KONVERGENSI SOLUSI DERET PANGKAT PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-2 DAN PERSAMAAN CAUCHY-EULER SEBAGAI PEMBANDING

ABSTRAK
KONVERGENSI SOLUSI DERET PANGKAT
PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE-2 DAN
PERSAMAAN CAUCHY-EULER SEBAGAI PEMBANDING

Oleh
Umi Sofiyani

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan satu atau
beberapa fungsi yang tidak diketahui. Dalam skripsi ini membahas metode
mencari solusi deret pangkat persamaan diferensial orde-2 dengan koefisien
variabel, baik homogen maupun tak homogen. Menggunakan metode deret
pangkat karena metode deret pangkat menghasilkan penyelesaian persamaan
diferensial dalam bentuk deret pangkat. Deret pangkat juga mewakili banyak
fungsi seperti fungsi eksponen, fungsi cosinus, dan lain-lain. Kemudian mencari
kekonvergenan dari solusi deret pangkat tersebut. Selanjutnya kekonvergenan dari
solusi deret pangkat tersebut diperlihatkan dengan persamaan Cauchy-Euler
sebagai pembanding. Menggunakan persamaaan Cauchy-Euler karena persamaan
Cauchy-Euler merupakan salah satu bentuk dari persamaan diferensial linier
dengan koefisien variabel.

I. PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Persamaan diferensial merupakan persamaan yang memuat turunan satu (atau
beberapa) fungsi yang tidak diketahui. Meskipun persamaan seperti itu
seharusnya disebut ”persamaan turunan”, namun istilah “persamaan
diferensial“ (aequatio differentialis) yang diperkenalkan oleh Leibniz pada
tahun 1676 sudah umum digunakan (Finizio dan Ladas, 1988).

Persamaan diferensial sering muncul dalam model matematika yang mencoba
menggambarkan keadaan kehidupan nyata. Banyak hukum-hukum alam dan
hipotesa dapat diterjemahkan ke dalam persamaan yang mengandung turunan
melalui bahasa matematik. Keadaan inilah yang merupakan persoalan pada
banyak model matematik sehingga untuk memperoleh suatu persamaan
diferensial yang melukiskan suatu persoalan kehidupan nyata, biasanya
dimisalkan bahwa keadaan sebenarnya diatur oleh hukum-hukum yang sangat
sederhana yang katakanlah sering membuat pemisalan yang ideal. Sekali
model matematika tersusun dalam bentuk persamaan diferensial, langkah
selanjutnya adalah menyelesaikan persamaan diferensial itu dan menggunakan

penyelesaiannya untuk membuat perkiraan mengenai kelakuan masalah
sebenarnya. Dalam hal perkiraan itu tidak sesuai dengan kenyataan, maka

2

harus

mengubah

pemisalan-pemisalannya

untuk

mengarahkan

dan

mengusahakannya membentuk suatu model yang lebih mendekati kenyataan.

Deret pangkat (power series) merupakan salah satu metode yang dapat

digunakan untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier baik homogen
maupun tak homogen. Digunakan metode deret pangkat karena metode deret
pangkat akan menghasilkan penyelesaian persamaan diferensial dalam bentuk
deret pangkat. Deret pangkat juga dapat mewakili banyak fungsi seperti fungsi
eksponen, fungsi cosinus, dan lain-lain. Untuk mengetahui apakah deret
pangkat bersifat konvergen atau divergen dapat dilakukan melalui uji banding
atau uji kekonvergenan lainnya.

Contoh dari bentuk persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial
linier dengan koefisien variabel dan koefisien konstan. Persamaan diferensial
linier Caucy-Euler merupakan salah satu bentuk khusus dari persamaan
diferensial linier dengan koefisien variabel.

