Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi
PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK
DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN
PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI
PENDI PRASETYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Pemodelan Stokastik
Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses
Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Pendi Prasetya
G54100083
ABSTRAK
PENDI PRASETYA. Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota
Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pertumbuhan penduduk dapat dihitung menggunakan angka kelahiran,
kematian, dan juga migrasi. Proses kelahiran dan kematian tersebut merupakan
proses Poisson. Pertumbuhan penduduk mengakibatkan penurunan pada lahan
tempat tinggal, dan lapangan pekerjaan. Oleh karena itu diperlukan model stokastik
untuk memperkirakan tingkat penduduk di kota Rembang, Jawa Tengah. Penelitian
ini bertujuan untuk menyusun model stokastik pertumbuhan penduduk melalui
proses kelahiran dan kematian serta migrasi sehingga dapat meramalkan jumlah
penduduk yang akan datang. Data tersebut diolah dengan menggunakan analisis
tren dan metode penggabungan. Dalam tugas akhir ini, hasil analisis menunjukkan
bahwa jumlah penduduk di Kota Rembang pada tahun 2013 sebesar 603784 jiwa.
Setahun kemudian penduduk kota ini diduga mencapai 610895 jiwa.
Kata kunci: analisis tren, metode penggabungan, model stokastik, pertumbuhan
penduduk, proses Poisson
ABSTRACT
PENDI PRASETYA. Stochastic Modeling of Population Growth in Rembang using
Birth, Death, and Migration Processes. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARMO.
The Population growth can be determined using birth and death rates and also
the factor of migration. Both birth and death proceses are considered within Poisson
process. An increase of population level would decrease the land residence, the
number of homes, and the job opportunities. Therefore, we need stochastic models
to estimate the population level in the Rembang city, Central Java province. This
study is to draw up a stochastic population growth model through birth, death and
migration process to predict the level of population. The data are processed using
the trend analysis and the merger methods. The result of stochastic modeling shows
that the level of population in the city of Rembang in 2013 are 603784, and in the
following year was 610895.
Keywords: trend analysis, stochastic model, population growth, Poisson process.
PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK
DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN
PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI
PENDI PRASETYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT berkat rahmat dan
karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian tugas akhir ini yang
berjudul “Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan
Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” dapat diselesaikan
dengan baik, sebagai salah satu syarat menjadi sarjana IPB.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ayah, Ibu dan keluarga yang selalu
memberikan kasih sayang, semangat dan dukungan untuk menyelesaikan tugas
akhir ini. Penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MSc, Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS sebagai
dosen pembimbing dan penguji yang senantiasa memberikan bimbingan, masukan,
pengetahuan, saran dan arahan kepada penulis. Terima kasih juga penulis
sampaikan kepada temen-temen Departemen Matematika Angkatan 47, temanteman Departemen Statistika Angkatan 48, teman-teman Himpunan Keluarga
Rembang di Bogor (HKRB) Angkatan 47, dan seseorang yang selalu mendukung
terlaksananya penelitian tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas
akhir ini. Semoga penelitian tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan
pembaca.
Bogor, Februari 2015
Pendi Prasetya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
2
Analisis Gerombol
3
Analisis Tren
4
Ukuran Kesalahan
6
METODE PENELITIAN
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
7
Analisis Gerombol
8
Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah
10
Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang
11
SIMPULAN
13
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
16
DAFTAR TABEL
1 Data kepadatan penduduk, Child Birth Ratio (CBR), dan Child Dead
Ratio (CDR) setiap kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001
2 Cluster Membership
3 Nilai parameter
4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk
5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran
6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian
7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi
8 Nilai ramalan parameter-parameter
9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari
10
10
12
12
13
13
14
14
14
DAFTAR GAMBAR
1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan
11
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
Data kelahiran, kematian, dan migrasi
Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun
Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan
Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan
Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan
Pembuktian kostanta pada analisis tren linear
Pembuktian kostanta pada analisis tren kudratik
Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial
16
16
21
23
25
26
27
29
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pertumbuhan penduduk adalah perubahan jumlah penduduk di suatu
wilayah pada waktu tertentu dibandingkan dengan waktu sebelumnya. Dalam
kehidupan nyata pertumbuhan penduduk suatu daerah tidak hanya ditentukan dari
faktor kelahiran dan kematian. Tetapi pertumbuhan penduduk juga dipengaruhi
adanya faktor migrasi. Migrasi adalah perpindahan penduduk dari daerah satu ke
daerah lain. Migrasi ada 2 macam bentuk yaitu migrasi masuk dan migrasi keluar.
Orang yang melakukan migrasi biasanya dipengaruhi beberapa faktor yaitu ingin
mencari pekerjaan, ingin melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih
tinggi, ingin mencari pengalaman di kota, dan ingin lebih banyak mendapatkan
hiburan dan sebagainya.
Menurut data dari Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Rembang jumlah
penduduk tahun 2008 (586587 jiwa), tahun 2009 (589819 jiwa) dan tahun 2010
(592514 jiwa) dengan luas wilayah 101408 ha. Dari data di atas bisa kita lihat
bahwa dari tahun ke tahun penduduk kota Rembang semakin bertambah. Dengan
bertambahnya penduduk dan ketersedian tempat tinggal yang terbatas,
mengakibatkan kepadatan penduduk wilayah tersebut akan semakin tinggi dan
jumlah lapangan pekerjaan semakin berkurang.
Proses kelahiran dan kematian tersebut dapat dimodelkan dengan model
pertumbuhan stokastik. Proses kelahiran sederhana pertama kali dipelajari oleh
Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi 1986). Kelemahan dari
teori Yuly-Furry adalah mereka tidak memperhitungkan peluang kematian dan
mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada pada setiap populasi.
Sehingga Feller pada tahun 1939 memperkenalkan suatu teori tentang proses
kelahiran dan kematian (Ricciardi 1986). Sejak saat itu, proses ini digunakan
sebagai model untuk pertumbuhan populasi, antrian, dan masih banyak lagi kasuskasus sebagai aplikasi dari proses ini. Hal ini bertumpu pada teori dari proses
stokastik yang mempresentasikan kasus penting dari proses Markov dengan ruang
state diskret ataupun kontinu. Deskripsikan terlebih dahulu tentang proses kelahiran
dan kematian, yang kemudian dijadikan dasar untuk pengembangan beberapa kasus
nyata yang lebih luas.
Ide penelitian ini diperoleh dari Rahmawati dan Bekti (2013). Metode yang
digunakan adalah memodelkan pertumbuhan penduduk, menduga pertumbuhan
penduduk dan meramalkan jumlah penduduk di waktu yang akan datang.
Perumusan Masalah
Jumlah penduduk dikota Rembang dari tahun ke tahun selalu mengalami
peningkatan. Peningkatan jumlah penduduk dapat mengakibatkan ketersediaan
tempat tinggal dan lapangan pekerjaan semakin sempit. Sehingga perlu membuat
model tentang pertumbuhan penduduk guna mengetahui pertumbuhan penduduk di
kota tersebut. Model yang dibuat mengunakan model stokastik dengan asumsiasumsi matematika. Kemudian data-data yang didapat diaplikasikan kedalam
model yang sudah dibuat.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1 Memodelkan pertumbuhan stokastik untuk proses kelahiran, kematian dan
migrasi.
2 Menduga pertumbuhan penduduk kota Rembang dan membandingkan nilai
dugaan pertumbuhan penduduk dengan pertumbuhan penduduk yang
sebenarnya.
3 Meramalkan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan informasi pembuatan
model stokastik pertumbuhan penduduk, karakteristik kota Rembang, dan jumlah
penduduk yang akan datang.
Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini antara lain:
1 Asumsi pembuatan model stokastik pertumbuhan penduduk dan analisis tren.
2 Menganalisis ada tidaknya gerombol.
3 Menghitung nilai dugaan pertumbuhan penduduk dan nilai ramalan jumlah
penduduk yang akan datang.
TINJAUAN PUSTAKA
Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
Misalkan X(t,t+h) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah individu
pada selang waktu (t,t+h) dengan asumsi-asumsi sebagai berikut (Rahmawati dan
Bekti 2013):
1 N(t,t+h) menyatakan banyaknya kelompok pada waktu (t,t+h), dan N(t,t+h)
merupakan proses Poisson dengan nilai harapan ( + µ + )h dimana adalah
rata-rata kelahiran, µ adalah rata-rata kematian, dan = 1 - 2 adalah rata-rata
migrasi (dengan migrasi masuk (1) dan migrasi keluar (2)).
2 Peubah acak
yang menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi pada
kelompok ke-i. Banyaknya peristiwa yang terjadi pada kelompok yang berbeda
adalah saling bebas dan berdistribusi peluang sama.
3 Parameter {n = ndan {µ n = nµ} adalah urutan bilangan positif yang
menyatakan tingkat kelahiran dan kematian dengan efek migrasi, dengan
keadaan awal adalah M(0) = i dan M(t) = E[X (t)]. Untuk menentukan nilai
M(t+h) digunakan nilai harapan dengan syarat X(t),sehingga diperoleh
persamaan (1):
3
� �+ℎ = [ �+ℎ ]
= [ [ � + ℎ | � ]].
(1)
Dengan demikian, dalam selang waktu (t,t+h) kemungkinan peristiwa yang
terjadi dalam proses kelahiran dan kematian kelompok dengan efek migrasi adalah
terjadi satu atau lebih kelahiran individu, atau terjadi satu atau lebih kematian
individu, atau terjadi satu atau lebih migrasi individu, dan atau tidak terjadi satu
atau lebih kelahiran atau kematian atau migrasi individu. Setiap kejadian terhadap
anggota populasi mempunyai peluang sebagai berikut:
1 Peluang untuk lahirnya satu individu atau lebih,
[ ] � ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
2
3
4
∑=
�
∑=
�
∑=
�
Peluang untuk matinya satu individu atau lebih,
[ ] � ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
Peluang untuk migrasinya satu individu atau lebih,
[ ]�ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
Peluang untuk tidak ada kelahiran, kematian ,dan migrasi.
[ ][ �
+ + �]ℎ + ℎ dengan ℎ →
− ��
∑=
.
�
Sehingga jika X(t) diketahui, maka jumlah individu pada saat t+h adalah:
�
� +∑
=
�+ℎ =
�
� −∑
=
{
, dengan peluang
∑ =�
, dengan peluang
� , dengan peluang
−
∑ =�
∑ =�
[ ][
[ ][
�
[ ][
�
+
+ �]ℎ +
�
]ℎ +
+ �]ℎ +
ℎ
ℎ
ℎ .
