3.2 Sumber Data
Data yang digunakan untuk penelitian ini adalah data sekunder mengenai pasien depresi
rawat jalan yang bersumber dari Tarpey dan Petkova 2010 dengan komunikasi via e-
mail . Objek penelitian adalah pasien laki-laki
dan perempuan berusia 18 - 65 tahun. Jumlah responden depresi dalam penelitian adalah
393 orang. Tarpey dan Petkova melihat perubahan
tingkat gejala
depresi menggunakan skala Hamilton Depression
Rating HAM-D.
3.3 Analisis dan Pemrograman Tahapan analisis dan pemrograman yang
dilakukan dalam penelitian ini sebagai berikut:
1. Membangun model regresi laten Tahap pertama ini akan dibangun model
regresi dengan
inisialisasi setiap
parameter, kemudian disimpan dalam bentuk file emnorm.r.
2. Melakukan pengelompokan data dengan algoritma
K-means, yaitu
dengan menentukan inisialisasi nilai awal k,
komponen means dan perkiraan matriks kovarian.
3. Melakukan pendugaan algoritma EM, yaitu dengan menentukan inisialisasi nilai
sigma, perkiraan nilai parameter beta, mengerjakan tahap E-step dan M-step.
IV PEMBAHASAN
4.1 Efek Plasebo
Plasebo adalah istilah medis untuk sejenis obat tanpa bahan kimia yang kadang hanya
berisi gula atau cairan garam. Efek plasebo adalah efek sugesti yang membuat orang
percaya untuk sembuh dengan sejenis obat tertentu. Efek plasebo digunakan dalam
pengobatan dan penyembuhan. Efek ini lebih menekankan pada faktor psikologis dan
keyakinan untuk sembuh. 4.2 Model Regresi Laten
Analisis multivariat merupakan salah satu jenis analisis statistik yang digunakan untuk
menganalisis data
dengan data
yang digunakan berupa banyak peubah prediktor
dan banyak peubah respons. Bentuk hubungan analisis regresi linear ganda yaitu beberapa
peubah prediktor terhadap satu peubah respons. Model regresi laten pada efek
plasebo:
= � + � 15
dengan : peubah respons p-variat,
: prediktor laten tidak teramati berdimensi r,
� : parameter,
� : galat � ~ ℕ0,�.
Penjelasan model regresi linear multivariat dapat dilihat pada Lampiran 2. Jika populasi
terdiri dari dua sub populasi laten orang yang mengalami efek plasebo dan orang yang tidak
mengalami efek plasebo, maka prediktor laten pada persamaan 15 memiliki distribusi
Bernoulli. Misalkan p = Px = 1 dan asumsikan bahwa
menyebar distribusi
ℕ , � dengan � adalah matriks kovarian definit positif. Kepadatan marjinal
� pada
y
dinamakan model campuran terbatas:
= � = 0 � = 0 + � = 1
�| = 1 =
1 − ℕ �; �
1
, � + ℕ�; �
2
, �
16 dengan
�
1
= ,
�
2
= +
1
dan ℕ�; �, �
merupakan hasil fungsi kepadatan normal berganda dengan rataan vektor
� dan matriks kovarians
�.
Distribusi Bernoulli memiliki probabilitas 0 dan 1. Cara alami untuk menggeneralisasi
model campuran terbatas yaitu dengan mengganti prediktor Bernoulli 0
− 1 oleh distribusi kontinu pada interval 0, 1 yang
kepadatannya berbentuk U. Pilihan alami untuk distribusi pada x adalah distribusi beta
dengan kepadatan
; , yang
didefinisikan dalam parameter a dan b. ; , =
Γ +
Γ Γ
−1
1 −
−1
dengan 0 1.
Family beta menghasilkan berbagai bentuk
kepadatan salah satunya kepadatan berbentuk U. Kepadatan ini menyediakan generalisasi
kontinu dari distribusi Bernoulli diskret. � = , �
17
Kepadatan bersama untuk x dan y dalam
persamaan 15 adalah , � = � ;
,
1
, � ; ,
= ℕ�;
+
1
, � ; ,
dengan ; , merupakan distribusi beta
yang diberikan dalam persamaan 17. Kepadatan marjinal hasilnya adalah
� = 1
2�� exp{
−� − −
1
′�
−1 1
� − −
1
2} ; , � .
4.3 Metode Pendugaan Parameter
Ada beberapa metode yang digunakan untuk menduga parameter, antara lain metode
momen, metode Bayes, metode maximum likelihood
, dan algoritma EM Expectation- Maximization
. Pendugaan parameter yang digunakan pada penelitian ini adalah metode
maximum likelihood dan algoritma EM
Expectation-Maximization.
