Penyelesaian Permainan Flow Colors dengan Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur
PENYELESAIAN PERMAINAN FLOW COLORS DENGAN
MEMINIMUMKAN DEVIASI PANJANG TIAP JALUR
IRFAN CHAHYADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Permainan
Flow Colors dengan Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2014
Irfan Chahyadi
NIM G54100057
ABSTRAK
IRFAN CHAHYADI. Penyelesaian Permainan Flow Colors dengan
Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
FARIDA HANUM.
Flow Colors adalah permainan puzzle asah otak. Tugas pemain adalah
menghubungkan setiap pasangan titik berwarna sama dengan pipa sehingga
memenuhi area permainan dengan warna. Pipa-pipa yang berbeda warna tidak
boleh bersilangan/overlapping. Permasalahan permainan ini dapat dimodelkan
sebagai masalah pembuatan rute pada graf yang merupakan modifikasi dan
pengembangan dari model Traveling Salesman Problem (TSP). Dalam karya ilmiah
ini akan dibahas bagaimana memformulasikan Puzzle Flow Colors dengan
meminimumkan deviasi panjang semua jalur menggunakan integer linear
programming serta menyelesaikannya dengan software LINGO 11.0.
Kata kunci: integer linear programming, puzzle Flow Colors, Traveling Salesman
Problem
ABSTRACT
IRFAN CHAHYADI. Solving Flow Colors Game to Minimize Length Deviation
of Each Line. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
Flow Colors is a puzzle game, where players must connect every pair of
points of the same color with a pipe so that the pipes cover all the game areas with
colors. Pipes with different colors should not be intersected/ overlapped. This
problem can be modelled as a problem of making routes on a graph which is a
modification of Traveling Salesman Problem (TSP). This study presents how to
formulate puzzle of Flow Colors to minimize length deviation of the lines
represented by the pipes by applying method of integer linear programming and
solving it by using LINGO 11.0 computer software.
Key words: integer linear programming, puzzle Flow Colors, Traveling Salesman
Problem
PENYELESAIAN PERMAINAN FLOW COLORS DENGAN
MEMINIMUMKAN DEVIASI PANJANG TIAP JALUR
IRFAN CHAHYADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
NAMA2014
PENULIS
Judul Skripsi : Penyelesaian Permainan Flow Colors dengan Meminimumkan
Deviasi Panjang Tiap Jalur
Nama
: Irfan Chahyadi
NIM
: G54100057
Disetujui oleh
Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc.
Pembimbing I
Dra. Farida Hanum, M.Si.
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT. atas segala nikmat,
rahmat, karunia dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini
berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Penyelesaian Permainan Flow
Colors dengan Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur. Penyusunan karya
ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 Keluarga tercinta: Ayah dan Mamah yang selalu memberi nasihat, motivasi
dan doa,
4 Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. selaku Pembimbing I atas kesabaran dalam
membimbing penulis serta saran dan ilmunya yang bermanfaat,
5 Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan
memotivasi penulis dalam menulis karya ilmiah ini,
6 Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku Dosen Penguji yang telah memberikan
ilmu, saran, serta dukungan,
7 seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah membimbing dan
memberikan ilmunya selama ini,
8 para staf Departemen Matematika IPB yang telah membantu dalam berbagai
hal
9 teman seperjuangan bimbingan: Kak Razon, Kak Fardan, Kak Dina, Kak Gita,
Kak Elisa, Kak Suzie, Kak Agung, Eric, Pupu, Alin,
10 Kamil, Danang, Ayun, Vina, Imad, Fikri, Fajar, Syafi’i, Rendi, Komti, Adi,
Tri, Nyoman, Irfan N, Bonno, Tuty, Susi, Abi, Irma, Aul, Dedi, Syika dan
seluruh teman-teman seperjuangan di Gumatika,
11 Kak Rio, Kak Dayat, Kak Mirna, Kak Galih dan semua Kakak kelas
Matematika 46 sebagai contoh yang baik,
12 semua sahabat Matematika 47 sebagai keluarga yang ceria,
13 semua adik-adik Matematika 48 dan 49 yang selalu mendukung,
14 dan semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar karya ilmiah ini dapat terus
menambah wawasan pembaca sekalian. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi
dunia ilmu pengetahuan, khususnya bidang matematika.
Bogor, Juni 2014
Irfan Chahyadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Ruang Lingkup Penelitian
LANDASAN TEORI
Linear Programming
Ekuivalensi Formulasi
Integer Programming
Traveling Salesman Problem
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Pemodelan
STUDI KASUS
Skenario 1
Skenario 2
Skenario 3
Skenario 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
viii
viii
viii
1
1
2
2
2
2
2
3
4
4
5
5
6
9
9
12
12
13
14
17
17
18
18
19
27
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur ×
Sel given pada Flow Colors berukuran × dengan 6 warna
Sel given pada Flow Colors berukuran × dengan warna
Sel given pada Flow Colors berukuran ×
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 1
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 2
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 4
9
12
13
13
14
14
16
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Flow Colors ×
Ilustrasi permainan Flow Colors × dengan 5 warna dan solusinya
Perbedaan dengan kendala eliminasi subtur (kiri) dan tanpa kendala
eliminasi subtur (kanan)
Kasus Flow Colors berukuran ×
Kasus Flow Colors berukuran × dengan 6 warna
Kasus Flow Colors berukuran × dengan 3 warna
Kasus Flow Colors berukuran ×
Hasil solusi Skenario 1
Hasil solusi Skenario 2
Hasil solusi Skenario 3
Hasil solusi Skenario 4
Solusi optimal yang tak tunggal
Karakteristik kasus yang tidak memiliki solusi
1
5
8
9
12
12
13
14
14
15
15
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Script komputasi MATLAB untuk membangkitkan matriks � ,
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 1
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 2
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 3
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 4
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 1
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 2
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 3
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 4
19
20
21
22
23
24
24
25
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam perkembangannya matematika memiliki peranan penting dalam
memecahkan masalah kehidupan sehari-hari. Tidak hanya permasalahan dalam
dunia nyata, matematika juga dapat menyelesaikan beberapa permasalahan yang
ditemukan dalam sebuah permainan. Beberapa permainan dapat diselesaikan
dengan matematika seperti Sudoku, Challenger puzzle, N-Queens problem, dan
masih banyak lagi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas pemecahan masalah
permainan Flow Colors dengan pendekatan matematika. Flow Colors adalah
permainan puzzle asah otak yang dikembangkan oleh Mohammed Nafiz
Almadhoun. Selain di website-nya, permainan ini dapat ditemui di beberapa
platfom seperti Android sebagai sebuah aplikasi.
Dalam permainan Flow Colors, tugas pemain adalah menghubungkan setiap
pasangan titik berwarna sama dengan pipa sehingga memenuhi area permainan
dengan warna. Namun pipa-pipa tersebut tidak boleh bersilangan/overlapping.
Contoh kasus dapat dilihat pada Gambar 1. Area permainan merupakan persegi
dengan banyak sel. Tingkat kesulitan puzzle ini ditentukan oleh besarnya area
permainan dan banyaknya warna. Permasalahan permainan ini dapat dimodelkan
sebagai masalah pembuatan rute pada graf yang merupakan modifikasi dan
pengembangan dari model Traveling Salesman Problem (TSP) sehingga dapat
diselesaikan dengan metode Integer Linear Programming (ILP). Dalam karya
ilmiah ini akan dibahas bagaimana memformulasikan permainan puzzle Flow
Colors dengan metode integer linear programming, serta menyelesaikannya
menggunakan software LINGO 11.0.
Gambar 1 Flow Colors
×
2
Perumusan Masalah
Permainan ini mengundang beberapa pertanyaan menarik untuk bidang ilmu
matematika:
1. Dapatkah permainan ini dipecahkan dengan konsep matematika?
2. Teknik matematika apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan ini?
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini ialah memodelkan puzzle Flow Colors menggunakan
Integer Linear Programming dengan meminimumkan deviasi panjang tiap jalur dan
menyelesaikannya dengan software LINGO 11.0.
Ruang Lingkup Penelitian
Puzzle yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah Flow Colors dengan
ukuran × . Puzzle ini dapat dikembangkan sampai ukuran berapapun. Dalam
karya ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan hanya sampai Flow Colors
berukuran × .
LANDASAN TEORI
Untuk dapat memodelkan puzzle Flow Colors, diperlukan beberapa
pemahaman teori tentang linear programming, Ekuivalensi Formulasi, integer
programming, dan Traveling Salesman Problem.
Linear Programming
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan konsep-konsep dasar
yang harus dipahami terkait dengan linear programming. Sebuah fungsi
� � , � , … , � dari variabel � , � , … , � adalah fungsi linear jika dan hanya jika
untuk suatu himpunan konstanta
, , … , , fungsi � berbentuk
� � , � , … , � = � + � + ⋯ + � , sedangkan untuk suatu fungsi linear
� � , � , … , � dan sembarang bilangan , pertidaksamaan � � , � , … , �
disebut pertidaksamaan linear (Winston 2004).
dan � � , � , … , �
Dalam Winston (2004), masalah linear programming (LP) adalah masalah
pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan berikut ini:
1. Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan (atau meminimumkan)
fungsi linear dari variabel keputusan. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau
diminimumkan disebut fungsi objektif.
2. Nilai dari variabel keputusan harus memenuhi sekumpulan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
3. Terdapat pembatasan tanda untuk setiap variabel. Untuk sembarang variabel
� , pembatasan tanda mengharuskan � taknegatif (�
) atau tidak dibatasi
tandanya (unrestricted in sign).
3
Ekuivalensi Formulasi
Dalam memformulasikan permasalahan dunia nyata banyak terdapat model
yang kompleks. Untuk beberapa kasus, formulasi tersebut dapat diekspresikan
secara matematik dengan lebih dari satu cara. Ekspresi yang berbeda tersebut
mungkin tidak ekuivalen secara matematik namun secara komputasi lebih mudah
untuk diselesaikan (Dantzig dan Thapa 1997). Misalkan dalam suatu model
matematik terdapat fungsi nilai mutlak yang didefinisikan sebagai fungsi terhadap
� dengan:
|�| = {
�,
−�,
�
�< .
