STUDI PUSTAKA
TESIS
II -
46 t
j
η
=
j j
η
sin
j
t +
j
η
cos
j
t + m
1
j j
τ p
t j
∫
sin
j
t -
τ
d
τ
2.4.12 dimana :
j
η
= m
υ0} ]{
m [
j T
j
} {
φ
2.4.13
j
η
= m
0} υ
]{ m
[
j T
j
} {
φ
2.4.14 Solusi akhir dalam koordinat geometrik adalah :
t u
i
=
Σ
= n
1 j
ij
} {
φ
t
j
η
, i
= 1,
2, ...,
n 2.4.15
2.4.2. Getaran Paksa dengan Redaman
Persamaan gerak dengan redaman sebagaimana persamaan 2.3.8 : [m]{ u
} + [c]{ u } + [k]{u} = {pt} Diasumsikan penyelesaian dalam bentuk :
{ } [ ]{ }
t ut
η
Φ =
{ } [ ]{ }
t t
u
η
Φ =
{ } [ ]{ }
t t
u
η
Φ =
dari persamaan 2.3.31 Sehingga persamaan gerak dapat ditulis :
[ ][ ]{ }
η
Φ m
+
[ ][ ]
{ }
η
Φ c
+
[ ][ ]{ }
η
Φ k
=
{ }
pt 2.4.16
Kedua ruas persamaan 2.4.16 dikalikan awal dengan
[ ]
T
Φ , didapat :
[ ]
T
Φ
[ ][ ]{ }
η
Φ m
+
[ ]
T
Φ
[ ][ ]
{ }
η
Φ c
+
[ ]
T
Φ
[ ][ ]{ }
η
Φ k
=
[ ]
T
Φ
{ }
pt 2.4.17
STUDI PUSTAKA
TESIS
II -
47 Apabila : [ m
] =
[ ] [ ][ ]
Φ m
Φ
T
dari persamaan 2.3.34 [ c
] =
[ ]
[ ]
[ ]
Φ c
Φ
T
2.4.18 dinamakan matriks redaman umum
[ k ] =
[ ] [ ][ ]
Φ k
Φ
T
dari persamaan 2.3.35 [ p
] =
[ ]
T
Φ
{ }
pt dari persamaan 2.4.6 maka persamaan 2.4.17 menjadi :
[ ]
{ }
η
m +
[ ]
{ }
η
c +
[ ]
{ }
η
k =
{ }
t p
2.4.19 yaitu merupakan n persamaan independen uncoupled SDOF :
η
1 1
m +
η
1 1
c +
η
1 1
k = p
1
M
η
n n
m +
η
n n
c +
η
n n
k =
p
n
2.4.20 Penyelesaian masing-masing persamaan independen uncoupled SDOF :
η
j j
m +
η
j j
c +
η
j j
k =
p
j
2.4.21 Karena redaman absolut struktur cukup sulit ditentukan ataupun diperkirakan, maka
untuk menentukan matriks redaman dapat dipergunakan rasio redaman yang besarnya dapat diperkirakan dari dasar-dasar pengalaman sebelumnya Paz, 1985,
lihat tabel 2.1. Sehingga persamaan 2.4.18 menjadi :
[ c ] =
[ ]
[ ]
[ ]
Φ c
Φ
T
= m
2
j j
j
ξ karena : k
j
=
2 j
m
j
ξ
j
= m
2 c
j j
j
2.4.22
STUDI PUSTAKA
TESIS
II -
48 maka persamaan 2.4.21 menjadi :
η
j
+
η
j j
j
2 ξ
+
η
j 2
j
= m
p
j j
2.4.23 masing-masing ragam hanya berhubungan dengan frekuensi dan rasio redaman
Solusi dalam bentuk koordinat ragam : t
j
η
= e
t
j j
ξ
− j
η
cos
D
ω
t +
D
ξ
j j
j j
j
η η
+ sin
j D
ω
t +
D
m 1
j j
p
t j
τ
∫
e
t
i i
τ ξ
− −
sin
j D
ω
t- τ dτ
2.4.24 dimana :
ω
j
= m
k
j j
j
D
ω
=
ω
j
ξ
2 j
1 −
j
η
= m
υ0} ]{
m [
j T
j
} {
φ
j
η
= m
0} υ
]{ m
[
j T
j
} {
φ
2.4.25 Solusi akhir dalam koordinat geometrik adalah :
t u
i
=
Σ
= n
1 j
ij
} {
φ
t
j
η
, i
= 1,
2, ...,
n 2.4.26
Tabel 2.1. Nilai-nilai Rasio Redaman untuk Berbagai Jenis dan Kondisi Widodo,
2001
No Level Tegangan
Jenis dan Kondisi Rasio Redaman
STUDI PUSTAKA
TESIS
II -
49
Stress Level Struktur ξ
1 Tegangan elastis
atau tegangan kurang ½
tegangan leleh - Struktur baja las, beton
prategang, beton biasa retak rambut
- Beton biasa retak minor - Struktur baja sambungan
baut, keling dan struktur kayu dengan sambungan
baut, paku 2 – 3
3 – 5
5 – 7 2 Tegangan
sedikit dibawah
leleh atau pada saat leleh - Struktur baja las, beton
prategang tanpa kehilangan prategang secara total
- Beton prategang dengan tegangan lanjut, beton biasa
- Struktur baja dengan sambungan baut, keling atau
struktur kayu dengan sambungan baut
- Struktur kayu dengan sambungan paku
5 – 7 7 – 10
10 – 15 15 – 20
Sumber : Newmark N.M., Hall W.J. 1982
2.4.3. Akibat Pembebanan Gempa
