MENENTUKA PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU SIMETRI DAN KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA

6.3.2 MENENTUKA PUNCAK, PERSAMAAN SUMBU SIMETRI DAN KOORDINAT FOKUS SUATU PARABOLA

Grafik parabola memiliki satu diantara dua bentuk yang ditunjukkan dalam Gambar 6.3.5, tergantung apakah a positip atau a negatip. Dalam kedua Grafik parabola memiliki satu diantara dua bentuk yang ditunjukkan dalam Gambar 6.3.5, tergantung apakah a positip atau a negatip. Dalam kedua

x = − (6.3.4)

Puncak Parabola pastilah berada pada sumbu simetri, sehingga

b 2 b − 4 ac koordinat puncak parabola : ( x , y ) = ( − − , ) (6.3.5)

Fokus parabola :

p= -

Dengan bantuan rumus ini, grafik yang cukup akurat dari suatu persamaan kuadratik dalam x dapat diperoleh dengan menggambarkan puncak dan titik potong dengan sumbu-sumbu koordinatnya atau dua titik pada tiap sisinya. Seringkali perpotongan parabola

f 2 ( x ) = ax + bx + c dengan sumbu-sumbu koordinat penting untuk diketahui. Perpotongannya dengan sumbu-Y, y = c, didapat langsung

dengan memberikan x = 0. Untuk mendapatkan perpotongan-x, jika ada, haruslah diberikan y = 0 dan kemudian menyelesaikan persamaan

kuadrat yang dihasilkan dari 2 ax + bx + c = 0

Gambar 6.3.5

Contoh 6.3.2

Gambarkan grafik parabola dan tandai puncak dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat.

a) 2 y = x − 3 x − 4

b) 2 y = − x + x

Penyelesaian :

a) 2 Grafik fungsi y = x − 3 x − 4 mempunyai :

Sumbu Simetri : x = −

3 25 Puncak di ( x , y ) = ( − , ) = ( , − )

Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat: Dengan sumbu Y :

x = 0 ⇒ y = − 4 Dengan sumbu X : 2 y = 0 ⇒ 0 = x − 3 x − 4

Atau

0 = ( x − 4 )( x + 1 ) Jadi titik potong dengan sumbu X di ( 4 , 0 ) dan ( − 1 . 0 ) , dengan sumbu Y di ( 0 , − 4 )

b 2 ) Grafik fungsi y = − x + x mempunyai :

Sumbu Simetri : x = − = −

1 2 ( 1 ) − 4 .( − 1 ). 0 1 1 Puncak di ( x , y ) = ( − , ) = ( , )

2 4 Titik potong dengan sumbu-sumbu koordinat: Dengan sumbu Y :

x = 0 ⇒ y = 0 Dengan sumbu X : 2 y = 0 ⇒ 0 = − x + x

atau

Jadi titik potong dengan sumbu di ( 0 , 0 ) dan ( 1 . 0 )

Contoh 6.3.3 Diketahui kurva parabola pada gambar berikut :

Tentukanlah persamaan parabola gambar disamping.

Penyelesaian : Parabola terbuka kebawah, tentulah koefisien dari x 2 bernilai negatip.

Dari sumbu simetri : x = 1, maka 1 = −

2 2 y = ax + bx + c = ax + ( − 2 a ) x + c Grafik melalui (1,3) maka 3 = a ( 1 ) + ( − 2 a )( 1 ) + c ⇒ c = 3 + a

Jadi persamaannya menjadi : 2 y = ax + ( − 2 a ) x + ( 3 + a ) Grafik melalui (-1,0) , maka

atau a = , selanjutnya diperoleh b = , c = .

4 2 4 Jadi persamaan parabola dari grafik yang diberikan tersebut adalah:

y = x + x + atau 4 y = − 3 x + 6 x + 9

Contoh 6.3.4

Tentukan persamaan parabola dan focus jika puncak paraboal di titik asal, yang melalui (-2,4) dan terbuka ke bawah. Gambarkanlah parabola tersebut.

