Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan

PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA
LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN
EKSTRIM CURAH HUJAN

DEBY VERTISA

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penentuan Bobot Optimum
dengan Pengganda Lagrange untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah
Hujan adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum
diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.

Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.

Bogor, September 2014
Deby Vertisa
NIM G14100039

ABSTRAK
DEBY VERTISA. Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk
Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan. Dibimbing oleh AJI HAMIM
WIGENA dan CICI SUHAENI.
Fenomena curah hujan ekstrim dapat memberikan dampak buruk berupa
tingginya risiko kegagalan produksi baik di bidang pertanian maupun perkebunan.
Pendugaan nilai ekstrim menggunakan nilai gabungan sebaran Champernowne
termodifikasi dan sebaran pareto terampat (Generalized Pareto Distribution/GPD)
diharapkan dapat mengantisipasi risiko kegagalan produksi. Penelitian ini bertujuan
untuk menentukan bobot optimum dengan pengganda Lagrange dalam pendugaan
nilai curah hujan ekstrim gabungan berdasarkan sebaran Champernownne
termodifikasi dan GPD, membandingkan hasil pembobotan menggunakan
pengganda Lagrange dengan pembobotan secara iterasi dan metode regresi linear,

serta melakukan peramalan nilai ekstrim curah hujan. Penelitian ini menggunakan
data curah hujan harian 1 Januari 1985 sampai 31 Maret 2011 di Stasiun
Klimatologi Darmaga-Bogor, Jawa Barat. Pendugaan GPD cenderung bias ke atas
sedangkan pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke
bawah. Penggabungan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dan GPD
menggunakan metode pengganda Lagrange menghasilkan nilai dugaan yang lebih
baik. Metode pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam penentuan
bobot optimum pada metode gabungan tanpa harus melalui proses trial and error
seperti pada proses iterasi. Peramalan jangka waktu satu bulan ke depan sangat baik
diduga menggunakan nilai gabungan.

Kata kunci :

pengganda Lagrange, sebaran Champernowne termodifikasi,
sebaran pareto terampat,
ABSTRACT

DEBY VERTISA. Determining Optimum Weight with Lagrange Multipliers to
Ensemble Two Extreme Value. Advised by AJI HAMIM WIGENA and CICI
SUHAENI.

The phenomenon of extreme rainfall could give negative impact such as a
high risk of failure in agriculture and plantation productions. The estimation of
extreme values using ensemble method to combine the estimates of modified
Champernowne distribution and Generalized Pareto Distribution (GPD) is expected
to anticipate the risk of production failure. The goals of this research are to
determine optimum weight by Langrange multiplier in estimating the ensemble two
extreme rainfall values based on modified Champernowne distribution and GPD,
to compare the weighted results using Langrange multiplier by weighting iteratively
and linear regression methods, and to forecast extreme rainfall values. The research
used daily rainfalls data from January 1, 1985 to March 31, 2011 in Darmaga-Bogor
Climatology Stations. The estimations using GPD tends to overestimate while the

modified Champernowne distribution tends to underestimate. The ensemble
method to combine both estimates using Langrange multiplier resulted a better
estimate. The Langrange multipliers could be used as an alternative method to
determine the optimum weight without trial and error process as in the iteration
process. Forecasting one month ahead is better using the ensemble method.
Keywords : ensemble, Generalized Pareto Distribution, Lagrange multipliers,
modified Champernowne distribution

PENENTUAN BOBOT OPTIMUM DENGAN PENGGANDA
LAGRANGE UNTUK PENGGABUNGAN NILAI DUGAAN
EKSTRIM CURAH HUJAN

DEBY VERTISA

Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Statistika
pada
Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014

Judul Skripsi : Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange untuk
Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan

Nama
: Deby Vertisa
NIM
: G14100039

Disetujui oleh

Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc
Pembimbing I

Cici Suhaeni, MSi
Pembimbing II

Diketahui oleh

Dr Anang Kurnia, MSi
Ketua Departemen

Tanggal Lulus:

PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala rahmat dan
karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Judul yang dipilih dalam
karya ilmiah ini adalah Penentuan Bobot Optimum dengan Pengganda Lagrange
untuk Penggabungan Nilai Dugaan Ekstrim Curah Hujan.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Dr Ir Aji Hamim Wigena, MSc dan
Cici Suhaeni, MSi selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran, kritik,
perhatian dan motivasi hingga selesainya karya ilmiah ini. Penghargaan dan
penghormatan penulis sampaikan kepada segenap dosen beserta staf Departemen
Statistika dan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian
Bogor yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis.
Ungkapan terima kasih juga penulis sampaikan kepada ayah, ibu, serta
seluruh keluarga atas segala doa dan kasih sayangnya, serta kepada keluarga besar
Statistika khususnya angkatan 47 dan teman-teman satu bimbingan yang selalu
saling menyemangati dan bersama-sama menimba ilmu di Institut Pertanian Bogor.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat untuk memberikan kontribusi yang nyata
terhadap pengembangan ilmu pengetahuan di bidang statistika dan penerapannya
di bidang klimatologi.

Bogor, September 2014

Deby Vertisa

DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL

xi

DAFTAR GAMBAR

xi

DAFTAR LAMPIRAN

xi

PENDAHULUAN

1

Latar Belakang

1

Tujuan Penelitian

2

TINJAUAN PUSTAKA

2

Curah Hujan

2

Teori Nilai Ekstrim

2

Sebaran Champernowne Termodifikasi

4

Pengganda Langrange

4

METODOLOGI 5
Bahan

5

Metode

5

HASIL DAN PEMBAHASAN

7

Eksplorasi Data

7

Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi

9

Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan

11

Peramalan Curah Hujan Ekstrim

13

SIMPULAN

15

DAFTAR PUSTAKA

16

LAMPIRAN

17

RIWAYAT HIDUP

23

DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6

Pengelompokan Data
Jumlah hari hujan tiap bulan periode 1985-2010
Nilai dugaan parameter GPD dan Champernowne termodifikasi
Uji Kolmogorov-smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Nilai RMSE untuk setiap kelompok data training
Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian

6
8
9
11
12
14

DAFTAR GAMBAR
1 Diagram kotak garis curah hujan harian periode 1985-2010
2 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010
3 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD (a) dan
sebaran Champernowne termodifikasi (b) periode analisis 1 Januari 198531 Desember 2010
4 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai
gabungan (w t =0.227) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010
5 Nilai RMSEP hasil peramalan periode i bulan ke depan

8
10

11
12
13

DAFTAR LAMPIRAN
1

Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data GPD pada
kuantil ≥ 0.9
2 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data sebaran
Champernowne termodifikasi pada kuantil ≥ 0.9
3 Penentuan Nilai Bobot Optimum menggunakan metode Pengganda
Lagrange