Analisis Gerombol
Pengertian Analisis Gerombol
Analisis gerombol merupakan salah satu teknik multivariat metode
interdependensi (saling ketergantungan). Oleh karena itu, dalam analisis gerombol
tidak ada pembedaan antara variabel bebas (independent variable) dan variabel
terikat (dependent variable). Analisis gerombol digunakan untuk mengelompokkan
data observasi yang hanya berdasarkan pada informasi yang ditemukan dalam data,
di mana data tersebut harus menggambarkan observasi dan hubungannya. Oleh
karena itu, tujuan dari analisis ini adalah observasi dalam satu kelompok mirip satu
sama lain dan berbeda dari observasi dalam kelompok lain. Semakin besar
kemiripan (homogenitas) dalam kelompok dan semakin besar perbedaan
(heterogenitas) antar kelompok maka penggerombolan akan lebih baik atau lebih
berbeda (Tan et al. 2006).
4
Metode Pengelompokan
Dalam analisis gerombol, terdapat banyak metode untuk mengelompokkan
observasi ke dalam gerombol. Secara umum metode pengelompokkan dalam
analisis gerombol dibedakan menjadi metode hirarki (Hierarchical Clustering
Method) dan metode non hirarki (Nonhierarchical Clustering Method). Metode
hirarki digunakan apabila belum ada informasi jumlah gerombol yang dipilih.
Sedangkan metode non hirarki bertujuan untuk mengelompokan n objek ke dalam
k gerombol (k < n), di mana nilai k telah ditentukan sebelumnya.
Metode analisis gerombol membutuhkan suatu ukuran ketakmiripan (jarak)
yang didefinisikan untuk setiap pasang objek yang akan dikelompokkan. Jarak yang
biasa digunakan dalam analisis penggerombolan diantaranya (Johnson dan Wichern
2007) adalah:
Jarak Euclid
Jarak Euclid adalah jarak yang paling umum dan paling sering digunakan
dalam analisis gerombol. Jarak Euclid antara dua titik dapat terdefinisikan dengan
jelas. Jarak digunakan adalah peubah kontinu.
Jarak Euclid antara gerombol ke-i dan ke-j dari p peubah didefinisikan:
, = [∑�= �̅� − �̅� ] ,
dengan:
, = jarak antara objek i ke objek j
�̅�
= nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-j
�̅�
= nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-i
p
= banyaknya peubah yang diamati.
Metode Hirarki
Pada dasarnya metode ini dibedakan menjadi dua metode pengelompokan,
yaitu metode penggabungan dan metode pemecahan (Everrit et al. 2011). Pada
penelitian ini digunakan metode penggabungan untuk menganalisis gerombol.
Metode Penggabungan
Proses pengelompokan dengan pendekatan metode penggabungan (Down to
Top) dimulai dengan n gerombol sehingga masing-masing gerombol memiliki tepat
satu objek, kemudian tentukan dua gerombol terdekat dan gabungkan gerombol
tersebut menjadi satu gerombol baru. Proses penggabungan dua gerombol diulangi
sampai diperoleh satu gerombol yang memuat semua himpunan data. Perlu
diperhatikan bahwa setiap penggabungan dalam metode ini selalu diikuti dengan
perbaikan matriks jarak. Hasil analisis gerombol dari metode ini dapat disajikan dalam
bentuk dendogram.
Analisis Tren
Analisis tren merupakan suatu metode analisis statistika yang digunakan
untuk melakukan suatu estimasi atau peramalan pada masa yang akan datang.
Untuk melakukan peramalan dengan baik maka dibutuhkan berbagai macam
informasi (data) yang cukup banyak dan diamati dalam periode waktu yang relatif
cukup panjang, sehingga hasil analisis tersebut dapat mengetahui sampai berapa
besar fluktuasi yang terjadi dan faktor-faktor apa saja yang memengaruhi terhadap
5
perubahan tersebut. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren
kuadratik, dan tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012).
Tren Linear
Tren linear adalah kecenderungan data dimana perubahannya berdasarkan
waktu adalah tetap (konstan). Model persamaan tren linier yaitu (Draper dan Smith
1992):
Yt = a+bt.
Keterangan:
Yt
= data time series pada periode t
t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
a, b
= konstanta.
Nilai a dan b diperoleh dari:
=
∑�= � � − ∑�= � ∑�= �
∑�= � − ∑�= �
dan
=
∑�=
�
−
∑�= �
Untuk pembuktian kostanta a dan b dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai t untuk
waktu awal diberi nilai 1, waktu berikutnya diberi nilai 2, dan seterusnya waktu
terakhir diberi nilai n (n banyaknya data).
Catatan : berlaku juga untuk jenis tren lainnya
Tren Kuadratik
Tren kuadratik adalah kecenderungan data yang kurvanya berpola
lengkungan. Secara matematik, tren kuadratik merupakan hubungan antara peubah
takbebas dengan t dan t2. Model persamaan tren kuadratik yaitu (Draper dan Smith
1992):
� =� +� �+� � .
Keterangan:
Yt
= data time series pada periode t
t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
� ,� ,�
= konstanta.
Untuk pembuktian kostanta � , � , dan β terdapat pada Lampiran 7.
Tren Eksponensial
Tren eksponensial adalah kecenderungan perubahan data semakin lama
semakin bertambah secara eksponensial. Terdapat dua model untuk tren
eksponensial yaitu:
Untuk peubah diskret:
+ � �.
� =� +
Untuk peubah kontinu:
� �
.
� =�
6
Keterangan:
Yt
t
� ,�
= data time series pada periode t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
= konstanta.
Untuk pembuktian kostanta � dan � terdapat pada Lampiran 8. Pemilihan
model analisis tren untuk mendapatkan nilai peramalan terbaik didasarkan pada
nilai Standard Error of the Estimate (SEE) yang paling kecil.
Ukuran Kesalahan
Ukuran akurasi hasil peramalan yang merupakan ukuran kesalahan peramalan
merupakan ukuran tentang tingkat perbedaan antara hasil peramalan dengan nilai
yang sebenarnya. Ada 4 ukuran yang biasa digunakan yaitu rata-rata deviasi mutlak
(Mean Absolute Deviasion = MAD), rata-rata kuadrat kesalahan (Mean Square
Error = MSE), rata-rata kesalahan peramalan (Mean Forecast Error = MSF), dan
rata-rata persentase kesalahan absolute (Mean Absolute Persentage Error = MAPE)
(Makridakis et al. 1999). Pada penelitian ini ukuran kesalahan yang digunakan
adalah MAPE (Mean Absolute Percentage Error), adapun persamaannya, yaitu:
|� |
��� = ∑ =
,
dengan
�−
.
� =
Keterangan:
= data aktual pada periode ke-i
= nilai ramalan pada periode ke-i
n
= banyaknya periode waktu.
�
METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini digunakan data sekunder yang diambil dari Badan Pusat
Statistik (BPS) Kota Rembang. Data yang digunakan adalah data penduduk kota
Rembang sejak tahun 2001 sampai 2011. Pembangunan model pertumbuhan
stokastik kelahiran dan kematian dengan migrasi menggunakan asumsi-asumsi
model pertumbuhan stokastik. Kemudian dilakukan analisis gerombol untuk
mengetahui karakteristik Kota Rembang. Analisis data dilakukan menggunakan
model yang sudah dibuat untuk memperoleh nilai dugaan pertumbuhan penduduk
dan memprediksi jumlah penduduk yang akan datang.
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
Dengan mengunakan asumsi-asumsi yang dibuat dan persamaan (1) sehingga
diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan
kematian dengan migrasi:
�
[� ] − �
.
[ [� ] − � − ] +
� � =
−
Bukti,
[
�+ℎ |
�
� ]= [
� +∑
][
[
� −∑
][
=
=
� [ −
=
�
∑=
�
[ ][
�
∑=
�
�
∑ =�
� −
[ ][
�
∑ =�
= [ ][ � −
Sehingga,
� �+ℎ =
=
=
� �+ℎ =
� �+ℎ −� � =
�+ℎ − �
=
ℎ
[
[
[
[
[
[
Dengan mengambil ℎ →
Jadi,
[ �+ℎ
[ ][ �
[ ][ �
][� �
][� �
][� �
|
∑ =�
∑ =�
[ ][
�
[ ][
�
+ �]ℎ] +
[ ][
�
]ℎ]
�
+
+ �]ℎ + [ ][
�
]ℎ − [ ][
�
�
+ �]ℎ +
� +
[ ][
�
+
+ �]ℎ] +
�
ℎ
+ �]ℎ +
]ℎ +
+ �]ℎ +
ℎ .
ℎ
� ]]
− � + �]ℎ + � + ℎ ]
− + �]ℎ + � + ℎ
− + �]ℎ + � � + ℎ
− + �]ℎ + ℎ
ℎ
− + �] +
.
ℎ
ℎ
maka lim
= .
ℎ→
ℎ
� �+ℎ −� �
− + �]
= [ ][� �
ℎ→
ℎ
− + [ ]�.
= [ ][� �
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
�′ � = [ ]� �
− + [ ]�.
(2)
Penyelesaian persamaan (2) dengan menggunakan persamaan diferensial biasa
(Farlow 1994).
lim
8
− + [ ]�.
Misalkan ℎ � = [ ]� �
′
′
Maka ℎ � = [ ]� �
− .
Jadi persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut:
ℎ′ � = [
ℎ′ �
⇔
[ ] −
ℎ′ �
⇔
[ ] −
ℎ′ �
⇔ ∫
�=∫
ℎ �
]�′ �
−
= �′ �
=ℎ �
[ ]
(3)
−
�
⇔ log[ℎ � ] = [ ] − � + �
ℎ � = [� ] − �+�
= � [� ] − � .
Dari persamaan (3),
− + [ ]�
ℎ � = [ ]� �
[� ] − �
�
− + [ ]�.
(4)
= [ ]� �
Dengan nilai awal M(0) = i, dimana t = 0 sehingga diperoleh:
− + [ ]�
�= [ ]
− + �].
= [ ][
Kemudian substitusikan nilai K ke dalam persamaan (4):
[ ]� �
− + [ ]� = � [� ] − �
− + �] [� ] − �
− + [ ]� = [ ][
⇔ [ ]� �
− + �] [� ] − � − [ ]�
− = [ ][
⇔ [ ]� �
[� ] − �
[ ][
− [ ]�
− + �]
� � =
[ ] −
�
�
=[ +
] [� ] − � −
−
−
�
�
[� ] − �
[� ] − �
+
−
=
−
−
�
[� ] − �
.
� � =
[ [� ] − � − ] +
−
Jadi diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan
kematian dengan migrasi adalah
�
[� ] − �
� � =
.
