Analisis biplot untuk memetakan mutu sekolah yang sesuai dengan nilai ujian nasional
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH
YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL
SUJITA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Analisis Biplot untuk Memetakan
Mutu Sekolah yang Sesuai dengan Nilai Ujian Nasional adalah karya saya dengan
arahan Komisi Pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Februari 2009
Sujita
NRP G551060101
ABSTRACT
SUJITA. Biplot Analysis of School Quality Mapping Conformed with the
National Exam Score. Supervised by SISWADI and N.K. KUTHA ARDANA
The national examination has been being debated, since its score is used
only to determine student’s passing grade with no follow up. There are two main
purposes in this study, the first is to get school quality mapping conformed with
the national exam score, and the second is to describe the relationship between the
national exam score and its influential variables. The data used in this study was
arranged by Idris in his dissertation and published in a book titled Analisis Kritis
Mutu Pendidikan in 2005. The data is analysed by a biplot package based on
Mathematica programming, by combining several values of α and the national
exam standard deviation. Gabriel’s goodness of fit and Pearson’s correlation
coefficient are respectively used to measure the proportional fit on the biplot and
the school quality configuration in the biplot. School quality mapping conformed
with the national exam score can not be obtained by the biplot with standardized
variables. The national exam scores, which are transformed with 1.5 of standard
deviation will display the rank conformity, and the biplot properly displays all
influential variables having highly significant positive correlations. Broadening
the scope of this study and using more recent data are recommended for further
study.
Keyword: school quality mapping, principal component analysis, biplot,
goodness of fit, Pearson’s correlation coefficient
RINGKASAN
SUJITA. Analisis Biplot untuk Memetakan Mutu Sekolah yang Sesuai dengan
Nilai Ujian Nasional. Dibimbing oleh SISWADI dan N.K. KUTHA ARDANA.
Mutu sekolah dalam bidang akademik biasanya dikaitkan dengan nilai Ujian
Nasional, sedangkan nilai tersebut hanya digunakan sebagai acuan untuk
menentukan kelulusan siswa. Sebagai tindak lanjut, nilai Ujian Nasional dapat
dianalisis untuk mendapatkan informasi lain dalam hubungannya dengan
peningkatan mutu sekolah.
Pemetaan mutu sekolah merupakan suatu proses untuk memperoleh
gambaran mutu sekolah yang sesuai dengan nilai Ujian Nasional dan peubahpeubah yang mempengaruhinya.
Dalam statistika dikenal suatu analisis data yang menganalisis secara
serempak peubah amatan lebih dari satu, yaitu Analisis Peubah Ganda. Salah satu
teknik yang digunakan adalah pereduksian dimensi data peubah ganda. Analisis
Peubah Ganda yang menggunakan teknik ini antara lain ialah Analisis Komponen
Utama dan Analisis Biplot.
Analisis Komponen Utama merupakan teknik pereduksian himpunan
peubah data peubah ganda yang saling berkorelasi menjadi himpunan peubah baru
(Komponen Utama) yang tidak saling berkorelasi. Komponen Utama merupakan
kombinasi linear dari peubah asal. Komponen Utama pertama memberikan
keragaman terbesar pertama, Komponen Utama kedua memberikan keragaman
terbesar kedua, dan seterusnya. Jika peubah asal mempunyai keragaman yang
berbeda, maka Komponen Utama pertama akan didominasi oleh koefisien peubah
asal dengan keragaman terbesar. Dengan demikian penggunaan analisis ini
memungkinkan diperolehnya suatu pemetaan mutu sekolah yang bergantung pada
peubah tertentu.
Analisis Biplot digunakan untuk menampilkan objek-objek dan peubahpeubah dari matriks data peubah ganda X dalam satu grafik yang sama dengan
menumpangtindihkan vektor-vektor dalam dimensi yang lebih kecil. Biplot
umumnya menggunakan dimensi dua untuk mewakili vektor-vektor baris matriks
X (sebagai gambaran objek) dan mewakili vektor-vektor kolom matriks X
(sebagai gambaran peubah). Peragaan secara grafik ini diharapkan dapat
memberikan gambaran kedekatan antar objek, korelasi antar peubah, keragaman
peubah, dan hubungan antara objek dan peubah. Analisis Biplot didasarkan pada
Dekomposisi Nilai Singular.
Ketepatan pendekatan matriks data, matriks peubah, dan matriks objek
dalam biplot ditelusuri menggunakan ukuran kesuaian dari Gabriel (2002),
sedangkan kesuaian konfigurasi objek data asal dengan konfigurasi proyeksi objek
terhadap vektor peubah tertentu pada biplot ditelusuri berdasarkan kesuaian
peringkat objek dan koefisien korelasi Pearson.
Pada tulisan ini, data yang digunakan dalam pemetaan mutu sekolah adalah
data dari 22 Sekolah Menengah Umum Negeri di Kota Malang dan Kabupaten
Malang. Peubah-peubah penelitian: kepemimpinan kepala sekolah, kemampuan
mengajar guru, sosial ekonomi orang tua, mutu masukan, motivasi belajar,
fasilitas belajar, dan mutu lulusan.
Korelasi antar peubah pada data asal, seluruhnya berkorelasi positif dengan
sangat nyata (nilai-p < 0.01). Peubah mutu lulusan mempunyai korelasi tinggi
dengan peubah mutu masukan, sosial ekonomi orang tua, dan fasilitas belajar.
Dari beberapa nilai α ∈ [0,1] yang dicobakan pada biplot untuk data asal
yang sudah dibakukan, diperoleh koefisien korelasi seluruhnya sama, yaitu 0.96,
tetapi konfigurasi proyeksi objek pada vektor peubah mutu lulusan belum sesuai
dengan konfigurasi objek data asal. Analisis berikutnya, dilakukan penggandaan
koefisien simpangan baku peubah mutu lulusan dan menggunakan α = 0.
Koefisien pengganda simpangan baku peubah mutu lulusan 1.4, 1.5, 1.6,
dan 1.7 memberikan kesuaian konfigurasi proyeksi objek pada vektor peubah
mutu lulusan pada biplot dengan konfigurasi objek pada data asal didasarkan pada
peringkat objek, tetapi dengan membandingkan koefisien korelasi dan kesuaian
peringkat korelasi peubah, pengganda 1.5 lebih baik daripada yang lain.
Kesuaian konfigurasi proyeksi objek pada mutu lulusan dalam biplot dengan
konfigurasi pada data asal dengan korelasi satu diperoleh setelah koefisien
simpangan baku peubah mutu lulusan digandakan 2.5, tapi kesuaian peringkat
objek dan korelasi peubah terhadap peubah mutu lulusan tidak sesuai.