Permasalahan tersebut bukan LP karena terdapat fungsi nilai mutlak yang
merupakan fungsi taklinear. Menurut Dantzig dan Thapa (1997), jika fungsi nilai
mutlak muncul dalam persamaan umum, maka tidak mungkin memformulasikan
ulang fungsi tersebut menjadi persamaan linear. Namun jika fungsi tersebut hanya
terdapat pada fungsi objektif, maka model tersebut dapat diformulasikan ulang
menjadi pemrograman linear.
Misalkan diberikan fungsi objektif untuk meminimumkan jumlah bobot dari
nilai mutlak dengan taknegatif terhadap sekumpulan kendala linear, yaitu:
Minimumkan
dengan kendala
� = ∑ |� |
∑
=
=
� =
dengan
,
untuk = , … ,
Didefinisikan � = � + − � − dengan � +
menjadi:
Minimumkan
dengan kendala
� = ∑ |� + − � − |
∑
=
=
�+ − �− =
untuk = , … ,
, �−
,
.
sehingga model tersebut
dengan
untuk = , … ,
untuk = , … ,
.
Menurut Lema Dantzig dan Thapa (1997) jika
untuk semua , maka salah
+
−
satu dari � atau � akan bernilai nol saat solusi optimum atau secara matematik
� + ∙ � − = , sehingga akan terdapat tiga kemungkinan yaitu:
� + > dan � − = ,
� + = dan � − = ,
� + = dan � − > .
Dari definisi nilai mutlak:
�+ �−
�+ − �−,
+
−
|� − � | = { +
−� + � − ,
�+ < �−
4
Dari 3 kemungkinan tersebut diperoleh:
(i) Jika � + > � − , maka � + > dan � − = sehingga
�+ − �− = �+ − = �+ + = �+ + �−
(ii) Jika � + = � − , maka � + = � − = sehingga
�+ − �− = = �+ + �−
(iii) Jika � + < � − , maka � + = dan � − > sehingga
� + − � − = − � − = + � − = �+ + � −.
Dari tiga hal tersebut dapat disimpulkan bahwa jika � + ∙ � − = , maka
|� + − � − | = � + + � − . Formulasi masalahnya menjadi Linear Programming
berikut:
Minimumkan � = ∑
Kendala
∑
=
=
�+ + �−
(� + − � − ) =
dengan
untuk = , … ,
untuk = , , … ,
�+
, �−
untuk = , , … , .
Dalam karya ilmiah ini akan dilakukan proses pengubahan fungsi nilai mutlak
menjadi fungsi linear dalam fungsi objektifnya.
Integer Programming
Pemrograman integer atau integer programming (IP) adalah LP dengan
sebagian atau seluruh variabel diharuskan bilangan bulat taknegatif. Jika seluruh
variabel diharuskan bilangan bulat (integer) maka masalah tersebut disebut pure
integer programming. Jika hanya sebagian variabel diharuskan integer maka
disebut mixed integer programming. Integer programming dengan variabel harus
bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).
Traveling Salesman Problem
Menurut Fournier (2009), Traveling Salesman Problem (TSP) dapat
dipandang sebagai permasalahan penentuan cycle Hamilton pada suatu graf yaitu
cycle yang melewati semua verteks dari graf tersebut tepat satu kali. TSP
merupakan permasalahan seorang penjual yang harus melakukan tur ke sejumlah
kota, berangkat dari sembarang kota awal, melewati setiap kota tepat sekali, dan
terakhir kembali ke kota di mana ia berangkat. Penentuan rute ditetapkan
berdasarkan jarak minimum yang akan ditempuh.
Persamaan permasalahan TSP dengan Flow Colors adalah setiap sel harus
terlewati tepat satu kali, dan tidak diperbolehkan adanya subtur; sedangkan
perbedaannya, pada Flow Colors rute tidak kembali ke titik awal (bukan cycle
Hamilton), dan rute tidak tunggal. Misalkan sebuah permasalahan TSP terdiri dari
N kota dan
adalah jarak dari kota ke kota untuk ≠ dan
= dengan
adalah bilangan yang relatif besar. Didefinisikan variabel keputusan:
� ={
,
,
jika perjalanan dari kota ke kota termasuk solusi TSP
jika selainnya.
5
Solusi permasalahan TSP tersebut didapatkan dengan menyelesaikan
formulasi berikut:
Minimumkan
dengan kendala
�
�
=
=
� = ∑∑
�
dengan
�
∑� = ,
untuk = , , … ,
=
�
∑� = ,
� −� +
=
∙�
untuk = , … ,
−
untuk = , , … ,
;∀ ≠ , ≠ , ≠ ,�
.
(Winston 2004)
Kendala terakhir disebut kendala penghilang subtur atau Subtour Eliminating
Constraint (SEC) yaitu kendala yang mencegah terjadinya cycle Hamilton yang
tidak memuat semua verteks. Kendala ini selanjutnya akan dimodifikasi sesuai
dengan permasalahan Flow Colors.
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Pada puzzle Flow Colors, area permainan merupakan sel-sel persegi dengan
ukuran × sehingga total sel dalam satu permainan adalah . Contoh puzzle
Flow Colors dapat dilihat pada Gambar 2. Terdapat
titik given, yaitu pasang
Gambar 2 Ilustrasi permainan Flow Colors
solusinya
×
dengan 5 warna dan
titik berbeda warna yang telah diberikan di awal permainan dan diletakkan di sel2
. Tugas pemain ialah menghubungkan kedua
sel yang berbeda dengan
titik given yang warnanya sama hanya dengan sebuah jalur sehingga solusi yang
diharapkan adalah buah jalur dengan warna sesuai given-nya. Ruas jalur antara
dua sel yang berdekatan hanya dapat dibuat dengan arah kanan, kiri, atas, bawah,
6
dan tidak boleh diagonal. Jadi, jalur merupakan sekumpulan ruas jalur yang saling
terhubung dan berlanjut. Permasalahan lain yang harus dihadapi pemain adalah
setiap jalur tidak boleh saling bersilangan atau overlapping dan setiap sel harus
terlewati oleh tepat satu jalur (Madhoun 2014). Dalam karya ilmiah ini akan dicari
solusi terbaik dengan kriteria deviasi dari panjang tiap jalur adalah minimum.
Pemodelan
Berdasarkan analisis masalah, maka dapat dibuat formulasi masalah tersebut
ke dalam bentuk integer linear programming (ILP). Bentuk formulasi masalah
puzzle Flow Colors berukuran × dengan
buah warna diberikan sebagai
berikut:
Indeks
,
= indeks sel; , = , , … ,
= indeks warna;
= , ,…,
,
,
2
dengan
.
Himpunan
�
= himpunan pasangan terurut , , dengan ialah indeks sel titik
given dan ialah indeks warna given tersebut
Parameter
; jika ruas jalur antara dan mungkin dibuat
={
� ,
; selainnya,
= ukuran puzzle,
= jumlah total sel
,
= jumlah total warna,
�−
.
�
= rata-rata ideal panjang tiap jalur
Variabel keputusan
; jika sel dan terhubung dengan ruas jalur berwarna
, , ={
; selainnya,
,
; jika sel terisi warna
; selainnya,
={
panjang jalur berwarna :
= ∑∑
∀
∀
, ,
;∀ .
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan deviasi panjang tiap
jalur. Hal ini dapat diperoleh dengan meminimumkan jumlah selisih panjang tiap
jalur berwarna dengan rata-ratanya:
Minimumkan ∑|� −
∀
|
7
Dengan fungsi nilai mutlak sebagai fungsi objektif, maka permasalahan ini
menjadi pemrograman taklinear. Dalam komputasinya, LINGO 11.0 tidak dapat
menjamin diperolehnya solusi optimum global jika model tersebut adalah
pemrograman taklinear. Oleh sebab itu perlu adanya ekuivalensi formulasi fungsi
nilai mutlak menjadi fungsi linear. Model tersebut dapat diformulasikan ulang
menjadi pemrograman linear dengan mengganti nilai mutlaknya dengan bagian
.
dan
positif dan negatifnya, yaitu
; = , ,…,
; = , ,…,
sehingga
;∀
−
�−
=
dengan fungsi nilai mutlaknya
|� −
|=
;∀
+
maka fungsi objektif dapat diubah menjadi:
Minimumkan ∑(
∀
)
+
Kendala
Kendala dalam permasalahan ini ialah:
1. Kemungkinan pembuatan ruas jalur dibatasi oleh parameter �.
, ,
;∀ , , .
� , −
2. Semua sel terisi tepat satu warna.
∑
∀
,
=
;∀ .
3. Semua sel given sudah terisi satu warna.
, =
;∀ ,
�.
4. Semua sel given terhubung dengan tepat satu ruas jalur.
∑
, ,
+∑
∑
, ,
−
,
=
;∀ , = { | ,
�}.
∑
, ,
−
,
=
;∀ , = { | ,
�}.
∀
, ,
∀
=
;∀ ,
�.
5. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sel tersebut menuju ke sembarang sel.
∀
6. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sembarang sel menuju sel tersebut.
∀
7. Untuk setiap ruas jalur, dua sel yang dihubungkannya berwarna sama dengan
ruas jalur tersebut.
, +
, − ∙
, ,
;∀ , , .
8. Setiap ruas jalur tidak diperbolehkan bolak-balik.
, , +
, ,
;∀ , , .
8
9. Tidak diperbolehkan adanya suatu subtur.
Dalam pembuatan solusi, terdapat kemungkinan terjadinya subtur seperti pada
Gambar 3 sehingga perlu dibuat kendala eliminasi subtur.
Gambar 3 Perbedaan dengan kendala eliminasi subtur (kiri) dan tanpa kendala
eliminasi subtur (kanan)
Tanpa kendala eliminasi subtur, akan terdapat subtur sehingga terdapat lebih
dari
buah jalur (dengan
adalah banyaknya warna,
= ). Hal ini
melanggar aturan permainan yaitu hanya terdapat
buah jalur. Kendala
tersebut dituliskan sebagai berikut:
, −
, + ∙
, ,
−
;∀ , , .
