Bab-1-Matriks
Matriks
Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
Pengertian
Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi
yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit
oleh dua kurung siku.
Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau
elemen matrik.
Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan
huruf kecil.
Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang
menyatakan banyak baris x banyak kolom
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
Lambang Matrik
Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:
a11
a
A 21
a m1
a12 a1n
a 22 a 2 n
a m 2 a mn
atau
penulisan yang lebih singkat :
A aij
dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.
Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua
(j) menyatakan kolom ke-j.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Matriks
A= 2
2 0,23451
3
7
x 2 1
B=
sin x
1032
0
80 13
4
2 ln x
3 x 1
e
Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2
a23= 1032
b23= tidak ada
b21= sin x
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Persamaan Matrik
jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama,
matrik A dan B adalah sama ditulis A=B
Contoh: 2a
Jika A=
1
3
4b
dan
2 3c
B=
c
3
b
dan A=B,
maka
a = -1, b = 1, dan c = 1.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matriks (1/7)
Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a33
Diagonal Utama
Matrik Segitiga Atas,
matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai
nol
a11
0
0
a12
a 22
0
a1n
a 2 n
a nn
0
0
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
2 1
0 3
0 4
0 0
8
6
9
1
Jenis Matriks (2/7)
Matrik Segitiga Bawah,
matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai
nol
Matrik Diagonal,
a11
a
21
a n1
0
a 22
an2
0
0
a nn
0
0 0
0 4
0
3 2 6
0 7 5 9
0
0
0
1
matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai
nol
a11 0 0 5 9 0 0 0
0
0
0
a nn
a 22
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
0
0 6 0
0 0 0
4
0
Jenis Matriks (3/7)
Matrik Satuan,
matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu,
lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan
1 0 0
0 1 0
1
0
0
I2= 1 0
I4= 0 0 1
0 1
I3= 0 1 0
Matrik skalar,
0 0 1
0 0 0
matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai
sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang
matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik
sebarang tersebut dengan skalar c.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
1
Jenis Matriks (4/7)
c
0
0
0
c
0
0
0
=c
c
1
0
0
0
1
0
0
0
= cIn
1
Matrik Nol,
matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo
dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5
O23= 0
0 0
0 0 0
0
0
0
O53=
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jenis Matriks (5/7)
Matrik Invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat
matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik
B biasanya dinyatakan oleh A-1
Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus
pencariannya, yaitu:
1 d c
a c , maka A-1 =
A=
ad bc b a
b d
4 3 4 3
1
2 3
-1
, maka A =
A=
3 2 =
2
.
4
3
.
3
3
2
3
4
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matrik (6/7)
Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo
lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya.
Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan
matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan
menggunakan determinan bersama dengan matrik
adjoin.
Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus
memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks
segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,
ataukah skalar?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jawab
Termasuk matrik segitiga atas
Termasuk matrik segitiga bawah
Termasuk matrik diagonal
Bukan matrik skalar, karena entry pada
diagonal utama nol semua, walaupun sama
semua
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matriks (7/7)
Matrik Simetri, yaitu
matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT
3
1
2
1
5
4
2
4
0
Matrik Skew-Simetri,
matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a,
b, dan c
0 1 0
A= a
Jawab:
b
0
c
0 a b 0 1 0
AT= 1 0 c= a 0 =2-A
0 2 0 b c 0
2
0
Sehingga didapat persamaan-persamaan:
a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c,
berarti:
a = -1, b = 0, dan c = -2
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Operasi Matriks
Penjumlahan Matrik
Perkalian Matrik dengan Skalar
Transpos Matrik
Perkalian Dua Matrik
Trase Matrik
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Penjumlahan matrik
Jika A=[aij], dan B=[bij]
Jumlah matrik A dan B ditulis:
C=A+B
Syarat: ordo A = ordo B
Aturan:
cij=aij+bij
{entri yang seletak dijumlahkan}
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
4 3
1 2 2 5
3 1 2 2 4
A=
, B=
, C= 2 2
3
7 4 5 10
3 1 7
Hitung: A+B, B+C
Jawab:
1
1
1 2 2 5 3 1 2 2 4 2 3 2 2 ( 2) 5 4
A+B= 7 4 3 5 10 + 3 1 7 = 7 3 4 3 5 1 10 ( 7)
3 0 1
A+B=
10 5 3 5 3
B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Perkalian dengan Skalar
A=[aij] dan k skalar, maka:
kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}
7
3 1 2 2 4 ( 4). 2 ( 4).( 2) ( 4).4
(-4)
=
(
4
).