17
19
20

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Curah hujan merupakan salah satu unsur dari iklim dan cuaca yang dapat
memengaruhi aktifitas kehidupan manusia terutama dalam bidang pertanian dan
perkebunan. Permasalahan yang sering terjadi di bidang pertanian dan perkebunan
adalah tingginya risiko kegagalan yang diakibatkan adanya curah hujan ekstrim.
Curah hujan ekstrim baik ektrim basah (La Nina) maupun ekstrim kering (El Nino)
dapat mengakibatkan adanya penyimpangan pola curah hujan dari kondisi normal
(Djuraidah dan Wigena 2011). Risiko kegagalan dapat diantisipasi dengan
memanfaatkan pendugaan curah hujan ekstrim menggunakan teori nilai ekstrim dan
sebaran Champernowne termodifikasi.
Teori nilai ekstrim (Extreme Value Theory/EVT) bermanfaat untuk
mengetahui karakteristik nilai ekstrim curah hujan harian. Terdapat dua metode
pendugaan nilai ekstrim pada EVT, yaitu sebaran nilai ekstrim terampat
(Generalized Extreme Value Distribution/GEVD) dan sebaran pareto terampat
(Generalized Pareto Distribution/GPD). Penelitian sebelumnya yang dilakukan
Gilli dan Kellezi (2003) menyatakan bahwa GPD lebih baik dalam pendugaan nilai
ekstrim daripada GEVD pada kasus risiko finansial. Selain EVT, sebaran
Champernowne termodifikasi dapat pula digunakan dalam pendugaan nilai ekstrim.
Penelitian Buch-Larsen et al. (2005) dalam bidang ekonomi menyatakan bahwa
Champernowne termodifikasi merupakan metode alternatif dalam menganalisis
kejadian nilai ekstrim dengan pola sebaran yang konvergen terhadap GPD.
Beberapa kajian mengenai fenomena curah hujan dengan menggunakan EVT
antara lain Prang (2006) menganalisis curah hujan ekstrim dengan menggunakan
metode GEVD dan menyatakan bahwa GEVD dapat dijadikan acuan dalam
menentukan curah hujan ekstrim. Irfan (2011) menganalisis curah hujan ekstrim
dengan menggunakan metode GPD menyatakan bahwa GPD mampu memberikan
gambaran nilai dugaan curah hujan maksimum yang dapat dijadikan referensi
pengkajian lebih lanjut untuk mengantisipasi terjadinya curah hujan yang
dikategorikan ekstrim. Hafid (2013) menganalisis curah hujan ekstrim dengan
menggunakan sebaran Champernowne termodifikasi dan GPD menyatakan bahwa
penggabungan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi dengan dugaan
GPD berdasarkan pembobotan menghasilkan dugaan nilai ekstrim yang lebih
akurat. Sebaran Champernowne termodifikasi menghasilkan nilai dugaan yang bias
ke bawah, sedangkan GPD menghasilkan nilai dugaan yang bias ke atas, sehingga
dibutuhkan penggabungan hasil kedua metode untuk memperoleh hasil dugaan
yang lebih baik. Penggabungan nilai dugaan yang dilakukan Hafid (2013) adalah
dengan memanfaatkan pembobotan secara iterasi, sedangkan Wigena et al. (2014)
melakukan penggabungan nilai dugaan dengan memanfaatkan regresi linear untuk
penentuan bobot optimum. Metode iterasi menempuh proses trial and error,
sedangkan metode regresi linear mengalami kendala karena jumlah bobot harus
sama dengan satu. Oleh karena itu dibutuhkan suatu alternatif dalam penentuan
bobot optimum untuk metode penggabungan. Salah satu metode yang menarik
untuk dicobakan adalah metode pengganda Lagrange. Metode pengganda Lagrange
dinilai mampu menutupi kekurangan metode regresi linear dan metode iterasi

2
karena proses penentuan bobot optimum tidak melalui proses trial and error dan
tidak terkendala oleh adanya syarat jumlah bobot yang harus sama dengan satu.
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini antara lain:
1. Menentukan bobot optimum dengan pengganda Lagrange untuk
pendugaan nilai curah hujan ekstrim gabungan berdasarkan sebaran
Champernowne termodifikasi dan GPD.
2. Membandingkan penduga bobot optimum menggunakan metode
pengganda Lagrange dengan penduga bobot optimum berdasarkan
metode regresi linear dan iterasi.
3. Melakukan peramalan curah hujan ektrism berdasarkan sebaran
Champernowne termodifikasi, GPD dan nilai gabungan.

TINJAUAN PUSTAKA
Curah Hujan
Curah hujan adalah butir-butir atau kristal es yang keluar dari awan. Butir air
yang dapat keluar dari awan dan mencapai bumi sekurang-kurangnya bergaris
tengah 200 µm. Derajat curah hujan dinyatakan dengan jumlah curah hujan dalam
suatu satuan waktu. Biasanya satuan yang digunakan adalah mm/jam. Dalam
meteorologi butiran hujan dengan diameter lebih dari 0.5 mm disebut hujan dan
diameter antara 0.1 sampai 0.5 mm disebut gerimis. Semakin besar ukuran butiran
hujan maka semakin besar pula kecepatan jatuhnya. Keadaan curah hujan dikatakan
musim kering jika curah hujan kurang dari 50 mm/10 hari dan musim hujan jika
curah hujan mencapai lebih dari atau sama dengan 50mm/10 hari. Dikatakan curah
hujan ekstrim saat terjadi hujan sangat lebat secara terus menerus dengan jumlah di
atas 50 mm/jam (BMKG 2007).

Teori Nilai Ekstrim
Teori nilai ekstrim (Extreme Value Theory/ EVT) ialah salah satu teori yang
membahas kejadian ekstrim yang memberi perhatian pada informasi kejadiankejadian ekstrim yang diperoleh untuk membentuk fungsi sebaran dari nilai-nilai
tersebut. Model EVT didasarkan pada karakteristik Mn yang merupakan nilai
maksimun dari Xi yang bebas stokastik identik (bsi) sebagai berikut:
Mn = maks {X1, ... , Xn}
...(1)
Menurut Gilli dan Kellezi (2003) terdapat dua cara untuk menentukan nilai
ekstrim, yaitu dengan menggunakan metode blok maxima dan metode Peaks Over
Threshold (POT). Metode blok maxima menentukan nilai ekstrim berdasarkan
nilai-nilai maksimum dalam satu periode tertentu. Mn pada blok maxima konvergen
pada sebaran Generalized Extreme Value (GEV) dengan fungsi sebaran yang dapat
dinyatakan sebagai berikut:

...(2)

