Stability Analysis of the Plankton Ecosystem Model Considering the Oxygen Deficit

ANALISIS KESTABILAN MODEL EKOSISTEM PLANKTON
DENGAN PENGARUH DEFISIT OKSIGEN

YURISKA DESTANIA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis berjudul Analisis Kestabilan
Model Ekosistem Plankton dengan Pengaruh Defisit Oksigen adalah benar karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah
disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
tesis ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, Agustus 2015
Yuriska Destania
NIM G551130021

RINGKASAN
YURISKA DESTANIA. Analisis Kestabilan Model Ekosistem Plankton dengan
Pengaruh Defisit Oksigen. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan PAIAN
SIANTURI.
Plankton merupakan organisme mikroskopis yang hidupnya tersuspensi di
dalam air. Secara umum plankton dibedakan menjadi dua golongan, yaitu
golongan tumbuhan (fitoplankton) dan golongan hewan (zooplankton). Pada
fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini mampu
berfotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut merupakan sumber nutrisi
utama bagi kelompok organisme lain, baik secara langsung maupun tidak
langsung dalam suatu sistem rantai makanan. Oleh sebab itu, ketersediaan
populasi plankton di dalam air tentu sangat berpengaruh terhadap kelangsungan
hidup organisme-organisme lain di dalam air. Untuk mengatasi hal tersebut,
diusulkan suatu model matematika yang mampu menggambarkan fenomenafenomena yang terjadi pada ekosistem plankton di dalam air.
Model ekosistem plankton ini disajikan dalam bentuk sistem persamaan
diferensial taklinear yang melibatkan empat variabel, yaitu konsentrasi nutrisi,

kepadatan populasi alga, kepadatan populasi zooplankton dan konsentrasi oksigen
terlarut. Model ini menjadi menarik karena tingkat pertumbuhan alga dan
zooplankton tidak hanya dipengaruhi oleh variabel-variabel terkait, tetapi juga
oleh faktor defisit oksigen. Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara
nilai saturasi dan konsentrasi oksigen terlarut. Tingginya konsentrasi oksigen
terlarut di dalam air akan memperkecil defisit oksigen, sehingga pertumbuhan
alga dan zooplankton akan meningkat. Sebaliknya, saat konsentrasi oksigen
menurun maka defisit oksigen akan meningkat dan menyebabkan tingkat
pertumbuhan alga dan zooplankton menurun.
Dalam penelitian ini diperoleh empat titik tetap. Selanjutnya dilakukan
analisis kestabilan pada masing-masing titik tetap. Untuk tiga titik tetap pertama,
analisis dilakukan melalui nilai eigen yang dihasilkan dari matriks Jacobi pada
masing-masing titik tetap. Untuk titik tetap keempat dilakukan analisis dengan
metode langsung Lyapunov. Hasil analisis menunjukan bahwa titik tetap keempat
akan bersifat stabil dengan kriteria tertentu, sedangkan tiga titik tetap lainnya
bersifat tidak stabil karena kondisi-kondisi tertentu. Kemudian hasil analisis
diperiksa kembali melalui simulasi numerik dengan mensubstitusi nilai-nilai
parameter, sehingga diperoleh koordinat dan nilai eigen pada masing-masing titik
tetap. Hasil tersebut menunjukan bahwa sistem akan mencapai kondisi stabil pada
koordinat titik tetap keempat. Pada bagian tersebut juga diilustrasikan dinamika

yang terjadi hingga sistem mencapai kondisi stabil. Dari hasil penelitian ini,
diperoleh suatu kondisi yang membuat populasi plankton di dalam air tersedia
dalam jumlah yang stabil, sehingga mampu mencukupi kebutuhan organisme lain.

Kata kunci: defisit oksigen, oksigen terlarut, analisis kestabilan

SUMMARY
YURISKA DESTANIA. Stability Analysis of the Plankton Ecosystem Model
Considering the Oxygen Deficit. Supervised by JAHARUDDIN and PAIAN
SIANTURI.
Plankton are microscopic organisms that lives suspended on water. In
general, the planktons were divided into two groups : group of plants
(phytoplankton) and group of animals (zooplankton). The phytoplankton contain
chlorophyll which makes this group able to perform photosynthesis activity. The
results of photosynthesis is a source of nutrition for other organisms, either
directly or indirectly through the food chain system. Therefore, availability of
plankton population in the water affect the survival of other organisms.
In this study, a mathematical model was proposed that able to describe
phenomena occur in the ecosystems plankton. This model is presented in
nonlinear differential equations system involving four variables : concentration of

nutrients, density of algae, density of zooplankton and concentration of dissolved
oxygen. This model is interesting because the growth rate of algae and
zooplankton are not only influenced variables, but also by oxygen deficit. The
oxygen deficit is defined as the difference between saturation and concentration of
oxygen. A high dissolved oxygen concentration will reduce the oxygen deficit, so
that the growth of algae and zooplankton increase. If the oxygen concentration
decreases, then the oxygen deficit will increase and the growth of algae and
zooplankton decreas.
In this study, there are four equilibrium points. Obtained, the stability
analysis will be done for each equilibrium points. For the first three equilibrium
points, the analysis conducted through the eigenvalues of each matrix Jacobi.
Different from other equilibrium points, for a fourth equilibrium points, analysis
conducted with Lyapunov direct method. The result of analysis showed that the
fourth equilibrium points will be stable with certain criteria, while three other
equilibrium points are unstable. Then the results of analysis will be examined
through numerical simulation by substituting the values of parameters. Those
result showed that system will reach a stable condition at the coordinates of fourth
equilibrium points. In this section also illustrated the dynamics that occur until
the system reaches a stable condition. The results of this study, obtained a
condition that makes the plankton population in the water available in stable

amount.