Metode Maximum Likelihood
Metode maximum likelihood adalah suatu metode yang baik untuk memperoleh sebuah
parameter tunggal. Misalkan
1
,
2
, … ,
masing-masing peubah acak saling bebas dengan sebaran yang memiliki fungsi
kepekatan peluang ; � , dengan 0 ≤ � ≤
1, � Ω dan Ω adalah ruang contoh. Fungsi
kepekatan peluang
bersama dari
1
,
2
, … , adalah � �
1
,
2
, … , =
1
�
2
� … � yang disebut juga sebagai fungsi likelihood.
Fungsi sederhana dari x
1
, x
2
, … ,x
n
yaitu x
1
, x
2
, … , x
n
, sehingga � = ux
1
, x
2
, … , x
n
membuat fungsi kemungkinan L maksimum untuk semua
� Ω. Statistik ux
1
, x
2
, … , x
n
disebut penduga maximum likelihood dari �
yang dinotasikan dengan � = uX
1
, X
2
, … , X
n
. Untuk menduga parameter dengan menggunakan metode maximum likelihood
tidak bisa secara langsung karena datanya tidak teramati, untuk itu dapat digunakan
algoritma EM.
Algoritma Expectation-Maximization
Algoritma Expectation-Maximization
adalah suatu algoritma yang sangat handal untuk
pendugaan parameter
dengan menggunakan metode maximum likelihood
dari fungsi likelihood pada data yang tidak teramati McLachlan Krishnan 2008.
Proses algoritma EM dilakukan dengan dua tahap, yaitu:
E-Step Tahapan Expectation Merupakan tahapan untuk menghitung
ekspektasi bersyarat dari fungsi loglikelihood dengan prediktor laten. Misalkan
� adalah suatu nilai awal, maka E-Step didefinisikan
��; �| 20 dalam aplikasi pada efek placebo,
� didefinisikan sebagai matriks koefisien:
� = � ′
�
1
′ 21
dengan � berdimensi 2 × p, masing-masing
kolom p dari � merupakan intercept dan slope
koefisien regresi untuk setiap peubah respons p
. X merupakan matriks yang kolom pertama
terdiri dari 1 dan kolom kedua terdiri dari prediktor laten
�
,
= 1, 2, …, n, Y merupakan
matriks berdimensi n × p, dan
� merupakan
matriks kovarian definit positif. Model regresi laten dapat ditulis sebagai
= � + �. 22
Likelihood untuk
model regresi
laten dinyatakan sebagai berikut :
� �, � = 2�
− 2
�
− 2
exp{ −� [�
−1
− �
′
− �]2}. 23 Misalkan
= [ | ] dan
′
= [
′ | ], maka nilai harapan dari � [�
−1
− �
′
− � bersyarat adalah
� �
−1
− �
′
− � = � [�
−1
{
′
−
′
� − �′ ′ + �
′
′ �}]. 24
Pembuktian persamaan 24 dapat dilihat pada Lampiran 3.
′
dan � definit positif,
sehingga pada E-Step diperoleh ��; �| = −
2 ln
2� − 2
ln �
−0.5� [�
−1
{
′
−
′
� − �′ ′ +
�
′
′ �}]. 25
Misalkan � =
′ −1
′ maka persamaan
24 dapat dinyatakan kembali sebagai: � [�
−1
{
′
− �
′ ′
� + � − �
′ ′
� − �}]. 26 18
19
Pembuktian persamaan 26 dapat dilihat pada Lampiran 4. Bagian dari trace pada
persamaan 26 yang melibatkan parameter �
dapat dinyatakan sebagai berikut: � �
−1
� − �
′ ′
� − � =
�
′
� − � �
−1
� − �
′
= � [
′ 12
� − ��
−1
� − �
′ ′
12
].
27 Hasil E-Step dapat dinyatakan kembali
sebagai: ��; �| = −
2 ln
2� − 2
ln �
−0.5� [�
−1
{
′
− �
′ ′
� − �′
′
� +
�
′
′ �}].
28 M-Step Tahapan Maximization
Merupakan tahapan untuk mendapatkan parameter baru
� dengan memaksimumkan ��; �| , yang dinyatakan sebagai
berikut: ��; �|
� sehingga diperoleh
� = � =
′ −1
′
. Proses E-Step dan M-Step ini dilakukan
terus secara iteratif sampai diperoleh suatu nilai dugaan parameter
� yang konvergen. Langkah-langkah
mencari nilai
dugaan parameter
� menggunakan algoritma EM dapat dilihat pada Lampiran 5.
4.4 Aplikasi pada Efek Plasebo