Setiap stratum dapat dipandang sebagai populasi tersendiri sub populasi. Dalam pembentukan stratum harus diperhatikan variabel apa yang dijadikan sebagai
dasar pembentukan stratum, yaitu variabel yang memiliki korelasi tinggi dengan variabel yang diteliti.
2. Tahap Kedua
Sampel diambil dari setiap stratum secara terpisah independen dengan ukuran sampel dari masing-masing stratum adalah
� , � , � , … , � dengan syarat � + � + � + ⋯ + � = �.
3. Tahap Ketiga
Setelah diperoleh sampel, selanjutnya dilakukan penaksiran terhadap parameter yang diperlukan dan selanjutnya dibuat kesimpulan untuk populasi
berdasarkan hasil penaksiran sampel.
3.2 Total Populasi 3.2.1 Pengertian Total Populasi
Apabila N menyatakan banyak anggota populasi dan L menyatakan banyak stratum maka total populasi adalah jumlah dari total stratum dan
didefinisikan sebagai berikut:
� = ∑ �
ℎ ℎ
= ∑ ∑ �
ℎ�
ℎ
�= ℎ=
Dimana �
ℎ
adalah total dari stratum h yang didefinisikan sebagai berikut: �
ℎ
= ∑ �
ℎ�
ℎ
�=
�
ℎ�
adalah sampel ke-i pada stratum ke-h. Rata-rata stratum didefiniskan sebagai berikut:
�̅
ℎ
= �
ℎ ℎ
Dan rata-rata populasi didefinisikan sebagai berikut:
�̅ = �
= ∑
ℎ
�̅
ℎ ℎ
3.2.2 Penaksir Total Populasi Total populasi merupakan jumlah dari total stratum sehingga dalam
menaksir total populasi dapat melalui penjumlahan dari taksiran total stratum.
Taksiran total stratum dapat diperoleh dengan rumus sebagai berikut:
�̂
ℎ
=
ℎ
̅
ℎ
. Dimana
̅
ℎ
merupakan rata-rata sampel dari sebuah subsampel acak yang berukuran
�
ℎ
dari stratum ke-h. Taksiran total populasi
� adalah jumlah dari taksiran total stratum seperti yang dijabarkan dalam persamaan berikut:
�̂ = ̅ +
̅ + ⋯ + ̅ = ∑
ℎ
̅
ℎ ℎ=
. dan taksiran rata-rata populasi menjadi
�̅
ℎ
̂ = ̅ = � ̂
= ̅ +. . +
̅ + ⋯ +
= ∑
ℎ
̅
ℎ ℎ=
Karena rata-rata sampel stratum ̅
ℎ
yang diperoleh dengan sampling acak sederhana merupakan penaksir tak bias dari rata-rata stratum
�̅
ℎ
. � ̅
= �̅
ℎ
Maka nilai ekspektasi ̅ menjadi
E ̅
=
� �̅ + …+
�
�̅
�
=
�̅ +⋯+
�
�̅
�
=
� +⋯+ �
�
=
�
= �̅ Jadi
̅ merupakan penaksir tak bias untuk �̅.
Informasi mengenai �� dibutuhkan untuk menentukan penaksir
̅ karena E ̅ =
�
, ℎ����� �
̅ = �. Pada penjabaran di atas sudah
diketahui taksiran dari rata-rata populasi sehingga akan diperoleh persamaan berikut:
̅ = ∑
ℎ
̅
ℎ ℎ
= �̂ Ini artinya, penaksir
�̂ juga merupakan penaksir tak bias untuk � karena dapat ditunjukkan bahwa
� �̂ = �
3.2.3 Varians Penaksir Total Populasi dan Penaksirnya
Varians dari
st
Xˆ diperoleh dengan menggunakan hasil dari varians
st
x . Sebelum membahas mengenai varians untuk penaksir total populasi, akan
dijelaskan terlebih dahulu mengenai varians untuk rata-rata sampel. Variansi dari
̅ didefinisikan oleh: �
�̅
= ∑ ̅ − �̅
=
M adalah banyaknya kemungkinan rata-rata sampel, dimana = � � .