3
(
4
).
1
(
4
).(
7
)
3 1 7
=
14 8 16
12 4 28
Akibat:
-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Transpos matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m
Jika B=AT , dan B=[bji], maka
bji = aji
A=
2
3
5
A =
T
{kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
7
3
4
2 3 5
7 3 4
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Perkalian dua Matrik
A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}
C=AB
cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=
ai
m
a b
ij jk
j 1
vektor baris ke-i dari matrik A
bk vektor kolom ke-k dari matrik B
entri matrik C adalah: cik =
ai bk
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)
0
3 1 4
A=
, B= 1
2 1 5
3 2
4 1 , dan C=AB
2 6 7
2
1
= 4 – 1 – 35 = -32
c23= 2 1 5
7
c21=
0
2 1 5 1 = 0 – 1 + 10 = 9
2
2
3 1 4 1
c13=
7
= -6 + 1 + 28 = 23
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Perkalian Matrik (2/2)
c21=
3
3 1 4 4 =
6
C=AB
3 1 4
=
2
1
5
-9 + 4 – 24 = -29
0
1
2
3
4
6
2
1
7
7 29 23
=
9
32
32
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
back
Trase matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n
{harus matrik bujur sangkar}
Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}
2
A = 3
4
0
2
1
3
5 ,
1
trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)
Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A+B=B+A
{sifat komutatif}
(A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}
A+O=O+A=A
{sifat matrik nol, identitas penjumlahan}
A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}
k(A+B)=kA+kB
{sifat distributif terhadap skalar k}
(k+l)A=kA+lA
{sifat distributif terhadap skalar k dan l}
(kl)A=k(lA)
{sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}
1A=A
{sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}
Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran
tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian}
(AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}
AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}
AO=OA=O
{sifat matrik nol}
(A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan}
Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O
atau BA=O
(kA)B=k(AB)=A(kB)
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh ABBA
1 2 4 1 0 5
AB
0
3
2
2
6
6
4 1 1 2 4 11
BA
2
2
0
3
2
2
Sehingga: ABBA
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh AB=0
0 0
1 0
B
A
3
4
2
0
1 0 0 0 0 0
AB
=
, berarti AB=O
2 0 3 4 0 0
Tetapi
0 0 1 0 = 0 0
BA
, berarti BAO
2 0
3
4
5 0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)
16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)
17. trase(AT) = trase(A)
18. trase(kA) = k trase(A)
19. trase(Inxn) = n
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)
20. (A+B)C=AC+BC
21. C(A+B)=CA+CB
22. (AB)T = BTAT
{urutan operasi dibalik}
23. (kA)T=kAT
24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0
Sebanyak n
r+s, jika r dan s bilangan asli
25. ArAs=A
d1 k
0 0
k
0
d
0
k
2
26. D
k
0 dn
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Tambahan (1/3)
2 1
Jika A =
, dan B =
1 3
T
6 0
6
T
(A + B) =
= 0
8
1
4 1
7 2
8
1
2 1 4 7
A +B =
1 3 + 1 2 =
T
T
T
1
4
1
(AB)T =
25 5 = 4
T
T
6 8
0 1
25
5
2 1 4 7
AB =
1 2 =
1
3
T
1 25
4 7 2 1
B A =
1 3 =
1
2
4
5
T
9 12
1 13
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Tambahan (2/3)
(½B) =
T
2
7
2
7
2
2
2
=
1
1
1 2
1
T
2 1
A=
, dan B =
1 3
4 7 2 7 2
= 1
½ BT = ½
1
2
1 2
4 2
–2 A =
2
6
2 0
–2IA =
0
2
2 1
1 3 =
4 2
2 6
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1
7 2
Contoh Tambahan (3/3)
2 1 2 1
A = AA=
=
1
3
1 3
2
3 5
8
A3 = A2A =
5
3 5
5 8
2 1
A=
, dan B =
1 3
2 1 1 18
1 3 = 18 19
trase(A) = 2 + 3 = 5
trase(B) = 4 + (-2) = 2
6 0 ) = 6 + 1 = 7
trase(A+B) = trase(
8
1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1
7 2
Tantangan 1
0
12
Jika
4
1 2 B 0 2 C
3
A
1 3
3 0
2 0
E
0
3
Hitunglah:
1. BA, AB
2. E2, E3, E100,
3. A2 + 2A + I,(A+I)2,
4. (BC - D)T, CTBT– DT,
5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A),
6. trase(A + E)
A.
