Fast Algorithm of Generalized-S (GS) Estimator for Robust Estimation Multiple Linear Regression Parameter.

 

ALGORITMA CEPAT (FAST ALGORITHM) PENDUGA
GENERALIZED-S (GS) UNTUK PENDUGAAN KEKAR
PARAMETER MODEL REGRESI LINEAR BERGANDA

DODI VIONANDA

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010

 

 

PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASINYA
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis Algoritma Cepat (Fast Algorithm)

Penduga Generalized-S (GS) untuk Pendugaan Kekar Parameter Model Regresi
Linear Berganda adalah karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan
belum diajukan dalam bentuk apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber
informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak
diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam
Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Juli 2010

Dodi Vionanda
NRP G151070041

 
 

 

ABSTRACT
DODI VIONANDA. Fast Algorithm of Generalized-S (GS) Estimator for Robust
Estimation Multiple Linear Regression Parameter. Under direction of ASEP

SAEFUDDIN and AGUS MOHAMAD SOLEH
Generalized-S (GS) estimator is a robust estimator for regression model
parameter based on robust scale estimate. GS estimates of regression model
parameters are yielded by minimization of robust estimates of pairwise residual
difference scales. Hence, GS estimator could be seen as a generalization of S
estimator which deals with minimization of robust estimates of residual scales. By
viewing GS estimator as generalization of S estimator, one could find the fact that
the former has high breakdown point property as the later does. On the other hand,
it has high efficiency property while the later does not. Meanwhile, several fast
iterative computational methods for high breakdown robust estimators of
regression parameters have been developed. The methods were called fast
algorithms. There are three approaches have been proposed i.e. fast algorithm for
LTS estimator, S estimator, and τ estimator. These methods have been applied for
multiple linear regression model parameter estimation. This fact leads to the
notion of developing a fast algorithm of GS estimator for multiple regression
model parameter in this research in order to get another comprehensive method
for high breakdown and high efficiency robust estimator beside fast τ approach.
The algorithm is then applied to simulation data contaminated with outliers and
the results yielded then will be compared with the ones produced by fast algorithm
for S estimator and OLS to investigate its efficiency by looking at RMSE of the

estimates resulted in various condition by considering several proportions,
locations, and scales of outliers, as well as generating models. Finally, in all cases
which involve outlier contamination considered, fast algorithm of GS consistently
shows the better results by yielding the smallest RMSE value for each case. This
fact indicates that fast algorithm of GS has higher efficiency than that of fast S. As
addition, in case where the data are not contaminated with outliers, fast algorithm
of GS gives the results that relatively close to OLS does, while fast S does not.
Keywords: fast algorithm, GS estimates, S estimates, multiple regression model,
resampling algorithm, I-step algorithm

 

RINGKASAN
DODI VIONANDA. Algoritma Cepat (Fast Algorithm) Penduga Generalized-S
(GS) untuk Pendugaan Kekar Parameter Model Regresi Linear Berganda.
Dibimbing oleh ASEP SAEFUDDIN dan AGUS MOHAMAD SOLEH
Penduga Generalized-S (GS) adalah suatu penduga kekar parameter regresi
berdasarkan dugaan kekar skala. Penduga GS dapat dipandang sebagai perluasan
penduga S karena penduga GS diperoleh dari minimasi dugaan M skala selisih
sisaan (M estimates of residual differences scales) sedangkan penduga S