Berdasarkan hasil perbandingan kesuaian konfigurasi objek dan korelasi
peubah dari beberapa koefisien pengganda simpangan baku peubah mutu lulusan,
maka koefisien pengganda 1.5 memberikan gambaran pemetaan mutu sekolah
yang sesuai dengan nilai Ujian Nasional yang lebih baik.
Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa, biplot biasa belum
dapat memberikan kesuaian gambaran pemetaan mutu sekolah dengan data asal
yang dibakukan. Kesuaian berdasarkan peringkat objek diperoleh setelah
koefisien simpangan baku peubah mutu lulusan digandakan 1.5 dan menggunakan
α = 0, sehingga dapat memberikan gambaran pemetaan mutu sekolah yang sesuai
dengan nilai Ujian Nasional. Seluruh peubah berkorelasi positif sangat nyata
terhadap peubah mutu lulusan, namun korelasi yang besar ditunjukkan oleh
peubah mutu masukan dan fasilitas belajar. Kedekatan antar objek dan peubah,
memberikan gambaran kekurangan dan kelebihan sekolah-sekolah sebagai dasar
pengambilan kebijakan dalam upaya peningkatan mutu sekolah. Disarankan untuk
menggunakan data yang terbaru agar diperoleh informasi yang sesuai dengan
perkembangan dalam bidang pendidikan. Selain itu, ruang lingkupnya dapat
diperluas berdasarkan tingkat maupun status sekolah.
Kata kunci: pemetaan mutu sekolah, analisis komponen utama, biplot, ukuran
kesuaian, koefisien korelasi Pearson.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2009
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya ini tanpa mencantumkan
atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH
YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL
SUJITA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
Judul Tesis
Nama
NRP
: Analisis Biplot untuk Memetakan Mutu Sekolah yang Sesuai
dengan Nilai Ujian Nasional
: Sujita
: G551060101
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc
Ketua
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 9 Februari 2009
Tanggal Lulus: 18 Februari 2009
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta
salam semoga selalu dilimpahkan kepada Rasulullah SAW.
Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua, mertua, istri,
dan anak-anak tercinta serta keluarga yang telah memberikan dukungan, doa, dan
kesabaran. Selanjutnya penulis sampaikan terima kasih kepada:
1 Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi
dengan penuh keikhlasan dan kesabaran
2 Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan
saran dan kritiknya
3 Bapak Prof. Dr. Jamaluddin Idris, M.Ed yang telah memberikan izin
menggunakan data penelitiannya
4 Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan
beasiswa dan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan
program magister di Institut Pertanian Bogor
5 Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis
sebutkan satu per satu
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan
pihak lain yang membutuhkan.
Bogor,
Februari 2009
Sujita
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sleman, pada tanggal 19 September 1970 dari bapak
Sumardi dan ibu Seneng. Penulis merupakan putra sulung dari lima bersaudara.
Pendidikan sarjana ditempuh di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Bengkulu, lulus tahun 1997. Kesempatan untuk melanjutkan ke
program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2006. Beasiswa pendidikan
pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia.
Penulis merupakan pegawai di Pemerintah Daerah Tingkat II Kota
Bengkulu yang diperbantukan selaku staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah
Negeri 1 Kota Bengkulu.
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH
YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL
SUJITA
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Analisis Biplot untuk Memetakan
Mutu Sekolah yang Sesuai dengan Nilai Ujian Nasional adalah karya saya dengan
arahan Komisi Pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apapun kepada
perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan
dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Februari 2009
Sujita
NRP G551060101
ABSTRACT
SUJITA. Biplot Analysis of School Quality Mapping Conformed with the
National Exam Score. Supervised by SISWADI and N.K. KUTHA ARDANA
The national examination has been being debated, since its score is used
only to determine student’s passing grade with no follow up. There are two main
purposes in this study, the first is to get school quality mapping conformed with
the national exam score, and the second is to describe the relationship between the
national exam score and its influential variables. The data used in this study was
arranged by Idris in his dissertation and published in a book titled Analisis Kritis
Mutu Pendidikan in 2005. The data is analysed by a biplot package based on
Mathematica programming, by combining several values of α and the national
exam standard deviation. Gabriel’s goodness of fit and Pearson’s correlation
coefficient are respectively used to measure the proportional fit on the biplot and
the school quality configuration in the biplot. School quality mapping conformed
with the national exam score can not be obtained by the biplot with standardized
variables. The national exam scores, which are transformed with 1.5 of standard
deviation will display the rank conformity, and the biplot properly displays all
influential variables having highly significant positive correlations. Broadening
the scope of this study and using more recent data are recommended for further
study.
Keyword: school quality mapping, principal component analysis, biplot,
goodness of fit, Pearson’s correlation coefficient
RINGKASAN
SUJITA. Analisis Biplot untuk Memetakan Mutu Sekolah yang Sesuai dengan
Nilai Ujian Nasional. Dibimbing oleh SISWADI dan N.K. KUTHA ARDANA.
Mutu sekolah dalam bidang akademik biasanya dikaitkan dengan nilai Ujian
Nasional, sedangkan nilai tersebut hanya digunakan sebagai acuan untuk
menentukan kelulusan siswa. Sebagai tindak lanjut, nilai Ujian Nasional dapat
dianalisis untuk mendapatkan informasi lain dalam hubungannya dengan
peningkatan mutu sekolah.
Pemetaan mutu sekolah merupakan suatu proses untuk memperoleh
gambaran mutu sekolah yang sesuai dengan nilai Ujian Nasional dan peubahpeubah yang mempengaruhinya.
Dalam statistika dikenal suatu analisis data yang menganalisis secara
serempak peubah amatan lebih dari satu, yaitu Analisis Peubah Ganda. Salah satu
teknik yang digunakan adalah pereduksian dimensi data peubah ganda. Analisis
Peubah Ganda yang menggunakan teknik ini antara lain ialah Analisis Komponen
Utama dan Analisis Biplot.
Analisis Komponen Utama merupakan teknik pereduksian himpunan
peubah data peubah ganda yang saling berkorelasi menjadi himpunan peubah baru
(Komponen Utama) yang tidak saling berkorelasi. Komponen Utama merupakan
kombinasi linear dari peubah asal. Komponen Utama pertama memberikan
keragaman terbesar pertama, Komponen Utama kedua memberikan keragaman
terbesar kedua, dan seterusnya. Jika peubah asal mempunyai keragaman yang
berbeda, maka Komponen Utama pertama akan didominasi oleh koefisien peubah
asal dengan keragaman terbesar. Dengan demikian penggunaan analisis ini
memungkinkan diperolehnya suatu pemetaan mutu sekolah yang bergantung pada
peubah tertentu.
