Többváltozós analízis

3.5. Többváltozós függvények integrálszámítása

Definíció: Legyen D ⊂ R n nyílt halmaz, f : D → R .AF:R → R függvényt az f függvény primitív függvényének nevezzük, ha F ′ (x) = f(x) ∀ x ∈ D esetén. Azaz

∂F ! (x) ∂F (x) ∂F (x)

= (f 1 (x), f 2 (x), . . . , f n (x)).

∂x 1 ∂x 2 ∂x n

Tétel: [Szükséges feltétel a primitív függvény létezéséhez]

Ha D ⊂ R n nyílt halmaz, f : D → R és F : R → R az f függvény primitív függvénye, akkor ∂ i f j =∂ j f i , ahol i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.

Bizonyítás: f-nek létezik primitív függvénye, akkor ∂ j F =f j . Vegyük mindkét kifejezés i-dik parciális deriváltját:

∂ j f i =∂ j ∂ i F =∂ i ∂ j F =∂ i f j .

{z

Young-tételt alkalmazva

Tétel: [Elégséges feltétel a primitív függvény létezéséhez]

Legyen D ⊂ R n konvex, nyílt halmaz, ha f : D → R folytonosan differenciálható és

∂ i f j =∂ j f i ∀i, j ∈ {1, 2, . . . , n} esetén, akkor f-nek létezik primitív függvénye.

Bizonyítás:

Definíció: Ha a 1 <b 1 ,a 2 <b 2 ,...,a n <b n ,a i ,b i ∈ R, i, j ∈ {1, 2, . . . , n}, akkor a [a n

1 ,b 1 ] × [a 2 ,b 2 ] × · · · × [a n ,b n ] szorzatot R -beli zárt intervallumnak hívjuk. Az (a n

1 ,b 1 ) × (a 2 ,b 2 ) × · · · × (a n ,b n ) szorzatot R -beli nyílt intervallumnak nevezzük.

Megjegyzés:

1. Legyen a ∈ R n , a(a

1 ,a 2 ,...,a n ) és b ∈ R , b(b 1 ,b 2 ,...,b n ), ekkor

[a 1 ,b 1 ] × [a 2 ,b 2 ] × · · · × [a n ,b n ] = [a, b].

2. (a, b) = int[a, b]. Definíció: Legyen I = [a, b], a, b ∈ R n .

I. Az I intervallum térfogatán a (a 1 −b 1 )(a 2 −b 2 ) . . . (a n −b n ) szorzatot értjük. Jele: Vol(I) vagy V(I).

u II. Az I intervallum átmérője: kb − ak = X

(b i

) −a 2 i . Jele: diam(I).

i =1

III. Az I intervallum beosztásán olyan {I 1 ,I 2 ,...,I k } sorozatot értünk, melyre ∪ I i =I i =1

és int(I i ) ∩ int(I j ) = ∅, ha i 6= j.

IV. Az I intervallum egy d := {I 1 ,I 2 ,...I k } beosztás σ finomságán a σ(d) = max (diam(I j )) j ∈ {1, 2, . . . , n} számot értjük.

A e := {J 1 ,J 2 ,...,J k } beosztást a d := {I 1 ,I 2 ,...,I k } beosztás finomításának nevezzük,

ha létezik olyan J m m ∈ {1, 2, . . . , n}, melyre J m ⊂I n n ∈ {1, 2, . . . , k}. Megjegyzés: Ha e finomítása d-nek, akkor σ(e) 6 σ(d). Állítás: Legyen {I 1 ,I 2 ,...,I k } az I intervallum egy beosztása, ekkor:

Vol(I i ) = Vol(I).

i =1

Bizonyítás:

Állítás: Bármely beosztás normál beosztássá tehető.

Bizonyítás:

Definíció: Legyen I ⊂ R n zárt intervallum és f : I → R korlátos függvény. Ha

d := {I 1 ,I 2 ,...I k } egy beosztása I-nek, akkor legyen S(f, d) := inf (f(I i )) Vol(I i ), me-

i lyet a d beosztáshoz tartozó alsó integrálközelítő összegnek nevezünk. =1

Hasonlóan S(f, d) := sup (f(I i )) Vol(I i ) a d beosztáshoz tartozó felső integrálköze-

i =1

lítő összegnek nevezzük.

