Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
22
1.3 Nilai Mutlak
Misal x suatu bilangan real, nilai mutlak x dinotasikan dengan
x
dan didefinisikan sebagai panjang atau jarak bilangan tersebut dari bilangan 0. Definisi
Misal x real maka:
,
, x
untuk x
x untuk
x x
Bentuk lain dari definisi di atas adalah sebagai berikut:
2
x x
.
Contoh
8 8
, 2
5 2
5 ,
3 3
,
2 2
2
, 7
2 7
2 7
2
dst.
Selanjutnya, sifat-sifat nilai mutlak diterangkan sebagai berikut.
Sifat-sifat Nilai Mutlak
1. Jika R
y x
,
maka: a
x
b
x
x
c
y x
y x
. .
d
,
y
asal y
x y
x
e
y x
y x
Ketaksamaan segitiga f
y x
y x
Secara geometris, nilai mutlak
a x
dapat diartikan sebagai jarak dari a ke x. Sebagai contoh, jika
7 3
x
maka artinya x berjarak 7 unit di sebelah kanan atau di sebelah kiri 3 lihat Gambar 1.15.
4
3 10
7 unit 7 unit
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
23 Jadi selesaian
7 3
x
adalah
10 ,
4
. Dengan mengingat nilai mutlak sebelumnya kiranya mudah dipahami sifat
berikut:
2. Jika
a
, maka:
a x
a x
a x
atau
. Contoh,
4 atau
4 berarti
4
x
x x
3 5
atau 3
5 5
3 atau
5 3
5 3
x
x x
x x
Dengan cara yang sama
2 atau
5 4
2 atau
10 2
7 3
2 atau
7 3
2 berarti
7 3
2
x x
x x
x x
x
3. Jika
a
, maka: a
a x
a a
x
. b
a x
a x
a x
atau
.
Contoh Tentukan selesaian pertidaksamaan yang memuat nilai mutlak di bawah ini:
1 Selesaikan
7 3
2
x
. Jawab
5 atau
2 10
2 atau
4 2
7 3
2 atau
7 3
2 7
3 2
x x
x x
x x
x
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah 5
2
x atau
x
2 Tentukan semua nilai x yang memenuhi
3 2
2
x
x .
Gambar 1.5
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
24 Jawab
3 2
2 dan
3 2
2 3
2 2
3 3
2 2
x
x x
x x
x x
x
Selanjutnya, karena:
2 atau
5 6
2 6
5 3
2 2
3 2
2 .
i
x x
x x
x x
x x
6 atau
2 2
6 3
2 2
3 2
2 .
ii
x x
x x
x x
x x
maka, diperoleh:
6 atau
5 6
x x
.
3 Tentukan selesaian
2 4
x
x
. Jawab:
i. Apabila
2
x
, maka selalu berlaku
2 4
x
x
untuk setiap x. Sehingga diperoleh:
2
x
. ii. Jika
2
x
, maka:
3 2
2 ,
6 2
2 ,
2 4
atau 2
4 2
4
x x
x x
x x
x x
x x
Dari i dan ii, diperoleh
3
x
.
4 Tentukan selesaian 3
2 2
x x
. Jawab
Berdasarkan nilai mutlak dperoleh:
Kalkulus Diferensial: Dwi Purnomo-
25
2 ,
6 5
6 2
, 6
6 5
2 ,
36 36
5 2
, 4
4 9
4 2
, 2
3 2
3 2
2 3
2 2
2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x atau
x x
x x
Jadi selesaian pertidaksamaan adalah
6 ,
2 2
, 5
6
. 4.
2 2
y x
y x
Contoh Tentukan selesaian dari pertidaksamaan
a.
3 2
1
x x
Jawab Menurut sifat 4 di atas, maka:
3 2
1
x x
6 2
1
x
x
5 7
3 35
22 3
36 24
4 1
2 6
2 1
2 2
2 2
2
x x
x x
x x
x x
x x
Titik kritis pertidaksamaan adalah
3 7
x
dan
5
x
sehingga gambar garis bilangan
+++++++++++ - - - - - - - - - - - - - +++++++
Jadi selesaian pertidaksamaan
3 2
1
x x
adalah
~ ,
5 5
7 ~,
1.4 Soal Latihan
Kategori