Analisis Biplot digunakan untuk menampilkan objek-objek dan peubahpeubah dari matriks data peubah ganda X dalam satu grafik yang sama dengan
menumpangtindihkan vektor-vektor dalam dimensi yang lebih kecil. Biplot
umumnya menggunakan dimensi dua untuk mewakili vektor-vektor baris matriks
X (sebagai gambaran objek) dan mewakili vektor-vektor kolom matriks X
(sebagai gambaran peubah). Peragaan secara grafik ini diharapkan dapat
memberikan gambaran kedekatan antar objek, korelasi antar peubah, keragaman
peubah, dan hubungan antara objek dan peubah. Analisis Biplot didasarkan pada
Dekomposisi Nilai Singular.
Ketepatan pendekatan matriks data, matriks peubah, dan matriks objek
dalam biplot ditelusuri menggunakan ukuran kesuaian dari Gabriel (2002),
sedangkan kesuaian konfigurasi objek data asal dengan konfigurasi proyeksi objek
terhadap vektor peubah tertentu pada biplot ditelusuri berdasarkan kesuaian
peringkat objek dan koefisien korelasi Pearson.
Pada tulisan ini, data yang digunakan dalam pemetaan mutu sekolah adalah
data dari 22 Sekolah Menengah Umum Negeri di Kota Malang dan Kabupaten
Malang. Peubah-peubah penelitian: kepemimpinan kepala sekolah, kemampuan
mengajar guru, sosial ekonomi orang tua, mutu masukan, motivasi belajar,
fasilitas belajar, dan mutu lulusan.
Korelasi antar peubah pada data asal, seluruhnya berkorelasi positif dengan
sangat nyata (nilai-p < 0.01). Peubah mutu lulusan mempunyai korelasi tinggi
dengan peubah mutu masukan, sosial ekonomi orang tua, dan fasilitas belajar.
Dari beberapa nilai α ∈ [0,1] yang dicobakan pada biplot untuk data asal
yang sudah dibakukan, diperoleh koefisien korelasi seluruhnya sama, yaitu 0.96,
tetapi konfigurasi proyeksi objek pada vektor peubah mutu lulusan belum sesuai
dengan konfigurasi objek data asal. Analisis berikutnya, dilakukan penggandaan
koefisien simpangan baku peubah mutu lulusan dan menggunakan α = 0.
Koefisien pengganda simpangan baku peubah mutu lulusan 1.4, 1.5, 1.6,
dan 1.7 memberikan kesuaian konfigurasi proyeksi objek pada vektor peubah
mutu lulusan pada biplot dengan konfigurasi objek pada data asal didasarkan pada
peringkat objek, tetapi dengan membandingkan koefisien korelasi dan kesuaian
peringkat korelasi peubah, pengganda 1.5 lebih baik daripada yang lain.
Kesuaian konfigurasi proyeksi objek pada mutu lulusan dalam biplot dengan
konfigurasi pada data asal dengan korelasi satu diperoleh setelah koefisien
simpangan baku peubah mutu lulusan digandakan 2.5, tapi kesuaian peringkat
objek dan korelasi peubah terhadap peubah mutu lulusan tidak sesuai.
Berdasarkan hasil perbandingan kesuaian konfigurasi objek dan korelasi
peubah dari beberapa koefisien pengganda simpangan baku peubah mutu lulusan,
maka koefisien pengganda 1.5 memberikan gambaran pemetaan mutu sekolah
yang sesuai dengan nilai Ujian Nasional yang lebih baik.
Dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan bahwa, biplot biasa belum
dapat memberikan kesuaian gambaran pemetaan mutu sekolah dengan data asal
yang dibakukan. Kesuaian berdasarkan peringkat objek diperoleh setelah
koefisien simpangan baku peubah mutu lulusan digandakan 1.5 dan menggunakan
α = 0, sehingga dapat memberikan gambaran pemetaan mutu sekolah yang sesuai
dengan nilai Ujian Nasional. Seluruh peubah berkorelasi positif sangat nyata
terhadap peubah mutu lulusan, namun korelasi yang besar ditunjukkan oleh
peubah mutu masukan dan fasilitas belajar. Kedekatan antar objek dan peubah,
memberikan gambaran kekurangan dan kelebihan sekolah-sekolah sebagai dasar
pengambilan kebijakan dalam upaya peningkatan mutu sekolah. Disarankan untuk
menggunakan data yang terbaru agar diperoleh informasi yang sesuai dengan
perkembangan dalam bidang pendidikan. Selain itu, ruang lingkupnya dapat
diperluas berdasarkan tingkat maupun status sekolah.
Kata kunci: pemetaan mutu sekolah, analisis komponen utama, biplot, ukuran
kesuaian, koefisien korelasi Pearson.
©Hak cipta milik IPB, tahun 2009
Hak cipta dilindungi Undang-undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya ini tanpa mencantumkan
atau menyebut sumber.
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
tulis dalam bentuk apapun tanpa izin IPB.
ANALISIS BIPLOT UNTUK MEMETAKAN MUTU SEKOLAH
YANG SESUAI DENGAN NILAI UJIAN NASIONAL
SUJITA
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Departemen Matematika
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2009
Judul Tesis
Nama
NRP
: Analisis Biplot untuk Memetakan Mutu Sekolah yang Sesuai
dengan Nilai Ujian Nasional
: Sujita
: G551060101
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Siswadi, M.Sc
Ketua
Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS
Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, MS
Tanggal Ujian: 9 Februari 2009
Tanggal Lulus: 18 Februari 2009
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala rahmat
dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta
salam semoga selalu dilimpahkan kepada Rasulullah SAW.
Ungkapan terima kasih penulis sampaikan kepada orang tua, mertua, istri,
dan anak-anak tercinta serta keluarga yang telah memberikan dukungan, doa, dan
kesabaran. Selanjutnya penulis sampaikan terima kasih kepada:
1 Bapak Dr. Ir. Siswadi, M.Sc dan Bapak Ir. N.K. Kutha Ardana, M.Sc
selaku pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan motivasi
dengan penuh keikhlasan dan kesabaran
2 Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, MS selaku penguji yang telah memberikan
saran dan kritiknya
3 Bapak Prof. Dr. Jamaluddin Idris, M.Ed yang telah memberikan izin
menggunakan data penelitiannya
4 Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan
beasiswa dan kesempatan kepada penulis untuk menempuh pendidikan
program magister di Institut Pertanian Bogor
5 Semua pihak yang telah membantu penulis, yang tidak dapat penulis
sebutkan satu per satu
Semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi penulis khususnya dan
pihak lain yang membutuhkan.