[ [� ] − � − ] +
−
Analisis Gerombol
Pada penelitian ini dilakukan penggerombolan dengan menggunakan metode
penggabungan. Data yang digunakan adalah Child Birth Ratio (CBR) dan Child
Dead Ratio (CDR) setiap kecamatan dapat dilihat pada Tabel 1. Hasil dari
penggerombolan dapat dilihat pada Tabel 2 dan Gambar 1.
9
Tabel 1 Data Child Birth Ratio (CBR) dan Child Dead Ratio (CDR) setiap
kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001
No
Kecamatan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
17.08
17.1
16
16.47
19.71
16.83
18.42
12.46
15.85
18.61
18.54
17.99
17.11
15.71
7.3
7.25
6.91
6.69
7.06
6.7
6.1
5.03
6.32
6.37
7.81
6.25
6.3
5.96
Tabel 2 Cluster Membership
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Case Membership
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
2 Clusters
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
10
Gambar 1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan
Berdasarkan hasil pada Tabel 2 dan Gambar 1 Hasil dendogram dengan
metode penggabungan diperoleh bahwa jika jaraknya ditentukan sebesar 25 maka
setiap kecamatan di kota Rembang pada tahun 2001 dapat digerombolkan menjadi
satu gerombol. Sehingga dapat diasumsikan setiap kecamatan kota Rembang adalah
homogen.
Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah
Perhitungan nilai dugaan pertumbuhan penduduk per hari di kota Rembang
menggunakan model yang sudah dibuat yaitu persamaan (6). Dengan nilai
parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 3. Setelah memperoleh nilai
dugaan pertumbuhan penduduk kemudian menghitung nilai kesalahan nilai dugaan
dengan menggunakan MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
11
Tabel 3 Nilai parameter
Tahun
Rata-rata kelahiran
untuk setiap kecamatan
per hari ( )
2001
2002
2003
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
1.8673
1.7273
1.8794
1.6871
1.7068
1.6696
1.6896
1.6845
1.7434
1.7639
Rata-rata kematian
untuk setiap
kecamataan per hari
( )
0.7172
0.6166
0.5966
0.5806
0.6035
0.6191
0.6078
0.6322
0.5254
0.5614
Rata-rata migrasi
untuk setiap
kecamatan per hari
(�)
-0.4587
-0.3587
-0.5735
-0.4421
-0.5101
-0.3943
-0.4493
-0.5248
-0.1017
-0.1150
Tabel 4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk
Tahun
Pertumbuhan penduduk
per hari
2001
2002
2003
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
9.6795
9.8986
9.9315
9.3013
8.3178
9.1863
8.8547
7.3835
15.6273
15.2246
MAPE
Nilai dugaan
pertumbuhan
penduduk per hari
10.5000
8.7854
11.7357
8.9995
9.3342
8.4554
8.9143
8.9704
7.1117
7.3209
Error
8.4766%
11.2460%
18.1664%
3.2447%
12.2195%
7.9564%
0.6730%
21.4925%
54.4918%
51.9140%
18.9880%
Berdasarkan hasil pada Tabel 4 bisa dilihat bahwa nilai dugaan pertumbuhan
populasi per hari pada tahun 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010,
dan 2011 dengan nilai > , < , dan � < dapat dikatakan cukup mendekati
dengan nilai pertumbuhan penduduk sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar
18.988 %.
Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang
Untuk peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang
diperlukan data masa lalu. Data masa lalu yang diukur secara periodik akan
membentuk suatu deret waktu data (time series). Rangkai waktu merupakan suatu
pengamatan terhadap variabel tunggal yang diukur secara teratur selama periode
tertentu. Perhitungan nilai ramalan jumlah penduduk kota Rembang menggunakan
12
analisis tren. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren kuadratik, dan
tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012).
Perhitungan peramalan pertumbuhan penduduk kota Rembang dengan
menggunakan nilai ramalan parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 2.
Hasil analisis tren rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat
dilihat pada Lampiran 3. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap
model dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran
Tren
Linear
Kuadratik
Eksponensial
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.027
0.018
0.016
Berdasarkan Tabel 5 model tren eksponensial memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.016 dibandingkan dengan model tren linear dan kuadratik. Jadi model
eksponensial adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata
kelahiran per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 3 dapat dilihat nilai koefisien
� =1.662 dan � =0.007 sehingga dapat dirumuskan tren ekponensial menjadi:
. 7�
.
� = .
Hasil analisis tren rata-rata kematian per hari setiap kecamatan kota Rembang
dapat dilihat pada Lampiran 4. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari
setiap model dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian
Tren
Linear
Kuadratik
Eksponensial
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.037
0.032
0.063
Berdasarkan Tabel 6 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.032 dibandingkan dengan model tren linear dan eksponensial. Jadi
model kuadratik adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata
kematian per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 4 dapat dilihat nilai koefisien
� = 0.551, � = 0.038, dan � = -0.006 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik
menjadi:
+ .
� − .
� .
� = .
Hasil analisis tren rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat
dilihat pada Lampiran 5. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap
model dapat dilihat pada Tabel 7.
13
Tabel 7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.136
0.118
Tren
Linear
Kuadratik
Berdasarkan Tabel 7 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.118 dibandingkan dengan model tren linear. Jadi model kuadratik
adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata kematian per hari
setiap kecamatan. Pada Lampiran 5 dapat dilihat nilai koefisien � = -0.348, � =
-0.109, dan � = 0.021 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik menjadi:
�� = − .
+ − .
� − .
� .
Hasil peramalan parameter-parameter dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8 Nilai ramalan parameter-parameter
tahun
Rata-rata kelahiran
untuk setiap kecamatan
per hari ( )
2012
2013
1.7577
1.7701
Rata-rata kematian
untuk setiap
kecamataan per hari
( )
0.471
0.407
Rata-rata migrasi
untuk setiap
kecamatan per hari
(�)
0.124
0.372
Hasil peramalan pendugaan pertumbuhan penduduk yang akan datang dapat dilihat
pada Tabel 9.
Tabel 9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari
Tahun
2012
2013
Nilai ramalan pertumbuhan populasi per hari
9.0817
10.4241
Sehingga jumlah penduduk pada tahun 2013 dan 2014 yang belum diketahui
jumlahnya adalah sebesar 603784 jiwa dan 610895 jiwa.
SIMPULAN
Pembangunan model stokastik proses kelahiran dan kematian dengan migrasi
dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat proses Poisson dan beberapa
manipulasi matematika. Dengan menggunakan nilai awal yang dipilih, model yang
dibuat dapat memberikan pendugaan yang sangat baik bagi pertumbuhan penduduk
dengan nilai > , < , dan � < di setiap kecamatan per hari. Nilai
pendugaan pertumbuhan penduduk dari model yang dibuat pada tahun pada tahun
2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2008, 2009, 2010 dan 2011 cukup mendekati dengan
14
nilai pertumbuhan penduduk yang sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar
18.988 %. Peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang dapat
dihitung dengan nilai peramalan pertumbuhan penduduk yang akan datang. Nilai
peramalan pertumbuhan penduduk per hari tahun 2012 dan 2013 sebesar 9.0817
dan 10.4241. Sehingga nilai peramalan jumlah penduduk yang belum diketahui
jumlah penduduknya pada tahun 2013 dan 2014 sebesar 603784 jiwa dan 610895
jiwa.
DAFTAR PUSTAKA
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Edisi Ke-2. Jakarta (ID): PT
Gramedia.
Everrit BS, Landau S, Leese M, Stahl D. 2011. Cluster Analysis. Edisi Ke-5.
London: King’s College.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications.
Singapore: McGraw-Hill.
Johnson RA, Wichern DW. 2007. Aplied Multivariate Statistical Analysis. Ed Ke6. Amerika (US): Pearson Prentice Hall.
Juanda B, Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu. Bogor: IPB Press.
Makridakis S, Wheelwright S.C, McGee V.E. 1999. Metode dan Aplikasi
Peramalan, Jilid Satu. Ed Ke-2. Jakarta (ID): Binarupa Aksara.
Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes
Mathematical Ecology an Introduction. 17:155-190.
Rachmawati RN, Bekti RD. 2013. Stochastic Growth Model for Spatial Cluster
Birth and Death Process with Migration. Journal of Mathematics and Statistics.
9(2):112-118.doi:10.3844/jmssp.2013.112.118.
Tan P, Steinbach M, Kumar V. 2006. Introduction to Data Mining. Boston: Pearson
Addison Wesley.
15
LAMPIRAN
Lampiran 1 Data kelahiran, kematian, dan migrasi
Tahun
Kelahiran
Kematian
2001
9542
3665
2002
8827
3381
2003
9605
3049
2005
8621
2967
2006
8722
3084
2007
8634
3106
2008
8532
3164
2009
8608
3231
2010
8909
2685
2011
9014
2869
Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.
Migrasi
-2344
-1833
-2931
-2259
-2607
-2296
-2015
2682
-520
-588
Lampiran 2 Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun
Tahun 2002
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
4.51
5.15
5.05
6
7.31
6.8
6.41
4.37
5.03
6.36
7.28
6.76
6.1
5.98
2.39
2.3
2.24
2.16
2.59
2.44
2.4
1.97
2.11
2.24
3.04
2.38
2.19
2.11
16
Tahun 2003
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
13.05
14.85
13.66
15.78
16.83
19.11
17.74
12.45
14.67
17.07
17.27
17.3
15.37
17.08
5.3
5.26
6.21
5.29
5.49
5.73
5.57
4.85
5.05
4.92
5.73
5.11
5.19
5.05
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
12.83
14.62
12.98
15.81
14.11
14.3
16.74
12.22
14.97
15.31
16.25
15.25
14.17
14.11
5.09
5.02
4.97
5.12
5.19
5.13
5.52
5.07
5.11
4.61
5.31
5.02
5.1
4.75
Tahun 2005
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
17
Tahun 2006
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
14.59
13.4
14.38
14.39
15.2
15.74
15.54
13.15
14.4
14.97
15.7
14.45
15.32
13.6
5.38
5.36
5.14
5.31
5.24
5.33
5.05
5.13
5.3
4.65
5.31
5.24
5.91
5.24
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
12.64
13.99
12.51
12.33
14.32
14.78
14.49
11.55
14.7
14.99
15.64
15.96
14.16
14.89
5.21
5.15
5.05
5.02
5.26
5.27
5.07
4.88
5.13
4.98
5.3
5.21
5.22
5.2
Tahun 2008
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
18
Tahun 2009
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
13.63
12.63
12.46
12.57
14.21
14.18
14.87
11.83
15.37
14.73
15.22
14.95
14.52
14.13
5.39
5.12
5.02
5.05
5.14
5.11
5.44
5.21
5.27
5.13
5.73
5.19
6
5.77
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
15,57
12,75
12,75
13,33
14,27
14,87
17,06
12,59
13,9
15,69
17,62
17,01
16,6
14,67
5,24
4,33
4,44
5,03
4,13
4,28
4,39
4,81
4,06
4,79
5,08
4,02
4,39
4,92
Tahun 2010
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
19
Tahun 2011
No
Kecamatan
Child Birth Ratio (CBR)
1 Sumber
15.46
2 Bulu
12.94
3 Gunem
13.22
4 Sale
12.85
5 Sarang
14.61
6 Sedan
14.75
7 Pamotan
17.05
8 Sulang
13.48
9 Kaliori
15.26
10 Rembang
16.31
11 Pancur
17.11
12 Kragan
16.08
13 Sluke
14.71
14 Lasem
15.1
Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.
