Dasar dasar Manajemen Investasi
MODEL INDEK TUNGGAL
William sharpe (1963) mengembangkan model yang disebut model indeks tunggal (single index model). Model ini dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan dimodel Markowitz. Disamping itu, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk menghitung return ekspektasian dan resiko portofolio.
Model indek tunggal dan komponen returnnya
Model indeks tunggal didasarkan pada harga dari suatu sekuritas berfluktuasi searah dengan indeks harga pasar. Secara khusus dapat dilihat bahwa saham cenderung mengalami kenaikan harga jika indeks harga saham naik. Dan sebaliknya jika indeks harga saham turun, maka saham mengalami penurunan harga. Hal ini menyarankan bahwa return dari sekuritas mungkin berkorelasi karena adanya reaksi umum (common response) terhadap perubahan nilai pasar. Dengan dasar ini, return dari suatu sekuritas dan return dari indeks pasar yang umum dapat dituliskan sebagai hubungan:
R
i i i M
= a + β R (10-1) Notasi:
R
= return sekuritas ke-i, i
a
= suatu variabel acak yang menunjukkan komponen dari return sekuritas ke-i i yang independen terhadap kinerja pasar,
β
i = beta yang merupakan koefisien yang mengukur perubahan R i akibat dari perubahan Rm,
R = tingkat return dari indeks pasar, juga merupakan suatu variabel acak.
M Variabel α merupakan komponen return yang tidak tergantung dari return pasar. i
α α
Variabel dapat dipecah menjadi nilai yang diekspektasi (expected value) dan i i kesalahan residu (residual error) e sebagai berikut: i
a α e
. + = i i i Subtitusi dari persamaan rumus (10-1), maka akan didapatkan persamaan model indeks tunggal sebagai berikut:
R α β R e
i i i M i
= + + (10-2) Notasi: α
= nilai ekspektasian dari return sekuritas yang independen terhadap return i pasar,
e
= kesalahan residu yang merupakan variabel acak dengan nilai ekspektasiannya i sama dengan nol atau E( e ) = 0. i
Model indeks tunggal membagi return dari suatu sekuritas kedalam dua komponen, yaitu sebagai berikut:
a
1. Komponen return yang unik diwakili oleh yang independen terhadap return i pasar.
β
i
2. Komponen return yang berhubungan dengan return pasar yang diwakili oleh
R .
M
a
Bagian return yang unik ( ) hanya berhubungan dengan peristiwa mikro (micro i
event) yang mempengaruhi semua perusahaan secara umum. Contoh dari peristiwa mikro
misalnya adalah pemogokan karyawan, kebakaran, penemuan penelitian dan lain sebagainya.Bagian return yang berhubungan dengan return pasar ditunjukkan oleh beta ( β ) yang i merupakan sensitivitas return suatu sekuritas terhadap return dari pasar. Secara consensus, return pasar mempunyai beta bernilai 1. Suatu sekuritas yang mempunyai beta bernilai 1,5 misalnya mempunyai arti bahwa perubahan return pasar sebesar 1% akan mengakibatkan perubahan return dari sekuritas tersebut dengan arah yang sama sebesar 1,5%.
Model indeks tunggal dapat juga dinyatakan dalam bentuk return ekspektasian (expected return). Return ekspektasian dari model ini dapat diderivasi dari model di (10-2) sebagai berikut: i i i M i
E( R ) = E( α + β R + e ), atau i i i M i E( R ) = E( α ) + E( β R ) + E( e ).
Dari property ke-2 dibab 6 diketahui bahwa nilai ekspektasian dari suatu konstanta
α β R β R
i i M i M adalah bernilai konstanta itu sendiri, maka E( ) dan E( ) = E( ) dan secara konstruktip nilai E( e ) = 0, maka return ekspektasian model indeks tunggal i dapat dinyatakan sebagai: i i i M E( R ) = α + β E( R ).