3
− −�
] ,� ≠
�
=
−
� [− � −
] ,� =
�
{
dengan µ adalah parameter lokasi, σ adalah parameter skala, dan ξ adalah parameter
bentuk (Kotz dan Nudarajah 1999).
Metode POT menentukan nilai ekstrim berdasarkan nilai-nilai yang
melampaui nilai suatu ambang (threshold,u). Mn pada POT konvergen pada sebaran
Generalized Pareto Distribution (GPD) dengan fungsi sebaran yang dapat
dinyatakan sebagai berikut (Embrechts et al. 1997):
� [−

=

+�

�y −�
−( + )
,� ≠
�

...(3)

,� =
{ − � −�
dengan y = x – u, x > u, σ > 0, dan 0 < ξ < 0.
Pemilihan nilai ambang yang terlalu rendah akan menyebabkan data yang
melamapui nilai ambang akan menyimpang secara signifikan, sedangkan pemilihan
nilai ambang yang terlalu tinggi akan menyebabkan galat model relatif rendah dan
galat perameternya tinggi. Fungsi kepekatan peluang GPD adalah (Mallor et al.
2009):
...(4)
�y −�−
( + )
,� ≠
�
ℎ
= �

� −
,� =
�
{�
serta invers dari fungsi sebaran GPD adalah:
�
...(5)
− ( − � −� − )
,� ≠
−
� = {�
−� ln − �
,� =
dengan p merupakan peluang komulatif. Nilai ξ menentukan karakteristik ujung
sebaran. Sebaran memiliki titik ujung kanan yang terhingga jika ξ < 0 sedangkan
ketika ξ ≥ 0 maka sebaran mempunyai titik ujung kanan yang tak terhingga yang
menunjukan adanya kemungkinan nilai yang sangat ekstrim. Pada penelitian ini,
penentuan nilai ekstrim didasarkan pada metode POT.
Besaran atau kuantitas yang menjadi perhatian bukan hanya tertuju pada
pendugaan parameter itu sendiri, tetapi pada tingkat pengembalian (return level)
dari penduga GPD. Tingkat pengembalian merupakan nilai maksimum yang
diharapkan akan dilampaui satu kali dalam jangka waktu m pengamatan dengan
periode tertentu. Misalkan δu melambangkan peluang P{X>u} dan peluang
bersyarat X dengan syarat X>u dapat dinyatakan dengan persamaan sebagai berikut:
− − ⁄�
P{� > |� > } =
+�
�
− − ⁄�
P{� > } = �
+�
�
− ⁄�
�−
=�
+�
�
...(6)

4
�

=

+

�
(
�

�

�

− )

Sebaran Champernowne Termodifikasi
D.G Champernowne melakukan penelitian pada tahun 1936 mengenai teori
distribusi pendapatan dengan memanfaatkan sebaran Champernowne sebagai
berikut:
=

−�

�

+ +

,⩝

∈

...(7)

dengan c adalah koefisien normalisasi serta α, λ, M sebagai parameternya. Fungsi
�
kepekatan peluang Champernowne ketika λ ≈ 1 ; c ≈ adalah :
� � �−
...(8)
= �
+ �
dengan fungsi sebaran sebagai berikut :
�

...(9)
+ �
Sebaran Champernowne tidak fleksibel ketika x ≈ 0, sehingga diperlukan
sebaran Champernowne termodifikasi yang diperkenalkan oleh Buch-Larsen et al.
(2005) dengan fungsi sebaran sebagai berikut:
+ �− �
...(10)
=
,∀ ∈
+ �+
+ �− �
Fungsi kepekatan peluangnya adalah:
� + �−
+ �− �
...(11)
=
,∀ ∈ +
+ �+
+ �− �
Invers dari sebaran Champernowne termodifikasi adalah:
=

�

⁄

�
�
− �−
...(12)
] −
−�
dengan p merupakan nilai peluang komulatif. Fungsi tingkat pengembalian sebaran
Champernowne dihasilkan dari substitusi fungsi sebaran T(x) sebagai berikut:
−

�
� = [

+

�

...(13)
+ �− � −
+ � + � ]� −
= [ .�
dengan δu =
̂ k/N, k = banyaknya data ekstrim yang dianalisis, N = banyakya data
pada periode yang dianalisis (Coles 2001).
�

Pengganda Langrange
Pengganda Langrange (Lagrange Multiplier) merupakan metode
penyelesaian optimasi Nonlinear Programming (NLP). Metode pengganda
Lagrange pada dasarnya mengubah persoalan titik ekstrim terkendala menjadi
persoalan ekstrim bebas kendala. Secara umum, permasalahan NLP sebagai berikut
(Hillier 2000):
fungsi objektif
: min f(x)
; x = { , ,… , }

5
: gi(x)=bi

fungsi kendala

; i= 1, ... ,m

dengan x merupakan peubah bebas yang akan ditentukan untuk memenuhi fungsi objektif,

p menunjukan banyaknya peubah bebas, bi merupakan konstanta, dan m merupakan
banyaknya kendala. Fungsi Lagrange yang terbentuk adalah:
�

� − ∑ �[

�, � =

�

�=

� −

�]

...(14)

Dengan λ merupakan pengganda Lagrange. Solusi optimum dari metode pengganda
Lagrange dapat diperoleh berdasarkan turunan pertama L terhadap �, � sebagai
berikut:
�
�
�
...(15)
=
− ∑�
= ; j = 1, 2, ..., p
�
�=
�

�

��

�

= −

� +

�

�

=

�

; i = 1, 2, ..., m

...(16)

Algoritma metode pengganda Lagrange:
1. Menentukan fungsi objektif (f(x)), fungsi kendala (gi(x)), dan fungsi
Lagrange ( �, � ).
2. Menentukan turunan pertama (

3. Mensubstitusi hasil

�

��

=

�

�

)=

dan

�

��

terhadap hasil (

4. Menentukan hasil eliminasi antar (

�

�

)=

�

�

= .

)=

untuk setiap j sehingga

ditemukan persamaan tak berkendala yang merupakan nilai x optimum.

METODOLOGI
Bahan
Penelitian ini menggunakan data curah hujan harian dari tanggal 1 Januari
1985 sampai 31 Maret 2011 di Stasiun Darmaga Bogor Jawa Barat. Data ini
diperoleh dari Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika.

Metode
Langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu:
1. Eksplorasi data untuk mengetahui pemusatan data, sebaran data, data pencilan
yang kemungkinan termasuk kejadian ekstrim, serta jumlah hari hujan.
2. Pengelompokan data berdasarkan periode tertentu menjadi data training dan
data validasi.