5
0 1
1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
3
0 2 1
D 1 3 4
1 2 0 1
Tantangan 2
B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-
variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga
berlaku persamaan matrik di bawah ini:
2 1 1 7
6 8 0 3
x
y
x w w
z
2x
45
y z = -
3
2 y x
z
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
46
87
Tantangan 3
C.
D.
E.
Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y,
dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik
berikut:
x y 3x y
x z x y 2z
= 1
9
1
17
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Tantangan 4
F.
Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :
2x
x
G.
H.
3y
1
4 y 2
dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk:
tentukan matrik A, X dan B]
Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers
A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan
mengingat sifat I = AA-1 .
Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka
trace(A)=0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Tantangan 5
I.
J.
K.
L.
M.
Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik
diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal
utama D dipangkatkan k.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S =
½ (A + AT) adalah matrik simetri.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R =
½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.
Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku
hubungan A = S + R.
Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AA T
berbentuk matrik simetri.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Berdasarkan buku Aljabar Linear Dasar
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
Pengertian
Definisi: Matrik adalah susunan bilangan atau fungsi
yang diletakkan atas baris dan kolom serta diapit
oleh dua kurung siku.
Bilangan atau fungsi tersebut disebut entri atau
elemen matrik.
Lambang matrik dilambangkan dengan huruf besar,
sedangkan entri (elemen) dilambangkan dengan
huruf kecil.
Matrik mempunyai ukuran yang disebut Ordo yang
menyatakan banyak baris x banyak kolom
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona mhd@ittelkom.ac.id
Lambang Matrik
Secara umum sebuah matrik dapat ditulis:
a11
a
A 21
a m1
a12 a1n
a 22 a 2 n
a m 2 a mn
atau
penulisan yang lebih singkat :
A aij
dengan i=1, 2, ..., m dan j=1, 2, ..., n.
Indek pertama (i) menyatakan baris ke-i dan indeks kedua
(j) menyatakan kolom ke-j.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Matriks
A= 2
2 0,23451
3
7
x 2 1
B=
sin x
1032
0
80 13
4
2 ln x
3 x 1
e
Dalam contoh di atas ordo(A)= 2x5 dan ordo(B)=2x2
a23= 1032
b23= tidak ada
b21= sin x
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Persamaan Matrik
jika ordonya sama dan entri yang seletak bernilai sama,
matrik A dan B adalah sama ditulis A=B
Contoh: 2a
Jika A=
1
3
4b
dan
2 3c
B=
c
3
b
dan A=B,
maka
a = -1, b = 1, dan c = 1.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matriks (1/7)
Matrik Bujursangkar banyak baris = banyak kolom
a11
A a 21
a31
a12
a 22
a 32
a13
a 23
a33
Diagonal Utama
Matrik Segitiga Atas,
matrik bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utama bernilai
nol
a11
0
0
a12
a 22
0
a1n
a 2 n
a nn
0
0
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
2 1
0 3
0 4
0 0
8
6
9
1
Jenis Matriks (2/7)
Matrik Segitiga Bawah,
matrik bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utama bernilai
nol
Matrik Diagonal,
a11
a
21
a n1
0
a 22
an2
0
0
a nn
0
0 0
0 4
0
3 2 6
0 7 5 9
0
0
0
1
