Model Penentuan Harga ( Price ) Dinamis

MODEL PENENTUAN HARGA (PRICE) DINAMIS

TESIS

Oleh

ERNA LAILI
097021057/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

MODEL PENENTUAN HARGA (PRICE) DINAMIS

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam
Program Studi Magister Matematika pada
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
Universitas Sumatera Utara

Oleh

ERNA LAILI
097021057/MT

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2011

Universitas Sumatera Utara

Judul Tesis

: MODEL PENENTUAN HARGA (PRICE)

DINAMIS
Nama Mahasiswa : Erna Laili
Nomor Pokok
: 097021057
Program Studi
: Matematika

Menyetujui,
Komisi Pembimbing

(Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si)
Ketua

(Prof. Dr. Tulus, M.Si)
Anggota

Ketua Program Studi

Dekan

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Sutarman, M.Sc)

Tanggal lulus: 15 Juni 2011

Universitas Sumatera Utara

Telah diuji pada
Tanggal 14 Juni 2011

PANITIA PENGUJI TESIS
Ketua

:

Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si

Anggota

:

1. Prof. Dr. Tulus, M.Si
2. Dr. Saib Suwilo, M.Sc
3. Drs. Suwarno Arriswoyo, M.Si

Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Informasi yang cukup tentang kurva permintaan tidak tersedia secara praktis,
mengakibatkan pedagang mengalami kesulitan untuk meraih pendapatan yang optimal. Pendapatan pedagang juga dipengaruhi oleh harga yang dinamis disebabkan
sensitifnya harga dan tidak stabilnya bursa pasar. Tesis ini bertujuan untuk memperoleh faktor penentuan harga dinamis sehingga meminimalkan kerugian yang
digunakan secara luas sebagai pilihan dalam bidang ekonomi dan manajemen pendapatan, agar pendapatan pedagang maksimal dengan mempelajari model harga
dan fungsi pendapatan serta faktor - faktor penentu harga dinamis. Faktor penentu harga dinamis pada penelitian ini adalah bursa pasar yang tidak tentu dan
sensitifnya harga sehingga pedagang dapat menentukan batas kerugiannya. Untuk
kasus dua parameter, pedagang dihadapkan pada bursa√pasar yang tidak tentu dan
sensitifnya harga dengan batas bawah kerugiannya Ω( T ) untuk kerugian kumulatif pada T periode menurut kebijakan yang berubah - ubah. Sedangkan untuk
kasus satu parameter, pedagang dihadapkan pada harga yang tidak tentu dengan
batas bawah kerugian Ω(ln T ) untuk kerugian kumulatif pada T periode menurut
kebijakan yang berubah - ubah. Kemudian dengan kebijakan yang dilakukan dapat

dicapai batas atas kerugian yang sesuai, sehingga pendapatan pedagang optimal.
Kata kunci : Pemodelan, Harga dinamis

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Information about the demand curve is not available enough practically, those sellers face some constrains to get the optimal revenue. The seller’s revenue is influenced by the dynamic pricing caused by price sensitivity and the uncertainty
available marketing share. The thesis aims to create mathematical model for determining the dynamic pricing by learning both properties determination model and
dynamic pricing factors. The results of the research shows that for two parameters
case, the seller is faced to uncertain market
√ share and price sensitivity, thus the
seller can determine lower bound regret Ω( T ) on the T - period cumulatif regret
under an arbitrary policy. While in the one parameter case, the seller is faced to
uncertain price sensitivity, that the seller can determine lower bound regret Ω ( ln
T ) on the T - period cumulatif regret based on the arbitrary policy. Then as a
conclusion to this is that by the used policy, the upper bound of can be reached, so
that the revenue of the seller can be optimal.
Keywords : Modelling, Dinamic pricing

ii
Universitas Sumatera Utara

KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberi
rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan tesis
yang berjudul ”Model Penentuan Harga ( Price ) Dinamis”
Tujuan penulisan tesis ini adalah untuk memenuhi salah satu persyaratan
guna memperoleh gelar Magister Sains (MSi) pada Program Studi Magister Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera
Utara.
Selesainya penulisan tesis ini tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, oleh
sebab itu sudah sepantasnya pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima
kasih kepada:
Bapak Prof. Dr. dr. Syahril Pasaribu, DTM&H, MSc ( CTM ), Sp.A( K ) selaku
Rektor Universitas Sumatera Utara,
Bapak Prof. Dr. Ir. Rahim Matondang, MSIE selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara,
Bapak Dr. Sutarman, MSc selaku Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara,
Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, MSi dan Bapak Prof. Dr. Tulus, MSi selaku
Dosen Pembimbing yang telah banyak memberi bimbingan kepada penulis sejak

awal hingga selesai tesis ini,
Bapak Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Pascasarjana
Matematika FMIPA USU,
Bapak Dr. Saib Suwilo, MSc selaku sekretaris Program Studi Pascasarjana Matematika FMIPA USU, juga sebagai Dosen Pembanding serta Bapak Drs. Suwarno
Arriswoyo, MSi selaku Dosen Pembanding,
Pemerintah Provinsi Sumatera Utara melalui Badan Perencanaan Pembangunan
Daerah (BAPPEDA) yang telah memberikan Beasiswa Pendidikan Pasca Sarjana
di Universitas Sumatera Utara,
iii
Universitas Sumatera Utara

Bapak Drs. Jaswar, M.Pd selaku Kepala SMK Negeri 1 Percut Sei Tuan yang telah
memberikan dorongan, motivasi dan rekomendasi,
Ayahanda Abdul Khalik dan Ibunda Nur’ ainun ; Ibu Rasmik yang telah banyak
memberikan doa dan nasehat,
Suami tercinta Agus, SH, M.Kn dan Ananda tersayang Bintang Gusnaldi dan
Fanisa Gusnaly yang telah memberikan kasih-sayangnya,
Rekan-rekan Guru di SMK Negeri 1 Percut Sei Tuan,
Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat penulis sebutkan satu
persatu.

Akhirnya, penulis berharap agar apa yang telah Bapak dan Ibu sumbangkan
mendapatkan balasan dari Allah SWT. Dan, semoga tesis ini bermanfaat bagi
pengembangan ilmu pengetahuan. Amin.
Medan, 15 Juni 2011
Penulis,

Erna Laili

iv
Universitas Sumatera Utara

RIWAYAT HIDUP

Penulis lahir di P. Berandan, Kabupaten Langkat pada tanggal 20 Agustus
1974 dari pasangan Bapak Abdul Khalik dan Ibu Nur’ ainun, merupakan anak
pertama dari dua bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan di SD Negeri 04
P. Berandan pada tahun 1987, di MTs Swasta Al - Washliyah P. Berandan pada
tahun 1990,dan di MAN 1 Tanjung Pura pada tahun 1993. Pendidikan Tinggi
penulis diselesaikan pada tahun 1998 di Jurusan Pendidikan Matematika FPMIPA
IKIP Negeri Medan dengan gelar Sarjana Pendidikan (S.Pd).

