BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS - Diagonalisasi Matriks
BAB V
DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS
5.1 Diagonalisasi
Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
kali berbentuk PDP −1 , di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh hubungan
P −1 AP = D maka dikatakan bahwa matriks A dapat didiagonalisasi. Bagaimana
memperoleh matriks P dan D yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian
ini.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan suatu
matriks yang dapat didiagonalisasi.
Definisi : Suatu matriks A berorde nxn disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat
matriks P non singular dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
PDP −1 = D
Matriks P dikatakan mendiagonalisir matriks A.
Teorema : Suatu matriks A berorde nxn, dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A
mempunyai n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti : Misalkan matriks A mempunyai n vektor eigen bebas linear p1 , p 2 K , p n dan λi
adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan pi untuk setiap i (beberapa dari λi
boleh sama). Misalkan P adalah matriks di mana vektor kolom ke-j adalah p j untuk
j = 1,2,K.n , terlihat bahwa Ap j = λ j p j adalah vektor kolom ke-j dari AP, maka
AP = ( Ap1 , Ap 2 ,K, Ap n )
= (λ1 p1 , λ2 p 2 ,K , λn p n )
⎛ λ1
⎞
⎜
⎟
λ2
⎜
⎟
= ( p1 , p 2 , K , p n )⎜
⎟
O
⎜
⎟
⎜
⎟
λ
n⎠
⎝
= PD
Karena P mempunyai n vektor kolom yang bebas linear, maka P adalah taksingular,
karena itu :
D = P −1 PD = P −1 AP
Sebaliknya, misalkan A dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat suatu matriks
taksingular P sehingga AP = PD , jika p1 , p 2 K, p n adalah vektor kolom dari P, maka :
Ap j = λ j p j
, (λ j = d jj ) untuk setiap j.
Jadi untuk setiap j, λ j adalah nilai eigen dari A dan p j adalah vektor eigen yang dimiliki
λ j . Karena vektor kolom P bebas linear, maka A mempunyai n vektor eigen yang bebas
linear.
Dari bukti di atas, maka kita mendapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah
matriks A berorde nxn, sebagai berikut :
Langkah 1 : Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari A, p1 , p 2 K, p n .
Langkah 2 : Bentuklah matriks P yang mempunyai p1 , p 2 K, p n sebagai vektor
kolomnya
Langkah 3 : Maka matriks P −1 AP akan didiagonal dengan λ1 , λ2 ,K λ n sebagai entri-
entri diagonalnya yang berturutan, di mana λi adalah nilai eigen yang
bersesuaian dengan pi , i = 1,2, K, n.
Contoh :
Carilah sebuah matriks P yang mendiagonalkan matriks
⎡ 3 − 2 0⎤
A = ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 5⎥⎦
Penyelesaian :
Matriks A ini mempunyai nilai-nilai eigen, λ = 1 dan λ = 5 .
Untuk λ = 1 diperoleh vektor-vektor karakteristik
⎡− 1⎤
⎡0 ⎤
⎢
⎥
p1 = ⎢ 1 ⎥ dan p 2 = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
Untuk λ = 5 diperoleh vektor karakteristik
⎡1⎤
p3 = ⎢⎢1⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
Mudah untuk memeriksa bahwa {p1 , p 2 , p3 } bebas linear, sehingga dapat dibentuk
matriks
⎡− 1 0 1⎤
P = ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ yang mendiagonalkan matriks A.
⎢⎣ 0 1 0⎥⎦
Hal ini dapat ditunjukkan dengan membuktikan bahwa P −1 AP = D , yaitu :
⎡− 1
⎢ 2
P −1 AP = ⎢ 0
⎢ 1
⎣ 2
0 ⎤ ⎡ 3 − 2 0 ⎤ ⎡ − 1 0 1 ⎤ ⎡5 0 0 ⎤
⎥
0 1⎥ ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥ ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ = ⎢⎢0 5 0⎥⎥
1 0⎥ ⎢ 0
0 5⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
2
⎦⎣
1
2
Terlihat bahwa entri-entri pada diagonal pokok adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Jadi dapat dikatakan bahwa matriks P mendiagonalkan matriks A
Catatan :
Tidak ada persyaratan yang khusus untuk meletakkan orde kolom-kolom dari matriks P
Karena entri diagonal ke i dari P −1 AP adalah nilai eigen untuk vektor eigen kolom ke i
dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom dari P hanyalah mengubah orde dari
nilai-nilai eigen pada diagonal dari P −1 AP .