Keywords: oxygen deficit, dissolved oxygen, stability analysis

© Hak Cipta Milik IPB, Tahun 2015
Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau
tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
IPB
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis ini
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB

ANALISIS KESTABILAN MODEL EKOSISTEM PLANKTON
DENGAN PENGARUH DEFISIT OKSIGEN

YURISKA DESTANIA

Tesis

sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains
pada
Program Studi Matematika Terapan

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr Ir Endar H Nugrahani, MS

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan November 2014 ini ialah
pemodelan matematika, dengan judul Analisis Kestabilan Model Ekosistem
Plankton dengan Pengaruh Defisit Oksigen.
Penulisan tesis ini merupakan salah satu syarat memperoleh gelar Magister
Sains pada program studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana Institut

Pertanian Bogor. Penulis juga menyampaikan terima kasih kepada:
1. Alm. Bapak Yuniman dan Ibu Rihusnani selaku orang tua penulis.
2. Dr Jaharuddin, MS selaku ketua komisi pembimbing sekaligus Ketua
Program Studi Matematika Terapan.
3. Dr Paian Sianturi selaku anggota komisi pembimbing.
4. Dr Ir Endar H Nugrahani, MS selaku penguji luar komisi pembimbing.
5. Direktorat Jendral Pendidikan Tinggi (DIKTI) sebagai sponsor Beasiswa
Pendidikan Pascasarjana Dalam Negeri (BPP-DN).
6. Seluruh keluarga yang selalu memberi dorongan dan doa untuk keberhasilan
studi penulis.
7. Seluruh mahasiswa Departemen Matematika khususnya teman-teman
angkatan tahun 2013 di program studi S2 Matematika Terapan.
8. Sahabat-sahabat yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak
membantu penulis dalam penyelesaian tesis ini.
Semoga semua bantuan, bimbingan dan motivasi yang telah diberikan kepada
penulis senantiasa mendapatkan balasan dari Allah subhanahu wa ta’ala.
Akhirnya, semoga penulisan tesis ini dapat memperkaya pengalaman belajar
dan wawasan kita semua.

Bogor, Agustus 2015

Yuriska Destania

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

vi

DAFTAR GAMBAR

vi

DAFTAR LAMPIRAN

vi

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Tujuan Penelitian

1

1
2

2 TINJAUAN PUSTAKA
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Titik Tetap
Pelinearan
Nilai dan Vektor Eigen
Analisis Kestabilan
Ekosistem Plankton
Penelitian Khare et al. (2013)
Penelitian Misra (2007)

2
2
3
3
3
4
4

6
7

3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Ekosistem Plankton
Daerah Solusi Model Ekosistem Plankton
Penentuan Titik Tetap
Analisis Kestabilan Titik Tetap
Simulasi Numerik

8
8
10
12
14
23

4 SIMPULAN

25

DAFTAR PUSTAKA

26

LAMPIRAN

27

RIWAYAT HIDUP

46

DAFTAR TABEL
1 Nilai parameter model
2 Koordinat dan nilai eigen masing-masing titik tetap

23
23

DAFTAR GAMBAR
1 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton (disesuaikan dari Khare et al.)
2 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton (disesuaikan dari Misra)
3 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model ekosistem
plankton
4 Bidang solusi untuk titik tetap

7
8
9
24

DAFTAR LAMPIRAN
1 Sintaks maple 13 untuk titik tetap
2 Sintaks maple 13 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen
3 Sintaks maple 13 untuk simulasi numerik

27
30
43

1 PENDAHULUAN
Latar Belakang
Plankton merupakan organisme tingkat pertama yang berfungsi sebagai
produsen (penyedia energi). Definisi umum menyatakan bahwa yang dimaksud
dengan plankton adalah suatu golongan jasad hidup akuatik berukuran
mikroskopis, biasanya berenang atau tersuspensi di dalam air. Plankton dibedakan
menjadi dua golongan, yaitu fitoplankton (tumbuhan) dan zooplankton (hewan)
(Wibisono, 2005).
Pada fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini
mampu melakukan aktivitas fotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut
merupakan sumber nutrisi utama bagi kelompok organisme air lainnya dan
membentuk sistem rantai makanan. Keberadaan fitoplankton menjadi awal
mulainya kehidupan di perairan, berlanjut ke tingkat kehidupan yang lebih tinggi
dari tingkatan zooplankton, ikan-ikan kecil hingga ikan-ikan yang berukuran besar
dan tingkatan terakhir sampailah pada manusia yang memanfaatkan ikan sebagai
bahan makanan (Nontji 2008). Plankton juga berperan sebagai salah satu
bioindikator yang mampu menggambarkan kondisi suatu perairan (Prabandani et
al., 2007). Berdasarkan kondisi tersebut maka dibutuhkan suatu model yang
mampu menggambarkan fenomena-fenomena yang terjadi pada ekosistem
plankton di dalam air, sehingga dapat dilakukan kajian dan analisa mengenai
dinamika yang terjadi pada ekosistem ini.
Model matematika dan analisis mengenai ekosistem plankton telah dikaji
oleh beberapa peneliti. Truscott dan Brindley (1994) menyajikan model evolusi
fitoplankton dan zooplankton di laut. Franke et al. (1999) menyajikan model
ekosistem plankton di danau, dengan mempertimbangkan adanya interaksi serta
respon plankton terhadap lingkungan. Misra (2007), mengkonstruksi model
matematika yang menggambarkan ekosistem plankton pada perairan yang
mengalami eutrofikasi, yaitu penipisan oksigen terlarut di karenakan penumpukan
nutrisi di dalam air. Khare et al. (2013) menyajikan model ekosistem plankton
yang melibatkan faktor defisit oksigen. Defisit oksigen didefinisikan sebagai
selisih antara nilai saturasi oksigen dan konsentrasi oksigen pada waktu t. Pada
model ekosistem plankton yang disajikan oleh Khare et al. diasumsikan bahwa
defisit oksigen akan mempengaruhi tingkat pertumbuhan alga dan zooplankton,
dimana semakin tinggi defisit oksigen yang terjadi maka tingkat pertumbuhan
alga dan zooplankton akan semakin menurun. Pelibatan faktor defisit oksigen
merupakan hal baru dalam pemodelan ekosistem plankton, sayangnya pada model
tersebut belum dipertimbangkan peran alga sebagai salah satu penyuplai oksigen
melalui proses fotosintesis.
Pada penelitian ini, model ekosistem plankton yang telah disajikan oleh
Khare et al. (2013) akan dimodifikasi dengan menambahkan peran alga sebagai
salah satu penyuplai oksigen melalui proses fotosintesis. Modifikasi tersebut
dilakukan dengan mengkaji hasil penelitian-penelitian sebelumnya yang relevan
dengan penelitian ini, salah satunya penelitian Misra (2007).

2
Tujuan Penelitian
Berdasarkan uraian latar belakang di atas, tujuan yang akan dicapai pada
penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memodifikasi model ekosistem plankton.
2. Melakukan analisis kestabilan terhadap model hasil modifikasi.
3. Melakukan simulasi untuk memverifikasi hasil analisis secara numerik.