Riwayat pekerjaan formal penulis dimulai pada tahun 1996 sebagai guru di
SMP Swasta Yayasan Taman Perguruan Islam Medan. Selanjutnya pada tahun
1997 sebagai guru di SMP Swasta Tunas Kartika Jl. S. Parman Medan dan sebagai
guru di SMU Swasta UISU Medan. Selanjutnya tahun 2000 memulai pengabdian
sebagai pegawai negeri sipil di SMP Negeri 1 Senembah Tanjung Muda Hulu sampai
tahun 2003. Dan tahun 2004 pindah ke SMK Negeri 1 Percut Sei Tuan sampai
sekarang.
Penulis menikah pada tahun 2001 dengan Agus, SH, M.Kn dan dikaruniai
dua orang anak Bintang Gusnaldi dan Fanisa Gusnaly. Pada tahun 2009 penulis
mendapatkan beasiswa dari Pemerintah Provinsi Sumatera Utara dan Pemerintah
Kabupaten Deli Serdang untuk melanjutkan studi pada Departemen Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara.

v
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR ISI
Halaman
ABSTRAK

i

ABSTRACT

ii

KATA PENGANTAR

iii

RIWAYAT HIDUP

v

DAFTAR ISI

vi

DAFTAR SIMBOL

viii

BAB 1 PENDAHULUAN

1

1.1 Latar Belakang

1

1.2 Perumusan Masalah

2

1.3 Batasan Masalah

3

1.4 Tujuan Penelitian

3

1.5 Manfaat Penelitian

3

1.6 Metode Penelitian

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

5

BAB 3 MODEL MATEMATIKA

8

3.1 Harga dan Fungsi Pendapatan

8

3.2 Sifat-sifat Model

9

BAB 4 FAKTOR PENENTU HARGA DINAMIS

12

4.1 Bursa Pasar Tidak Tentu Dan Sensitifnya Harga

12

4.1.1 Batas Bawah Kasus Dua parameter

12

4.1.2 Batas Atas Yang Sesuai Kasus Dua Parameter

16

4.2 Sensitifnya Harga Tidak Tentu

20

vi
Universitas Sumatera Utara

4.2.1 Batas Bawah Kasus Satu Parameter

20

4.2.2 Batas Atas Yang Sesuai Kasus Satu Parameter

21

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

25

5.1 Kesimpulan

25

5.2 Saran

25

DAFTAR PUSTAKA

26

vii
Universitas Sumatera Utara

DAFTAR SIMBOL

a
b
C
d(.; 2 − b, b)
d(.; z)
Lz
P
p∗ (z)
pl
r(p; z)
′
r (p; z)
′′
r (p; z)
yt
R+
R++
T
Vt
W(x)
Y(c)
Z
E[.]
ψ
(ψ,z)
Qt

=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=

Parameter sensitifnya harga
Parameter bursa pasar
{(2 − b, b) : 0 ≤ b ≤}
Fungsi permintaan
Fungsi distributif kumulatif dari z
Konstanta Lipschitz
Variabel harga
Harga maksimum dari pendapatan yang diharapkan
Harga pada l periode
Fungsi pendapatan yang di harapkan
Turunan pertama fungsi pendapatan
Turunan kedua fungsi pendapatan
Variabel untuk konsumen yang melakukan pembelian
Himpunan bilangan Real non negatif
Himpunan bilangan Real positif
Periode waktu
Variabel untuk konsumen yang datang pada waktu t
Fungsi Lambert
Seleksi konsumen
Parameter (a, b)
Ekspektasi untuk z
Kebijakan yang dilakukan
Distribusi peluang dari respon konsumen Yt

viii
Universitas Sumatera Utara

ABSTRAK
Informasi yang cukup tentang kurva permintaan tidak tersedia secara praktis,
mengakibatkan pedagang mengalami kesulitan untuk meraih pendapatan yang optimal. Pendapatan pedagang juga dipengaruhi oleh harga yang dinamis disebabkan
sensitifnya harga dan tidak stabilnya bursa pasar. Tesis ini bertujuan untuk memperoleh faktor penentuan harga dinamis sehingga meminimalkan kerugian yang
digunakan secara luas sebagai pilihan dalam bidang ekonomi dan manajemen pendapatan, agar pendapatan pedagang maksimal dengan mempelajari model harga
dan fungsi pendapatan serta faktor - faktor penentu harga dinamis. Faktor penentu harga dinamis pada penelitian ini adalah bursa pasar yang tidak tentu dan
sensitifnya harga sehingga pedagang dapat menentukan batas kerugiannya. Untuk
kasus dua parameter, pedagang dihadapkan pada bursa√pasar yang tidak tentu dan
sensitifnya harga dengan batas bawah kerugiannya Ω( T ) untuk kerugian kumulatif pada T periode menurut kebijakan yang berubah - ubah. Sedangkan untuk
kasus satu parameter, pedagang dihadapkan pada harga yang tidak tentu dengan
batas bawah kerugian Ω(ln T ) untuk kerugian kumulatif pada T periode menurut
kebijakan yang berubah - ubah. Kemudian dengan kebijakan yang dilakukan dapat
dicapai batas atas kerugian yang sesuai, sehingga pendapatan pedagang optimal.
Kata kunci : Pemodelan, Harga dinamis

i
Universitas Sumatera Utara

ABSTRACT

Information about the demand curve is not available enough practically, those sellers face some constrains to get the optimal revenue. The seller’s revenue is influenced by the dynamic pricing caused by price sensitivity and the uncertainty
available marketing share. The thesis aims to create mathematical model for determining the dynamic pricing by learning both properties determination model and
dynamic pricing factors. The results of the research shows that for two parameters
case, the seller is faced to uncertain market
√ share and price sensitivity, thus the
seller can determine lower bound regret Ω( T ) on the T - period cumulatif regret
under an arbitrary policy. While in the one parameter case, the seller is faced to
uncertain price sensitivity, that the seller can determine lower bound regret Ω ( ln
T ) on the T - period cumulatif regret based on the arbitrary policy. Then as a
conclusion to this is that by the used policy, the upper bound of can be reached, so
that the revenue of the seller can be optimal.
Keywords : Modelling, Dinamic pricing

ii
Universitas Sumatera Utara

BAB 1
PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang
Broder (2009) menyatakan informasi yang cukup tentang permintaan barang
pada setiap tingkatan harga sangat diperlukan pedagang, agar dapat memutuskan
harga maksimal yang akan diperoleh untuk setiap barang. Sering informasi yang
cukup tidak tersedia secara praktis sehingga harga dan daya beli konsumen secara
umum tidak diketahui oleh penjual.
Carvalho dan Puterman (2005) mengkaji tentang manajemen pendapatan dengan mempertimbangkan strategi harga dinamis dimana seorang penjual mengatur
harga dari barang dengan memperoleh informasi dari kurva permintaan dan kemudian mengeksploitasinya untuk menawarkan harga penjualan yang mendekati
optimal.
Levin dkk (2009) menyatakan harga dinamis telah dipelajari dengan sejumlah
asumsi tentang kebiasaan konsumen dan permintaan yang tidak tentu. Sehingga
ada dua pertanyaan mendasar yang sebenarnya digunakan pada beberapa formulasi
harga dinamis. Pertama seberapa besarkah pendapatan yang hilang secara tidak
tentu dari hubungan antara harga dan permintaan?. Kedua bagaimana seharusnya menyeimbangkan pelaksanaan strategi harga barang (eksplorasi) dan menaksir
harga terbaik/optimal dari barang (eksploitasi). Jawaban kedua pertanyaan ini
tergantung pada permintaan tidak tentu di kalangan penjual.
Kleinberg dan Leighton (2003) menyatakan pengaruh harga dinamis berfokus
pada dua bagian yang berkepentingan dari permintaan tidak tentu. Bagian pertama untuk kasus satu parameter tidak diketahui karena penjual dihadapkan pada
sensitifnya harga dikalangan konsumen atau terjadinya perubahan permintaan
yang diharapkan jika ada perubahan harga. Pada bagian kedua, untuk kasus dua
parameter tidak diketahui, karena penjual dihadapkan pada ketidaktentuan tentang sensitifnya harga dan bursa pasarnya atau proporsi pelayanan pasar yang
1
Universitas Sumatera Utara

