Definíció: Legyen G nemüres halmaz, és ◦ egy művelet, (G,◦) csoport, ha teljesülnek

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR ELŐADÁSJEGYZET

Matematika A2

(BMETE90AX02)

Lektorálta:

Dr. Szilágyi Brigitta

Készítette:

Pálya Zsófia

BUDAPEST, 2017

Tartalomjegyzék

1. Lineáris algebra

1.1. Alapfogalmak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Mátrixalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.3. Mátrixműveletek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4. Determináns . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.5. Lineáris egyenletrendszerek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.6. Lineáris leképezések (tenzorok) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

1.7. Valós euklideszi terek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció . . . . . . . . . . . . . . .

26

2. Függvénysorozatok, függvénysorok

3. Többváltozós analízis

3.2. Iránymenti derivált, parciális derivált . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.3. Középértéktételek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

3.4. Szélsőérték számítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

3.5. Többváltozós függvények integrálszámítása . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

3.6. Integráltranszformáció . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. Lineáris algebra

1.1. Alapfogalmak

Definíció: Legyen G nemüres halmaz, és ◦ egy művelet, (G,◦) csoport, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. a művelet asszociatív, azaz (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c), ∀ a, b, c, ∈ G,

2. létezik az egységelem (zéruselem) e, azaz a ◦ e = e ◦ a, ∀ a ∈ G,

3. létezik az inverzelem, azaz ∃ ˆa ∈ G hogy a ◦ ˆa = ˆa ◦ a = e, ∀ a ∈ G. Megjegyzés: Ha a ◦ művelet kommutatív, akkor Abel-csoportról beszélünk.

Példa: (R, ·), (Q, +) és (C, +) mindegyike Abel-csoport. Nem Abel-csoport azonban a (N, +), mert nem létezik az inverz elem és a (Q ∗ , +), mert

nem létezik az egységelem.

További példák:

Definíció: Legyen R nemüres halmaz ▽ és ♦ műveletek. (R,▽,♦) gyűrű, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. (R, ♦) Abel-csoport,

2. a ▽ művelet asszociatív, azaz (a▽b)▽c = a▽(b▽c), ∀ a, b, c, ∈ R,

3. teljesül a disztributivitás, azaz (a ♦ b) ▽ c = (a▽c) ♦ (b▽c) , és a ▽ (b ♦ c) = (a▽b) ♦ (a▽c) , ∀a, b, c ∈ R.

Definíció: Legyen T nemüres halmaz ♥ , és ♣ műveletek. (T,♥,♣) test, ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. (T, ♥) Abel-csoport,

2. a ♣ művelet asszociatív, azaz (a ♣ b) ♣ c = a ♣ (b ♣ c), ∀ a, b, c, ∈ T,

3. létezik az egységelem e ∈ T , azaz a ♣ e = e ♣ a, ∀ a ∈ T,

4. létezik az inverzelem, azaz ∃ ˆa ∈ T hogy a ♣ ˆa = ˆa ♣ a = e, ∀ a ∈ T,

5. teljesül a disztributivitás.

Példa: Testet alkotnak: (R, +, ·) és (C, +, ·).

Definíció: Legyen V nem üres halmaz és +, • két művelet, T test. (V, +, •) T test feletti vektortér (lineáris tér), ha teljesülnek az alábbi feltételek:

1. (V,+) Abel-csoport,

2. ha ∀ α, β ∈ T és x ∈ V, akkor (α • β) • x = α • (β • x),

3. ha ε a T-beli egységelem, akkor ε • x = x ∀ x ∈ V,

4. ha ∀ α, β ∈ T és x, y ∈ V, akkor (α+β)•x = α•x+β•x és α•(x+y) = α•x+α•y.

Példa:

• a legfeljebb n-ed fokú polinomok a skalárral való szorzásra és az összeadásra nézve vektorteret alkotnak,

• a függvények az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve vektorteret alkotnak.

További példák:

Definíció: A vektortér elemeit vektoroknak nevezzük. Jelölés: x vagy x.

I. Állítás: A zéruselem és az ellentett elem létezése egyértelmű. Bizonyítás: [ Zéruselem létezése egyértelmű ]

Tegyük fel hogy 0 és ˆ0 egymástól különböző zéruselemek (0 6= ˆ0). Ebben az esetben az alábbi egyenlőség áll fenn:

Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint ˆ0 és 0 megegyező zérusele- mek.

Bizonyítás: [ Inverzelem létezése egyértelmű ] Tegyük fel hogy −x és −ˆx egyaránt x ellentettje (inverze) (−x 6= −ˆx). Ebben az esetben:

−ˆx = (−x + x) + (−ˆx) = −x + (x + (−ˆx)) = −x Ezzel ellentmondásra jutunk, mert az egyenlőség szerint −ˆx és −x egyaránt x el-

lentettje és egyenlők.

II. Állítás:

0 · x = 0.

Bizonyítás:

III. Állítás: α · 0 = 0.

Bizonyítás:

IV. Állítás: α · x = 0 akkor és csak is akkor, ha α = 0 vagy x = 0.

Bizonyítás:

Definíció: A (V, + , λ) vektortér a 1 , a 2 ... a n vektorait lineárisan függőnek (össze- függőnek) mondjuk, ha az

α 1 a 1 +α 2 a 2 +···+α n a n =0

vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása. Ellenkező esetben lineárisan függetlenek.

Definíció: Legyen (V,+,λ) R feletti vektortér és ∅ 6= L ⊂ V, L-t altérnek nevezzük V-ben, ha (L,+,λ) ugyancsak vektortér.

Példa: A polinomok (P, +, λ) vektorterének altere a legfeljebb n-ed fokú polinomok (P n , +, λ) vektortere.

További példák:

Állítás: Alterek metszete ugyancsak altér. Alterek uniója azonban általában nem altér.

Definíció: Legyen ∅ 6= G ⊂ V. G által generált altérnek nevezzük azt a legszűkebb alteret, amely tartalmazza G-t. Jele: L (G).

Definíció: Adott ∅ 6= G. G generátorrendszere V-nek, ha L (G) = V.

Példa:

Megjegyzés: Ha G véges generátorrendszere V-nek, akkor G-t végesen generált vek- torrendszernek nevezzük.

Definíció: A V vektortér egy lineárisan független generátorrendszerét a V bázisának hívjuk.

Példa:

Állítás: Végesen generált vektortérben bármely két bázis azonos tagszámú.

Bizonyítás:

Definíció: Végesen generált vektortér dimenzióján a bázisainak közös tagszámát ért- jük.

Állítás: Legyen {b 1 , b 2 ... b n } a V vektortérnek egy bázisa. Ekkor tetszőleges V-beli vektor egyértelműen előállítható a {b 1 , b 2 ... b n } vektorok lineáris kombinációjaként.

Azaz ∀ v ∈ V : ∃! (ξ 1 ,ξ 2 ...ξ n ) hogy,

v=ξ 1 b 1 +ξ 2 b 2 +···+ξ n b n =

i =1

A (ξ 1 ,ξ 2 ...ξ n ) szám n-est a v vektor {b 1 , b 2 ... b n } bázisaira vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

Bizonyítás: ( egzisztencia ) {b 1 , b 2 ... b n } lineárisan függetlenek, mert bázis. Ezért {v, b 1 , b 2 ... b n } már lineárisan

függő, így a

λ v+α 1 b 1 +α 2 b 2 +···+α n b n =0

vektoregyenletnek létezik triviálistól különböző megoldása, azaz nem lehet (λ, α 1 ,α 2 ,...,α n ) minden eleme egyszerre 0. Tehát λ 6= 0, mert ellenkező esetben α 1 =α 2 =···=α n = 0 állna fent, így oszthatjuk az egyenletet λ-val:

Bizonyítás: ( unicitás ) Tegyük fel hogy (ξ 1 ,ξ 2 ...ξ n ) és (η 1 ,η 2 ...η n ) egyaránt v koordinátái a {b 1 , b 2 ... b n } bázisban, azaz

Vonjuk ki egymásból a két egyenletet:

Ezzel ellentmondásra jutunk, mivel {b 1 , b 2 ... b n } bázis, ezért a nullvektornak csak trivi- ális előállítása létezik, ami az együtthatók 0 voltát vonná maga után, az pedig a megfelelő

koordináták egyenlőségével ekvivalens. Tehát nem igaz a feltevés.

1.2. Mátrixalgebra

Definíció: Legyen a ij ∈ C , i ∈ {1, 2, . . . , n} , j ∈ {1, 2, . . . , k} . Ekkor az alábbi elrendezés esetén,

11 a 12 ···a 1n

 a 21 a 22 ···a 2n  

a k 1 a k 2 ···a kn

n × k -s mátrixról beszélünk. Jelölések: A, A ∈ M n ×k , vagy A = (a ij ). Speciális elnevezések:

•A∈M n ×1 - oszlopmátrix •B∈M 1×k - sormátrix •C∈M n ×n - kvadratikus vagy négyzetes mátrix

 ... ... ...  - nullmátrix 0...0

 ... ... ...  - egységmátrix 0...1

Egyéb speciális mátrixstruktúrák:

Definíció: Egy mátrix transzponáltja a főátlóra való tükörképe. Jele: A T

Példa: A =   45   T

11 0 Definíció: Ha A = A T , akkor szimmetrikus mátrixról beszélnünk (A ∈ M n ×n ).

n ×n ). Antiszimmetrikus mátrix főátlójában mindenhol 0 szerepel.