2 TINJAUAN PUSTAKA
Pada bagian ini diberikan penjelasan mengenai teori-teori yang mendukung
pembahasan di bagian selanjutnya, ekosistem plankton dan beberapa model
ekosistem plankton yang menjadi acuan pada penelitian ini.
Sistem Persamaan Diferensial Biasa
Definisi 2.1 sistem persamaan diferensial biasa linear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
berikut:
,
(2.1)
dengan adalah matriks koefisien konstan berukuran
dan adalah vektor
konstan. Sistem persamaan (2.1) dinamakan sistem persamaan diferensial linear
. Jika
, maka sistem dikatakan
orde satu dengan kondisi awal
homogen dan jika
, maka sistem dikatakan takhomogen (Tu 1994).
Definisi 2.2 sistem persamaan diferensial biasa taklinear
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
berikut:
,
(2.2)
dengan
dan

.

adalah fungsi taklinear dalam
. Sistem persamaan (2.2) disebut
sistem persamaan diferensial biasa taklinear (Braun 1983).
Definisi 2.3 sistem persamaan diferensial biasa mandiri
Misalkan suatu sistem persamaan diferensial biasa dinyatakan sebagai
berikut:
,
(2.3)

3
dengan merupakan fungsi kontinu bernilai real dari . Sistem persamaan (2.3)
disebut sistem persamaan diferensial biasa mandiri (autonomous) karena tidak
memuat secara eksplisit di dalamnya (Tu 1994).
Titik Tetap
Misalkan diberikan sistem persamaan diferensial biasa seperti pada sistem
(2.2). Titik disebut titik tetap, jika
. Titik tetap disebut juga titik kritis
atau titik kesetimbangan atau titik ekuilibrium (Tu 1994). Untuk selanjutnya
digunakan istilah titik tetap.
Pelinearan
Untuk suatu sistem persamaan diferensial taklinear, analisis kestabilan
dilakukan melalui model hasil pelinearan. Misalkan diberikan sistem persamaan
diferensial taklinear seperti berikut :
.
(2.4)
Menggunakan uraian Taylor
persamaaan (2.4) dapat ditulis,

untuk

suatu

titik

tetap

,

.

maka sistem
(2.5)

Persamaan tersebut merupakan sistem persamaan diferensial taklinear dengan
adalah matriks Jacobi,

suku berorde tinggi dengan
dan
persamaan berikut:

Oleh sebab itu, diperoleh
.

(2.6)

Persamaan (2.6) disebut pelinearan dari persamaan diferensial (2.4) (Tu 1994).
Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Diberikan matriks koefisien konstan
persamaan diferensial biasa homogen
taknol di dalam
disebut vektor eigen dari

berukuran

dan sistem
. Suatu vektor
jika untuk suatu skalar berlaku:
(2.7)

Nilai skalar dinamakan nilai eigen dari . Untuk mencari nilai
sistem persamaan (2.7) dapat ditulis sebagai berikut:
,

dari , maka
(2.8)

4
dengan adalah matriks identitas. Sistem persamaan (2.8) mempunyai solusi
taknol jika dan hanya jika
.
(2.9)
Persamaan (2.9) merupakan persamaan karakteristik matriks
1995).

(Anton dan Rorres

Analisis Kestabilan
Sifat kestabilan titik tetap dari sistem (2.3) dapat ditentukan dengan melihat
nilai-nilai eigen dari matriks , yaitu:
yang diperoleh dari
. Secara umum kestabilan titik tetap mempunyai perilaku sebagai
berikut:
1. Stabil, jika
a. Setiap nilai eigen real adalah negatif (
untuk setiap ), atau
b. Setiap nilai eigen kompleks memiliki bagian real negatif atau sama
untuk setiap ).
dengan nol (
2. Takstabil, jika
a. Terdapat nilai eigen real adalah positif atau sama dengan nol (
untuk suatu ), atau
b. Terdapat nilai eigen kompleks memiliki bagian real positif (
untuk suatu ).
(Tu 1994).
Selain dengan nilai eigen, sifat kestabilan titik tetap dari sistem (2.3) juga
dapat ditentukan menggunakan metode langsung Lyapunov dengan
mendefinisikan suatu fungsi
yang disebut dengan fungsi Lyapunov. Metode
kestabilan Lyapunov dijelaskan pada Teorema 2.1 berikut,
.
Teorema 2.1 (Kestabilan Lyapunov)
adalah titik tetap dari sistem (2.3).
adalah suatu fungsi
Misalkan
kontinu untuk x di
dan terdiferensialkan di
, sedemikian sehingga
dan
untuk
.
i.
ii. Jika
di
, maka titik tetap dikatakan stabil.
(Hirsch dan Smale 1974)
Ekosistem Plankton
Ekosistem plankton merupakan bagian dari ekosistem perairan. Ekosistem
ini memiliki peranan penting dalam kelangsungan hidup organisme-organisme
lainnya, baik secara langsung maupun tidak langsung melalui sistem rantai
makanan.
Plankton merupakan organisme tingkat pertama yang berfungsi sebagai
produsen atau penyedia energi. Definisi umum menyatakan bahwa yang dimaksud
dengan plankton adalah suatu golongan jasad hidup akuatik berukuran
mikroskopis, biasanya berenang atau tersuspensi di dalam air. Plankton dibedakan
menjadi dua golongan, yaitu fitoplankton (tumbuhan) dan zooplankton (hewan)
(Wibisono 2005).

