DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

4.3.3 DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN

Untuk memahami pengertian dua buah pernyataan majemuk yang ekuivalen, perhatikan contoh kalimat berikut ini :

p: Boby tidak malas q : boby rajin belajar

Dibuat dua buah pernyataan majemuk sebagai berikut:

a : Boby tidak malas maka Boby rajin belajar : p → q

dengan nilai kebenaran B

b : Boby malas atau Boby rajin belajar : p∨ q

dengan nilai kebenaran B. Dari pernyataan-pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasi : dengan nilai kebenaran B. Dari pernyataan-pernyataan a dan b dapat dibentuk biimplikasi :

⇔ p∨ q

dengan nilai kebenaran B.

Contoh 5.3.3 Dengan menggunakan tabel kebenaran penghubung maka perlihatkan bahwa pernyataan:

”p → q”

ekuivalen dengan pernyataan

”p ∨ q”.

Jawaban:

p q p → q p∨ q p → q ⇔ p∨ q

BS

S B B B Dari tabel dapat dilihat bahwa :

pq

p∨ q.

Perhatikan kolom ke 5 dari tabel pada contoh 6.3.1 , selalu bernilai benar untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan komponennya. Perkataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan benar logis yang disebut Tautologi.

Tautologi yang berbentuk:

dinamakan Ekuivalen Logis ditulis dengan lambang a ≡ b (dibaca a equivlen b) atau ( a setara dengan b)

Sedangkan untuk semua kemungkinan nilai kebenaran dari tiap pernyataan komponennya selalu bernilai salah, perkataan majemuk yang bersifat seperti itu dikatakan Kontradiksi. Berikut ini didefinisikan suatu Tautologi dan kontradiksi.

DEFINISI 5.3.2

Tautologi:

Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Tautologi (valid), jika

pernyataan tersebut bernilai benar terhadap setiap pemberian nilai

kebenaran bagi setiap variabelnya.

DEFINISI 5.3.3

Kontradiksi:

Sebuah pernyataan dikatakan bernilai Kontradiksi, jika pernyataan tersebut bernilai salah terhadap setiap pemberian nilai kebenaran

bagi setiap variabelnya.

Contoh 5.3.4 Tunjukkan bahwa Pernyataan p ∨p adalah tautologi dan

pernyataan p ∧ p adalah kontradiksi Jawab : Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan p ∨p adalah tautology

atau bukan dan pernyataan p ∧ p adalah kontradiksi atau bukan harus terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk semua

kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Perhatikan table berikut ini :

p p p ∨p p ∧p Jelas bahwa pernyataan majemuk:

p ∨p

selalu benar S

sedangkan:

selalu salah.

Jadi Pernyataan p ∨p adalah tautologi dan pernyataan p ∧ p adalah kontradiksi.

Contoh 5.3.5 Tunjukkan bahwa implikasi ( p→ q ) q bernilai tautology.

Jawab Untuk menunjukkan bahwa Pernyataan ( p→ q ) q adalah

tautology atau bukan terlebuh dahulu dicari nilai kebenaran untuk semua kemungkinan nilai kebenaran komponennya. Perhatikan tabel berikut ini :

p q p→ q

( p→ q ) q

Pada kolam 6,

nilai selalu benar

B S S B B B untuk implikasi : S

B ( p→ q ) q

SS

1) Tentukan invers, konvers dan kontraposisi dari setiap implikasi berikut ini:

a. Jika Taufik Juara All England maka Taufik punya medali. b. Jika Abi pegawai negri maka Abi terima gaji.

c. Jika cos n π = 0 maka n bilangan ganjil.

2) Tentukan pernyataan implikasi yang memiliki :

a) invers p →q

b) Kontraposisi p→ q 3) Tentukan negasi dari setiap pernyataan berkuantor berikut ini

: a) Setiap bilangan rasional adalah bilangan real.

b) Terdapat bilangan real x sehingga 2 x − 4 x < 0

c) Beberapa fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x. d) Tidak semua murid di kelas ini yang lolos SPMB.

e) Semua segitiga sama sisi mempunyai besar sudut 60 o . 4) Jika N = himpunan bilangan asli, C = himpunan bilangan

cacah dan R=himpunan bilangan real. Tentukan negasi dari bilangan berkuantor berikut ini :

x a) ∀ x ∈ R , n ∈ N berlaku n > 0

b) ∃

x 2 ∈ R , sehingga 4 < x − 4 x < 10 dan x ∈ N 5) Tunjukkan bahwa implikasi berikut ini adalah Tautologi:

a) ( p → q ) → p

b) p → p ∨ q