2
tersedia oleh penjual. Untuk mengukur pelaksanaan strategi harga pada masingmasing bagian dalam pendapatan yang diperoleh dari informasi yang cukup pada
permintaan sebelumnya.
Solikin (2004) mengutarakan bahwa dinamika penentuan harga sangat menentukan bagaimana pengambil keputusan dalam kebijakan moneter seperti tingkat
suku bunga, jumlah uang yang beredar dan inflasi berpengaruh terhadap perekonomian. Dia juga menyatakan bahwa faktor - faktor yang mempengaruhi harga
dinamis adalah biaya produksi, perubahan permintaan, perubahan produktifitas,
sensitifnya harga, perubahan bursa pasar, perubahan regulasi dan faktor musim.
Secara umum harga dinamis ditunjukkan dengan perbedaan harga suatu produk pada kategori yang sama dengan mempertimbangkan karakteristik konsumen
atau status suatu produk. Suatu produk akan dipasarkan dengan harga yang
berbeda, tergantung dari daya beli konsumen dan tingkat urgensinya. Apabila
konsumen membutuhkan banyak produk maka penjual dapat menjual produknya
dengan harga tertinggi. Sebaliknya suatu produk akan dijual dengan tingkatan
harga terendah apabila permintaan sedikit. Penetapan harga jual produk juga
perlu mempertimbangkan daya beli konsumen (Pramana, 2009).
1.2 Perumusan Masalah
Farias dan Van Roy (2007) menyatakan setiap pedagang bertujuan untuk
memperoleh pendapatan yang optimal. Sensitifnya harga dan bursa pasar sebagai
parameter yang tidak diketahui, memberikan kebijakan yang memisahkan eksplorasi dan eksploitasi. Dengan menghubungkan sifat analitis dari kurva permintaan,
seorang penjual dapat mengidentifikasi parameter tunggal yang tidak diketahui
dari beberapa harga permintaan yang diharapkan sehingga membuat kemungkinan
eksplorasi dan eksploitasi terjadi secara serentak dan menguasai wilayah penjualan.
Rumusan masalah dari penelitian ini adalah bagaimana menentukan batas
kerugian yang disebabkan faktor harga dinamis agar pendapatan pedagang optimal?

Universitas Sumatera Utara

3
1.3 Batasan Masalah
Mengingat kondisi di lapangan tidak selalu sesuai dengan teori yang ada
dan juga agar pembahasan tidak menyimpang dari tujuan penelitian, maka pokok
permasalahan perlu dibatasi.
Adapun faktor penentu harga dinamis penelitian ini adalah: bursa pasar yang
tidak tentu dan sensitifnya harga.
1.4 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh faktor penentu harga
dinamis dengan meminimalkan kerugian yang digunakan secara luas sebagai pilihan
dalam bidang ekonomi dan manajemen pendapatan, agar pendapatan pedagang
maksimal.
1.5 Manfaat Penelitian
Penelitian ini diharapkan bermanfaat bagi:
a. Para pengambil keputusan dalam bidang ekonomi dan manajemen pendapatan.
b. Mengantisipasi kerugian pedagang dari akibat permintaan yang tidak tentu
disebabkan harga dinamis dan memberikan kerangka kerja yang jelas dan
mudah di kerjakan.
c Membantu para pedagang dalam mengantisipasi harga dinamis akibat permintaan tidak tentu.

1.6 Metode Penelitian
Penelitian ini adalah studi literatur yang disusun berdasarkan rujukan pustaka dengan metode sebagai berikut:
a. Mengumpulkan dan mempelajari buku - buku dan jurnal - jurnal yang berkaitan dengan penelitian yang dilakukan.

Universitas Sumatera Utara

4
b. Membahas buku - buku dan jurnal - jurnal untuk melengkapi penelitian ini.
c. Membahas permasalahan faktor penentu harga dinamis.
d. Kemudian dilakukan penarikan kesimpulan dan saran.

Universitas Sumatera Utara

BAB 2
TINJAUAN PUSTAKA

Feng dan Xiao (2000) meneliti model harga dinamis dengan strategi konsumen jangka pendek pada populasi yang tidak terbatas, memberikan sebuah
aproksimasi yang cocok saat pelanggan secara spontan membuat keputusan memilih
produk dengan type harga rendah atau saat mereka tidak mempunyai cukup waktu
atau informasi yang sesuai strategi. Walaupun untuk produk yang lebih mahal,
tahan lama dan informasi tersedia, asumsi ini menjadi sedikit realistik. Mereka
membantah bahwa kegagalan mempertanggungjawabkan strategi kebiasaan konsumen dapat secara signifikan mengurangi pendapatan yang disebabkan harga dinamis.
Besanko dan Winston (1990), menunjukkan bahwa sebagian kebijakan keseimbangan harga ditentukan dengan cara yang sama pada saat harga peluncuran.
Kapasitas penjualan pada model ini tidak terbatas. Sementara Shen (2007) menentukan konsumen ke dalam 4 bagian yaitu menurut tingkatan harga, ongkos tunggu,
kondisi yang berhubungan saat penjual menurunkan harga atau menaikkan harga
dan berdasarkan tarif yang dapat terjangkau oleh konsumen.
Levin, Megill dan Nediak (2009) menyatakan pemasaran di internet telah
dilakukan dengan metode harga dinamis. Bervariasinya harga dari benda yang
sama pada waktu tertentu atau melalui pelanggan di kelas tertentu telah meningkatkan pendapatan total dari penjual. Harga dinamis juga dipergunakan dalam
penjualan barang yang mudah rusak melebihi periode waktu yang terbatas. Hal
yang sama juga dilakukan pada pemesan tiket penumpang untuk transportasi,
pembokingan hotel, rental mobil, barang-barang untuk waktu tertentu, peralatan
elektronik untuk model yang sudah kadaluarsa atau barang-barang dengan harga
tinggi. Suksesnya harga dinamis juga telah dilaporkan pada industri penerbangan.
Meissner (2006) menyatakan untuk memaksimalkan total pendapatan yang
diharapkan, perusahaan melakukan seleksi kontrol harga dinamis dengan mempertimbangkan dua kebijakan yaitu perusahaan melakukan monopoli atau beroperasi
di pasar dengan persaingan tidak sempurna dan mempunyai kekuatan untuk mem5
Universitas Sumatera Utara

6
pengaruhi permintaan setiap produk dengan harga yang bervariasi. Dalam keadaan
ini, perusahaan akan memilih strategi harga dinamis untuk memaksimumkan pendapatan dari setiap produk.
Kedua harga diatur dalam persaingan dengan masalah optimasi pemesanan
lebih tinggi dan masalah pemilihan aturan lokasi kapasitas dinamis berdasarkan
saat menerima permintaan baru untuk setiap produk. Akibat dua masalah ini,
diperoleh harga dinamis atau formulasi kapasitas kontrol secara berturut-turut.
Masalah manajemen pendapatan yang demikian diperoleh pada tahun 1970-an
dalam industri penerbangan dan sukses diperkenalkan di bidang lain diantaranya
perhotelan, rute pelayaran, penyewaan mobil, pedagang eceran dan lain-lain.
Besbes dan Zeevi (2008) menyatakan, kapasitas waktu yang terbatas model
harga permintaan Poisson mulanya dirumuskan oleh Gallego dan Van Ryzin (1994)
yaitu saat keadaan parametrik terjadi umum, menghadirkan kebijakan berdasarkan
pada perkiraan Likelihood maksimum. Dengan mempertimbangkan bahwa struktur dan pelaksanaan kebijakan harga optimal seharusnya berbeda dalam kasus
satu parameter dan banyak parameter tetapi dengan batas bawah yang sama pada
pelaksanaan terukur untuk kedua kasus. Formula harga dinamis memperlihatkan
bentuk kerugian antara dua kasus itu berbeda. Pada kasus dua parameter, kasus kerugian bergantung menurut kebijakan yang berubah-ubah. Sedangkan pada
kasus satu parameter, kebijakan yang mendapat kerugian difokuskan pada bagian
parametrik dari kurva permintaan yang memberikan pengetahuan secara spesifik
pada hubungan antara harga eksplorasi dan pelaksanaannya.
Segal (2003) berfokus pada perbandingan dari mekanisme pelelangan barang
yang penjualannya berdasarkan harga yang diposkan dan mendiskusikan kasus
pendekatan harga Likelihood maksimum lewat penawaran pembeli yang ditujukan
kepada penjual. Bertsimas dan Perakis (2003) mengambil pendekatan perkiraan
harga menurut model permintaan Linear dengan parameter yang tidak diketahui.
Membandingkan pernyataan yang disebutkan di atas, bagian yang terbesar dari studi harga dinamis parametrik telah diambil dari pendekatan bayes.
Kerangka kerja bayes menjadi penting pada literatur harga dinamis, dicatat dalam
Besbes dan Zeevi (2008). Gagasan dari pelaksanaan keadaan optimal yang bergan-

