ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI TRIGONOMETRI)

ABSTRAK

ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM
NORM PADA RUANG HILBERT C[a, b]
(STUDI KASUS : FUNGSI TRIGONOMETRI)

Oleh
ARIENALDO RAHMAN

Aproksimasi fungsi dalam proses komputasi sering digunakan hampir di semua
bidang analisis numerik. Dua alasan utama penggunaan aproksimasi fungsi adalah
untuk memberikan fungsi pendekatan yang efektif dan mendekati suatu fungsi
yang rumit dengan fungsi yang lebih sederhana. Diberikan sebuah fungsi f, baik
secara utuh ataupun hanya beberapa nilai di titik-titik tertentu saja, kita ingin
memperoleh hampiran (aproksimasi) untuk f yang mempunyai bentuk tertentu
(misalnya supaya lebih mudah dianalisis) dengan kesalahan yang dapat kita
1

kontrol. Misalnya kita hendak menghitung

e

 x2

dx , kita hampiri integrannya

0

dengan trigonometri. Masalah optimisasi khususnya aproksmasi fungsi terbaik
yang tidak medapatkan solusi terbaik (galat yang besar) dalam ruang real , dapat
dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan membawa masalah
aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor,
khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah
minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep
minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.
Kata kunci: Aproksimasi, minimum norm, ruang Hilbert C[a,b], trigonometri,
kesalahan optimal.

DAFTAR ISI

Halaman

I.

PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang ...............................................................................
1.2 Tujuan Penelitian ...........................................................................
1.3 Manfaat penelitian ........................................................................
1.4 Batasan Masalah ...........................................................................

1
2
3
3

II. LANDASAN TEORI
2.1 Teorema Proyeksi ..........................................................................
2.2 Fungsi Trigonometri ......................................................................

4
19

III. METODE PENELITIAN
3.1 Tempat dan Waktu Penelitian ........................................................
3.2 Metode Penelitian ..........................................................................

21
21

IV. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Polynomial Sin �
Dengan Sin � ................................................................................
4.2 Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Polynomial Cos �
Dengan Cos � .................................................................................
4.3 Masalah Aproksimasi Terbaik Fungsi Polynomial Sin �
Dengan Polynomial ........................................................................
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA

23
29

34

I.

1.1

PENDAHULUAN

Latar Belakang dan Masalah

Dalam dunia aplikasi,

sering berhadapan dengan fungsi, di mana fungsi itu

mungkin diperoleh dari data numerik dengan interpolasi ataupun regresi. Fungsi
yang diperoleh dengan cara demikian mungkin bukan fungsi yang diinginkan,
tetapi fungsi lain. Sehingga fungsi lain yang diperoleh tersebut harus mendekati
fungsi yang sebenarnya. Cara mencari fungsi tersebut adalah dengan optimisasi.
Optimisasi adalah suatu proses memaksimumkan atau meminimumkan suatu
fungsi objektif yang memenuhi kendala tertentu. Suatu masalah optimisasi yang

tidak mendapatkan solusi terbaik dalam ruang fisis atau ruang real, dapat
dipecahkan dengan suatu sistem matematis, yaitu dengan membawa masalah
tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vektor (Kreyzig,
1978).

Masalah aproksimasi fungsi di atas dapat diselesaikan pada ruang vektor, yaitu
dengan metode optimisasi ruang vektor. Ruang vektor yang digunakan adalah
ruang Hilbert. Ruang Hilbert merupakan ruang abstrak yang di dalamnya memuat
perpaduan tiga konsep, yaitu Aljabar Linear, Analisis dan Geometri. Konsep
geometri yang digunakan adalah mengenai proyeksi, sebab ruang Hilbert
dibangun oleh konsep inner product (Berberian, 1961). Penelitian tentang

1

masalah tersebut, diantaranya adalah penyelesaian masalah minimum norm pada
ruang Hilber L2[a,b] (Amanto dkk, 2003). Selanjutnya penelitian yang sama juga
dilakukan pada ruang Hilbert yang lain, yaitu ruang Hilbert C[a,b] (Joko Waluyo,
2003). Dalam hal ini konsep yang digunakan adalah minimum norm pada ruang
Hilbert C[a,b]. Fungsi yang akan dicari aproksimasinya adalah fungsi-fungsi
kontinu bernilai real yang terdefinisi pada [a,b] . Pada penelitian tersebut baru

sampai pada tahap mencari solusinya, belum pada tahap evaluasi atau analisis
hasil terkait dengan galat yang dihasilkannya.

