Parcijalni izvodi. Ekstremi funkcije dvije promjenljive.

14 Parcijalni izvodi. Ekstremi funkcije dvije promjenljive.

Zadatak 14.1 Pokazati da za funkciju z = ln x 2 +y 2 vrijedi

Rješenje: Kako je

tada je @z

Zadatak 14.2 Na´ci prvi i drugi totalni diferencijal funkcije

2 z = 2x 2 3xy y :

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

pa je prvi totalni diferencijal funkcije z @z

@z

dz =

dy = (4x 3y) dx + ( 3x 2y) dy: @x

dx +

@y

Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

pa je drugi totalni diferencijal funkcije z

d z=

6dxdy 2dy : @x

2 dx +2

dxdy + 2 dy = 4dx

@x@y

@y

Zadatak 14.3 Na´ci prvi i drugi totalni diferencijal funkcije

z = ln x 2 +y:

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

pa je prvi totalni diferencijal funkcije z

x 2 +y Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

pa je drugi totalni diferencijal funkcije z

@x 2 @x@y

@y 2

2x 2 + 2y 2 4x

2 dy : (x + y)

2 2 dx

2 2 dxdy

(x + y)

(x 2 + y)

Zadatak 14.4 Pokazati da za funkciju

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

x 2 + xy + y 2 Zadatak 14.5 Pokazati da za funkciju

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

@u

= (y z) (z x (x y)) = (y z) (z x x + y) =

@x = (y z) (y + z 2x)

@u = (z x) ( (y z) + x y) = (z x) ( y + z + x y) = @y

= (z x) (z + x 2y) @u

= (x y) ( (z x) + y z) = (x y) ( z + x + y z) = @z

= (x y) (x + y 2z) :

Zadatak 14.6 Ispitati ekstreme funkcije

2 z=x 2 + xy + y 2x y:

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

@z = 2x + y 2 @x

@z = x + 2y 1 @y

pa stacionarne taµcke dobijamo rješavanjem sistema jednaµcina

2x + y 2=0 : x + 2y 1=0

Iz prve jednaµcine imamo y = 2x + 2; pa uvrštavaju´ci u drugu jednaµcinu, dobijamo

x + 2 ( 2x + 2) 1=0 x 4x + 4 1=0 3x + 3 = 0 =) x = 1 =) y = 2 1 + 2 = 0

pa je stacionarna taµcka funkcije M (1; 0) : Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

@x@y @ 2 z

C=

@y 2 @y 2

1 = 3: Za taµcku M (1; 0) imamo

= AC 2 B =22 1=4

(M ) = 3 > 0

pa ekstrem funkcije postoji a kako je

A (M ) = 2 > 0

to funkcija ima minimum u taµcki M (1; 0) i on iznosi z min = z(1; 0) = 1 + 0 + 0 2 0= 1: Zadatak 14.7 Ispitati ekstreme funkcije

3 z=x 3 +y 6xy:

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

pa stacionarne taµcke dobijamo rješavanjem sistema jednaµcina

x Iz prve jednaµcine imamo y = 2

2 ; pa uvrštavaju´ci u drugu jednaµcinu, dobijamo

xx 3 8 = 0 =) x = 0 _ x = 2: Sada imamo

x = 0 =) y = 0 x = 2 =) y = 2 x = 0 =) y = 0 x = 2 =) y = 2

M 1 (0; 0);

M 2 (2; 2) :

Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

@x@y @ 2 z

2 = AC 2 B = 6x 6x 36 = 36x 36: Za taµcku M 1 (0; 0) imamo

(M 1 )=

36 < 0 pa funkcija nema ekstrema u taµcki M 1 (0; 0):

Za taµcku M 2 (2; 2) imamo

(M 2 ) = 144

36 = 108 > 0 pa postoji ekstrem funkcije z u taµcki M 2 (2; 2) : Kako je

A (M 2 ) = 12 > 0 to funkcija ima minimum u taµcki M 2 (2; 2) i on iznosi

3 z 3 min = z(2; 2) = 2 +2 622= 8: Zadatak 14.8 Ispitati ekstreme funkcije

3 z=x 2 + 3xy 15x 12y:

