Sistem aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdefinisi itu

I. GEOMETRI INSIDENSI
A. PENGERTIAN
Dalam cabang ilmu matematika, terdapat beberapa kelompok geometri.
Setiap geometri mengandung:
1. Unsur-unsur tak terdefinisi (primitive terms)
2. Sistem aksioma yang mengkaitkan unsur-unsur tak terdefinisi itu
3. Definisi-definisi
4. Teorema –teorema yang dapat dijabarkan dari butir-butir (1), (2), dan (3) diatas
Salah satu dari kelompok geometri tersebut adalah geometri insidensi.
Geometri insidensi merupakan geometri yang berisi pembentukan sistem
aksioma dan sifat-sifat yang mendasari geometri tersebut.
Geometri Insidensi ini dapat dikatakan mendasari geometri Euclides yang kita kenal
semua. Menurut David Hilbert, Geometri Euclides didasarkan pada 5 kelompok
aksioma yaitu:
I.

Kelompok aksioma insidensi

II.

Kelompok aksioma urutan


III.

Kelompok aksioma kongruensi

IV.

Aksioma kekontinuan

V.

Aksioma kesejajaran Euclides

B. PEMBENTUKAN GEOMETRI INSIDENSI
Untuk membangun sebuah geometri diperlukan unsur-unsur tak terdefinisi. Unsurunsur tak terdefinisi ini antara lain:
a. Titik
b. Himpunan titik-titik yang dinamakan garis
c. Himpunan titik-titik yang dinamakan bidang
Jadi ada 3 unsur tak terdefinisi yaitu: titik, garis dan bidang. Ketiga unsur ini
dikaitkan satu sama lain dengan sebuah sistem aksioma yaitu sistem aksioma insidensi.

Terdapat 6 aksioma dalam geometri insidensi yaitu:

1

I.1

Garis adalah himpunan titik-titik yang mengandung paling sedikit dua titik

I.2

Dua titik yang berlainan termuat tepat dalam satu garis

I.3

Bidang adalah himpuan titik-titik yang mengandung paling sedikit tiga titik
yang tidak terkandung dalam satu garis ( tiga titik tak segaris)

I.4

Tiga titik yang berlainan yang tak segaris terkandung dalam satu dan tidak

lebih dari satu bidang

I.5

Apabila sebuah bidang memuat dua titik berlainan dari sebuah garis, bidang
itu akan memuat setiap titik pada garis tersebut ( garis terletek pada bidang)

I.6

Apabila dua bidang bersekutu pada sebuah titik maka kedua bidang itu akan
bersekutu pada titik kedua yang lain

Definisi:
Sebuah himpunan titik-titik bersama dengan himpunan bagian seperti garis dan
bidang yang memenuhi sistem aksioma 1 sampai dengan 6 disebut geometri insidensi.
Teorema teorema dalam geometri insidensi:
Teorema 1
Dua garis yang berbeda bersekutu atau berimpit pada paling banyak satu titik.
Bukti:
 Misalkan garis itu l dan m;

 Jika l dan m berpotongan maka terdapat minimal satu titik potong, sebut P.
(Menurut definisi);
 Andaikan Q titik potong lain dari l dan m, maka terdapat garis PQ yang melalui
P dan Q;
 Andaikan l dan m juga berpotongan di Q, maka melalui P dan Q terdapat garis
PQ, sehingga melalui P dan Q terdapat lebih dari satu garis;

2

l

P

Q
m

 Kondisi pada gambar di atas kontradiksi dengan aksioma I.1.
Terbukti l dan m berpotongan pada tepat satu titik.
Definisi:
Sebuah garis yang memuat titik A dan titik B yang terletak pada ujung lain disebut