Jadi seandainya kita menuliskan :
⎡ − 1 1 0⎤
P = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
.
Maka diperoleh :
P
−1
⎡5 0 0 ⎤
AP = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 5⎥⎦
5.2. Dekomposisi Matriks.
Sub pokok bahasan ini membahas tentang matriks [A] dari SPL didekomposisi
(difaktorisasi) menjadi matriks-matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U]
sedemikian rupa sehingga persamaannya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U. Bagaimana mendapatkan matriks L dan U yang dimaksud
akan dibahas lebih lanjut.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat mencari penyelesaian
SPL dengan cara dekomposisi LU.
5.2.1. Prinsip Dekomposisi LU.
Secara umum, jika suatu matriks A berorde nxn dapat direduksi menjadi matriks
segi tiga atas U tanpa pertukaran baris, berarti A dapat dikomposisi (difaktorisasi) ke
dalamhasil kali LU, dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen-elemen
pada diagonal utama 1. Entri (i , j) dari L di bawah diagonal akan merupakan kelipatan
dari baris i yang telah dikurangkan dari baris j selama proses eliminasi, sedemikian
sehingga identitasnya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U
Contoh :
2 − 2⎤
⎡4
⎢
Misalakan matriks A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥
⎢⎣− 2 2 5 ⎥⎦
Matriks L ditentukan sebagai berikut :
Langkah pertama dalam proses eliminasi adalah baris kedua dikurangi dengan 1 kali
2
baris pertama dan baris ketiga dikurangi dengan − 1 kali baris pertama, sehingga kita
2
tetapkan l 21 = 1 dan l31 = − 1 . Selanjutnya menghasilkan matriks :
2
2
A
(1)
⎡ 4 2 − 2⎤
= ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎢⎣0 3 4 ⎥⎦
Langkah kedua proses eliminasi adalah baris ketiga dikurangi dengan 1 kali baris kedua,
3
sehingga kita tetapkan l32 = 1 . Sesudah langkah kedua ini diperoleh matriks segi tiga
3
atas,
U=A
( 2)
⎡ 4 2 − 2⎤
= ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Matriks L dapat ditulis sebagai :
⎡ 1
⎢
L=⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
1 0⎥
⎥
1 1
⎥⎦
3
Dapat kita uji bahwa hasil kali LU = A
Jika ditinjau dari sudut pandang matriks elementer, terlihat bahwa operasi baris baris
diterapkan sebanjyak tiga kali. Hal ini setara dengan perkalian matriks A di sebelah kiri
dengan tiga buah matriks elementer E1 , E 2 , E3 yaitu E3 E 2 E1 A = U
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 1
⎥⎢
⎢
⎥⎢ 1
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ − 2
⎢0 1 1 ⎥ ⎢ 1 0 1 ⎥ ⎢ 0
3
⎦⎣
⎦⎣ 2
⎣
0 0⎤ ⎡ 4
2 − 2⎤ ⎡ 4 2 − 2⎤
⎢
⎥
1 0⎥ ⎢ 2 10 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
0 1⎥⎦ ⎢⎣− 2 2
5 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Karena matriks-matriks elementernya tak singular, maka A = ( E1−1 E 2−1 E3−1 )U dimana
invers dari matriks-matriks elementer dengan urutan ini menghasilkan suatu matriks segi
tiga bawah L dengan elemen pada diagonal utama adalah satu.
