BAB 17. Matriks

17. MATRIKS

•   

  dp cm do cl dn ck bp am bo al bn ak E. Matriks Identitas (I)

  d c b a , dan B =

    

    

  p o n m l k , maka A × B =

    

    

  d c b a ×

    

    

  p o n m l k =

    

    

       

    

   I =

    

    

  1

  1

   Dalam perkalian dua matriks terdapat matriks identitas (I), sedemikian sehingga I×A = A×I = A

  F. Determinan Matriks berordo 2×2 Jika A =

    

     d c b a

  , maka determinan dari matriks A dinyatakan Det(A) = d c b a

  = ad – bc Sifat–sifat determinan matriks bujursangkar 1. det (A ± B) = det(A) ± det(B) 2. det(AB) = det(A)

   det(B) 3. det(A T

  ) = det(A) 4. det (A

  ) =

  ) det(

    

  Jika A =

   Hasil perkalian merupakan jumlah perkalian elemen–elemen baris A dengan kolom B.

    

  A. Transpose Matriks Jika A =

    

     d c b a

  , maka transpose matriks A adalah A T

  =

    

     d b c a

  B. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Dua matriks dapat dijumlahkan bila kedua matriks tersebut berordo sama. Penjumlahan dilakukan dengan menjumlahkan elemen–elemen yang seletak Jika A =

    

    

  d c b a , dan B =

    

    

  n m l k , maka A + B =

     d c b a

    

  , maka nA = n

  D. Perkalian Dua Buah Matriks  Perkalian matriks A dan B dapat dilakukan bila jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B (A m×n × B p×q , jika n = p) dan hasil perkaliannya adalah matriks berordo m × q.

     dn cn bn an

    

  =

     d c b a

    

     d c b a

    

  Jika A =

  n d m c l b k a C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Real n

     

    

    

  n m l k =

1 A

• –1

G. Invers Matriks

  Dua matriks A dan B dikatakan saling invers bila A×B = B×A = I, dengan demikian A adalah  invers matriks B atau B adalah invers matriks A.

  a b  

  Bila matriks A = , maka invers A adalah:

    c d   d  b

  1 1  

  

1 A  Adj ( A ) 

  , ad – bc ≠ 0

     c a

  Det ( A ) ad  bc  

  Sifat–sifat invers dan determinan matriks

   –1 –1 –1 1) (A×B) = B ×A

• –1 –1 –1

  2) (B×A) = A ×B

H. Matriks Singular

  matriks singular adalah matriks yang tidak mempunyai invers, karena nilai determinannya sama dengan nol

I. Persamaan Matriks

  Bentuk–bentuk persamaan matriks sebagai berikut:

• –1

  1) A × X = B × B  X = A

• –1

  2) X × A = B  X = B × A

SOAL PENYELESAIAN

1. UN 2007 PAKET B

    x y x 

  Diketahui matriks A = ,

   

  y x  y

   

  1   1  x

  T

  2   B = , dan A = B dengan   

  2 y

  3   T A menyatakan transpose dari A.

  Nilai x + 2y adalah …

  a. –2 d. 1

  b. –1 e. 2 c.

  0 Jawab : c

  2. UN 2007 PAKET A T T

  Diketahui persamaan matriks A = 2B (B adalah transpose matriks B), dengan

   a 4 

  A = dan B =

    2 b 3 c

     

   2 c 3 b 2 a 1 

  . Nilai a + b + c = …

   

  a b 

  7  

  a. 6

  b. 10

  c. 13

  d. 15

  e. 16 Jawab d

SOAL PENYELESAIAN

  2

  Hasil dari A+(B×C) = … a.

  1 .

  1

  1

   

    

    

  , dan C =

  4

  2

  1

     

    

    

  , B =

  2

  3

  1

   

    

    

  5. UN 2005 Diketahui matriks A =

  e. 7 Jawab : e

  d. 5

  c. –1

    

   

  a. –7

    

  2

  2

  

    

    

  1 c.

  1

  2

  2

  

    

  8 e.

  2

  9

  1

   

    

    

  6 b.

  2

  

    

    

  8 d.

  5

  b. –5

  3. UN 2012/B25 Diketahui matriks A =

    

   

  8

  5

  4

   

    

    

  Jika A + B – C =

  y .

  3

  1

  9

    

  A. 8

    

  , dan C =

  3 5 x

  6

  

    

    

  , B =

  5 3 y

  1

  

    

  x x , maka nilai x + 2xy + y adalah ...