Child Death Ratio (CDR)
5.4
4.78
4.99
5.77
4.1
4.14
4.42
5.86
4.61
4.94
5.4
3.86
4.49
5.83
20
Lampiran 3 Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan
Linear
R
0.711
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.407
0.027
R Square
0.506
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.004
0.004
0.007
ANOVA
df
Mean Square
1
0.004
5
0.001
6
F
5.116
Significance
0.073
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
(Constant)
B
0.011
1.661
Standard Error
0.005
0.022
Beta
0.711
t
Significance
2.262
0.073
73.847
0.000
Quadratic
R
0.905
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.729
0.018
R Square
0.819
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.006
0.001
0.007
ANOVA
df
Mean Square
2
0.003
4
0.000
6
F
9.059
Significance
0.033
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
Standard Error
-0.030
0.016
0.005
0.002
1.723
0.028
Beta
-1.875
2.646
t
Significance
-1.866
0.136
2.633
0.058
61.431
0.000
21
Exponential
R
0.709
R Square
0.503
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.403
0.016
ANOVA
Sum of Squares
df Mean Square
0.001
1
0.001
0.001
5
0.000
0.002
6
F
5.055
Significance
0.074
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Significance
Case Sequence 0.007
0.003
0.709
2.248
0.074
(Constant)
1.662
0.022
76.146
0.000
The dependent variable is ln(rata_kelahiran).
22
Lampiran 4 Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan
Linear
R
R Square
0.419
0.175
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.010
0.037
Sum of Squares
0.001
0.007
0.008
ANOVA
df
Mean Square
1
0.001
5
0.001
6
F
1.063
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Case Sequence -0.007
0.007
-0.419
-10.031
(Constant)
0.619
0.031
19.897
Significance
0.350
Significance
0.350
0.000
Quadratic
R
R Square
0.709
0.503
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.254
0.032
Sum of Squares
0.004
0.004
0.008
ANOVA
df Mean Square
2
0.002
4
0.001
6
F
2.022
Significance
0.247
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
Standard Error
0.038
0.029
-0.006
0.003
0.551
0.050
Beta
2.224
-2.704
t
Significance
1.335
0.253
-1.623
0.180
11.066
0.000
23
Exponential
R
0.430
R Square
0.185
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.022
0.063
Sum of Squares
0.005
0.020
0.025
ANOVA
df
Mean Square
1
0.005
5
0.004
6
F
1.134
Significance
0.336
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Significance
Case Sequence -0.013
0.012
-0.430
-1.065
0.336
(Constant)
0.620
0.033
18.669
0.000
The dependent variable is ln(rata_kematian).
24
Lampiran 5 Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan
Linear
R
0.719
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.420
0.136
R Square
0.517
Sum of Squares
0.099
0.093
0.192
Regression
Residual
Total
ANOVA
df
Mean Square
1
0.099
5
0.019
6
F
5.342
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Case Sequence 0.060
0.026
0.719
2.311
(Constant)
-0.601
0.115
-5.213
Significance
0.069
Significance
0.069
0.003
Quadratic
R
0.843
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.565
0.118
R Square
0.710
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.137
0.056
0.192
ANOVA
df
Mean Square
2
0.068
4
0.014
6
F
4.903
Significance
0.084
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
-0.109
0.021
Standard Error
0.105
0.013
-0.348
0.184
Beta
-1.314
2.080
t
Significance
-1.033
0.360
1.636
0.177
-1.892
0.131
25
Lampiran 6 Pembuktian kostanta pada analisis tren linier
Rumus:
�
Bukti,
=
+
�=∑
�=
�
+
�
=∑
�
�
�=
−
−
�
(6)
Untuk mendapatkan nilai a dan b dengan cara mendiferensialkan persamaan (6)
terhadap a dan b dan kemudian menyamakan hasil pendiferensialkan itu dengan nol.
��
=− ∑
�
⇔
∑
�
−
⇔
∑
�
=
�=
�=
�=
�
−
− ∑
+
�=
∑
�=
−
�
�
=
=
�
(7)
26
��
=− ∑
�
�=
�
�
−
−
⇔
∑
� �
− ∑
�
− ∑
�
⇔
∑
� �
=
�
+ ∑
�
�=
�=
�=
∑
�=
=
�
�=
�=
=
(8)
Kemudian dari pesamaan (7) dan persamaan (8) dilakukan subtitusi sehingga
diperoleh kostanta a dan b sebagai berikut:
=
=
− ∑�= � ∑�=
− ∑�= �
�
∑�= �
∑�=
∑�=
�
�
�
∑�=
+
�
Lampiran 7 Pembuktian kostanta pada analisis tren kuadratik
Rumus:
�
Bukti,
=
+
�
�=∑
+
=
�
�=
�
�
+
−
−
�
�
−
�
(9)
Untuk mendapatkan nilai a, b, dan c yaitu dengan cara mendiferensialkan
persamaan (9) terhadap a, b, dan c kemudian hasil pendiferensialkan itu dengan nol.
⇔
⇔
��
=− ∑
�
∑
�=
�
+
�=
+ ∑
�=
�
−
−
�
�
− ∑
− ∑
�=
�
+ ∑
�=
−
�=
�
=
�
�
=∑
�=
=
�
(10)
27
��
=− ∑
�
⇔
∑
�=
� �
− ∑
�
�
− ∑
�
∑
⇔
�=
�=
�=
��
=− ∑
�
⇔
∑
�=
⇔
∑
�=
�
�
−
�
− ∑
�
�=
+ ∑
�
�
�=
�
−
�
�
�=
−
�=
−
=
�
+ ∑
�=
=∑
�
−
−
�
=
�
=
�
− ∑
�
− ∑
�
− ∑
+ ∑
�
+ ∑
�
=∑
�=
�=
�=
�=
(11)
� �
�=
�=
�
�
�=
=
�
(12)
dari persamaan (10), persamaan (11), dan persamaan (12) dapat memeperoleh nilai
kostanta a, b, dan c dengan menggunakan matrik sebagai berikut:
∑
∑
�=
∑
( �=
�
�
�=
�
∑
�
�=
∑
�
∑
�
∑
�
∑
�
�=
�=
�=
�=
∑
=
�=
∑
�=
∑
(�=
)
�
� �
�
Lampiran 8 Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial
�
)
Rumus:
�
=
���
(13)
Untuk memperoleh nilai kostanta a dan b dapat dilakukan dengan cara
mentransformasi persamaan (13) menjadi linier bukti sebagai berikut:
⇔
ln
��
= ln ������
=
⇔
ln
�
= ln +
⇔
ln
�
= ln + ln
�
���
(14)
28
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Rembang pada 15 April 1992 sebagai anak pertama dari tiga
bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sih Minarni. Penulis menyelesaikan sekolah
menengah atas di SMA Negeri 2 Rembang pada tahun 2010, kemudiaan
melanjutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalaui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama masa kuliah, penulis aktif mengikuti kegiatan kampus di luar
kegiaatan akademik. Penulis pernah megikuti organisasi sebagai Staf
kewirausahaan GUMATIKA IPB 2012-2013. Kepanitian yang pernah diikuti divisi
logstran IMC GUMATIKA IPB 2012-2013. Penulis juga aktif dalam Organisasi
Mahasiswa daerah Rembang di Bogor (HKRB) selama di IPB.
DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN
PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI
PENDI PRASETYA
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA*
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul “Pemodelan Stokastik
Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan Mempertimbangkan Proses
Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” adalah benar karya saya dengan arahan dari
komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan
tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang
diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks
dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Februari 2015
Pendi Prasetya
G54100083
ABSTRAK
PENDI PRASETYA. Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota
Rembang dengan Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi.
Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan HADI SUMARNO.
Pertumbuhan penduduk dapat dihitung menggunakan angka kelahiran,
kematian, dan juga migrasi. Proses kelahiran dan kematian tersebut merupakan
proses Poisson. Pertumbuhan penduduk mengakibatkan penurunan pada lahan
tempat tinggal, dan lapangan pekerjaan. Oleh karena itu diperlukan model stokastik
untuk memperkirakan tingkat penduduk di kota Rembang, Jawa Tengah. Penelitian
ini bertujuan untuk menyusun model stokastik pertumbuhan penduduk melalui
proses kelahiran dan kematian serta migrasi sehingga dapat meramalkan jumlah
penduduk yang akan datang. Data tersebut diolah dengan menggunakan analisis
tren dan metode penggabungan. Dalam tugas akhir ini, hasil analisis menunjukkan
bahwa jumlah penduduk di Kota Rembang pada tahun 2013 sebesar 603784 jiwa.
Setahun kemudian penduduk kota ini diduga mencapai 610895 jiwa.
Kata kunci: analisis tren, metode penggabungan, model stokastik, pertumbuhan
penduduk, proses Poisson
ABSTRACT
PENDI PRASETYA. Stochastic Modeling of Population Growth in Rembang using
Birth, Death, and Migration Processes. Supervised by I WAYAN MANGKU and
HADI SUMARMO.
The Population growth can be determined using birth and death rates and also
the factor of migration. Both birth and death proceses are considered within Poisson
process. An increase of population level would decrease the land residence, the
number of homes, and the job opportunities. Therefore, we need stochastic models
to estimate the population level in the Rembang city, Central Java province. This
study is to draw up a stochastic population growth model through birth, death and
migration process to predict the level of population. The data are processed using
the trend analysis and the merger methods. The result of stochastic modeling shows
that the level of population in the city of Rembang in 2013 are 603784, and in the
following year was 610895.
Keywords: trend analysis, stochastic model, population growth, Poisson process.