5
Fitoplankton adalah organisme mikroskopik yang hidup melayang atau
mengapung di dalam air, serta memiliki kemampuan gerak yang terbatas.
Fitoplankton berperan sebagai salah satu bioindikator yang mampu
menggambarkan kondisi suatu perairan, perkembangannya bersifat dinamis
karena dominasi satu spesies dapat digantikan dengan yang lain dalam interval
waktu tertentu dan kualitas perairan yang tertentu juga. Perubahan kondisi
lingkungan perairan akan menyebabkan perubahan pula pada struktur komunitas
komponen biologi, khususnya fitoplankton (Prabandani et al. 2007).
Fitoplankton memegang peranan yang sangat penting dalam ekosistem air.
Pada fitoplankton terdapat kandungan klorofil yang membuat kelompok ini
mampu melakukan aktivitas fotosintesis. Hasil dari proses fotosistesis tersebut
merupakan sumber nutrisi utama bagi organisme lain, yang membentuk sistem
rantai makanan. Kelompok fitoplankton yang mendomonasi perairan air tawar
pada umumnya terdiri dari diatom dan ganggang hijau (Barus 2004).
Zooplankton merupakan plankton yang bersifat hewani yang sangat
beraneka ragam, terdiri dari berbagai macam larva dan bentuk dewasa yang
mewakili hampir seluruh filum hewan. Namun dari sudut ekologi, hanya satu
golongan zooplankton yang sangat penting artinya, yaitu kelas kopepoda.
Kakepoda adalah crustacea holopplanktonic berukuran kecil yang mendominasi
zooplankton dan merupakan herbivora pimer (Nybakken 1992).
Sebagian besar zooplankton menggantungkan sumber nutrisinya pada
materi organik berupa fitoplankton. Populasi zooplankton pada suatu perairan
jauh lebih sedikit dibandingkan dengan fotoplankton. Umunya zooplankton
banyak ditemukan pada perairan yang mempunyai kecepatan arus rendah serta
kekeruhan air yang sedikit (Barus 2004).
Oksigen Terlarut
Oksigen terlarut merupakan suatu faktor yang sangat penting di dalam
ekosistem perairan, terutama untuk proses respirasi bagi sebagian besar organisme
air. Kelarutan oksigen didalam air di pengaruhi oleh suhu, dimana kelarutan
peningkatan suhu akan menyebabkan
maksimum terdapat pada suhu
konsentrasi oksigen menurun. Sumber utama oksigen terlarut dalam air berasal
dari adanya kontak antara permukaan air dengan udara dan juga dari proses
fotosintesis. Oksigen terlarut hilang secara alami oleh adanya aktivitas respirasi
organisme aquatik, penguraian bahan organik, aliran air bawah tanah yang miskin
oksigen dan kenaikan suhu. Kisaran toleransi plankton terhadap oksigen terlarut
berbeda-beda. Sebaiknya konsentrasi oksigen terlarut dalam suatu perairan tidak
lebih kecil dari 8 mg/liter (Barus 2004).
Nutrisi
Ketersedian unsur hara (nutrisi) di dalam air mempengaruhi pertumbuhan
fitoplankton. Banyaknya unsur hara mengakibatkan tumbuh suburnya tumbuhan,
terutama makrophyta dan fitoplankton. Fitoplankton dapat menghasilkan energi
dan molekul yang kompleks jika tersedia bahan nutrisi. Nutrisi yang paling
penting adalah nitrit dan fospat (Nybakken 1992). Fospat merupakan unsur
penting dalam air. Fospat terutama berasal dari sendimen yang selanjutnya akan
terfiltrasi dalam air tanah dan akhirnya masuk kedalam sistem perairan terbuka.
Selain itu fospat juga dapat berasal dari atmosfer bersama air hujan yang masuk

6
ke sistem perairan (Barus 2004). Komponen nitrit (
) jarang ditemukan pada
). Pada wilayah perairan
badan air karena langsung dioksidasi menjadi nitrat (
yang relatif dekat dengan buangan industri umumnya nitrit bisa dijumpai,
mengingat bahwa nitrit sering digunakan sebagai inhibitor terhadap korosi pada
sistem pendingin mesin (Wibisono 2005).
Defisit Oksigen
Defist oksigen merupakan selisih antara nilai saturasi oksigen dan
konsentrasi oksigen. Menurut Barus (2004), kehadiran senyawa organik yang
tinggi di perairan menyebabkan aktivitas penguraian meningkat. Peningkatan
aktivitas penguraian membutuhkan oksigen terlarut dalam jumlah yang lebih
tinggi untuk mengurai atau mengoksidasi senyawa organik tersebut. Konsumsi
oksigen yang tinggi menyebabkan penurunan konsentrasi oksigen terlarut dalam
air, sehingga terjadinya defisit oksigen. Defisit oksigen menyebabkan kebutuhan
respirasi organisme aquatik tidak terpenuhi, sehingga pertumbuhannya akan
terganggu. Semakin tinggi defisit oksigen yang terjadi maka populasi organisme
aquatik akan semakin menurun.
Penelitian Khare et al. (2013)
Pada penelitiannya yang berjudul efek penipisan oksigen terlarut pada
keberadaan populasi plankton, Khare et al. (2013) menyajikan model matematika
yang menggambarkan dinamika ekosistem plankton dengan melibatkan empat
variabel, yaitu konsentrasi nutrisi ( , kepadatan populasi alga ( , kepadatan
populasi zooplankton ( , dan konsentrasi oksigen terlarut ( .
Diasumsikan bahwa nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju .
Penipisan konsentrasi nutrisi disebabkan oleh faktor alami
dan pemangsaan
. Laju pertumbuhan alga dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta
oleh alga
sebanding dengan konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri. Berkurangnya
populasi alga disebabkan oleh faktor kematian alami
dan pemangsaan oleh
. Laju pertumbuhan zooplankton dipengaruhi oleh defisit
zooplankton
oksigen, serta sebanding dengan densitas alga dan zooplankton sendiri.
Berkurangnya populasi zooplankton di sebabkan oleh faktor kematian alami
. Konsentrasi oksigen terlarut masuk ke air dengan laju
dan penipisan
. Defisit oksigen didefinisikan sebagai selisih antara
alami oksigen adalah
nilai saturasi oksigen
dan konsentrasi oksigen terlarut.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, model ekosistem plankton diberikan
sebagai berikut:

dengan

.

7
dan
adalah koefisien tingkat penipisan.
, ,
dan
adalah
dan
adalah konstanta saturasi.
konstanta pembanding yang positif.
Hubungan antar variabel dalam model (2.10) dapat disajikan dalam bentuk
diagram kompartemen pada Gambar 1.

Gambar 1 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model
ekosistem plankton (disesuaikan dari Khare et al.)