6
Tabel 1 Pengelompokan Data
Kelompok
Data Training
1
1 Jan.1985-31 Des.2001
1 Jan.1985-31 Des.2002
2
1 Jan.1985-31 Des.2003
3
1 Jan.1985-31 Des.2004
4
1 Jan.1985-31 Des.2005
5
1 Jan.1985-31 Des.2006
6
1 Jan.1985-31 Des.2007
7
1 Jan.1985-31 Des.2008
8
1 Jan.1985-31 Des.2009
9
1 Jan.1985-31 Des.2010
10

Data Validasi
1 Jan.-31 Mar. 2002
1 Jan.-31 Mar. 2003
1 Jan.-31 Mar. 2004
1 Jan.-31 Mar. 2005
1 Jan.-31 Mar. 2006
1 Jan.-31 Mar. 2007
1 Jan.-31 Mar. 2008
1 Jan.-31 Mar. 2009
1 Jan.-31 Mar. 2010
1 Jan.-31 Mar. 2011

3. Penentuan nilai ambang batas (u)
Data ekstrim curah hujan yang digunakan didasarkan pada nilai ambang batas (u)
untuk setiap kelompok data training. Chavez-Demoulin (2006) dalam Irfan (2011)
menyarankan bahwa sekitar 10% nilai tertinggi dari keseluruhan data dapat
dikategorikan sebagai data ekstrim.
4. Pendugaan parameter GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi terhadap
data ekstrim untuk setiap kelompok data training.
5. Pengujian asumsi sebaran curah hujan ekstrim untuk setiap kelompok data training
terhadap GPD dan sebaran Champernowne termodifikas menggunakan plot
kuantil-kuantil dan uji Kolmogorov-Smirnov.
Uji Kolmogorov-Smirnov bertujuan untuk memeriksa kesesuaian pola sebaran
data empirik terhadap sebaran teoritis dengan hipotesis:
H0 :
=
untuk semua nilai x
H1 :
≠
paling sedikit satu nilai x
Statistik uji yang digunakan ialah:
=

[|

−

|]

merupakan sebaran empirik dengan
= � − . / sedangkan
= − � untuk GPD dan
merupakan sebaran teoritik dengan
= − � untuk sebaran Champernowne termodifikasi. Nilai �
merupakan nilai peluang komulatif dan i merupakan urutan data dari kecil ke
besar dengan i=1,...,n. Hipotesis H0 akan di terima jika Nilai > . /√
yang menunjukan bahwa pola sebaran data empirik menyebar mengikuti
sebaran teoritis (Daniel 1990).
6. Evaluasi pendugaan nilai ekstrim menggunakan RMSE.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error (RMSE)
dugaan nilai ekstrim ( ̂ i) terhadap nilai aktual (xi). Dugaan nilai ekstrim yang
digunakan berdasarkan GPD ( ̂ GPD) dan Champernowne termodifikasi ( ̂ Champ).
∑�
−̂
, t = banyaknya nilai di
=√ =
atas kuantil 0.9
7. Pendugaan nilai ekstrim gabungan ( ̂ Gab) dengan cara pemberian bobot
optimum (wopt) terhadap nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi
( ̂ Champ) dan nilai dugaan GPD ( ̂ GPD).

7
̂ Gab = wopt . ̂ Champ + (1- wopt) . ̂ GPD
̂ Gab = w1 . ̂ Champ + w2. ̂ GPD

dengan w1 = wopt dan w2 = 1-wopt.

Bobot optimum ditentukan menggunakan metode iterasi yang mengacu pada
prosedur yang dilakukan Hafid (2013), metode regresi linear yang mengacu
pada prosedur yang dilakukan Wigena (2014), dan metode pengganda
Lagrange dengan fungsi objektif, fungsi kendala dan fungsi Lagrange sebagai
berikut:
fungsi objektif :
∑�=

f(w) =min
= min ∑�=

�

=√
−

− ̂�

∑�=

fungsi kendala :

g(w) =
fungsi Lagrange :
L(x,λ)
= ∑�=

�

̂

ℎ � � ̂�� �

−

∑�= ̂

;0≤

=

+

∑�=

ℎ � �

∑�= ̂��

�

+

−

+

�

̂

ℎ � �

+

∑�= ̂��
≤1

,

ℎ � �

+

−

ℎ � �

∑�= ̂

∑�= ( � ̂�� � ) +
∑�=

̂

�

∑�=

−

−

̂

�

∑�= ( � ̂�� � ) +

ℎ � � ̂�� �

+

8. Peramalan nilai tingkat pengembalian curah hujan maksimum.
Pengukuran simpangan galat berdasarkan Root Mean Square Error Prediction
(RMSEP) nilai ramalan ( ̂ m) terhadap nilai aktual (xm) jangka waktu m hari ke
depan.
�� =√

∑��= (

�

�

− ̂� )

; r = banyaknya
kelompok data
validasi

HASIL DAN PEMBAHASAN
Eksplorasi Data
Curah hujan pada tahun 1985 sampai 2010 di stasiun Darmaga Bogor
menunjukan adanya nilai-nilai ekstrim seperti yang terlihat pada Gambar 1.
Terdapatnya data pencilan yang relatif jauh dari pusat data menunjukan adanya
penyimpangan curah hujan dari kondisi normal yang menjadi pusat perhatian pada
penelitian ini. Terdapat nilai curah hujan harian yang sangat jauh memencil dari
data ekstrim lainnya, yaitu curah hujan harian pada tanggal 1 April 2004 mencapai
507 mm, pada tanggal 3 Juni 1995 mencapai 315 mm, dan pada tanggal 13 Februari
1998 mencapai 240 mm. Penelitian yang dilakukan Prang (2006) dan Irfan (2011)

8

Curah hujan harian (mm)

tidak menunjukan adanya nilai amatan yang lebih dari 200 mm, sedangkan Hafid
(2013) menghilangkan ketiga data tersebut dan melakukan penanganan data hilang.
Pada penelitian ini, dilakukan hal serupa dengan Hafid (2013) dengan pertimbangan
bahwa data yang sangat jauh memencil dapat memengaruhi keakuratan pendugaan.