matrik bujursangkar yang semua entri di luar diagonal utama bernilai
nol
a11 0 0 5 9 0 0 0
0
0
0
a nn
a 22
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
0
0 6 0
0 0 0
4
0
Jenis Matriks (3/7)
Matrik Satuan,
matrik diagonal yang entri pada diagonal utama bernilai satu,
lambang: In, n menyatakan ordo matrik satuan
1 0 0
0 1 0
1
0
0
I2= 1 0
I4= 0 0 1
0 1
I3= 0 1 0
Matrik skalar,
0 0 1
0 0 0
matrik diagonal yang semua entri pada diagonal utama bernilai
sama, asalkan tidak nol. atau c0. Efek dari perkalian sebarang
matrik dengan matrik skalar adalah seperti mengalikan matrik
sebarang tersebut dengan skalar c.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
1
Jenis Matriks (4/7)
c
0
0
0
c
0
0
0
=c
c
1
0
0
0
1
0
0
0
= cIn
1
Matrik Nol,
matrik yang semua entrinya nol. Dengan lambang: O jika ordo
dipentingkan ditulis O35 untuk menyatakan matrik nol dengan ordo 3x5
O23= 0
0 0
0 0 0
0
0
0
O53=
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Jenis Matriks (5/7)
Matrik Invers,
matrik bujursangkar A disebut mempunyai invers, jika terdapat
matrik B, sehingga memenuhi BA=AB=I, lambang: invers matrik
B biasanya dinyatakan oleh A-1
Untuk matrik berordo 2x2, telah diberikan rumus
pencariannya, yaitu:
1 d c
a c , maka A-1 =
A=
ad bc b a
b d
4 3 4 3
1
2 3
-1
, maka A =
A=
3 2 =
2
.
4
3
.
3
3
2
3
4
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matrik (6/7)
Untuk mencari invers matrik bujursangkar dengan ordo
lebih dari 2, akan dibicarakan pada bagian berikutnya.
Metode yang digunakan ada dua, yaitu: menggunakan
matrik elementer (eliminasi Gauss-Jordan) dan
menggunakan determinan bersama dengan matrik
adjoin.
Namun dasar untuk menghitungnya tetap harus
memperhatikan eliminasi Gauss dan definisi determinan.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
Apakah matrik di bawah ini termasuk: matriks
segitiga atas, segitiga bawah, diagonal,
ataukah skalar?
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jawab
Termasuk matrik segitiga atas
Termasuk matrik segitiga bawah
Termasuk matrik diagonal
Bukan matrik skalar, karena entry pada
diagonal utama nol semua, walaupun sama
semua
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Jenis Matriks (7/7)
Matrik Simetri, yaitu
matriks bujursangkar yang memenuhi sifat A = AT
3
1
2
1
5
4
2
4
0
Matrik Skew-Simetri,
matrik bujur sangkar yang memenuhi syarat AT = -A.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
Jika matrik A di bawah ini termasuk matrik skew-simetri, tentukan a,
b, dan c
0 1 0
A= a
Jawab:
b
0
c
0 a b 0 1 0
AT= 1 0 c= a 0 =2-A
0 2 0 b c 0
2
0
Sehingga didapat persamaan-persamaan:
a = -1, b = 0, c = -2, 1= -a, 0 = -b, 2 = -c,
berarti:
a = -1, b = 0, dan c = -2
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Operasi Matriks
Penjumlahan Matrik
Perkalian Matrik dengan Skalar
Transpos Matrik
Perkalian Dua Matrik
Trase Matrik
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Penjumlahan matrik
Jika A=[aij], dan B=[bij]
Jumlah matrik A dan B ditulis:
C=A+B
Syarat: ordo A = ordo B
Aturan:
cij=aij+bij
{entri yang seletak dijumlahkan}
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh
4 3
1 2 2 5
3 1 2 2 4
A=
, B=
, C= 2 2
3
7 4 5 10
3 1 7
Hitung: A+B, B+C
Jawab:
1
1
1 2 2 5 3 1 2 2 4 2 3 2 2 ( 2) 5 4
A+B= 7 4 3 5 10 + 3 1 7 = 7 3 4 3 5 1 10 ( 7)
3 0 1
A+B=
10 5 3 5 3
B+C=tidak terdefinisi, karena ordo C ≠ ordo B
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Perkalian dengan Skalar
A=[aij] dan k skalar, maka:
kA=[kaij] {semua entri dikalikan dengan k}
7
3 1 2 2 4 ( 4). 2 ( 4).( 2) ( 4).4
(-4)
=
(
4
).