Metode optimisasi dengan metode ruang vektor pada dasarnya adalah mencari
vektor dengan norma minimum atau meminimumkan norma suatu vektor
(Luenberger, 1969). Untuk membahas aproksimasi fungsi digunakan Teorema
Proyeksi [Adkinson (2001) & Luenberger (2001)]. Dalam pemecahan masalah ini,
langkah penting yang harus dilakukan adalah pemilihan basis yang bebas linear
yang membangun ruang fungsi yang akan diaproksimasi dan penentuan kesalahan
optimal atau galat optimal dari aproksimasi yang diambil. Basis ini tidak tunggal.
Pemilihan basis yang berbeda akan menghasilkan aproksimasi fungsi yang sama
dan juga kesalahan optimal yang sama pula.

1.2

Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian ini adalah menganalisa kesalahan yang terjadi pada pendekatan
fungsi dengan metode optimisasi ruang vektor, yaitu minimum norm pada ruang
Hilbert C[a,b] dan studi kasus fungsi trigonometri.

2

1.3

Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah :
1.

Memberikan konsep analisa terhadap analisis galat atas pemilihan basis yang
dilakukan pada aproksimasi fungsi dengan metode minimum norm pada
ruang Hilbert C[a,b] dengan fungsi trigonometri.

2.

Memberikan kontribusi bagi peneliti tentang metode minimum norm pada
ruang Hilbert C[a,b] dan studi kasus trigonometri.

3.

Dapat memberikan sumbangan pemikiran dan menambah wawasan mengenai
metode minimum norm pada ruang Hilbert C[a,b] dan studi kasus
trigonometri.

1.4

Batasan Masalah

Pada penelitian ini, pembahasan dibatasi pada analisis aproksimasi fungsi
trigonometri.

3

II. LANDASAN TEORI

Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema yang medukung untuk pembahasan pada bab IV. Pengertian (definisi)
dan teorema tersebut dituliskan sebagai berikut.

2.1

Teorema Proyeksi

Teorema proyeksi merupakan prinsip dasar dalam penyelesaian masalah
optimisasi. Sebelum ke Teorema proyeksi, terlebih dahulu akan diperkenalkan
konsep ortogonalitas.

Definisi 2.1.1 (Luenberger, 1969)

Dalam suatu ruang pre-Hilbert X, vektor x,y  X dikatakan ortogonal jika
= 0, dinotasikan dengan x  y. Suatu vektor x dikatakan ortogonal dengan
himpunan S, dinotasikan x  S jika x  s untuk setiap s  S.
Lemma berikut menunjukkan bahwa Teorema Phytagorean dalam geometri
bidang merupakan akibat dari konsep ortogonalitas.

Lemma 2.1.1

Misalkan X suatu ruang Hilbert dan x, y  X. Jika x  y, maka
2

2

x y  x  y

2

Bukti :

x y

2

 x  y, x  y  x, x  x, y  y, x  y, y

= x 00 y = x  y . 
2

2

2

2

Selanjutnya akan dibahas suatu masalah optimisasi yang berhubungan dengan
Teorema proyeksi. Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, diberikan suatu vektor x
X dan M ruang bagian dari X, maka akan ditentukan vektor m M yang terdekat
ke x, yaitu vektor yang meminimalkan x  m .

Jika x berada di M maka penyelesaiannya trivial, yaitu vektor x sendiri. Secara
umum ada empat pernyataan penting dalam penyelesaian masalah tersebut yaitu :
1.

Adakah vektor m  M yang meminimalkan x  m ?

2.

Apakah penyelesaiannya tunggal ?

3.

Kondisi apa yang harus dipenuhi agar ada penyelesaian optimal ?

4.

Bagaimana menentukan penyelesaian optimal ?

5.

Berapa nilai galatnya ?

5

Pernyataan nomor 1, 2 dan 3 akan dijawab dengan Teorema proyeksi. Ada dua
versi Teorema proyeksi, satu versi pada ruang Pre-Hilbert dan satu versi yang lain
pada ruang Hilbert dengan hipotesis dan kesimpulan yang lebih kuat.