⎡ 1 0 0⎤ ⎡ 1
⎢
E1−1 E 2−1 E3−1 = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥ ⎢ 0
2
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢− 1
⎣ 2
0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡⎢ 1
⎥
⎥⎢
1 0 ⎥ ⎢0 1 0 ⎥ = ⎢ 1
⎢ 2
0 1 ⎥ ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ − 1
3
⎦⎣
⎦ ⎣ 2
0 0⎤⎥
1 0⎥ = L
⎥
1 1
⎥⎦
3
5.2.2. Penyelesaian SPL dengan Dekomposisi LU
Diberikan sistem persamaan linear Ax = b dengan Anxn adalah matriks invertible.
Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 : Lakukan faktorisasi A = LU dimana L adalah matriks segi tiga bawah
dengan elemen diagonal utama satu dan U adalah matriks segi tiga atas.
Langkah 2 : Ambil vektor kolom y yang belum diketahui sedemikian sehingga y = Ux .
Langkah 3 : Substitusikan A = LU dan y = Ux ke dalam sistem persamaan linear
Ax = b , diperoleh ( LU ) x = L(Ux) = Ly = b .
Langkah 4 : Menyelesaikan Ly = b , maka akan diperoleh nilai dari vektor kolom y.
Selanjutnya dengan menyelesaika y = Ux , maka akan diperoleh nilai-nilai
dari x.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan cara dekomposisi matriks.
4x + 2 y − 2z = 2
2 x + 10 y + 2 z = 4
− 2 x + 2 y + 5z = 1
Penyelesaian :
SPL di atas mempunyai matriks koeffisien
2 − 2⎤
⎡4
⎢
A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥
⎢⎣− 2 2
5 ⎥⎦
Kemudian matriks A difaktorisasi menjadi L dan U, menghasilkan :
⎡ 1
⎢
L=⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
⎡4 2 − 2⎤
1 0⎥ dan U = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎥
1 1
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
⎥⎦
3
⎡ y1 ⎤
Jika diambil y = ⎢⎢ y 2 ⎥⎥ , maka
⎢⎣ y3 ⎥⎦
Ly = b atau
⎡ 1
⎢
⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
1 0⎥
⎥
1 1
⎥⎦
3
⎡ y1 ⎤
⎡ 2⎤
⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ , diperoleh
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ y3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
y1 = 2
1 y + y =4⇒ y =3
2
2
2 1
− 1 y1+ 1 y 2 + y 3 = 1 ⇒ y 3
2
3
=1
⎡ 2⎤
Jadi y = ⎢⎢3⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
Sehingga,
Ux = y
⎡4 2 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡ 2⎤
⎢0 9 3 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢3⎥ , diperoleh :
⎥ ⎢ 2⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
4 x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 2
9 x 2 + 3 x3 = 3
3 x3 = 1
⇒ x1 = 5
⇒ x2 =
⇒ x3 =
9
2
9
1
3
(9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah tunggal, yaitu : (x1 , x 2 , x3 ) = 5 , 2 , 1
9 3
)
DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS
5.1 Diagonalisasi
Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
kali berbentuk PDP −1 , di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh hubungan
P −1 AP = D maka dikatakan bahwa matriks A dapat didiagonalisasi. Bagaimana
memperoleh matriks P dan D yang dimaksud akan dibahas lebih lanjut dalam bagian
ini.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat menentukan suatu
matriks yang dapat didiagonalisasi.
Definisi : Suatu matriks A berorde nxn disebut dapat didiagonalisasi jika terdapat
matriks P non singular dan matriks diagonal D sedemikian sehingga
PDP −1 = D
Matriks P dikatakan mendiagonalisir matriks A.
Teorema : Suatu matriks A berorde nxn, dapat didiagonalisasi jika dan hanya jika A
mempunyai n vektor eigen yang bebas linear.