Penelitian Misra (2007)
Pada penelitiannya mengenai analisis eutrofikasi, Misra (2007) menyajikan
model ekosistem plankton yang melibatkan variabel konsentrasi nutrisi ( ),
kepadatan populasi alga ( ), kepadatan populasi zooplankton ( ), konsentrasi
oksigen terlarut ( ) dan kepadatan detritus ( ).
Diasumsikan bahwa nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju dan
suplai nutrisi dari konversi detritus adalah
Penipisan nutrisi disebabkan
faktor alami
dan pemangsaan oleh alga
Laju pertumbuhan alga
sebanding dengan konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri
Berkurangnya populasi alga disebabkan faktor kematian alami
, adanya
dan pemangsaan oleh zooplankton
.
interaksi diantara sesama alga
Laju pertumbuhan zooplankton sebanding dengan densitas alga dan zooplankton
sendiri
Berkurangnya populasi zooplankton disebabkan faktor
dan adanya interaksi diantara sesama zooplankton
kematian alami
Sebagian dari alga dan zooplankton yang mati akan terkonversi menjadi detritus,
sehingga pertumbuhan detritus diasumsikan sebanding dengan densitas alga dan
. Konsentrasi oksigen
zooplankton. Tingkat penipisan alami detritus adalah
terlarut masuk ke air dengan laju dan suplai oksigen dari proses fotosintesis
alga sebesar
. Penipisan oksigen disebabkan oleh faktor alami
dan
.
proses konversi detritus yang mati menjadi nutrisi
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, model ekosistem plankton diberikan
sebagai berikut:

8

dengan
.
, ,
dan
adalah koefisien positif dari tingkat penipisan.
dan
adalah konstanta pembanding yang positif.
dan
adalah koefisien
positif dari laju berkurangnya alga dan zooplankton karena adanya interaksi
dan
adalah bagian dari konstanta
diantara sesamanya. Selanjutnya,
pembanding dimana
Hubungan antar variabel tersebut dapat disajikan dalam bentuk diagram
kompartemen pada Gambar 2.

Gambar 2 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model
ekosistem plankton (disesuaikan dari Misra)

3 HASIL DAN PEMBAHASAN
Modifikasi Model Ekosistem Plankton
Pada bagian ini dilakukan modifikasi model ekosistem plankton yang
mengacu pada model yang telah disajikan oleh Khare et al. (2013). Pada model
tersebut akan ditambahkan asumsi bahwa alga berperan sebagai salah satu
penyuplai oksigen melalui proses fotosintesis (Barus 2004). Modifikasi ini
dilakukan dengan mengkaji kembali beberapa penelitian sebelumnya yang relevan
dengan penelitian ini, salah satunya penelitian Misra (2007).
Pada model ini variabel yang digunakan adalah konsentrasi nutrisi ( ,
kepadatan populasi alga ( , kepadatan populasi zooplankton ( , dan konsentrasi

9
oksigen terlarut ( . Berikut keseluruhan asumsi yang membangun model ini,
nutrisi dari luar masuk ke dalam air dengan laju . Penipisan konsentrasi nutrisi
disebabkan oleh faktor alami
dan pemangsaan oleh alga
. Laju
pertumbuhan alga dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta sebanding dengan
konsentrasi nutrisi dan densitasnya sendiri. Berkurangnya populasi alga
disebabkan oleh faktor kematian alami
dan pemangsaan oleh zooplankton
. Laju pertumbuhan zooplankton dipengaruhi oleh defisit oksigen, serta
sebanding dengan densitas alga dan zooplankton sendiri. Berkurangnya populasi
zooplankton di sebabkan oleh faktor kematian alami
. Konsentrasi oksigen
terlarut masuk ke air dengan laju dan penipisan oksigen terlarut karena faktor
alami adalah
. Suplai oksigen dari proses fotosintesis alga sebesar
. Defisit
dan
oksigen didefinisikan sebagai selisih antara nilai saturasi oksigen
konsentrasi oksigen terlarut. Tingginya konsentrasi oksigen terlarut di dalam air
akan memperkecil defisit oksigen, sehingga pertumbuhan alga dan zooplankton
akan meningkat. Sebaliknya, saat konsentrasi oksigen menurun maka defisit
oksigen akan meningkat dan menyebabkan pertumbuhan plankton menurun.
Berdasarkan asumsi-asumsi di atas, model ekosistem plankton diberikan
sebagai berikut:

di mana

.
dan
adalah koefisien positif dari tingkat penipisan.
dan
adalah
dan
adalah konstanta pembanding yang positif.
konstanta saturasi. , ,
Hubungan antar variabel dalam model (3.1) dapat disajikan dalam bentuk
diagram kompartemen pada Gambar 3.

Gambar 3 Diagram hubungan antar kompartemen dalam model
ekosistem plankton

10
Sistem (3.1) inilah yang selanjutnya akan dianalisis untuk mempelajari
ekosistem plankton di dalam air. Untuk langkah pertama akan dikonstruksi suatu
daerah solusi yang menjamin bahwa sistem (3.1) memiliki solusi yang tak negatif
dan terbatas. Kemudian, akan dicari titik tetap dari sistem (3.1) yaitu dengan
menentukan solusi saat tidak terjadi perubahan pada sistem. Selanjutnya, masingmasing titik tetap akan dianalisis untuk mengetahui perilaku sistem dalam jangka
waktu yang panjang. Pada bagian akhir, hasil analisis akan diperiksa kembali
melalui simulasi numerik dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter. Selain itu,
akan diberikan pula gambaran mengenai dinamika yang terjadi hingga sistem
mencapai kondisi stabil.
Daerah Solusi Model Ekosistem Plankton
Pada bagian ini, akan dikonstruksi Lemma 3.1 yang menjamin bahwa
sistem (3.1) mempunyai daerah solusi yang tak negatif dan terbatas.
Lemma 3.1
Himpunan
adalah daerah solusi yang tak negatif dan terbatas dari sistem (3.1), dimana
.
Bukti:
Gunakan tiga persamaan pertama dari sistem (3.1) sehingga diperoleh,

merupakan tingkat penyerapan nutrisi oleh alga, selanjutnya nutrisi yang
Karena
diserap akan terkonversi menjadi alga dengan tingkat sebesar
tidak semua nutrisi yang diserap terkonversi dengan sempurna menjadi alga, maka
diperoleh bahwa
Melalui hubungan yang sama untuk alga dan
zooplankton, maka diperoleh pula bahwa
Dengan demikian, persamaan (3.2) dapat ditulis sebagai berikut

dimana

Sehingga diperoleh bahwa,

11

Misalkan
berikut:

, maka persamaan (3.3) dapat ditulis sebagai

Misalkan
, maka
Sehingga terdapat suatu konstanta positif

, sedemikian sehingga

Persamaan (3.4) akan diselesaikan menggunakan faktor integrasi (Robinson 2004),

Karena
Untuk

, maka
, diperoleh

Selanjutnya, dengan cara yang sama akan ditunjukan bahwa
Gunakan persamaan keempat dari sistem (3.1),

Dari persamaan (3.5) diperoleh hubungan bahwa

Misalkan

juga terbatas.