garis AB.
Teorema 2
Apabila titik A tidak pada garis BC maka titik A, titik B, titik C berlainan dan tidak
kolinear.
Bukti.
(i) Akan dibuktikan A,B, dan C berlainan.
 Terdapat titik A dan garis BC. B ∈ BC, C ∈ BC dan A ∉ BC;
 Menurut ketentuan B ≠ C . Andaikan A = B, karena B ∈ BC maka A ∈ BC;
 A ∈ BC kontradiksi dengan A ∉ BC;
 Maka haruslah A ≠ B;
 Dengan cara yang sama dapat dibuktikan A ≠ C;
 Jadi A, B dan C berlainan.
(ii) Akan dibuktikan A,B, dan C tidak kolinear (tidak segaris).
 Andaikan A, B dan C segaris maka terdapat garis g ∋ A∈ g, B ∈ g dan C ∈ g;
 Karena B ∈ g, C ∈ g dan B ≠ C maka g = BC;
 Jadi A∈ g (A ¿ BC). Kondisi ini kontradiksi dengan A ∉ BC;
 Jadi pengandaian A, B dan C segaris tidak benar. Ini berarti A,B dan C tidak
kolinier.
Teorema 3.
Sebuah garis dan sebuah titik yang tidak pada garis itu termuat tepat dalam satu

bidang.
3

Bukti:
 Andaikan terdapat titik A dan garis g dengan A ∉ g. ( A tidak pada g );
 Menurut I.1 terdapat B ∈ g dan C ∈ g dengan B ≠C . Sehingga g = BC. Jadi
A ∉ BC;
 Menurut teorema 2 A,B,C berlainan dan tidak segaris;
 Menurut I.4 A, B dan C termuat dalam sebuah bidang V;
 Oleh karena B ¿ V, C ¿ V, maka menurut I.5, BC = g ¿

V ( V memuat

g );
 Andaikan ada bidang lain V’ yang memuat g dan A . Jadi V’ memuat pula B dan
C;
 Ini berarti V’ memuat A, B dan C;
 Menurut I.4 V’ = V . Ini berarti V satu-satunya bidang yang memuat g dan A.
Definisi
1. Andaikan A  g. Satu-satunya bidang yang memuat g dan A kita tulis sebagai

gA
2. Andaikan A,B dan C berlainan dan tak kolinear . Satu-satunya yang memuat A,
B dan C kita tulis sebagai bidang ABC.
Definisi
Dua garis l dan m dinamakan sejajar apabila:
1. l dan m termuat dalam satu bidang
2. l dan m tidak memiliki titik sekutu ( titik temu)

Teorema akibat :
Apabila l // m maka l dan m termuat dalam tepat satu bidang.
Bukti





Menurut definisi, terdapat sebuah bidang V yang memuat l dan m;
Andaikan V’ juga memuat l dan m;
Andaikan A ∈ m, maka V’ dan V memuat l dan A;
Menurut Teorema 3 V’ = V.


4

Teorema 4
Jika dua garis yang berbeda berpotongan, kedua garis itu termuat dalam tepat satu
bidang.
Bukti
 Andaikan l dan m adalah garis, l≠ m , A= l∩ m . Maka A ∈l







dan A

∈m ;
Terdapat titik kedua yaitu B ∈ m dan B ≠ A, B ¿ l (Aksioma 1.1);
Maka terdapat sebuah bidang V, di mana l∈ V dan B ∈ V (Teorema 3);

Ambil sebarang C ∈l , jelas A ∈l , C ∈l , A ≠C . (Aksioma 1.1);
Karena A ∈l , lV , maka A ∈V (Aksioma 1.5);
A ∈V dan B ∈ V , sehingga m∈ V (Aksioma 1.5);
Jadi l∈ V dan m∈ V . (Terbukti)

Teorema 5
Apabila dua bidang yang berlainan berpotongan maka himpunan titik potongnya
adalah sebuah garis.
Bukti
Andaikan P dan Q dua bidang yang berbeda dan yang berpotongan, andaikan A salah
satu ttitik temunya jadi A ¿

P dan A ¿

Q , maka ada titik kedua B dengan B ¿ P

dan B ¿ Q, jadi AB = P , ini berarti tiap titik AB memuat di P dan di Q
Akan dibuktikan P ¿ Q = AB . Telah dibuktikan diatas bahwa AB ¿
tinggal membuktikan bahwa P ¿ Q