Bukti : Misalkan matriks A mempunyai n vektor eigen bebas linear p1 , p 2 K , p n dan λi
adalah nilai eigen dari A yang bersesuaian dengan pi untuk setiap i (beberapa dari λi
boleh sama). Misalkan P adalah matriks di mana vektor kolom ke-j adalah p j untuk
j = 1,2,K.n , terlihat bahwa Ap j = λ j p j adalah vektor kolom ke-j dari AP, maka
AP = ( Ap1 , Ap 2 ,K, Ap n )
= (λ1 p1 , λ2 p 2 ,K , λn p n )
⎛ λ1
⎞
⎜
⎟
λ2
⎜
⎟
= ( p1 , p 2 , K , p n )⎜
⎟
O
⎜
⎟
⎜
⎟
λ
n⎠
⎝
= PD
Karena P mempunyai n vektor kolom yang bebas linear, maka P adalah taksingular,
karena itu :
D = P −1 PD = P −1 AP
Sebaliknya, misalkan A dapat didiagonalisasi. Selanjutnya terdapat suatu matriks
taksingular P sehingga AP = PD , jika p1 , p 2 K, p n adalah vektor kolom dari P, maka :
Ap j = λ j p j
, (λ j = d jj ) untuk setiap j.
Jadi untuk setiap j, λ j adalah nilai eigen dari A dan p j adalah vektor eigen yang dimiliki
λ j . Karena vektor kolom P bebas linear, maka A mempunyai n vektor eigen yang bebas
linear.
Dari bukti di atas, maka kita mendapatkan prosedur untuk mendiagonalisasi sebuah
matriks A berorde nxn, sebagai berikut :
Langkah 1 : Carilah n vektor eigen yang bebas linear dari A, p1 , p 2 K, p n .
Langkah 2 : Bentuklah matriks P yang mempunyai p1 , p 2 K, p n sebagai vektor
kolomnya
Langkah 3 : Maka matriks P −1 AP akan didiagonal dengan λ1 , λ2 ,K λ n sebagai entri-
entri diagonalnya yang berturutan, di mana λi adalah nilai eigen yang
bersesuaian dengan pi , i = 1,2, K, n.
Contoh :
Carilah sebuah matriks P yang mendiagonalkan matriks
⎡ 3 − 2 0⎤
A = ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥
⎢⎣ 0
0 5⎥⎦
Penyelesaian :
Matriks A ini mempunyai nilai-nilai eigen, λ = 1 dan λ = 5 .
Untuk λ = 1 diperoleh vektor-vektor karakteristik
⎡− 1⎤
⎡0 ⎤
⎢
⎥
p1 = ⎢ 1 ⎥ dan p 2 = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣ 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
Untuk λ = 5 diperoleh vektor karakteristik
⎡1⎤
p3 = ⎢⎢1⎥⎥
⎢⎣0⎥⎦
Mudah untuk memeriksa bahwa {p1 , p 2 , p3 } bebas linear, sehingga dapat dibentuk
matriks
⎡− 1 0 1⎤
P = ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ yang mendiagonalkan matriks A.
⎢⎣ 0 1 0⎥⎦
Hal ini dapat ditunjukkan dengan membuktikan bahwa P −1 AP = D , yaitu :
⎡− 1
⎢ 2
P −1 AP = ⎢ 0
⎢ 1
⎣ 2
0 ⎤ ⎡ 3 − 2 0 ⎤ ⎡ − 1 0 1 ⎤ ⎡5 0 0 ⎤
⎥
0 1⎥ ⎢⎢− 2 3 0⎥⎥ ⎢⎢ 1 0 1⎥⎥ = ⎢⎢0 5 0⎥⎥
1 0⎥ ⎢ 0
0 5⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0⎥⎦ ⎢⎣0 0 1⎥⎦
2
⎦⎣
1
2
Terlihat bahwa entri-entri pada diagonal pokok adalah nilai-nilai eigen dari matriks A.
Jadi dapat dikatakan bahwa matriks P mendiagonalkan matriks A
Catatan :
Tidak ada persyaratan yang khusus untuk meletakkan orde kolom-kolom dari matriks P
Karena entri diagonal ke i dari P −1 AP adalah nilai eigen untuk vektor eigen kolom ke i
dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom dari P hanyalah mengubah orde dari
nilai-nilai eigen pada diagonal dari P −1 AP .