Subtur yang terjadi pada Gambar 3 yaitu subtur 16-17-23-29-28-22-16 yang
berwarna biru muda. Misalkan = untuk warna biru muda, sehingga
, , =
, , =⋯=
, , = dengan
=
. Subtur
ini menghasilkan 6 pertidaksamaan berikut:
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
Jika semua pertidaksamaan ini dijumlahkan maka hasilnya:
∙
∙
(kontradiksi)
,
sehingga subtur tersebut (dan semua subtur lain yang mungkin) dihilangkan
oleh kendala eliminasi subtur.
10. Persamaan tambahan untuk pelinearan fungsi nilai mutlak.
;∀
−
�−
=
11. Kendala ketaknegatifan variabel
{ , }
, ,
;∀ , ,
{
}
,
,
;∀ ,
,
;∀ ,
;∀
;∀ .
9
STUDI KASUS
Permasalahan Flow Colors yang akan dibahas pada karya ilmiah ini diperoleh
dari website Mohammed Almadhoun yang beralamat di Madhoun (2014).
Selanjutnya akan dibahas empat skenario dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa di website tersebut hanya disajikan soal-soal Flow Colors
berukuran × hingga
× . Skenario pertama dan ketiga tidak diperoleh dari
website tersebut.
Skenario 1
Skenario pertama menguji model dengan soal Flow Colors berukuran ×
dan warna. Misalkan diberikan 4 titik given, yaitu 2 titik berwarna merah pada sel
1 dan 6 serta berwarna biru pada sel 3 dan 5. Sebelum memformulasikan masalah
tersebut, perlu dibuat model tiruan dari Flow Colors. Sel-sel dalam area permainan
direpresentasikan sebagai berikut:
Gambar 4 Kasus Flow Colors berukuran
Pada skenario ini area permainan berukuran
matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur:
×
×
sehingga diperoleh
Tabel 1 Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur
Sel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
1
0
1
0
1
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0
1
0
0
0
4
1
0
0
0
1
0
1
0
0
5
0
1
0
1
0
1
0
1
0
6
0
0
1
0
1
0
0
0
1
7
0
0
0
1
0
0
0
1
0
×
8
0
0
0
0
1
0
1
0
1
9
0
0
0
0
0
1
0
1
0
Tabel tersebut selanjutnya disebut matriks � yang merepresentasikan
kemungkinan dibuatnya suatu ruas jalur pada Flow Colors berukuran × . Jika
� , bernilai 0 (nol), maka tidak mungkin dibuat suatu ruas jalur dari sel ke sel
. Sebaliknya, jika � , bernilai 1 (satu), maka ruas jalur dari sel ke sel
mungkin dibuat.
10
Matriks � dapat dibangkitkan dengan cara sebagai berikut:
�
,
={
| − |=
,
,
selainnya
[| − | =
(
[ >
[ <
mod ,
mod ,
≠ ]
≠ ]
)]
Matriks � dapat juga dibangkitkan dengan software MATLAB dengan script pada
Lampiran 1 dengan = .
Indeks
,
= indeks sel, , = , , … ,
= indeks warna,
merah
=
biru.
=
Himpunan
�
= himpunan pasangan terurut , , dengan ialah indeks sel titik
given dan ialah indeks warna given tersebut
= { , , , , , , , }.
Parameter
,
�
�
; jika ruas jalur antara dan mungkin dibuat
; selainnya
= ukuran puzzle =
= jumlah total sel =
= jumlah total warna =
9−
= .
= rata-rata ideal panjang tiap jalur =
={
Variabel keputusan
,
, ,
={
={
; jika sel dan terhubung dengan ruas jalur berwarna
; selainnya
; jika sel terisi warna
; selainnya
panjang jalur berwarna :
9
9
= ∑∑
=
=
, ,
;∀
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan jumlah selisih panjang
tiap jalur berwarna dengan rata-ratanya. Hasil pelinearan fungsi objektifnya
sebagai berikut:
Minimumkan ∑(
=
+
)
11
Kendala
Kendala dalam permasalahan ini ialah:
1. Kemungkinan pembuatan ruas jalur dibatasi oleh parameter �.
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
� , −
2. Semua sel terisi tepat satu warna.
∑
=
,
=
;∀ = , ,…,
3. Semua sel given sudah terisi satu warna.
{ , , , , , ,
, =
;∀ ,
, }
4. Semua sel given terhubung dengan tepat satu ruas jalur.
9
∑
=
9
{ , ,
, ,
+∑
, ,
−
,
=
;∀
{ , , , };
= ,
, ,
−
,
=
;∀
{ , , , };
= ,
, ,
=
=
;∀ ,
, ,
, ,
, }
5. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sel tersebut menuju ke sembarang sel.
9
∑
=
6. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sembarang sel menuju sel tersebut.
9
∑
=
7. Untuk setiap ruas jalur, dua sel yang dihubungkannya berwarna sama dengan
ruas jalur tersebut.
, +
, − ∙
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
8. Setiap ruas jalur tidak diperbolehkan bolak-balik.
, , +
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ;
9. Tidak diperbolehkan adanya suatu subtur.
, −
, + ∙
, ,
∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
10. Persamaan tambahan untuk pelinearan fungsi nilai mutlak.
;∀ = ,
−
. −
=
11. Kendala ketaknegatifan variabel
{ , }
, ,
;∀ =
{ , }
,
;∀ =
,
;∀ =
;∀ =
;∀ =
, ,…, ;
, ,…, ;
, ,…, ;
,
,
= , ,…, ;
= ,
= ,
= ,
= ,
12
Skenario 2
Skenario kedua diambil dari website Madhoun (2014) yaitu penyelesaian
Flow Colors berukuran × dengan warna seperti pada Gambar 5.
Gambar 5 Kasus Flow Colors berukuran
×
dengan 6 warna
×
dengan 6 warna
Matriks �6 dapat dibangkitkan dengan script pada Lampiran 1 dengan
given pada Skenario 2 diberikan dalam Tabel 2.
Tabel 2 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
4
5
6
Warna
Sel
merah
hijau
orange
kuning
biru
biru muda
4,17
6,18
8,24
10,22
21,31
23,27
= . Sel
Skenario 3
Skenario ketiga yaitu penyelesaian Flow Colors berukuran × dengan 3
warna seperti pada Gambar 6. Sel given Skenario 3 diberikan dalam Tabel 3.
Gambar 6 Kasus Flow Colors berukuran
×
dengan 3 warna
13
Tabel 3 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
Warna
merah
biru
kuning
×
dengan
warna
Sel
4,15
8,18
17,26
Skenario 4
Skenario keempat diambil dari website Madhoun (2014) yaitu penyelesaian
Flow Colors berukuran × dengan warna seperti pada Gambar 7.
Gambar 7 Kasus Flow Colors berukuran
×
Matriks �9 dapat dibangkitkan dengan script pada Lampiran 1 dengan
given Skenario 4 diberikan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Warna
Sel
biru muda
biru
merah
ungu
coklat
hijau
kuning
ungu muda
orange
9,81
14,65
16,66
25,31
40,67
41,70
42,79
51,53
60,80
×
= . Sel
14
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data dan formulasi yang telah dipaparkan pada Skenario 1, 2, ,3 dan 4
dimasukkan ke dalam proses komputasi menggunakan software LINGO 11.0.
Script setiap skenario disajikan pada Lampiran 2, 3, 4 dan 5. Solusi Flow Colors
dari skenario tersebut diperoleh dari hasil proses komputasi dapat digambarkan
sebagai berikut:
Gambar 8 Hasil solusi Skenario 1
Tabel 5 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 1
Jalur
Panjang
merah
5
biru
2
Pada Skenario 1 rata-rata ideal panjang tiap jalur adalah 3.5 sehingga deviasi
minimumnya ialah | . − | + | . − | = . Pada Skenario 2 hasil komputasinya
sebagai berikut:
Gambar 9 Hasil solusi Skenario 2
Tabel 6 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 2
Jalur
merah
hijau
orange
kuning
biru
biru muda
Panjang
3
2
10
2
10
3
15
Hasil solusi untuk Skenario 2 menghasilkan deviasi minimum 20, sedangkan
pada Skenario 3 menghasilkan deviasi minimum 12. Hasil komputasinya sebagai
berikut:
Gambar 10 Hasil solusi Skenario 3
Hasil solusi untuk Skenario 4 menghasilkan deviasi minimum 44. Hasil
komputasinya sebagai berikut:
Gambar 11 Hasil solusi Skenario 4
16
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3 dan 4 dapat dilihat pada Tabel 7 dan 8.
Tabel 7 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3
Jalur
merah
biru
kuning
Panjang
11
17
5
Tabel 8 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 4
Jalur
Panjang
biru muda
8
biru
9
merah
10
ungu
4
coklat
3
hijau
5
kuning
27
ungu muda
2
orange
4
Untuk suatu kasus tertentu, solusi optimal Flow Colors dapat tidak tunggal.
Hal ini dicontohkan pada kasus berikut:
Gambar 12 Solusi optimal yang tak tunggal
Hasil solusi kasus tersebut selalu menghasilkan panjang jalur masing-masing 5, 5,
dan 3 namun dengan kombinasi yang berbeda. Nilai optimum yang dihasilkan
selalu sama yaitu 2.6667.
Selain kasus-kasus di atas, terdapat beberapa kasus yang tidak memiliki solusi.
Beberapa karakteristik yang menyebabkan suatu kasus tidak memiliki solusi ialah
sebagai berikut:
1 Terdapat titik given yang berhimpit dan bersilangan antara dua warna given,
karena untuk setiap pembuatan jalur dari satu warna akan memotong jalur
warna lainnya.
2 Terdapat titik given yang terapit di tengah dengan empat given lain.
Karena setiap titik given harus terhubung dengan tepat satu ruas jalur, maka
terdapat 4 kemungkinan pembuatan ruas jalur (kanan, kiri, atas, dan bawah)
17
dan setiap dua sel yang dihubungkan satu ruas jalur harus berwarna sama
dengan ruas jalur tersebut. Dalam kasus ini, sel given tersebut dikelilingi oleh
given berwarna berbeda sehingga tidak ada solusi yang memenuhi.