(10-3) Asumsi-asumsi
Model indeks tunggal merupakan asumsi yang karakteristik model ini sehingga menjadi berbeda dengan model yang lainnya. Asumsi utama dari model indeks tunggal adalah kesalahan residu dari sekuritas ke-i tidak berkovari dengan kesalahan residu sekuritas ke-j
e e
atau tidak berkovari (berkorelasi) dengan untuk semua nilai dari i atau j. asumsi i j ini secara matematis dapat dituliskan sebagai:
e e
i j
Cov( ) = 0 (10-4) e e
i j Besarnya Cov( ) dapat juga ditulis sebagai berikut:
e e e e e e
i j i i j j Cov( ) = E([ – E( )] [ – E( )]).
Karena secara konstruktif bahwa E( e ) dan E( e ) adalah sama dengan nol, maka: i j i j i i j j
Cov( e e ) = E([ e – E( e )] [ e – E( e )])
e e
= E( · ) i j
Sehingga asumsi bahwa kesalahan residu untuk sekuritas ke-i tidak mempunyai korelasi dengan kesalahan residu untuk sekuritas ke-j dapat juga ditulis:
E( e · e ) = 0
i j
(10-5) R e
Return indeks pasar ( ) dan kesalahan residu untuk tiap sekuritas ( ) M i merupakan variabel acak. Oleh karena itu, diasumsikan bahwa e tidak berkovari dengan i
R
return indeks pasar . Asumsi kedua ini dapat dinyatakan secara matematis sebagai: M
- – E(
- – E( R
i
i · E( R
i ) – ( α i
M
i · R
= E[( α i
2
σ
= E[ α i
Substitusi dari nilai persamaan varian diatas, akan didapatkan hasil:
Untuk model indeks tunggal, besarnya R i dan E( R i ) tampak di(10-2) dan (10-3).
i )]².
= E[ R i
2
i
σ
M ))]²
i · e i
Varian return sekuritas model indeks tunggal
R
M )) + e i
· ( R M
= E[ β i
i ]²
e
M ) +
i · E(
i
M
R
i ·
β
= E[
M )]²
i · E( R
Secara umum, varian return dari suatu sekuritas dapat dinyatakan sebagai berikut:
Asumsi dari model indeks tunggal mempunyai implikasi bahwa sekuritas bergerak bersama bukan karena efek diluar pasar (misalnya efek dari industry atau perusahaan itu sendiri), melainkan karena mempunyai hubungan yang umum terhadap indeks pasar. Asumsi ini digunakan untuk menyederhanakan masalah. Dengan demikian berapa besar model ini dapat diterima dan mewakili kenyataan sesungguhnya tergantung dari seberapa besar asumsi ini realistis. Jika asumsi ini kurang realistis, berarti model ini akan menjadi tidak akurat.
]²
R
R
i )] · [
e
i – E(
e
M ) = E([(
i ,
R M )]) = 0.
e
Lebih lanjut persamaan ini dapat diuraikan: Cov(
) = 0 (10-6)
M
, R
i
Cov( e
M – E(
Karena E( e i
(10-7)
R
M )]) = 0.
M
· [ R
i
E( e
Dengan demikian, asumsi kedua dari model indeks tunggal dapat dituliskan sebagai:
M )]) = 0.
M
) = 0, maka dapat ditulis: Cov(
R
i · [
e
M ) = E(
R
i ,
e
- – E( R
- β
- e
- β
- β
- α
- β
- β
- E( R
= E[ β ² · ( R - E( R ))² + 2 · β · ( R - E( R )) · e + e i M M i M M i i
²]
β R R β R R e
= ² · E[( - E( )]² + 2 · · E[ - E( ) · ] + E[ i M M i M M i
e
]² i
2 Perlu diketahui bahwa E[( R – E( R )]² merupakan varian dari return pasar ( σ )
M M M dan E[ R M - E( R M ) · e i ] adalah sama dengan nol sesuai dengan asumsi kedua dari model indeks tunggal, maka rumus varian diatas dapat ditulis:
2
2
2 e σ + 0 + E[ ]².