Jadi seandainya kita menuliskan :
⎡ − 1 1 0⎤
P = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦
.
Maka diperoleh :
P
−1
⎡5 0 0 ⎤
AP = ⎢⎢0 1 0⎥⎥
⎢⎣0 0 5⎥⎦
5.2. Dekomposisi Matriks.
Sub pokok bahasan ini membahas tentang matriks [A] dari SPL didekomposisi
(difaktorisasi) menjadi matriks-matriks segitiga bawah [L] dan segitiga atas [U]
sedemikian rupa sehingga persamaannya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U. Bagaimana mendapatkan matriks L dan U yang dimaksud
akan dibahas lebih lanjut.
TIK : Setelah mengikuti sub bab ini diharapkan mahasiswa dapat mencari penyelesaian
SPL dengan cara dekomposisi LU.
5.2.1. Prinsip Dekomposisi LU.
Secara umum, jika suatu matriks A berorde nxn dapat direduksi menjadi matriks
segi tiga atas U tanpa pertukaran baris, berarti A dapat dikomposisi (difaktorisasi) ke
dalamhasil kali LU, dimana L adalah matriks segi tiga bawah dengan elemen-elemen
pada diagonal utama 1. Entri (i , j) dari L di bawah diagonal akan merupakan kelipatan
dari baris i yang telah dikurangkan dari baris j selama proses eliminasi, sedemikian
sehingga identitasnya menjadi :
[A] = [L][U] atau A = L U
Contoh :
2 − 2⎤
⎡4
⎢
Misalakan matriks A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥
⎢⎣− 2 2 5 ⎥⎦
Matriks L ditentukan sebagai berikut :
Langkah pertama dalam proses eliminasi adalah baris kedua dikurangi dengan 1 kali
2
baris pertama dan baris ketiga dikurangi dengan − 1 kali baris pertama, sehingga kita
2
tetapkan l 21 = 1 dan l31 = − 1 . Selanjutnya menghasilkan matriks :
2
2
A
(1)
⎡ 4 2 − 2⎤
= ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎢⎣0 3 4 ⎥⎦
Langkah kedua proses eliminasi adalah baris ketiga dikurangi dengan 1 kali baris kedua,
3
sehingga kita tetapkan l32 = 1 . Sesudah langkah kedua ini diperoleh matriks segi tiga
3
atas,
U=A
( 2)
⎡ 4 2 − 2⎤
= ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Matriks L dapat ditulis sebagai :
⎡ 1
⎢
L=⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
1 0⎥
⎥
1 1
⎥⎦
3
Dapat kita uji bahwa hasil kali LU = A
Jika ditinjau dari sudut pandang matriks elementer, terlihat bahwa operasi baris baris
diterapkan sebanjyak tiga kali. Hal ini setara dengan perkalian matriks A di sebelah kiri
dengan tiga buah matriks elementer E1 , E 2 , E3 yaitu E3 E 2 E1 A = U
⎡1 0 0 ⎤ ⎡ 1 0 0 ⎤ ⎡ 1
⎥⎢
⎢
⎥⎢ 1
⎢0 1 0 ⎥ ⎢ 0 1 0 ⎥ ⎢ − 2
⎢0 1 1 ⎥ ⎢ 1 0 1 ⎥ ⎢ 0
3
⎦⎣
⎦⎣ 2
⎣
0 0⎤ ⎡ 4
2 − 2⎤ ⎡ 4 2 − 2⎤
⎢
⎥
1 0⎥ ⎢ 2 10 2 ⎥⎥ = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
0 1⎥⎦ ⎢⎣− 2 2
5 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
Karena matriks-matriks elementernya tak singular, maka A = ( E1−1 E 2−1 E3−1 )U dimana
invers dari matriks-matriks elementer dengan urutan ini menghasilkan suatu matriks segi
tiga bawah L dengan elemen pada diagonal utama adalah satu.