3 Terdapat titik given yang terapit di sisi dengan tiga given lain.
Sama dengan kasus sebelumnya namun hanya terdapat 3 kemungkinan
pembuatan ruas jalur karena 1 kemungkinan lainnya dibatasi oleh 1 sisi area
permainan.
4 Terdapat titik given yang terapit di sudut dengan dua given lain.
Sama dengan kasus sebelumnya namun hanya terdapat 2 kemungkinan
pembuatan ruas jalur karena 2 kemungkinan lainnya dibatasi oleh 2 sisi area
permainan.
5 Terdapat titik given yang berseberangan dan bersilangan di sisi antara dua
warna given.
Setiap titik given dengan warna tertentu harus saling terhubung. Jika keempat
given tersebut berada pada sisi area permainan dan saling bersilangan, maka
akan ada satu sel yang terlewati oleh kedua jalur berbeda warna tersebut.
Namun setiap sel hanya boleh terisi tepat satu warna sehingga tidak ada solusi
yang memenuhi.
Gambar 13 Karakteristik kasus yang tidak memiliki solusi
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini diperlihatkan bahwa permainan Flow Colors dapat
dipandang sebagai permasalahan riset operasi yang diformulasikan menggunakan
integer linear programming dan dapat diselesaikan menggunakan software LINGO
11.0. Dari keempat skenario, terlihat bahwa model yang dibuat mampu
menyelesaikan permasalahan Flow Colors dengan tingkat kesulitan yang cukup
tinggi hingga ukuran × dengan 9 warna. Deviasi panjang tiap warna bervariasi
18
bergantung pada banyaknya sel, banyaknya warna dan posisi given. Ada pula kasus
Flow Colors yang menghasilkan solusi optimum yang tidak tunggal. Serta, tidak
semua kombinasi posisi given dalam sebuah kasus Flow Colors memiliki solusi.
Beberapa karakteristik khusus dapat menyebabkan satu kasus tidak memiliki solusi.
Saran
Pada karya ilmiah ini hanya dibahas tentang penyelesaian Puzzle Flow Colors
dengan meminimumkan deviasi panjang tiap warna. Saran untuk penulisan
selanjutnya adalah dengan mencari penyelesaian dari Puzzle Flow Colors jenis lain
yang lebih rumit seperti Bridge Colors dll. Dapat pula dicari pola variasi solusi dan
menentukan posisi given yang diberikan agar variasi solusi Flow Colors tunggal.
Selain itu, perbaikan model dan formulasi masalah masih mungkin dilakukan agar
efektif dalam menyelesaikan puzzle Flow Colors dengan tingkat kesulitan yang
lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Fournier JC. 2009. Graph Theory and Applications. New Jersey (US): John Wiley
& Sons.
Dantzig GB, Thapa MN. 1997. Linear Programming 1: Introduction. California
(US): Springer.
Madhoun, MN. 2014. Flow Colors [Internet]. [diunduh 2014 Mar 17]. Tersedia
pada: http://moh97.us/flow/.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
19
Lampiran 1 Script komputasi MATLAB untuk membangkitkan matriks �
,
function F=Aij(n)
%Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur
A=zeros(n^2)+triu(ones(n^2),1)-triu(ones(n^2),2)+tril(ones(n^2),1)-tril(ones(n^2),-2)+triu(ones(n^2),n)triu(ones(n^2),n+1)+tril(ones(n^2),-n)-tril(ones(n^2),-n-1);
for i=1:n-1
A(i*n,i*n+1)=0;
A(i*n+1,i*n)=0;
end
disp(A)
end
LAMPIRAN
20
Lampiran 2 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 1
MODEL:
TITLE:SKENARIO 1;
SETS:
SEL/1..9/;
WARNA/1..2/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/1,6,3,5/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR3');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
21
Lampiran 3 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 2
MODEL:
TITLE:SKENARIO 2;
SETS:
SEL/1..36/;
WARNA/1..6/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/4,17,6,18,8,24,10,22,21,31,23,27/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR6');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
22
Lampiran 4 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 3
MODEL:
TITLE:SKENARIO 3;
SETS:
SEL/1..36/;
WARNA/1..6/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/4,15,8,18,17,26/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR6');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
23
Lampiran 5 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 4
MODEL:
TITLE:SKENARIO 4;
SETS:
SEL/1..81/;
WARNA/1..9/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/9,81,14,65,16,66,25,31,40,67,41,70,42,79,51,53,60,80/:W
G;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR9');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
24
Lampiran 6 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 1
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
1
4
1
2
3
2
4
7
1
5
2
2
7
8
1
8
9
1
9
6
1
Lampiran 7 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 2
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
awal tujuan jalur
1
7
5
19
25
5
2
1
5
20
26
3
3
2
5
21
15
5
5
4
1
22
16
4
7
13
5
25
31
5
8
14
3
26
32
3
9
3
5
27
28
6
11
5
1
28
29
6
12
6
2
29
23
6
13
19
5
30
24
3
14
20
3
32
33
3
15
9
5
33
34
3
16
10
4
34
35
3
17
11
1
35
36
3
18
12
2
36
30
3
25
Lampiran 8 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 3
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
awal tujuan jalur
1
2
2
21
20
1
2
3
2
22
21
1
3
9
2
23
17
3
4
5
1
24
30
2
5
6
1
25
19
2
6
12
1
26
27
3
7
1
2
27
28
3
9
8
2
28
29
3
10
16
1
29
23
3
11
10
1
30
36
2
12
11
1
31
25
2
13
7
2
32
31
2
14
15
1
33
32
2
16
22
1
34
33
2
18
24
2
35
34
2
19
13
2
36
35
2
20
14
1
26
Lampiran 9 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 4
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
awal
tujuan
jalur
awal
tujuan
1
2
7
39
30
2
3
7
40
49
3
4
7
43
42
4
5
7
44
43
5
6
7
45
54
6
7
7
46
37
7
8
7
47
56
8
17
7
48
39
9
18
1
49
58
10
1
7
50
41
11
20
2
52
51
12
11
2
53
52
13
12
2
54
63
14
13
2
55
46
15
16
3
56
65
17
26
7
57
48
18
27
1
58
67
19
10
7
59
50
20
29
2
60
61
21
22
3
61
62
22
23
3
62
71
23
24
3
63
72
24
15
3
64
55
26
35
7
66
57
27
36
1
68
59
28
19
7
69
68
29
38
2
70
69
30
21
3
71
80
31
32
4
72
81
32
33
4
73
64
33
34
4
74
73
34
25
4
75
74
35
44
7
76
75
36
45
1
77
76
37
28
7
78
77
38
47
2
79
78
Warna
jalur
3
5
7
7
1
7
2
3
5
6
8
8
1
7
2
3
5
6
9
9
9
1
7
3
6
6
6
9
1
7
7
7
7
7
7
7
27
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 4 Desember 1992 sebagai anak
tunggal dari pasangan Bapak Sunardi dan Ibu Siti Asiyah. Tahun 2010 Penulis lulus
dari SMA Negeri 3 Bogor dan diterima di Institut Pertanian Bogor di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB dengan memperoleh Beasiswa BidikMisi.
Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten matakuliah Kalkulus
II tahun ajaran 2011/2012 dan 2012/2013. Penulis juga aktif mengajar matakuliah
Pengantar Matematika, Landasan Matematika, dan Kalkulus di Bimbingan Belajar
Mafia Clubs.
Penulis juga aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah
menjadi staf Divisi Internal Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Karate IPB. Penulis
memegang amanah sebagai Ketua Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) pada tahun kepengurusan 2013 dan sebagai Ketua
Pelaksana Seminar Nasional IPB Mathematics Challenge 2013.
MEMINIMUMKAN DEVIASI PANJANG TIAP JALUR
IRFAN CHAHYADI
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2014
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Penyelesaian Permainan
Flow Colors dengan Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur adalah benar
karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam
bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal
atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir
skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Juni 2014
Irfan Chahyadi
NIM G54100057
ABSTRAK
IRFAN CHAHYADI. Penyelesaian Permainan Flow Colors dengan
Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur. Dibimbing oleh AMRIL AMAN dan
FARIDA HANUM.
Flow Colors adalah permainan puzzle asah otak. Tugas pemain adalah
menghubungkan setiap pasangan titik berwarna sama dengan pipa sehingga
memenuhi area permainan dengan warna. Pipa-pipa yang berbeda warna tidak
boleh bersilangan/overlapping. Permasalahan permainan ini dapat dimodelkan
sebagai masalah pembuatan rute pada graf yang merupakan modifikasi dan
pengembangan dari model Traveling Salesman Problem (TSP). Dalam karya ilmiah
ini akan dibahas bagaimana memformulasikan Puzzle Flow Colors dengan
meminimumkan deviasi panjang semua jalur menggunakan integer linear
programming serta menyelesaikannya dengan software LINGO 11.0.
Kata kunci: integer linear programming, puzzle Flow Colors, Traveling Salesman
Problem
ABSTRACT
IRFAN CHAHYADI. Solving Flow Colors Game to Minimize Length Deviation
of Each Line. Supervised by AMRIL AMAN and FARIDA HANUM.
Flow Colors is a puzzle game, where players must connect every pair of
points of the same color with a pipe so that the pipes cover all the game areas with
colors. Pipes with different colors should not be intersected/ overlapped. This
problem can be modelled as a problem of making routes on a graph which is a
modification of Traveling Salesman Problem (TSP). This study presents how to
formulate puzzle of Flow Colors to minimize length deviation of the lines
represented by the pipes by applying method of integer linear programming and
solving it by using LINGO 11.0 computer software.
Key words: integer linear programming, puzzle Flow Colors, Traveling Salesman
Problem
PENYELESAIAN PERMAINAN FLOW COLORS DENGAN
MEMINIMUMKAN DEVIASI PANJANG TIAP JALUR
IRFAN CHAHYADI
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
NAMA2014
PENULIS
Judul Skripsi : Penyelesaian Permainan Flow Colors dengan Meminimumkan
Deviasi Panjang Tiap Jalur
Nama
: Irfan Chahyadi
NIM
: G54100057
Disetujui oleh
Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc.
