Berkala MIPA, 153, September 2005
56
fungsi tertentu fungsi keluarga dari masing- masing pendekatan. Selanjutnya dilakukan
optimasi Least Square
LS untuk memperoleh estimasinya.
Memperhatikan prosedur estimasi yang dilakukan oleh peneliti-peneliti di atas, dalam
tulisan ini, diberikan suatu pendekatan keluarga spline, yaitu spline polinominal
truncated.Dengan pendekatan ini diharapkan diperoleh perhitungan matematik dan
interprestasi Statistik yang relatif mudah dan sederhana. Proses inferensi didasarkan pada
polinominal dan optimasi yang digunakan adlah LS tidak optimasi PLS. Selanjutnya,
pada bagian 2 tulisan ini, disajikan suatu optimasi untuk keluarga spline polinominal
truncated. Sedangkan pada bagian 3, diberikan aplikasi model spline polinominal
truncated pada data produksi Billet dari suatu perusahaan besi
baja, yang berpola semiparametrik.
2. OPTIMASI KELUARGA SPLINE POLINOMINAL
TRUNCATED
Sebelum menyajikan pendekatan keluarga spline Polinominal
truncated dengan menggunakan optimasi LS, terlebih dahulu
diberikan model umum untuk regresi spline. Diberikan model regresi semiparametrik
umum :
n i
x m
L y
i i
i i
,..., 2
, 1
, =
+ ′
+ =
ε β
3 L
i
merupakan fungsional linear terbatas pada suatu ruang Hilbert H. Sesatan random
i
ε
berdistribusi independen dengan mean nol dan variasi
2
σ
. Kurva regresi
H m
∈
dan parameter
1 1
,..., ,
+
∈ ′
=
P p
R β
β β
β
tidak diketahui. Karena H ruang Hilbert maka H
dapat didekomposisi menjadi direct sum dari dua ruang, yaitu ruang N dan M Kreyzsig,
1978 :
M N
H ⊕
=
, dengan ruang null dan
⊥
= N
M
. Untuk setiap
H m
∈
dapat dinyatakan menjadi m = u + v,
N u
∈
dan
M v
∈
. Berdasarkan teorema representasi Riersz
Kreyzsig, 1978, terdapat dengan tunggal representer
H g
i
∈
, sehingga :
n i
H m
m g
m L
i i
,..., 2
, 1
, ,
, =
∈ =
Jika ditulis
β
i i
i
x y
z ′
− =
maka model regresi 3 dapat ditulis menjadi :
n i
m g
z
i i
i
,..., 2
, 1
, ,
= +
= ε
Estimasi m dieroleh berdasarkan optimasi Budiantara, 2000 :
{ }
m Q
m Q
n Min
pm m
g z
n Min
H m
n i
i i
H m
2 1
1 1
2 2
1
, γ
γ +
=
+
−
− ∈
= −
∈
∑
4 dengan
2 2
2 1
1
, ,
Pm m
Q m
g z
m Q
n i
i
= −
=
∑
=
dan P proyeksi ortogonal H onto M.
Penyelesaian optimal 4 adalah suatu fungsi yang merupakan anggota ruang M.
Dengan sedikit penjabaran didapat :
2 1
1
,
∑
=
− =
n i
i i
m g
z m
Q
2 1
,
∑
=
− =
n i
i i
v g
z
2 2
Pm m
Q =
2 2
2
Pv Pv
Pu ≥
+ =
Akibatnya untuk setiap
H m
∈
berlaku :
M v
v g
z n
Pm m
g z
n
n i
i i
n i
i i
∈ −
≥ +
−
∑ ∑
= −
= −
, ,
,
2 1
1 2
2 1
1
γ
Ini berarti fungsi anggota
H yang meminimumkan optimasi 4 merupakan
anggota ruang M. Beberapa metode untuk
menyelesaikan optimasi khusus 4 dalam regresi nonparametrik, telah diberikan oleh
beberapa penulis seperti Craven dan Wahba 1979, Budiantara, dkk., 1997, dengan
menggunakan RKHS. Metode yang sama juga telah diberikan untuk memperoleh
estimator regresi semiparametrik spline parsial Subanar dan Budiantara, 1999;
wahba, 1990; Budiantara, 1999. Disamping itu Eubank 1988 memberikan metode
Gateaux untuk memperoleh estimasi kurva regresi nonparametrik spline maupun
estimator regresi semiparametrikspline parsial. Walaupun RKHS dan Gateaux
mempunyai beberapa kelebihan, tetapi tidak dapat dihindari metode ini juga terdapat
kelemahan-kelemahan seperti memerlukan pengetahuan matematik khusus analisis Real
I Nyoman Budiantara, Model Keluarga SPline…
57
dan analisis Fungsional yang relatif tinggi. Karena alasan ini, He dan Shi 1996 dan Shi
dan Li 1994 mencoba memberikan pendekatan keluarga B-Spline untuk
memperoleh estimasi kurva regresi parsial. Tetapi hasil estimasi dengan B-Spline, juga
mempunyai beberapa kelemahan, seperti kurang jelasnya interpretasi Statistik dan
tidak menggambarkan secara visual perubahan perilaku kurva pada interval yang
berbeda sebagai ciri khas dari pendekatan spline.