3
(
4
).
1
(
4
).(
7
)
3 1 7
=
14 8 16
12 4 28
Akibat:
-A = (-1)A, sehingga A – B = A + (-B)
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Transpos matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n ; j=1, 2, ..., m
Jika B=AT , dan B=[bji], maka
bji = aji
A=
2
3
5
A =
T
{kolom matrik A menjadi baris matrik AT}
7
3
4
2 3 5
7 3 4
back
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Perkalian dua Matrik
A =[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., m
B=[bjk], k=1, 2, ..., p {banyak kolom A=banyak baris B}
C=AB
cik=ai1b1k + ai2b2k + …+aimbmk=
ai
m
a b
ij jk
j 1
vektor baris ke-i dari matrik A
bk vektor kolom ke-k dari matrik B
entri matrik C adalah: cik =
ai bk
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Perkalian Matrik (1/ 2)
0
3 1 4
A=
, B= 1
2 1 5
3 2
4 1 , dan C=AB
2 6 7
2
1
= 4 – 1 – 35 = -32
c23= 2 1 5
7
c21=
0
2 1 5 1 = 0 – 1 + 10 = 9
2
2
3 1 4 1
c13=
7
= -6 + 1 + 28 = 23
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Perkalian Matrik (2/2)
c21=
3
3 1 4 4 =
6
C=AB
3 1 4
=
2
1
5
-9 + 4 – 24 = -29
0
1
2
3
4
6
2
1
7
7 29 23
=
9
32
32
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
back
Trase matrik
A=[aij], i=1, 2, ..., n dan j=1, 2, ..., n
{harus matrik bujur sangkar}
Trase(A)=a11 + a22 + …+ ann
{penjumlahan dari seluruh entri pada diagonal utama}
2
A = 3
4
0
2
1
3
5 ,
1
trase(A)= 2 – 2 + 1 = 1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (1/4)
Terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan
skalar
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
A+B=B+A
{sifat komutatif}
(A+B)+C=A+(B+C) {sifat asosiatif}
A+O=O+A=A
{sifat matrik nol, identitas penjumlahan}
A+(-A)= -A+A=O {sifat negatif matrik}
k(A+B)=kA+kB
{sifat distributif terhadap skalar k}
(k+l)A=kA+lA
{sifat distributif terhadap skalar k dan l}
(kl)A=k(lA)
{sifat asosiatif terhadap perkalian skalar}
1A=A
{sifat perkalian dengan skalar 1 (satu)}
Kedelapan sifat ini, nantinya akan dinyatakan sebagai aksioma (kebenaran
tanpa perlu dibuktikan) sebagai syarat berlakunya Ruang Vektor
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (2/4)
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
ABBA {tidak berlaku komutatif perkalian}
(AB)C=A(BC) {sifat asosiatif}
AI=IA=A {sifat matrik satuan, identitas perkalian}
AO=OA=O
{sifat matrik nol}
(A+B)T = AT + BT {sifat transpos matrik terhadap
penjumlahan}
Jika AB=O, tidak dijamin berlaku: A=O atau B=O
atau BA=O
(kA)B=k(AB)=A(kB)
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh ABBA
1 2 4 1 0 5
AB
0
3
2
2
6
6
4 1 1 2 4 11
BA
2
2
0
3
2
2
Sehingga: ABBA
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh AB=0
0 0
1 0
B
A
3
4
2
0
1 0 0 0 0 0
AB
=
, berarti AB=O
2 0 3 4 0 0
Tetapi
0 0 1 0 = 0 0
BA
, berarti BAO
2 0
3
4
5 0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (3/4)
16. trase(A+B) = trase(A) + trase(B)
17. trase(AT) = trase(A)
18. trase(kA) = k trase(A)
19. trase(Inxn) = n
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Sifat-sifat Operasi Matrik (4/4)