PEMODELAN STOKASTIK PERTUMBUHAN PENDUDUK
DI KOTA REMBANG DENGAN MEMPERTIMBANGKAN
PROSES KELAHIRAN, KEMATIAN, DAN MIGRASI
PENDI PRASETYA
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Matematika
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2015
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT berkat rahmat dan
karunia-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan penelitian tugas akhir ini yang
berjudul “Pemodelan Stokastik Pertumbuhan Penduduk di Kota Rembang dengan
Mempertimbangkan Proses Kelahiran, Kematian, dan Migrasi” dapat diselesaikan
dengan baik, sebagai salah satu syarat menjadi sarjana IPB.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ayah, Ibu dan keluarga yang selalu
memberikan kasih sayang, semangat dan dukungan untuk menyelesaikan tugas
akhir ini. Penulis ucapkan terima kasih kepada Bapak Prof Dr Ir I Wayan Mangku,
MSc, Bapak Dr Ir Hadi Sumarno, MS, dan Ibu Dr Ir Endar H Nugrahani, MS sebagai
dosen pembimbing dan penguji yang senantiasa memberikan bimbingan, masukan,
pengetahuan, saran dan arahan kepada penulis. Terima kasih juga penulis
sampaikan kepada temen-temen Departemen Matematika Angkatan 47, temanteman Departemen Statistika Angkatan 48, teman-teman Himpunan Keluarga
Rembang di Bogor (HKRB) Angkatan 47, dan seseorang yang selalu mendukung
terlaksananya penelitian tugas akhir ini.
Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penulisan tugas
akhir ini. Semoga penelitian tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi penulis dan
pembaca.
Bogor, Februari 2015
Pendi Prasetya
DAFTAR ISI
DAFTAR TABEL
vi
DAFTAR GAMBAR
vi
DAFTAR LAMPIRAN
vi
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Perumusan Masalah
1
Tujuan Penelitian
2
Manfaat Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
2
Analisis Gerombol
3
Analisis Tren
4
Ukuran Kesalahan
6
METODE PENELITIAN
6
HASIL DAN PEMBAHASAN
7
Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
7
Analisis Gerombol
8
Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah
10
Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang
11
SIMPULAN
13
DAFTAR PUSTAKA
14
LAMPIRAN
15
LAMPIRAN
13
RIWAYAT HIDUP
16
DAFTAR TABEL
1 Data kepadatan penduduk, Child Birth Ratio (CBR), dan Child Dead
Ratio (CDR) setiap kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001
2 Cluster Membership
3 Nilai parameter
4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk
5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran
6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian
7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi
8 Nilai ramalan parameter-parameter
9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari
10
10
12
12
13
13
14
14
14
DAFTAR GAMBAR
1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan
11
DAFTAR LAMPIRAN
1
2
3
4
5
6
7
8
Data kelahiran, kematian, dan migrasi
Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun
Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan
Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan
Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan
Pembuktian kostanta pada analisis tren linear
Pembuktian kostanta pada analisis tren kudratik
Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial
16
16
21
23
25
26
27
29
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Pertumbuhan penduduk adalah perubahan jumlah penduduk di suatu
wilayah pada waktu tertentu dibandingkan dengan waktu sebelumnya. Dalam
kehidupan nyata pertumbuhan penduduk suatu daerah tidak hanya ditentukan dari
faktor kelahiran dan kematian. Tetapi pertumbuhan penduduk juga dipengaruhi
adanya faktor migrasi. Migrasi adalah perpindahan penduduk dari daerah satu ke
daerah lain. Migrasi ada 2 macam bentuk yaitu migrasi masuk dan migrasi keluar.
Orang yang melakukan migrasi biasanya dipengaruhi beberapa faktor yaitu ingin
mencari pekerjaan, ingin melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih
tinggi, ingin mencari pengalaman di kota, dan ingin lebih banyak mendapatkan
hiburan dan sebagainya.
Menurut data dari Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Rembang jumlah
penduduk tahun 2008 (586587 jiwa), tahun 2009 (589819 jiwa) dan tahun 2010
(592514 jiwa) dengan luas wilayah 101408 ha. Dari data di atas bisa kita lihat
bahwa dari tahun ke tahun penduduk kota Rembang semakin bertambah. Dengan
bertambahnya penduduk dan ketersedian tempat tinggal yang terbatas,
mengakibatkan kepadatan penduduk wilayah tersebut akan semakin tinggi dan
jumlah lapangan pekerjaan semakin berkurang.
Proses kelahiran dan kematian tersebut dapat dimodelkan dengan model
pertumbuhan stokastik. Proses kelahiran sederhana pertama kali dipelajari oleh
Yule pada tahun 1924 dan Furry pada tahun 1937 (Ricciardi 1986). Kelemahan dari
teori Yuly-Furry adalah mereka tidak memperhitungkan peluang kematian dan
mengabaikan perbedaan banyaknya spesies yang ada pada setiap populasi.
Sehingga Feller pada tahun 1939 memperkenalkan suatu teori tentang proses
kelahiran dan kematian (Ricciardi 1986). Sejak saat itu, proses ini digunakan
sebagai model untuk pertumbuhan populasi, antrian, dan masih banyak lagi kasuskasus sebagai aplikasi dari proses ini. Hal ini bertumpu pada teori dari proses
stokastik yang mempresentasikan kasus penting dari proses Markov dengan ruang
state diskret ataupun kontinu. Deskripsikan terlebih dahulu tentang proses kelahiran
dan kematian, yang kemudian dijadikan dasar untuk pengembangan beberapa kasus
nyata yang lebih luas.
Ide penelitian ini diperoleh dari Rahmawati dan Bekti (2013). Metode yang
digunakan adalah memodelkan pertumbuhan penduduk, menduga pertumbuhan
penduduk dan meramalkan jumlah penduduk di waktu yang akan datang.
Perumusan Masalah
Jumlah penduduk dikota Rembang dari tahun ke tahun selalu mengalami
peningkatan. Peningkatan jumlah penduduk dapat mengakibatkan ketersediaan
tempat tinggal dan lapangan pekerjaan semakin sempit. Sehingga perlu membuat
model tentang pertumbuhan penduduk guna mengetahui pertumbuhan penduduk di
kota tersebut. Model yang dibuat mengunakan model stokastik dengan asumsiasumsi matematika. Kemudian data-data yang didapat diaplikasikan kedalam
model yang sudah dibuat.
2
Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1 Memodelkan pertumbuhan stokastik untuk proses kelahiran, kematian dan
migrasi.
2 Menduga pertumbuhan penduduk kota Rembang dan membandingkan nilai
dugaan pertumbuhan penduduk dengan pertumbuhan penduduk yang
sebenarnya.
3 Meramalkan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang.
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah untuk memberikan informasi pembuatan
model stokastik pertumbuhan penduduk, karakteristik kota Rembang, dan jumlah
penduduk yang akan datang.
Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini antara lain:
1 Asumsi pembuatan model stokastik pertumbuhan penduduk dan analisis tren.
2 Menganalisis ada tidaknya gerombol.
3 Menghitung nilai dugaan pertumbuhan penduduk dan nilai ramalan jumlah
penduduk yang akan datang.
TINJAUAN PUSTAKA
Asumsi Pembuatan Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
Misalkan X(t,t+h) adalah variabel acak yang menyatakan jumlah individu
pada selang waktu (t,t+h) dengan asumsi-asumsi sebagai berikut (Rahmawati dan
Bekti 2013):
1 N(t,t+h) menyatakan banyaknya kelompok pada waktu (t,t+h), dan N(t,t+h)
merupakan proses Poisson dengan nilai harapan ( + µ + )h dimana adalah
rata-rata kelahiran, µ adalah rata-rata kematian, dan = 1 - 2 adalah rata-rata
migrasi (dengan migrasi masuk (1) dan migrasi keluar (2)).
2 Peubah acak
yang menyatakan banyaknya peristiwa yang terjadi pada
kelompok ke-i. Banyaknya peristiwa yang terjadi pada kelompok yang berbeda
adalah saling bebas dan berdistribusi peluang sama.
3 Parameter {n = ndan {µ n = nµ} adalah urutan bilangan positif yang
menyatakan tingkat kelahiran dan kematian dengan efek migrasi, dengan
keadaan awal adalah M(0) = i dan M(t) = E[X (t)]. Untuk menentukan nilai
M(t+h) digunakan nilai harapan dengan syarat X(t),sehingga diperoleh
persamaan (1):
3
� �+ℎ = [ �+ℎ ]
= [ [ � + ℎ | � ]].
(1)
Dengan demikian, dalam selang waktu (t,t+h) kemungkinan peristiwa yang
terjadi dalam proses kelahiran dan kematian kelompok dengan efek migrasi adalah
terjadi satu atau lebih kelahiran individu, atau terjadi satu atau lebih kematian
individu, atau terjadi satu atau lebih migrasi individu, dan atau tidak terjadi satu
atau lebih kelahiran atau kematian atau migrasi individu. Setiap kejadian terhadap
anggota populasi mempunyai peluang sebagai berikut:
1 Peluang untuk lahirnya satu individu atau lebih,
[ ] � ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
2
3
4
∑=
�
∑=
�
∑=
�
Peluang untuk matinya satu individu atau lebih,
[ ] � ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
Peluang untuk migrasinya satu individu atau lebih,
[ ]�ℎ + ℎ dengan ℎ → .
� �
Peluang untuk tidak ada kelahiran, kematian ,dan migrasi.
[ ][ �
+ + �]ℎ + ℎ dengan ℎ →
− ��
∑=
.
�
Sehingga jika X(t) diketahui, maka jumlah individu pada saat t+h adalah:
�
� +∑
=
�+ℎ =
�
� −∑
=
{
, dengan peluang
∑ =�
, dengan peluang
� , dengan peluang
−
∑ =�
∑ =�
[ ][
[ ][
�
[ ][
�
+
+ �]ℎ +
�
]ℎ +
+ �]ℎ +
ℎ
ℎ
ℎ .
Analisis Gerombol
Pengertian Analisis Gerombol
Analisis gerombol merupakan salah satu teknik multivariat metode
interdependensi (saling ketergantungan). Oleh karena itu, dalam analisis gerombol
tidak ada pembedaan antara variabel bebas (independent variable) dan variabel
terikat (dependent variable). Analisis gerombol digunakan untuk mengelompokkan
data observasi yang hanya berdasarkan pada informasi yang ditemukan dalam data,
di mana data tersebut harus menggambarkan observasi dan hubungannya. Oleh
karena itu, tujuan dari analisis ini adalah observasi dalam satu kelompok mirip satu
sama lain dan berbeda dari observasi dalam kelompok lain. Semakin besar
kemiripan (homogenitas) dalam kelompok dan semakin besar perbedaan
(heterogenitas) antar kelompok maka penggerombolan akan lebih baik atau lebih
berbeda (Tan et al. 2006).