didapatkan dari minimasi dugaan M skala sisaan (M estimates of residuals
scales). Hal ini menyebabkan penduga GS memiliki efisiensi yang tinggi
sementara penduga S memiliki efisiensi yang rendah. Untuk data yang tidak
menyimpang begitu jauh dari asumsi normalitas, penduga GS memberikan hasil
yang mendekati penduga kuadrat terkecil, namun tidak demikian halnya dengan
penduga S.
Beberapa pendekatan penghitungan yang komprehensif untuk penduga
kekar regresi berdasarkan dugaan kekar skala yang dinamakan dengan algoritma
cepat telah dikembangkan. Dengan pendekatan ini, masalah adanya beberapa nilai
minimum lokal dalam penghitungan minimasi dugaan kekar skala dapat diatasi.
Sejauh ini, terdapat tiga algoritma cepat yang telah dikembangkan, yaitu algoritma
cepat penduga LTS, algoritma cepat penduga S, dan algoritma cepat penduga τ.
Ketiga algoritma cepat ini diterapkan dalam pendugaan parameter model regresi
linear berganda.
Di sisi lain, ada juga algoritma cepat penduga GS yang diterapkan untuk
pendugaan kekar parameter model regresi linear peubah ganda, namun belum ada
kajian tentang algoritma cepat penduga GS untuk pendugaan kekar parameer
model regresi berganda. Algoritma cepat penduga GS ini dikembangkan dengan
memodifikasi algoritma cepat penduga S. Modifikasi ini dilakukan karena
penduga GS dapat dipandang sebagai perluasan penduga S dan untuk

mendapatkan penduga dengan efisiensi yang lebih baik. Oleh karena itu penulis
tertarik untuk mengembangkan algoritma cepat penduga GS untuk pendugaan
kekar parameter model regresi linear berganda dengan memodifikasi algoritma
cepat penduga S.
Penelitian ini dilakukan untuk membangun algoritma cepat penduga GS
dengan memodifikasi algoritma cepat penduga S dan untuk mengevaluasi hasil
penghitungan yang diperoleh dari aplikasi algoritma cepat ini dengan cara
membandingkannya dengan hasil yang didapatkan dari penggunaan algoritma
cepat penduga S dan metoda kuadrat terkecil. Dalam hal ini pembandingan
dilakukan dengan memperhatikan efisiensi yang diukur dengan
karena
secara teoritis keunggulan penduga GS dari pada penduga S terletak pada
efisiensi. Pembandingan dilakukan pada beberapa kondisi yang berkenaan dengan
nilai pencilan sisaan pada data yang dibangkitkan dengan memperhatikan
proporsi, rataan, dan ragam pencilan, jumlah peubah penjelas, dan model
pembangkit.

Penelitian ini dilaksanakan dalam dua tahap kerja, yaitu tahap
pengembangan teori dan simulasi statistika. Pada tahap pengembangan teori
dilakukan penurunan formula iteratif untuk penduga GS dan modifikasi algoritma

cepat penduga S untuk mengembangkan algoritma cepat penduga GS. Sedangkan
pada tahap simulasi statistika, yang dimaksudkan untuk mengevaluasi algoritma
cepat penduga GS, dilakukan pembangkitan data, pendugaan parameter model
regresi dengan menggunakan ketiga pendekatan pendugaan yang disebutkan di
atas, dan pembandingan hasil yang diperoleh.
Sebagaimana halnya algoritma cepat penduga S, algoritma cepat penduga
GS dibangun dengan mengkombinasikan algoritma resampling dan algoritma I
step. Algoritma resampling merupakan pendekatan untuk memperoleh kandidat
awal dugaan parameter regresi dan dugaan skala selisih sisaan yang didapatkan
dari penghitungan dugaan parameter regresi untuk data resampel yang diambil
dari data asli. Sementara algoritma I step adalah pendekatan untuk memperbaiki
kandidat awal dugaan yang diperoleh dengan algoritma resampling. Perbaikan ini
diperoleh dalam suatu pengerjaan iteratif dengan melakukan pendugaan kuadrat
terkecil terboboti yang pada tiap iterasinya menghasilkan dugaan parameter
regresi dengan skala selisih sisaan yang semakin kecil. Dengan kedua algoritma
ini, pada algoritma cepat penduga GS, minimasi dugaan kekar skala selisih sisaan
dilakukan hanya pada gugus berhingga resampel yang diambil dari data asli dan
bukan atas tak hingga banyaknya kandidat dugaan parameter regresi.
Secara ringkas, tata kerja algoritma cepat penduga GS dapat dijabarkan
sebagai berikut. Pertama, ambil resampel berukuran (sebanyak jumlah peubah