Universitas Sumatera Utara

7
tung pada distribusi dari parameter yang tidak diketahui sebelumnya dan mungkin
sulit dihitung secara akurat.
Kleinberg dan Leighton (2003) menyatakan kebijakan nonparametrik yang
menerima kerugian pada keadaan tertentu, dengan menyeleksi harga yang berhubungan secara terbatas melalui interval harga dan menggunakan algoritma stokastik.
Jika batas atas untuk kasus dua parameter didekati, diperoleh kebijakan bahwa
setiap harga yang ditawarkan berhubungan dengan kelipatan waktu yang menghasilkan perjalanan harga dengan fluktuasi yang luas serta variabel yang signifikan.
Dengan mengambil keuntungan dari asumsi parametrik tentang kurva permintaan
menunjukkan bahwa terbentuknya strategi kebijakan nonparametrik akan menghasilkan lintasan harga dengan perbedaan lebih kecil secara signifikan.
Talluri dan Van Ryzin (2004) menyatakan Model penentuan harga adalah
suatu model yang secara luas menggambarkan pilihan individu dalam ekonomi
dan literatur manajemen pendapatan. Model penentuan berguna karena kemampuannya untuk menyajikan pilihan yang beraneka ragam di antara konsumen dan
untuk mengatasi pilihan konsumen yang bersifat tidak disangka-sangka swehingga
memberikan sebuah diskusi dari model penentuan dalam konteks harga dan manajemen pendapatan. Train (2003) memberikan sebuah tinjauan yang luas dari model
penentuan dan berdasarkan teori keperluan dalam konteks teori pilihan diskrit. Sebagai pernyataan alternatif dapat ditemukan di McCullagh dan Nelder (1989) yang
menggambarkan model penentuan dalam konteks model linier secara umum.

Universitas Sumatera Utara

BAB 3
MODEL MATEMATIKA

3.1 Harga dan Fungsi Pendapatan
Broder (2009) menyajikan sebuah model untuk konsumen yang melakukan
pembelian, dengan mengasumsikan konsumen ke-t yang datang dengan cara diskrit,
untuk t ≥ 1. Kemudian konsumen itu memutuskan melakukan pembelian atau

tidak (Vt ). Jika V1 , V2 , . . . adalah variabel acak yang bebas dan didistribusikan
berdasarkan distribusi logistik, dengan z terdiri dari parameter sensitifnya harga
(a) dan parameter bursa pasar (b), dimana a, b > 0. Misalkan d(.; z) : R+ → R+

menunjukkan fungsi distributif kumulatif yang saling melengkapi dari Vt , untuk

semua p ≥ 0,
e−ap−b
d(p; z) = P rz {Vt ≥ p} =
1 + e−ap−b

(3.1)

Konsumen akan memperoleh produk jika harga yang diinginkannya berada pada
skala kurva permintaan. Perubahan permintaan juga dapat menyebabkan perubahan harga, sehingga pada sisi yang lain bursa pasar maksimum dapat dicapai pedagang karena d(0; z) =

e−b
.
1+e−b

Pendapatan yang diharapkan r(p; z) menurut harga p yang diberikan untuk
p ≥ 0 adalah
r(p; z) = P d (p; z) =

pe−ap−b
1 + e−ap−b

(3.2)

Fungsi pendapatan r(.; z) mempunyai nilai maksimum yang tunggal. Misalkan
p∗ (z) menunjukkan harga maksimum dari pendapatan yang diharapkan, adalah

P ∗ (z) = argp≥0 maxr(p; z)

(3.3)

8
Universitas Sumatera Utara

9
Vektor parameter z memiliki sebuah parameter pada himpunan Z = [amin, amax ] x [bmin , bmax]
dengan amin > 0.
Sebuah model untuk konsumen yang melakukan pembelian, yt = (yl, . . . , yt),
dengan yl = 1 jika terjadi dan yl = 0 untuk sebaliknya. Sebuah kebijakan ψ =
(ψ1, ψ2, . . .) adalah fungsi dengan ψt : {0, 1}t → R+ adalah himpunan harga untuk

t periode, berdasarkan pembelian yang diamati sebelum t − 1 periode.

Untuk sembarang kebijakan ψ dan z ∈ Z, diberikan Qψ,z
: {0, 1}t → R met

nyatakan distribusi peluang dari respon konsumen Yt = (y1, . . . , yt ) pada t periode
pertama. Jika kebijakan ψ dan diperoleh parameter dasar z, maka untuk setiap
Yt = (y1, . . . , yt ) ∈ 0, 1t , dinyatakan
Qψ,z
: (yt ) =
t

Y



−api −b yi
e
t
i=1
1 + e−api −b

(3.4)

dengan pl = ψl (yl ) menyatakan harga pada l periode menurut ψ kebijakan.
Untuk sembarang ψ kebijakan, z ∈ Z dan T ≥ 1, kerugian kumulatif T periode

didefenisikan :

Kerugian (z, Z, T, ψ) =

T
P

t=1

Ez [r (P ∗ (z) ; z) − (Pt ; z)]

Dengan p1 , p2 , . . . menyatakan urutan harga menurut kebijakan ψ dan E[.]
menyatakan ekspektasi untuk z, sehingga meminimumkan kerugian kumulatif T
periode sama dengan memaksimumkan total pendapat yang diharapkan melebihi
T periode.
3.2 Sifat-sifat Model
Sifat fungsi pendapatan dan harga optimal telah diberikan pada persamaan
(3.2) dan (3.3). Sifat- sifat ini akan digunakan dalam menganalisis kerugian yang
diperoleh pedagang. Dengan menggunakan fungsi W . Lambert: W : R+ → R+ ,

yang didefenisikan untuk setiap x ∈ R+ adalah invers dari pemetaan x → xex. De-

ngan kata lain untuk sembarang x ∈ R+ , W (x) mempunyai solusi tunggal sehingga

x = W (x)eW (x). Lemma pertama memberikan formula eksplisit untuk derivatif

pertama dan kedua dari fungsi pendapatan.

Universitas Sumatera Utara

10
Lemma dan Corollary yang dinyatakan pada bagian berikut ini diperoleh dari
Broder (2009).
Lemma 3.1 (Derivatif dari Fungsi Pendapatan).
Untuk semua z = (a, b) ∈ R+ , ×R dan x ∈ R+ ,
′

r (p; z) =
r” (p; z) =

e−ap−b (1−ap+e−ap−b)

(1+e−ap−b )

3

ae−ap−b (2+2e−ap−b−ap+ape−ap−b )

(1+e−ap−b )

3

Lemma berikut memberikan suatu formula eksplisit untuk harga optimal
p∗ (z) dari fungsi Lambert dan menunjukkan bahwa p∗ (z) kontinu pada z.
Lemma 3.2 (Sifat Dari Harga Optimal).
Untuk semua z = (a, b) ∈ R++ xR, fungsi pendapatan r(.; z) menghasilkan

harga maksimum tunggal,



P ∗ z = 1a (1 + W e−1−b .
Selain itu, sembarang parameter himpunan Z, fungsi z → p∗ z adalah LZ - Lipschitz

pada Z dengan konstanta Lipschitz,

amin + log e + e−bmin
LZ =
a2min




(3.5)

Lemma berikut digunakan untuk menentukan batas kuadrat pada perbedaan
optimal,
Lemma 3.3 ( Batas Kuadrat pada Perbedaan Optimal ).
Untuk setiap semua z = (a, b) ∈ R++ xR dan p ∈ R+
0 6 r (P ∗ (z) ; z) − r (p; z) 6 ae−b (P ∗ (z) − P )2
∨

Andaikan z parameter vektor dari model yang tidak diketahui dan Z menyatakan perkiraan dari z. Harga produk pada p∗ z telah optimal sesuai perkiraan.
∨

Jika Z termasuk pada parameter vektor, maka p∗ z memberikan pendapatan yang
mendekati optimal. Sebagai akibat dari Lemma 3.2 dan Lemma 3.3, Corollary