¿

P

¿ Q

AB .Andaikan C ¿ P ¿ Q Andaikan C

¿ AB , oleh karena AB dan C termuat dalam P dan dalam Q maka P = Q .
Bertentangan dengan yang diketahui jadi permisalan C ¿ AB tidaklah benar ,
sehingga C ¿ AB . Ini berarti bahwa P ¿ Q
nahwa AB ¿

¿ AB. Oleh karena itu telah terbukti

P ¿ Q maka P ¿ Q = AB

Definisi

5


Dua bidang V dan W disebut sejajar apabila V dan W tidak memiliki titik temu
( titik potong)
Teorema 6
Apabila bidang P sejajar bidang Q dan bidang R memotong bidang P dan
bidang Q maka himpunan P ∩ R dan Q ∩ R adalah garis-garis yang sejajar.
Bukti
(i)

Akan dibuktikan P ∩ R dan Q ∩ R adalah garis–garis.
 Akan dibuktikan P ≠ R dan Q ≠ R.;
 Andaikan P = R. Karena R ∩ Q maka P ∩ Q;
 Tidak mungkin P ∩ Q, karena P ∥ Q. Jadi haruslah P ¿ R;
 Ini berarti P ∩ R adalah sebuah garis l. Begitu pula Q ∩ R adalah

sebuah garis m.
(ii)
Akan dibuktikan l ∥ m.
 l ∈ R dan m ∈ R;
 Andaikan l ∩ m dan A = l ∩ m, maka A ¿ P dan A ¿ Q;
 Jadi A ¿ P ∩ Q. (Tidak mungkin, karena kontradiksi dengan P ∥
Q) ;
 Jadi l dan m terletak pada satu bidang dan tidak memiliki titik temu.
Terbukti bahwa l ∥ m;
Definisi
1. Apabila garis-garis g1, g2,...., gn bertemu pada satu titik dinamakan garis g1,
g2,...., gn konkuren
2. Apabila bangun geometri B1, B2, ..., Bn terletak pada satu bidang ; kita
namakan bangun-bangun itu sebidang atau koplanar
Teorema 7
Apabila tiap dua garis dari sekelompok tiga garis koplanar, akan tetapi tidak
bertiga koplanar maka ketiga garis itu konguren atau tiap dua garis diantaranya
sejajar.
Bukti

6

 Andaikan tiga garis itu l, m dan n;
 Andaikan l ∈ P, m ∈ P, m ∈ Q, n ∈ Q dan l ∈ R, n ∈ R;
 Akan dibuktikan P ≠ Q ≠ R;
i. Andaikan P = Q maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang P = Q).
Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi
haruslah P ≠ Q;
ii. Andaikan Q = R maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang Q = R).
Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi
haruslah Q ≠ R.;
iii. Andaikan P = R maka l, m, n sebidang/koplanar (pada bidang P = R).
Kontradiksi dengan pernyataan ”tidak ketiga-tiganya koplanar”. Jadi
haruslah P ≠ R;
 Dari i, ii, dan iii jelas bahwa P ≠ Q ≠ R;
 Oleh karena itu P ∩ Q = m, Q ∩ R = n, P ∩ R = l. (Berdasarkan
langkah ke-2);
 Andaikan l ∩ m = A dan A ¿ l, maka A ¿ R dan A ¿ P;
 Oleh karena A ¿ m maka A ¿ P dan A ¿ Q. Jadi A ¿ Q dan A ¿ R
ini berarti A ¿ n;
 Sehingga apabila dua garis diantara l, m, dan n berpotongan maka tiga garis itu
konguren.
Apabila tiap dua garis diantara l, m, dan n tidak berpotongan, maka berhubung tiap
dua garis itu sebidang, tiap dua garis tersebut sejajar
Teorema akibat
Apabila l ∥ m dan A tidak terletak dalam bidang yang memuat l dan m, maka
ada garis tunggal n yang memuat A sehingga n ∥ l dan n ∥ m.
Bukti
 Misalkan P adalah bidang dengan l ∈ P, A ∈ P, dan Q adalah bidang
dengan m ∈ Q, A ∈ Q. Maka P = Q, sebab A tidak terletak pada bidang
yang memuat l dan m;
 Andaikan P ∩ Q = n, maka n ∥ l dan n ∥ m;
Akan dibuktikan n tunggal;