Definíció: Ha A = −A T , akkor antiszimmetrikus mátrixról beszélnünk (A ∈ M

Definíció: Két mátrix egyenlő, ha a megfelelő helyeken álló elemei egyenlők. ! A, B ∈ M n ×k .A=B⇔a ij =b ij , ∀ i ∈ {1, 2, . . . , n} , j ∈ {1, 2, . . . , k} .

1.3. Mátrixműveletek

Definíció: Két mátrix összegén azt a mátrixot értjük, melyet a két mátrix elemenkénti összeadásával kapunk, azaz, ha A, B ∈ M n ×k , akkor C := A + B, ahol c ij := a ij +b ij .

Példa: A = 

 45   B=  17  C=A+B=  5 12  .

Definíció: Egy mátrix és egy skalár szorzata olyan mátrix, melynek minden eleme skalárszorosa az eredeti mátrix elemeinek, azaz, ha A ∈ M n ×k és λ ∈ R (C), akkor

D := λA, ahol d ij := λ a ij .

Példa: λ = 4;  A=

Definíció: Két mátrix szorzatán az alábbi műveletet értjük. Legyen A ∈ M n ×k és B∈M k ×l . Ekkor C = A · B,

c ij =

a is b sj =a i 1 b 1j +a i 2 b 2j +···+a ik b kj .

s =1

10 12 Példa: A =

B=  −2 −1  C=A·B=

3 4 −5 −2 Célszerű az alábbi módon felírni a mátrixokat, hogy egyszerűbben elvégezzük a szorzást:

1 0 -2 -1

[ ] -1 2 0 -5 -2 [ ]

C=A B=

Állítás: A mátrixszorzás nem kommutatív művelet.

Bizonyítás:

Állítás: Ha A,B,C olyan mátrixok hogy létezik (A · B) · C mátrixszorzat, akkor A·(B·C) is létezik és (A·B)·C = A·(B·C). Azaz a mátrixszorzás asszociatív művelet.

Bizonyítás:

Állítás: Ha A,B,C olyan mátrixok hogy létezik az A · (B + C) szorzat, akkor A · B

és A · C is létezik és A · (B + C) = A · B + A · C. Azaz teljesül a disztributivitás. Hasonlóan igaz továbbá hogy, (A + B) · C = A · C + B · C.

Bizonyítás:

1.4. Determináns

Definíció: [ A determináns axonometrikus felépítése ] Tekintsük a R n tér a

1 , a 2 ,..., a n vektorait, ezekhez hozzárendelünk egy R számot, amit determinánsnak nevezünk és det(a 1 , a 2 ,..., a n )-nel jelölünk. A hozzárendelés az alábbi

axiómák teljesülése mellett történik.

1. det(. . . z}|{ x + y . . . ) = det(. . . x . . . ) + det(. . . y . . . ), additív tulajdonság,

z }| {

z}|{

2. det(. . . z}|{ λ x . . . ) = λdet(. . . x . . . ), homogén tulajdonság (λ ∈ R(C)),

z}|{

3. ha a determináns két oszlopát felcseréljük, a determináns értéke a (−1)-szeresére változik,

4. tekintsük az R tér e 1 =     , e 2 =  

  ,..., e n =    bázisvektorait,

0 0 1 ekkor det = (e 1 , e 2 ,..., e n ) = 1.

Állítás: Ha egy determinánsban van két azonos oszlopvektor, akkor a determináns értéke 0.

Bizonyítás:

Állítás: Ha egy determinánshoz hozzáadjuk egy oszlopvektor skalárszorosát a deter- mináns értéke nem változik.

Bizonyítás:

Tétel: [ Kifejtési tétel ]

a 11 a 12 ···a 1n

det(a X

21 a 22 ···a 2n

1 , a 2 ,..., a n )=

= det  a j 1 , e j , a 2 ,..., a n  ... = ... ... ...

j =1

a n 1 a n 2 ···a nn

=a 11 det (e 1 , a 2 ,..., a n )+a 2,1 det (e 2 , a 2 ,..., a n )+···+a n, 1 det (e n , a 2 ,..., a n )=

0a 12 ···a 1n 0a 22 ···a 2n

0 0a 12 ···a 1n

0 0a 22 ···a 2n =a 1,1

+a 21 +···+a n 1 ... ... ... ... = ... ... ... ... ... ... ... ... 0a n 2 ···a nn

0a n, 2 ···a nn

a 12 ···a 1n 0 0a 22 ···a 2n

0 a 12 0···a 1n

a 22 ···a 2n 0 =a 11 −a 21 + · · · + (−1) a n 1 ... ... ... ... . ... ... ... ... ... ... ... ...

0 n −1

0 ··· 0 1 Jelölje a k. sor és j. oszlop kitakarásával kapott aldeterminánst A kj , ekkor az egyenlőség

0a n 2 ···a nn

a n 2 0···a nn

a következőképpen írható át:

11 A 11 −1 −a 2,1 A 21 + · · · + (−1) a n 1 A n 1 .

Vezessük be a következő jelölést: k A

= (−1) −1 A kj .

kj

Így:

11 A 11 +a 21 A 21 +···+a n 1 A n 1 =

a j 1 A j 1 =···=

j =1

X = ε (−1) a

k 1 a k 2 ...a kn detE,

k 1 ,k 2 ...k n

ahol ε az inverziók száma és E az egységmátrix.

Inverzió:

Következmény:

I. A determinánsban nem lényeges, hogy sorról vagy oszlopról beszélünk a determi- nánssal kapcsolatban.

detA = detA T

II. Determináns bármely sora vagy oszlopa szerint kifejthető.

a 11 a 12 ···a 1n

21 n a 22 n ···a 2n X X

i. a sor szerint

n 1 a n 2 ···a nn

j.

oszlop szerint

12 # Példa: A =

B=  638  detB = 1 ·

További példák:

Tétel: Az {a 1 , a 2 ,..., a n } (oszlop)vektorok lineárisan függetlenek akkor és csak is ak- kor, ha det(a 1 , a 2 ,..., a n ) 6= 0.

Bizonyítás:

Definíció: A mátrix rangjának nevezzük az oszlopvektorai közül a lineárisan függet- lenek maximális számát.

Példa:

rg(A) = 3.

A háromdimenziós tér 5 vektora, vagy az ötdimenziós tér 3 vektora közül legfeljebb 3 lehet lineárisan független, ezért a mátrix rangja legfeljebb 3.

Tétel: [ Mátrixok rangszámának tétele ] Egy mátrix rangja megegyezik maximális el nem tűnő aldeterminánsának rendjével.

Bizonyítás:

Definíció: Egy mátrix elemi átalakításainak nevezzük a következőket:

1. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát egy 0-tól különböző számmal megszo- rozzuk.

2. A mátrix egy tetszőleges sorát vagy oszlopát felcseréljük.

3. A mátrix egy tetszőleges sorához vagy oszlopához egy másik tetszőleges sorát vagy oszlopát adjuk.

Állítás: Egy mátrix rangja elemi átalakítások során nem változik. Bizonyítás: A determináns axiómáit figyelembe véve látható, hogy az elemi átalakí-

tások nem változtatják meg a determináns 0 voltát. Definíció: Egy kvadratikus (négyzetes) mátrixot regulárisnak mondunk, ha determi-

nánsa nem 0. Ha a kvadratikus mátrix determinánsa 0, szinguláris mátrixról beszélünk.

Tétel: [ A determinánsok szorzástétele ] Legyen A, B ∈ M n ×n mátrix, ekkor det(A · B) = detA · detB.

Bizonyítás:

Állítás: (M n ×n , +, ·) egységelemes gyűrű, mert: • (M n ×n , +) Abel-csoport, • (M n ×n , ·) asszociatív,

• teljesül a disztributivitás,

• létezik a szorzás egységeleme, ami az egységmátrix: E = 

Definíció: Az A ∈ M −1 n ×n mátrix inverzén olyan A -gyel jelölt n × n-es mátrixot értünk, melyre A A −1 =A −1

A = E teljesül.

Tétel: [ Ferde kifejtési tétel ] Legyen A ∈ M n ×n , ekkor

a j,i A k,i = 0, ha j 6= k.

i =1

Bizonyítás:

Állítás: Egy szinguláris mátrixnak nem létezik inverze. Bizonyítás: A bizonyítás indirekt módon történik. Tegyük fel, hogy A szinguláris

mátrixnak létezik inverze A −1 . Ekkor igaz, hogy A A = E. Vizsgáljuk a következő egyenlőséget:

detA −1 detA

= det(A · A ) = detE . | {z }

Látjuk hogy ezzel ellenmondásra jutunk, tehát nem igaz a feltevés, szinguláris mátrixnak nem létezik inverze.