A d beosztáshoz tartozó oszcillációs összeg: Ω(f, d) = S(f, d) − S(f, d).

Legyen x i ∈I i , ekkor

f (x i )Vol(I i ) a d beosztáshoz tartozó integrálközelítő összeg.

i =1

Állítás: Legyen d := {I 1 ,I 2 ,...,I k } és e := {J 1 ,J 2 ,...,J k } az I intervallum egy beosztása, ekkor ha e finomabb beosztás mint d igazak az alábbiak:

1. S(f, d) > S(f, e)

2. S(f, d) 6 S(f, e)

3. Ω(f, d) > Ω(f, e)

Bizonyítás:

Állítás: Az I tetszőleges d 1 és d 2 beosztása esetén S(f, d 1 ) 6 S(f, d 2 ).

Bizonyítás:

Megjegyzés: Mivel ezen állítás szerint egy tetszőleges beosztáshoz tartozó alsó integ- rálközelítő összeg nem nagyobb egy másik tetszőlegesen választott beosztáshoz tartozó felső integrálközelítő összegnél, ezért az alsó illetve felső integrálközelítő összegek halmaza felülről illetve alulról korlátos.

Definíció: Az S(f) := sup{S(f, d)}, ahol d beosztása I-nek. S(f)-t alsó Darboux - integrálnak nevezzük.

Definíció: Az S(f) := inf{S(f, d)}, ahol d beosztása I-nek. S(f)-t felső Darboux - integrálnak nevezzük.

Megjegyzés: S(f) 6 S(f). Definíció: Legyen f : I ⊂ R n → R korlátos függvény, f-t Riemann - integrálhatónak

mondjuk, ha S(f) = S(f). Ezt a közös értéket f (x) dx vagy f jelöljük.

Az I intervallumon vett Riemann - integrálható függvények összességét - hasonlóan az egyváltozós esethez - R(I)-vel jelöljük.

Tétel: [Darboux - tétel] Legyen f : I ⊂ R n → R korlátos függvény, ekkor minden ε > 0 esetén létezik δ(ε) > 0,

hogy ha a d beosztás finomsága kisebb δ(ε)-nál (σ(d) < δ(ε)), akkor S(f) − S(f, d) < ε és S(f, d) − S(f) < ε.

Bizonyítás:

Tétel: Legyen I ⊂ R n zárt intervallum, f : I → R korlátos függvény. Ekkor az alábbi állítások igazak:

I. f ∈ R(I).

II. Oszcillációs kritérium: ∀ ε > 0 esetén létezik δ(ε) > 0, hogy ha σ(d) < δ, akkor Ω(f, d) < ε.

III. A Darboux - tételből levezethető, hogy létezik A ∈ R, hogy minden ε > 0 esetén létezik δ(ε) > 0, hogy ha d := {I 1 ,I 2 ,...I k } beosztása I-nek, melyre σ(d) < δ(ε)

akkor

f (t i )Vol(I i )−A <ε , ahol t i ∈I i .

i =1

Megjegyzés: A III. pontbeli A ∈ R szám, melynek létezését állítjuk, éppen f I .

Bizonyítás: Az egyváltozós esettel analóg módon történik. Definíció: A H ⊂ R n halmazt Lebesgue - szerint nullmérétkűnek mondjuk, ha min-

den ε > 0 esetén megadható olyan {I 1 ,I 2 ,...I P k } intervallumrendszer, melyre az interval- lumok uniója lefedi H-t (H ⊂ ∪ I i i ), és i Vol(I i ) < ε tejesül.

Állítás: Legyen H n

1 ,H 2 ,...,H n ⊂R Lebesgue - szerint nullmértékű halmazok soro-

zata. Ekkor ∪ H i i ugyancsak nullmérétkű.