7

 Andaikan n’ garis lain, A ∈ n’, n’ ∥ l, dan n’ ∥ m, maka n’ ∈ R dan l
∈ R;
 Maka R harus memuat l dan A. Sehingga R = P;
 Jadi n’⊂ P dan n’ ⊂ Q , sehingga n’ = n.
II. GEOMETRI 4 TITIK
Geometri 4 titik merupakan geometri finite (geometri berhingga). Nama aksioma
ini diambil dari aksioma pertamanya.
Unsur-unsur tak terdefinisi geometri 4 titik antara lain titik, garis, dan terletak
pada.
Aksioma Geometri 4 Titik


Aksioma 1: Terdapat tepat empat titik



Aksioma 2: Sebarang dua titik berbeda, pada tepat satu garis



Aksioma 3: Setiap garis pada tepat dua titik
Contoh Model geometri 4 titik
Jika titik diinterpretasikan sebagai noktah pada kertas dan garis sebagai coretan

pensil, model dari geometri 4 titik dapat disajikan dengan gambar seperti berikut.

Definisi: Dua garis pada titik yang sama dikatakan berpotongan dan dua garis
itu disebut garis-garis berpotongan.
l
h

Contoh
m

k

g

n
8

k dan g, l dan g, l dan m, m dan n, n dan g, h dan l, h dan m, k dan n adalah
garis-garis berpotongan.
Garis h dan k tidak berpotongan
Definisi: Dua garis yang tidak berpotongan disebut sejajar.
Contoh
Pada gambar di atas garis h sejajar k, l sejajar n, dan m sejajar g.
Teorema 1
Jika dua garis berbeda berpotongan maka mereka mempunyai satu titik sekutu.
Bukti:
 Dua garis berpotongan mempunyai minimal satu titik sekutu. (Definisi);
 Misal g dan h adalah garis tersebut dan A = g ∩ h. Berarti A ∈ g dan A
∈ h;
 Andaikan terdapat B adalah titik sekutu lain, berarti B ∈ g dan B ∈ h;
 Akibatnya melalui A dan B ada lebih dari satu garis (Kontradiksi dengan

aksioma 2);
 Jadi pengandaian salah. Terbukti 2 garis berpotongan mempunyai tepat satu titik
sekutu.
Teorema 2
Terdapat enam garis.
Bukti:
 Terdapat empat titik (aksioma 1);
 Sebarang dua titik berbeda terdapat satu garis (aksioma 2);
 Sehingga dari kedua aksioma ini didapat banyaknya garis ada kombinasi 2 dari
4, yaitu

9

C 4,2=

4!
( 4−2 ) ! 2!

= 6 garis;

 Jadi terdapat 6 garis.
Teorema 3
Setiap titik pada tepat tiga garis.
Bukti:
 Terdapat tepat 4 titik (aksioma 1);
 Dua titik berbeda menentukan tepat satu garis (aksioma 2);
 Berarti dari satu titik terdapat minimal 3 garis.
Andaikan ada garis ke 4
 Setiap garis pada tepat 2 titik (aksioma 3);
 Berarti garis ke 4 pasti melalui salah satu dari ketiga titik lainnya;
 Sehingga terdapat dua titik berbeda yang mempunyai lebih dari satu garis pada
keduanya (aksioma 2);
 Jadi tidak ada garis yang keempat, terbukti terdapat tepat tiga garis.
Teorema 4
Setiap garis berbeda mempunyai tepat satu garis yang sejajar dengannya.
Bukti:
 Terdapat tepat empat titik, sebut P,Q,R, dan S (aksioma 1);
 Melalui sebarang titik Q dan R terdapat tepat satu garis, sebut l.(aksioma 2);
 Sedangkan menurut teorema 3, setiap titik ada tepat 3 garis, berarti di suatu titik
P ∉ l ada tepat 3 garis. Dua dari 3 garis ini pasti memotong l (aksioma 2);
 Andaikan garis ketiga memotong l maka perpotongnnya adalah satu titik. Titik
ini pasti berbeda dengan dua titik pada l (aksioma 2);
 Berarti di l ada titik yang ketiga. Kontradiksi dengan aksioma 3, sehingga
pengandaian salah. Terbukti ada tepat satu garis yang sejajar l.