Bulan
Gambar 1 Diagram kotak garis curah hujan harian periode 1985-2010
Tabel 2 Jumlah hari hujan tiap bulan periode 1985-2010
Jumlah
Rata-rata
Bulan
Hari Hujan Curah Hujan
Januari
594
17.79
Februari
572
17.34
Maret
563
18.44
April
488
20.52
Mei
443
22.31
Juni
326
20.88
Juli
273
19.66
Agustus
243
22.41
September
323
20.46
Oktober
449
20.47
November
545
19.72
Desember
517
15.77
Tabel 2 menunjukan bahwa jumlah hari hujan tertinggi sepanjang periode
1985-2010 terjadi di bulan Januari sebanyak 594 hari dengan rata-rata curah hujan
sebesar 17.78 mm, sedangkan jumlah hari hujan terendah terjadi di bulan Agustus
sebanyak 243 hari dengan rata-rata curah hujan sebesar 22.41 mm. Rata-rata curah

9
hujan di musim kemarau (bulan Maret sampai April) lebih tinggi dari rata-rata curah
hujan di musim hujan (bulan September sampai Februari). Hal ini menunjukan
adanya kemungkinan curah hujan ekstrim di musim kemarau.
Pendugaan Parameter GPD dan Sebaran Champernowne Termodifikasi
Sebelum melakukan pendugaan parameter GPD, terlebih dahulu dilakukan
penentuan nilai ambang u berdasarkan 10 % nilai tertinggi. Nulai u pada setiap
periode analisis berbeda dikarenakan jumlah hari hujan dan tinggiya curah hujan
berbeda-beda di setiap periode analisis. Nilai u pada periode 1985 sampai 2010
sebesar 35.5 mm. Jumlah curah hujan harian yang berada di atas nilai u selama
periode 1985 sampai 2010 sebanyak 949 hari. Data curah hujan yang berada di atas
nilai u ini yang selanjutnya akan dijadikan sebagai data training untuk pendugaan
parameter GPD dan Champernowne termodifikasi. Sementara periode untuk data
training lainnya mempunyai proses yang sama dalam penentuan nilai ambang u.
Interpretasi terhadap parameter skala σ menyatakan bentuk dari fungsi
peluang yang menggambarkan pola keragaman data. Parameter ξ menggambarkan
perilaku ekor kanan dari fungsi peluangnya. Hasil pendugaan parameter GPD
(Tabel 3) periode 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2007 memiliki keragaman
terbesar dengan nilai σ sebesar 25.30. Parameter ξ yang selalu bernilai negatif untuk
setiap kelompok data training menunjukan fungsi kepekatan peluang yang
terhingga sehingga kemungkinan terjadinya curah hujan yang sangat ekstrim sangat
kecil sekali.
Interpretasi terhadap parameter M menggambarkan titik pemusatan data,
parameter α menggambarkan pola keragaman data, sedangkan parameter c
menggambarkan pola sebaran ekor kanan. Namun nilai parameter c masih belum
dapat diketahui karakteristiknya. Hasil pendugaan parameter Champernowne
termodifikasi pada Tabel 3 menunjukan bahwa keragaman terbesar terjadi pada
periode 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2010 dengan parameter α terkecil yaitu
5.42. Karakteristik α pada Champernowne termodifikasi tidak sejalan dengan
karakteristik σ pada GPD karena karakteristik α pada Champernowne termodifikasi
dipengaruhi oleh parameter M.
Tabel 3 Nilai dugaan parameter GPD dan Champernowne termodifikasi
Periode Analisis

GPD

u
σ

1 Jan.1985-31 Des.2001
1 Jan.1985-31 Des.2002
1 Jan.1985-31 Des.2003
1 Jan.1985-31 Des.2004
1 Jan.1985-31 Des.2005
1 Jan.1985-31 Des.2006
1 Jan.1985-31 Des.2007
1 Jan.1985-31 Des.2008
1 Jan.1985-31 Des.2009
1 Jan.1985-31 Des.2010

35.50
36.00
35.80
36.00
36.40
36.10
36.00
36.00
35.70
35.50

24.74
24.62
24.42
24.74
25.06
24.99
25.30
25.22
24.99
25.00

ξ
-0.0902
-0.0884
-0.0856
-0.0862
-0.0885
-0.0854
-0.0851
-0.0862
-0.0828
-0.0805

Champernowne
Termodifikasi
M
α
c
53.0
53.0
53.0
53.0
53.2
53.0
53.0
53.0
52.8
52.5

5.59
5.64
5.60
5.60
5.57
5.53
5.51
5.51
5.47
5.42

0.0000166
0.0000048
0.0000442
0.0000040
0.0000119
0.0000476
0.0000012
0.0000284
0.0000059
0.0000117

0.00005

0.00010

0.00015

GPD
Champernowne T.

(174.5 , 0.0000603)

0.00000

fkp periode 1985-Des.2010

0.00020

10

160

180

200

220

240

Curah hujan ekstrim (mm)

Gambar 2 Fungsi kepekatan peluang GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi
periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember 2010

Karakteristik GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi periode analisis
1 Januari 1985-31 Desember 2010 ketika peluang kumulatif sebesar 0.9 dapat
dilihat pada Gambar 2. Penentuan peluang komulatif sebesar 0.9 didasarkan pada
penentuan nilai ambang u berdasarkan 10 % nilai tertinggi. Perpotongan kurva GPD
dan Champernowne termodifikasi terjadi ketika h(x)=t(x) (persamaan 4 dan 11).
Pada periode analisis 1 Januari 1985 sampai 31 Desember 2010 perpotongan kurva
terjadi pada saat nilai x sebesar 174.5 mm, dengan peluang
h(174.5)=t(174.5)=0.0000603. Perpotongan ini menunjukan bahwa nilai
pendugaan GPD selalu lebih besar dibandingkan nilai dugaan sebaran
Champernowne termodifikasi untuk peluang > 0.0000603, sebaliknya ketika
peluang ≤ 0.0000603 sampai konvergen ≈ 0, nilai pendugaan GPD selalu lebih kecil
dibandingkan nilai dugaan sebaran Champernowne termodifikasi.
Plot kuantil-kuantil pada Gambar 3 memperlihatkan bahwa data curah hujan
ekstrim di Darmaga Bogor memiliki indikasi menyebar GPD maupun
Champernowne termodifikasi. Plot kuantil-kuantil yang berada di atas garis linear
menunjukan pendugaan bernilai lebih kecil dari nilai aktual dengan kata lain
pendugaan bias ke bawah. Sebaliknya, plot kuantil-kuantil yang berada di bawah
garis linear menunjukan pendugaan bernilai lebih besar dari nilai aktual atau dengan
kata lain nilai dugaan bias ke atas. Pendugaan curah hujan ekstrim berdasarkan
GPD memiliki kecenderungan bias ke atas sedangkan pendugaan curah hujan
ekstrim berdasarkan sebaran Champernowne termodifikasi cenderung bias ke
bawah. Hal ini menunjukan bahwa pendugaan akan menjadi lebih baik apabila
dilakukan penggabungan nilai dugaan GPD dan nilai dugaan sebaran
Champernowne termodifikasi.