Bogor,
Februari 2009
Sujita
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Sleman, pada tanggal 19 September 1970 dari bapak
Sumardi dan ibu Seneng. Penulis merupakan putra sulung dari lima bersaudara.
Pendidikan sarjana ditempuh di Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Bengkulu, lulus tahun 1997. Kesempatan untuk melanjutkan ke
program magister pada Program Studi Matematika Terapan Sekolah Pascasarjana
Institut Pertanian Bogor diperoleh pada tahun 2006. Beasiswa pendidikan
pascasarjana diperoleh dari Departemen Agama Republik Indonesia.
Penulis merupakan pegawai di Pemerintah Daerah Tingkat II Kota
Bengkulu yang diperbantukan selaku staf pengajar di Madrasah Tsanawiyah
Negeri 1 Kota Bengkulu.
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL ......................................................................................................... xi
DAFTAR GAMBAR .................................................................................................... xii
DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................................ xiii
PENDAHULUAN......................................................................................................... 1
Latar Belakang ........................................................................................................... 1
Tujuan dan Manfaat Penelitian ................................................................................ 3
TINJAUAN PUSTAKA ...............................................................................................
Pemetaan Mutu Sekolah ...........................................................................................
Analisis Komponen Utama ......................................................................................
Analisis Biplot ...........................................................................................................
Ukuran Kesuaian Biplot ...........................................................................................
4
4
8
9
14
METODE PENELITIAN .............................................................................................
Sumber Data...............................................................................................................
Peubah Penelitian ......................................................................................................
Analisis .......................................................................................................................
16
16
16
17
HASIL DAN PEMBAHASAN ...................................................................................
Eksplorasi Data ..........................................................................................................
Gambaran Umum Mutu Sekolah.............................................................................
Analisis Biplot ...........................................................................................................
Pemetaan Mutu Sekolah ...........................................................................................
19
19
20
22
28
KESIMPULAN DAN SARAN ................................................................................... 32
DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................... 34
LAMPIRAN ................................................................................................................... 35
DAFTAR TABEL
Halaman
1 Matriks korelasi antar peubah berdasarkan data asal ....................................... 20
2 Peringkat sekolah berdasarkan rata-rata NEM (mutu lulusan) ........................ 21
3 Rata-rata nilai untuk setiap peubah berdasarkan wilayah sekolah ................... 21
4 Rata-rata nilai peubah dari masing-masing sekolah ......................................... 22
5 Kesuaian biplot, konfigurasi objek dan peringkat korelasi peubah dari
data yang dibakukan ......................................................................................... 23
6 Kesuaian biplot, konfigurasi objek dan peringkat korelasi peubah
berdasarkan beberapa koefisien pengganda simpangan baku X7 dan
α = 0.................................................................................................................. 25
7 Kesuaian biplot, konfigurasi objek dan peringkat korelasi peubah
berdasarkan beberapa koefisien pengganda simpangan baku X7 dan
α = 0.................................................................................................................. 26
DAFTAR GAMBAR
Halaman
1 Posisi ringkasan 5 angka dalam diagram kotak garis ..................................... 7
2 Diagram kotak garis peubah X1, X2, X3, X4, X5, X6, X7 ................................ 19
3 Biplot gambaran posisi objek dan peubah menggunakan α = 0 .................... 24
4 Biplot gambaran posisi objek dan peubah menggunakan α = 0.5 ................. 24
5 Biplot gambaran posisi objek dan peubah menggunakan α = 1 .................... 25
6 Biplot gambaran posisi objek dan peubah menggunakan α = 0 serta
simpangan baku X7 = 2.5 ............................................................................... 26
7 Biplot gambaran posisi objek dan peubah menggunakan α = 0
serta simpangan baku peubah X7 = 1.5 .......................................................... 27
DAFTAR LAMPIRAN
Halaman
1 Distribusi responden penelitian dari masing-masing sekolah ........................ 36
2 Kisi-kisi instrumen pengumpulan data ........................................................... 37
3 Penskalaan peubah status sosial ekonomi orang tua siswa ............................ 42
4 Korelasi antar peubah dan signifikansinya menggunakan software
MINITAB ....................................................................................................... 43
5 Konfigurasi objek, ukuran kesuaian biplot (GF), dan kesuaian
konfigurasi objek (r) untuk simpangan baku X7 = 1 ...................................... 44
6 Perbandingan peringkat sekolah dari data asal dengan biplot
menggunakan simpangan baku X7 = 1 berdasarkan peubah mutu
lulusan ............................................................................................................ 45
7 Eigennilai, proporsi, kumulatif, dan eigenvektor padanannya untuk
masing-masing komponen utama dari beberapa pengambilan koefisien
pengganda simpangan baku X7 ...................................................................... 46
8 Program untuk menentukan konfigurasi objek terhadap peubah X7
dan kesuaian konfigurasi objek ...................................................................... 47
9 Program untuk menentukan eigennilai, proporsi, kumulatif, dan
eigenvektor dari masing-masing komponen utama ........................................ 48
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Mutu sekolah merupakan hasil yang dicapai oleh kinerja sekolah. Dalam
bidang akademik, mutu sekolah dikaitkan dengan mutu lulusan sekolah. Indikator
mutu lulusan sekolah umumnya menggunakan hasil pencapaian prestasi siswa di
dalam Ujian Nasional (UN), yaitu Ujian Akhir Nasional (UAN) dan Ujian Akhir
Sekolah (UAS). Menurut Slamet (2000b) dan Dinas Pendidikan Nasional (2000)
dalam Idris (2005),
berkaitan dengan mutu lulusan sekolah (output), dapat
dijelaskan bahwa output sekolah dikatakan bermutu tinggi, jika prestasi sekolah
khususnya prestasi belajar peserta anak didik, menunjukkan pencapaian yang
tinggi dalam hasil kemampuan akademik, yaitu nilai ujian seperti UAN atau UAS.
Pada akhir proses pembelajaran di sekolah dilakukan penilaian sebagai
rangkaian kegiatan untuk memperoleh dan menganalisis data. Penilaian yang
selama ini telah dilakukan pada tingkat akhir SD, SMP, dan SMU mengalami
beberapa kali perubahan dari EBTANAS, UAN/UAS, UN, dan Ujian Akhir
Sekolah Berstandar Nasional (UASBN) untuk SD/MI/SDLB. Hasil yang
diperoleh
digunakan
sebagai
informasi
dalam
pengambilan
keputusan.