Állítás: Reguláris mátrix inverze egyértelmű. Ha A ∈ M n ×n reguláris mátrix, akkor

Bizonyítás:

1 2 −1  1 0 3

 2 1 0 Példa: A = 

További példák:

1.5. Lineáris egyenletrendszerek

Definíció: Véges sok elsőfokú egyenletet és véges sok ismeretlent tartalmazó egyenlet- rendszert lineáris egyenletrendszernek nevezünk.

Az m egyenletből és n ismeretlenből álló lineáris egyenletrendszer (LER) általános alakja:

a 11 x 1 +a 12 x 2 +···+a 1n x 1n =b 1

a 21 x 1 +a 22 x 2 +···+a 2n x 2n =b 2 ...

a m 1 x 1 +a m 2 x 2 +···+a mn x mn =b m ,

ahol a ij együtthatók, b j konstansok, x j ismeretlenek. Ha a ij ∈ R, akkor valós együtthatós egyenletrendszerről beszélünk. Általában b j ∈ R.

A (γ n

1 ,γ 2 ,...,γ n )∈R megoldása a fenti lineáris egyenletrendszernek, ha (x 1 ,x 2 ,...,x n ) helyére (γ 1 ,γ 2 ,...,γ n )-t beírva igaz egyenlőséget kapunk.

A lineáris egyenletrendszert megoldhatónak nevezzük, ha létezik megoldása.

A lineáris egyenletrendszert határozottnak nevezzük, ha egyetlen megoldása van.

A lineáris egyenletrendszert határozatlannak mondjuk, ha végtelen sok megoldása van.

A lineáris egyenletrendszert ellentmondónak mondjuk, ha nem létezik megoldása.

Példa:

Definíció: Két lineáris egyenletrendszert ekvivalensnek mondunk, ha megoldáshal- mazuk megegyezik.

Megjegyzés: Az ekvivalencia szempontjából az egyenletek és az ismeretlenek sor- rendje nem számít.

Állítás: Az eredetivel ekvivalens lineáris egyenletrendszer kapunk, ha az egyenlet- rendszer valamely egyenletét nemnulla számmal szorozzuk vagy valamely egyenlethez lineáris egyenletrendszerünk egy másik egyenletét adjuk.

Bizonyítás:

Lineáris egyenletrendszerek ábrázolása mátrixosan:

a 11 a 12 ...a 1n

 a 21 a 22 ...a 2n  

m 1 a m 2 ...a mn

együttható mátrix

Tétel: [ LER megoldhatóságának szükséges és elégséges feltétele ] Az A x = b lineáris egyenletrendszer pontosan akkor megoldható, ha rg(A|b) = rgA.

Azaz,

11 +a 12 +···+a 1n |b 1 a 11 +a 12 +···+a 1n

 a 21 +a 22 +···+a 2n   rg 

 a 21 +a 22 +···+a 2n |b 2 

a m 1 +a m 2 +···+a mn |b m

a m 1 +a m 2 +···+a mn

Megjegyzés: Az (A|b) mátrixot kibővített mátrixnak nevezzük.

Bizonyítás:

Definíció: Az A x = b lineáris egyenletrendszert homogénnek mondjuk, ha b = 0. Ha b 6= 0, akkor inhomogén lineáris egyenletrendszerről beszélünk.

Megjegyzés: Tekintsük az n egyenletből álló n ismeretlenes homogén LER-t. Azaz,

A x = 0, ekkor, ha {a 1 , a 2 ,..., a n } lineárisan független, akkor egyetlen megoldás létezik,

a triviális megoldás. Abban az esetben, ha {a 1 , a 2 ,..., a n } lineárisan függő, akkor létezik

a triviálistól eltérő megoldás is.

Megoldási módszerek:

1. A x = b, ha A reguláris (detA 6= 0), akkor invertálható és x = A −1 b.

2. Carmer-szabály, alkalmazhatóságának ugyanaz, a feltétele mint 1. esetben. Tétel: [ Carmer-szabály ] Az A x = b vagy {a 1 x 1 +a 2 x 2 +···+a n x n = b} lineáris egyenletrendszenek

létezik egyértelmű megoldása, ha detA 6= 0. Ekkor:

,...,x n =

3. Gauss - elimináció, csak sorműveletekkel átalakítjuk a kibővített mátrixot, hogy egyszerűbb alakot nyerjünk ezzel könnyebben megoldható legyen az egyenletrend- szer.

Példák:

1.6. Lineáris leképezések (tenzorok)

Definíció: Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon test (R vagy C) feletti vektorterek. Legyen ϕ :V 1 →V 2 leképezés, melyet lineáris leképezésnek nevezünk, ha

ϕ (a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) ∀a, b ∈ V 1 ϕ (αa) = α ϕ(a) ∀a ∈ V 1 ,α ∈ R vagy C

teljesül.

Megjegyzés:

I. ϕ(0) = 0 minden lineáris leképezés esetén.

II. A linearitás miatt igaz, hogy ϕ(−a) = −ϕ(a).

Definíció: Hom(V 1 ,V 2 ) := {ϕ : V 1 →V 2 | ϕ lineáris }. Definíció: Ha V 1 =V 2 = V, Hom(V, V ) =: End(V ). Állítás: (Hom(V 1 ,V 2 ), +, λ) vektortér R vagy C felett.

Definíció: A ϕ : V 1 →V 2 leképezés izomorfizmus ha lineáris és bijektív. Állítás: Véges dimenziós vektorterek esetén az egymással izomorf vektorterek dimen-

ziója azonos. Állítás: Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon test feletti vektorterek és dimV 1 = dimV 2 , ek-

kor V 1 ∼ =V 2 .

Bizonyítás:

Tétel: [ Lineáris leképezések alaptétele ] Legyenek V 1 és V 2 ugyanazon test feletti vektorterek, és legyen {b 1 , b 2 ,..., b n } bázis

V 1 -ben, és {a 1 , a 2 ,..., a n } tetszőleges vektorrendszer V 2 -ben, ekkor egyetlen lineáris leké- pezés létezik, melyre ϕ(b i )=a i ,i ∈ {1, 2, . . . n}.

Bizonyítás: ( unicitás ) Indirekt módon. Legyenek ϕ 6= ψ lineáris leképezések, melyekre ϕ(b i )=a i és ψ(b i )=a i P , i ∈ {1, 2, . . . n}. Legyen x ∈ V n

1 tetszőleges, x = i =1 ξ i b i . Hattatom ϕ-t x-re:

ϕ (x) = ϕ

ξ i ϕ (b i )=ξ 1 ϕ (b 1 )+···+ξ n ϕ (b n )=

i =1

i =1

=ξ 1 a 1 +···+ξ n a n =ξ 1 ψ (b 1 )+···+ξ n ψ (b n ) = ψ(ξ 1 b 1 +···+ξ n b n ) = ψ(x).

Ezzel ϕ = ψ, ami ellentmond a feltételnek, tehát a feltevés nem igaz. Bizonyítás: ( egzisztencia )

Konstruktív bizonyítás. Legyen ϕ : V 1 →V 2 , és x 7−→ ϕ(x). Ha (ξ 1 ,ξ 2 ,...ξ n ) az x koordinátái, akkor, ϕ(x) = ξ 1 a 1 +···+ξ n a n . Hasonló módon, legyen y (η 1 ,η 2 ,...η n ) koordinátákkal.

ϕ (x+y) = (ξ 1 +η 1 )a 1 +· · ·+(ξ n +η n )a n =ξ 1 a 1 +· · ·+ξ n a n +η 1 a 1 +· · ·+η n a n = ϕ(x)+ϕ(y)

ϕ (ϑ x) = ϑ ξ 1 a 1 +···+ϑξ n a n = ϑ(ξ 1 a 1 +···+ξ n a n ) = ϑ ϕ(x)

Lineáris léképkezesek mátrixreprezentációja: Legyen V 1 és V 2 ugyanazon test feletti vektorterek, és dimV 1 = n, valamint dimV 2 = k,

{a 1 , a 2 ,..., a n } bázis V 1 -ben, és {b 1 , b 2 ,..., b n } bázis V 2 -ben. Legyen ϕ : V 1 →V 2 lineáris leképezés, ekkor

ϕ (a i )=α 1i b 1 +α 2i b 2 +···+α ki b k =

Az A mátrixot ϕ leképezést reprezentáló mátrixnak hívjuk, segítségével tetszőleges x ∈ V 1 képét meghatározhatjuk. Legyenek (ξ 1 ,ξ 2 ,...,ξ n ) az x koordinátái, ekkor a képét az alábbi módon számíthatjuk:

Állítás: Φ : (Hom(V 1 ,V 2 )) → M k ×n izomorfizmus, ahol dimV 1 = k és dimV k = n, konstrukciót lást fent.

Következmény: dim(Hom(V 1 ,V 2 )) = n · k = dimV 1 · dimV 2 .

