Bukti :
Menurut ketentuan ≠ . Andaikan = , oleh karena
pada garis maka
. Hal ini berlawanan dengan yang diketahui sehingga pengumpamaan
= adalah tidak benar, maka haruslah ≠ . Begitu pula dengan cara yang sama dapat dibuktikan
≠ , jadi , , berlainan.
Untuk membuktikan titik , , tak segaris dimisalkan , , C segaris maka akan ditunjukkan adanya krontradiksi. Andaikan titik , , segaris maka ada
garis yang memuat , , dan . Oleh karena memuat dan dan ≠
maka =
, hal ini kontradiksi dengan yang diketahui bahwa tidak pada garis . Sehingga pengandaian bahwa , , segaris mengakibatkan kontradiksi. Ini
berarti , , tidak segaris tidak kolinier.
2.1.7 Teorema Rawuh, 2009
Suatu garis dan suatu titik yang tidak pada garis itu termuat dalam tepat satu bidang.
Bukti
Misalkan titik dan garis dengan tidak pada . Menurut aksioma
insidensi yang pertama ada dua titik berlainan pada , misalkan titik tersebut adalah dan , sehingga
= , jadi
. Menurut aksioma 2 , dan berlainan dan tidak segaris. Menurut aksioma 4 titik , dan termuat dalam
satu bidang, katakanlah bidang tersebut bidang . Oleh karena dan
maka, menurut aksioma 5 = ⊂ memuat . Misalkan ada bidang lain
′ yang memuat garis dan titik jadi ′ memuat pula dan . Ini berarti ′ memuat , dan , menurut aksioma 4
′
= . Jadi adalah satu-satunya bidang yang memuat dan karena jika ada bidang lain yang memuat , dan
bidang tersebut akan sama dengan bidang .
2.1.8 Definisi Rawuh, 2009
1. Misalkan
titik tidak pada garis , bidang yang memuat garis dan titik kita tulis sebagai
. 2.
Misalkan titik , dan berlainan dan tidak kolinier, bidang yang memuat , dan kita tulis sebagai
.
2.1.9 Definisi Rawuh, 2009
Dua garis dan dinamakan sejajar ditulis apabila 1.
dan termuat dalam satu bidang dan
2. dan m tidak memiliki titik sekutu
2.1.10 Teorema Rawuh, 2009
Apabila maka dan termuat dalam satu bidang.
Bukti
Menurut definisi kesejajaran garis, ada suatu bidang yang memuat dan .
Misalkan bidang ′ juga memuat dan , apabila pula titik
maka ′ dan
memuat dan titik . Menurut Teorema 2.1.7 haruslah
′
= , jadi hanya ada satu unik bidang yang memuat dua garis yang sejajar.
2.1.11 Teorema Rawuh, 2009
Jika dua garis yang berbeda berpotongan, maka garis itu termuat dalam tepat satu bidang.
Bukti
Misalkan dan garis yang berbeda yang berpotongan, misalkan pula
dan sebab dan berpotongan. Menurut Teorema 2.1.4 ada
dan ≠
; . Maka ada sebuah bidang yang memuat dan . Oleh karena
memuat maka memuat Sehingga juga memuat . Jadi memuat dan bukti selesai.
2.1.12 Teorema Rawuh, 2009
Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya adalah suatu garis.
Bukti
Misalkan dan dua bidang berbeda yang berpotongan, misalkan juga salah satu titik temunya potongnya. Jadi
dan , maka ada titik kedua
dengan dan
aksioma 6, jadi juga ⊆ dan
⊆ aksioma 5. Ini berarti tiap titik
termuat di dan di
atau ⊂ ∩ , akan
dibuktikan ∩ =
. Telah dibuktikan di atas bahwa ⊂ ∩ selanjutnya
membuktikan bahwa ∩ ⊂
. Misalkan ∩ dan misalkan
. Oleh karena
dan termuat dalam dan dalam , maka
= teorema 2.1.7. Hal ini bertentangan dengan yang diketahui. Jadi pemisalan bahwa
menimbulkan kontradiksi, sehingga haruslah ini berarti bahwa
∩ ⊂
. Oleh karena telah terbukti bahwa ⊂ ∩ maka ∩ =
.
Akibatnya
Apabila ada garis g dengan ⊂ dan ⊂ maka = ∩ .
2.1.13 Definisi Rawuh, 2009