Pelaksanaan Ujian Nasional setiap tahunnya selalu menimbulkan pro-kontra dari
masyarakat, terutama berkaitan dengan hasil ujian yang selama ini hanya
digunakan sebagai acuan untuk kelulusan siswa dan tidak adanya tindak lanjut
dari hasil tersebut.
Menanggapi permasalahan tersebut, pada Tahun Pelajaran 2007/2008,
pemerintah masih melaksanakan Ujian Nasional dengan melakukan beberapa
perubahan pada tingkat SD, sedangkan SMP dan SMU masih melaksanakan Ujian
Nasional seperti tahun-tahun sebelumnya. Berdasarkan Peraturan Pemerintah
No.19 Tahun 2005 dan Peraturan Menteri Pendidikan Nasional No. 37/2007 pada
Tahun Pelajaran 2007/2008 dilaksanakan UASBN bagi siswa SD/MI/SDLB.
Terdapat perubahan tujuan dalam UASBN yaitu hasil ujian akhir digunakan
sebagai alat untuk memetakan satuan pendidikan. Selain itu untuk keputusan
kelulusan siswa, kriteria kelulusan ditetapkan oleh setiap sekolah/madrasah yang
2
peserta didiknya mengikuti UASBN.
Permasalahan yang muncul, apabila pemetaan mutu sekolah hanya
berdasarkan nilai UN tanpa melibatkan peubah-peubah yang mempengaruhinya,
akan berakibat pada penyusunan rencana kebijakan pada tahun berikutnya.
Pemerintah maupun sekolah tidak mempunyai dasar yang kuat untuk menentukan
langkah-langkah yang jelas guna meningkatkan mutu sekolah.
Selain itu, program pemetaan sekolah yang juga dilakukan oleh pemerintah
melalui Departemen Pendidikan Nasional adalah untuk memperoleh informasi
secara rinci antara lain mengenai: sarana-prasarana, guru, siswa, dan tenaga
administrasi (Tata Usaha, TU). Hal ini umumnya digunakan sebagai pertimbangan
pengambilan kebijakan dalam pemenuhan kebutuhan sekolah, termasuk
pengangkatan pegawai baru bagi guru dan TU.
Hasil pemetaan mutu sekolah diharapkan dapat digunakan untuk
mengevaluasi kinerja sebelumnya, perencanaan dan target peningkatan mutu
lulusan sekolah serta membuat peringkat sekolah. Dalam mengevaluasi kinerja
sekolah diperlukan informasi tentang keunggulan dan kekurangan terhadap
berbagai peubah yang mempengaruhi mutu lulusan, berdasarkan hasil yang
dicapai pada tahun sebelumnya dari masing-masing sekolah. Hal ini berkaitan
dengan penyusunan rencana dan target peningkatan mutu lulusan pada tahun
berikutnya. Peubah-peubah yang mempengaruhi mutu sekolah, antara lain: nilai
UN siswa ketika diterima, kepemimpinan kepala sekolah, kemampuan mengajar
guru, dan sosial ekonomi orang tua siswa.
Suatu analisis diperlukan untuk memperoleh hasil yang lebih terinci dalam
pemetaan mutu sekolah sehingga informasi yang diperoleh merupakan gambaran
mutu sekolah berdasarkan hasil UN dan peubah-peubah yang mempengaruhinya.
Penelitian di beberapa bidang, misalnya: pendidikan, sosial, ekonomi, dan
politik sering diperoleh data yang berukuran besar serta peubah yang banyak.
Tentunya sulit untuk diinterpretasikan secara langsung, sehingga perlu dilakukan
tahap pereduksian dimensi data dulu. Dalam statistika dikenal suatu analisis data
yang menggunakan peubah amatan lebih dari satu dan dianalisis secara serempak,
yaitu Analisis Peubah Ganda (APG). Salah satu teknik yang digunakan dalam
APG adalah pereduksian dimensi data peubah ganda (Siswadi dan Suharjo, 1999).
3
APG yang menggunakan teknik ini mencakup antara lain: Analisis Komponen
Utama, Analisis Biplot, Analisis Gerombol, Penskalaan Dimensi Ganda, Analisis
Korelasi Kanonik, Analisis Diskriminan, dan Analisis Korespondensi. Selain
Analisis Faktor, analisis yang lain dapat digunakan tanpa mengaitkan dengan
sebaran yang membangkitkannya.
Analisis biplot merupakan salah satu bentuk APG yang dapat memberikan
gambaran secara grafik tentang keragaman peubah, kedekatan antar objek serta
keterkaitan peubah dengan objek yang dapat digunakan untuk memetakan mutu
sekolah. Namun hasil pemetaan yang diperoleh belum menjamin gambaran
pemetaan mutu sekolah. Di sisi lain, hasil dari Analisis Komponen Utama,
bergantung pada ragam peubah asal. Penggunaan hasil analisis tersebut
memungkinkan diperolehnya suatu pemetaan yang akan bergantung pada peubah
tertentu.
Dalam penelitian ini, rumusan masalahnya adalah:
1 Bagaimana memperoleh gambaran pemetaan mutu sekolah yang sesuai dengan
nilai UN?
2 Bagaimana memperoleh gambaran tentang kekurangan dan keunggulan dari
setiap sekolah berdasarkan peubah-peubah yang mempengaruhi nilai UN?
Tujuan dan Manfaat Penelitian
Berdasarkan latar belakang masalah, tujuan dari penelitian ini (dalam studi
kasus SMUN di Kabupaten dan Kota Malang Tahun Pelajaran 2001/2002) ialah:
1 Untuk memperoleh pemetaan mutu sekolah yang sesuai dengan nilai UN.
2 Memperoleh gambaran keterkaitan hasil UN dengan peubah-peubah yang
mempengaruhinya.
Penelitian ini diharapkan dapat menjadi masukan dalam analisis mutu
sekolah terhadap peubah-peubah yang mempengaruhinya sebagai salah satu
tindak lanjut dari pelaksanaan UN.
TINJAUAN PUSTAKA
Pemetaan Mutu Sekolah
Mutu sekolah merupakan hasil yang dicapai oleh kinerja sekolah, dalam hal
ini dikaitkan dengan mutu lulusan sekolah. Indikator mutu lulusan sekolah
umumnya menggunakan hasil pencapaian prestasi siswa di dalam UN (UAN dan
UAS), bahkan nilai-nilai tersebut sampai sekarang masih digunakan sebagai
standar untuk menentukan kelulusan siswa.
Pemetaan mutu sekolah merupakan suatu proses untuk memperoleh
gambaran perbandingan mutu suatu sekolah dengan sekolah yang lain serta
hubungan antara mutu sekolah dengan peubah-peubah yang mempengaruhinya.