= β · σ i i i M
Nilai E[ e ]² dapat ditulis sebagai E[ e - 0]² dan karena secara konstruktip bahwa E( i i
e e
) = 0, maka nilai 0 selanjutnya juga dapat diganti dengan nilai E( ), sehingga nilai i i
E[ e ]² dapat ditulis dengan arti yang sama dengan E[ e - E( e )]² dan nilai ini i i i
2
merupakan varian dari kesalahan residu untuk sekuritas ke i ( σ ). Dengan ei
2 e
mensubtitusikan E[ ]² dengan σ , maka rumus varian return sekuritas berdasarkan i ei model indeks tunggal adalah:
2
2
2
2 σ = β · + σ σ .
i i M ei
(10-8)
Risiko (varian return) sekuritas yang dihitung berdasarkan model ini terdiri dari dua bagian:
2
2
risiko yang berhubungan dengan pasar (market related risk) yaitu β · σ dan risiko i M
2 untuk masing-masing perusahaan (unique risk) yaitu σ .
ei
Kovarian return antara sekuritas model indeks tunggal
Secara umum, kovarian return antara dua sekuritas i dan j dapat ditulis:
σ = E[( R - E( R ))].
ij i i
R R R R
Untuk model indeks tunggal, nilai , , E( ) dan E( ) dapat disubtitusikan, i j i j sehingga kovarian return menjadi:
σ
- β
- e
- β
- β
- e
- α
- β
- β
- e
- α
- β
- β
- β
- e i )]
- E( R
- β
- E(
- β
- E(
- e
- E(
- E(
- E(
- – E( R
M ))
R
M )) · E(
R
M
R
i · E(
β
M )]² +
R
M
R
j · E[
β
i ·
β
)] =
i · e j
i
e
M )) ·
R
M
R
j · (
j
e
M )) ·
R
· e j
· E(
] + β j
σ
σ
dari rumus di (10-8) dan
2
i ) dari rumus di (10-3), σ i
R
ij ) yang merupakan parameter input untuk analisis portofolio menggunakan model Markowits. Maksudnya bahwa hasil dari model indeks tunggal ini yaitu E(
σ
) dan kovarian antar sekuritas (
2
)), varian dari sekuritas ( σ i
Model indeks tunggal dapat digunakan untuk menghitung return ekspektasian (E( R i
2 (10-9) Parameter-parameter input untuk model Markowitz
ij = β i · β j · σ M
M )]². atau
R
· E[ R M
· β j
ij = β i
σ
Berdasarkan asumsi yang digunakan dimodel ini, maka tiga bagian terakhir dari persamaan diatas adalah sama dengan nol, sehingga kovarian return menjadi:
j ].
e
i ·
e
i ] + E[
e
M )) ·
R
M
M
i · (
R
R
M
R
i ·
β
= E[(
M ))].
i · E( R
i
i
M
j · R
( α j
M )) ·
i · E(
R
i
i
M
R
i ·
i
α
= E[(
M )))]
j · E( R
j ) – ( α j
M
j · R
( α j
i · E(
M ) +
))
e
) + E( R M
· ( R M
M )) · β j
· ( R M
i )] = E[ β i
e
M )) +
R
M - E(
R
j · E(
β
i ) · (
M )) +
e
R
M - E(
R
i · (
β
= E[(
M )
R
j · E(
M
R
j ·
β
i ) · (
ij dari rumus di (10-9) dapat digunakan sebagai input untuk menghitung return ekspektasian dan resiko portofolio menggunakan model Markowits.
- β
i
M
) (10-10) Model indeks tunggal mempunyai beberapa karakteristik sebagai berikut ini.
