bab 2 matriks

Aljabar Linier
Matriks dan Operasinya

Jadwal


Hari : senin

Kuliah
jam : 12.30

Silabus
•
•
•
•
•
•
•
•
•

•
•
•
•

Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab
Bab

I Matriks dan Operasinya

II Determinan Matriks
III Invers Matriks
IV Sistem Persamaan Linear
V Sistem Persamaan Linear Homogen
VI Matlab (SPL)
VII Vektor
VIII Perkalian Vektor
IX Ruang Vektor
X Proses Gram Schmidt
XI Transformasi Linier Kernel
XII Nilai Eigen , Vektor Eigen
XIII MATLAB

Sub Pokok Bahasan 1
1. Matriks dan Operasinya
Sub Pokok Bahasan
– Matriks dan Jenisnya
– OperasiMatriks
– Operasi Baris Elementer
–Sifat OperasiMatriks

Beberapa Aplikasi Matriks
– Representasi image (citra)
– Chanel/Frequency assignment
– Operation Research
dan lain-lain.

Pengertian Matrix
Beberapa pengertian tentang matriks :
1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang
disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut
baris-baris dan kolom-kolom.
2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat
persegi panjang.
3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut
elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat
baris-baris dan kolom-kolom.

Notasi yang digunakan
Atau Atau
 

 
 

Matriks


Notasi Matriks

A = a

11

 a21
 :

a
 m1

a12
a22

:
am 2

..... a1n 

.... a2 n 
:
: 

.... amn 

Baris ke
-1

Unsur / entri
/elemen ke-mn
(baris m kolom n)

Kolom ke
-2

Matrix A berukuran (ordo) m
xn
Misalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan
B dikatakan sama (notasi A = B)
Jika aij bij
untuk setiap i dan j

Jenis Matriks
(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua
elemennya nol
Sifat-sifat :
 A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0
 A*0=0, begitu juga 0*A=0.
(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang
jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan
elemen a11, a22, a33, ….ann disebut diagonal
utama dari matriks bujursangkar A tersebut.
 Contoh : Matriks berukuran 2x2
A=

 1 4


 2 3

Jenis Matriks
(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar
yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.
Contoh :
 2 0 0


 
 0 5 0
 0 0 3


(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks
diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.
 Contoh :

 1 0 0


 0 1 0
 0 0 1


 Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

Jenis Matriks
(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang
semua elemennya sama tetapi bukan nol atau
satu.
Contoh :  
 4 0 0
A=


 0 4 0
 0 0 4




(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
dibawah 3diagonal
2 1  elemennya = 0.


 0 4 5
A =  0 0 4 

(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR),
adalah matriks bujursangkar yang semua elemen
diatas diagonal elemennya = 0.
 3 0 0


 
A=

1 4 0
 6 9 4


(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar
yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat
juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah
matriks yang transposenya sama
dengan dirinya
T
A A
sendiri.
 1 2 0
1
2
0





Contoh :


T
 2 3 1
A
2
3
1


A==
 0 1 1
 0 1 1





(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang
trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut.
Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal
utamanya = 0
Contoh :


A

1 3 0
 0


4
2
 1 0
 3  4 0  1


 0

2
1
0



0 
 0 1 3

A  
0  4  2
 1
 3 4
0
1 


 0  2 1 0 


T

TRANSPOSE MATRIKS



Jika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn
maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm
yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i
dari A sebagai kolom ke-i dari AT.



Beberapa Sifat Matriks Transpose :
 (A+B)T = AT + BT
 (AT) T = A
 k(AT) = (kA)T
 (AB)T = BT AT

Operasi Matrix
• Penjumlahan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dijumlahkan
Contoh =
a.

b.

a b  e

  
c d g

f   a e b f 
 

h  c  g d h

 1 6   3 1  4 7 

  
 

 3 5   4 1  7 6 

Operasi Matrix
• Pengurangan Matriks
Syarat : Dua matriks berordo sama dapat
dkurangkan
Contoh =
a.

b.

a b

 
c d

e

g

f  a e b f 
 

h  c  g d  h

 1 6   3 1   2 5 

  
 

 3 5   4 1   1 4 

Operasi Matrix
Perkalian Matriks
• Perkalian Skalar dengan Matriks
Contoh :

 p q   kp kq 
 

k 
 r s   kr ks 
• Perkalian Matriks dengan Matriks

Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn
Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB ,
berordo pxn
 p q


a
b
d



A 
, B  r s 
 e f g  ( 2 x 3)
 t u

 (3 x 2)
a
A.B 
e

b
f

 p q


d
 ap  br  dt
 ( 2 x 3) . r s 

g
 ep  fr  gt
 t u

 (3 x 2)

aq  bs  du 

eq  fs  gu  ( 2 x 2 )

Hukum Perkalian Matriks :





Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC
Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C
Tidak Komutatif, A*B  B*A
Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan






(i) A=0 dan B=0
(ii) A=0 atau B=0
(iii) A0 dan B0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Operasi Baris Elementer (OBE)
Operasi baris elementer meliputi :
1. Pertukaran Baris
2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol
(seperti butir 2) dengan baris yang lain.
Contoh : OBE 1

2
3
  3  2  1
 1




A  1
2
3 b1  b2   3  2  1
 0

 0

2
4
2
4




OBE2

 4  4 0  4
 1  1 0  1




1
A  0 2 1 7  b1  0 2 1 7 
4
 2  1 1 3     2  1 1 3 





OBE3

 1  1 0  1
 1  1 0  1

  b1 b3 

A  0 2 1 7      0 2 1 7 
2  1 1 3 
0 1 1 5 





Definisi yang perlu diketahui :
 1  1 1 3


B  0 0 3 1 
 0 0 0 0


– Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada
kedua baris tersebut memuat unsur tak nol.
– Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2
dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing.
– Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan
satu utama.
– Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris
ke-3 adalah nol.

OBE


Sifat matriks hasil OBE :
1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1
(dinamakan satu utama).
2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1
utama yang lebih ke kanan.
3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia
diletakkan pada baris paling bawah.
4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang
lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3
(Proses Eliminasi Gauss)
Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua
sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)