Peubah-peubah itu antara lain: kemampuan dasar siswa, kemampuan guru,
fasilitas belajar dan sosial ekonomi orang tua.
Kebijakan pemerintah saat ini menjadikan hasil UASBN sebagai tolok ukur
untuk memetakan mutu pendidikan (sekolah). Sedangkan jika semata-mata dari
hasil UASBN untuk memetakan mutu pendidikan tentu saja belum diperoleh
kekurangan
dan
keunggulan
sekolah
berdasarkan
peubah-peubah
yang
mempengaruhi mutu pendidikan tersebut. Dalam Pakpahan (2001), hasil Ebtanas
(UN) akan menggambarkan tingkat pencapaian sekolah-sekolah dari tingkat
terendah hingga tertinggi, dan dapat diteliti peubah-peubah penyebab suatu
sekolah atau wilayah yang memiliki tingkat pencapaian rendah sehingga dapat
dilakukan upaya perbaikan sesuai peubah tersebut.
Ivy (2001), menggunakan Analisis Korespondensi untuk menggambarkan
posisi beberapa perguruan tinggi terhadap kinerja alat promosinya, sehingga
diperoleh kekurangan maupun keunggulan dan gambaran yang terbentuk dalam
masyarakat dari masing-masing perguruan tinggi. Hasilnya ini dapat digunakan
untuk mengkonstruksi ulang program dan pelayanan. Sedangkan Farkas dan Nagy
(2008), menggunakan Analisis Korespondensi dan Biplot simetri untuk
menganalisis hubungan antara teknik keahlian dasar dan pengetahuan mahasiswa
mengenai harapan dari pemberi pekerjaan apabila mereka masuk kerja.
5
Kepemimpinan Kepala Sekolah
Kepemimpinan kepala sekolah merupakan kemampuan kepala sekolah
dalam mempengaruhi perilaku guru dan siswa untuk mencapai tujuan sekolah
(Idris, 2005). Kepala sekolah yang berhasil dan efektif dalam kepemimpinannya
diindikasikan akan mempengaruhi pencapaian dalam prestasi pembelajaran. Ciri
kepala sekolah yang berhasil, antara lain: 1) memiliki visi yang kuat tentang masa
depan sekolah dan mendorong siswa, serta stafnya untuk bekerja merealisasikan
visi tersebut, 2) memiliki harapan yang tinggi terhadap prestasi siswa dan kinerja
stafnya, 3) memonitor guru dalam kelas dan memberikan masukan dalam
menyelesaikan masalah peningkatan pengajaran, 4) mampu menciptakan
lingkungan belajar yang aman. Sedangkan kategori kepala sekolah yang efektif,
antara lain: 1) dapat meningkatkan kesadaran dan berperan aktif tentang perlunya
perbaikan sekolah dan prestasi yang tinggi, 2) dapat memonitor perkembangan
prestasi siswa, 3) dapat menciptakan sistem penghargaan bagi siswa dan guru
yang berprestasi, 4) dapat memperoleh alat dan sumber belajar, 5) bertanggungjawab menciptakan lingkungan belajar yang tertib dan aman (Idris, 2005).
Kemampuan Mengajar Guru
Dalam proses pembelajaran terjadi interaksi langsung antara guru dan siswa.
Saat ini guru umumnya masih merupakan sumber pokok bahan ajar. Pandangan
umum menempatkan kualitas/kemampuan guru dalam mengajar dikaitkan dengan
mutu lulusan sekolah yang dihasilkan. Guru yang efektif dapat menjalankan
tugasnya dengan baik dalam proses pembelajaran, sehingga hasil yang diperoleh
sesuai dengan rencana tujuan pembelajaran. Beberapa tugas tersebut, antara lain:
merumuskan tujuan pembelajaran, menguasai materi pembelajaran, menggunakan
metode pembelajaran yang tepat, mengadakan evaluasi, dan mendorong semangat
belajar siswa. Ciri guru yang efektif:
1 memiliki kemampuan yang terkait dengan suasana belajar di kelas, antara lain:
- hubungan baik dengan siswa
- menunjukkan minat dan antusias dalam mengajar
- memberikan penghargaan
- menghargai hak siswa untuk berbicara dalam diskusi
6
2 memiliki kemampuan yang terkait dengan strategi pembelajaran, antara lain:
- kemampuan dalam menghadapi dan menangani siswa yang tidak
memperhatikan
- mampu bertanya dan memberikan tugas sesuai dengan kemampuan siswa
3 memiliki kemampuan yang terkait dengan pemberian umpan balik, antara lain:
- mampu memberikan umpan balik yang positif kepada siswa
- mampu membantu siswa yang lamban belajar
- mampu menindaklanjuti jawaban siswa yang kurang memuaskan
4 memiliki kemampuan yang terkait dengan peningkatan diri:
- mampu menerapkan kurikulum dan metode pengajaran
- mampu menambah dan memperluas pengetahuan tentang metode-metode
pengajaran
Motivasi Siswa
Motivasi
merupakan
faktor
yang
memprakasai,
memperkuat,
dan
mempertahankan perilaku (Houston, 1985 dalam Idris, 2005). Dalam proses
pembelajaran motivasi mempengaruhi hasil belajar siswa. Beberapa hal yang
terkait dengan motivasi siswa, antara lain: minat dan ketekunan dalam belajar,
mempunyai cita-cita, tanggungjawab dalam menyelesaikan tugas-tugas, dan
aktivitas belajar di dalam maupun di luar kelas.
Status Sosial Ekonomi Orang Tua
Unsur-unsur dari status sosial ekonomi orang tua siswa yang digunakan
adalah tingkat pendidikan formal dan tingkat ekonomi orang tua meliputi:
pendidikan orang tua, pekerjaan, pendapatan, dan tanggungan keluarga. Orang tua
yang mempunyai tingkat pendidikan tinggi dimungkinkan memotivasi dan
memberikan perhatian yang lebih baik kepada anaknya dalam belajar. Besarnya
pendapatan orang tua erat kaitannya dengan pemenuhan kebutuhan fasilitas
belajar siswa. Selain itu, biaya yang dikeluarkan orang tua siswa untuk masingmasing sekolah berbeda-beda. Indikasinya semakin favorit suatu sekolah semakin
tinggi biaya sekolah yang harus dikeluarkan.
7
Fasilitas Belajar
Fasilitas belajar adalah sarana dan prasarana yang digunakan untuk
menunjang proses pembelajaran dengan tujuan supaya siswa lebih mudah
memahami materi yang dipelajari. Dengan tersedia dan penggunaan yang efektif
dari fasilitas belajar diharapkan dapat menunjang pencapaian hasil belajar yang
maksimal.