Példa:

Írjuk fel az α szögű forgatás mátrixát!

Állítás: Legyenek V 1 ,V 2 ,V 3 vektorterek, dimV 1 = k, dimV 2 = m, dimV 3 = n. Le- gyenek adva, ϕ : V 1 →V 2 és ψ : V 2 →V 3 lineáris leképezések, ekkor a V 1 -ből V 3 -ra való leképezés (ψ ◦ ϕ : V 1 →V 3 ) olyan, hogy ha ϕ ↔ A ∈ M m ×k és ψ ↔ B ∈ M n ×m , akkor ψ ◦ϕ↔C∈M n ×k , ahol C = B · A.

Speciálisan, ha V 1 =V 2 =V 3 = V , dimV = n. Ekkor C = A · B ∈ M n ×n és

A, B ∈ M n ×n . Következmény: Invertálható lineáris leképezés mátrixa invertálható.

Definíció: Legyen ϕ : V 1 →V 2 lineáris leképezés, ker ϕ := {v | v ∈ V 1∧ ϕ (v) = 0} a leképezés magtere (nulltere).

Állítás: ker ϕ ⊆ V 1 , altér V 1 -ben.

Bizonyítás:

Definíció: A magtér dimenzióját defektusnak nevezzük. ⇒ dim (ker ϕ) = def ϕ.

Megjegyzés:

I. Nem létezik olyan vektortér, melynek magtere az üreshalmaz (a nullvektor mindig benne van, mert a nullvektor képe mindig nullvektor).

II. Invertálható lineáris leképezés magtere a nullvektor. Állítás: A ϕ leképezés injektív, akkor és csak is akkor, ha ker ϕ = {0} ⇔ def ϕ = 0.

Bizonyítás:

Definíció: Egy lineáris leképezés rangjának nevezzük a képtér dimenzióját. rg ϕ = dim ϕ(V 1 ).

Tétel: [ Rang-nullitás tétele ] Legyen V 1 véges dimenziós vektortér, ϕ : V 1 →V 2 lineáris leképezés, ekkor

rg ϕ + def ϕ = dim V 1 .

Bizonyítás:

Állítás: Tetszőleges lineáris leképezés rangja megegyezik bármely bázisra vonatkozó mátrixreprezentációjának rangjával. ϕ : V 1 →V 2 , dimV 1 = m, dimV 2 = n → ϕ ↔ A, A∈M n ×m , rg ϕ = rg A.

Bizonyítás:

Tétel: Legyen ϕ : V → V lineáris leképezés (lineáris operátor), {b 1 , b 2 ,..., b n } és {ˆb 1 ,ˆ b 2 ,...,ˆ b n } bázisok V -ben. A ϕ{b 1 , b 2 ,..., b n } bázisra vonatkozó mátrixa A,

továbbá ϕ{ˆb 1 ,ˆ b 2 ,...,ˆ b n } bázisra vonatkozó mátrixa ˆ

A. Jelölje S a {b 1 , b 2 ,..., b n }

bázisról a {ˆb 1 ,ˆ b 2 ,...,ˆ b n } bázisra való áttérés mátrixát, ekkor

A=S ˆ −1

A S.

Bizonyítás:

Megjegyzés:

I. A fenti tételben szereplő A és ˆ A mátrixok hasonlók.

II. Hasonló mátrixok determinánsa megegyezik.

III. Hasonló mátrixok rangja egyenlő. Definíció: Legyen V a T test feletti vektortér, v ∈ T, v 6= 0. v-t a ϕ : V → V lineá-

ris leképezés sajátvektorának mondjuk, ha önmaga skalárszorosába megy át a leképezés során, azaz ϕ(v) = λ v, λ ∈ T. λ-t a v sajátvektorhoz tartozó sajátértéknek mondjuk.

Megjegyzés: Ha v sajátvektora ϕ-nek, akkor µ · v is sajátvektor (µ ∈ T , µ 6= 0). box

Tétel: Az A ∈ M n ×n mátrix sajátértékei a

det(A − λE) = 0

egyenlet gyökeiként adódnak. Bizonyítás: Legyen v sajátvektor, ekkor igaz az alábbi egyenlőség: Av = λv.

Rendezve:

Av − λv = 0, Av − λE v = 0, (A − λE) v = 0.

Így egy homogén lineáris egyenletrendszert kapunk, aminek létezik triviálistól eltérő meg- oldása (v 6= 0), tehát det(A − λE) = 0.

A det(A − λE) = 0 egyenletet karakterisztikus egyenletnek nevezzük.

A det(A − λE) polinomot karakterisztikus polinomnak mondjuk. Állítás: Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok lineárisan függetlenek.

Bizonyítás:

Állítás: Szimmetrikus mátrix sajátértékei valósak.

Bizonyítás:

Állítás: Az n-edrendű szimmetrikus mátrixnak van n darab, páronként egymásra merőleges sajátvektora.

Bizonyítás:

Példa: Határozzuk meg az A mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!

A karakterisztikus egyenlet: det(A − λE) = 0.

A másodfokú egyenlet megoldásai: λ 1 = 1, λ 2 = 3. λ 1 = 1-hez tartozó sajátvektor meghatározása: A − λ 1 E = 0.

Így egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk, amiből: s 1 =s 2 .

Tehát a λ 1 = 1 -hez tartozó sajátvektor: s =

λ 2 = 3-hez tartozó sajátvektor meghatározása: A − λ 2 E = 0.

Így ismét egy kétismeretlenes lineáris egyenletrendszert kapunk, amiből: t 1 = −t 2 .

Tehát a λ 2 = 3 -hoz tartozó sajátvektor: t =

t 6= 0.

−t

További példák:

1.7. Valós euklideszi terek

Definíció: Legyen adva egy R feletti vektortér és értelmezzük a < , >: V × V → R függvényt, melyet skaláris szorzatnak mondunk, ha teljesíti az alábbiakat:

1. szimmetrikus: < x, y >=< y, x > ∀x, y ∈ V esetén,

2. homogén: < α x, y >= α < x, y > ∀x, y ∈ V, α ∈ R esetén,

3. additív: < x 1 +x 2 , y >=< x 1 , y>+<x 2 , y> ∀x 1 , x 2 , y ∈ V esetén,

4. nemnegatív: < x, x > ≧ 0, egyenlőség akkor és csak is akkor, ha x = 0.

 2 Definíció: Legyen {e 

1 , e 2 ,..., e n } kanonikus bázis, melyben x =     és y =     .  ...   ...  ξ n

η n Ekkor:

< x, y >:=

i =1

az így előállított (V, < , >) valós euklideszi tér. Jelölés: E n : n dimenziós euklideszi tér. √

A valós euklideszi térben értelmezhetjük a vektorok hosszát: ||x|| = < x, x > . Valamint értelmezhetjük x és y vektorok szögét: cos ∠(x, y) := <x,y> .

||x||·||y||

Megjegyzés:

I. −1 6 <x,y> 6 1

||x||·||y||

2 6 2 II. < x, y > 2 ||x|| · ||y|| , melyet Cauchy − Bunyakovszkij − Schwartz - egyenlőtlenséget hívunk, és az alábbi

alakban is felírhatunk:

< 2 x, y > 6< x, x > < y, y > .

Következmény: Valós euklideszi térben igaz a háromszög - egyenlőtlenség.

||x + y|| 6 ||x|| · ||y||

Definíció: A (V, < , >) n dimenziós euklideszi tér {e 1 , e 2 ,..., e n } bázisát ortonor-

máltnak mondjuk, ha < e i , e j > =δ ij , ahol

 1, ha i = j

δ ij :=  0, ha i 6= j

az úgynevezett Kronecher - delta.

Az n dimenziós euklideszi tér A : V → V lineáris transzformációját ortogonálisnak mondjuk, ha < A x, A y >=< x, y >, ∀ x, y ∈ V .

Megjegyzés:

I. Ortogonális transzformáció normatartó.

II. Ortogonális transzformáció szögtartó.

III. Ortogonális transzformáció ortonormált bázist ortonormált bázisba visz át. Belátható, hogy ha {e 1 , e 2 ,..., e n } → {f 1 , f 2 ,..., f n } transzformáció mátrixa S,

és {f 1 , f 2 ,..., f n } → {e 1 , e 2 ,..., e n } transzformáció mátrixa T, akkor S T = E. Ebből T = S T −1 =S . Ha S −1

=S T , akkor ortogonális mátrixról beszélünk.

1.8. Bázistranszformáció, koordinátatranszformáció

Definíció: Legyenek {b 1 , b 2 ,..., b n } és {ˆb 1 ,ˆ b 2 ,...,ˆ b n } bázisok V -ben. ekkor a {b 1 , b 2 ,..., b n } → {ˆb 1 ,ˆ b 2 ,...,ˆ b n } bázistranszformáció S mátrixa a következőképpen írható fel:

ˆb X

s i 1 b i =s 11 b 1 +s 21 b 2 +···+s n 1 b n

s ij b i =s 1j b 1 +s 2j b 2 +···+s nj b n

s in b i =s 1n b 1 +s 2n b 2 +···+s nn b n

Állítás: A bázistranszformáció mátrixa mindig invertálható.