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

@z

2 = 3x 2 + 3y 15

@x @z

= 6xy 12 @y = 6xy 12 @y

Iz druge jednaµcine imamo

2 6xy

12 = 0 =) xy = 2 =) y =

x pa uvrštavaju´ci u prvu jednaµcinu sistema, dobijamo

4 x 2 5x + 4 = 0: Uvode´ci smjenu t = x 2 ; dobijamo kvadratnu jednaµcinu

1 =1i t 2 = 4: Sada je

pa su stacionarne taµcke

M 4 (2; 1): Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

@x@y @ 2 z

C=

= 6x

@y 2 @y 2

2 2 = AC 2 B = 6x 6x 6y = 36x 36y : Za taµcku M 1 ( 1; 2) imamo

(M 1 ) = 36 144 = 108 < 0

pa ekstrem funkcije ne postoji. Za taµcku M 2 (1; 2) imamo

(M 1 ) = 36 144 = 108 < 0

pa ekstrem funkcije ne postoji. Za taµcku M 3 ( 2; 1) imamo

(M 3 ) = 144

pa ekstrem funkcije postoji a kako je

12 < 0 to funkcija ima maksimum u taµcki M 3 ( 2; 1) i on iznosi z max = z( 2; 1) = 8 6 + 30 + 12 = 28: Za taµcku M 4 (2; 1) imamo

pa ekstrem funkcije postoji a kako je

A (M 4 ) = 12 > 0 to funkcija ima minimum u taµcki M 4 (2; 1) i on iznosi

z min = z(2; 1) = 8 + 6 30 12 = 28: Zadatak 14.9 Ispitati ekstreme funkcije

4 4 2 z=x 2 +y x 2xy y :

Rješenje: Parcijalni izvodi prvog reda funkcije z su

@z

= 4x 3 2x 2y

@x

@z

= 4y 3 2y 2x

@y @y

y x=0 Oduzimanjem ovih jednaµcina, dobijamo

Vra´caju´ci se u prvu jednaµcinu, dobijamo 2x 3 x x=0

2x 3 2x = 0 x 3 x=0

x 3 = 1: Stacionarne taµcke su

Parcijalni izvodi drugog reda funkcije z su

2 2 = AC 2 B = 12x 2 12y 2 4: Za taµcku M 1 (0; 0) imamo

(M 1 )=4 4=0

pa su potrebna dodatna ispitivanja za ekstrem funkcije. Za taµcku M 2 ( 1; 1) imamo

(M 2 ) = 10 10

pa ekstrem funkcije postoji a kako je

A (M 2 ) = 10 > 0 A (M 2 ) = 10 > 0

4 4 2 z 2 min = ( 1) + ( 1)

2 ( 1) ( 1) ( 1) = 2: Za taµcku M 3 (1; 1) imamo

pa ekstrem funkcije postoji a kako je

A (M 2 ) = 10 > 0 to funkcija ima minimum u taµcki M 3 (1; 1) i on iznosi

1 211 1 = 2: Zadatak 14.10 Ispitati ekstreme funkcije

4 4 2 z 2 min =1 +1

2 z=x 2 +y

uz uslov 3x + 2y = 6: Rješenje:

Lagranµzeva funkcija je

2 F (x; y; ) = x 2 +y + (3x + 2y 6)

a parcijalni izvodi prvog reda funkcije F su

pa stacionarne taµcke i vrijednost dobijamo rješavanjem sistema jednaµcina

9 2x + 3 = 0 =

2y + 2 = 0 : 3x + 2y 6=0 ;