Mutu Masukan
Proses seleksi masuk SMU pada umumnya hanya menggunakan Nilai
Ebtanas Murni (NEM) SLTP. Tinggi rendahnya rata-rata NEM siswa yang
diterima di setiap sekolah berbeda-beda, hal ini dimungkinkan karena tergantung
dari mutu sekolah dan standar nilai yang telah terbentuk pada penerimaan tahuntahun sebelumnya. Mutu sekolah salah satunya sering dihubungkan dengan ratarata NEM siswa yang diterima. Mutu lulusan SMU yang dihasilkan umumnya
sejalan dengan NEM siswa pada jenjang SLTP.
Diagram Kotak Garis
Diagram kotak garis (boxplot) merupakan salah satu teknik untuk
memberikan gambaran tentang lokasi pemusatan data, rentangan penyebaran dan
kemiringan pola sebaran. Gambaran tersebut ditampilkan dalam bentuk kotak
(persegipanjang) yang pada kedua sisinya membujur garis. Ukuran panjang kotak
dan garis berdasarkan ringkasan 5 angka, yaitu: nilai minimum, kuartil pertama,
median atau kuartil kedua, kuartil ketiga, dan nilai maksimum dari data yang
sudah diurutkan.
Nilai maksimum
Kuartil ketiga (Q3)
Median (Me/Q2)
Kuartil pertama (Q1)
Nilai minimum
Gambar 1 Posisi ringkasan 5 angka dalam diagram kotak garis.
8
Letak dari Q1 dan Q3 membatasi kotak sedangkan median (Me) di dalam
kotak, hal ini menunjukkan bahwa 50% data menyebar di dalam kotak dan sisanya
terbagi sama banyak menyebar disekitar garis atas dan bawah kotak. Data yang
terletak di atas Batas Atas (BA) atau di bawah Batas Bawah (BB) dinamakan
pencilan (outlier), dengan BB = Q1 - 1.5(Q3 - Q1) dan BA = Q3 + 1.5(Q3 - Q1).
Analisis Komponen Utama
Teknik dalam Analisis Komponen Utama (AKU, Principal Component
Analysis) adalah mereduksi himpunan peubah asal yang saling berkorelasi
menjadi himpunan peubah baru (Komponen Utama/KU) yang tidak saling
berkorelasi dan dapat menjelaskan sebagian besar keragaman dari peubah asal
(Jolliffe, 2002). KU yang diperoleh merupakan fungsi dari peubah asal.
Pereduksian ini bertujuan untuk mengurangi dimensi dari himpunan peubah asal
sehingga dapat mempermudah dalam memberikan informasi secara visual.
Misalnya X ' = ( X 1 , X 2 , ..., X p ) adalah vektor peubah asal dengan matriks
koragam Σ = [σij]. Komponen utama pertama dari X adalah:
KU1 = a'X
1
(1.1)
Vektor a1 dipilih sehingga ragam KU1 maksimum dengan kendala a1'a1 = 1 .
Dengan menggunakan cara pemaksimuman berkendala Lagrange,
L ( a1 , λ 1 ) = a1 ' Σa1 − λ 1 ( a1 ' a1 −1)
(1.2)
diperoleh a1 sebagai eigenvektor yang berpadanan dengan λ1 eigennilai terbesar
pertama dari Σ. Untuk KUi dicari dengan langkah yang sama ditambah kendala
bahwa KUi dan KUj (j < i; i = 2, 3, …, p; j = 1, 2, …, p-1) tidak saling berkorelasi,
akan diperoleh eigenvektor-eigenvektor a2 , a3 , ..., a p yang berpadanan dengan
eigennilai λ 2 ≥ λ 3 ≥ ... ≥ λ p dari matriks Σ. Eigennilai ke-i merupakan ragam dari
KUi, sehingga total keragamannya adalah:
p
tr ( Σ ) = ∑ λ i .
(1.3)
i =1
Skor KU diperoleh dari perkalian eigenvektor dengan vektor amatannya.
Misalnya matriks data
n
X p di mana X ' = [ x1 , x 2 , ..., x n ] , skor KU ke-i dari
9
objek ke-j adalah yij = ai ' x j dengan
yj ' = ( y j1 , y j 2 , ..., y jp
)
merupakan data
pengamatan dari p peubah baru pada objek ke-j.
KU1 memberikan keragaman terbesar pertama, KU2 memberikan keragaman
kedua terbesar, dan seterusnya. Jika peubah asal mempunyai ragam berbeda, maka
besarnya koefisien peubah ragam yang terbesar mendominasi KU1. Umumnya
matriks koragam yang digunakan adalah matriks korelasi apabila satuan
pengukuran peubah-peubahnya tidak sama atau besaran ragam yang cukup jauh
berbeda. Dengan demikian terlebih dahulu setiap peubah ditransformasi sehingga
masing-masing mempunyai rata-rata 0 dan ragam 1. Jika matriks koragam atau
matriks korelasi tidak diketahui, maka matriks tersebut diduga menggunakan data
asal.
Salah satu metode yang digunakan sebagai acuan untuk menentukan
banyaknya KU yang dipilih (misalnya: k) adalah proporsi kumulatif keragaman,
yaitu:
k
∑λ
i
i =1
p
∑λ
x 100% ; k = 1, 2, ..., p .
(1.4)
i
i =1
Dalam menentukan batas minimum persentase keragaman tidak ada ketentuan
yang baku, sebagian peneliti menggunakan batas minimum 80% untuk
menentukan banyaknya KU. Jika k ≤ 3, maka konfigurasi objek dapat
digambarkan dalam ruang.
Analisis Biplot
Analisis biplot diperkenalkan oleh Gabriel pada tahun 1971. Analisis ini
dikenal sebagai salah satu teknik statistika dengan penyajian melalui grafik yang
berasal dari matriks data ke dalam suatu plot dengan menggabungkan atau
menumpangtindihkan vektor-vektor dalam ruang berdimensi kecil. Pada
umumnya menggunakan dua dimensi untuk mewakili vektor-vektor baris
(misalnya sebagai gambaran objek) dan vektor-vektor kolom (gambaran peubah).
Dengan peragaan secara grafik dari analisis biplot ini diharapkan dapat
diperoleh informasi tentang:
10
1 Kedekatan antar objek, yaitu objek mempunyai kemiripan dengan objek lain
yang ditunjukkan dengan posisi objek-objek tersebut.