Definisi 2.1.2 (Luenberger, 1969)
Sebuah vektor W dinamakan kombinasi linear dari �1 , �2 , … … , �� jika W dapat
dinyatakan

dalam

bentuk

�1 , �2 , … … �� adalah skalar

W

=

�1 �1 + �2 �2 + … … + �� ��

di

mana

Misalkan �1 , �2 , … … , �� adalah vektor - vektor dalam ruang vektor. Vektor –
vektor �1 , �2 , … … , �� dinamakan ruang vektor V jika setiap v dalam V,v

merupakan kombinasi linear dari �1 , �2 , … … , ��

Misalkan S = {�1 , �2 , … … , �� } adalah himpunan vektor – vektor dalam ruang

vektor V. S disebut bebas linear jika �1 �1 + �2 �2 + … … + �� �� = 0 mempunyai

tepat satu penyelesaian �1 = 0, �2 = 0, … … , �� = 0. S disebut tidak bebas linear

jika �1 �1 + �2 �2 + … … + �� �� = 0 mempunyai penyelesaian lain selain
�1 = 0, �2 = 0, … … , �� = 0.

Jika V adalah sebuah sebarang ruang vektor dan S = {�1 , �2 , … … , �� } adalah
himpunan terhingga dari vektor – vektor dalam V, maka S di sebut sebuah basis
dari V jika :
a. S bebas linear ; dan
b. S pembangun V.

6

Teorema 2.1.2 (Teorema Proyeksi di Ruang pre-Hilbert)

Misalkan X suatu ruang Pre-Hilbert, M suatu ruang bagian dari X dan x sebarang
vektor

di

X.

Jika

ada

vektor

m0  M ,

sedemikian

hingga

x  mo  x  m , m  M , maka m0 tunggal. Syarat perlu dan cukup m0  M ,
suatu vektor minimal tunggal di M adalah vektor selisih x – m0 ortogonal
terhadap M.

Bukti :

Akan di tunjukkan jika m0 adalah vektor minimal, maka x – m0 ortogonal terhadap
M. Andaikan kondisi sebaliknya, terdapat m  M yang tidak ortogonal terhadap
x – m0. Tanpa mengurangi keumuman bukti, dimisalkan m  1
dan =   0 .
Didefinisikan vektor m1  M , sebagai m1 = m0 +  m maka
x  m1

2

 x  m0  m

2

 x  m0  m, x  m0  m 
 x  m0 , x  m0    x  m0 ,m    m, x  m0    m,m 
2

2

2

2

 x  m0

2

   x  m0 , m    m, x  m0   

 x  m0

2

 2  

 x  m0

2



 x  m0

2

 x  m0   x  m0 , m    m, x  m0    m
 x  m0   m, x  m0    m, x  m0   
2

2

2

2

2

7

Ini berarti  m1 dengan m1 = m0 +  m sehingga x  m1  x  m0 , ini berarti
2

2

m1 bukan vektor minimal. Jadi m0 vektor minimal maka x – m0 ortogonal terhadap
M atau (x – m0)  m, m  M .
Dengan demikian jika x – m0 tidak ortogonal terhadap M maka m0 bukan vektor
minimal.
Selanjutnya akan ditunjukkan jika vektor x – m0 ortogonal terhadap M, diambil
sebarang m  M, berdasarkan Teorema Phytagorea :
2

2

2

x  m  x  m0  m0  m  x  m0  m0  m
2

sehingga x  m  x  m0

2

2

untuk m  m0 . 

Dalam dimensi tiga, teorema proyeksi ini dapat dinyatakan sebagai berikut :

Ruang bagian M adalah bidang yang melalui titik asal dan x di ruang dimensi tiga
X. Jika ada vektor minimal m0  M maka m0 tunggal dan vektor selisih x – m0
tegak lurus terhadap bidang M, seperti digambarkan dalam gambar di bawah ini :
x
(x – m0)

M



Gambar 2.1

8

Teorema di atas belum menjamin keberadaan vektor minimal, tetapi jika ada
vektor minimal m0 , maka m0 tunggal dan vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap
ruang bagian M. Dengan hipotesis yang lebih kuat didapatkan kesimpulan yang
lebih kuat, yaitu terjaminnya keberadaan vektor minimal. Hal ini dinyatakan
dalam teorema berikut.