⎡ 1 0 0⎤ ⎡ 1
⎢
E1−1 E 2−1 E3−1 = ⎢⎢ 1 1 0⎥⎥ ⎢ 0
2
⎢⎣ 0 0 1⎥⎦ ⎢− 1
⎣ 2
0 0⎤ ⎡1 0 0⎤ ⎡⎢ 1
⎥
⎥⎢
1 0 ⎥ ⎢0 1 0 ⎥ = ⎢ 1
⎢ 2
0 1 ⎥ ⎢0 1 1 ⎥ ⎢ − 1
3
⎦⎣
⎦ ⎣ 2
0 0⎤⎥
1 0⎥ = L
⎥
1 1
⎥⎦
3
5.2.2. Penyelesaian SPL dengan Dekomposisi LU
Diberikan sistem persamaan linear Ax = b dengan Anxn adalah matriks invertible.
Untuk menyelesaikan SPL ini, dilakukan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 : Lakukan faktorisasi A = LU dimana L adalah matriks segi tiga bawah
dengan elemen diagonal utama satu dan U adalah matriks segi tiga atas.
Langkah 2 : Ambil vektor kolom y yang belum diketahui sedemikian sehingga y = Ux .
Langkah 3 : Substitusikan A = LU dan y = Ux ke dalam sistem persamaan linear
Ax = b , diperoleh ( LU ) x = L(Ux) = Ly = b .
Langkah 4 : Menyelesaikan Ly = b , maka akan diperoleh nilai dari vektor kolom y.
Selanjutnya dengan menyelesaika y = Ux , maka akan diperoleh nilai-nilai
dari x.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan cara dekomposisi matriks.
4x + 2 y − 2z = 2
2 x + 10 y + 2 z = 4
− 2 x + 2 y + 5z = 1
Penyelesaian :
SPL di atas mempunyai matriks koeffisien
2 − 2⎤
⎡4
⎢
A = ⎢ 2 10 2 ⎥⎥
⎢⎣− 2 2
5 ⎥⎦
Kemudian matriks A difaktorisasi menjadi L dan U, menghasilkan :
⎡ 1
⎢
L=⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
⎡4 2 − 2⎤
1 0⎥ dan U = ⎢⎢0 9 3 ⎥⎥
⎥
1 1
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦
⎥⎦
3
⎡ y1 ⎤
Jika diambil y = ⎢⎢ y 2 ⎥⎥ , maka
⎢⎣ y3 ⎥⎦
Ly = b atau
⎡ 1
⎢
⎢ 1
⎢ 21
⎢⎣− 2
0 0⎤⎥
1 0⎥
⎥
1 1
⎥⎦
3
⎡ y1 ⎤
⎡ 2⎤
⎢ y ⎥ = ⎢0⎥ , diperoleh
⎢ 2⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ y3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
y1 = 2
1 y + y =4⇒ y =3
2
2
2 1
− 1 y1+ 1 y 2 + y 3 = 1 ⇒ y 3
2
3
=1
⎡ 2⎤
Jadi y = ⎢⎢3⎥⎥
⎢⎣1 ⎥⎦
Sehingga,
Ux = y
⎡4 2 − 2⎤ ⎡ x1 ⎤
⎡ 2⎤
⎢0 9 3 ⎥ ⎢ x ⎥ = ⎢3⎥ , diperoleh :
⎥ ⎢ 2⎥
⎢
⎢ ⎥
⎢⎣0 0 3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 ⎥⎦
⎢⎣1 ⎥⎦
4 x1 + 2 x 2 − 2 x3 = 2
9 x 2 + 3 x3 = 3
3 x3 = 1
⇒ x1 = 5
⇒ x2 =
⇒ x3 =
9
2
9
1
3
(9
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah tunggal, yaitu : (x1 , x 2 , x3 ) = 5 , 2 , 1
9 3
)