2.4.1 Gerak Harmonik
Gerak osilasi dapat berulang secara teratur. Jika gerak itu berulang dalam selang waktu yang sama, maka geraknya disebut gerak periodik. Waktu
pengulangan τ disebut dengan periode osilasi dan kebalikannya, f = 1τ disebut
frekuensi. Jika gerak dinyatakan dalam fungsi waktu xt, maka setiap gerak periodik harus memenuhi hubungan t = x1 +
τ. Secara umum, gerak harmonik dinyatakan dengan persamaan:
τ π
t A
x 2
sin =
2.18
dimana A adalah amplitudo osilasi yang diukur dari posisi setimbang massa, dan τ
adalah periode dimana gerak diulang pada t = τ.
Gerak harmonik sering dinyatakan sebagai proyeksi suatu titik yang bergerak melingkar dengan kecepatan tetap pada suatu garis lurus, seperti terlihat pada
gambar 2.7. Dengan kecepatan sudut garis OP sebesar ω, perpindahan simpangan
x dapat dituliskan sebagai: t
A x
ω sin
= 2.19
Besaran ω biasanya diukur dalam radian per detik dan disebut frekuensi
lingkaran. Oleh karena gerak berulang dalam 2 π radian, maka didapat hubungan:
f t
π π
ω
2 2
= =
2.20
Universitas Sumatera Utara
dengan τ dan f adalah periode dan frekuensi gerak harmonik bertuturt-turut dan
biasanya diukur dalam detik dan siklus perdetik.Kecepatan dan percepatan gerak harmonik dapat diperoleh secara mudah dengan diferensiasi simpangan gerak
harmonik. Dengan menggunakan notasi titik untuk turunannya, maka didapat:
2.11
2.12
Gambar 2.13 Gerak Harmonik sebagai Proyeksi Suatu Titik yang Bergerak Pada Lingkaran
2.4.2. Gerak Periodik
Getaran mesin pada umumnya memiliki beberapa frekuensi yang muncul bersama-sama. Gerak periodik dapat dihasilkan oleh getaran bebas sistem dengan
banyak derajat kebebasan, dimana getaran pada tiap frekuensi natural memberi
x
A sin
ωt
2 π
ωt O
P A
θ = ωt
Universitas Sumatera Utara
sumbangannya. Getaran semacam ini menghasilkan bentuk gelombang kompleks yang diulang secara periodik seperti ditunjukkan pada Gambar 2.14.
Gerak harmonik pada Gambar 2.14, dapat dinyatakan dalam deretan sinus dan cosinus yang dihubungkan secara harmonik. Jika
t x
adalah fungsi periodik dengan periode
τ , maka fungsi ini dapat dinyatakan oleh deret Fourier sebagai:
t a
t a
t a
a t
x
n n
ω ω
ω cos
... cos
cos
2 2
1 1
2 1
+ +
+ =
t b
t b
t b
n n
ω ω
ω sin
... sin
sin
2 2
1 1
+ +
+ 2.13
dengan τ
π ω
2
1
=
1
2 ω
ω =
n
Gambar 2.14. Gerak periodik gelombang sinyal segiempat dan gelombang pembentuknya dalam domain waktu
t xt
τ
Universitas Sumatera Utara
Pada gelombang segiempat berlaku
t x
=
X ±
pada t =0, dan t = τ, dan
seterusnya. Deret ini menunjukkan nilai rata-rata dari fungsi yang diskontinu.
Untuk menentukan nilai koefisien
n
a dan
n
b , kedua ruas persamaan 2.13 dengan cos t
ω dan sin t ω , kemudian setiap suku diintegrasi untuk lama perioda τ .