20. (A+B)C=AC+BC
21. C(A+B)=CA+CB
22. (AB)T = BTAT
{urutan operasi dibalik}
23. (kA)T=kAT
24. An = AA … A, jika n 0, dan I, jika n=0
Sebanyak n
r+s, jika r dan s bilangan asli
25. ArAs=A
d1 k
0 0
k
0
d
0
k
2
26. D
k
0 dn
0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Tambahan (1/3)
2 1
Jika A =
, dan B =
1 3
T
6 0
6
T
(A + B) =
= 0
8
1
4 1
7 2
8
1
2 1 4 7
A +B =
1 3 + 1 2 =
T
T
T
1
4
1
(AB)T =
25 5 = 4
T
T
6 8
0 1
25
5
2 1 4 7
AB =
1 2 =
1
3
T
1 25
4 7 2 1
B A =
1 3 =
1
2
4
5
T
9 12
1 13
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Contoh Tambahan (2/3)
(½B) =
T
2
7
2
7
2
2
2
=
1
1
1 2
1
T
2 1
A=
, dan B =
1 3
4 7 2 7 2
= 1
½ BT = ½
1
2
1 2
4 2
–2 A =
2
6
2 0
–2IA =
0
2
2 1
1 3 =
4 2
2 6
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1
7 2
Contoh Tambahan (3/3)
2 1 2 1
A = AA=
=
1
3
1 3
2
3 5
8
A3 = A2A =
5
3 5
5 8
2 1
A=
, dan B =
1 3
2 1 1 18
1 3 = 18 19
trase(A) = 2 + 3 = 5
trase(B) = 4 + (-2) = 2
6 0 ) = 6 + 1 = 7
trase(A+B) = trase(
8
1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
4 1
7 2
Tantangan 1
0
12
Jika
4
1 2 B 0 2 C
3
A
1 3
3 0
2 0
E
0
3
Hitunglah:
1. BA, AB
2. E2, E3, E100,
3. A2 + 2A + I,(A+I)2,
4. (BC - D)T, CTBT– DT,
5. 3C(BA), C(3B)A, (CB)(3A),
6. trase(A + E)
A.
5
0 1
1
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
3
0 2 1
D 1 3 4
1 2 0 1
Tantangan 2
B. Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-
variabel x, y, z, dan w, yang terbentuk, sehingga
berlaku persamaan matrik di bawah ini:
2 1 1 7
6 8 0 3
x
y
x w w
z
2x
45
y z = -
3
2 y x
z
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
46
87
Tantangan 3
C.
D.
E.
Tentukan syarat agar berlaku: (A + B)2=A2 + 2AB + B2, jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan syarat agar berlaku: A2 – B2 = (A - B)(A + B), jika A
dan B berordo 2x2
Tentukan persamaan-persamaan dalam variabel-variabel x, y,
dan z, sehingga persamaan memenuhi persamaan matrik
berikut:
x y 3x y
x z x y 2z
= 1
9
1
17
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Tantangan 4
F.
Tunjukkan bahwa Sistem Persamaan Linier :
2x
x
G.
H.
3y
1
4 y 2
dapat dinyatakan sebagai persamaan AX=B [petunjuk:
tentukan matrik A, X dan B]
Jika matrik A, X, dan B hasil dari soal di atas tentukan invers
A atau A-1 dan tentukan solusi persamaan AX=B, dengan
mengingat sifat I = AA-1 .
Tunjukkan bahwa, jika A matrik skew-simetri, maka
trace(A)=0
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id
Tantangan 5
I.
J.
K.
L.
M.
Buktikan jika D matrik diagonal, maka Dk adalah matrik
diagonal yang entri-entrinya adalah entri pada diagonal
utama D dipangkatkan k.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik S =
½ (A + AT) adalah matrik simetri.
Tunjukkan bahwa jika A matrik bujursangkar, maka matrik R =
½ (A - AT) adalah matrik skew-simetri.
Dari kedua matrik pada dua soal di atas, tunjukkan berlaku
hubungan A = S + R.
Jika A matrik bujursangkar 2x2, tunjukkan bahwa AA T
berbentuk matrik simetri.
Aljabar Matriks - Mahmud 'Imrona –
mhd@ittelkom.ac.id