Bizonyítás:

Jegyzetek

2. Függvénysorozatok, függvénysorok

2.1. Alapfogalmak

Definíció: Az f n : I ⊂ R → R sorozatot függvénysorozatnak nevezzük. Példa: f n : R → [−1, 1], f n (x) = sin(nx).

g n n : [0, ∞] → R, g n (x) = x .

További példák:

Definíció: Ha az x 0 ∈ I pontban az (f n (x 0 )) számsorozat konvergens, akkor azt mondjuk, hogy az (f n ) függvénysorozat konvergens x 0 -ban. A konvergenciahalmaz:

H := {x | x ∈ I ∧ (f n ) konvergens x − ben} Példa: f n (x) = sin(nx); H f n = {k · π, k ∈ Z}.

g n n (x) = x ,

H g n = [0, 1].

További példák:

Definíció: f(x) := lim n →∞ f n (x), x ∈ H. f-t az (f n ) függvénysorozat határfüggvé- nyének nevezzük. Azt mondjuk, hogy (f n ) függvénysorozat pontonként konvergál az f határfüggvényhez H-n, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε, x) : |f n (x) − f(x)| < ε, ha

n>N (ε, x). Definíció: Azt mondjuk, hogy (f n ) egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon, ha

minden ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε) : |f n (x) − f(x)| < ε, ha n > N(ε) minden x ∈ E esetén.

Következmény: Az egyenletes konvergenciából következik a pontonkénti (feltételes) konvergencia. Az állítás azonban megfordítva nem igaz.

Tétel: [ Cauchy - kritérium ]

a) Az (f n ) konvergens az x 0 ∈ H pontban akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0

esetén létezik N(ε) : |f n (x 0 )−f m (x 0 )| < ε, ha n, m > N(ε).

b) Az (f n ) konvergens az H ⊂ I halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε, x) : |f n (x) − f m (x)| < ε, ha n, m > N(ε, x), ∀x ∈ H.

c) Az (f n ) egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε) : |f n (x) − f m (x)| < ε, ha n, m > N(ε), ∀x ∈ E.

Bizonyítás: Az a) és b) esetek bizonyítása a numerikus sorozatoknál tanultak szerint történik (Matematika A1 anyaga).

c) eset bizonyítása: ⇒ : (f n ) egyenletesen konvergens E-n, akkor minden ε > 0 esetén létezik N(ε) hogy:

|f n (x) − f(x)| < ,

ha n > N

, ∀x ∈ E,

|f m (x) − f(x)| < ,

ha m > N

, ∀x ∈ E.

|f n (x) − f m (x)| = |f n (x) − f(x) + f(x) − f m (x)| ≦ |f n (x) − f(x)| + |f(x) − f m (x)| = felhasználva hogy |a + b| ≦ |a| + |b|,

= |f ε

n (x) − f(x)| + |f m (x) − f(x)| < + = ε,

n (x) − f m (x)| < 2 , ha n, m > N 2 , ∀x ∈ E.

f n (x) Cauchy - sorozat.

f m (x) is Cauchy - sorozat és konvergens, azaz f m (x) → f(x) ha m → ∞ ∀x ∈ E. Ekkor:

|f n (x) − f(x)| < <ε

ha n > N ε

2 , ∀x ∈ E.

Definíció: Legyen f n : I ⊂ R → R függvénysorozat.

s 1 (x) := f 1 (x) s 2 (x) := f 1 (x) + f 2 (x)

j (x) :=

f i (x)

i ... =1

Az így előálló (s n ) függvénysorozatot az (f n ) függvénysorozatból képzett függvénysornak hívjuk és P f

n -el jelöljük.

A P f n függvénysor konvergens az x 0 pontban, ha az (s n ) függvénysorozat konvergens az x 0 pontban.

A P f n függvénysor konvergens a H ⊂ I halmazon, ha az (s n ) függvénysorozat kon- vergens H-n.

A P f n függvénysor egyenletesen konvergens a E ⊂ H halmazon, ha az (s n ) függvény- sorozat egyenletesen konvergens a E ⊂ H halmazon.

Definíció: s(x) := lim P n →∞ s n (x), x ∈ H, s-t a (f n ) függvény összegfüggvényének nevezzük.

Tétel: [ Cauchy-féle konvergencia kritérium egyenletes konvergenciára függvénysorok esetén ]

A P f n függvénysor egyenletesen konvergens az E ⊂ H halmazon akkor, és csak is akkor, ha minden ε > 0 esetén létezik N(ε) : |s n (x 0 )−s m (x 0 )| < ε, ha n, m > N(ε), ∀x ∈ E.

Bizonyítás:

Tétel: [ Weierstrass - tétel függvénysorok egyenletes konvergenciájára ]

Legyen f P n I ⊂ R → R és f n a belőle képzett függvénysor, továbbá a n olyan kon- vergens numerikus sor, melyre |f n (x)| ≦ a n ∀ x ∈ I vagy n > n 0 P ∈ N esetén teljesül,

akkor a f n függvénysor egyenletesen konvergens.

Bizonyítás:

Definíció: A P f n függvénysort abszolút konvergensnek mondjuk, ha |f n | függ- vénysor konvergens.

Megjegyzés: A Weierstrass - tételbeli konvergencia abszolút konvergencia is.

a n (x − a) ,a∈R sort hatványsornak nevezzük, ahol a n a hatványsor n-edik együtthatója, a pedig a sorfej- tés centruma.

X Definíció: Legyen f n

n (x) := a n (x − a) , a belőle képzett f n =

Ha a = 0, akkor a hatványsor az alábbi alakra egyszerűsödik: P a n x n .

lim sup n √

∈R b a n (x − a) hatványsor konvergenciasugara.

1 Definíció: r := P a n

|a n |

Tétel: Legyen P f n függvénysor egyenletesen konvergens egy az x 0 pontot tartalmazó környezeten, továbbá legyenek a sor tagjai x 0 -ban folytonosak, ekkor az összegfüggvény is folytonos az x 0 - pontban.

Bizonyítás: Tudjuk, hogy P f n folytonos és egyenletesen konvergens. Azt akarjuk belátni, hogy |f(x) − f(x 0 )| tetszőlegesen kicsivé tehető, mert ekkor az

összegfüggvény folytonos. |f(x) − f(x 0 )| = |f(x) − f n (x) + f n (x) − f n (x 0 )+f n (x 0 ) − f(x 0 )| 6

ε |f(x) − f n (x)| + |f n (x) − f n (x 0 )| + |f n (x 0 ) − f(x 0 )| < 3· = ε,

egyenletes konv. miatt, mert f n folytonos, egyenletes konv. miatt.

ha n > N ε

3 := max.{N 1 3 ,N 2 3 ,N 3 3 }.

Állítás:

1. Folytonos függvények egyenletesen konvergens sorozatának határfüggvénye is foly- tonos.

2. Folytonos függvények egyenletesen konvergens függvénysorának összegfüggvénye is folytonos, ha a függvénysor tagjai folytonosak.

Bizonyítás:

Tétel: [ Tagonkénti integrálhatóságról ] Legyenek P f

n függvénysor tagjai integrálhatóak az x ∈ [a, b] zárt intervallumon, tegyük fel, hogy a sor egyenletesen konvergens [a, b]-n és összegfüggvénye folytonos, ekkor

Azaz ha a feltételek teljesülnek, a függvénysor tagjait tagonként integrálhatom.

Bizonyítás:

Megjegyzés: Nem korlátos intervallum esetén nem igaz az állítás. Tétel: [ Tagonkénti differenciálhatóságról ] Legyenek P f

n függvénysor tagjai differenciálhatók J-n és f ′ n derivált függvények foly-

tonosak J-n, valamint P f n egyenletesen konvergens J-n, továbbá f n is egyenletesen konvergens J-n, ekkor, ha f jelöli a P f

n összegfüggvényét:

n (x).

(x) = X f ′

n =1

Bizonyítás:

X Tétel: Ha a n a n x hatványsor konvergens az x 0 pontban, akkor az |x| < |x 0 |

helyeken abszolút és egyenletesen konvergens.

−x 0 0 x 0

(−x 0 ,x 0 )-n a hatványsor abszolút és egyenletesen konvergens

Bizonyítás: Ha a n a n x hatványsor konvergens az x 0 pontban, akkor a n x 0 −→ 0,

ha n −→ ∞ (különben elszállna). Ekkor tehát korlátos is, azaz létezik K ∈ R, hogy |a n n x 0 | ≦ K.

1, ha|x|<|x 0 |

P Ekkor |a n n x |≦K·q , tehát a n x ≦ K ·q =K q . Láthatjuk hogy így egy kon- vergens geometriai sorral becsülhetjük a hatványsort. Alkalmazva a Weierstrass - tételt,

n x abszolút és egyenletesen is konvergens, ha |x| < |x 0 |.