4
Metode Pengelompokan
Dalam analisis gerombol, terdapat banyak metode untuk mengelompokkan
observasi ke dalam gerombol. Secara umum metode pengelompokkan dalam
analisis gerombol dibedakan menjadi metode hirarki (Hierarchical Clustering
Method) dan metode non hirarki (Nonhierarchical Clustering Method). Metode
hirarki digunakan apabila belum ada informasi jumlah gerombol yang dipilih.
Sedangkan metode non hirarki bertujuan untuk mengelompokan n objek ke dalam
k gerombol (k < n), di mana nilai k telah ditentukan sebelumnya.
Metode analisis gerombol membutuhkan suatu ukuran ketakmiripan (jarak)
yang didefinisikan untuk setiap pasang objek yang akan dikelompokkan. Jarak yang
biasa digunakan dalam analisis penggerombolan diantaranya (Johnson dan Wichern
2007) adalah:
Jarak Euclid
Jarak Euclid adalah jarak yang paling umum dan paling sering digunakan
dalam analisis gerombol. Jarak Euclid antara dua titik dapat terdefinisikan dengan
jelas. Jarak digunakan adalah peubah kontinu.
Jarak Euclid antara gerombol ke-i dan ke-j dari p peubah didefinisikan:
, = [∑�= �̅� − �̅� ] ,
dengan:
, = jarak antara objek i ke objek j
�̅�
= nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-j
�̅�
= nilai tengah pada peubah ke-t gerombol ke-i
p
= banyaknya peubah yang diamati.
Metode Hirarki
Pada dasarnya metode ini dibedakan menjadi dua metode pengelompokan,
yaitu metode penggabungan dan metode pemecahan (Everrit et al. 2011). Pada
penelitian ini digunakan metode penggabungan untuk menganalisis gerombol.
Metode Penggabungan
Proses pengelompokan dengan pendekatan metode penggabungan (Down to
Top) dimulai dengan n gerombol sehingga masing-masing gerombol memiliki tepat
satu objek, kemudian tentukan dua gerombol terdekat dan gabungkan gerombol
tersebut menjadi satu gerombol baru. Proses penggabungan dua gerombol diulangi
sampai diperoleh satu gerombol yang memuat semua himpunan data. Perlu
diperhatikan bahwa setiap penggabungan dalam metode ini selalu diikuti dengan
perbaikan matriks jarak. Hasil analisis gerombol dari metode ini dapat disajikan dalam
bentuk dendogram.
Analisis Tren
Analisis tren merupakan suatu metode analisis statistika yang digunakan
untuk melakukan suatu estimasi atau peramalan pada masa yang akan datang.
Untuk melakukan peramalan dengan baik maka dibutuhkan berbagai macam
informasi (data) yang cukup banyak dan diamati dalam periode waktu yang relatif
cukup panjang, sehingga hasil analisis tersebut dapat mengetahui sampai berapa
besar fluktuasi yang terjadi dan faktor-faktor apa saja yang memengaruhi terhadap
5
perubahan tersebut. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren
kuadratik, dan tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012).
Tren Linear
Tren linear adalah kecenderungan data dimana perubahannya berdasarkan
waktu adalah tetap (konstan). Model persamaan tren linier yaitu (Draper dan Smith
1992):
Yt = a+bt.
Keterangan:
Yt
= data time series pada periode t
t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
a, b
= konstanta.
Nilai a dan b diperoleh dari:
=
∑�= � � − ∑�= � ∑�= �
∑�= � − ∑�= �
dan
=
∑�=
�
−
∑�= �
Untuk pembuktian kostanta a dan b dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai t untuk
waktu awal diberi nilai 1, waktu berikutnya diberi nilai 2, dan seterusnya waktu
terakhir diberi nilai n (n banyaknya data).
Catatan : berlaku juga untuk jenis tren lainnya
Tren Kuadratik
Tren kuadratik adalah kecenderungan data yang kurvanya berpola
lengkungan. Secara matematik, tren kuadratik merupakan hubungan antara peubah
takbebas dengan t dan t2. Model persamaan tren kuadratik yaitu (Draper dan Smith
1992):
� =� +� �+� � .
Keterangan:
Yt
= data time series pada periode t
t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
� ,� ,�
= konstanta.
Untuk pembuktian kostanta � , � , dan β terdapat pada Lampiran 7.
Tren Eksponensial
Tren eksponensial adalah kecenderungan perubahan data semakin lama
semakin bertambah secara eksponensial. Terdapat dua model untuk tren
eksponensial yaitu:
Untuk peubah diskret:
+ � �.
� =� +
Untuk peubah kontinu:
� �
.
� =�
6
Keterangan:
Yt
t
� ,�
= data time series pada periode t
= waktu (hari/bulan/ tahun)
= konstanta.
Untuk pembuktian kostanta � dan � terdapat pada Lampiran 8. Pemilihan
model analisis tren untuk mendapatkan nilai peramalan terbaik didasarkan pada
nilai Standard Error of the Estimate (SEE) yang paling kecil.
Ukuran Kesalahan
Ukuran akurasi hasil peramalan yang merupakan ukuran kesalahan peramalan
merupakan ukuran tentang tingkat perbedaan antara hasil peramalan dengan nilai
yang sebenarnya. Ada 4 ukuran yang biasa digunakan yaitu rata-rata deviasi mutlak
(Mean Absolute Deviasion = MAD), rata-rata kuadrat kesalahan (Mean Square
Error = MSE), rata-rata kesalahan peramalan (Mean Forecast Error = MSF), dan
rata-rata persentase kesalahan absolute (Mean Absolute Persentage Error = MAPE)
(Makridakis et al. 1999). Pada penelitian ini ukuran kesalahan yang digunakan
adalah MAPE (Mean Absolute Percentage Error), adapun persamaannya, yaitu:
|� |
��� = ∑ =
,
dengan
�−
.
� =
Keterangan:
= data aktual pada periode ke-i
= nilai ramalan pada periode ke-i
n
= banyaknya periode waktu.
�
METODE PENELITIAN
Dalam penelitian ini digunakan data sekunder yang diambil dari Badan Pusat
Statistik (BPS) Kota Rembang. Data yang digunakan adalah data penduduk kota
Rembang sejak tahun 2001 sampai 2011. Pembangunan model pertumbuhan
stokastik kelahiran dan kematian dengan migrasi menggunakan asumsi-asumsi
model pertumbuhan stokastik. Kemudian dilakukan analisis gerombol untuk
mengetahui karakteristik Kota Rembang. Analisis data dilakukan menggunakan
model yang sudah dibuat untuk memperoleh nilai dugaan pertumbuhan penduduk
dan memprediksi jumlah penduduk yang akan datang.
7
HASIL DAN PEMBAHASAN
Model Stokastik Pertumbuhan Penduduk
Dengan mengunakan asumsi-asumsi yang dibuat dan persamaan (1) sehingga
diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan
kematian dengan migrasi:
�
[� ] − �
.
[ [� ] − � − ] +
� � =
−
Bukti,
[
�+ℎ |
�
� ]= [
� +∑
][
[
� −∑
][
=
=
� [ −
=
�
∑=
�
[ ][
�
∑=
�
�
∑ =�
� −
[ ][
�
∑ =�
= [ ][ � −
Sehingga,
� �+ℎ =
=
=
� �+ℎ =
� �+ℎ −� � =
�+ℎ − �
=
ℎ
[
[
[
[
[
[
Dengan mengambil ℎ →
Jadi,
[ �+ℎ
[ ][ �
[ ][ �
][� �
][� �
][� �
|
∑ =�
∑ =�
[ ][
�
[ ][
�
+ �]ℎ] +
[ ][
�
]ℎ]
�
+
+ �]ℎ + [ ][
�
]ℎ − [ ][
�
�
+ �]ℎ +
� +
[ ][
�
+
+ �]ℎ] +
�
ℎ
+ �]ℎ +
]ℎ +
+ �]ℎ +
ℎ .
ℎ
� ]]
− � + �]ℎ + � + ℎ ]
− + �]ℎ + � + ℎ
− + �]ℎ + � � + ℎ
− + �]ℎ + ℎ
ℎ
− + �] +
.
ℎ
ℎ
maka lim
= .
ℎ→
ℎ
� �+ℎ −� �
− + �]
= [ ][� �
ℎ→
ℎ
− + [ ]�.
= [ ][� �
Sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut:
�′ � = [ ]� �
− + [ ]�.
(2)
Penyelesaian persamaan (2) dengan menggunakan persamaan diferensial biasa
(Farlow 1994).
lim
8
− + [ ]�.
Misalkan ℎ � = [ ]� �
′
′
Maka ℎ � = [ ]� �
− .
Jadi persamaan (2) dapat ditulis sebagai berikut:
ℎ′ � = [
ℎ′ �
⇔
[ ] −
ℎ′ �
⇔
[ ] −
ℎ′ �
⇔ ∫
�=∫
ℎ �
]�′ �
−
= �′ �
=ℎ �
[ ]
(3)
−
�
⇔ log[ℎ � ] = [ ] − � + �
ℎ � = [� ] − �+�
= � [� ] − � .
Dari persamaan (3),
− + [ ]�
ℎ � = [ ]� �
[� ] − �
�
− + [ ]�.
(4)
= [ ]� �
Dengan nilai awal M(0) = i, dimana t = 0 sehingga diperoleh:
− + [ ]�
�= [ ]
− + �].
= [ ][
Kemudian substitusikan nilai K ke dalam persamaan (4):
[ ]� �
− + [ ]� = � [� ] − �
− + �] [� ] − �
− + [ ]� = [ ][
⇔ [ ]� �
− + �] [� ] − � − [ ]�
− = [ ][
⇔ [ ]� �
[� ] − �
[ ][
− [ ]�
− + �]
� � =
[ ] −
�
�
=[ +
] [� ] − � −
−
−
�
�
[� ] − �
[� ] − �
+
−
=
−
−
�
[� ] − �
.
� � =
[ [� ] − � − ] +
−
Jadi diperoleh model stokastik pertumbuhan penduduk untuk proses kelahiran dan
kematian dengan migrasi adalah
�
[� ] − �
� � =
.
[ [� ] − � − ] +
−
Analisis Gerombol
Pada penelitian ini dilakukan penggerombolan dengan menggunakan metode
penggabungan. Data yang digunakan adalah Child Birth Ratio (CBR) dan Child
Dead Ratio (CDR) setiap kecamatan dapat dilihat pada Tabel 1. Hasil dari
penggerombolan dapat dilihat pada Tabel 2 dan Gambar 1.