Universitas Sumatera Utara

11
berikut memberikan batas atas pada pendapatan yang hilang dari perkiraan yang
tidak akurat.
Corollary 3.1 ( Pendapatan Yang Hilang Dari Perkiraan Yang Tidak Akurat ).
∨

Untuk sembarang Z dan z, Z ∈ Z, diperoleh:
∨

∨

r (P ∗ (Z) ; Z) − r(P ∗ (Z ); Z) 6 ae−b L2Z k Z − Z k
denganLZ Konstanta Lipschitz yang diberikan persamaan (3.5).
Corollary 3.1 menyarankan sebuah metode untuk membuat sebuah kebijakan
dengan kerugian yang rendah (kecil). Dibentuklah sebuah perkiraan dari parameter awal berdasarkan sejarah pembelian, kemudian ditawarkan harga yang paling
optimal menurut perkiraan ini. Jika perkiraan ini mempunyai kesalahan ratarata yang kecil, maka diharapkan kerugian pendapatan seharusnya juga menjadi
kecil. Walaupun variabel dari perkiraan bergantung pada harga lalu yang telah
ditawarkan, sehingga diperoleh keseimbangan harga optimal membentuk perkiraan yang baik (eksplorasi) dan harga yang mendekati optimal (eksploitasi) dan
semuanya bergantung dari parameter yang tidak diketahui.

Universitas Sumatera Utara

BAB 4
FAKTOR PENENTU HARGA DINAMIS

4.1 Bursa Pasar Tidak Tentu Dan Sensitifnya Harga
Pada penelitian ini diasumsikan pedagang menghadapi bursa pasar yang
tidak tentu dan sensitifnya harga, sehingga pedagang dapat menentukan batas
kerugiannya. Model ini sesuai dengan parameter a dan b yang merupakan

√disT
tribusi pembelian yang tidak diketahui. Pertama tentukan batas bawah Ω
untuk kerugian kumulatif pada T periode menurut kebijakan yang berubah-ubah
(Broder, 2009).
4.1.1 Batas Bawah Kasus Dua parameter
Batas bawah kerugian ditentukan dengan membentuk kelompok dari kurva
permintaan tertentu pada kasus kerugian terburuk menurut kebijakan yang berubah√ 
T . Hal ini dinyatakan oleh Teorema berikut
ubah harus paling sedikit Ω
Teorema 4.1 (Batas Bawah Kerugian Untuk Dua Parameter)
Diberikan C = {(2 − b, b) : 0 6 b 6 1}
Untuk Ψ kebijakan dan T ≥ 2, terdapat a parameter z ∈ C sedemikian sehingga
diperoleh:

Kerugian (z, C, T, Ψ) >

√

T
(12e)4

Sebelum membuktikan Teorema 4.1 diteruskan, perlu dilihat dulu intuisi dasar
dari argumen ini, gambar 1.(a) menunjukkan contoh dari kurva permintaan pada
kelompok ini. Dengan catatan untuk setiap b ∈ [0, 1] , d (1; 2 − b, b) =

e−2
,
(1+e−2 )

se-

mua kurva permintaan pada kelompok ini berpotongan pada harga yang umum
pada p = 1. Harga ini juga harga optimal untuk beberapa kurva permintaan pada

kelompok ini, dengan p∗ (2 − b0, b0 ) = 1 untuk b0 ∈ (0, 1) (lihat gambar 1.b). Jika
permintaan sama pada p = 1 untuk parameter dasar yang berbeda, tidak ada

kebijakan yang dapat dilakukan untuk memperoleh informasi yang cukup tentang
12
Universitas Sumatera Utara

13
nilai dari parameter saat harga mendekati 1, sebagai akibatnya, jika parameter
dasar (2 − b0 , b0), maka beberapa kebijakan mencapai informasi yang perlu agar

himpunan harga menjauhi 1 sehingga mendatangkan kerugian yang besar, yang

merupakan batas bawah yang diinginkan. Jika kelompok kurva permintaan C
bergantung hanya pada satu parameter b, diberikan batas bawah 2 − b yang menyatakan fungsi permintaan d(.; 2− b, b), fungsi pendapatan r∗ (.; 2− b, b) dan harga

optimal p∗ (2 − b, b).
Untuk membuktikan Teorema 4.1 diatas digunakan Lemma 4.4, Defenisi 4.1
dan Lemma 4.5. Sifat dari fungsi pendapatan dan harga optimal (Lemma 3.1 dan
Lemma 3.2) yang diberikan setelah pembuktian Teorema 4.1 berikut.
Ini adalah bukti dari Teorema 4.1.
Pembuktian.

Kebijakan yang berubah-ubah Ψ = (Ψ1, Ψ2 , . . .) dan T ≥ 2.

Diberikan b0 adalah harga yang didefenisikan pada Lemma 4.4 sedemikian sehingga
p∗ (b0) = 1. Diberikan b1 = b0 −

1

1

T4

. Ini mengikuti sifat 2 dari Lemma 4.4 bahwa

p∗ (b) < p∗ (b + 0) = 1. Untuk sembarang x ≥ 1,
r(p∗ (b0 ); b0 − r(x; b0 ≥ r(p∗ (b0 ); b0 − r(1; b0 )
r(p∗ (b1 ); b1 − r(x; b1 ≥ r(p∗ (b1 ); b1 − r(1; b1 )
Dengan pertidaksamaan terakhir mengikuti dari fungsi pendapatan r(.; b1)
akan maksimum pada p∗ (b1) < 1 menurut Lemma 3.2. Kebijakan alternatif φ =
(φ1φ2 . . . pada setiap periode waktu, menggunakan harga minimum menurut kebijakan Ψ selalu antara 0 dan 1. Argumen diatas diperoleh untuk setiap b ∈ {b0, b1},
kerugian (b, C, T, Ψ) ≥ kerugian(b, C, T, φ).
Jika batas dibawah yang diinginkan telah ditentukan, tanpa menghilangkan
pilihan harga yang umum menurut kebijakan Ψ selalu antara 0 dan 1. Untuk
melengkapi bukti, dapat dilihat
Max {Kerugian(b0, C, T, Ψ), Kerugian (b1 , C, T, φ)} ≥

√

T
(12e)4

Defenisi dua Interval C(b0 ) ⊂ [0, 1] dan C(b1 ) ⊂ [0, 1] sehingga:

Universitas Sumatera Utara

14
n

∗

Cb0 = x : p (b0) −
n
Cb1 = x : p∗ (b1) −

1

o
≤ x ≤ p (b0) dan

1
4

≤ x ≤ p∗ (b1) +

1
18T 4
1
18T

∗

1
18T

1
4

o

yang menyatakan bahwa C(b0 ) dan C(b1 ) adalah tidak berhubungan, dari sifat
5 dalam Lemma 4.4 memberikan p∗ (b0) − p∗ (b1 ) ≥ 61 (b0 − b1 ) =

1
6T 41

. Ini mengikuti

sifat 4 pada Lemma 4.4 bahwa untuk setiap b ∈ b0, b1 , jika x ∈ [0, 1], maka kerugian
√
1
T ) karena
pada saat itu berada paling sedikit (6e)
4
r(p∗ (b); b) − r(x : b) ≥

2

1
4e4

(x − p∗ (b)) ≥

1 √
4.182 .e4 T

=

1√
(6e)4 . T

Misalkan p1 , p2 , . . . menyatakan rangkaian harga menurut kebijakan Ψ, maka:
Kerugian (b0 , C, T, Ψ)+ Kerugian (b1 , C, T, Ψ)
PT −1
t=1

Eb0 [r (p∗ (b0) ; b0) − r (pt+1 ; b0)] + [r (p∗ (b1 ) ; b1) − r (pt+1 ; b1 )]

>

1√
(6e)4 . T

>

1√
(6e) . T
4

PT −1
t=1

PT −1
t=1

Prb0 {Pt+1 ∈
/ Cb0 } + Prb1 {Pt+1 ∈
/ Cb1 }
Prb0 {Jt+1 = 1} + Prb1 {Jt+1 = 0}

Untuk semua t > 1, Jt+1 = 1 [Pt+1 ∈ Cb1 ] adalah variabel random biner yang

mengambil nilai 1 saat Pt+1 pada Cb1 dan 0 untuk sebaliknya. Pertidaksamaan

kedua mengikuti dari fakta saat Jt+1, diperoleh Pt+1 ∈ Cb1 ⊂ [0, 1]\Cb0 , dan maka