, sehingga

merupakan suatu konstanta positif, sedemikian sehingga

Persamaan (3.6) diselesaikan menggunakan faktor integrasi (Robinson 2004),
sehingga diperoleh hasil sebagai berikut

12

Karena
Untuk

, maka
, diperoleh
dan

Jadi diperoleh bahwa

.

Penentuan Titik Tetap
Pada bagian ini akan ditentukan titik tetap dari sistem (3.1). Titik tetap
tersebut diperoleh dengan menyelesaikan sistem (3.1), yang memenuhi kondisi
berikut:

Sistem tersebut memiliki empat titik tetap yaitu
.

di mana

Titik tetap
Pada kondisi ini, belum terdapat populasi alga maupun zooplankton di
. Keadaan ini menyebabkan konsentrasi nutrisi dan oksigen
dalam air
terlarut hanya bergantung pada suplai dari luar dan faktor penipisan alami. Dari
kondisi tersebut diperoleh,

.

Dengan demikian titik tetapnya adalah

dan
Titik tetap
Pada kedua titik tetap ini belum terdapat populasi zooplankton
.
Keberadaan populasi alga menyebabkan penurunan konsentrasi nutrisi
dikarenakan aktivitas penyerapan oleh alga, serta peningkatan konsentrrasi
dan
merupakan
oksigen dari hasil fotosintesis alga. Komponen titik tetap
solusi dari sistem berikut:

Dari persamaan (3.9) dan (3.10) diperoleh

dan

berikut,

13
Dengan mensubstitusi persamaan (3.11) ke persamaan (3.8) diperoleh persamaan
berikut,

Agar persamaan (3.12) menghasilkan akar-akar real yang bernilai positif (
) maka haruslah:

dan

Sehingga diperoleh,

dengan
dan masing-masing memenuhi
persamaan (3.13). Karena
dan
merupakan akar-akar real yang bernilai
positif, maka jumlah dan hasil kali dari kedua akar ini tentu juga bernilai positif.
Artinya,
atau
i.
dan
ii.

atau

Selanjutnya, dengan menggantikan
diperoleh
dan
sebagai berikut

Maka diperoleh titik tetap

, yaitu

Berikutnya, dengan menggantikan
dan
, dimana
diperoleh pula

ke persamaan (3.11) akan

.
ke persamaan (3.11) akan

Sehingga diperoleh titik tetap ketiga, yaitu
Titik tetap
Berbeda dengan titik tetap sebelumnya, pada titik tetap ini telah terdapat
populasi zooplankton ( . Dari asumsi yang telah dibangun pada sistem (3.1),
diketahui bahwa keberadaan populasi zooplankton akan menyebabkan
berkurangnya populasi alga disebabkan adanya aktivitas pemangsaan alga oleh
zooplankton. Dengan demikian, jumlah populasi alga pada kondisi ini (terdapat
populasi zooplankton) jelas lebih kecil dari jumlah populasi alga pada kondisi

14
tanpa keberadaan populasi zooplankton (
dan
.
bahwa,
Komponen titik tetap

) (Misra 2007). Sehingga diketahui

merupakan solusi dari sistem berikut:

Dari persamaan (3.20), (3.21) dan (3.22) diperoleh

Selanjutnya dengan menggantikan

dan

sebagai berikut,

ke persamaan (3.22) akan diperoleh

Jadi titik tetapnya adalah
(3.26).
Titik tetap

,

,

dari persamaan (3.24), (3.25) dan

ada, jika persyaratan berikut terpenuhi:
dan

Untuk selanjutnya, komponen-komponen titik tetap
dengan
.

akan dilambangkan

Analisis Kestabilan Titik Tetap
Pada bagian ini, akan dilakukan analisis untuk melihat sifat kestabilan dari
titik tetap. Terlebih dahulu akan dilakukan pelinearan pada sistem (3.1) sehingga
diperoleh suatu matriks Jacobi disekitar titik tetap . Sifat kestabilan akan
ditentukan berdasarkan nilai eigen dari matriks Jacobi untuk masing-masing titik
tetap.
Misalkan sistem persamaan diferensial taklinear pada persamaan (3.1)
dituliskan sebagai berikut:

15

Pelinearan pada sistem (3.27) menghasilkan matriks Jacobi sebagai berikut:

,

,

,

dan
merupakan komponen koordinat titik tetap
(
.
Titik tetap akan bersifat stabil, jika semua nilai eigen yang dihasilkan
oleh matriks Jacobi bernilai negatif (Tu 1994).
dimana

Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap
Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:

Nilai eigen

diperoleh dari

yaitu

terhadap matriks

16

Pada pembahasan sebelumnya telah jelaskan bahwa
merupakan
konstanta positif, maka jelas bahwa
. Sehingga sifat kestabilan
Dengan mensubstitusi nilai
dan
dari
akan ditentukan dari nilai
persamaan (3.7) pada pembilang
, diperoleh bahwa

dan
maka jelas bahwa
Karena
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari
bernilai positif.
akan bernilai positif, jika
Selanjutnya, diketahui pula bahwa pembilang dari
titik tetap
dan
ada (persamaan (3.17)). Sehingga dapat disimpulkan bahwa
akan bernilai positif dan titik tetap
bersifat tidak stabil, jika titik tetap
ada.
dan
Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap
Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:

terhadap matriks

,

,

Matriks
(

menghasilkan persamaan karakteristik berikut:

17
Solusi dari persamaan (3.28) merupakan nilai-nilai eigen berikut:

Nilai dari

dan

dapat dilihat pada Lampiran 2.

Dengan mensubstitusi
Selanjutnya akan dilakukan analisa terhadap nilai
nilai
dari persamaan (3.18) pada pembilang
, diperoleh bahwa

dan
maka jelas bahwa
Karena
bernilai positif. Selanjutnya
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari
dilakukan analisa terhadap nilai dari pembilang
Misalkan titik tetap
ada,
pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa
, maka akan
diperoleh hubungan berikut:

Dengan mensubstitusi nilai

dari persamaan (3.26), diketahui bahwa

Sehingga,
akan bernilai positif, jika
Dengan demikian diketahui bahwa pembilang dari
titik tetap
ada. Sehingga dapat disimpulkan bahwa titik tetap
bersifat tidak
ada.
stabil, jika titik tetap
Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap
Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:

terhadap matriks

,

18

,

Matriks

menghasilkan persamaan karakteristik berikut:

(
Solusi dari persamaan (3.29) merupakan nilai-nilai eigen berikut:

Nilai dari
nilai

dan

dapat dilihat pada Lampiran 2.