1. Beta dari portofolio (
β
p ) merupakan rata-rata tertimbang dari beta masing-masing sekuritas ( β i
):
β
p
= ∑
i=1 n
Wi · β
(10-11)
i
2. Alpha dari portofolio (
α
p ) juga merupakan dari alpha tiap-tiap sekuritas (
α
p ):
α
p
= ∑
i=1 n
Wi · α
i
· E( R
Wi · β
(10-12)
) menggunakan nilai dipersamaan (10-3), return ekspektasian portofolio menjadi: E( R p
Analisis portofolio menggunakan model indeks tunggal
Selain hasil dari model indeks tunggal dapat digunakan sebagai input analisis portofolio, model indeks tunggal dapat juga digunakan untuk analisis portofolio. Analisis portofolio menyangkut perhitungan return akspektasian portofolio dan resiko portofolio.
Return ekspektasian portofolio
Return ekspektasian dari suatu portofolio selalu merupakan rata-rata tertimbang dari return ekspektasian individual sekuritas (lihat 8-2): E(
R
p ) =
∑
i=1 n
Wi · E( R
i ).
Dengan mensubtitusikan E( R i
) =
i=1 n
∑
i=1 n
Wi · ( α
i
i · E( R i
))
E( R
p
) = ∑
i=1 n
Wi · α
i
- + ∑
10), maka return ekspektasian portofolio menjadi:
R α β R
- + E( ) = · E( )
p p p M
(10-13) Risiko portofolio
Varian dari suatu sekuritas yang dihitung berdasarkan model indeks tunggal telah diuraikan dan dapat dilihat dipersamaaan (10-8). Varian dari sekuritas ini adalah sebagai berikut:
2
2
2
2 σ = β · σ + σ .
i i M ei Varian dari portofolio adalah sebesar: n n
2
2 σ = ( Wi · β )² · σ + ( Wi · σ )²
i ei p ∑ M ∑ i=1 i=1
(10-14)
Dengan menggunakan karakteristik beta dipersamaan (10-11), maka varian dari portofolio selanjutnya dapat dituliskan: n
2
2 σ = β · σ + ( Wi · σ )²
p ei p M ∑ i=1
(10-15)
Salah satu kegunaan model indeks tunggal adalah untuk menyederhakan perhitungan model Markowits. Untuk menghitung return dan resiko portofolio, model Markowits membutuhkan parameter input berupa return ekspektasian masing-masing sekuritas, varian masing-masing sekuritas dan kovarian antara sekuritas. Untuk menghitung risiko portofolio yang terdiri dari n-buah aktiva, model Makowits membutuhkan perhitungan sebanyak n buah
R
varian dan (n · (n - 1)) buah kovarian. Karena kovarian sifatnya simetri, yaitu Cov( , i
R
) adalah sama dengan Cov( R , R ), maka perhitungan kovarian dapat dilakukan j i j hanya separuhnya, yaitu sebanyak (n · (n – 1) / 2). Dengan demikian jumlah perhitungan yang dibutuhkan untuk menghitung risiko portofolio model Markowits adalah sebanyak n + (n · (n
- 1) / 2). Misalnya n adalah 200 aktiva, maka untuk menghitung risiko portofolio dengan model Markowits dibutuhkan perhitungan sebanyak 200 varian dan (200 · (200 – 1) / 2) = 19,900 kovarian atau 200 + 19,900 = 20,100 perhitungan. Dengan menggunakan model indeks tunggal, perhitungan risiko portofolio hanya membutuhkan (2 · n) + 1 perhitungan (lihat rumus di 10-14 dan 10-15), yaitu β i untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n
σ
buah, ² juga untuk masing-masing sekuritas ke-i sebanyak n buah dan sebuah varian ei
2
return dari market indeks ( σ ). Sebagai perbandingan untuk 200 aktiva jika digunakan M model indeks tunggal untuk menghitung risiko portofolio hanya dibutuhkan perhitungan sebanyak (2 · 200) + 1 = 401 perhitungan.