Odredimo stacionarne taµcke

2x + 3 = 0 =) x = 3

2y + 2 = 0 =) y = 2y + 2 = 0 =) y =

13 pa dobijamo da je

18 pa funkcija ima samo jednu stacionarnu taµcku M 12

1 13 ; 13 : Parcijalni izvodi drugog reda funkcije F su

@x@y @ 2 F

1 ) = AC B =4 0=4>0

pa funkcija ima ekstrem u toj taµcki, a kako je

A (M 1 )=2>0

18 to funkcija ima minimum u taµcki M 12

1 13 ; 13 i on iznosi

36 z min =x +y =

13 Zadatak 14.11 Ispitati ekstreme funkcije

z=6 4x 3y

uz uslov 2 x 2 +y = 1:

Rješenje: Lagranµzeva funkcija je

2 F (x; y; ) = 6 2 4x 3y + x +y 1

a parcijalni izvodi prvog reda funkcije F su

pa stacionarne taµcke i vrijednost dobijamo rješavanjem sistema jednaµcina

2 Iz prve jednaµcine imamo x = 3 ; a iz druge y =

2 : Uvrštavaju´ci u tre´cu jednaµcinu dobijamo

4 2 2 Sada je

pa su stacionarne taµcke

Parcijalni izvodi drugog reda funkcije F su

@x@y @ 2 F

4 3 Za taµcku M 5

1 5 ; 5 ; = 2 imamo

(M 1 ) = 25 > 0

4 pa funkcija ima ekstrem u taµcki M 3

1 5 ; 5 a kako je

A (M 1 )= 5<0

to funkcija ima maksimum u taµcki M

1 5 ; 3 5 i on iznosi

4 3 4 3 16 9 z max =z

Za taµcku M 4 ; 3 ; = 2 5 5 5 2 imamo (M 2 ) = 25 > 0

4 pa funkcija ima ekstrem u taµcki M 3

2 5 ; 5 a kako je

A (M 2 )=5>0

4 to funkcija ima minimum u taµcki M 3

2 5 ; 5 i on iznosi

5 5 5 5 5 5 Zadatak 14.12 Ispitati ekstreme funkcije

z = xy

uz uslov 2 x 2 +y = 8:

Rješenje: Lagranµzeva funkcija je

2 F (x; y; ) = xy + 2 x +y 8

a parcijalni izvodi prvog reda funkcije F su

@F =y+2x @x

@F =x+2y @y

@F

2 =x 2 +y 8

pa stacionarne taµcke i vrijednost dobijamo rješavanjem sistema jednaµcina

9 y+2x=0 =

x+2y=0

x 2 +y 2 8=0 ;

Odredimo stacionarne taµcke y + 2 x = 0 =) y =

pa uvrštavanjem u tre´cu jednaµcinu dobijamo

2 x 2 +y 8=0 2x 2 8=0 x 2 = 4 =) x = 2

pa su stacionarne taµcke

M 4 ( 2; 2): Parcijalni izvodi drugog reda funkcije F su

@x@y @ 2 F

C=

@y 2 @y 2

2 = AC 2 B =2 2 1=4 1: Ispitajmo ekstreme funkcije preko drugog totalnog diferencijala. Drugi to-

talni diferencijal funkcije z je

d z=

dy = 2 dx + 2dxdy + 2 dy : @x

Za taµcku M 1 (2; 2) ; = 1 2 imamo

2 2 2 2 2 2 d 2 z=d z = 2 dx +2dxdy+2 dy = dx +2dxdy dy = (dx dy) <0 pa funkcija ima maksimum u taµcki M 1 (2; 2) i on iznosi

z max = z(2; 2) = 2 2 = 4:

Za taµcku M

2 (2; 2) ; = 2 imamo

z=d 2 2 z = 2 dx 2 + 2dxdy + 2 dy 2 = dx 2 + 2dxdy + dy 2 = (dx + dy) >0

pa funkcija ima minimum u taµcki M 2 (2; 2) i on iznosi z min = z(2; 2) = 2 ( 2) = 4:

Za taµcku M 1

3 ( 2; 2); = 2 imamo