Pt+1 ∈
/ Cb0 , sehingga P rb0 {Jt+1 = 1} ≤ P rb0 {Pt+1 ∈
/ Cb0 }. Saat Jt+1 adalah fungsi

dari pemilihan konsumen sampai akhir periode t, mengikuti dari hasil standar

pada kesalahan minimum pada tes hipotesis yang sederhana (Teorema 2.2 pada
Tsybakov 2004 ( untuk semua t )
Prb0 {Jt+1 = 1} + Prb1 {Jt+1 = 0} >
8(b0 ,b1 )2

> 21 e−2e



ψ,b1
1 −K Qt
e
2

kerugian (b1 , C, T, ψ)

Dengan pertidaksamaan terakhir mengikuti Lemma 4.5.
Diberikan ST = Kerugian (b0, C, T, ψ) + Kerugian (b1, C, T, ψ). Melalui su2

sunan (b0, b1 ) =

√1
T

, dan jika kerugian tidak berkurang, diperoleh untuk t ≤ T ,

2e8 (b0 − b1 )2 Kerugian (b0, C, t, Ψ) ≤

2e8
√
S .
T T

Universitas Sumatera Utara

15
Oleh sebab itu
ST >

1√
(6e) . T
4

PT −1
t=1

Prb0 {Jt+1 = 1} + Prb1 {Jt+1 = 0}
8(b0 −b1 )2

>

1 √
2.(6e)4 . T

PT −1

e−2e

>

1 √
2.(6e)4 . T

PT −1

e

>

T −1√
2.(6e)4 . T

t=1

t=1


1−

2e8 ST
√
T

2e√8 ST
T

=

T −1√
2.(6e)4 . T

.e

2e8 ST
√
T



Menyatakan secara tak langsung

PT −1 
4
ST > (6e)41.√T t=1 / 1 + e 6(T4 .T−1) >
Dengan kenyataan bahwa T − 1 ≥
sesuai fakta bahwa

T
2

4
T −1√
. 6
2.(6e)4 . T 64 +e4

>

√

T

4.e4 .(64 +e4 ),

jika diandaikan T ≥ 2. Hasil yang diinginkan

Max {Kerugian(b0, C, T, ψ), Kerugian (b1 , C, T, ψ)} ≥
≥

ST
2
√

≥

T
16(6e)4

√

T
4.e4 (6+e4 )

=

√

T
(12e4 )

Berikut Lemma dan Defenisi yang mendukung pembuktian teorema diatas.
Lemma 4.4 ( sifat - sifat dari C ) Untuk semua x ∈ [0, 1] dan b ∈ [0, 1],
1. P ∗ (b) = 1 + W e−1−b
2.

1
6

6

d ∗
p
db





/ (2 − b)

(b) 6 e

3. Ada sebuah bilangan tunggal b0 ∈ (0, 1) (b0 ≈ 0, 864665) sedemikian sehingga
p∗ (b0 ) = 1

4. r (p∗ (b) ; b) − r (x; b) ≥
5. |p∗ (b) − p∗ (b0 )| >

1
6

1
4e4

(p∗ (b) − x)

|b − b0 |

6. |d (x; b) − d (x − b0)| 6 |p∗ (b0) − x| |b − b0 |

Universitas Sumatera Utara

16

Harga
(a) Permintaan yang diharapkan

Harga
(b) Permintaan yang diharapkan

Gambar 1 : Kelompok dari permintaan tertentu dan kurva pendapatan
(

Untuk sembarang kebijakan ψ, b ∈ [0, 1] dan t ≥ 1, diberikan Qt Ψ, b) menya-

takan distribusi peluang pada rangkaian keputusan konsumen yt = (y1, . . . , yt) ∈

{0, 1}t menurut kebijakan Ψ diberikan parameter dari distribusi keinginan untuk

membayar adalah (2 − b, b). Pembuktian dari Teorema 4.1 berdasarkan KL- Diver-

gen, dengan Defenisi berikut.

Untuk sembarang peluang pengukuran Q − 1 dan Q − 2 pada contoh di ruang

y, KL- Divergen dari Q − 1 dan Q − 2 adalah:


P
1 (y)
K (Q1 ; Q2) y ∈ yQ1 (y) log Q
Q2 (y)

Lemma berikut memberikan batas atas pada KL- Divergen antara dua peluang pengukuran dikelompokkan dengan kebijakan yang mempunyai harga antara
0 dan 1.
Lemma 4.5 ( K L - Divergen dan Kerugian ).
Untuk sembarang b ∈ [0, 1], t ≥ 1 dan sembarang kebijakan Ψ yang mempun-

yai harga selalu antara 0 dan 1,


ψ,b
0
K Qψ,b
6 2e8 (b0 − b)2 kerugian (b0, C, T, ψ), dengan b0 didefenisikan
;
Q
t
t
pada Lemma 4.4.

4.1.2 Batas Atas Yang Sesuai Kasus Dua Parameter
Pada bagian ini, disajikan kebijakan harga yang disesuaikan dengan batas

Universitas Sumatera Utara

17
bawah pada bagian 4.1.1. dari Corollary 3.1, jika ditawarkan harga p∗ (z) dengan
parameter distribusi keinginan untuk membayar adalah z, kemudian kerugian penˆ k2 ). Fakta ini dimotivasi dengan disajikannya sebuah
dapatan adalah O(k z −z

kebijakan MLE-CYCLE berdasarkan perkiraan parameter likelihood maximum.
Kebijakan MLE-CYCLE dioperasikan dalam lingkaran dan setiap lingkaran terdiri
tahap ekplorasi diikuti tahap exploitasi. Selama tahap explorasi, ditawarkan produk pada dua harga eksplorasi p1 dan p2 dengan p1 6= p2 dan menghitung perkiraan

likelihood maximum parameter berdasarkan seleksi konsumen yang diobservasi.
Kemudian tahap exploitasi diperkirakan untuk c periode.
Diberikan p = (p1 , p2 ) dan diberikan Qp,z adalah distribusi pada {0, 1}2 dari

keputusan konsumen yang menyebabkan penawaran p − 1 dan p − 2, dengan pa-

rameter z = (a, b). Diasumsikan seluruhnya bahwa p1 6= p2 didefinisikan untuk
semua y = (y1, y2 ) ∈ {0, 1}2





−ap1 −b y1
−ap2 −b y2
e
e
Qpz (y) = QP1 ,z (y1 ) QP1 ,z (y2 ) =
.
1 + e−ap1−b 1 + e−ap2 −b

(4.1)

Sebuah deskripsi yang baku dari kebijakan MLE-CYCLE diberikan dibawah ini.
Kebijakan MLE-CYCLE (Z,p)
Inputs : Sebuah parameter yang dapat diterima pada ruang z dan harga
eksplorasi p = (p1 , p2 ) ∈ R2+
Tahap eksplorasi (2 periode) : Menawarkan produk pada harga eksplorasi
p1 dan p2 dan diberikan Y(c) = (Y1(c) , Y2(c) ) menunjukkan seleksi konsumen yang
berhubungan. Diberikan z
c menunjukkan perkiraan likelihood maksimum (MLE)
berdasarkan seleksi konsumen yang diobservasi selama tahap eksplorasi pada C
lingkaran yang lalu, maka :

z (c) = arg max
z∈Z

c
Y

Qp,z (Y (s))

s=1

Tahap eksploitasi ( Cperiode ): Menawarkan harga greedy p∗ (( (c))) berdasarkan
perkiraan ( (c)).