penjelas) lalu hitung dugaan parameter regresi dengan menggunakan data
resampel dan hitung dugaan skala selisih sisaan dengan memakai data asli. Kedua,
terapkan
kali algoritma I step untuk perbaiki kandidat awal dugaan yang
diperoleh pada langkah pertama. Ketiga, terapkan kembali algoritma I step untuk
kandidat dugaan yang terbaik yaitu dugaan dengan skala selisih sisaan
terkecil hingga dicapai konvergensi. Terakhir, tetapkan penduga akhir dengan
mengambil dugaan parameter regresi yang menghasilkan dugaan kekar skala
terkecil.
Algoritma cepat penduga GS yang diuraikan di atas, bersamaan dengan
algoritma cepat penduga S dan penduga kuadrat terkecil, kemudian digunakan
dalam pendugaan parameter model regresi linear berganda dengan menggunakan
data simulasi. Data yang dibangkitkan pada simulasi adalah data dengan pencilan
sisaan.
Berdasarkan hasil simulasi,
dugaan yang diperoleh dengan
algoritma cepat penduga GS lebih kecil dari pada yang didapatkan dengan metoda
kuadrat terkecil dan algoritma cepat penduga S untuk jumlah peubah penjelas,
proporsi, rataan, dan ragam pencilan yang sama. Hasil ini menunjukkan bahwa
dugaan yang diperoleh dengan algoritma cepat penduga GS untuk data dengan

pencilan mempunyai efisiensi yang lebih baik dari pada yang diperoleh dengan
metoda metoda kuadrat terkecil dan algoritma cepat penduga S dalam semua
kondisi. Hal ini sesuai dengan teori penduga GS mempunyai efisiensi yang lebih
baik dari pada penduga S.
Begitu pula
dugaaan yang diperoleh dengan algoritma cepat penduga
GS maupun algoritma cepat penduga S pada suatu proporsi pencilan tertentu
memiliki nilai yang sama meskipun data dibangkitkan dengan pencilan yang

mempunyai rataan dan ragam yang berbeda. Hasil ini menunjukkan perilaku
kekekaran penduga GS dan penduga S. Kedua penduga resisten terhadap pencilan.
Namun tidak demikian halnya dengan dugaan yang diperoleh dengan
metoda kuadrat terkecil. Dugaan kuadrat terkecil sangat sensitif terhadap pencilan.
Sehingga peningkatan rataan pencilan mengakibatkan peningkatan
dugaan
secara signifikan. Akan tetapi peningkatan ragam pencilan hanya mengakibatkan
sedikit menurunkan nilai
. Penurunan nilai
ini disebabkan oleh fakta
bahwa peningkatan ragam menyebabkan nilai pencilan yang dihasilkan lebih

menyebar sehingga pencilan yang diperoleh akan mendekati data yang bukan
pencilan.
Di sisi lain, hasil yang didapatkan juga menunjukkan bahwa pertambahan
jumlah peubah penjelas juga diikuti dengan peningkatan nilai
dugaan yang
diperoleh dari ketiga pendekatan. Peningkatan nilai
juga seiring dengan
pertambahan proporsi pencilan untuk dugaan yang dihasilkan dengan algoritma
cepat penduga GS dan metoda kuadrat terkecil. Sebaliknya, nilai
dugaan
yang didapatkan dengan algoritma cepat penduga S cenderung menurun, namun
bila dibandingkan dengan
dugaan dari algoritma cepat GS maka nilai yang
dihasilkan tetap lebih besar. Hal ini menunjukkan bahwa algoritma cepat penduga
GS mempunyai efisiensi yang semakin baik bila digunakan pada data dengan
proporsi pencilan yang semakin rendah.
Kondisi yang lebih ekstrim dapat ditemukan pada data tanpa pencilan. Pada
data tanpa pencilan,
dugaan yang diperoleh dengan algoritma cepat
penduga GS mendekati nilai yang diperoleh dengan metoda kuadrat terkecil.