Teorema 2.1.3 (Teorema Proyeksi Klasik)

Misalkan H ruang Hilbert dan M ruang bagian tertutup dari H, maka untuk
sebarang vektor x  H , terdapat tunggal vektor m0  M sedemikian hingga

x  mo  x  m , m  M . Syarat perlu dan cukup m0  M , suatu vektor
minimal tunggal adalah vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap ruang bagian M.

Bukti :

Ketunggalan

dan

ortogonalitasnya

telah

dibuktikan,

sehingga

tinggal

membuktikan keberadaan vektor minimal. Jika x  M dan m0 = x maka bukti
selesai.
Misalkan x  M dan didefinisikan   inf x  m akan ditentukan m0  M dengan
mM

x m0   . Misalkan {mi} suatu barisan vektor dalam M dan x  mi   .
Menurut hukum jajaran genjang (parallelogram),
2

2

2

(m j  x)  ( x  mi )  (m j  x)  ( x  mi )  2 m j  x  2 x  mi

2

9

dengan menyusun kembali persamaan di atas didapatkan :

2

2

2

m j  mi = 2 m j  x  2 x  mi - 4 x 

Dan vektor

mi  m j
2

mi  m j

2

2

untuk setiap i, j .

berada di M.

Karena M ruang bagian linier sehingga dari definisi  , x 

mi  m j
2



dan didapatkan :

m j  mi

2

2

2

 2 m j  x  2 x  mi  4 2

karena


Maka



mi  x

2

m j  mi

2

  2

, i

 0

, i, j   .

Dengan demikian {mi} adalah barisan Cauchy dan karena M ruang bagian tertutup
dari ruang lengkap, maka barisan {mi} mempunyai limit m0 di dalam M.
Dengan kekontinuan norm maka x  m0   . 
Jadi dalam penulisan ini, Teorema proyeksi klasik menjamin keberadaan dan
ketunggalan penyelesaian optimal serta kondisi yang harus dipenuhi agar
keberadaan

vektor

minimal

ada

penyelesaian

optimalnya,

penyelesaian

optimalnya sendiri belum dapat ditentukan.

10

Selanjutnya Teorema proyeksi di atas akan ditetapkan untuk membangun sifat
struktural tambahan dari suatu ruang Hilbert, antara lain adalah dalam sebarang
ruang bagian tertutup dari ruang Hilbert, sebarang vektor dapat ditulis sebagai
jumlahan dua vektor, satu vektor di ruang bagian tertutup dan vektor yang lain
ortogonal terhadapnya.

Definisi 2.1.3 (Luenberger, 1969)

Misalkan S suatu himpunan bagian dari ruang Pre-Hilbert. Himpunan semua
vektor yang ortogonal terhadap S disebut komplemen ortogonal dari S dan
dinotasikan dengan S.

Teorema 2.1.4

Misalkan S dan T himpunan bagian dari ruang Hilbert dan S  , T  berturut-turut
menyatakan komplemen ortogonal dari S dan T maka :
1.

S  adalah ruang bagian tertutup

2.

S  S 

3.

Jika S  T maka T   S 

4.

S  = S 

Bukti :

1.

Himpunan S  merupakan ruang bagian. Ruang S  tertutup karena jika {xn}
suatu barisan konvergen dari S  , katakan xn  x ; Kekontinuan perkalian

11

dalam menyatakan 0 =  untuk semua s  S, sehingga x  S 
.
2.

Diambil x  S. Hal ini berarti x  y untuk semua y  S  . Sehingga diperoleh
y  z. Untuk setiap z  S  termasuk z = x.
Jadi untuk x  S  z  S  . 

3.



Ambil x  T . Oleh karena itu maka y  x untuk semua y  T.
Karena S  T , maka x  z untuk setiap z  S. Dengan kata lain x  S  .

4.

(S




) = S

Harus dibuktikan :
(a) ( S  )   S 
(b) S   ( S  ) 

Bukti :

(a) Jika S  S  , maka ( S  )   S  . 
(b ) Karena S  S  , maka S   ( S  )  . 