Selanjutnya akan dilakukan analisa terhadap nilai
Dengan mensubstitusi
dari persamaan (3.19) pada pembilang
, diperoleh bahwa

dan
maka jelas bahwa
Karena
Dengan demikian diketahui bahwa penyebut dari
bernilai positif. Selanjutnya
Misalkan titik tetap
ada,
dilakukan analisa terhadap nilai dari pembilang
pada pembahasan sebelumnya telah dijelaskan bahwa
, maka akan
diperoleh hubungan berikut:

Dengan mensubstitusi nilai

Sehingga,

dari persamaan (3.26), diketahui bahwa

19
Dengan demikian diketahui bahwa pembilang dari
akan bernilai positif, jika
ada. Sehingga dapat disimpulkan bahwa titik tetap
bersifat tidak
titik tetap
stabil, jika titik tetap
ada.
Kestabilan titik tetap
Pelinearan sistem (3.1) untuk titik tetap
Jacobi akan menghasilkan matriks Jacobi berikut:

terhadap matriks

,

,

Matriks

menghasilkan persamaan karakteristik berikut:

Solusi dari persamaan karakteristik tersebut merupakan nilai-nilai eigen untuk
Titik tetap
akan bersifat stabil, jika semua nilai eigen bernilai
titik tetap
negatif.
Selanjutnya, pada Teorema 3.1 dikonstruksi kriteria kestabilan untuk titik tetap
Teorema 3.1
Titik tetap
stabil di , jika kedua kondisi berikut terpenuhi
dan

Bukti :
Terlebih dahulu didefinisikan fungsi dengan
dan terdiferensialkan di
fungsi yang kontinu di

, dimana

merupakan
,

.

20

dengan
,
,
adalah suatu konstanta positif yang dipilih secara tepat.
Fungsi di atas disebut dengan fungsi Lyapunov, dimana
untuk
(Khare et al. 2013).
dan
Turunan dari fungsi

Karena
positif, maka

terhadap

diperoleh sebagai berikut,

adalah komponen koordinat titik tetap

berupa konstanta

Berdasarkan kondisi tersebut, maka persamaan (3.31) dapat ditulis sebagai
berikut:

Dengan mensubstitusi persamaan-persamaan di sistem (3.1) ke persamaan (3.32),
akan diperoleh

Selanjutnya dilakukan manipulasi aljabar sehingga diperoleh,

21

Selanjutnya, persamaan

akan direduksi dengan memilih

Sehingga akan diperoleh persamaan

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai berikut:

dengan

dan
sebagai berikut:

22

Berdasarkan Teorema kestabilan Lyapunov, titik tetap
dikatakan stabil
Syarat cukup agar
adalah dengan memenuhi ketaksamaan
jika
, yaitu sebagai berikut:

Pada bagian ini, digunakan himpunan
dimana
dan

yang telah didefinisikan pada Lemma 3.1
.

Dari ketaksamaan (3.37), diketahui bahwa

Dengan menggunakan hubungan (3.38) pada ketaksamaan (3.35) dan (3.36) akan
diperoleh bahwa,

Dari ketaksamaan (3.33) dan (3.34) diperoleh bahwa,
dan

.

Sehingga,

Jika kondisi (3.39) dan (3.40) terpenuhi, maka akan diperoleh bahwa
titik tetap
akan bersifat stabil.

dan

23
Setelah dilakukan analisis terhadap masing-masing titik tetap dari sistem
(3.1) diketahui bahwa,
1. Titik tetap
bersifat tidak stabil, jika titik tetap
dan
ada.
bersifat tidak stabil, jika titik tetap
ada.
2. Titik tetap
3. Titik tetap
bersifat tidak stabil, jika titik tetap
ada.
akan bersifat stabil, jika syarat pada Teorema 3.1 terpenuhi.
4. Titik tetap
Selanjutnya, sifat kestabilan dari masing-masing titik tetap akan kembali diperiksa
dengan pemberian nilai-nilai parameter.
Simulasi Numerik
Simulasi numerik dilakukan untuk memeriksa kembali sifat kestabilan dari
masing-masing titik tetap, simulasi ini dilakukan menggunakan software berbasis
fungsional. Nilai-nilai parameter yang digunakan pada simulasi ini diambil dari
penelitian Khare et al. (2013) dan Misra (2007), disajikan pada Tabel 1. Nilainilai parameter tersebut telah memenuhi syarat-syarat sehingga titik tetap yang
diperoleh bernilai tak negatif.
Tabel 1 Nilai parameter model
Parameter

Nilai

Satuan

3
24
0.009
3
0.01
0.1
0.51
0.41
0.33
0.3
0.5
0.35
0.2
30

mg l-1 hari-1
mg l-1 hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
hari-1
mg l-1
l mg -1 hari-1
hari-1
mg l-1
l mg -1 hari-1
hari-1
hari-1
mg l-1

Selanjutnya dengan mensubstitusi nilai-nilai parameter tersebut, diperoleh
koordinat dan nilai eigen untuk masing-masing titik tetap, disajikan pada Tabel 2.
Tabel 2 Koordinat dan nilai eigen masing-masing titik tetap
Titik
Tetap

Koordinat

Nilai eigen

24
Berdasarkan hasil tersebut, diketahui bahwa semua nilai eigen dari titik
tetap
bernilai negatif, artinya titik tetap
bersifat stabil dan syarat-syarat pada
Teorema 3.1 terpenuhi. Dengan demikian, ekosistem plankton pada perairan ini
akan mencapai kondisi yang stabil pada koordinat berikut:

Berikutnya diberikan gambaran mengenai dinamika yang terjadi hingga
sistem mencapai kondisi stabil, pada Gambar 4. Simulasi ini dilakukan untuk
jangka waktu 1000 hari dengan nilai awal, konsentrasi oksigen terlarut 9 mg/liter,
konsentrasi nutisi 4.5 mg/liter, densitas alga 1 mg/liter dan densitas zooplankton
0.5 mg/liter.