Untuk portofolio yang di diversifikasikan, bagian kedua dari risiko varian ini, yaitu risiko yang tidak sistematik akan semakin kecil nilainya dengan semakin banyaknya sekuritas didalam portofolio, akan bernilai nol jika jumlah sekuritas sangat besar. Misalnya portofolio terdiri dari n sekuritas dengan bobot nilai dalam rupiah sama untuk masing-masing sekuritas, sehingga W = 1/n untuk tiap sekuritas ke-i. substitusi dari nilai bobot ke persamaan (10- i
15), maka akan didapatkan:
2
2
2 = ·
σ β σ
p p M
(10-16) Model pasar
Model pasar (market model) merupakan bentuk dari model indeks tunggal dengan batasan yang lebih sedikit. Model pasar bentuknya sama dengan model indeks tunggal. Perbedaannya terletak di asumsinya. Di model indeks tunggal, diasumsikan bahwa kesalahan residu masing-masing sekuritas tidak berkovari satu dengan yang lainnya atau Cov( e , i
e
) = 0. Di model pasar, asumsi ini tidak digunakan atau kesalahan residu masing-masing j sekuritas dapat berkorelasi. Kenyataannya bahwa sekuritas berkovari atau berkorelasi satu dengan yang lainnya membuat model pasar lebih realitis. Model pasar ini banyak digunakan oleh peneliti pasar model untuk menghitung abnormal return. Bentuk model pasar yang sama dengan bentuk model indeks tunggal mempunyai return dan return ekspektasian sebagai berikut:
R
= α + β · R + e dan E( R ) = α + β · E( R ) i i i M
Portofolio optimal berdasarkan model indeks tunggal
Perhitungan untuk menentukan portofolio optimal akan sangat mudah jika hanya didasarkan pada sebuah angka yang dapat menentukan apakah suatu sekuritas dapat dimasukkan ke dalam portofolio optimal tersebut. Angka tersebut adalah rasio antara ekses return dengan beta (excess return to beta ratio). Rasio ini adalah:
E ( ¿ )− R
R BR i
ERB =
i
β
i
¿ (10-17) Notasi:
ERB
= exsess return to beta sekuritas ke-i i
E( ¿ )
R i = return ekspektasian berdasarkan model indeks tunggal untuk sekuritas ke-i
¿ R
= return aktiva bebas risiko BR
β
= beta sekuritas ke-i i
Excess return didefinisikan sebagai selisi return ekspektasian dengan return aktiva
bebas risiko. Excess return to beta berarti mengukur kelebihan return relative terhadap satu unit risiko yang tidak dapat didiversifikasikan yang diukur dengan beta. Rasio ERB ini juga menunjukkan hubungan antara dua factor penentu investasi, yaitu return dan risiko.
Portofolio yang optimal akan berisi dengan aktiva yang mempunyai nilai rasio ERB yang tinggi. Aktiva dengan rasio ERB yang rendah tidak akan dimasukkan ke dalam portofolio optimal. Dengan demikian diperlukan sebuah titik pembatas (cut-off point) yang menentukan batas nilai ERB berapa yang dikatakan tinggi. Besarnya titik pembatas ini dapat ditentukan dengan langkah-langkah sebagai berikut ini.
1. mengurutkan sekuritas berdasarkan nilai ERB terbesar ke nilai ERB terkecil.
Sekuritas dengan nilai ERB terbesar merupakan kandidat untuk dimasukkan ke portofolio optimal. 2. menghitung nilai A dan B untuk masing-masing sekuritas ke-i sebagai i i berikut:
E R − R · β ( )
[ i BR ] i A
=
i
2 σ
ei
(10-18)
Dan
2 β
i
B =
i
2 σ
ei
(10-19) Notasi:
2 σ = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i yang juga merupakan
ei risiko unik atau risiko tidak sistematik.
C 3. Menghitung nilai .
i
2 i σ
M A
∑ j j=1 C
= i
i
2
1+σ β M ∑ j j=1
(10-20) Notasi:
2 σ = varian dari indeks pasar.
