BAB I DASAR LOGIKA
1.1 Kalimat Deklaratif
Ilmu logika berhubungan dengan kalimat-kalimat argumen-argumen dan hubungan yang ada di antara kalimat-kalimat tersebut. Tujuannya adalah memeberikan aturan-
aturan sehingga orang dapat menentukan apakah suatu kalimat bernialai benar. Kalimat yang dipelajari dalam logika bersifat umum, baik bahasa sehari-hari maupun
bukti matematika yang didasarkan atas hipotesa-hipotesa. Oleh karena itu, aturan- aturan yang berlaku di dalamnya haruslah bersifat umum dan tidak tergantung pada
kalimat atau disiplin ilmu tertentu.Ilmu logika lebih mengarah pada bentuk kalimat sintaks daripada arti kalimat itu sendiri semantik
Suatu Kalimat Deklaratif Proposisi adalah kalimat yang bernilai benar atau
salah, tetapi tidak keduanya. Contoh Proposisi:
a. 2 + 2 = 4 bernilai benar
b. 4 adalah bilangan prima bernilai salah
c. Jakarta adalah ibukota negara Indonesia. bernilai benar d. Penduduk Indonesia berjumlah 50 juta.
bernilai salah Contoh Bukan Proposisi :
a. Dimana letak pulau Bali ? kalimat tanya
b. Simon lebih tinggi dari Lina ada banyak orang bernama Simon
atau Lina di dunia c. x + y = 2
nilaikebenaran tergantung niali x dan y
d. 2 mencintai 3 relasi mencintai tidak berlaku di
bilangan .
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
1.2 Penghubung Kalimat
Seringkali beberapa kalimat perlu digabungkan menjadi satu kalimat yang lebih panjang, sehingga diperlukan penghubung kalimat. Dalam Logika dikenal 5
penghubung :
Simbol Arti
Bentuk
~ Tidak Not Negasi
Tidak …..
Dan And konjungsi …… dan …….
Atau Or Disjungsi
…… atau ……
Imlikasi Jika …. Maka …..
Bi-Implikasi
….. bila dan hanya bila …. Dalam matematika digunakan huruf-huruf kecil seperti p, q, r,…. Untuk menyatakan
sub kalimat dan simbol-simbol penghubung untuk menyatakan penghubung kalimat. Contoh :
a. Misal p menyatakan kalimat “ 4 adalah bilangan genap” q menyatakan kalimat “3 adalah bilangan ganjil”
maka kalimat “ 4 adalah bilangan genap dan 3 adalah bilangan ganjil” dapat
dinyatakan dengan simbol p q
b. Misal p : 2 + 2 = 4 q : bunga melati berwarna putih.
maka kalimat “Jika 2 + 2 = 4, maka bunga melati berwarna putih” dapat
dinyatakan dengan simbol p q
Pada contoh b diatas, kalau kalimat tersebut diartikan dalam kehidupan sehari maka kalimat tersebut tidak berarti tidak ada hubungan antara kedua kalimat
penyusunnya. Tetapi secara logika matematis hal tersebut dapat diterima, karena di dalam matematika tidak disyaratkan adanya adanya hubungan antara kedua
kalimat penyusunnya. Dalam Logika matematika, penekanan lebih ditujukan kepada bentuksusunan kalimat saja sintak, dan bukan pada arti kalimat
penyusunnya dalam kehidupan sehari-hari semantik. Kebenaran suatu kalimat berimplikasi semata-mata hanya tergantung pada nilai kebenaran kalimat
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
penyusunnya, dan tidak tergantung pada adatidaknya relasi antara kalimat- kalimat penyusunnya.
Jika p dan q merupakan kalimat-kalimat, maka tabel kebenaran penghubung tampak pada tabel berikut :
p q
~p p
q p
q p
q p
q
T T
F T
T T
T T
F F
F T
F F
F T
T F
T T
F F
F T
F F
T T
T = Truebenar, F = Falsesalah Secara umum, jika ada n variabel p,q,…, maka tabel kebenaran memuat 2
n
baris.
Dari tabel :
p q bernilai benar jika p maupun q benar, selain itu bernilai salah
p q bernilai benar jika ada sedikitnya satu variabel bernilai benar
Dalam kalimat p q , p disebut hipotesis anteseden dan q disebut konklusi
konsekuen. Kalimat p q disebut kalimat berkondisi karena kebenaran kalimat
q tergantung pada kebenaran kalimat p. kalimat p q akan berniali salah kalau p
benar dan q salah. Sebagai contoh perhatikan apa yang diucapkan seorang pria terhadap kekasihnya berikut ini :
“Jika besok cerah, maka aku datang” p : “besok cerah” , q : “aku akan datang”
- Jika baik p maupun q keduanya benar baris ke-1 tabel kebenaran, pria tersebut tidak berbohong.
- jika p salah ternyata keesokan harinya hujan, tidak cerah, maka pria tersebut terbebas dari janjinya karena janji tersebut bersyarat, yaitu kalau besok cerah.
Jadi, baik pria tersebut datang berarti q benar, sehingga menyatakan baris ke-3
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
tabel maupun tidak datang q salah ,sehingga menyatakan baris ke-4 tabel, pria tersebut tidak akan disalahkan.