Pembimbing I
Dra. Farida Hanum, M.Si.
Pembimbing II
Diketahui oleh
Dr. Toni Bakhtiar, M.Sc.
Ketua Departemen
Tanggal Lulus:
PRAKATA
Puji dan syukur penulis ucapkan kepada Allah SWT. atas segala nikmat,
rahmat, karunia dan pertolongan yang telah diberikan sehingga karya ilmiah ini
berhasil diselesaikan. Judul karya ilmiah ini adalah Penyelesaian Permainan Flow
Colors dengan Meminimumkan Deviasi Panjang Tiap Jalur. Penyusunan karya
ilmiah ini tidak lepas dari bantuan beberapa pihak. Oleh karena itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada:
1 Allah SWT atas segala rahmat dan karunia-Nya,
2 Nabi besar Muhammad SAW sebagai nabi akhir zaman,
3 Keluarga tercinta: Ayah dan Mamah yang selalu memberi nasihat, motivasi
dan doa,
4 Dr. Ir. Amril Aman, M.Sc. selaku Pembimbing I atas kesabaran dalam
membimbing penulis serta saran dan ilmunya yang bermanfaat,
5 Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku Pembimbing II yang telah membimbing dan
memotivasi penulis dalam menulis karya ilmiah ini,
6 Drs. Prapto Tri Supriyo, M.Kom. selaku Dosen Penguji yang telah memberikan
ilmu, saran, serta dukungan,
7 seluruh dosen Departemen Matematika IPB yang telah membimbing dan
memberikan ilmunya selama ini,
8 para staf Departemen Matematika IPB yang telah membantu dalam berbagai
hal
9 teman seperjuangan bimbingan: Kak Razon, Kak Fardan, Kak Dina, Kak Gita,
Kak Elisa, Kak Suzie, Kak Agung, Eric, Pupu, Alin,
10 Kamil, Danang, Ayun, Vina, Imad, Fikri, Fajar, Syafi’i, Rendi, Komti, Adi,
Tri, Nyoman, Irfan N, Bonno, Tuty, Susi, Abi, Irma, Aul, Dedi, Syika dan
seluruh teman-teman seperjuangan di Gumatika,
11 Kak Rio, Kak Dayat, Kak Mirna, Kak Galih dan semua Kakak kelas
Matematika 46 sebagai contoh yang baik,
12 semua sahabat Matematika 47 sebagai keluarga yang ceria,
13 semua adik-adik Matematika 48 dan 49 yang selalu mendukung,
14 dan semua pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan karya
ilmiah ini.
Penulis menyadari bahwa dalam karya ilmiah ini masih terdapat banyak
kekurangan dan masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, penulis
mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar karya ilmiah ini dapat terus
menambah wawasan pembaca sekalian. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat bagi
dunia ilmu pengetahuan, khususnya bidang matematika.
Bogor, Juni 2014
Irfan Chahyadi
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
DAFTAR GAMBAR
DAFTAR LAMPIRAN
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Perumusan Masalah
Tujuan Penelitian
Ruang Lingkup Penelitian
LANDASAN TEORI
Linear Programming
Ekuivalensi Formulasi
Integer Programming
Traveling Salesman Problem
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Pemodelan
STUDI KASUS
Skenario 1
Skenario 2
Skenario 3
Skenario 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Saran
DAFTAR PUSTAKA
LAMPIRAN
RIWAYAT HIDUP
viii
viii
viii
1
1
2
2
2
2
2
3
4
4
5
5
6
9
9
12
12
13
14
17
17
18
18
19
27
DAFTAR TABEL
1
2
3
4
5
6
7
8
Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur ×
Sel given pada Flow Colors berukuran × dengan 6 warna
Sel given pada Flow Colors berukuran × dengan warna
Sel given pada Flow Colors berukuran ×
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 1
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 2
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 4
9
12
13
13
14
14
16
16
DAFTAR GAMBAR
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
Flow Colors ×
Ilustrasi permainan Flow Colors × dengan 5 warna dan solusinya
Perbedaan dengan kendala eliminasi subtur (kiri) dan tanpa kendala
eliminasi subtur (kanan)
Kasus Flow Colors berukuran ×
Kasus Flow Colors berukuran × dengan 6 warna
Kasus Flow Colors berukuran × dengan 3 warna
Kasus Flow Colors berukuran ×
Hasil solusi Skenario 1
Hasil solusi Skenario 2
Hasil solusi Skenario 3
Hasil solusi Skenario 4
Solusi optimal yang tak tunggal
Karakteristik kasus yang tidak memiliki solusi
1
5
8
9
12
12
13
14
14
15
15
16
17
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Script komputasi MATLAB untuk membangkitkan matriks � ,
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 1
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 2
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 3
Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 4
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 1
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 2
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 3
Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 4
19
20
21
22
23
24
24
25
26
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Dalam perkembangannya matematika memiliki peranan penting dalam
memecahkan masalah kehidupan sehari-hari. Tidak hanya permasalahan dalam
dunia nyata, matematika juga dapat menyelesaikan beberapa permasalahan yang
ditemukan dalam sebuah permainan. Beberapa permainan dapat diselesaikan
dengan matematika seperti Sudoku, Challenger puzzle, N-Queens problem, dan
masih banyak lagi. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas pemecahan masalah
permainan Flow Colors dengan pendekatan matematika. Flow Colors adalah
permainan puzzle asah otak yang dikembangkan oleh Mohammed Nafiz
Almadhoun. Selain di website-nya, permainan ini dapat ditemui di beberapa
platfom seperti Android sebagai sebuah aplikasi.
Dalam permainan Flow Colors, tugas pemain adalah menghubungkan setiap
pasangan titik berwarna sama dengan pipa sehingga memenuhi area permainan
dengan warna. Namun pipa-pipa tersebut tidak boleh bersilangan/overlapping.
Contoh kasus dapat dilihat pada Gambar 1. Area permainan merupakan persegi
dengan banyak sel. Tingkat kesulitan puzzle ini ditentukan oleh besarnya area
permainan dan banyaknya warna. Permasalahan permainan ini dapat dimodelkan
sebagai masalah pembuatan rute pada graf yang merupakan modifikasi dan
pengembangan dari model Traveling Salesman Problem (TSP) sehingga dapat
diselesaikan dengan metode Integer Linear Programming (ILP). Dalam karya
ilmiah ini akan dibahas bagaimana memformulasikan permainan puzzle Flow
Colors dengan metode integer linear programming, serta menyelesaikannya
menggunakan software LINGO 11.0.
Gambar 1 Flow Colors
×
2
Perumusan Masalah
Permainan ini mengundang beberapa pertanyaan menarik untuk bidang ilmu
matematika:
1. Dapatkah permainan ini dipecahkan dengan konsep matematika?
2. Teknik matematika apa yang dapat digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan ini?
Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini ialah memodelkan puzzle Flow Colors menggunakan
Integer Linear Programming dengan meminimumkan deviasi panjang tiap jalur dan
menyelesaikannya dengan software LINGO 11.0.
Ruang Lingkup Penelitian
Puzzle yang akan dibahas dalam karya ilmiah ini adalah Flow Colors dengan
ukuran × . Puzzle ini dapat dikembangkan sampai ukuran berapapun. Dalam
karya ilmiah ini, penulis membatasi pembahasan hanya sampai Flow Colors
berukuran × .
LANDASAN TEORI
Untuk dapat memodelkan puzzle Flow Colors, diperlukan beberapa
pemahaman teori tentang linear programming, Ekuivalensi Formulasi, integer
programming, dan Traveling Salesman Problem.
Linear Programming
Fungsi linear dan pertidaksamaan linear merupakan konsep-konsep dasar
yang harus dipahami terkait dengan linear programming. Sebuah fungsi
� � , � , … , � dari variabel � , � , … , � adalah fungsi linear jika dan hanya jika
untuk suatu himpunan konstanta
, , … , , fungsi � berbentuk
� � , � , … , � = � + � + ⋯ + � , sedangkan untuk suatu fungsi linear
� � , � , … , � dan sembarang bilangan , pertidaksamaan � � , � , … , �
disebut pertidaksamaan linear (Winston 2004).
dan � � , � , … , �
Dalam Winston (2004), masalah linear programming (LP) adalah masalah
pengoptimuman yang memenuhi ketentuan-ketentuan berikut ini:
1. Tujuan masalah tersebut adalah memaksimumkan (atau meminimumkan)
fungsi linear dari variabel keputusan. Fungsi yang ingin dimaksimumkan atau
diminimumkan disebut fungsi objektif.
2. Nilai dari variabel keputusan harus memenuhi sekumpulan kendala. Setiap
kendala harus berupa persamaan linear atau pertidaksamaan linear.
3. Terdapat pembatasan tanda untuk setiap variabel. Untuk sembarang variabel
� , pembatasan tanda mengharuskan � taknegatif (�
) atau tidak dibatasi
tandanya (unrestricted in sign).
3
Ekuivalensi Formulasi
Dalam memformulasikan permasalahan dunia nyata banyak terdapat model
yang kompleks. Untuk beberapa kasus, formulasi tersebut dapat diekspresikan
secara matematik dengan lebih dari satu cara. Ekspresi yang berbeda tersebut
mungkin tidak ekuivalen secara matematik namun secara komputasi lebih mudah
untuk diselesaikan (Dantzig dan Thapa 1997). Misalkan dalam suatu model
matematik terdapat fungsi nilai mutlak yang didefinisikan sebagai fungsi terhadap
� dengan:
|�| = {
�,
−�,
�
�< .
Permasalahan tersebut bukan LP karena terdapat fungsi nilai mutlak yang
merupakan fungsi taklinear. Menurut Dantzig dan Thapa (1997), jika fungsi nilai
mutlak muncul dalam persamaan umum, maka tidak mungkin memformulasikan
ulang fungsi tersebut menjadi persamaan linear. Namun jika fungsi tersebut hanya
terdapat pada fungsi objektif, maka model tersebut dapat diformulasikan ulang
menjadi pemrograman linear.