Bizonyítás:

Definíció: Legyen f : I ⊂ R n → R korlátos függvény és I r (x 0 ) jelölje az x 0 körüli r

0i − r; x 0i + r[. Ekkor:

sugarú nyílt kockát, ahol x 0 = x 01 ,x 02 ,... ,x 0n , és I r (x 0 )= ∪ ]x

m r (x 0 ) := inf{f(x)| I ∩ I r (x 0 )} M r (x 0 ) := sup{f(x)| I ∩ I r (x 0 )}

Megállapíthatjuk, hogy ha r csökken, akkor m r nem csökkenhet és M r nem nőhet, azaz m r monoton növekvő és M r monoton csökkenő ha r csökken. Ez alapján:

M (x) := lim r M r (x).

Am:I⊂R n → R függvényt alsó burkológörbének, és a M : I ⊂ R → R függvényt felső burkológörbének nevezzük.

Állítás: Az f függvény folytonos az x 0 ∈D f pontban, akkor és csak is akkor, ha m (x 0 ) = M(x 0 ).

Bizonyítás:

Tétel: [Lebesgue - tétel] Legyen I ⊂ R n intervallum és f : I → R korlátos függvény. f Riemann - integrálható,

akkor és csak is akkor ha f szakadási helyeinek halmaza Lebesgue - szerint nullmértékű.

Bizonyítás:

Állítás: Legyenek f, g ∈ R(I), ekkor αf + βg ∈ R(I), ahol α, β ∈ R és

(αf + βg) = α f +β g.

Bizonyítás: Egyváltozós esettel analóg módon.

Állítás: Legyen f 6 g és f, g ∈ R(I), ekkor f6 g I . I

Következmény: Ha f, g ∈ R(I) ,akkor |f| ∈ R(I) és

I |f| > I

Állítás: [Intervallum additivitás]

A teljes felbontáshoz tartozó integrál a részintervallumokhoz tartozó integrálok összege. Legyen f : I ⊂ R n → R és {I

1 ,I 2 ,...,I k } I egy beosztása. Ekkor f ∈ R(I) akkor és csak

is akkor, ha f| I i ∈ R(I) minden i ∈ {1, 2, . . . , k} és f =

I i =1 I i

Bizonyítás:

Tétel: [Középértéktétel] Legyen f : I ⊂ R n → R korlátos integrálható függvény, továbbá m = inff(I) és M =

supf(I). Ekkor mVol(I) 6 f6M Vol(I).

Bizonyítás:

Definíció: Legyen H ⊂ R n korlátos halmaz, és I

H a H-t tartalmazó legszűkebb tégla. Ekkor értelmezhetjük az f-nek I H -ra való kiterjesztését: ˆ f =I H → R , melyre

(x), ha x ∈ H

(x) :=

egyébként.

Állítás: Legyen f : H → R integrálható függvény, és legyen I ⊇ H zárt intervallum. Továbbá legyen ˆ f : I → R, melyre

ˆ  f (x), ha x ∈ H

f (x) :=

egyébként.

H Bizonyítás: Ha I legszűkebb tégla, akkor a definíció szerint igaz az egyenlőség. Ha H

I nem a legszűkebb tégla, akkor az intervallum additivitást alkalmazva belátható hogy a hozzávett részek integrálközelítő értéke 0, azaz igaz az állítás.

3.6. Integráltranszformáció

Emlékeztető: Legyen f : [a, b] → R integrálható és ϕ : [α, β] → [a, b] monoton növekvő és folytonosan differenciálható függvény. Ekkor

f ′ (x)dx =

a α (f ◦ ϕ)(t) ϕ (t) dt.

Definíció: Legyen D ⊂ R n és G ⊂ R két nemüres tartomány, a ϕ : D → G leké- pezés diffeomorfizmusnak nevezzük, ha ϕ bijekció (kölcsönösen egyértelmű), folytonosan

differenciálható és |ϕ ′ (x)| 6= 0. ∀x ∈ D. Állítás: Legyen f : D → R Reimann - integrálható függvény, továbbá ϕ : G → D

diffeomorfizmus. Ekkor

D G ◦ ϕ |ϕ | , |{z}

ahol J ϕ a Jacobi - mátrix determinánsa, melynek abszolút értéke szerepel a kifejezésbe.

Példák:

Jegyzetek