Tétel: [ Cauchy - Hadamard - tétel ] Legyen r a P a

n x n hatványsor konvergenciasugara. Ha, n x n hatványsor konvergenciasugara. Ha,

b) r = ∞, akkor a hatványsor minden x ∈ R esetén konvergens,

c) 0 < r < ∞, akkor a hatványsor abszolút konvergens, ha |x| < r, és divergens, ha |x| > r.

absz. konvergens

div.

Bizonyítás: Az a) és b) bizonyítása az előző tételek alapján könnyen adódik.

c) Legyen x 0 <r , tekintsük:

|x 0 |

lim sup |a x n n 0 | = |x 0 | lim sup |a n |=

Azaz létezik q < 1, hogy n a n x hatványsor a gyökteszt miatt konvergens. Mivel x 0

a n x hatványsor konvergens. Ugyancsak a gyökteszt miatt, ha |x| > r, akkor P a n x n hatványsor divergens.

tetszőleges volt (|x n

0 | < r), így minden |x| < r esetén igaz, hogy a

Megjegyzés:

q I. Ha a lim n

|a n | határértéke létezik, akkor az megegyezik a lim sup |a n | értékkel. Gyakran az alábbi módon számolunk:

Tétel: [ Abel 2. tétele ]

Tegyük fel hogy a n a n x hatványsor konvergenciasugara r és ez a hatványsor az x P = r pontban konvergens. Ekkor a a n x n a [ 0, r ] intervallumon egyenletesen konver-

gens, így az összegfüggvény a [ 0, r ] intervallumon folytonos. Ha a hatványsor az x = −r pontban konvergens, akkor a hatványsor a [ −r, 0 ] intervallumon egyenletesen konvergens, és így az összegfüggvény is folytonos [ −r, 0 ] intervallumon.

Bizonyítás:

Következmény:

1. A hatványsor összegfüggvénye a konvergencia intervallum belsejében folytonos.

2. A hatványsor a konvergenciaintervallum tetszőleges részintervallumán tagonként X integrálható, azaz ha [a, b] ⊂ (−r, r) és s(x) := lim n

a n x összegfüggvény, akkor

3. Ha s összegfüggvénye a n a

n x hatványsornak, akkor

2.2. Taylor-sorok

Tegyük fel hogy az f függvény P a n x n hatványsor alakban előállítható.

f n (x) = a

0 +a 1 x +a 2 x 2 +a 3 x 3 +···+a n x

f ′ (x) = a 1 +2a 2 x +3a 3 x 2 +···+a nx n −1 n

f n ′′ (x) = 2 a

2 +2·3a 3 x +···+a n n

(n − 1) x −2

f n ′′′ n −3 (x) = 2 · 3a

3 +···+a n (n − 1) (n − 2) x

Vizsgáljuk azt az esetet, amikor x = 0 ∈ (r, −r):

+···+ n ! x . Zárt alakra hozva:

f ′ (0)

f ′′ (0)

Ebből felírva a függvényt: f(x) = f(0) + (0) x + x 2 f + ′′′ x 3 f (n) (0) n

ahol f (0) (x) = f(x). Definíció: Legyen f : I ⊂ R → R függvény, mely az x 0 ∈ I pontban legalább p-szer

diffható, ekkor az f függvény x 0 körüli p-edik Taylor - polinomja:

X f (k) (x 0 )

f,p =

(x − x 0 ) .

k =0

Tétel: [ Taylor - formula Lagrange - féle maradéktaggal ] Ha az f függvény legalább (r + 1)-szer diffható az (x, x 0 ) intervallumon és f (k)

k ∈ {1, 2, , . . . , r} folytonos az x és x 0 pontokban, akkor létezik ξ ∈ (x, x 0 ) hogy:

(x) = (r+1) (x − x

Lagrange-féle maradéktag

r Bizonyítás: F (t) := f(t)+ +1 1! (x−t)+ 2! (x−t) +· · ·+ r ! (x−t) + (r+1)! (x−t)

F (x) := f(x) és F (x 0 ) := f(x 0 ) mert c r +1 -t úgy választom meg hogy ez teljesüljön.

+···+ r (x − t) − r (x − t) − (r + 1)(x − t) .

r −1

(r + 1)!

Ha felbontjuk a zárójeleket láthatjuk hogy az egyes tagok páronként kiejtik egymást, így az egyenlőség az alábbi alakra egyszerűsödik:

(x − t)

(t) =

f (r+1) −c r +1 .

A Rolle - tételt alkalmazva F -re kapjuk, hogy létezik ξ ∈ (x, x 0 ): (1) F ′ (ξ) = 0,

(x − ξ) f (r+1)

Ahhoz hogy (1) és (2) egyszerre teljesüljön: f (r+1) (ξ) = c r +1 .

3 Példa: Írjuk fel a p(x) = x 2 +3x + 2 függvény x

0 = 1 körüli harmadfokú Taylor - polinomját.

3 T 2 p, 3 = (x−1) +

(x−1)+p(1) = (x−1) +6 (x−1) +9 (x−1)+9. 3!

(x−1) +

További példák:

Definíció: Legyen f az x = x 0 helyen akárhányszor differenciálható. Ekkor a

X ∞ f (k) (x 0 )

(x − x k

k ! hatványsort az f függvény x = x 0 körüli Taylor - sorának nevezzük.

k =0

Ha x 0 = 0, akkor Maclaurin - sorról beszélünk. Tétel: Az előbb definiált Taylor - sor az x = x 0 helyen akkor és csak is akkor állítja

elő függvényt, ha a maradéktag nullához tart n → ∞ esetén.

Bizonyítás:

Pédák Taylor - sorfejtésre:

Néhány fontosabb függvény (x 0 = 0) körüli Taylor-sora és azok konvergencia

intervalluma:

függvény

Taylor - sor

konvergencia intervallum

x 2k+1

k =0 (2k)!

k +1

f (x) = ln(1 + x)

X ∞ x 2k+1

f (x) = arth x −1 < x < 1

(binomiális sor)

2.3. Fourier-sorok

Definíció: Egy t n (x) = a 0 +a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + · · · + a n cos nx + b n sin nx alakú függvényt trigonometrikus polinomnak nevezzük.

Definíció: Egy

a 0 +a 1 cos x + b 1 sin x + a 2 cos 2x + b 2 sin 2x + · · · + a n cos nx + b n sin nx . . . alakú végtelen összeget trigonometrikus sornak hívunk.

Megjegyzés:

I. Az összegfüggvény, ha létezik 2π szerint periodikus.

II. Ha folytonos a függvény és egyenletesen konvergens, akkor az összegfüggvény is konvergens.

Definíció: Legyen f : R → R egy 2l szerint periodikus függvény, amely a [0, 2l] intervallumon Riemann - integrálható (f ∈ R [0, 2l]). Ekkor f Fourier - során az alábbi trigonometrikus sort értjük:

f (x)dx, a k =

Megjegyzés:

I. Ha az f függvény előáll a fenti típusú összegként, akkor az együtthatók csak ilyenek lehetnek.

II. Ha f függvény 2l szerint periodikus, akkor mindegy hogy [0, 2l] intervallumon in- tegrálom vagy eltolom az integrálás intervallumát.

Tétel: Ha a 2π szerint periodikus f függvénynek létezik az x 0 pontban a jobb- és baloldali határértéke, továbbá az f függvény Fourier - sora ebben a pontban konvergens, akkor a Fourier - sor összege (ezen pontban) a jobb- és baloldali határértékek számtani közepe.

Bizonyítás:

Következmény: Ha az f függvény folytonos az x 0 pontban, akkor a Fourier - sor

összege a határértékkel egyezik meg, azaz f(x 0 ).

Tétel: Ha a 2π szerint periodikus, integrálható f függvény szakaszonként monoton és az x 0 pontban differenciálható, akkor az f függvény Fourier - sora x 0 pontban konvergens.

Bizonyítás:

Állítás: Ha egy függvény páros, akkor Fourier - sorában csak a 0 és koszinuszos tagok szerepelnek, azaz b k = 0 minden k-ra.

Bizonyítás:

Állítás: Ha egy függvény páratlan, akkor Fourier - sorában csak szinuszos tagok sze- repelnek, azaz a 0 = 0 és a k = 0 minden k-ra.

Bizonyítás:

Példa: Állítsuk elő az f(x) = x 2 , ha x ∈ [−π, π] és f(x) = f(k + k · 2π) k ∈ Z függvény Fourier - sorát.

Mivel a függvény páros, b k = 0. Most [−π, π] intervallumon érdemes integrálni.

a 0 meghatározása:

a k meghatározása:

k (−1)  (−1) k

 2π cos(kπ) 2π

z }| {

cos(k(−π)) k

}|

4 · (−1)

π 2 X ∞ 4·(−1) k

A Fourier - sor tehát: f (x) = 3 +

k 2 cos kx.

k=1

Jegyzetek

3. Többváltozós analízis

3.1. Alapfogalmak

Definíció: Legyen p ∈ R n , ekkor a p pont ε sugarú (nyílt) környezetén (gömbkörnye- zetén) a B n

ε (p) := {x ∈ R | |x − p| < ε} halmazt értjük. Jelölés: A továbbiakban E n jelölje az n dimenziós euklideszi teret.