180
160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2010

160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2010

180

11

100

120

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160

180

80

100

120

140

160

180

200

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

(a)

(b)

Gambar 3 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan GPD
(a) dan sebaran Champernowne termodifikasi (b) periode analisis 1
Januari 1985-31 Desember 2010
Pengujian asumsi secara formal berdasarkan uji Kolmogorof-Smirnov
menunjukan bahwa sebaran data empirik setiap periode analisis mengikuti GPD
dan sebaran Champernowne termodifikasi (Tabel 4) pada taraf nyata 5% dengan
nilai statistik uji D lebih kecil dari nilai kritis D pada Tabel Kolmogorov-Smirnov.
Tabel 4 Uji Kolmogorov-smirnov data ekstrim curah hujan Darmaga Bogor
Nilai Tabel
Nilai Statistik Uji D
KolmogorovPeriode Analisis
Smirnov
GPD
Champernown T.
(α=5%)
1 Jan.1985-31 Des.2001
0.0191*
0.0330*
0.0547
1 Jan.1985-31 Des.2002
0.0184*
0.0202*
0.0534
1 Jan.1985-31 Des.2003
0.0227*
0.0292*
0.0516
1 Jan.1985-31 Des.2004
0.0168*
0.0202*
0.0505
1 Jan.1985-31 Des.2005
0.0175*
0.0124*
0.0491
1 Jan.1985-31 Des.2006
0.0173*
0.0152*
0.0480
1 Jan.1985-31 Des.2007
0.0145*
0.0124*
0.0472
1 Jan.1985-31 Des.2008
0.0149*
0.0162*
0.0462
1 Jan.1985-31 Des.2009
0.0146*
0.0242*
0.0451
1 Jan.1985-31 Des.2010
0.0138*
0.0232*
0.0441
*tidak nyata pada taraf nyata 0.05
Pendugaan Nilai Ekstrim Gabungan
Penentuan bobot menggunakan metode pengganda Lagrange secara rinci
dapat dilihat pada Lampiran 3. Bobot optimum berdasarkan metode pengganda
Lagrange menghasilkan nilai RMSE yang lebih kecil dibandingkan RMSE pada

12
̂ ℎ � maupun RMSE ̂�� . Penentuan bobot optimum dilakukan terhadap semua
kelompok data training dengan hasil disajikan pada Tabel 5.
Tabel 5 Nilai RMSE untuk setiap kelompok data training

wopt

RMSE
Periode Analisis
Jan.1985-Des.2001
Jan.1985-Des.2002
Jan.1985-Des.2003
Jan.1985-Des.2004
Jan.1985-Des.2005
Jan.1985-Des.2006
Jan.1985-Des.2007
Jan.1985-Des.2008
Jan.1985-Des.2009
Jan.1985-Des.2010

GPD

Champ.T.

Gabungan

Lagrange

Iterasi

6.449
6.732
6.247
5.705
4.616
4.116
3.885
3.884
3.625
3.414

7.514
7.294
6.681
7.744
8.752
8.842
9.532
9.246
8.742
9.059

4.727
4.394
3.923
3.617
3.094
2.756
2.704
2.638
2.356
2.238

0.571
0.467
0.473
0.392
0.295
0.267
0.234
0.243
0.247
0.227

0.571
0.467
0.473
0.392
0.295
0.267
0.234
0.243
0.247
0.227

Regresi
Linear
0.571
0.467
0.473
0.392
0.295
0.267
0.234
0.243
0.247
0.227

160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2010

180

Hasil pengukuran simpangan galat berdasarkan akar dari rata-rata jumlah
kuadrat galat (RMSE) pada Tabel 5 menunjukan bahwa pendugaan nilai gabungan
merupakan pendugaan terbaik dibandingkan dengan pendugaan GPD dan sebaran
Champernowne termodifikasi karena memiliki nilai RMSE yang minimum. Baik
secara iterasi, metode regrei linear, maupun menggunakan metode pengganda
Lagrange, ketiganya menghasilkan nilai bobot optimum (wopt) yang sama. Hal ini
menunjukan bahwa metode pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam
penentuan bobot optimum pada metode gabungan tanpa harus mengalami proses
trial and error seperti pada proses iterasi. Bobot optimum yang diperoleh untuk
sebaran Champernowne termodifikasi secara rata-rata sebesar 0.342 sedangkan
bobot optimum yang diperoleh untuk GPD secara rata-rata sebesar 0.658. Nilai
bobot optimum yang diperoleh untuk setiap periode analisis digunakan untuk
meramalkan nilai ekstrim berdasarkan pendugaan nilai gabungan.

100

120

140

160

180

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Metode Gabungan

Gambar 4 Plot kuantil-kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan dugaan nilai
gabungan (
=0.227) periode analisis 1 Januari 1985-31 Desember
2010

13
Gambar 4 menunjukan kesesuaian pola sebaran data empirik terhadap pola
̂� . Hasil pendugaan hampir secara tepat berada pada garis linear yang
menunjukan keandalan nilai gabungan dalam mengatasi bias ke atas pendugaan
GPD dan bias ke bawah pendugaan sebaran Champernowne termodifikasi.
Peramalan Curah Hujan Ekstrim
Penentuan pendugaan nilai terbaik dapat dilihat berdasarkan nilai RMSEP
antara nilai ramalan dengan nilai aktual pada setiap kelompok data validasi.
Peramalan berdasarkan nilai tingkat pengembalian (return level) bertujuan untuk
menduga nilai curah hujan maksimum yang secara rata-rata mungkin terjadi selama
m hari ke depan. Penentuan m hari ke depan dalam penelitian ini berdasarkan jangka
waktu i bulan ke depan. Jangka waktu dalam penelitian ini adalah peramalan jangka
waktu 1, 2, dan 3 bulan ke depan. Hasil peramalan curah hujan ekstrim untuk setiap
peramalan i bulan ke depan disajikan pada Tabel 6.
Peramalan i bulan ke depan berdasarkan nilai RMSEP yang paling kecil
(Gambar 5) menunjukan bahwa peramalan untuk jangka waktu 1 bulan ke depan
sangat baik diduga oleh nilai gabungan. Peramalan untuk jangka waktu 2 dan 3
bulan ke depan baik diduga oleh sebaran Champernowne termodifikasi. Keakuratan
peramalan 1 bulan ke depan menghasilkan nilai RMSEP yang lebih kecil
dibandingkan peramalan untuk 2 atau 3 bulan ke depan untuk ketiga metode. Hal
ini menunjukan bahwa peramalan sebaiknya dilakukan untuk 1 bulan ke depan.
50
45
36,684