Definisi 2.1.4 (Luenberger, 1969)

Ruang vektor X dikatakan jumlahan langsung dari ruang bagian M dan N, jika
setiap vektor x  X dapat ditulis secara tunggal, dalam bentuk x = m + n dengan
m M dan n N, dinotasikan dengan X = M  N.
12

Teorema 2.1.5

Jika M ruang bagian linear tertutup dari suatu ruang Hilbert H maka H = M 

M  dan M = M 

Bukti :

Misalkan x  H. Karena M ruang bagian tertutup, maka menurut Teorema
proyeksi ada vektor tunggal m0  M sedemikian hingga

x  m0  x  m untuk

semua
m  M dan n0 = x – m0  M  .
Dengan demikian x = m0 + n0 , dengan m0  M dan n0  M  . Jadi x merupakan
jumlahan dari m0  M dan n0  M  . Untuk membuktikan ketunggalannya,
misalkan x = m1 + n1, dengan m1  M dan n1  M  maka :
0 = (m1 + n1) – (m0 + n0) = m1 – m0 + n1 – n0

, tetapi m 1 – m0 dan n1 – n0
2

2

2

ortogonal, sehingga menurut teorema phytagorean 0  m1  m0  n1  n0 .
Hal ini menyatakan m0 = m1 dan n0 = n1. Jadi untuk setiap vektor di H dapat
dinyatakan dengan tunggal sebagai jumlahan dari suatu vektor di M dan suatu
vektor di M  .
Untuk membuktikan M = M  tinggal menunjukkan M   M .
Diambil x  M  dan akan ditunjukkan x  M. Menurut bagian teorema ini,

13

x = m1+ n1 dengan m1  M dan n1  M  , karena x  M  dan m  M  .
Maka x – m  M  , yaitu n1  M  . Tetapi n1  M  , sehingga n1  n1 yang
menyatakan n1 = 0, sehingga x - m  M dan M   M. Terbukti M = M  . 

Dalam dimensi dua bagian pertama teorema di atas dapat dinyatakan sebagai
berikut. Jika H suatu bidang dan m suatu garis lurus yang melalui titik asal maka
untuk setiap x  H dapat dinyatakan dengan tunggal sebagai x = y + z, dengan y
 M dan z  M  . Hal ini dapat digambarkan sebagai berikut

M
x

z

M

y

Gambar 2.2
Gambar di atas, jika M ruang bagian tetutup dari H maka H = M  M  .
Misalkan M ruang bagian tertutup dari suatu ruang Hilbert H dan vektor x di H.
Vektor m0  M dengan x – m0  M  disebut proyeksi ortogonal x pada M.
Jadi sampai disini keberadaan dan ketunggalan penyelesaian optimal masalah
optimisasi sudah terjawab, namun penyelesaian optimalnya sendiri belum
ditentukan. Ada dua cara untuk menentukan penyelesaian optimal, yaitu dengan
menyelesaikan persamaan normal dan dengan aturan ortogonalisasi Gram-

14

Schmidt bersama deret Fourier. Pada penelitian ini akan dibicarakan dengan
menyelesaikan persamaan normal dan matriks Gram.

Definisi 2.1.5 (Luenberger, 1969)

Misalkan y1,y2,......,yn basis dari M. Diberikan sebarang vektor x  H dan akan
dicari vektor m0 di M yang terdekat ke x. Jika vektor m0 dinyatakan dalam sukusuku dalam vektor yi sebagai :
n

 y

mo =

i 1

i

i

Maka masalah tersebut ekuivalen dengan menemukan skalar  i , i = 1, 2, ....., n
yang meminimalkan x  1 y1   2 y2  .......   n yn .
Menurut teorema proyeksi, vektor minimal tunggal m0 adalah proyeksi ortogonal
x pada M, atau vektor selisih x – m0 ortogonal terhadap setiap vektor yi .
Dengan demikian :  x  1 y1   2 y2  ..........   n yn , yi  0 untuk i = 1, 2, ...., n.
Atau
- <  1y1, y1> - <  2y2, y1> - .............- <  nyn, y1> = 0
- <  1y1, y2> - <  2y2, y2> - .............- <  nyn, y2> = 0











- <  1y1, yn> - <  2y2, yn> - .............- <  nyn, yn> = 0

15

Atau
 1 +  2 + .............+  n =
 1 +  2 + ..............+  n =









 1 +  2 + ..............+  n =
Persamaan dalam koefisien  i sebanyak n kali ini dikenal sebagai persamaan
normal untuk masalah minimalisasi.
Matriks n x n yang berhubungan dengan vektor y1, y2,...,yn yaitu :
 y1 , y1   y1 , y2  ..........  y1 , yn 

G = G(y1, y2,......, yn) =

 y2 , y1   y2 , y2  .........  y2 , yn 






 yn , y1   yn , y2  .........  yn , yn 

disebut matriks Gram dari y1, y2, y3, ........, yn. Matriks ini adalah tranpose dari
matriks koefisien normal.