Universitas Sumatera Utara

18
Keterangan 4.1. ( Perbedaan Eksplorasi Minimum)
Konstanta yang relevan akan dapat dianalisis. Untuk sembarang parameter
himpunan Z dan harga eksplorasi p1 dan p2 , didefinisikan perbedaan eksplorasi
minimum menjadi

v2 = v2 (Z, p1 , p2 )
= min {d (p1 ; z) (1 − d (p1 ; z)) .d (p2 ; z) (1 − d (p2 ; z))}
z∈Z

Jika V arz 1 [Vt > p1 ] = d (p1 ; z) (1 − d (p1 ; z)), maka konstanta v2 adalah se-

mua harga minimum yang lebih mungkin dari z dengan perbedaan produk yang
diperoleh dari variabel respon konsumen secara bernaulli pada harga eksplorasi p1

dan p2 . Sebagaimana kita ketahui jika konstanta ini lebih luas, semakin lebih baik
batas bawah dari kesalahan rata - rata kuadrat MLE. Maka kita dapat menginterpretasikan v2 sebagai ukuran dari mutu eksplorasi harga. Jika v2 kecil, maka
pada salah satu harga eksplorasi V arz 1 [Vt > p1 ] adalah kecil, berarti permintaan
yang diharapkan pada pl tertutup pada 0 atau 1. Secara intuisi, jika semua konsumen melakukan pembelian (tidak melakukan pembelian), pada harga pl eksplorasi, maka harga ini terlalu rendah (atau terlalu tinggi) yang memberikan informasi
yang baik tentang parameter z.
Untuk menentukan batas atas kerugian T periode dari MLE CYCLE. Broder
(2009) menyatakan:
Teorema 4.2 ( Batas Atas Kerugian Dua Parameter)
Untuk sembarang harga eksplorasi p = (p1 , p2 ) dan parameter himpunan z
yang dapat diterima, terdapat konstanta c1 dan c2 yang bergantung pada p dan Z
sedemikian sehingga untuk setiap z ∈ Z dan T ≥ 2, kerugian dari MLE-CYCLE

dibatasi oleh


Kerugian ( z, Z, T, MLE-CYCLE ) 6 c1 +

c2
v23 (p1 −p2 )4

√
T

Ini adalah pembuktian dari Teorema 4.2.
Pembuktian. Untuk menentukan harga p dan himpunan parameter Z yang dapat

Universitas Sumatera Utara

19
¯ 2 didefenisikan oleh
¯ 1 dan D
diterima. Diberikan D


1+W (e−1−bmin )2
2
−bmin
¯
max {p2 } +
D1 = 2amax e
a2
min

¯ 2 = amaxe−bmin 164 L2 (1 + max {p2 , p2 })4
D
Z
1 2
¯ 1 dan D
¯ 2 hanya bergantung pada p dan z. Dengan memPerhatikan bahwa D
pertimbangkan cycle c yang berubah-ubah. Menurut Lemma 3.3 bahwa kerugian
pada phase eksplorasi di cycle ini dibatasi oleh
2
P

t=1

Ez [r (p ∗ (z) ; z) − r (pl ; z)]


6 ae−b (p ∗ (z) − p1 )2 + (p ∗ (z) − p2 )2

pada pertidaksamaan terakhir mengikuti bentuk p ∗ (z). pada Lemma 3.2 selama

fase cycle c, digunakan harga p ∗ (ˇz

(c) )

untuk c periode. Mengikuti Corollary 3.1

dan Teorema 4.4 bahwa kerugian selama phase eksploitasi dibatasi oleh:




ˇ (c) ; z ≤ ae−b Ez [p ∗ (z) − p ∗ ( Z
ˇ (c)
Ez [p ∗ (z); z) − r(p ∗ ( Z


ˇ k2
6 ae−b L2Z Ez [kz− Z


4
164 (1+max{p21 ,p22 })
−b 2
. 1c
6 ae LZ
v 3 (p −p )4
2

¯

2
< v3 (pD−p
2

1

4
2)

1

2

. 1c

Pada pertidaksamaan terakhir mengikuti Teorema 4.4 dan konstanta Lz diberikan
pada persamaan (5). Dengan meletakkannya bersamaan, diperoleh kerugian kuPK
mulatif melebihi k cycle (sesuai dengan 2k + c=1 c periode) dibatasi oleh:

 

K
P
¯ + 3 D¯ 4 . K
Kerugian z, Z, 2K + c, M LE − CY CLE ≤ D
v (p −p )
2

c=1

1

2

Dengan pertimbangan waktu yang berubah-ubah pada periode T ≥ 2 dan
l√ m
2T , dengan catatan bahwa bilangan setelah K0 cycle peridiberikan K0 =
PK0
P K0
ode harus T terkecil karena 2K0 + c=1
c ≥ c=1
c = K0 (K20 +1) ≥ T Hasil yang

diinginkan mengikuti dari fakta bahwa



Kerugian (z, Z, T, MLE − CY CLE) ≤ Kerugian z, Z, 2K0 +

K
P

c=1

c, M LE − CY CLE

Universitas Sumatera Utara



20
Keterangan 4.2 ( Konstanta Batas Atas) .
Menurut Teorema 4.2 bahwa batas atas kerugian untuk harga eksplorasi p1
dan p2 seharusnya terpisah dengan baik, pada bagian (p1 − p2 )4 tidak kecil. Secara

intuisi, jika perkiraan kurva permintaan dengan dua derajat kebebasan diperlukan
maka pemintaan pada harga p1 dan p2 yang berbeda. Jika perbedaan harga ini
sangat dekat, maka kesalahan pengukuran pemintaan pada harga p1 dan p2 akan
menyebabkan kesalahan yang luas pada perkiraan kurva permintaan. Kenyataan
ini dapat dimanfaatkan pada bagian 4.1.1 untuk membuktikan batas bawah keru√ 
gian adalah Ω
T . Agar kerugian dapat dijamin sekecil mungkin, jika pedagang

memilih harga eksplorasi yang terpisah tetapi tetap berbatas 0 dan 1. Pemisahan
ini di motivasi oleh eksplorasi dan eksploitasi pada fase MLE - CYCLE, jika harga
yang dicoba berdasarkan perkiraan perhitungan terpisah dengan baik.

4.2 Sensitifnya Harga Tidak Tentu
Pada bagian ini, pedagang dihadapkan pada harga yang tidak tentu, sesuai
dengan kasus ini b diketahui tapi a tidak diketahui. Semua analisis pada bagian
yang telah disampaikan pada kasus b tidak diketahui bagian 4.2.1, ditentukan batas
bawah dari Ω(log T ) pada T periode kerugian kumulatif menurut kebijakan yang
berubah-ubah. Kemudian pada bagian 4.2.2 kebijakan yang dapat dicapai untuk
batas atas yang sesuai.
Jika b ∈ R diketahui dan diberikan A = [amin , amax] ⊂ R++ menunjukkan

bagian dari parameter a yang tidak diketahui. Dan p ∗ (a) menunjukkan harga

optimal dari p ∗ (a, b) dan diberikan kerugian (a, A, T, ψ) menunjukkan kerugian
dari kebijakan ψ sampai waktu T pada kasus b diketahui dan a ∈ A.
4.2.1 Batas Bawah Kasus Satu Parameter
Pada bagian ini ditentukan batas bawah Ω(ln T ), pada kasus ini pedagang
mendapat informasi tentang bursa pasar, tetapi dihadapkan pada ketidaktentuan
sensitifnya harga dari barang yang dijual. Hasil utama dari bagian ini dinyatakan
Teorema berikut.