  B. 12

  12

  8

  8

  4

  6

  1

  3

  5

  9

   

      

      

  c b a dan B =

  4

  4

  C. 18

  6

  1

  3

  5

  3

  9

   

      

      

  4. UN 2010 PAKET A Diketahui matriks A =

  E. 22 Jawab : E

  D. 20

  b a Jika A = B, maka a + b + c = …

  SOAL PENYELESAIAN Jawab : a

6. UN 2010 PAKET B

    c 2 

  Diketahui matriks–matriks A = ,

   

  1  

  1

3 B = , C = , dan

       4 a

       

  b

  5

  6

  2    

   4 b  D = .  

  

  2

  3  

  Jika 2A – B = CD, maka nilai a + b + c = … a. –6

  b. –2

  c. 0

  d. 1

  e. 8 Jawab : c

  7. UN 2004 Diketahui persamaan matriks

   

  1 3  

  4 3    1 a   2 b   

          

  2

  5

  1

  2 2 b

  3

  1

  1        

  Nilai a dan b adalah …

  a. a = 1, b = 2

  b. a = 2, b =1

  c. a = 5, b = –2

  d. a = –2 , b = 5

  e. a = 4, b = –1 Jawab : b

8. UN 2008 PAKET A/B

  12

  4  

  Diketahui matriks P = ,

    

  11  

  x 2 y

  96 

  20     Q = , dan R = .

      

  3

  4 66 

  44    

  T T Jika PQ = R (Q transpose matriks Q), maka nilai 2x + y = … a. 3

  b. 4

  c. 7

  d. 13

  e. 17 Jawab : e

SOAL PENYELESAIAN

9. UN 2009

   a 2 

  Diketahui 3 matriks, A = ,

    1 b  

  4 1  2 b    

  B = , C =

   

  2

     2 b

  1  a b

     

   2 

  t t Jika A×B – C = dengan B adalah

   

  5

  4  

  transpose matriks B, maka nilai a dan b masing–masing adalah … a. –1 dan 2

  b. 1 dan –2

  c. –1 dan –2

  d. 2 dan –1

  e. –2 dan 1 Jawab : a

  10. UN 2008 PAKET A/B

  

  2 5 

  Diketahui matriks P = dan

   

  1

  3  

  5

  4  

• –1

  Q = . Jika P adalah invers

   

  1

  1  

• –1

  matriks P dan Q adalah invers matriks Q,

• –1 –1

  maka determinan matriks Q P adalah …

  a. 209

  b. 10

  c. 1

  d. –1

  e. –209 Jawab : c

  11. UN 2006

  6

  10    x x

    Diketahui matriks A = dan   

  1

  2  

   x 2 

  T –1 B = . Jika A = B dengan

   

  5

  3  

  T A = transpose matrik A, maka nilai 2x = … a. –8

  b. –4

  1 c.

  4 d.

  4 e.

  8 Jawab : e

  12. UAN 2003

SOAL PENYELESAIAN

  2

2 Nilai x + 2xy + y yang memenuhi

  62 x

  2       persamaan : adalah …

          31 y

  5       a. 1

  b. 3

  c. 5

  d. 7

  e. 9 Jawab : a

  13. UN 2011 PAKET 12 Diketahui persamaan matriks

   5  2   2  1   1   .       9 

  4 x x  y

  1      

  Nilai x – y = …

  5 a.

  2

  15 b.

  2

  19 c.

  2

  22 d.

  2

  23 e.

2 Jawab : e

  14. UN 2011 PAKET 46 Diketahui persamaan

  

  2 3   x 1  

  21 8   .      

  1 4 x  y z 

  2

  23

  9      

  Nilai x + y – z = …

  a. –5

  b. –3

  c. 1

  d. 5

  e. 9 Jawab : c

15. UN 2011 PAKET 12

SOAL PENYELESAIAN

  

  3 2 

  Diketahui matriks A = dan

   

  5  

    

  3 1 

  T B = . Jika A = transpose

    

  17  

  T matriks A dan AX = B + A , maka determinan matriks X = … a. –5

  b. –1

  c. 1

  d. 5

  e. 8 Jawab : b

16. UN 2011 PAKET 46

  

  1 2 

  Diketahui matriks A = dan

   

  3

  5   3 

  2  

  t B = . Jika A adalah transpose

   

  1

  4  

  t dari matriks A dan AX = B + A , maka determinan matriks X = … a. 46

  b. 33

  c. 27

  d. –33

  e. –46 Jawab : b