Dengan mengingat hubungan berikut,
=
≠ =
∫
n m
jika n
m jika
tdt t
n m
, 2
, cos
cos
τ ω
ω
τ
=
≠ =
∫
n m
jika n
m jika
tdt t
n m
, 2
, sin
sin
τ ω
ω
τ
2.14
=
≠ =
∫
n m
jika n
m jika
tdt t
n m
, ,
cos sin
τ
ω ω
Dari persamaan 2.14, maka untuk m = n, diperoleh hasil
∫
=
τ
ω τ
cos 2
1 tdt
t x
a
n n
2.15
∫
=
τ
ω τ
cos 2
1 tdt
t x
b
n n
2.16
Persamaan deret Fourier berdasarkan nilai gelombang empat persegi:
X t
x =
untuk 0 t τ2
dan
Universitas Sumatera Utara
X t
x −
=
untuk τ2 t τ
Maka koefisien
n
a dan
n
b dapat dihitung, sebagai berikut:
cos cos
2 1
2 2
=
−
=
∫ ∫
τ τ
τ
ω ω
τ dt
X dt
X a
n n
n
karena, cos
cos
2 2
= =
∫ ∫
τ τ
τ
ω ω
dt dt
n n
dan
− =
∫ ∫
τ τ
τ
ω ω
τ
2 2
sin sin
2 1
dt X
dt X
b
n n
n
[ ]
τ τ
τ
ω ω
τ
2 2
cos cos
2 1
n n
X X
n +
=
[ ]
cos 1
cos 1
2
2 2
τ τ
τ
n n
n X
− +
− =
akan menghasilkan nilai
n
b =0 untuk n bilangan genap, dan
n
b =
2
4
τ
X untuk n
bilangan ganjil. Sehingga deret Fourier yang merepresentasikan gelombang empat persegi menjadi:
+ +
+ +
= ....
7 7
sin 5
5 sin
3 3
sin sin
8 t
t t
t X
t x
τ 2.17
Universitas Sumatera Utara
2.4.3 Getaran Bebas Free Vibration Getaran bebas terjadi jika sistem berosilasi karena bekerjanya gaya yang ada
dalam sistem itu sendiri inherent dan apabila tidak ada gaya luar yang bekerja. Sistem yang bergetar bebas akan bergetar pada satu atau lebih frekuensi
naturalnya yang merupakan sifat dinamika yang dibentuk oleh distribusi massa dan kekakuannya.
Perhatikan gerak dari sebuah elemen yang ditempatkan pada sebuah pegas seperti diillustrasikan dalam gambar 2.15 yang menunjukkan sebuah jarak kecil x dari
posisi kesetimbangannya. Persamaan diferensial menjabarkan perpindahan elemen setelah dilepaskan yang diperoleh dengan penjumlahan gaya dalam arah
vertikal. Aljabar penjumlahan ΣF dengan gaya ke atas + adalah:
Gambar 2.15 Sistem Massa Pegas dan diagram benda bebas
Posisi keseimbangan statik
Posisi tanpa peregangan
Δ kΔ
m m
w x
k Δ + x
w
.. .
x x
k
m m
..
x
k Δ+x
.
x
..
x
Universitas Sumatera Utara
Hukum Newton kedua adalah dasar pertama untuk meneliti gerak system seperti ditunjukkan pada gambar 2.15 dimana gaya statik Ä dan gaya pegas k Ä
adalah sama dengan grvitasi w yang bekerja pada massa m: Gerak statik: k Ä = w = m.g
2.18 k Ä - w = 0
Gerak dinamik:
w -
x k
x m
= +
∆ +
2.19
dimana menghasilkan persamaan diferensial untuk gerak, karena k Ä = W dan menggunakan
x
= a yang merupakan turunan kedua dari x terhadap waktu. literatur 12, hal : 16
= +
kx x
m
2.20 Persamaan ini merupakan persamaan diferensial linier dimana solusinya dapat
ditemukan sebagai berikut. misal:
t A
x ω
sin =
2.21 2.22
substitusi persamaan 2.20 dan 2.21 ke persamaan 2.22 sehingga:
2.23
,
Universitas Sumatera Utara
sehingga dari persamaan untuk frekuensi natural adalah,
m k
n
=
2
ω atau
m k
n
= ω
dituliskan kembali persamaan 2.20 sebagai berikut:
2
= + x
x
n
ω
2.24
Universitas Sumatera Utara
BAB III METODE PENELITIAN
3.1. Tempat Dan Waktu
Kategori