Penyelesaian : Bentuk persamaan parabola yang terbuka ke bawah dengan puncak di

titik asal adalah : 2 x = − 4 py . Oleh karena parabola melalui (2,-4) maka 2 ( 2 ) = − 4 p ( − 4 ) , Atau p = 4. Jadi persamaan yang dicari adalah x 2 = − 16 y . Grafiknyasebagai berikut :

Contoh 6.3.5

Grafik dari gerakan Bola yang dilempar lurus ke atas dari permukaan bumi pada waktu t = 0 detik jika diberikan kecepatan awal 24,5 m/det jika gesekan udara diabaikan dapat ditunjukkan bahwa jarak s (dalam

meter) dari bola itu ke tanah setelah t detik diberikan oleh persamaan parabola : 2 s = − 4 , 9 t + 24 , 5 t (6.3.7)

a) Gambarkan grafik s terhadap t .

b) Berapakah tinggi maksimum bola tersebut. Penyelesaian :

a) Persamaan (6.3.7) mempunyai bentuk (6.3.3) dengan :

a = -4,9 < 0 jadi parabola terbuka ke bawah , b = 24,5 dan c = 0.

Sumbu simetri : t = −

b 24 , 5

= 2 , 5 det.

2 a 2 . (-4,9)

Dan akibatnya koordinat-s dari puncak parabola adalah :

2 b 2 b − 4 ac 24 , 5 − 4 ( − 4 , 9 )( 0 ) ( t , s ) = ( − − , ) = 2,5; ( − )

2 a 4 a 4 ( − 4 , 9 ) atau

( t , s ) = ( 2 , 5 ; 30,625)

Koordinat titik potong dengan sumbu t jiak s = 0 :

0 = 4 , 9 t ( 5 − t ) diperoleh: t = 0 atau t = 5. Dari informasi puncak dan perpotongan dengan sumbu koordinat

0 2 = − 4 , 9 t + 24 , 5 t atau

diperoleh grafik parabola Gambar 6.3.6.

b) Oleh karena puncak di ( t , s ) = ( 2 , 5 ; 30,625) , maka tinggi maksimum lemparan bola adalah s ≅ 30,6

(Gambar 6.3.6)

Sebuah sifat geometri sederhana dari parabola dijadikan dasar penggunaan dalam ilmu teknik. Menurut prinsip ilmu fisika, cahaya yang datang ke permukaan yang mengkilap, maka sudut datang sama dengan sudut pantul. Sifat parabola dan prinsip fisika ini dipakai untuk membuat lampu sorot dimana sumber cahaya lampu diletakkan pada fokus. Sebaliknya sifat ini digunakan pula dalam teleskop tertentu dimana cahaya masuk yang semua sejajar dan datang dari bintang di fokuskan pada suatu titik yaitu fokus parabola.

Contoh 6.3.6

Buatlah sketsa grafik dari fungsi

2 2 (a). y = x − 2 x − 2 (b). y = − x + 4 x − 5 Penyelesaian :

a). 2 Persamaan y = x − 2 x − 2

merupakan persamaan kuadrat dengan a = 1, b = -2, dan c = -2, sehingga sumbu simetri atau

b koordinat-x dari puncaknya adalah:

2 a Menggunakan nilai ini dan dua nilai pada tiap sisi (lihat tabel),

diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.7.

Gambar 6.3.7

b) 2 Persamaan y = − x + 4 x − 5

merupakan persamaan kuadrat dengan a = -1, b = 2, dan c = -2, sehingga dengan

koordinat-x dari puncaknya adalah

2 a Menggunakan nilai ini dan dua nila i pada tiap sisi (lihat tabel), diperoleh hasil grafik fungsi pada Gambar 6.3.8.

Gambar 6.3.8 Grafik fungsi 2 y = − x + 4 x − 5

Latihan 6-3

Gambarkan grafik parabola dan tandai koordinat puncak (ekstrim) dan perpotongannya dengan sumbu-sumbu koordinat. Tentukan jenis titik puncak, apakah titik minimum atau maksimum untuk soal no:1 s/d no:

2 1. 2 y = x + 2

7. y = ( x − 2 )

2 2. 2 y = x − 3