M
C A
adalah nilai C untuk sekuritas ke-i yang dihitung dari kumulasi nilai sampai i i
A B B C
dengan dan nilai sampai dengan . Misalnya menunjukkan nilai C i i i
3
untuk sekuritas ke-3 yang dihitung dari kumulasi A , A , A , dan B , B dan
1
2
3
1
2 B .
3 Dengan mensubtitusikan nilai A dan B dirumus (10-18) dan (10-19) ke
j j
C C
nilai di rumus (10-20), maka rumus menjadi: i i
i
E R − R · β ( )
[ j BR ] j
2 σ
M ∑
2
j=1 σ ej
C =
i i
2 β
2 j
1+σ M
∑
2
j=1 σ ej
(10-21)
4. Besarnya cut-off point (C*) adalah nilai C dimana nilai ERB terakhir kali masih i
C lebih besar dari nilai .
i
5. Sekuritas yang membentuk portofolio optimal adalah sekuritas yang mempunyai nilai ERB lebih besar atau sama dengan nilai ERB dititik C*. sekuritas yang mempunyai ERB yang lebih kecil dengan ERB titik C* tidak diikutsertakan dalam pembentukan portofolio optimal.
Setelah sekuritas yang membentuk portofolio optimal telah dapat ditentukan, pertanyaannya adalah berapa besar proporsi masing-masing sekuritas tersebut didalam portofolio optimal. Besarnya proporsi untuk sekuritas ke-i adalah sebesar:
Z
j k
W =
i
Z ∑ j
j=1
(10-22)
Dengan nilai Z adalah sebesar: i
β
i
Z = ( ERB - C*)
i
2 i σ
ei
(10-23) Notasi: W = proporsi sekuritas ke-i.
i K = jumlah sekuritas diportofolio optimal.
β = beta sekuritas ke-i.
i
2 σ = varian dari kesalahan residu sekuritas ke-i.
ei
ERB = excess return to beta sekuritas ke-i.
i
- Z
- . . . + Z
- Z
- . . . +
- Z
- . . . + Z
- + ∑
i , j ) = E(
. σ
j=1 j ≠ i n ( Z j
2
1
1 . σ
Z
Secara umum, untuk sekuritas ke-i, rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut:
) - R RB .
= E( R n
2
n . σ n
· σ n , 2
2
. σ n , 1
R
1 ) -
R
Ѱ w i , untuk adalah suatu konstan.
i , j = kovarian return sekuritas ke-i dengan sekuritas ke-j.
σ
2 = varian return sekuritas ke-i.
1
σ
Ѱ
i =
RB .
Z
RB = return aktiva bebas risiko.
R
1 ) = return ekspektasian sekuritas ke-i.
E( R
(L10-1) Notasi:
1
Untuk sekuritas ke-n:
Z
1
1, n
n . σ
1,2
· σ
2
2
σ
1
1 .
Z
Untuk sekuritas ke-1:
Untuk n-buah sekuritas didalam portofolio optimal, struktur varian dan kovarian untuk masing-masing sekuritas dapat dituliskan sebagai berikut ini.
Derivasi rumus-rumus portofolio optimal model indeks tunggal
C* = nilai cut-off point yang merupakan nilai C i terbesar.
= E( R
) - R RB .
RB .
n .
R
) -
2
R
= E(
σ 2, n
Z
Untuk sekuritas ke-2:
2
2
· σ
2
σ 2,1
1 .
Z
Untuk model indeks tunggal besarnya varian return sekuritas ke-i sesuai dengan rumus di (10-8).