Sementara itu, nilai yang diperoleh dengan algoritma cepat penduga S lebih besar
dari apa yang diperoleh dari kedua pendekatan tersebut. Fakta ini sesuai dengan
perilaku penduga S yang merupakan penduga kekar yang memiliki nilai titik
breakdown yang tinggi namun mempunyai efisiensi yang rendah. Penggunaan
penduga S untuk pendugaan parameter model pada data yang tidak begitu jauh
menyimpang dari asumsi normalitas menghasilkan nilai dugaan yang tidak baik..
Sementara jika data dibangkitkan secara simultan dengan rataan dan ragam
pencilan yang bernilai sama, maka
dugaan yang diperoleh untuk dua
model yang berbeda akan bernilai sama pula.
Kata Kunci: algoritma cepat, penduga GS, penduga S, model regresi linear
berganda, algoritma resampling, algoritma I-step

 

© Hak Cipta milik IPB, tahun 2010
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan
atau menyebutkan sumbernya. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan,
penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau

tinjauan suatu masalah; dan pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan
yang wajar IPB.
Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis
dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB.
 

 

ALGORITMA CEPAT (FAST ALGORITHM) PENDUGA
GENERALIZED-S (GS) UNTUK PENDUGAAN KEKAR
PARAMETER MODEL REGRESI LINEAR BERGANDA

DODI VIONANDA

Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Statistika

SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2010

 

 

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc

 

: Algoritma Cepat (Fast Algorithm) Penduga Generalized-S (GS)
untuk Pendugaan Kekar Parameter Regresi Model Linear
Berganda
Nama
: Dodi Vionanda
NRP
: G151070041
Program Studi : Statistika
Judul Tesis

Disetujui
Komisi Pembimbing

Dr. Ir. Asep Saefuddin, M.Sc
Ketua

Agus Mohamad Soleh, S.Si, M.T
Anggota
Diketahui

Ketua Program Studi
Statistika

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Aji Hamim Wigena, M.Sc

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S

Tanggal Ujian: 28 Juli 2010

Tanggal Lulus:

 

PRAKATA

Puji syukur penulis haturkan ke hadirat Allah SWT atas izin-Nya
sehingga penulis dapat menyusun proposal penelitian yang berjudul “Algoritma
Cepat (Fast Algorithm) Penduga Generalized-S (GS) untuk Pendugaan Kekar
Parameter Regresi Model Linear Berganda”.
Terima kasih penulis haturkan kepada Bapak Dr. Ir. Asep Saefuddin,
M.Sc, Bapak Agus Mohamad Soleh, S.Si, M.T, Bapak Dr. Ir. Aji Hamim Wigena,
M.Sc dan Ibu Dr. Ir. Anik Djuraidah, MS atas bimbingan, masukan dan saran
dalam penyusunan tesis ini. Di samping itu, terima kasih juga penulis sampaikan
kepada segenap dosen dan karyawan Departemen Statistika FMIPA IPB serta
teman-teman di Program Studi Statistika dan Statistika Terapan Sekolah
Pascasarjana IPB yang telah banyak membantu dan memberi dukungan kepada
penulis.
Akhirnya penulis berharap semoga penelitian ini bermanfaat.