9
Tabel 1 Data Child Birth Ratio (CBR) dan Child Dead Ratio (CDR) setiap
kecamatan di kota Rembang per tahun tahun 2001
No
Kecamatan
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
17.08
17.1
16
16.47
19.71
16.83
18.42
12.46
15.85
18.61
18.54
17.99
17.11
15.71
7.3
7.25
6.91
6.69
7.06
6.7
6.1
5.03
6.32
6.37
7.81
6.25
6.3
5.96
Tabel 2 Cluster Membership
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Case Membership
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
2 Clusters
1
1
1
1
2
2
2
1
2
2
2
2
2
2
10
Gambar 1 Hasil dendogram dengan metode penggabungan
Berdasarkan hasil pada Tabel 2 dan Gambar 1 Hasil dendogram dengan
metode penggabungan diperoleh bahwa jika jaraknya ditentukan sebesar 25 maka
setiap kecamatan di kota Rembang pada tahun 2001 dapat digerombolkan menjadi
satu gerombol. Sehingga dapat diasumsikan setiap kecamatan kota Rembang adalah
homogen.
Pendugaan Pertumbuhan Penduduk Kota Rembang, Jawa Tengah
Perhitungan nilai dugaan pertumbuhan penduduk per hari di kota Rembang
menggunakan model yang sudah dibuat yaitu persamaan (6). Dengan nilai
parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 3. Setelah memperoleh nilai
dugaan pertumbuhan penduduk kemudian menghitung nilai kesalahan nilai dugaan
dengan menggunakan MAPE (Mean Absolute Percentage Error).
11
Tabel 3 Nilai parameter
Tahun
Rata-rata kelahiran
untuk setiap kecamatan
per hari ( )
2001
2002
2003
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
1.8673
1.7273
1.8794
1.6871
1.7068
1.6696
1.6896
1.6845
1.7434
1.7639
Rata-rata kematian
untuk setiap
kecamataan per hari
( )
0.7172
0.6166
0.5966
0.5806
0.6035
0.6191
0.6078
0.6322
0.5254
0.5614
Rata-rata migrasi
untuk setiap
kecamatan per hari
(�)
-0.4587
-0.3587
-0.5735
-0.4421
-0.5101
-0.3943
-0.4493
-0.5248
-0.1017
-0.1150
Tabel 4 Nilai dugaan pertumbuhan penduduk
Tahun
Pertumbuhan penduduk
per hari
2001
2002
2003
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
9.6795
9.8986
9.9315
9.3013
8.3178
9.1863
8.8547
7.3835
15.6273
15.2246
MAPE
Nilai dugaan
pertumbuhan
penduduk per hari
10.5000
8.7854
11.7357
8.9995
9.3342
8.4554
8.9143
8.9704
7.1117
7.3209
Error
8.4766%
11.2460%
18.1664%
3.2447%
12.2195%
7.9564%
0.6730%
21.4925%
54.4918%
51.9140%
18.9880%
Berdasarkan hasil pada Tabel 4 bisa dilihat bahwa nilai dugaan pertumbuhan
populasi per hari pada tahun 2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2007, 2008, 2009, 2010,
dan 2011 dengan nilai > , < , dan � < dapat dikatakan cukup mendekati
dengan nilai pertumbuhan penduduk sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar
18.988 %.
Peramalan Jumlah Penduduk Kota Rembang yang Akan Datang
Untuk peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang
diperlukan data masa lalu. Data masa lalu yang diukur secara periodik akan
membentuk suatu deret waktu data (time series). Rangkai waktu merupakan suatu
pengamatan terhadap variabel tunggal yang diukur secara teratur selama periode
tertentu. Perhitungan nilai ramalan jumlah penduduk kota Rembang menggunakan
12
analisis tren. Analisis tren ini terdapat 3 model yaitu tren linear, tren kuadratik, dan
tren eksponensial (Juanda dan Junaidi 2012).
Perhitungan peramalan pertumbuhan penduduk kota Rembang dengan
menggunakan nilai ramalan parameter-parameter yang dapat dilihat pada Tabel 2.
Hasil analisis tren rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat
dilihat pada Lampiran 3. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap
model dapat dilihat pada Tabel 5.
Tabel 5 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kelahiran
Tren
Linear
Kuadratik
Eksponensial
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.027
0.018
0.016
Berdasarkan Tabel 5 model tren eksponensial memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.016 dibandingkan dengan model tren linear dan kuadratik. Jadi model
eksponensial adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata
kelahiran per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 3 dapat dilihat nilai koefisien
� =1.662 dan � =0.007 sehingga dapat dirumuskan tren ekponensial menjadi:
. 7�
.
� = .
Hasil analisis tren rata-rata kematian per hari setiap kecamatan kota Rembang
dapat dilihat pada Lampiran 4. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari
setiap model dapat dilihat pada Tabel 6.
Tabel 6 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata kematian
Tren
Linear
Kuadratik
Eksponensial
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.037
0.032
0.063
Berdasarkan Tabel 6 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.032 dibandingkan dengan model tren linear dan eksponensial. Jadi
model kuadratik adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata
kematian per hari setiap kecamatan. Pada Lampiran 4 dapat dilihat nilai koefisien
� = 0.551, � = 0.038, dan � = -0.006 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik
menjadi:
+ .
� − .
� .
� = .
Hasil analisis tren rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan kota Rembang dapat
dilihat pada Lampiran 5. Nilai Standard Error of the Estimate (SEE) dari setiap
model dapat dilihat pada Tabel 7.
13
Tabel 7 Ringkasan Standard Error pola tren rata-rata migrasi
Standard Error of the Estimate
(SEE)
0.136
0.118
Tren
Linear
Kuadratik
Berdasarkan Tabel 7 model tren kuadratik memiliki nilai SEE yang paling
kecil yaitu 0.118 dibandingkan dengan model tren linear. Jadi model kuadratik
adalah model terbaik untuk mencari nilai peramalan rata-rata kematian per hari
setiap kecamatan. Pada Lampiran 5 dapat dilihat nilai koefisien � = -0.348, � =
-0.109, dan � = 0.021 sehingga dapat dirumuskan tren kuadratik menjadi:
�� = − .
+ − .
� − .
� .
Hasil peramalan parameter-parameter dapat dilihat pada Tabel 8.
Tabel 8 Nilai ramalan parameter-parameter
tahun
Rata-rata kelahiran
untuk setiap kecamatan
per hari ( )
2012
2013
1.7577
1.7701
Rata-rata kematian
untuk setiap
kecamataan per hari
( )
0.471
0.407
Rata-rata migrasi
untuk setiap
kecamatan per hari
(�)
0.124
0.372
Hasil peramalan pendugaan pertumbuhan penduduk yang akan datang dapat dilihat
pada Tabel 9.
Tabel 9 Hasil peramalan pertumbuhan populasi per hari
Tahun
2012
2013
Nilai ramalan pertumbuhan populasi per hari
9.0817
10.4241
Sehingga jumlah penduduk pada tahun 2013 dan 2014 yang belum diketahui
jumlahnya adalah sebesar 603784 jiwa dan 610895 jiwa.
SIMPULAN
Pembangunan model stokastik proses kelahiran dan kematian dengan migrasi
dapat dilakukan dengan menggunakan sifat-sifat proses Poisson dan beberapa
manipulasi matematika. Dengan menggunakan nilai awal yang dipilih, model yang
dibuat dapat memberikan pendugaan yang sangat baik bagi pertumbuhan penduduk
dengan nilai > , < , dan � < di setiap kecamatan per hari. Nilai
pendugaan pertumbuhan penduduk dari model yang dibuat pada tahun pada tahun
2001, 2002, 2003, 2005, 2006, 2008, 2009, 2010 dan 2011 cukup mendekati dengan
14
nilai pertumbuhan penduduk yang sebenarnya dengan nilai MAPE sebesar
18.988 %. Peramalan jumlah penduduk kota Rembang yang akan datang dapat
dihitung dengan nilai peramalan pertumbuhan penduduk yang akan datang. Nilai
peramalan pertumbuhan penduduk per hari tahun 2012 dan 2013 sebesar 9.0817
dan 10.4241. Sehingga nilai peramalan jumlah penduduk yang belum diketahui
jumlah penduduknya pada tahun 2013 dan 2014 sebesar 603784 jiwa dan 610895
jiwa.
DAFTAR PUSTAKA
Draper N, Smith H. 1992. Analisis Regresi Terapan. Edisi Ke-2. Jakarta (ID): PT
Gramedia.
Everrit BS, Landau S, Leese M, Stahl D. 2011. Cluster Analysis. Edisi Ke-5.
London: King’s College.
Farlow SJ. 1994. An Introduction to Differential Equations and Their Applications.
Singapore: McGraw-Hill.
Johnson RA, Wichern DW. 2007. Aplied Multivariate Statistical Analysis. Ed Ke6. Amerika (US): Pearson Prentice Hall.
Juanda B, Junaidi. 2012. Ekonometrika Deret Waktu. Bogor: IPB Press.
Makridakis S, Wheelwright S.C, McGee V.E. 1999. Metode dan Aplikasi
Peramalan, Jilid Satu. Ed Ke-2. Jakarta (ID): Binarupa Aksara.
Ricciardi LM. 1986. Stochastic Population Theory: Birth and Death Processes
Mathematical Ecology an Introduction. 17:155-190.
Rachmawati RN, Bekti RD. 2013. Stochastic Growth Model for Spatial Cluster
Birth and Death Process with Migration. Journal of Mathematics and Statistics.
9(2):112-118.doi:10.3844/jmssp.2013.112.118.
Tan P, Steinbach M, Kumar V. 2006. Introduction to Data Mining. Boston: Pearson
Addison Wesley.
15
LAMPIRAN
Lampiran 1 Data kelahiran, kematian, dan migrasi
Tahun
Kelahiran
Kematian
2001
9542
3665
2002
8827
3381
2003
9605
3049
2005
8621
2967
2006
8722
3084
2007
8634
3106
2008
8532
3164
2009
8608
3231
2010
8909
2685
2011
9014
2869
Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.