- Akan tetapi, pria tersebut akan disalahkan berarti implikasi berniali salah apabila keesokkan harinya cuaca cerah p benar tetapi ia tidak datang q salah.
Ini sesuai baris ke-2 tabel.
Kalimat kondisi ganda biconditional p q ,berarti p q q p. Supaya
p q berniali benar maka p q maupun q
p, keduanya harus bernilai benar ingat bahwa kedua implikasi tersebut dihubungkan dengan kata hubung “dan”. Perhatikan
tabel berikut :
p q
p q
q p
p q atau p q q p
T T
T T
T T
F F
T F
F T
T F
F F
T T
T T
Jadi p q bernilai benar jika p dan q keduanya bernilai benar atau keduanya
bernilai salah
Soal Latihan : 1. Misal k : Monde orang kaya, s : Monde bersuka cita
Tulislah bentuk simbolis kalimat-kalimat berikut : a. Monde orang yang miskin tetapi bersuka cita
b. Monde orang kaya atau ia sedih c. Monde tidak kaya ataupun bersuka cita
d. Monde seorang yang miskin atau ia kaya tetapi sedih. Anggaplah ingkaran kaya adalah miskin, ingkaran dari bersuka cita adalah
sedih.
2. Buatlah tabel kebenaran untuk kalimat dalam bentuk simbol-simbol logika dibawah ini
a. ~~p ~q
c. p q ~p q
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
b. ~~p q
d. ~p ~q r q r p r
3. Pada kondisi bagaimanakah agar kalimat di bawah ini bernilai benar ? “Tidaklah benar kalau rumah kuno selalu bersalju atau angker, dan tidak juga
benar kalau sebuah hotel selalu hangat atau rumah kuno selalu rusak.”
4. Jika p dan q bernilai benar T ; r dan s bernilai salah F Tentukan nilai kebenaran kalimat berikut ini :
a. p q r
b. p q r ~p q r s
c. ~p q ~r ~p q ~r s
Dua kalimat disebut Ekuivalen secara logika bila dan hanya bila keduannya
mempunyai nilai kebenaran yang sama untuk semua substitusi nilai kebenaran masing-masing kalimat penyusunnya. Jika p dan q adalah kalimat-kalimat yang
ekuivalen, maka dituliskan p q .
Soal Latihan 5. Tentukan apakah pasangan kalimat-kalimat di bawah ini ekuivalen
a. ~~p dengan p b. ~p
q dengan ~p ~q c. p
q dengan ~p q
Beberapa hukum ekuivalensi logika disajikan dalam daftar dibawah ini :
1. Hukum Komutatif : p q q p ; p q q p
2. hukum Asosiatif : p
q r p q r p
q r p q r 3. Hukum Distributif
: p q r p q p r
p q r p q p r
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
4. Hukum Identitas : p
T p ; p F p 5. Hukum Ikatan
: p T T ; p F F
6. Hukum Negasi : p
~p T ; p ~p F 7. Hukum Negasi Ganda : ~~p
p 8. Hukum Idempoten
: p p p ; p p p
9. Hukum De Morgan : ~p q ~p ~q
~p q ~p ~q
10. Hukum Absorbsi : p
p q p ; p p q p 11. Negasi T dan F
: ~T F
; ~F T
Dengan hukum-hukum tersebut, kalimat-kalimat yang kompleks dapat disederhanakan.
Contoh : Sederhanakan bentuk ~~p
q p q Penyelesaian :
~~p q p q
~~p ~q p q p ~q p q
p ~q q p F
p Jadi
~~p q p q p
Dalam membuktikan ekuivalensi P Q, ada 3 macam cara yang bisa dilakukan :
1. P diturunkan terus menerus dengan menggunakan hukum-hukum yang ada, sehingga akhirnya didapat Q
2. Q diturunkan terus menerus dengan menggunakan hukum-hukum yang ada sehingga akhirnya didapat P.
3. P dan Q masing-masing diturunkan secara terpisah dengan menggunakan hukum-hukum yang ada sehingga akhirnya sama-sama didapat R
STMIK ‘Sinus’ Ska Wawan Laksito YS
Sebagai aturan kasar, biasanya bentuk yang lebih kompleks diturunkan ke bentuk yang lebih sederhana.
Soal Latihan 6. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel
kebenaran a. ~p
~q V ~p ~q ~p b. ~~p
q ~p ~q p q p c. p
~~p q p q p
Untuk menunjukkan ekuivalensi 2 kalimat yang melibatkan penghubung
implikasi dan bi-implikasi, Kita harus terlebih ahulu mengubah penghubung
dan menjadi penghubung , dan ~. kenyataan bahwa p q ~p q mempermudah kita untuk melakukannya
7. Buktikan ekuivalensi kalimat-kalimat dibawah ini tanpa menggunakan tabel kebenaran
a. q p ~p ~q
b. p q r p q r
8. Ubahlah bentuk ~p q sehingga hanya memuat penghubung , atau ~
1.3 Tautologi dan Kontradiksi
Kategori