Teorema 2.1.6

Determinan Gram g = g(y1, y2,…., yn)  0 jika dan hanya jika y1, y2,…., yn bebas
linear.

16

Bukti :

Pernyataan tersebut ekuivalen dengan pernyataan vektor–vektor

y1, y2,…., yn

bergantung linear jika dan hanya jika g = g(y1, y2,….,yn) = 0.
Misalkan yi bergantung linier, berarti terdapat i yang tidak sama dengan nol
n

sedemikian sehingga

 y
i 1

i

i

 0 . Karena barisan-barisan pada determinan Gram

bergantung pada yi, maka determinannya nol.
Misalkan g = g(y1, y2,…., yn) = 0. Maka ada kebergantungan linier di antara
barisan-barisannya sehingga terdapat konstanta I yang tidak semuanya nol
n

sedemikian hingga


i 1

n

  i yi , y j  0 atau

i

 yi , y j  0 , untuk semua j. Dengan demikian
n

 i yi

2

 0 . Sehingga

n

 y

 0 dan vektor

y1,

Walaupun persamaan normal tidak memiliki penyelesaian tunggal jika

yi

i 1

i 1

i 1

i

i

y2,…., yn bergantung linier. 

bergantung linier, tetapi selalu ada paling sedikit satu penyelesaian. Jika g = 0
maka selalu dihasilkan penyelesaian yang tidak tunggal, bukan penyelesaian yang
tidak konsisten.
Teorema berikut menyatakan jarak minimum suatu vektor ke ruang bagian dapat
dicari dengan determinan matriks Gram.

17

Teorema 2.1.7
Misalkan y1,….., yn bebas linear dan  jarak minimum vektor x ke ruang bagian M
yang dibangun oleh yi, yaitu :


  min x  1 y1   2 y2  .......   n yn  x  x

maka,

2 

g ( y1 , y2 ,..., yn , x)
g ( y1 , y2 ,...., yn )

Bukti :

 2









Menurut definisi   x  x   x  x, x  x    x  x, x    x  x, x 
2



Menurut teorema proyeksi, x - x ortogonal terhadap M, sehingga secara khusus






karena x  M maka : = 0, sehingga




 2   x  x, x    x, x    x, x    x, x  i  y1 , x  ......   n  yn , x 

atau
 2  1  y1, x  ......   n  yn , x    x, x 

persamaan ini bersama persamaan normal memberikan n + 1 persamaan linier
dalam
n + 1 variabel 1 , 2 ,....., n ,  2 . Dengan aturan Cramer didapatkan

18

 y1 , y1   y 2 , y1  ..........  y n , y1   x, y1 
 y1 , y 2   y 2 , y 2  .........  y n , y 2   x, y1 








 y1 , y n   y 2 , y n  ........  y n , y n   x, y n 
2 

 y1 , x   y 2 , x  .........  y n , x   x, x 
 y1 , y1   y 2 , y1  .............  y n , y1  0



g ( y1 ,......., y n , x)
g ( y1 ,..........., y n )



 y1 , y 2   y 2 , y 2  .............  y n , y 2  0








 y1 , y n   y 2 , y n  .............  y n , y n  0
 y1 , x   y 2 , x  .................  y n , x  1

2.2

Fungsi Trigonometri

Kesamaan-kesamaan trigonometri
1.

Kesamaan ganjil-genap
sin(− ) = − sin
cos(− ) = cos

2.

tan(− ) = − tan

Kesamaan ko fungsi
sin
cos
tan

3.

�
−
2

= cos

�
−
2

= sin

�
−
2

= cot

Kesamaan Phytagoras
sin2

+ cos 2

=1

1 + tan2

= sec 2

1 + cot 2

= csc 2

19

4.

Kesamaan penambahan
sin( + ) = sin cos + cos sin
cos( + ) = cos cos − sin sin
tan

tan( + ) =
5.

6.

7.

8.