Persamaan

Cauchy-Euler

kadang-kadang

disebut

sebagai

persamaan

equidimensional. Karena struktur persamaan sederhana dapat diganti dengan
persamaan yang setara dengan koefisien konstan yang kemudian dapat
dipecahkan secara eksplisit. Oleh karena itu di sini digunakan persamaan
diferensial linier Cauchy-Euler sebagai pembanding. Selanjutnya akan dikaji
ulang bagaimana metode tersebut digunakan, dan akan dibahas konvergensi
solusi deret pangkat persamaan diferensial linier orde-2 dengan koefisien
variabel baik homogen maupun tak homogen.

3

1.2 Tujuan Penelitian

Penelitian ini bertujuan untuk mencari kekonvergenan solusi deret pangkat
persamaan diferensial linier orde- n dengan koefisien variabel baik homogen
maupun tak homogen. Selanjutnya konvergensi solusi deret pangkatnya

dibandingkan dengan persamaan diferensial Cauchy-Euler.

1.3 Batasan Masalah

Pada penelitian ini masalah dibatasi pada pencarian konvergensi solusi deret
pangkat persamaan diferensial linier orde-2 dengan koefisien variabel dan
persamaan Cauchy-Euler sebagai pembanding.

1.4 Manfaat Penelitian

Manfaat penelitian ini adalah:
1. Memberi informasi dan wawasan kepada pembaca tentang sistem
persamaan diferensial linier orde-2 yang diketahui penyelesaiannya
dengan menggunakan metode deret pangkat kemudian menentukan
kekonvergenannya.
2. Memberikan tambahan referensi kepada pembaca dan dapat mengkaji
lebih lanjut tentang persamaan diferensial linier orde-2.

V. KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan

Dari penelitian yang telah dilakukan, dapat diambil beberapa kesimpulan,
yaitu:
1. Untuk persamaan diferensial linier tak homogen orde-2 dengan koefisien
variabel: a(t ) y' ' (t )  b(t ) y' (t )  c(t ) y(t )  f (t ) , dapat diselesaikan dengan
metode deret pangkat. Selanjutnya dapat dicari diferensialnya sampai ken dengan menggunakan teorema Binomial Leibniz sehingga didapat

rumus rekursif seperti dibawah ini:

 n
 a

k 0  k 
n

(k )

y

( n  2 k )

n
n
   b
k 0  k 

(k )

y

( n 1 k )

n
 n
   c
k 0  k 

(k )

y

( nk )

n
n
n
n
a0 y n 2    a k y n 2k    (bk y n1k  ck y nk )  f n
k 1  k 
k 0  k 

 fn

t t

0

,n 1

2. Untuk persamaan diferensial linier homogen orde-2 dengan koefisien
variabel: a(t ) y' ' (t )  b(t ) y' (t )  c(t ) y(t )  0 , konvergensi solusi deret di
sekitar t 0  0 dibanding dengan solusi deret persaman Cauchy-Euler:
Y ' ' (t ) 

B
C
Y ' (t ) 
Y (t )  0 ; Y (0)  y 0 , Y ' (0)  y 1 dimana solusi
1 t
(1  t ) 2

berbentuk Y (t )  (1  t )  r , t  1

40

3. Untuk persamaan diferensial linier tak homogen orde-2 dengan koefisien
variabel: a(t ) y' ' (t )  b(t ) y' (t )  c(t ) y(t )  f (t ) , konvergensi solusi deret
di sekiar t 0  0 dibanding dengan solusi deret persamaan Cauchy-Euler:
Y ' ' (t ) 

C
F
B
dan r memenuhi persamaan:
Y ' (t ) 
Y (t ) 
2
1 t
(1  t )
(1  t ) r 2

r (r  1)  Br  (C  F )  0 dan Y (t )  (1  t )  r

; t 1

5.2 Saran

Penulis menyarankan agar penelitian ini dilanjutkan dengan lebih banyak
mengkaji tentang konvergensi solusi deret yang lain pada persamaan

diferensial linier orde- n dan persamaan yang lain sebagai pembanding.