Berikut diberikan pendekatan keluarga spline lain, yaitu polinominal spline
truncated. Dengan pendekatan ini diharapkan kelemahan - kelemahan di atas dapat
diperbaiki. Diberikan suatu bentuk basis untuk ruang Spline Schumaker, 1981
berbentuk :
{ }
, ,....,
, ,...,
, 1
1 1
r q
r q
q
K t
I K
t K
t I
K t
t t
≥ −
≥ −
dengan I merupakan fungsi indikator :
∈
∈ =
D x
D x
x I
D
, ,
1
dan K
1
,K
2
,...,K
r
titik-titik knots. Titik knots merupakan titik perpaduan bersama yang
memperlihatkan terjadinya perubahan perilaku dari fungsi spline pada interval-
interval yang berbeda. Untuk setiap fungsi m dalam ruang ini dapat dinyatakan sebagai
kombinasi linear
, ...
...
1 1
1 1
2 2
1 r
q r
q q
q
K t
I K
t K
t I
K t
t t
t t
m ≥
− +
+ ≥
− +
+ +
+ +
= φ
φ θ
θ θ
θ
untuk
q j
j
,..., 1
, ,
= φ
dan
r k
k
,..., 2
, 1
, =
φ
konstanta bernilai real. Model regresi 1 dapay dinyatakan menjadi :
i k
i q
k i
r k
k j
i q
j j
i
K t
I K
t t
z ε
φ θ
+ ≥
− +
=
∑ ∑
= =
1
untuk
β
i i
i
x y
z ′
− =
diperoleh model regresi :
. ,...,
2 ,
1 ,
1
n i
K t
I K
t t
x y
i k
i q
k i
r k
k j
i q
j j
i i
= +
≥ −
+ +
′ =
∑ ∑
= =
ε φ
θ β
Dengan penyajian matriks, diperoleh model regresi :
, ,
ε θ +
= t
x B
y
dengan
′ =
φ θ
β θ
, ,
dan Bx,t matriks berukuran nxp+q+r+2 yang bergantung
pada x dan t. Estimasi
′ =
′ =
q p
θ θ
θ θ
β β
β β
,..., ,
, ,...,
,
1 1
dan
′ =
r
φ φ
φ ,...,
1
diperoleh dari menyelasaikan optimasi LS :
− ′
− =
′
∈ ∈
∈ ∈
∈ ∈
+ +
+ +
; ;
; ;
, ,
1 1
1 1
θ θ
ε ε
φ θ
β φ
θ β
t x
B y
t x
B y
Min Min
r q
p r
q p
R R
R R
R R
5 Karena Bx,t matriks rank penuh maka
dengan sedikit penjabaran dan menggunakan derivatif parsial diperoleh estimasi parameter
θ
:
. ,
, ,
ˆ ,
ˆ ,
ˆ ˆ
1
y t
x B
t x
B t
x B
′ ′
= ′
=
−
φ θ
β θ
Jadi estimasi kurva regresi semiparametrik, diberikan oleh :
y t
x B
t x
B t
x B
t x
B t
x y
E ,
, ,
, ,
ˆ
1
′ ′
=
−
y t
x A ,
=
6 dengan
t x
B t
x B
t x
B t
x B
t x
A ,
, ,
, ,
1
′ ′
=
−
. Matriks Ax,t mempunyai peran yang sangat
penting dalam inferensi regresi semiparametrik spline. Berdasarkan uraian
diatas, diperoleh pernyataan berikut : i. Optimasi yang digunakan untuk
mengestimasi model keluarga polinomi- al truncated adalah optimasi LS tidak
PLS, sehingga secara matematik mudah dan sederhana.
ii. Basis spline yang digunakan berupa polinominal truncated yang memuat titik-
titik knots. Akibatnya secara visual dapat digambarkan secara jelas perubahan
perilaku dari model keluarga spline pada interval-interval yang berbeda, sebagai
ciri khas pendekatan spline.
iii.Pendekatan dengan polinominal mempu- nyai sifat matematik dan Statistik yang
baik. iv.Estimator keluarga spline polinominal
truncated merupakan estimator linear dalam observasi. Sifat linear ini sangat
membantu dalam pembangunan inferensi untuk model keluarga spline polinominal
truncated Budiantara, 2001.
v. Estimator keluarga spline polinominal truncated merupakan estimator bias,
sebab :
Berkala MIPA, 153, September 2005
58
y E
t x
A t
x y
E E
, ,
ˆ =
[ ]
t m
x t
x A
+ =
β ,
β x
t m
+ ≠
Walaupun estimator ini bias, tetapi tidak bias asimotik Budiantara, 2001.
3. APLIKASI MODEL KELUARGA SPLINE POLINOMINAL