2 σ
Subtitusi dari nilai varian ( σ ) dan kovarian ( ) berdasarkan model indeks tunggal ke ij i rumus (L10-1), maka akan didapatkan hasil: n
2
2
2
2 Z ( β · + σ σ ) + ( Z β β σ ) = E( R ) - R .
i
1 RB
i M ei ∑ j i j M j=1 j ≠ i Atau: n
2
2
2
2 Z β σ Z σ + + ( Z β β σ ) = E( R ) - R .
i
1 RB
i M i ei j i j M
∑
j=1 j ≠ i
2
2
2 Nilai ( Z · · ) atau ( Z · β · β · ) selanjutnya dapat
i β σ i i i σ i M M n digabungkan dengan nilai yang ada didalam Σ sehingga symbol j≠I dapat dihilangkan j=1 sebagai berikut: n
2
2 Z R R + · σ ( Z β β σ ) = E( ) - .
i ei
1 RB ∑ j i j M
j=1
2 n β
Nilai ( · σ ) dapat dikeluarkan dari dalam Σ sehingga menjadi: i
M j=1 n
2
2 Z
· σ ( Z · β )
i · σ + β = E( R
1 ) - R RB
ei i M ∑ j j j=1
Dan
2
n
E R − R ( ) β · σ
i BR i M
Z - = ( Z . β ) .
i
2
2 ∑ j j
σ σj=1 ei ei
(L10-2) E R − R β
( i ) BR
i Kalikan nilai dengan nilai , sehingga menjadi:
2 β σ i
ei
2
n
E R − R . β ( i ) BR i β · σ
[ ] i M Z
Z . β
= - ( ) i
2 2 ∑ j j σ . β σ j=1
ei i ei n
β E R − R
i ( i ) BR
2
Z . β= [ - σ ( ) ]
2
2 M ∑ j j σ
σ . β j=1
ei ei i Karena
- - C*) (L10-3)
- β
BR
. β
j )
= Σ j=1 n
E (
R
j ) − R
σ
2 Σ
ej
2 β
j .
∑
j=1 n ( Z j
. β
j )
j=1 n ( Z j
ej
2
Z
2 Σ
j=1 n ( Z j
. β
j )
∑
j=1 n (
j
2 σ
. β
j ) + σ
M
2 Σ
j=1 n
β
j
[1 + σ M
Σ j=1 n
2 σ
2 β
E (
R
j ) − R
BR
σ
ej
j 1+σ
Σ
M
2 Σ
j=1 n
β
j
2 σ
ej
j=1 n
j ) =
β
R
j
2
σej
2
] = Σ j=1 n
E (
j ) − R
. β
BR
σ
ej
2 .
β j .
∑
j=1 n ( Z j
ei
j
2 Subtitusikan nilai
− R BR
ei
2 (
E (
R
i
)
β
i
i
Nilai Σ j=1 n
(Z j
. β
j ) diketahui setelah sekuritas diportofolio optimal diketahui. Padahal nilai C* dibutuhkan untuk menentukan sekuritas portofolio optimal tersebut. Oleh karena itu, nilai Σ j=1 n
( Z j
. β
σ
= β
Z
β
ERB
i
= E
( R
i ) − R
BR
i
i
(lihat rumus 10.17)
Dan ( σ M
2 ∑
j=1 n ( Z j
. β
j ) ) diwakili dengan nilai C*, maka rumus di atas menjadi:
Z
j ) perlu diuraikan lebih lanjut yang dapat dilakukan dengan menggunakan kembali rumus di (L10-2) sebagai berikut:
i =
β
)
j=1 n ( Z j
. β
j ) = Σ j=1 n
E (
R
i
− R BR
j dan jumlahkan semua nilainya dari j=1 sampai dengan j=n, maka akan didapatkan hasil:
σ
ej
2
. β j
M
2 Σ
j=1 n
∑
β
E (
i
R
i ) − R
BR
σ
ei
2
· σ
Kalikan kedua sisi persamaan ini dengan nilai
M
2 σ
ei
2 ∑
j=1 n ( Z j
. β
j ) .
- σ
∑
ej
ej
2 σ
j
β
j=1 n
2 Σ
M
I +σ
j
2 β
σ
j=1 n ( Z j
BR
j ) − R
R
E (
j=1 n
2 Σ
M
σ
point C* sebesar: C* =
j ) ini ke rumus (L10-3), maka akan didapatkan nilai cut-off
. β
2 (L10-4)