40
35

RMSEP

30

26,491
21,711

25
20
15
10
5
0
1

2

3

Periode
GPD

Champernowne termodifikasi

niai gabnungan

Gambar 5 Nilai RMSEP hasil peramalan periode i bulan ke depan

14
Tabel 6

Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
Ramalan i bulan ke depan,
dengan i:
Curah Hujan
Periode Analisis
Ekstrim
1
2
3
1 Jan.1985-31 Jan.2001
85.170
52.730
44.170
1 Jan.1985-31 Jan.2002
43.670
68.230
60.570
1 Jan.1985-31 Jan.2003
65.100
37.070
56.400
1 Jan.1985-31 Jan.2004
77.670
84.570
111.670
1 Jan.1985-31 Jan.2005
99.030
56.500
23.170
Nilai aktual
1 Jan.1985-31 Jan.2006
86.400
67.570
32.730
1 Jan.1985-31 Jan.2007
47.030
47.370
74.870
1 Jan.1985-31 Jan.2008
42.270
35.900
32.530
1 Jan.1985-31 Jan.2009
39.400
74.730
54.270
1 Jan.1985-31 Jan.2010
39.200
12.830
22.300
1 Jan.1985-31 Jan.2001
61.966
76.293
84.901
1 Jan.1985-31 Jan.2002
62.265
76.658
85.289
1 Jan.1985-31 Jan.2003
62.135
76.711
85.157
1 Jan.1985-31 Jan.2004
62.267
77.287
85.361
1 Jan.1985-31 Jan.2005
62.745
77.287
86.031
1 Jan.1985-31 Jan.2006
62.735
77.302
86.077
GPD
1 Jan.1985-31 Jan.2007
62.783
77.911
86.679
1 Jan.1985-31 Jan.2008
62.731
77.428
86.277
1 Jan.1985-31 Jan.2009
62.741
77.368
86.192
1 Jan.1985-31 Jan.2010
62.825
77.506
86.372
RMSEP
21.855
31.024
43.289
1 Jan.1985-31 Jan.2001
60.420
70.582
76.949
1 Jan.1985-31 Jan.2002
60.220
70.278
76.566
1 Jan.1985-31 Jan.2003
60.505
70.885
77.154
1 Jan.1985-31 Jan.2004
60.370
70.522
76.879
Champernowne 1 Jan.1985-31 Jan.2005
60.705
70.945
77.367
termodifikasi
1 Jan.1985-31 Jan.2006
60.593
70.876
77.332
1 Jan.1985-31 Jan.2007
60.427
71.037
77.447
1 Jan.1985-31 Jan.2008
60.456
70.799
77.286
1 Jan.1985-31 Jan.2009
60.438
70.840
77.379
1 Jan.1985-31 Jan.2010
60.189
70.635
77.209
RMSEP
21.760
26.491
36.684

15
Tabel 6 Ramalan curah hujan ekstrim berdasarkan nilai tingkat pengembalian
(lanjutan)
Ramalan i bulan ke depan.
Curah Hujan
dengan i:
Periode Analisis
Ekstrim
1
2
3
1 Jan.1985-31 Jan.2001 61.083
73.032 80.360
1 Jan.1985-31 Jan.2002 61.175
73.258 80.640
1 Jan.1985-31 Jan.2003 61.276
73.641 80.939
1 Jan.1985-31 Jan.2004 61.113
73.174 80.204
1 Jan.1985-31 Jan.2005 61.307
72.816 79.923
1 Jan.1985-31 Jan.2006 61.165
72.592 79.667
Gabungan
1 Jan.1985-31 Jan.2007 60.979
72.646 79.607
1 Jan.1985-31 Jan.2008 61.009
72.410 79.471
1 Jan.1985-31 Jan.2009 61.007
72.453 79.556
1 Jan.1985-31 Jan.2010 60.787
72.195 79.289
RMSEP
21.711
27.744 38.525

SIMPULAN
Hasil pendugaan GPD cenderung bias ke atas sedangkan pendugaan sebaran
Champernowne termodifikasi cenderung bias ke bawah. Penentuan bobot optimum
pada nilai gabungan dengan menggunakan pengganda Lagrange memberikan hasil
dugaan yang lebih baik dengan rata-rata bobot optimum 0.342 untuk dugaan
sebaran Champernowne termodifikasi dan 0.658 untuk dugaan GPD. Nilai bobot
optimum yang diperoleh menggunakan metode pengganda Lagrange sama dengan
bobot optimum metode iterasi dan regresi linear. Hal ini menunjukan bahwa metode
pengganda Lagrange dapat dijadikan alternatif dalam penentuan bobot optimum
pada metode gabungan tanpa harus mengalami proses trial and error seperti pada
proses iterasi. Hasil peramalan sangat baik diduga untuk jangka waktu satu bulan
ke depan berdasarkan nilai gabungan dengan nilai RMSEP terkecil dibandingkan
GPD dan sebaran Champernowne termodifikasi.

16

DAFTAR PUSTAKA
[BMKG] Badan Meteorologi Klimatologi dan Geofisika. 2007. Teori metode
prediksi HyBMG versi 2.0.7. Jakarta (ID): BMKG.
Buch-Larsen T, Nielsen JP, Guillen M, Bolance C. 2005. Kernel density estimation
for heavy-tailed distribution using the Champernowne transformation.
Statistics. 39(6):503-518. DOI:10.1080/02331880500439782.
Coles. S. 2001. An Introduction to Statistical Modeling of Extreme Values. London
(GB): Springer.
Daniel WW. 1990. Applied Nonparametric Statistics. Boston (US): PWS-KENT
Publishing Company.
Djuraidah A, Wigena AH. 2011. Regresi kuantil untuk eksplorasi pola curah hujan
di Kabupaten Indramayu. Jurnal Ilmu Dasar. 12(1):50-56.
Embrechts P, Kliippelberg C, Mikosch T. 1997. Modelling Extremal Events.
London (GB) : Springer.
Gilli M,Kellezi E. 2003. An Application of Extreme Value Theory for Measuring
Financial
Risk.
Computational
Economics.
27(1):1-23.
DOI:10.1007/s10614-006-9025-7.
Hafid M. 2013. Pendugaan nilai ekstrim menggunakan sebaran Champernowne
termodifikasi. sebaran pareto terampat dan nilai gabungan studi kasus curah
hujan harian Darmaga Bogor [skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian
Bogor.
Hillier FS, Lieberman GJ. 2000. Introduction to Operations Research. New York
(US): McGraw-Hill.
Irfan M. 2011. Sebaran Pareto Terampat untuk menentukan curah hujan ekstrim
(studi kasus: curah hujan periode 2001-2010 pada Stasiun Darmaga)
[skripsi]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Kotz S, Nudarajah S. 1999. Extreme Value Distribution Theory and Applications.
London (GB): Imperial College Press.
Mallor F, Nualart E, Omey E. 2009. An introduction to statistical modelling of
extreme values application to calculate extreme wind speeds. HUB
Research Paper Economics snd Management. Brussel (GB) : HUB
Prang JD. 2006. Sebaran Nilai Ekstrim Terampat dalam fenomena curah hujan
[tesis]. Bogor (ID): Institut Pertanian Bogor.
Wigena AH, Djuraidah A, Mangku IW. 2014. Ensemble two return level of
generalized pareto and modified champernowne distributions using linear
regression. Advances and Applications in Statistics. 40(2):157-167