Universitas Sumatera Utara

21
Teorema 4.3 (Batas Bawah Kerugian Satu Parameter)
 
Diberikan A = 1, 32 dan b = 0. Untuk sembarang kebijakan ψ dan T ≥ 2,

terdapat konstanta a ∈ A sedemikian sehingga
Kerugian (a, A, T, ψ) ≥

2
(5e)6

ln T

Inilah pembuktian Teorema 4.5.
Pembuktian: Pembuktian Teorema 4.5 dengan mempergunakan Lemma 4.6,
diperoleh
sup Kerugian (a, A, T, ψ) ≥ sup Ea [r(p ∗ (a); a) − r(pt+1 ; a)]
a∈A

a∈A

≥ E[
≥

PT −1

2
(5e)6

t=1

r(p ∗ (a); a) − r(pt+1 ; a)]

PT −1

1
t=1 t

≥

2
InT
(5e)6

Pada Lemma selanjutnya, diperoleh batas bawah pada kasus kerugian terburuk di setiap periode. Gill dan Levit (2005) menyatakan:
Lemma 4.6 (Resiko Batas Bawah)
Untuk sembarang kebijakan ? diperoleh harga antara 21 dan 32 , untuk t ≥ 1
E[r(p ∗ (a); a) − r(pt+1 ; a)] ≥

2
.1
(5e)6 t

Dengan pt+1 adalah harga yang ditawarkan oleh kebijakan ψ pada waktu t + 1
dan E[. . . ] menunjukkan ekspektasi dari distribusi bersama Qψ,a
dan density λ tert
 3
dahulu dari parameter a ∈ A = 1, 2 .
4.2.2 Batas Atas Yang Sesuai Kasus Satu Parameter
Pada bagian ini disajikan strategi harga Greedy dengan batas bawah kerugian
yang telah disajikan sebelumnya.
Keterangan 4.3 (Kurva Permintaan Terpisah Dengan Baik).
Pada kasus satu parameter kurva permintaan terpisah dengan baik untuk
sembarang b dan sembarang harga p ∈ R++ , diperoleh d(p; a, b) < d(p; a
¯, b) walaupun
Universitas Sumatera Utara

22
a > a
¯ > 0. Maka parameter a yang tidak diketahui dapat di identifikasi secara
tunggal oleh permintaan yang diharapkan pada beberapa harga dan sebaliknya kebijakan harga dapat diperoleh dari kurva permintaan. Pada harga optimal, pembelian terjadi menurut nilai yang berbeda dari parameter a. Kebiasaan ini berbeda
pada kasus 2 parameter, dengan kebijakan optimal memisahkan fase eksplorasi dan
eksploitasi.
Dengan intuisi dapat dimulai analisis dari kebijakan harga greedy. Dengan
menunjukkan ζ = (ζ1 , ζ1 , . . .) adalah kebijakan harga MLE-GREEDY yang digambarkan dibawah ini. Dan ketergantungan b diabaikan dari angka-angka yang tidak
muncul. Untuk sembarang parameter himpunan A = [amin, amax ] ⊂ R++ , a ∈ A

dan t ≥ 1, diberikan Qζ,a
t menunjukkan distribusi peluang dari seleksi konsumen se-

lama T periode pertama. Jika kebijakan MLE-GREEDY digunakan dan parameter
sensitifnya harga adalah A.
Qζ,a
t (Yt ) =

e−apl−b )yl
l−1 1+e−apl−b

Qt

Dengan pl = ζ1 (?l−1 ) merupakan harga pada s periode menurut kebijakan ζ.
Akhirnya, diberikan P = [Pmin , Pmax ] ⊂ R++ merupakan interval harga yang sesuai
dengan A. oleh sebab itu untuk setiap a ∈ A diperoleh p ∗ (a) ∈ P , dengan

menggunakan Lemma 3.2 dapat dibuktikan bahwa
pmin =

(1+W (e−1−b ))
amax

> 0 dan pmax =

(1+W (e−1−b ))
amin

Dibawah ini secara detail digambarkan kebijakan MLE-GREEDY.
Diberikan Definisi berikut mengikuti konstanta yang muncul pada bagian ini
v1 = min{d(p; a)(1 − d(p; a)) : a ∈ A, p ∈ P }
Konstanta v1 dapat disamakan dengan perbedaan eksplorasi minimum pada
kasus dua parameter. Dengan catatan jika MLE-GREEDY menawarkan harga
pada [pmin , pmax ], didefinisikan v1 adalah perbedaan melebihi minimum dari semua harga p ∈ [pmin , pmax ]. Dengan catatan seleksi konsumen Y1 , Y2 , . . . Yt adalah
variabel acak tidak bebas karena untuk sembarang l. Yl adalah fungsi dari harga

pada Periode l, yang terkandung pada respon konsumen Y1 , . . . , Yl pada l − 1 peˆ
riode terdahulu, maka perkiraan maksimum A(t)
didasarkan pada sampel yang

Universitas Sumatera Utara

23
bebas dan distribusi yang tidak identik sehingga batas standar dari perkiraan
MLE tidak dipergunakan dan diperlukan untuk mengembangkan teknik pembulatan yang baru. Dengan mengekploitasi susunan dari model penentuan, teorema berikut memberikan ketidaksamaan deviasi yang luas dan berbatas kesalahan
ˆ
kuadrat rata - rata untuk A(t).
Kebijakan MLE-GREEDY (A, p1 )
Inputs
Deskripsi

:Himpunan parameter A ⊂ R++ sebuah harga awalp1 ∈ P dan bursa
pasar diketahui b ∈ R

:Untuk t = 1, 2, 3 . . .

Jika t = 1 harga dasar yang ditawarkan adalah p1 dan ditawarkan juga harga
ˆ − 1)) berdasarkan perkiraan A(t
ˆ − 1).
p ∗ (A(t
Diberikan Yt = (Y1 , . . . , Y2 ) menunjukkan konsumen yang merespon pada t
ˆ
periode pertama. Menghitung perkiraan maksimum likelihood A(t)
berdasarkan
ˆ =argmax Qζ,a
Yt yaitu A(t)
t (Yt )
a∈A
Broder (2009) menyatakan:
Teorema 4.4 ( Batas Atas Kerugian Untuk Satu Parameter)
Andaikan parameter bursa pasar adalah b diketahui. Untuk sembarang himpunan parameter A
subsetR++ dan harga awal p1 terdapat sebuah konstanta C3 yang hanya bergantung pada b, A dan p1 sedemikian sehingga untuk semua a ∈ A dan T ≥ 1 adalah
kerugian dari MLE-GREEDY dibatasi oleh

Kerugian ( a, A, T, MLE-GREEDY) ≤

Cs
s
2
v1

. log T

Pembuktian. Oleh Lemma 3.3 kerugian di perlihatkan pada periode pertama
dengan menggunakan harga exploitasi p1 dibatasi oleh diatas
r(p ∗ (a); a) − r(p1 ; a) ≥ æ−b (p ∗ (a) − p1 )2


−1−b ))2
¯3
=D
≤ amaxe−b p21 + (1+Wa(e2
min

Universitas Sumatera Utara

24
Pertidaksamaan terakhir mengikuti dari rumus untuk p ∗ (a) pada Lemma 3.3

diberikan P1ζ , P2ζ , . . . merupakan rangkaian harga menurut kebijakan MLE-GREEDY.
Juga di berikan LA = (amin + log(e + e−b ))/a2min merupakan konstanta Lipschitz
yang dihimpun dari harga optimal pada keadaan ini (lihat persamaan 5). Kerugian
yang muncul setelah periode pertama di batasi oleh

T −1

T −1


P
P
ζ
ˆ
r(p ∗ (a); a) − r(p ∗ A(t)
r(p ∗ (a); a) − r(pt+1 ; a) = E
; a)
E
t=1

t=1

≤ ae−b L2A
≤

PT −1
t−1

16ae−bL2A
3/2
v1 p2min

i
h
ˆ − a)2
Ea (A(t)

PT −1

1
t−1 t

≤

¯4
D
3/2 InT
v1

¯ 4 bergantung hanya pada b, A, dan p1 .
Untuk beberapa konstanta D
¯4 + D
¯ 3 (In2) diperoleh
mengambil C3 = D
C3

.InT −

C3

.InT

≤

3
v12

≤

v12

3

Dengan

¯3
D
3/2 .In
v1

Sehingga terbukti bahwa
Kerugian (a, A, T, MLE-GREEDY) ≤

C3
3

v12

.InT

Universitas Sumatera Utara

BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan

1. Faktor penentu harga dinamis pada penelitian ini adalah bursa pasar yang
tidak tentu dan sensitifnya harga sehingga pedagang dapat menentukan batas
kerugiannya.
2. Untuk