Misalkan diberikan fungsi objektif untuk meminimumkan jumlah bobot dari
nilai mutlak dengan taknegatif terhadap sekumpulan kendala linear, yaitu:
Minimumkan
dengan kendala
� = ∑ |� |
∑
=
=
� =
dengan
,
untuk = , … ,
Didefinisikan � = � + − � − dengan � +
menjadi:
Minimumkan
dengan kendala
� = ∑ |� + − � − |
∑
=
=
�+ − �− =
untuk = , … ,
, �−
,
.
sehingga model tersebut
dengan
untuk = , … ,
untuk = , … ,
.
Menurut Lema Dantzig dan Thapa (1997) jika
untuk semua , maka salah
+
−
satu dari � atau � akan bernilai nol saat solusi optimum atau secara matematik
� + ∙ � − = , sehingga akan terdapat tiga kemungkinan yaitu:
� + > dan � − = ,
� + = dan � − = ,
� + = dan � − > .
Dari definisi nilai mutlak:
�+ �−
�+ − �−,
+
−
|� − � | = { +
−� + � − ,
�+ < �−
4
Dari 3 kemungkinan tersebut diperoleh:
(i) Jika � + > � − , maka � + > dan � − = sehingga
�+ − �− = �+ − = �+ + = �+ + �−
(ii) Jika � + = � − , maka � + = � − = sehingga
�+ − �− = = �+ + �−
(iii) Jika � + < � − , maka � + = dan � − > sehingga
� + − � − = − � − = + � − = �+ + � −.
Dari tiga hal tersebut dapat disimpulkan bahwa jika � + ∙ � − = , maka
|� + − � − | = � + + � − . Formulasi masalahnya menjadi Linear Programming
berikut:
Minimumkan � = ∑
Kendala
∑
=
=
�+ + �−
(� + − � − ) =
dengan
untuk = , … ,
untuk = , , … ,
�+
, �−
untuk = , , … , .
Dalam karya ilmiah ini akan dilakukan proses pengubahan fungsi nilai mutlak
menjadi fungsi linear dalam fungsi objektifnya.
Integer Programming
Pemrograman integer atau integer programming (IP) adalah LP dengan
sebagian atau seluruh variabel diharuskan bilangan bulat taknegatif. Jika seluruh
variabel diharuskan bilangan bulat (integer) maka masalah tersebut disebut pure
integer programming. Jika hanya sebagian variabel diharuskan integer maka
disebut mixed integer programming. Integer programming dengan variabel harus
bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 IP (Winston 2004).
Traveling Salesman Problem
Menurut Fournier (2009), Traveling Salesman Problem (TSP) dapat
dipandang sebagai permasalahan penentuan cycle Hamilton pada suatu graf yaitu
cycle yang melewati semua verteks dari graf tersebut tepat satu kali. TSP
merupakan permasalahan seorang penjual yang harus melakukan tur ke sejumlah
kota, berangkat dari sembarang kota awal, melewati setiap kota tepat sekali, dan
terakhir kembali ke kota di mana ia berangkat. Penentuan rute ditetapkan
berdasarkan jarak minimum yang akan ditempuh.
Persamaan permasalahan TSP dengan Flow Colors adalah setiap sel harus
terlewati tepat satu kali, dan tidak diperbolehkan adanya subtur; sedangkan
perbedaannya, pada Flow Colors rute tidak kembali ke titik awal (bukan cycle
Hamilton), dan rute tidak tunggal. Misalkan sebuah permasalahan TSP terdiri dari
N kota dan
adalah jarak dari kota ke kota untuk ≠ dan
= dengan
adalah bilangan yang relatif besar. Didefinisikan variabel keputusan:
� ={
,
,
jika perjalanan dari kota ke kota termasuk solusi TSP
jika selainnya.
5
Solusi permasalahan TSP tersebut didapatkan dengan menyelesaikan
formulasi berikut:
Minimumkan
dengan kendala
�
�
=
=
� = ∑∑
�
dengan
�
∑� = ,
untuk = , , … ,
=
�
∑� = ,
� −� +
=
∙�
untuk = , … ,
−
untuk = , , … ,
;∀ ≠ , ≠ , ≠ ,�
.
(Winston 2004)
Kendala terakhir disebut kendala penghilang subtur atau Subtour Eliminating
Constraint (SEC) yaitu kendala yang mencegah terjadinya cycle Hamilton yang
tidak memuat semua verteks. Kendala ini selanjutnya akan dimodifikasi sesuai
dengan permasalahan Flow Colors.
DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH
Deskripsi Masalah
Pada puzzle Flow Colors, area permainan merupakan sel-sel persegi dengan
ukuran × sehingga total sel dalam satu permainan adalah . Contoh puzzle
Flow Colors dapat dilihat pada Gambar 2. Terdapat
titik given, yaitu pasang
Gambar 2 Ilustrasi permainan Flow Colors
solusinya
×
dengan 5 warna dan
titik berbeda warna yang telah diberikan di awal permainan dan diletakkan di sel2
. Tugas pemain ialah menghubungkan kedua
sel yang berbeda dengan
titik given yang warnanya sama hanya dengan sebuah jalur sehingga solusi yang
diharapkan adalah buah jalur dengan warna sesuai given-nya. Ruas jalur antara
dua sel yang berdekatan hanya dapat dibuat dengan arah kanan, kiri, atas, bawah,
6
dan tidak boleh diagonal. Jadi, jalur merupakan sekumpulan ruas jalur yang saling
terhubung dan berlanjut. Permasalahan lain yang harus dihadapi pemain adalah
setiap jalur tidak boleh saling bersilangan atau overlapping dan setiap sel harus
terlewati oleh tepat satu jalur (Madhoun 2014). Dalam karya ilmiah ini akan dicari
solusi terbaik dengan kriteria deviasi dari panjang tiap jalur adalah minimum.
Pemodelan
Berdasarkan analisis masalah, maka dapat dibuat formulasi masalah tersebut
ke dalam bentuk integer linear programming (ILP). Bentuk formulasi masalah
puzzle Flow Colors berukuran × dengan
buah warna diberikan sebagai
berikut:
Indeks
,
= indeks sel; , = , , … ,
= indeks warna;
= , ,…,
,
,
2
dengan
.
Himpunan
�
= himpunan pasangan terurut , , dengan ialah indeks sel titik
given dan ialah indeks warna given tersebut
Parameter
; jika ruas jalur antara dan mungkin dibuat
={
� ,
; selainnya,
= ukuran puzzle,
= jumlah total sel
,
= jumlah total warna,
�−
.
�
= rata-rata ideal panjang tiap jalur
Variabel keputusan
; jika sel dan terhubung dengan ruas jalur berwarna
, , ={
; selainnya,
,
; jika sel terisi warna
; selainnya,
={
panjang jalur berwarna :
= ∑∑
∀
∀
, ,
;∀ .
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan deviasi panjang tiap
jalur. Hal ini dapat diperoleh dengan meminimumkan jumlah selisih panjang tiap
jalur berwarna dengan rata-ratanya:
Minimumkan ∑|� −
∀
|
7
Dengan fungsi nilai mutlak sebagai fungsi objektif, maka permasalahan ini
menjadi pemrograman taklinear. Dalam komputasinya, LINGO 11.0 tidak dapat
menjamin diperolehnya solusi optimum global jika model tersebut adalah
pemrograman taklinear. Oleh sebab itu perlu adanya ekuivalensi formulasi fungsi
nilai mutlak menjadi fungsi linear. Model tersebut dapat diformulasikan ulang
menjadi pemrograman linear dengan mengganti nilai mutlaknya dengan bagian
.
dan
positif dan negatifnya, yaitu
; = , ,…,
; = , ,…,
sehingga
;∀
−
�−
=
dengan fungsi nilai mutlaknya
|� −
|=
;∀
+
maka fungsi objektif dapat diubah menjadi:
Minimumkan ∑(
∀
)
+
Kendala
Kendala dalam permasalahan ini ialah:
1. Kemungkinan pembuatan ruas jalur dibatasi oleh parameter �.
, ,
;∀ , , .
� , −
2. Semua sel terisi tepat satu warna.
∑
∀
,
=
;∀ .
3. Semua sel given sudah terisi satu warna.
, =
;∀ ,
�.
4. Semua sel given terhubung dengan tepat satu ruas jalur.
∑
, ,
+∑
∑
, ,
−
,
=
;∀ , = { | ,
�}.
∑
, ,
−
,
=
;∀ , = { | ,
�}.
∀
, ,
∀
=
;∀ ,
�.
5. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sel tersebut menuju ke sembarang sel.
∀
6. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sembarang sel menuju sel tersebut.
∀
7. Untuk setiap ruas jalur, dua sel yang dihubungkannya berwarna sama dengan
ruas jalur tersebut.
, +
, − ∙
, ,
;∀ , , .
8. Setiap ruas jalur tidak diperbolehkan bolak-balik.
, , +
, ,
;∀ , , .
8
9. Tidak diperbolehkan adanya suatu subtur.
Dalam pembuatan solusi, terdapat kemungkinan terjadinya subtur seperti pada
Gambar 3 sehingga perlu dibuat kendala eliminasi subtur.
Gambar 3 Perbedaan dengan kendala eliminasi subtur (kiri) dan tanpa kendala
eliminasi subtur (kanan)
Tanpa kendala eliminasi subtur, akan terdapat subtur sehingga terdapat lebih
dari
buah jalur (dengan
adalah banyaknya warna,
= ). Hal ini
melanggar aturan permainan yaitu hanya terdapat
buah jalur. Kendala
tersebut dituliskan sebagai berikut:
, −
, + ∙
, ,
−
;∀ , , .
Subtur yang terjadi pada Gambar 3 yaitu subtur 16-17-23-29-28-22-16 yang
berwarna biru muda. Misalkan = untuk warna biru muda, sehingga
, , =
, , =⋯=
, , = dengan
=
. Subtur
ini menghasilkan 6 pertidaksamaan berikut:
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
, −
, +
Jika semua pertidaksamaan ini dijumlahkan maka hasilnya:
∙
∙
(kontradiksi)
,
sehingga subtur tersebut (dan semua subtur lain yang mungkin) dihilangkan
oleh kendala eliminasi subtur.