)E n -beli pontsorozat konvergens, ha létezik p ∈ E , hogy minden ε> 0 esetén létezik N(ε) küszöbszám, hogy p n ∈B ε (p), ha n > N(ε), ekkor a p pontot

Definíció: A (p n

határpontnak vagy határértéknek nevezzük. Tétel: [ Bolzano - Wierstrass - féle kiválasztási tétel ]

Végtelen, korlátos R n -beli ponthalmazból kiválasztható konvergens pontsorozat részsoro- zata. Ezen sorozat határértéke (határpontja) a ponthalmaz torlódási pontja.

Bizonyítás: (Hasonlóan, mint az egyváltozós esetben.)

Jelölés: f : R k →R felírható az alábbi formában:

1 (x 1 ,x 2 ,...x n )

 f 2 (x 1 ,x 2 ,...x n )  

(x 1 ,x 2 ,...x n ) 7→ f(x 1 ,x 2 ,...x n )= 

f k (x 1 ,x 2 ,...x n ) , ahol f n

i :R → R, i ∈ {1, 2, . . . k} függvényeket komponens függvényeknek nevezzük. Szokásos elnevezések még:

•f:R k →R vektor − vektor függvény •f:R→R n leképezést skalár − vektor függvény •f:R n → R vektor − skalár függvény

Definíció: Tekintsük az f : R k →R leképezést. Azt mondjuk, hogy az f határértéke

az a ∈ R k pontban az A ∈ R , ha A tetszőleges ε sugarú gömbkörnyezetéhez létezik a- nak olyan σ(ε) sugarú gömbkörnyezete, hogy

f B σ (ε) (a) ⊂B ε (A).

Definíció: Azt mondjuk, hogy az f : R k →R leképezés folytonos az értelmezési tartomány egy belső pontjában (a ∈ D n

f ⊂R ) , ha az a pontbeli határérték megegyezik

f (a)-val, vagyis

x lim f →a (x) = f(a).

Emlékeztető: [Átviteli elv] Az f : R → R függvény határértéke az a ∈ D f pontban A, akkor és csak akkor ha minden x n → a (n → ∞) sorozat esetén f(x n ) → A.

Definíció: [Átviteli elv általánosítása]

Az f : R k →R leképezés határértéke az a ∈ R pontban A ∈ R , akkor és csak akkor

nk

ha minden x n → a (n → ∞) pontsorozat esetén f(x n ) → A.

Definíció: Legyen U ∈ R k nyílt halmaz, és f : U → R leképezés. Azt mondjuk,

hogy f differenciálható az a ∈ D k

f pontban, ha létezik A : R →R lineáris leképezés

kw(h)k

és w : R →R leképezés, hogy w(0) = 0 és lim = 0, hogy

f (x) − f(a) = A (x − a) + w(x − a)

teljesül.

Megjegyzés:

I. Ha létezik az f : U → R m ,U ∈R nyílt halmazon vett leképezés a pontbeli deri- váltja, akkor ez az A lineáris leképezés egyértelmű.

Bizonyítás: (indirekt módon)

Tegyük fel, hogy A k

1 :R →R és A 2 :R →R egyaránt az f : U → R

leképezés a ∈ D f pontbeli deriváltjai és A 1 6= A 2 . Ekkor

f (x) − f(a) − A 2 (x − a) lim

f (x) − f(a) − A 1 (x − a)

kx − ak Vonjuk ki egymásból a két kifejezést, és vezessük be a h = x − a jelölést:

kx−ak→0

kx − ak

kx−ak→0

Mivel A 1 ,A 2 lineáris leképezések, ezért A 2 −A 1 is lineáris, ebből:

A 2 (h) − A 1 (h) = (A 2 −A 1 ) (h).

{z

=:B

Ezután vizsgáljuk az alábbi esetet: h = λ u. Ekkor ha h → 0, akkor λ → 0 is igaz lesz. Tehát

B (λu)

λ →0 kλuk

h →0 |λ| kuk

Mivel bármely u ∈ R esetén a = ±1, következik, hogy B(u) = 0 . Azaz B

lineáris leképezés, méghozzá a nulla leképezés, ezért A 2 =A 1 , ami ellentmond a feltevésünknek.

f pontban, akkor ott folytonos is.

II. Ha az f : U ⊂ R k →R leképezés differenciálható az a ∈ D II. Ha az f : U ⊂ R k →R leképezés differenciálható az a ∈ D

. Ha khk → khk

w (h)

0, akkor → 0, azaz kf(a + h) − f(a)k tetszőlegesen kicsivé tehető, hiszen khk

A (0) = 0 minden lineáris leképezés esetén igaz. Az állatás ebből következik.

Definíció: Az f : R k →R leképezés differenciálható az adott pontban akkor és csak akkor, ha ebben a pontban a komponensfüggvényei is differenciálhatók.

f ∩D g pontban, ekkor f + g is differenciálható a pontban és f + g-nek az a-beli deriváltja:

Állítás: Legyen f : R k →R és g : R →R differenciálhatók az a ∈ D

(f + g) ′ (a) = f (a) + g (a).

′ (a) = λ(f Továbbá (λ f), λ ∈ R is differenciálható a-ban és (λ f) ′ (a)).

Bizonyítás:

Állítás: [Láncszabály]

Legyenek f : U ⊂ R l →R :H⊂R →R leképezések, és f(U) ⊂ H, továbbá f legyen differenciálható az a ∈ D f pontban és g differenciálható az f(a) ∈ D g pontban.

k ,g

Ekkor az g ◦ f is differenciálható az a pontban és g ◦ f az a-beli deriváltja:

(g ◦ f) ′ (a) = g (f(a)) f(a).

Bizonyítás:

Megjegyzés:

•g◦f:R l →R , azaz egy l × m-es mátrix reprezentálja a deriváltját.

•g:R l →R , azaz egy l × k-es mátrix reprezentálja a deriváltját.

•f:R k →R , azaz egy k × m-es mátrix reprezentálja a deriváltját.

3.2. Iránymenti derivált, parciális derivált

Definíció: Legyen H ⊂ R m nyílt halmaz, f : H → R és legyen adva v ∈ R , kvk = 1

f (a − λv) − f(a)

egységvektor. Ha létezik a lim határérték és ez egy valós szám, akkor

ezt az f függvény a pontbeli v irányú iránymenti deriváltjának nevezzük. Jele: ∂ v f (a).

Megjegyzés: ∂ e i f =∂ i f a parciális derivált.

2 Példa: f(x, y) = x 3 − 5x + 3xy − 12y + 5x − 6y + 7

∂f (x,y) ∂x

= 3x 2 − 10xy + 3y 2 +5

∂f (x,y)

= −5x + 6xy − 36y −6

∂y

További példák:

Definíció: Legyen f : R n → R. Az f többváltozós függvény (x

01 ,x 02 ,...,x 0n ) pontbeli gradiensén az alábbi vektort értjük:

 ∂f   ∂x 1 

  ∂f  

grad f(x ∂f

01 ,x 02 ,...,x 0n )=    

|x=x 0

 ∂f 

∂x n |x=x 0

A grad f jelölélésére szokásos még a ▽f. Definíció: [Jacobi - mátrix]

   f 1 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) 

 f 2 (x 1 ,x 2 ,...,x n )   Legyen f : R →R leképezés, azaz (x 1 ,x 2 ,...,x n ) 7→ f(x 1 ,x 2 ,...,x n )= 

nk

f 3 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) Ekkor az f ′ (a) = Jf(a), ahol J ∈ A k ×n . A J mátrixot Jacobi - mátrixnak nevezzük és f 3 (x 1 ,x 2 ,...,x n ) Ekkor az f ′ (a) = Jf(a), ahol J ∈ A k ×n . A J mátrixot Jacobi - mátrixnak nevezzük és

 gradf 1 (a) 

 ∂f 2 ∂f 2 ... ∂f 2 

 gradf 2 (a) 

 J(a) = ∂x 1 ∂x 2 ∂x n 

gradf k (a)

|x=a

|x=a

Megjegysés: Hasonlóan az egyváltozós esethez, itt is beszélhetünk magasabb rendű deriváltakról, amelyek képzése hasonló szellemben történik.

Tétel: [Young - tétel] Legyen adott H ⊂ R n nyílt halmaz, f : H 7→ R és a ∈ H, továbbá a-nak létezik olyan

környezete, melyben f összes p-edrendű parciális deriváltja létezik és folytonos. Ekkor ∂ i ∂ j f =∂ j ∂ i f,

i, j ∈ {1, 2, , . . . n}, azaz a parciális deriválás sorrendje p-ed rendig felcserélhető.

Bizonyítás:

3.3. Középértéktételek

Definíció: Legyen H ⊂ R n , H-t konvexnek mondjuk, ha minden a, b ∈ H és λ ∈ [0, 1] esetén λ(a) + (1 − λ)b ∈ H teljesül.