Migrasi
-2344
-1833
-2931
-2259
-2607
-2296
-2015
2682
-520
-588
Lampiran 2 Data setiap Kecamataan Kota Rembang per Tahun
Tahun 2002
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
4.51
5.15
5.05
6
7.31
6.8
6.41
4.37
5.03
6.36
7.28
6.76
6.1
5.98
2.39
2.3
2.24
2.16
2.59
2.44
2.4
1.97
2.11
2.24
3.04
2.38
2.19
2.11
16
Tahun 2003
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
13.05
14.85
13.66
15.78
16.83
19.11
17.74
12.45
14.67
17.07
17.27
17.3
15.37
17.08
5.3
5.26
6.21
5.29
5.49
5.73
5.57
4.85
5.05
4.92
5.73
5.11
5.19
5.05
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
12.83
14.62
12.98
15.81
14.11
14.3
16.74
12.22
14.97
15.31
16.25
15.25
14.17
14.11
5.09
5.02
4.97
5.12
5.19
5.13
5.52
5.07
5.11
4.61
5.31
5.02
5.1
4.75
Tahun 2005
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
17
Tahun 2006
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
14.59
13.4
14.38
14.39
15.2
15.74
15.54
13.15
14.4
14.97
15.7
14.45
15.32
13.6
5.38
5.36
5.14
5.31
5.24
5.33
5.05
5.13
5.3
4.65
5.31
5.24
5.91
5.24
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
12.64
13.99
12.51
12.33
14.32
14.78
14.49
11.55
14.7
14.99
15.64
15.96
14.16
14.89
5.21
5.15
5.05
5.02
5.26
5.27
5.07
4.88
5.13
4.98
5.3
5.21
5.22
5.2
Tahun 2008
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
18
Tahun 2009
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
13.63
12.63
12.46
12.57
14.21
14.18
14.87
11.83
15.37
14.73
15.22
14.95
14.52
14.13
5.39
5.12
5.02
5.05
5.14
5.11
5.44
5.21
5.27
5.13
5.73
5.19
6
5.77
Child Birth Ratio (CBR)
Child Death Ratio (CDR)
15,57
12,75
12,75
13,33
14,27
14,87
17,06
12,59
13,9
15,69
17,62
17,01
16,6
14,67
5,24
4,33
4,44
5,03
4,13
4,28
4,39
4,81
4,06
4,79
5,08
4,02
4,39
4,92
Tahun 2010
No
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Kecamatan
Sumber
Bulu
Gunem
Sale
Sarang
Sedan
Pamotan
Sulang
Kaliori
Rembang
Pancur
Kragan
Sluke
Lasem
19
Tahun 2011
No
Kecamatan
Child Birth Ratio (CBR)
1 Sumber
15.46
2 Bulu
12.94
3 Gunem
13.22
4 Sale
12.85
5 Sarang
14.61
6 Sedan
14.75
7 Pamotan
17.05
8 Sulang
13.48
9 Kaliori
15.26
10 Rembang
16.31
11 Pancur
17.11
12 Kragan
16.08
13 Sluke
14.71
14 Lasem
15.1
Sumber : Badan Pusat Statistika (BPS) Rembang.
Child Death Ratio (CDR)
5.4
4.78
4.99
5.77
4.1
4.14
4.42
5.86
4.61
4.94
5.4
3.86
4.49
5.83
20
Lampiran 3 Output dari rata-rata kelahiran per hari setiap kecamatan
Linear
R
0.711
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.407
0.027
R Square
0.506
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.004
0.004
0.007
ANOVA
df
Mean Square
1
0.004
5
0.001
6
F
5.116
Significance
0.073
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
(Constant)
B
0.011
1.661
Standard Error
0.005
0.022
Beta
0.711
t
Significance
2.262
0.073
73.847
0.000
Quadratic
R
0.905
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.729
0.018
R Square
0.819
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.006
0.001
0.007
ANOVA
df
Mean Square
2
0.003
4
0.000
6
F
9.059
Significance
0.033
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
Standard Error
-0.030
0.016
0.005
0.002
1.723
0.028
Beta
-1.875
2.646
t
Significance
-1.866
0.136
2.633
0.058
61.431
0.000
21
Exponential
R
0.709
R Square
0.503
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.403
0.016
ANOVA
Sum of Squares
df Mean Square
0.001
1
0.001
0.001
5
0.000
0.002
6
F
5.055
Significance
0.074
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Significance
Case Sequence 0.007
0.003
0.709
2.248
0.074
(Constant)
1.662
0.022
76.146
0.000
The dependent variable is ln(rata_kelahiran).
22
Lampiran 4 Output dari rata-rata kematian per hari setiap kecamatan
Linear
R
R Square
0.419
0.175
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.010
0.037
Sum of Squares
0.001
0.007
0.008
ANOVA
df
Mean Square
1
0.001
5
0.001
6
F
1.063
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Case Sequence -0.007
0.007
-0.419
-10.031
(Constant)
0.619
0.031
19.897
Significance
0.350
Significance
0.350
0.000
Quadratic
R
R Square
0.709
0.503
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.254
0.032
Sum of Squares
0.004
0.004
0.008
ANOVA
df Mean Square
2
0.002
4
0.001
6
F
2.022
Significance
0.247
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
Standard Error
0.038
0.029
-0.006
0.003
0.551
0.050
Beta
2.224
-2.704
t
Significance
1.335
0.253
-1.623
0.180
11.066
0.000
23
Exponential
R
0.430
R Square
0.185
Regression
Residual
Total
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.022
0.063
Sum of Squares
0.005
0.020
0.025
ANOVA
df
Mean Square
1
0.005
5
0.004
6
F
1.134
Significance
0.336
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Significance
Case Sequence -0.013
0.012
-0.430
-1.065
0.336
(Constant)
0.620
0.033
18.669
0.000
The dependent variable is ln(rata_kematian).
24
Lampiran 5 Output dari rata-rata migrasi per hari setiap kecamatan
Linear
R
0.719
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.420
0.136
R Square
0.517
Sum of Squares
0.099
0.093
0.192
Regression
Residual
Total
ANOVA
df
Mean Square
1
0.099
5
0.019
6
F
5.342
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
B
Standard Error
Beta
t
Case Sequence 0.060
0.026
0.719
2.311
(Constant)
-0.601
0.115
-5.213
Significance
0.069
Significance
0.069
0.003
Quadratic
R
0.843
Model Summary
Adjusted R Square
Standard Error of the Estimate
0.565
0.118
R Square
0.710
Regression
Residual
Total
Sum of Squares
0.137
0.056
0.192
ANOVA
df
Mean Square
2
0.068
4
0.014
6
F
4.903
Significance
0.084
Coefficients
Unstandardized
Standardized
Coefficients
Coefficients
Case Sequence
Case Sequence
** 2
(Constant)
B
-0.109
0.021
Standard Error
0.105
0.013
-0.348
0.184
Beta
-1.314
2.080
t
Significance
-1.033
0.360
1.636
0.177
-1.892
0.131
25
Lampiran 6 Pembuktian kostanta pada analisis tren linier
Rumus:
�
Bukti,
=
+
�=∑
�=
�
+
�
=∑
�
�
�=
−
−
�
(6)
Untuk mendapatkan nilai a dan b dengan cara mendiferensialkan persamaan (6)
terhadap a dan b dan kemudian menyamakan hasil pendiferensialkan itu dengan nol.
��
=− ∑
�
⇔
∑
�
−
⇔
∑
�
=
�=
�=
�=
�
−
− ∑
+
�=
∑
�=
−
�
�
=
=
�
(7)
26
��
=− ∑
�
�=
�
�
−
−
⇔
∑
� �
− ∑
�
− ∑
�
⇔
∑
� �
=
�
+ ∑
�
�=
�=
�=
∑
�=
=
�
�=
�=
=
(8)
Kemudian dari pesamaan (7) dan persamaan (8) dilakukan subtitusi sehingga
diperoleh kostanta a dan b sebagai berikut:
=
=
− ∑�= � ∑�=
− ∑�= �
�
∑�= �
∑�=
∑�=
�
�
�
∑�=
+
�
Lampiran 7 Pembuktian kostanta pada analisis tren kuadratik
Rumus:
�
Bukti,
=
+
�
�=∑
+
=
�
�=
�
�
+
−
−
�
�
−
�
(9)
Untuk mendapatkan nilai a, b, dan c yaitu dengan cara mendiferensialkan
persamaan (9) terhadap a, b, dan c kemudian hasil pendiferensialkan itu dengan nol.
⇔
⇔
��
=− ∑
�
∑
�=
�
+
�=
+ ∑
�=
�
−
−
�
�
− ∑
− ∑
�=
�
+ ∑
�=
−
�=
�
=
�
�
=∑
�=
=
�
(10)
27
��
=− ∑
�
⇔
∑
�=
� �
− ∑
�
�
− ∑
�
∑
⇔
�=
�=
�=
��
=− ∑
�
⇔
∑
�=
⇔
∑
�=
�
�
−
�
− ∑
�
�=
+ ∑
�
�
�=
�
−
�
�
�=
−
�=
−
=
�
+ ∑
�=
=∑
�
−
−
�
=
�
=
�
− ∑
�
− ∑
�
− ∑
+ ∑
�
+ ∑
�
=∑
�=
�=
�=
�=
(11)
� �
�=
�=
�
�
�=
=
�
(12)
dari persamaan (10), persamaan (11), dan persamaan (12) dapat memeperoleh nilai
kostanta a, b, dan c dengan menggunakan matrik sebagai berikut:
∑
∑
�=
∑
( �=
�
�
�=
�
∑
�
�=
∑
�
∑
�
∑
�
∑
�
�=
�=
�=
�=
∑
=
�=
∑
�=
∑
(�=
)
�
� �
�
Lampiran 8 Pembuktian kostanta pada analisis tren eksponensial
�
)
Rumus:
�
=
���
(13)
Untuk memperoleh nilai kostanta a dan b dapat dilakukan dengan cara
mentransformasi persamaan (13) menjadi linier bukti sebagai berikut:
⇔
ln
��
= ln ������
=
⇔
ln
�
= ln +
⇔
ln
�
= ln + ln
�
���
(14)
28
RIWAYAT HIDUP
Penulis lahir di Rembang pada 15 April 1992 sebagai anak pertama dari tiga
bersaudara dari pasangan Sunardi dan Sih Minarni. Penulis menyelesaikan sekolah
menengah atas di SMA Negeri 2 Rembang pada tahun 2010, kemudiaan
melanjutkan pendidikan di Institut Pertanian Bogor (IPB) melalaui jalur Undangan
Seleksi Masuk IPB (USMI). Penulis diterima sebagai mahasiswa Departemen
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam.
Selama masa kuliah, penulis aktif mengikuti kegiatan kampus di luar
kegiaatan akademik. Penulis pernah megikuti organisasi sebagai Staf
kewirausahaan GUMATIKA IPB 2012-2013. Kepanitian yang pernah diikuti divisi
logstran IMC GUMATIKA IPB 2012-2013. Penulis juga aktif dalam Organisasi
Mahasiswa daerah Rembang di Bogor (HKRB) selama di IPB.