Gambar 4 Bidang solusi untuk titik tetap
Pada awal simulasi, konsentrasi oksigen terlarut akan menurun. Hal ini
dapat disebabkan oleh aktivitas organisme di dalam air, penurunan konsentrasi
oksigen akan menyebabkan peningkatan defisit oksigen dan berdampak pada
penurunan populasi alga dan zooplankton. Sebaliknya, pada awal simulasi
konsentrasi nutrisi justru meningkat tajam. Hal tersebut dikarenakan menurunnya
aktivitas penyerapan nutrisi oleh alga. Selanjutnya, dengan berkurangnya jumlah

25
organisme di dalam air, penggunaan oksigen juga akan berkurang dan ketersedian
oksigen di dalam air akan meningkat. Peningkatan konsentrasi oksigen dan
ketersediaan nutrisi yang tinggi akan berpengaruh pada peningkatan populasi alga
di dalam air. Tingkat pertumbuhan zooplankton juga akan membaik, meskipun
tidak terjadi peningkatan jumlah populasi. Seiring peningkatan populasi alga,
konsentrasi nutrisi akan menurun di karenakan aktivitas penyerapan oleh alga dan
konsentrasi oksigen terlarut akan meningkat di karenakan aktivitas fotosintesis
alga. Pada akhirnya, setiap variabel akan mencapai nilai kestabilan masing-masing,
sesuai dengan koordinat dari titik tetap .

4 SIMPULAN
Pada tesis ini telah dilakukan modifikasi dan analisis terhadap model
ekosistem plankton di dalam air. Model tersebut mempertimbangkan pengaruh
defisit oksigen pada tingkat pertumbuhan plankton, serta peran alga sebagai
penyuplai oksigen dari hasil fotosintesis. Rincian hasil utama dalam tesis ini
disimpulkan pada uraian berikut:
1 Model yang dihasilkan mampu menggambarkan ekosistem plankton di dalam
air.
2 Hasil analisis model ekosistem plankton dalam tesis ini memperoleh empat
titik tetap, dimana satu diantaranya bersifat stabil dengan kriteria tertentu dan
tiga lainnya bersifat tak stabil, jika memenuhi kondisi tertentu.
3 Simulasi numerik menggambarkan dinamika yang terjadi hingga sistem
mencapai kondisi stabil. Hasil tersebut menunjukan bahwa jika konsentrasi
oksigen di dalam air mengalami penurunan, maka populasi alga dan
zooplankton juga menurun, sedangkan konsentrasi nutrisi justru meningkat.
Selanjutnya, jika populasi alga di dalam air mengalami peningkatan, maka
konsentrasi oksigen juga meningkat, sedangkan konsentrasi nutrisi justru
menurun.

26

DAFTAR PUSTAKA
Anton H, Rorres C. 1995. Elementary Linear Algebra (9th ed). New York: John
Wiley and Sons, Inc.
Barus TA. 2004. Pengantar Limnologi: Studi tentang Ekosistem Air Daratan.
Medan : USU Press.
Braun M. 1983. Differential Equations and Their Applications. New York:
Springer-Verlag.
Franke U, Hutter K, Johnk K. 1999. A Physical-Biological Coupled Model for
Algal Dynamics in Lakes. Bull. Math. Biol., 61, pp. 239–272.
Hirsch M dan Smale S. 1974. Differential Equations, Dynamical Systems and
Linear Algebra. New York: Academic Press, Inc.
Khare S, Kumar S dan Singh C. 2013. Modelling Effect of the Depleting
Dissolved Oxygen on the Existence of Interacting Planktonic Population. Elixir
Appl. Math., 55, pp. 12739-12742.
Misra AK. 2007. Mathematical Modeling and Analysis of Eutrophication of
Water Bodies Caused by Nutrients. Nonlinear Analysis: Modelling and Control,
12, pp. 511-524.
Nontji A. 2008. Plankton Laut. Jakarta : LIPI Press.
Nybakken JW. 1992. Biologi Laut: Suatu Pendekatan Ekologis. Jakarta:
Gramedia Widiasarana Indonesia.
Prabandani D, Setiani BM dan Sabar A. 2007. Komposisi Plankton di Perairan
Waduk Saguling Jawa Barat. Bandung: Ikatan Ahli Teknik Penyehatan dan
Lingkungan Indonesia.
Robinson JC. 2004. An Introduction to Ordinary Differential Equations. New
York: Cambridge University Press.
Suin NM. 2002. Metoda Ekologi. Padang : Universitas Andalas.
Truscott JE, Brindley J. 1994. Ocean Plankton Populations as Excitable Media.
Bull. Math. Biol., 56(5), pp. 303–339.
Tu PNV. 1994. Dynamical System: An Introduction with Applications in
Economics and Biology. New York: Springer-Verlag.
Wibisono MS. 2005. Pengantar Ilmu Kelautan. Jakarta: PT. Gramedia
Widiasarana Indonesia.

27
Lampiran 1 Sintaks maple 13 untuk titik tetap

28

29

30
Lampiran 2 Sintaks maple 13 untuk matriks Jacobi dan nilai eigen

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

analisis dilakukan menggunakan teori kestabilan
Khusus untuk titik tetap
Lyapunov seperti yang telah dibahas pada bagian pembahasan.

43
Lampiran 3 Sintaks maple 13 untuk simulasi numerik

44

45

46

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Kota Sungai Liat, Provinsi Bangka Belitung pada
tanggal 30 Desember 1991 sebagai anak kedua dari empat bersaudara. Penulis
lahir dari pasangan Alm. Yuniman dan Rihusnani. Penulis menyelesaikan
pendidikan sekolah dasar di SDN 89 Bengkulu pada tahun 2003. Kemudian
menyelesaikan sekolah menengah di SMPN 10 Bengkulu pada tahun 2006 dan
SMAN 6 Bengkulu pada tahun 2009. Penulis melanjutkan studi S1 pada Program
Studi Matematika FMIPA di Universitas Bengkulu (UNIB) dan lulus pada tahun
2013. Pada tahun yang sama, penulis melanjutkan S2 Program Magister Sains
pada Sekolah Pascasarjana Institut Pertanian Bogor (IPB), Program Studi
Matematika Terapan dengan sponsor Beasiswa Pendidikan Pascasarjana Dalam
Negeri Direktorat Jenderal Pendidikan Tinggi (BPP-DN DIKTI).
Sebuah artikel telah terbit pada bulan Mei 2015 dengan judul Stability
Analysis of Plankton Ecosystem Model Affected by Oxygen Deficit, pada Jurnal
Applied Mathematical Sciences oleh penerbit Hikari Ltd, Bulgaria. Artikel
tersebut adalah bagian dari tesis penulis.