Megjegyzés: Ami konvex, az összefüggő, de fordítva nem igaz. Tétel: [Lagrange - tétel]

Legyen f : [a, b] → R n folytonos és (totálisan) differenciálható ]a, b[-n. Ekkor létezik ξ

∈]a, b[, hogy kf(b) − f(a)k 6 kf ′ (ξ)k(b − a). Bizonyítás: Legyen ϕ : [a, b] → R és t 7→ ϕ(t) := hf(b) − f(a), f(t)i.

ϕ (b) − ϕ(a) = hf(b) − f(a), f(b)i − hf(b) − f(a), f(a)i = = hf(b) − f(a), f(b) − f(a)i = kf(b) − f(a)k 2 .

A Lagrange - féle középértéktételt felírva ϕ-re felírva, létezik ξ ∈]a, b[ hogy: ϕ

(b) − ϕ(a) = ϕ ′ (ξ)(b − a) , továbbá ϕ (t) = hf(b) − f(a), f (t)i.

Ekkor: ϕ(b) − ϕ(a) = hf(b) − f(a), f ′ (ξ)i (b − a) 6 kf(b) − f(a)k kf (ξ)k (b − a). Tehát,

kf(b) − f(a)k 2 6 kf(b) − f(a)k kf ′ (ξ)k (b − a).

Az egyszerűsítés után következik, hogy

kf(b) − f(a)k < kf ′ (ξ)k (b − a).

Tétel: Legyen H ⊂ R m ,f:H→R továbbá H konvex és nyílt, valamint f dif- ferenciálható H-n. Ekkor minden a, b ∈ H esetén létezik ξ ∈ H az a és b-t összekötő

szakaszon, hogy

kf(b) − f(a)k 6 kf ′ (ξ)k kb − ak.

Bizonyítás: Legyen γ : [0, 1] → H az a és b-t összekötő szakasz. Azaz: γ(t) = t a + (1 − t)b. Az f ◦ γ -re alkalmazva az Lagrange - tételt adódik a bizo- nyítás állítása.

Definíció: Legyen f : H ⊂ R ′ →R leképezés, melyre kf (x)k < M minden x ∈ H esetén teljesül. Ekkor kf(b) − f(a)k 6 Mkb − ak a Lagrange - féle középértéktétel miatt

adódik. Az ilyen f leképezést Lipschitz-feltételnek eleget tevőnek mondjuk. Tétel: Legyen adott a ∈ R n és annak r sugarú környezete B

r (a), valamint az f :

B r (a) → R leképezés. Tegyük fel hogy létezik az összes parciális derivált B r (a)-n. Ekkor minden b ∈ B r (a) esetén létezik ξ ∈ B r (a), melyre

kb − ak > kξ i − ak és kf(b) − f(a)k 6 ∂ i f (ξ)(b i −a i )

i =1

ahol b =

a=      .  ... 

Bizonyítás:

3.4. Szélsőérték számítás

Definíció: Legyen f : H ⊂ R n → R, azt mondjuk hogy f-nek az x 0 ∈ intH pontban lokális maximuma van, ha létezik az x 0 ∈ U ⊂ H környezete, hogy f(x 0 ) > f(x) minden

x ∈ U esetén. Definíció: Legyen f : H ⊂ R n → R, azt mondjuk hogy f-nek az x 0 ∈ intH pontban lokális minimuma van, ha létezik az x 0 ∈ U ⊂ H környezete, hogy f(x 0 ) 6 f(x) minden

x ∈ U esetén. Definíció: Legyen f : H ⊂ R n → R, x 0 ∈ intH és léteznek f parciális deriváltjai x 0 -ban, továbbá ∂ i f (x 0 ) = 0 minden i ∈ {1, 2, . . . , m}. Ekkor x 0 -t stacionárius pontnak

hívjuk.

Tétel: Legyen f : H ⊂ R n → R, x 0 ∈ intH, ha f minden változója szerint parciálisan deriválható az x 0 pontban és ott lokális szélsőértéke van, akkor x 0 stacionárius pontja

f -nek.

Bizonyítás:

Definíció: Legyen V T test feletti vektortér. Ha a ϕ : V → R lineáris leképezés, azaz ϕ (αx + βy) = αϕ(x) + βϕ(y) minden x, y ∈ V és minden α, β ∈ T esetén, akkor ϕ-t

lineáris formának is hívjuk. Definíció: Legyen ψ : V × V → R mindkét változójában lineáris, azaz

ψ (α 1 x 1 +α 2 x 2 , y) = α 1 ψ (x 1 , y) + α 2 ψ (x 2 , y), ∀α 1 ,α 2 ∈ T és ∀x 1 , x 2 , y ∈ V esetén, és ψ (x, β 1 y 1 +β 2 y 2 )=β 1 ψ (x, y 1 )+β 2 ψ (x, y 2 ), ∀β 1 ,β 2 ∈ T és ∀y 1 , y 2 , x ∈ V esetén.

Ekkor ψ-t bilineáris formának mondjuk.

Megjegyzés:

I. A ψ bilineáris forma szimmetrikus, ha ψ(x, y) = ψ(y, x), minden x, y ∈ V esetén.

II. A ψ bilineáris forma antiszimmetrikus, ha ψ(x, y) = −ψ(y, x), minden x, y ∈ V esetén.

Definíció: Legyen η : V → R, ha létezik ψ : V × V → R szimmetrikus bilineáris forma, hogy η(x) = ψ(x, x) minden x ∈ V esetén, akkor η-t kvadratikus formának vagy kvadratikus alaknak nevezzük. Az η : V → R kvadratikus formát:

1. pozitív definitnek mondjuk, ha η(x) > 0, minden x 6= 0 ∈ V esetén,

2. negatív definitnek mondjuk, ha η(x) < 0, minden x 6= 0 ∈ V esetén,

3. pozitív szemidefinitnek mondjuk, ha η(x) > 0, minden x 6= 0 ∈ V esetén,

4. negatív szemidefinitnek mondjuk, ha η(x) 6 0, minden x 6= 0 ∈ V esetén. Ha ezek egyike sem teljesül, indefinit kvadratikus formáról beszélünk.

Tétel: Legyen f : H ⊂ R m → R, x 0 ∈ intH. Tegyük fel, hogy az f függvény minden másodrendű parciális deriváltja létezik és folytonos az x 0 pont valamely környezetében,

legyen továbbá az x m 0 stacionárius pontja f-nek és Q : R → R olyan kvadratikus forma melynek mátrixa:

 ∂ 2 1 f (x 0 )

∂ 2 ∂ 1 f (x 0 )...∂ m ∂ 1 f (x 0 ) 

∂ 1 ∂ m f (x 0 )∂ 2 ∂ f (x 0 )...

∂ m 2 m f (x 0 )

m ×m

Állítás:

1. Ha Q pozitív definit, akkor f-nek x 0 -ban lokális minimuma van.

2. Ha Q negatív definit, akkor f-nek x 0 -ban lokális maximuma van.

3. Ha Q indefinit, akkor f-nek x 0 -ban nincs szélsőértéke.

Tétel: Legyen m = 2 és teljesüljenek az előző tétel feltételei. Ekkor

∂ f (x 0 ) ∂ f (x 0 ) (x 0 ) = detM (x 0 )= ∂ 2 0 0 f .

D ∂y∂x

∂ 2 f 0 és S(x ) = trM (x )=

2 ∂x 2 ∂y ∂x∂y 2 ∂y

(x 0 )

(x )

Állítás:

1. Ha D(x 0 ) > 0 és S(x 0 ) > 0, akkor f-nek x 0 -ban lokális minimuma van.

2. Ha D(x 0 ) > 0 és S(x 0 ) < 0, akkor f-nek x 0 -ban lokális maximuma van.

3. Ha D(x 0 ) < 0, akkor f-nek x 0 -ban nincs szélsőértéke.

Példák:

Definíció: Legyen m, n ∈ Z m (m > n) és H ⊂ R nyílt halmaz, valamint f : H → R és g : H → R n leképezések, továbbá H

0 := {x|x ∈ H ∧ g(x) = 0}. Ha az f függvény

H 0 -ra való leszűkítésének (f| H 0 ) az x 0 pontban lokális szélsőértéke van,akkor azt mond- juk, hogy f-nek x 0 -ban feltételes szélsőérték van a g(x 0 ) = 0 feltétellel.

Definíció: Legyen m, n ∈ Z m (m > n) és H ⊂ R nyílt halmaz, valamint f : H → R és g(g 1 ,g 2 ,...,g

n ):H→R leképezések, továbbá H 0 := {x|x ∈ H ∧ g(x) = 0}. Tegyük fel, hogy f és g i függvények minden parciális deriváltja folytonos a H halmazon. Ha az

f függvény az x 0 ∈H 0 pontban feltételes szélsőértéke van a g(x 0 ) = 0 feltétellel és a

 ∂ 2 g 1 (x 0 )...∂ 2 g n (x 0 )  

 = n (maximális),

∂ m g 1 (x 0 )...∂ m g n (x 0 )