10

III. GEOMETRI FANO DAN GEOMETRI YOUNG
A. GEOMETRI FANO
Inisiatif pertama dalam mempelajari geometri finite datang dari Gino Fano pada
tahun 1892. Fano menemukan geometri finite tiga dimensi yang mempunyai 15 titik, 35
garis dan 15 bidang. Satu dari bidang bidang tersebut adalah geometri Fano. Sebagai
undefined terms ditetapkan titik, garis, dan pada.
Terdapat 6 aksioma dalam geometri fano yaitu:
Aksioma-1

: Terdapat minimal satu garis

Aksioma-2

: Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis

Aksioma-3

: Tidak semua titik segaris

Aksioma-4

: Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda

Aksioma-5

: Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda.

Berikut ini dua penyajian dari suatu model geometri Fano
D

E

F

B

A

A
B
C
I1

A
G
F
I2

A
E
D
I3

B
G
D
I4

C
G
E
I5

C
F
D
I6

E
B
F
I7

C

Teorema 1
Dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.
Bukti:
 Terdapat minimal satu titik pada sebarang dua garis berbeda (aksioma 5);
sebut garis k dan g dengan titik sekutu P;
11

 Andaikan ada titik sekutu lain yaitu Q maka P ∈ k dan Q ∈ k;
 Demikian pula, P ∈ g dan Q ∈ g;
 Jadi untuk dua titik berbeda P dan Q terdapat dua garis. Hal ini kontradiksi
dengan aksioma 4;
 Jadi dua garis berbeda mempunyai tepat satu titik sekutu.
Teorema 2
Geometri Fano empunyai tepat 7 titik dan 7 garis.
Bukti:
 Terdapat minimal satu garis, misal l (aksioma 1);
 Pada l ada tepat tiga titik, sebut titik A,B, dan C (aksioma 2);
 Tidak semua titik pada l, artinya terdapat P ∉ l. Jadi ada minimal 4 titik, yaitu
A,B,C, dan P (aksioma 3);
 P dan setiap titik pada l menentukan garis-garis berbeda (aksioma 4);
 Garis-garis ini masing memuat 3 titik (aksioma 2);
 Karena untuk setiap dua titik hanya ada satu garis (aksioma 4) maka tiga titik
tadi pasti bukan A, B, C ataupun P;
 Jadi minimal ada 7 titik, A,B,C,P,Q,R, dan S;
 Andaikan ada titik ke-8 yaitu K, maka P dan K menentukan garis h = garis PQ
(aksioma 4);
 Menurut aksioma 5, h dan l pasti berpotongan. Titik potong h dan l pasti bukan
A,B, ataupun C, karena setiap 2 titik menentukan garis tunggal;
 Berarti l memuat 4 titik. Hal ini kontradiksi dengan aksioma 2. Jadi tidak
mungkin ada titik ke delapan, sehingga ada tepat 7 titik.
B. GEOMETRI YOUNG
Geometri young mempunyai lima aksioma.
Aksioma-1

: Terdapat minimal satu garis

Aksioma-2

: Terdapat tepat tiga titik pada setiap garis

Aksioma-3

: Tidak semua titik segaris

Aksioma-4

: Terdapat tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda

12

Aksioma-5

: Untuk setiap garis l dan titik P tidak pada l terdapat tepat satu garis

yang melalui P dan tidak memuat titik pada l.
Jika kita cermati pada keempat aksioma pertama, maka akan sama dengan empat
aksioma pertama geometri Fano.
Dari aksioma-aksioma ini diturunkan beberapa teorema sebagai berikut.
Teorema 1
Di setiap titik terdapat minimal empat garis.
Bukti:





Terdapat minimal satu garis, sebut l (aksioma 1);
Terdapat tepat 3 titik pada setiap garis (aksioma 2);
Berarti di l terdapat 3 titik, sebut titik itu A, B, dan C;
Menurut aksioma 3: tidak semua titik segaris. Berarti ada titik tidak pada l, sebut

P;
 Menurut aksioma 4: ada tepat satu garis pada sebarang dua titik berbeda. Jadi
terdapat minimal 3 garis melalui sebarang titik P;
 Menurut aksioma 5: di P tidak pada l ada satu garis yang tidak memuat titik pada
l. Jadi terdapat minimal 4 garis di P.

P

A

B

l

C

Teorema 2
Terdapat tepat 9 titik.
Bukti:

13

 Terdapat minimal 3 titik pada garis l (akisoma 1 dan 2);
 Tidak semua titik segaris, berarti terdapat minimal satu titik tidak pada l, sebut
P. Sehingga terdapat minimal 4 titik (aksioma 3);
 Setiap 2 titik menentukan garis. Berarti P dan titik-titik pada l menentukan
garis, yaitu I1,I2 dan I3 (aksioma 4);
 Di setiap garis ini terdapat tepat 3 titik (aksioma 2). Tiga titik ini pasti bukan 4
titik tadi karena untuk setiap 2 titik terdapat tepat satu garis, sehingga minimal
ada 7 titik;
 Di P terdapat minimal 4 garis dan menurut aksioma 5, I4 memotong l;
 Menurut aksioma 2, di I4 terdapat tepat 3 titik. Jadi terdapat minimal 9 titik
(teorema 1);
 Andai terdapat titik ke-10 yaitu Q;
 P dan Q menentukan satu garis (aksioma 4);
 Pasti Q ∉ l, karena jika Q ∈ l berarti di l terdapat lebih dari 3 titik. Hal ini
kontradiksi dengan aksioma 2;
 Sehingga di P ada lebih dari satu garis yang tidak memuat titik pada l.
Kontradiksi dengan aksioma;
 Jadi tidak ada titik yang ke 10. Terbukti terdapat tepat 9 titik.
Teorema 3
Terdapat tepat 12 garis.
Bukti:
 Terdapat tepat 9 titik (teorema 2). Untuk memudahkan kita sebut saja titik-titik
itu A,B,C,D,E,F,G,H, dan I;
 Terdapat tepat 3 titik berbeda pada setiap garis (aksioma 2);
 Jadi didapat :
A

A

A

B

B

B

C

C

D

D

G

H

B

D

E

E

D

F

F

E

E

H

H

F

C

G

I

H

I

ContohI Soal G
G

F

C

I

A

I1.
1

I2
Isebuah
Igaris
I5
I6 g=zIaz+a-z+b=0
I8 ,aI
I10
I11 bahwa
I12 g
3
4
7
9
Diketahui
sembarang
0,b real,buktikan

memuat paling sedikit dua titik yang berbeda.
Bukti:

14

Akan dibuktikan bahwa g mremuat paling sedikit dua titik yang berbeda,artinya
harus ditunjukkan ada paling sedikit dua bilangan kompleks yang berbeda yang
dapat memenuhi persamaan az+az+b=0.Andaikan a=+i, dan  real dan tidak
nol,z=x+iy maka az+b=0 dapat ditulis sebagai:
( + i)( x + iy )+ ( - i )( x - iy) = 0
Persamaan ini dapat pula ditulis sebagai
2x - 2y + b = 0
Ambil x = 0,maka y =

b
( α =0)


Ambil x = 0,maka x =

−b
(α=0)


Sehingga titik z1 =

bi


dan z2 =

−bi


Memenuhi persamaan az + a – z + b = 0, ini berarti garis mengandung paling
sedikit dua titik yaitu z1 dan z2 tersebut.
2.

Dalam model geometri insidensi M11, garis yang melalui A(-2,4) dan B(-1,6)
adalah?
Jawab:
M = (6-4)/(1-2) = -2, m