+ tan

1 − tan

tan

Kesamaan sudut ganda
sin 2 = 2 sin

cos

cos 2 = cos2

− sin2

= 2 cos 2

Kesamaan setengah sudut
sin2

=

cos 2

=

− 1 = 1 − 2 sin2

1−cos 2
2
1+cos 2
2

Kesamaan jumlah
sin + sin

= 2 sin

cos + cos

= 2 cos

+

cos

2
+
2

cos

−
2

−
2

Kesamaan hasil kali
sin

sin

cos

cos

cos

cos

= −
=

=

1
2

1
2

1
2

cos

+

cos

+

cos

+

− cos( − )

+ cos( − )
+ cos( − )

20

III. METODOLOGI PENELITIAN

3.1

Tempat dan Waktu Penelitian

Penelitian ini dilakukan di Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
pada jurusan Matematika, Universitas Lampung yang dimulai pada semester
Ganjil tahun ajaran 2012/2013.

3.2 Metode Penelitian

Penelitian ini menggunakan metode yang bersifat studi pustaka, yaitu dengan
mempelajari, menganalisis masalah dengan definisi-definisi, dan definisi tersebut
menjadi acuan berfikir untuk mengemukakan teori yang sesuai dengan masalah
yang bersangkutan, dan kemudian membuat kesimpulan. Sumber literatur yang
digunakan yaitu dari Perpustakaan Universitas Lampung, dan sumber-sumber lain
yang berhubungan dengan masalah dalam penelitian ini.
Langkah-langkah dalam penelitian ini adalah sebagai berikut :
1.

Membawa masalah aproksimasi fungsi ke ruang Hilbert C[a,b] dengan cara
terlebih dahulu menentukan produk skalar terhadap ruang Hilbert C[a,b] yang
sesuai untuk digunakan

2.

Menentukan basis-basis yang akan digunakan

3.

Mencari penyelesaian optimal (aproksimasi fungsi terbaik) dengan persamaan
normal

4.

Menentukan kesalahan optimal dari pengambilan basis yang berbeda-beda
pada langkah (2) dan melakukan analisis serta evaluasi terhadap galat dan
fungsi yang dihasilkan

5.

Melakukan langkah (1) s.d. (4) untuk kasus fungsi yang lain

6.

Melakukan perbandingan dan selanjutnya mengambil kesimpulan atas hasil
pada langkah (5)

22

V. KESIMPULAN

Masalah optimisasi khususnya aproksimasi fungsi terbaik yang tidak medapatkan
solusi terbaik (galat yang besar) dalam ruang fisis atau yang dikenal sebagai ruang
real , dapat dipecahkan dengan sistem matematis yang sederhana, dengan masalah
aproksimasi tersebut ke ruang abstrak (berisi aksioma-aksioma) atau ruang vekor,
khususnya pada ruang Hilbert C[a,b]. Masalah tersebut dikenal sebagai masalah
minimum norm dalam ruang Hilbert C[a,b]. Dengan menggunakan konsep
minimum norm akan diperoleh kesalahan optimal (galat) yang minimum.
Dalam penyelesaian masalah minimum norm, aproksimasi fungsi satu keluarga
(aljabar, trigonometri, dll) dengan basis yang beda menghasilkan galat yang sama
tetapi untuk fungsi tidak sekeluarga (aljabar, trigonometri, dll) dengan basis yang
beda menghasilkan galat yang beda, dengan menggunakan ruang Hilbert C[a,b]
maka fungsi aproksimasi tidak tergantung pada pemilihan basis, asalkan basis
yang dipilih membangun ruang Hilbert C[a, b].

40

DAFTAR PUSTAKA

Amanto, Suharsono, dan Waluyo, J.,2003. Penyelesaian Masalah Minimum
Norm dalam Ruang Hilbert L2[a,b]. Jurnal Matematika, Aplikasi dan
Pembelajarannya (JMAP), Vol 2, hal. 124 – 131.
Atkinson, K. And Han, W., 2001. Theoretical Numerical Analysis : A
Functional Analysis Framework. Springer Verlag, New York.

Berberian, SK., 1961. Introduction to Hilbert Space, Academic Press, Inc., New
York.

Joko Waluyo, 2003. Penyelesaian Masalah Minimum Norm Dalam Ruang
Hilbert C[a,b]. Skripsi, Jurusan Matematika FMIPA Unila.

Kreyzig, Erwin. 1978. Introductory Functional Analysis with Applications. New
York : John Willey.

Luenberger, D.G., 1969. Optimization by Vector Space Methods John Wiley and
Sons, New York.