2 Keragaman peubah, yaitu dengan membandingkan panjang vektor peubah.
Peubah dengan keragaman kecil digambarkan dengan vektor yang pendek,
sebaliknya jika keragamannya besar digambarkan dengan vektor yang panjang.
3 Korelasi antar peubah, dalam hal ini peubah digambarkan sebagai vektor. Dua
peubah berkorelasi positif digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang
sama atau membentuk sudut lancip. Sedangkan dua peubah berkorelasi negatif
digambarkan sebagai dua vektor dengan arah yang berlawanan atau
membentuk sudut tumpul. Apabila sudut yang dibentuk siku-siku, maka dua
peubah tersebut tidak saling berkorelasi.
4 Keterkaitan peubah dengan objek. Objek yang letaknya sepihak dengan arah
vektor peubah, menunjukkan objek tersebut nilainya di atas rata-rata, jika
berlawanan berarti nilainya di bawah rata-rata, dan jika hampir di tengahtengah berarti nilainya mendekati rata-rata.
Analisis biplot didasarkan pada Dekomposisi Nilai Singular (DNS) atau
Singular Value Decomposition (SVD) dari matriks data yang sudah terkoreksi
*
terhadap rata-ratanya. Misalnya matriks X adalah matriks data peubah ganda
*
yang terdiri dari n objek dan p peubah. Selanjutnya matriks X dilakukan
transformasi terhadap nilai rata-ratanya diperoleh matriks X ,
X = X∗ −
1
1X* )
(
n
(1.5)
di mana 1 adalah matriks yang semua unsurnya bernilai 1.
Matriks koragam (S) dari matriks X adalah:
S=
1
X' X
n-1
(1.6)
Misalnya matriks R = [rij], i = 1, 2, …, n; j = 1, 2, …, p adalah matriks korelasi
dari matriks X, maka matriks tersebut dapat ditulis:
R = D-1/ 2 S D−1/ 2
(1.7)
11
⎛ 1
di mana D -1/2 = diag ⎜
,
⎜ s11
⎝
1
, ...,
s 22
1
s pp
⎞
⎟ adalah matriks diagonal dengan
⎟
⎠
unsur diagonal utama 1/ s ii ; i = 1, 2, ..., p (Johnson dan Wichern, 2002).
Unsur rij juga merupakan cosinus sudut θ antara vektor peubah ke-i dan ke-j:
cos(θ) = rij .
(1.8)
⎡ x1 ' ⎤
⎢x '⎥
Misalnya matriks X = ⎢ 2 ⎥ , maka:
⎢# ⎥
⎢ ⎥
⎣ xn ' ⎦
jarak Euclid antara objek ke-i dan ke-j adalah:
d ( xi , x j ) =
( x − x ) '( x − x ) ,
i
j
i
(1.9)
j
dan jarak Mahalanobis antara objek ke-i dan ke-j adalah:
d ( xi , x j ) =
( x − x ) 'S ( x − x ) .
−1
i
j
i
j
(1.10)
Apabila matriks X berpangkat r (r ≤ p ≤ n) dapat dinyatakan sebagai
n
X p = n Ur Lr A p'
(1.11)
Matriks U dan A merupakan matriks ortonormal kolom, di mana U ' U = A ' A = I r
(matriks identitas berdimensi r). Matriks A adalah matriks yang kolom-kolomnya
merupakan eigenvektor ai yang berpadanan dengan eigennilai λi dari matriks
X ' X , A = [a1, a2, …, ar]. Matriks U adalah matriks yang kolom-kolomnya
merupakan
eigenvektor-eigenvektor
yang
berpadanan
dengan
eigennilai-
eigennilai dari matriks XX' .
⎛ Xa Xa
Xa
U = ⎜ 1 , 2 ,..., r
⎜ λ
λr
⎝ 1 λ2
⎞
⎟
⎟
⎠
(1.12)
Sedangkan matriks L adalah matriks diagonal yang unsur-unsur diagonalnya
merupakan akar dari eigennilai-eigennilai tak nol matriks X ' X atau matriks XX' ,
yaitu L = diag
(
)
λ1 , λ 2 , ..., λ r , di mana nilai-nilai dari λ i memenuhi sifat
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λ r > 0 dan λ i disebut nilai singular/singular value (Mardia et
al., 1979).
12
Dalam Jolliffe (2002), definisikan Lα untuk 0 ≤ α ≤ 1, adalah matriks
diagonal dengan elemen-elemennya
λ1α , λ2α ,..., λ r α , definisi yang sama
untuk L1-α dengan elemen-elemennya
α
λ11−α , λ 21−α ,..., λ r 1−α dan jika G = UL ,
H ' = L1-α A' , maka:
X = U L A'
= U Lα L1-α A '
(1.13)
= G H'
dan elemen ke-(i, j) dari matriks X dapat ditulis:
x ij = gi ' h j
(1.14)
gi' merupakan vektor baris ke-i dari matriks G, i = 1, 2, …, n dan h j ' merupakan
vektor baris ke-j dari matriks H, j = 1, 2, …, p; di mana vektor gi dan h j
mempunyai r elemen.
Untuk menggambarkan X pada ruang berdimensi k < r dapat didekati
dengan suatu matriks berpangkat k, yaitu:
ˆ = G H'
X
(k)
(k) (k)
(
)(
= U( k ) Lα( k ) L1(−kα) A '( k )
)
(1.15)
Pada umumnya digunakan k = 2, sehingga koordinat-koordinat G dan H dapat
digambarkan dalam ruang berdimensi dua (Lipkovich dan Smith, 2002).
Nilai-nilai α dapat digunakan pada kisaran [0,1], tetapi pengambilan pada
nilai-nilai tertentu, yaitu: α = 0 dan α = 1 akan berimplikasi penting dalam
interpretasi biplot.
a Jika α = 0, maka G = U dan H ' = LA ' , akibatnya:
X ' X = ( GH ') ' ( GH ')
= HG ' GH '
= HU ' UH '
(1.16)
= HH'
sedangkan X ' X mempunyai hubungan seperti (1.6), berarti hasil perkalian
hi ' h j = ( n − 1) s ij , dengan demikian penggandaan titik antara vektor hi dan h j
akan memberikan gambaran koragam antara peubah ke-i dan ke-j. Panjang
vektor
h i = n − 1 si , s i = s ii
menggambarkan keragaman peubah ke-i.
13
Korelasi antara peubah ke-i dan ke-j dijelaskan oleh cosinus sudut antara hi
dan h j , yaitu:
cos θ =
=
hi ' h j
hi h j
sij
sii s jj
(1.17)
= r ij
di mana r ij adalah korelasi antara peubah ke-i dengan k