8
Definisi 2.1.4 Bain dan Engelhardt, 1992 Variabel random
t
disebut variabel random kontinu jika terdapat fungsi
t
f yang merupakan fungsi densitas
probabilitas dari
t
, sehingga fungsi distribusi komulatifnya dapat dinyatakan
ò
¥ -
=
t
t t
t
d f
F Fungsi distribusi kumulatif mempunyai sifat
1. lim
t t
t
t
F F
= D
+
+
® D
, 2.
dan F
lim =
-¥ ®
D
t
t
1 lim
=
¥ ®
D
t
t
F ,
3.
2 1
2 1
t t
t t
£ untuk
F F
.
2.1.3 Fungsi Hazard
Misal
t
adalah variabel random nonnegatif yang menunjukkan waktu tahan hidup dari individu-individu dalam populasi. Variabel
t
adalah nonnegatif sehingga semua fungsi yang berhubungan dengan
t
hanya didefinisikan dalam interval ,
[ ¥ . Fungsi-fungsi tersebut adalah fungsi densitas probabilitas, fungsi distribusi kumulatif dan fungsi tahan hidup.
Menurut Lawless 1982, fungsi
t
f , disebut fungsi densitas probabilitas
dari
t
sehingga fungsi distribusi kumulatif dapat direpresentasikan sebagai
[ ]
dx f
F
ò
= £
=
t
t t
t
t
Pr 2.1
Probabilitas individu bertahan hidup di atas waktu
t
merupakan fungsi tahan hidup yang dipresentasikan sebagai
[ ]
dx x
f S
ò
¥
= £
=
t
t t
t
Pr 2.2
Fungsi tahan hidup adalah fungsi kontinu monoton turun dengan sifat
9
1. 1
= S
2. =
t
S , untuk
¥ ®
t
. Hubungan fungsi densitas probabilitas
t
f dan fungsi tahan hidup
t
S dari
persamaan 2.1 dan 2.2 dapat ditunjukkan dengan
ò
- =
t
t
1 du
u f
S 1
t
F -
= .
Jadi,
[ ]
. 1
t t
t t
t t
t
d dS
d S
d d
dF f
- =
- =
= 2.3
Menurut Lawless 1982, fungsi hazard yaitu laju kegagalan atau kematian dari suatu individu dengan syarat individu mampu bertahan hidup sampai dengan
waktu
t
. Dengan
t t
D h
merupakan pendekatan probabilitas kegagalan atau kematian dalam interval
, [
t t
t
D +
dengan syarat bertahan hidup sampai waktu
t
, secara matematika ditulis
[ ]
. lim
t t
t t
t t
t t
t t
t
S f
r h
= D
³ D
+ £
R =
® D
2.4 Hubungan antara fungsi hazard
t
h dan fungsi tahan hidup
t
S dari
persamaan 2.3 dan 2.4 dapat ditunjukkan sebagai berikut
t t
t t
t
d dLogS
S S
h -
= -
= .
Jadi,
ò ò
- =
t t
dx x
h x
dLogS
ò
- =
t t
dx x
h x
LogS
10
karena S0= 1, maka
ò
- =
t t
dx x
h x
LogS
ò
- =
-
t
dx x
h LogS
LogS
t
ò
- =
t
t
dx x
h LogS
ú ú
û ù
ê ê
ë é
- =
ò
t t
exp
dx x
h S
. 2.5
Fungsi hazard
t
h mempunyai sifat
1. ³
t
h untuk
[
¥ Î
,
t
2. ¥
=
ò
¥
dt h
t
. Menurut Simwa dan Mugisha 2005, harga harapan jumlah sel CD4 tiap
satuan volume darah dalam tubuh individu pada waktu t , secara matematika ditulis N =
[ ]
t N
E .
Harga harapan dari jumlah sel CD4 tiap satuan volume pada waktu t dalam tubuh penderita yang terinfeksi HIV
τ tahun yang lalu adalah N
τ
=
[
N E
τ,
]
t , maka model jumlah sel CD4 penderita HIV, secara matematis ditulis
N
τ
= NP τ.
11
2.1.4 Distribusi Weibull
