Persamaan (16)
Tinjau persamaan (7) yang telah diperluas berikut :
( ()- )
()
(
)
(
)
()
dengan
dan
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
.
Berikut ini bentuk
akan
disederhanakan.
Diberikan operator taklinear berikut
maka
dapat
-
-
ditentukan penyederhanaan
- , dan
(
(
,
-
-
nilai
-
-
-
-
, dan
-
-
)
0
)
0
(
)
(
)
0
(
)
(
0
()
(
(
)
)
0
)
0
()
()
0
0
,
23
(
)
(
m
)
(
)
0
0
()
()
(
(
(
0
)
0
()
)
0
)
(
0
)
(
(
0
)
( )
0
)
(
)
( )
0
0
( )
24
Lampiran 4 Program Mathematica untuk Tabel 1, Tabel 2, dan Gambar 4, 5, dan 6
r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;
F21=18; p=100; h=-1; n=6;
METODE HOMOTOPI
a[1,t_] := - (r1 - F13 (r3/v3-r1/v1) t – p t)
b[1,t_] := - (r2 - F21 (r1/v1-r2/v2) t)
c[1,t_] := - (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t)
t
m s am s
am t
a m t (a m t
ds )
0
bm t
bm
m t
t
m
(b m
t
t
( m
t
t
r
am
s
am
s
bm
s
ds)
bm
s
0
n
at
0
t
am t
m
n
bt
r
bm t
m
n
t
r
m t
m
f D olve
t
0
t
v
0 0
00
t
0
v
t
v
t
0
t
0
(
)
t
v
v
t
t
v
t
y1[t_] Evaluate[x[t]/.f]
y2[t_] Evaluate[y[t]/.f]
y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]
f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
able
able
able
bs a i
bs b i
bs i
i
i
i
i00 00
i00 00
i00 00
v
t
m
s
ds )
25
Lampiran 5 Program Mathematica untuk Tabel 3, Tabel 4 dan Gambar 7, 8, dan 9
r1=0; r2=0; r3=0; v1=2900; v2=850; v3=1180; F13=38; F31=20; F32=18;
F21=18; h=-1; n=6;
METODE HOMOTOPI
a[1, t_] := h ( r1 - F13 (r3/v3 - r1/v1) t – t + Cos[t])
b[1, t_] := h (r2 - F21 (r1/v1 - r2/v2) t)
c[1, t_] := h (r3 - F13(r1/v1)t - F32(r2/v2)t + F13(r3/v3)t)
t
m s am s
am t
a m t (a m t
ds )
0
bm t
bm
m t
t (b m
m
t
t ( m
t
t
r
0
am
s bm
am
s
s
ds)
bm
s
0
n
at
t
am t
m
n
bt
r
bm t
m
n
t
r
m t
m
f D olve
t
0
t
v
0 0
00
t
0
v
00 sin(t)
t
0
t
0
t
v
v
t
t
(
)
v
v
t
y1[t_]:=Evaluate[x[t]/.f]
y2[t_] Evaluate[y[t]/.f]
y3[t_] Evaluate[z[t]/.f]
f1:=Plot[Evaluate[x[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f2:=Plot[Evaluate[y[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
f3:=Plot[Evaluate[z[t]/.f],{t,0,1},PlotStyleDashed]
Table[Abs[a[i] – y1[i]],{i,0,1,0.1}]
Table[Abs[b[i] – y2[i]],{i,0,1,0.1}]
Table[Abs[c[i] – y3[i]],{i,0,1,0.1}]
v
t
t
m
s
ds )
26
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Lahat, Sumatera Selatan pada tanggal 4 Juni 1991
sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan A Zawawi (alm) dan Dely
Suhartini.
Pendidikan formal yang ditempuh penulis yaitu di TK Bhayangkari Muara
Enim lulus pada tahun 1997, SD Negeri 18 Muara Enim lulus pada tahun 2003,
SMP Negeri 1 Muara Enim lulus pada tahun 2006, SMA Negeri 1 Muara Enim
lulus pada tahun 2009 dan pada tahun yang sama penulis diterima di Institut
Pertanian Bogor melalui jalur USMI di Departmen Matematika, Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menuntut ilmu di IPB, penulis aktif di organisasi kemahasiswaan
Gugus Mahasiswa Matematika (GUMATIKA) sebagai Sekretaris Umum pada
tahun 2011, dan sebagai Wakil Ketua pada tahun 2012. Penulis juga pernah
menjadi wakil dari IPB untuk mengikuti Olimpiade Sains Nasional bidang
Matematika di tingkat region 3 pada tahun 2011 dan 2012. Selain itu penulis
pernah menjadi pengajar olimpiade matematika di SMP Negeri 5 Bogor, serta
menjadi asisten dosen untuk mata kuliah Persamaan Differensial Biasa pada tahun
2011, Pengantar Teori Peluang pada tahun 2011, Persamaan Differensial Parsial
pada tahun 2012 dan 2013, dan Kalkulus III pada tahun 2012 dan 2013.