17

LAMPIRAN

180
160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2002

160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2001

180

Lampiran 1 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data GPD
pada kuantil ≥ 0.9

100

120

140

160

100

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

140

160

180
160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2004

180
160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2003

120

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

100

120

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160

100

120

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160

100

100

140

160

100
180

120

120
100

100

140

160

140

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160
120

140

160

y(i) Periode 1985-Des.2008

120

180

180

140

160

100

120

140

180

y(i) Periode 1985-Des.2007

100

120

y(i) Periode 1985-Des.2010

120

y(i) Periode 1985-Des.2009

100

100

140

160

120

140

160

y(i) Periode 1985-Des.2006

120

y(i) Periode 1985-Des.2005

180

180

18

Lanjutan Lampiran 1

160
100

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD
Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD
160

100

100

120

120

120

140

140

140

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD

160

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ GPD
160

160

180

19

180
160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2002

160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2001

180

Lampiran 2 Plot Kuantil-Kuantil curah hujan ekstrim aktual dengan data sebaran
Champernowne termodifikasi pada kuantil ≥ 0.9

80

100

120

140

160

180

80

100

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

140

160

180

160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2004

180

180
160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2003

80

100

120

140

160

180

80

100

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

120

140

160

180

160
140
120
100

120

140

160

y(i) Periode 1985-Des.2006

180

180

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

100

y(i) Periode 1985-Des.2005

120

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

80

100

120

140

160

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

180

200

80

100

120

140

160

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

180

200

20

180
160
140
100

120

y(i) Periode 1985-Des.2008

160
140
120
100

y(i) Periode 1985-Des.2007

180

Lanjutan Lampiran 2

80

100

120

140

160

180

80

200

100

140

160

180

200

160
140
120
100

100

120

140

160

y(i) Periode 1985-Des.2010

180

180

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

y(i) Periode 1985-Des.2009

120

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

80

100

120

140

160

180

80

200

100

120

140

160

180

200

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

Q(pi)=inv{F(pi)} ~ Champernowne

Lampiran 3 Penentuan Nilai Bobot Optimum menggunakan metode Pengganda
Lagrange
Fungsi objektif:
f(w) = min RMSE(w)
∑�=

= min √
�

√∑ =

− ̂�

objektif menjadi :

− ̂�

minimum jika ∑�= (

�

− ̂�

) minimum. Maka fungsi

21

f(w) =

� ∑�= (

= min ∑�=

�

− ̂�

�

−

= min ∑�=
= min ∑�=

= min ∑�=

�

�
�

)

−

−
−

∑�= ̂

. ̂

. ̂
̂

ℎ � �

ℎ � �

�

̂

−

ℎ � �

ℎ � � ̂�� �

∑�=

ℎ � �

∑�= ̂��

�

−( −

+

�

̂

. ̂��

−

+

ℎ � �

g(w) =

fungsi Lagrange:
L(x, = ∑�= � −

Penyelesaian:
�

�

�

∑�= ̂

ℎ � �

ℎ � �

+

∑�= ̂��

�

̂

�

−

̂

+

+

−

∑�= ( � ̂�� � ) +

̂��

�

̂

̂

ℎ � � ̂�� �

+

,

−

∑�= ( � ̂�� � ) +

−

̂

+

ℎ � �

;0≤

ℎ � �

∑�=

� ̂�� �

≤1

ℎ � � ̂�� �

+

∑�= ̂

ℎ � �

∑�=

+

̂

ℎ � � ̂�� �

−

=0

- ∑�= ( � ̂�� � ) +
�

�

+

�

�

=0

- ∑�=
�

∑�=

=

+

�

∑�=

fungsi kendala:

) . ̂��

=0
+

−

=

=

−

∑�=

̂

ℎ � � ̂�� �

+

∑�= ̂��

�

−

=0

=0

22

Eliminasi
- ∑�=

�

�
�

̂

dengan
ℎ � �

�

:

�

+

- ∑�= ( � ̂�� � ) +

- ∑�=
∑�=

- ∑�=
∑�=

=

̂

̂

∑�= ̂

�

̂

ℎ � �

+ ∑�=

�

̂

ℎ � �

+ ∑�=

ℎ � � ̂�� �

ℎ � � ̂�� �

[∑�=

�

̂

]+

]+

ℎ � �

[∑�= ̂

∑�=

̂

− ∑�=

ℎ � �

ℎ � � ̂�� �

+

̂

ℎ � � ̂�� �

∑�= ̂��

�

̂

ℎ � �

+

[∑�= ̂

ℎ � �

�

̂

ℎ � �

+

[∑�= ̂

ℎ � �

[∑�=

−

∑�=

+

ℎ � �

�

̂

̂

ℎ � � ̂�� �

[∑�=

ℎ � �

− ∑�=

̂

̂

− ∑�= ̂��

ℎ � � ̂�� �

− ∑�=

̂

+ ∑�= ̂��

=

−

�

−

]=

−

− ∑�= ̂��

ℎ � � ̂�� �

ℎ � � ̂�� �

�

−

�

]=

+ ∑�= ̂��
�

]

�

]

23

RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cianjur, Jawa Barat pada tanggal 20 September 1992
sebagai anak ketiga dari tiga bersaudara pasangan Syafrizal dan Marni.
Penulis menempuh pendidikan sekolah dasar di SD Negeri Cipanas 4 dan
lulus pada tahun 2004, pendidikan menengah pertama di SMP Negeri 1 Pacet dan
lulus pada tahun 2007, pendidikan menengah atas di SMA Negeri 1 Sukaresmi dan
lulus tahun 2010. Tahun 2010 Penulis melanjutkan pendidikan melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB (USMI) di Institut Pertanian Bogor (IPB) dan
diterima di Mayor Statistika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama menjadi mahasiswa, penulis aktif di beberapa kegiatan
kemahasiswaan. Tingkat pertama (Tingkat Persiapan Bersama/TPB ) penulis
mengikuti keanggotaan Dewan Gedung Asrama TPB IPB 2010, penulis pun aktif
di organisasi Lembaga Dakwah Kampus Al-Hurriyah di divisi Bimbingan Remaja
dan Anak-anak (Birena) sebagai anggota divisi Usaha dan Bisnis dan sebagai
bendahara divisi Kurikulum dan Kesiswaan (pada tingkat tiga). Penulis aktif
menjadi pengurus Himpunan Profesi Statistika Gamma Sigma Beta sebagai anggota
divisi Sains pada periode 2011/2012. Penulis juga aktif dalam berbagai kepanitian
seperti Statistika Ria 2011 dan 2012, serta kepanitian Pesta SAINS Nasional 2011.
Bulan Juli-Agustus 2013 penulis melaksanakan Praktik Lapangan di Badan
Meteorologi Klimatologi dan Geofisika Jakarta.