Selanjutnya akan dicari � ̅ dalam bentuk varians stratum �
ℎ
yang dapat menunjukkan karakteristik dari
� ̅ . �
ℎ
didefinisikan sebagai berikut: �
ℎ
=
ℎ
− ∑ �
ℎ�
− �̅
ℎ ℎ=
. Ketika populasi dan sampel cukup besar, maka kemungkinan rata-rata
sampel M akan semakin besar sehingga dalam menghitung � ̅ menggunakan
definisi �
�̅
akan sulit. Selanjutnya akan ditunjukkan bagaimana � ̅ dapat
dijelaskan dalam bentuk �
ℎ
. Diketahui,
̅ = ̅ +
̅ =
̅ + ̅
dimana
ℎ
=
ℎ
, dan disebut stratum weight bobot. Selama �
ℎ
dipilih dengan sampling acak dan saling bebas antara satu dengan yang lainnya, maka diperoleh:
V ̅
= � ̅ +
V ̅ Berdasarkan definisi varians untuk rata-rata sampel yang dipilih secara acak dan
tanpa pengembalian, yaitu �
�̅
=
−� � �
, maka persamaan di atas dapat diubah menjadi sebagai berikut:
V ̅ =
� ̅ + V ̅
= w N − n
N S
n + w N − n
N S
n
= ∑
ℎ ℎ
−�
ℎ ℎ
�
ℎ
�
ℎ
ℎ=
Persamaan di atas dapat dituliskan kembali dalam bentuk: � ̅
= ∑
ℎ
ℎ
−�
ℎ ℎ
�
ℎ
�
ℎ
3.4
�
ℎ
menunjukkan varians dalam masing-masing stratum. Jadi dapat disimpulkan bahwa ketika varians dalam masing-masing stratum kecil, maka
V ̅ akan kecil dan ketelitian dari ̅ akan tinggi.
Karena rumusan dari V ̅ memuat
�
ℎ
, maka tidak dapat digunakan pada masalah praktis dimana
�
ℎ
biasanya tidak diketahui. Oleh karena itu, dibutuhkan penkasir untuk
�
ℎ
dan diperoleh penkasir untuk
V ̅ .
Karena
ℎ
adalah sebuah penaksir tak bias dari
�
ℎ
maka selanjutnya akan disubtitusikan
ℎ
kedalam persamaan 3.4. Dimana,
�̂ ̅ merupakan penaksir tak bias untuk
V ̅ .
�̂ ̅ =
∑
ℎ
ℎ
−�
ℎ ℎ
ℎ
�
ℎ
Setelah diperoleh varians ̅ selanjutnya akan dibahas mengenai varians
dari penaksir total populasi, yaitu sebagai berikut:
Varians dari
st
Xˆ adalah:
V �̂
st
= V N ̅
st
= N
2
V ̅
st
= N
2
2 2
2
1
h h
h h
h h
N n S
N N
N n
=
2 2
h h
h h
h h
N n S
N N
n
Ini artinya � �̂
st
sama dengan � ̅
st
dengan syarat
2
1 N
dihilangkan. Estimator
� �̂
st
diperoleh untuk mendapatkan penaksir � ̅
st
, yaitu dengan cara mengganti
2 h
S
menjadi
2 h
s
. Oleh karena itu, estimatornya adalah: �̂�̂st = ∑
ℎ ℎ
− �
ℎ ℎ
�
ℎ
�
ℎ
.5
ℎ=
Dimana,
h
n h
hi h
h
x x
n s
2 2
1 1
Dengan menggunakan hasil ˆ
st
x V
yang merupakan penaksir tak bias dari
st
x V
, kita dengan mudah dapat menunjukkan ˆ
ˆ
st
X V
merupakan penaksir tak bias dari
ˆ
st
X V
. Diketahui bahwa: ]
ˆ [
st st
x V
x V
E
Dimana N
X x
st st
ˆ
. Substitusikan
st
x ke kedua ruas persamaan di atas, maka diperoleh:
ˆ 1
ˆ ˆ
1
2 2
st st
X V
N X
V N
E
Maka diperoleh: ˆ
] ˆ
ˆ [
st st
X V
X V
E
3.3 Alokasi Sampel