10. Persamaan tambahan untuk pelinearan fungsi nilai mutlak.
;∀
−
�−
=
11. Kendala ketaknegatifan variabel
{ , }
, ,
;∀ , ,
{
}
,
,
;∀ ,
,
;∀ ,
;∀
;∀ .
9
STUDI KASUS
Permasalahan Flow Colors yang akan dibahas pada karya ilmiah ini diperoleh
dari website Mohammed Almadhoun yang beralamat di Madhoun (2014).
Selanjutnya akan dibahas empat skenario dengan tingkat kesulitan yang berbeda.
Perlu diperhatikan bahwa di website tersebut hanya disajikan soal-soal Flow Colors
berukuran × hingga
× . Skenario pertama dan ketiga tidak diperoleh dari
website tersebut.
Skenario 1
Skenario pertama menguji model dengan soal Flow Colors berukuran ×
dan warna. Misalkan diberikan 4 titik given, yaitu 2 titik berwarna merah pada sel
1 dan 6 serta berwarna biru pada sel 3 dan 5. Sebelum memformulasikan masalah
tersebut, perlu dibuat model tiruan dari Flow Colors. Sel-sel dalam area permainan
direpresentasikan sebagai berikut:
Gambar 4 Kasus Flow Colors berukuran
Pada skenario ini area permainan berukuran
matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur:
×
×
sehingga diperoleh
Tabel 1 Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur
Sel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
0
1
0
1
0
0
0
0
0
2
1
0
1
0
1
0
0
0
0
3
0
1
0
0
0
1
0
0
0
4
1
0
0
0
1
0
1
0
0
5
0
1
0
1
0
1
0
1
0
6
0
0
1
0
1
0
0
0
1
7
0
0
0
1
0
0
0
1
0
×
8
0
0
0
0
1
0
1
0
1
9
0
0
0
0
0
1
0
1
0
Tabel tersebut selanjutnya disebut matriks � yang merepresentasikan
kemungkinan dibuatnya suatu ruas jalur pada Flow Colors berukuran × . Jika
� , bernilai 0 (nol), maka tidak mungkin dibuat suatu ruas jalur dari sel ke sel
. Sebaliknya, jika � , bernilai 1 (satu), maka ruas jalur dari sel ke sel
mungkin dibuat.
10
Matriks � dapat dibangkitkan dengan cara sebagai berikut:
�
,
={
| − |=
,
,
selainnya
[| − | =
(
[ >
[ <
mod ,
mod ,
≠ ]
≠ ]
)]
Matriks � dapat juga dibangkitkan dengan software MATLAB dengan script pada
Lampiran 1 dengan = .
Indeks
,
= indeks sel, , = , , … ,
= indeks warna,
merah
=
biru.
=
Himpunan
�
= himpunan pasangan terurut , , dengan ialah indeks sel titik
given dan ialah indeks warna given tersebut
= { , , , , , , , }.
Parameter
,
�
�
; jika ruas jalur antara dan mungkin dibuat
; selainnya
= ukuran puzzle =
= jumlah total sel =
= jumlah total warna =
9−
= .
= rata-rata ideal panjang tiap jalur =
={
Variabel keputusan
,
, ,
={
={
; jika sel dan terhubung dengan ruas jalur berwarna
; selainnya
; jika sel terisi warna
; selainnya
panjang jalur berwarna :
9
9
= ∑∑
=
=
, ,
;∀
Fungsi Objektif
Fungsi objektif dari masalah ini ialah meminimumkan jumlah selisih panjang
tiap jalur berwarna dengan rata-ratanya. Hasil pelinearan fungsi objektifnya
sebagai berikut:
Minimumkan ∑(
=
+
)
11
Kendala
Kendala dalam permasalahan ini ialah:
1. Kemungkinan pembuatan ruas jalur dibatasi oleh parameter �.
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
� , −
2. Semua sel terisi tepat satu warna.
∑
=
,
=
;∀ = , ,…,
3. Semua sel given sudah terisi satu warna.
{ , , , , , ,
, =
;∀ ,
, }
4. Semua sel given terhubung dengan tepat satu ruas jalur.
9
∑
=
9
{ , ,
, ,
+∑
, ,
−
,
=
;∀
{ , , , };
= ,
, ,
−
,
=
;∀
{ , , , };
= ,
, ,
=
=
;∀ ,
, ,
, ,
, }
5. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sel tersebut menuju ke sembarang sel.
9
∑
=
6. Untuk setiap sel nongiven, terdapat tepat satu ruas jalur yang menghubungkan
sembarang sel menuju sel tersebut.
9
∑
=
7. Untuk setiap ruas jalur, dua sel yang dihubungkannya berwarna sama dengan
ruas jalur tersebut.
, +
, − ∙
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
8. Setiap ruas jalur tidak diperbolehkan bolak-balik.
, , +
, ,
;∀ = , ,…, ; = , ,…, ;
9. Tidak diperbolehkan adanya suatu subtur.
, −
, + ∙
, ,
∀ = , ,…, ; = , ,…, ; = ,
10. Persamaan tambahan untuk pelinearan fungsi nilai mutlak.
;∀ = ,
−
. −
=
11. Kendala ketaknegatifan variabel
{ , }
, ,
;∀ =
{ , }
,
;∀ =
,
;∀ =
;∀ =
;∀ =
, ,…, ;
, ,…, ;
, ,…, ;
,
,
= , ,…, ;
= ,
= ,
= ,
= ,
12
Skenario 2
Skenario kedua diambil dari website Madhoun (2014) yaitu penyelesaian
Flow Colors berukuran × dengan warna seperti pada Gambar 5.
Gambar 5 Kasus Flow Colors berukuran
×
dengan 6 warna
×
dengan 6 warna
Matriks �6 dapat dibangkitkan dengan script pada Lampiran 1 dengan
given pada Skenario 2 diberikan dalam Tabel 2.
Tabel 2 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
4
5
6
Warna
Sel
merah
hijau
orange
kuning
biru
biru muda
4,17
6,18
8,24
10,22
21,31
23,27
= . Sel
Skenario 3
Skenario ketiga yaitu penyelesaian Flow Colors berukuran × dengan 3
warna seperti pada Gambar 6. Sel given Skenario 3 diberikan dalam Tabel 3.
Gambar 6 Kasus Flow Colors berukuran
×
dengan 3 warna
13
Tabel 3 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
Warna
merah
biru
kuning
×
dengan
warna
Sel
4,15
8,18
17,26
Skenario 4
Skenario keempat diambil dari website Madhoun (2014) yaitu penyelesaian
Flow Colors berukuran × dengan warna seperti pada Gambar 7.
Gambar 7 Kasus Flow Colors berukuran
×
Matriks �9 dapat dibangkitkan dengan script pada Lampiran 1 dengan
given Skenario 4 diberikan dalam Tabel 4.
Tabel 4 Sel given pada Flow Colors berukuran
Indeks
warna
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Warna
Sel
biru muda
biru
merah
ungu
coklat
hijau
kuning
ungu muda
orange
9,81
14,65
16,66
25,31
40,67
41,70
42,79
51,53
60,80
×
= . Sel
14
HASIL DAN PEMBAHASAN
Data dan formulasi yang telah dipaparkan pada Skenario 1, 2, ,3 dan 4
dimasukkan ke dalam proses komputasi menggunakan software LINGO 11.0.
Script setiap skenario disajikan pada Lampiran 2, 3, 4 dan 5. Solusi Flow Colors
dari skenario tersebut diperoleh dari hasil proses komputasi dapat digambarkan
sebagai berikut:
Gambar 8 Hasil solusi Skenario 1
Tabel 5 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 1
Jalur
Panjang
merah
5
biru
2
Pada Skenario 1 rata-rata ideal panjang tiap jalur adalah 3.5 sehingga deviasi
minimumnya ialah | . − | + | . − | = . Pada Skenario 2 hasil komputasinya
sebagai berikut:
Gambar 9 Hasil solusi Skenario 2
Tabel 6 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 2
Jalur
merah
hijau
orange
kuning
biru
biru muda
Panjang
3
2
10
2
10
3
15
Hasil solusi untuk Skenario 2 menghasilkan deviasi minimum 20, sedangkan
pada Skenario 3 menghasilkan deviasi minimum 12. Hasil komputasinya sebagai
berikut:
Gambar 10 Hasil solusi Skenario 3
Hasil solusi untuk Skenario 4 menghasilkan deviasi minimum 44. Hasil
komputasinya sebagai berikut:
Gambar 11 Hasil solusi Skenario 4
16
Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3 dan 4 dapat dilihat pada Tabel 7 dan 8.
Tabel 7 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 3
Jalur
merah
biru
kuning
Panjang
11
17
5
Tabel 8 Panjang tiap jalur hasil solusi Skenario 4
Jalur
Panjang
biru muda
8
biru
9
merah
10
ungu
4
coklat
3
hijau
5
kuning
27
ungu muda
2
orange
4
Untuk suatu kasus tertentu, solusi optimal Flow Colors dapat tidak tunggal.
Hal ini dicontohkan pada kasus berikut:
Gambar 12 Solusi optimal yang tak tunggal
Hasil solusi kasus tersebut selalu menghasilkan panjang jalur masing-masing 5, 5,
dan 3 namun dengan kombinasi yang berbeda. Nilai optimum yang dihasilkan
selalu sama yaitu 2.6667.
Selain kasus-kasus di atas, terdapat beberapa kasus yang tidak memiliki solusi.
Beberapa karakteristik yang menyebabkan suatu kasus tidak memiliki solusi ialah
sebagai berikut:
1 Terdapat titik given yang berhimpit dan bersilangan antara dua warna given,
karena untuk setiap pembuatan jalur dari satu warna akan memotong jalur
warna lainnya.
2 Terdapat titik given yang terapit di tengah dengan empat given lain.
Karena setiap titik given harus terhubung dengan tepat satu ruas jalur, maka
terdapat 4 kemungkinan pembuatan ruas jalur (kanan, kiri, atas, dan bawah)
17
dan setiap dua sel yang dihubungkan satu ruas jalur harus berwarna sama
dengan ruas jalur tersebut. Dalam kasus ini, sel given tersebut dikelilingi oleh
given berwarna berbeda sehingga tidak ada solusi yang memenuhi.
3 Terdapat titik given yang terapit di sisi dengan tiga given lain.
Sama dengan kasus sebelumnya namun hanya terdapat 3 kemungkinan
pembuatan ruas jalur karena 1 kemungkinan lainnya dibatasi oleh 1 sisi area
permainan.
4 Terdapat titik given yang terapit di sudut dengan dua given lain.
Sama dengan kasus sebelumnya namun hanya terdapat 2 kemungkinan
pembuatan ruas jalur karena 2 kemungkinan lainnya dibatasi oleh 2 sisi area
permainan.
5 Terdapat titik given yang berseberangan dan bersilangan di sisi antara dua
warna given.
Setiap titik given dengan warna tertentu harus saling terhubung. Jika keempat
given tersebut berada pada sisi area permainan dan saling bersilangan, maka
akan ada satu sel yang terlewati oleh kedua jalur berbeda warna tersebut.
Namun setiap sel hanya boleh terisi tepat satu warna sehingga tidak ada solusi
yang memenuhi.
Gambar 13 Karakteristik kasus yang tidak memiliki solusi
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Dalam karya ilmiah ini diperlihatkan bahwa permainan Flow Colors dapat
dipandang sebagai permasalahan riset operasi yang diformulasikan menggunakan
integer linear programming dan dapat diselesaikan menggunakan software LINGO
11.0. Dari keempat skenario, terlihat bahwa model yang dibuat mampu
menyelesaikan permasalahan Flow Colors dengan tingkat kesulitan yang cukup
tinggi hingga ukuran × dengan 9 warna. Deviasi panjang tiap warna bervariasi
18
bergantung pada banyaknya sel, banyaknya warna dan posisi given. Ada pula kasus
Flow Colors yang menghasilkan solusi optimum yang tidak tunggal. Serta, tidak
semua kombinasi posisi given dalam sebuah kasus Flow Colors memiliki solusi.
Beberapa karakteristik khusus dapat menyebabkan satu kasus tidak memiliki solusi.
Saran
Pada karya ilmiah ini hanya dibahas tentang penyelesaian Puzzle Flow Colors
dengan meminimumkan deviasi panjang tiap warna. Saran untuk penulisan
selanjutnya adalah dengan mencari penyelesaian dari Puzzle Flow Colors jenis lain
yang lebih rumit seperti Bridge Colors dll. Dapat pula dicari pola variasi solusi dan
menentukan posisi given yang diberikan agar variasi solusi Flow Colors tunggal.
Selain itu, perbaikan model dan formulasi masalah masih mungkin dilakukan agar
efektif dalam menyelesaikan puzzle Flow Colors dengan tingkat kesulitan yang
lebih tinggi.
DAFTAR PUSTAKA
Fournier JC. 2009. Graph Theory and Applications. New Jersey (US): John Wiley
& Sons.
Dantzig GB, Thapa MN. 1997. Linear Programming 1: Introduction. California
(US): Springer.
Madhoun, MN. 2014. Flow Colors [Internet]. [diunduh 2014 Mar 17]. Tersedia
pada: http://moh97.us/flow/.
Winston WL. 2004. Operations Research Applications and Algorithms. Ed ke-4.
New York (US): Duxbury.
19
Lampiran 1 Script komputasi MATLAB untuk membangkitkan matriks �
,
function F=Aij(n)
%Matriks kemungkinan pembuatan ruas jalur
A=zeros(n^2)+triu(ones(n^2),1)-triu(ones(n^2),2)+tril(ones(n^2),1)-tril(ones(n^2),-2)+triu(ones(n^2),n)triu(ones(n^2),n+1)+tril(ones(n^2),-n)-tril(ones(n^2),-n-1);
for i=1:n-1
A(i*n,i*n+1)=0;
A(i*n+1,i*n)=0;
end
disp(A)
end
LAMPIRAN
20
Lampiran 2 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 1
MODEL:
TITLE:SKENARIO 1;
SETS:
SEL/1..9/;
WARNA/1..2/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/1,6,3,5/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR3');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
21
Lampiran 3 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 2
MODEL:
TITLE:SKENARIO 2;
SETS:
SEL/1..36/;
WARNA/1..6/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/4,17,6,18,8,24,10,22,21,31,23,27/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR6');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
22
Lampiran 4 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 3
MODEL:
TITLE:SKENARIO 3;
SETS:
SEL/1..36/;
WARNA/1..6/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/4,15,8,18,17,26/:WG;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR6');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
23
Lampiran 5 Script komputasi LINGO 11.0 untuk menyelesaikan Skenario 4
MODEL:
TITLE:SKENARIO 4;
SETS:
SEL/1..81/;
WARNA/1..9/:W,T1,T2;
GIVEN(SEL)/9,81,14,65,16,66,25,31,40,67,41,70,42,79,51,53,60,80/:W
G;
NONGIVEN(SEL)|#NOT#@IN(GIVEN,&1);
SELW(SEL,WARNA):Y,U;
JALUR(SEL,SEL):A;
JALURW(SEL,SEL,WARNA):X;
ENDSETS
DATA:
A=@OLE('A(i,j).xlsx','JALUR9');
ENDDATA
!PARAMETER;
N=@SIZE(SEL);
M=@SIZE(WARNA);
R=(N-M)/M;
!PANJANG RUAS BERWARNA-K;
@FOR(WARNA(K):W(K)=@SUM(JALUR(I,J):X(I,J,K)));
!FUNGSI OBJEKTIF;
MIN=@SUM(WARNA(K):T1(K)+T2(K));
!KENDALA 1;
@FOR(JALURW(I,J,K):A(I,J)-X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 2;
@FOR(SEL(I):@SUM(WARNA(K):Y(I,K))=1);
!KENDALA 3;
@FOR(GIVEN(I):WG(I)=@FLOOR((@INDEX(GIVEN,I)+1)*0.5));
@FOR(GIVEN(I):Y(I,WG(I))=1);
!KENDALA 4;
@FOR(GIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,WG(I)))+@SUM(SEL(J):X(J,I,WG(I)))=
1);
!KENDALA 5;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(I,J,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 6;
@FOR(WARNA(K):@FOR(NONGIVEN(I):@SUM(SEL(J):X(J,I,K))-Y(I,K)=0));
!KENDALA 7;
@FOR(JALURW(I,J,K):Y(I,K)+Y(J,K)-2*X(I,J,K)>=0);
!KENDALA 8;
@FOR(JALURW(I,J,K):X(I,J,K)+X(J,I,K)=0);
END
24
Lampiran 6 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 1
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
1
4
1
2
3
2
4
7
1
5
2
2
7
8
1
8
9
1
9
6
1
Lampiran 7 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 2
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
awal tujuan jalur
1
7
5
19
25
5
2
1
5
20
26
3
3
2
5
21
15
5
5
4
1
22
16
4
7
13
5
25
31
5
8
14
3
26
32
3
9
3
5
27
28
6
11
5
1
28
29
6
12
6
2
29
23
6
13
19
5
30
24
3
14
20
3
32
33
3
15
9
5
33
34
3
16
10
4
34
35
3
17
11
1
35
36
3
18
12
2
36
30
3
25
Lampiran 8 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 3
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
Warna
awal tujuan jalur
awal tujuan jalur
1
2
2
21
20
1
2
3
2
22
21
1
3
9
2
23
17
3
4
5
1
24
30
2
5
6
1
25
19
2
6
12
1
26
27
3
7
1
2
27
28
3
9
8
2
28
29
3
10
16
1
29
23
3
11
10
1
30
36
2
12
11
1
31
25
2
13
7
2
32
31
2
14
15
1
33
32
2
16
22
1
34
33
2
18
24
2
35
34
2
19
13
2
36
35
2
20
14
1
26
Lampiran 9 Hasil komputasi LINGO 11.0 untuk Skenario 4
Sel
Sel
Warna
Sel
Sel
awal
tujuan
jalur
awal
tujuan
1
2
7
39
30
2
3
7
40
49
3
4
7
43
42
4
5
7
44
43
5
6
7
45
54
6
7
7
46
37
7
8
7
47
56
8
17
7
48
39
9
18
1
49
58
10
1
7
50
41
11
20
2
52
51
12
11
2
53
52
13
12
2
54
63
14
13
2
55
46
15
16
3
56
65
17
26
7
57
48
18
27
1
58
67
19
10
7
59
50
20
29
2
60
61
21
22
3
61
62
22
23
3
62
71
23
24
3
63
72
24
15
3
64
55
26
35
7
66
57
27
36
1
68
59
28
19
7
69
68
29
38
2
70
69
30
21
3
71
80
31
32
4
72
81
32
33
4
73
64
33
34
4
74
73
34
25
4
75
74
35
44
7
76
75
36
45
1
77
76
37
28
7
78
77
38
47
2
79
78
Warna
jalur
3
5
7
7
1
7
2
3
5
6
8
8
1
7
2
3
5
6
9
9
9
1
7
3
6
6
6
9
1
7
7
7
7
7
7
7
27
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 4 Desember 1992 sebagai anak
tunggal dari pasangan Bapak Sunardi dan Ibu Siti Asiyah. Tahun 2010 Penulis lulus
dari SMA Negeri 3 Bogor dan diterima di Institut Pertanian Bogor di Departemen
Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam melalui jalur
Undangan Seleksi Masuk IPB dengan memperoleh Beasiswa BidikMisi.
Selama mengikuti perkuliahan penulis menjadi asisten matakuliah Kalkulus
II tahun ajaran 2011/2012 dan 2012/2013. Penulis juga aktif mengajar matakuliah
Pengantar Matematika, Landasan Matematika, dan Kalkulus di Bimbingan Belajar
Mafia Clubs.
Penulis juga aktif di berbagai kegiatan kemahasiswaan. Penulis pernah
menjadi staf Divisi Internal Unit Kegiatan Mahasiswa (UKM) Karate IPB. Penulis
memegang amanah sebagai Ketua Departemen Public Relation Gugus Mahasiswa
Matematika (Gumatika) pada tahun kepengurusan 2013 dan sebagai Ketua
Pelaksana Seminar Nasional IPB Mathematics Challenge 2013.