Bogor, Juli 2010

Dodi Vionanda

 

RIWAYAT HIDUP

Penulis dilahirkan di Padang Panjang, Sumatera Barat pada tanggal 11
Juni 1979 dari ayah Suhaimi dan ibu Yusniar. Penulis adalah sulung dari tiga
bersaudara.
Penulis menyelesaikan pendidikan menengah di Pondok Pesantren
Modern Nurul Ikhlas, X Koto, Tanah Datar, Sumatera Barat pada tahun 1998 dan
menamatkan pendidikan sarjana di Jurusan Matematika FMIPA Universitas
Negeri Padang pada tahun 2002. Pada tahun 2007 penulis beroleh kesempatan
untuk melanjutkan studi ke tingkat magister di Program Studi Statistika Sekolah
Pascasarjana IPB.
Penulis saat ini bekerja sebagai staf pengajar di Jurusan Matematika
FMIPA Universitas Negeri Padang dan di Pesantren Pramuka Alhira, X Koto,
Tanah Datar, Sumatera Barat.

DAFTAR ISI

Halaman
DAFTAR TABEL ................................................................................................. xii
DAFTAR GAMBAR ........................................................................................... xiii
DAFTAR LAMPIRAN ........................................................................................ xiv
PENDAHULUAN ...................................................................................................1
Latar belakang .....................................................................................................1
Tujuan penelitian .................................................................................................3
Ruang Lingkup Penelitian ...................................................................................4
TINJAUAN PUSTAKA ..........................................................................................5
Pendugaan Kekar Parameter Model Regresi .......................................................5
Penduga S ............................................................................................................6
Algoritma Cepat Penduga S ................................................................................8
Penduga GS Parameter Regresi Linear Berganda .............................................16
Paket Perangkat Lunak dalam Pendugaan Kekar Parameter Model
Regresi ...............................................................................................................17
METODA PENELITIAN ......................................................................................19
HASIL DAN PEMBAHASAN ..............................................................................21
Algoritma Cepat Penduga GS ...........................................................................21
Pembangkitan Data............................................................................................30
Efisiensi Relatif Algoritma Cepat Penduga S dan Algoritma Cepat
Penduga GS .......................................................................................................32
Perbandingan
Metoda Kuadrat Terkecil,Algoritma Cepat Penduga
S, dan Algoritma Cepat Penduga GS ................................................................34

SIMPULAN DAN SARAN ...................................................................................39
Simpulan ............................................................................................................39
Saran ..................................................................................................................39
DAFTAR PUSTAKA ............................................................................................40
LAMPIRAN ...........................................................................................................42

xi 
 

DAFTAR TABEL

Halaman

1 Perbandingan cara kerja penduga S, algoritma cepat penduga S, penduga
GS, dan algoritma cepat penduga GS ..............................................................29
2 Perbedaan Penduga S dan Penduga GS ...........................................................29
3 Efisiensi relatif untuk data dengan dua peubah penjelas .................................33
4 Efisiensi relatif untuk data dengan lima peubah penjelas ................................33
5 Perbandingan

dugaan untuk data dengan nilai pencilan ......................35

6 Perbandingan

dugaan untuk data tanpa nilai pencilan .........................37

7 Perbandingan

dugaan untuk dua model berbeda ..................................37

xii 
 

DAFTAR GAMBAR

Halaman

1 Diagram alir algoritma resampling untuk penduga S ........................................9
2 Diagram alir algoritma I-step untuk penduga S ...............................................12
3 Diagram alir penghitungan

kandidat terbaik dalam algoritma

cepat penduga S ...............................................................................................15
4 Diagram alir algoritma cepat penduga S ..........................................................16
5 Diagram tahap kerja penelitian ........................................................................21
6 Diagram alir algoritma resampling untuk penduga GS....................................22
7 Diagram alir algoritma I-step untuk penduga GS ............................................23
8 Diagram alir penghitungan

kandidat terbaik dalam algoritma

cepat penduga GS.............................................................................................25
9 Diagram alir algoritma cepat penduga GS .......................................................27
10 Diagram alir penghitungan intersep pada algoritma cepat penduga GS ..........28
11 Plot

terhadap

untuk data yang dibangkitkan dengan ukuran contoh

, jumlah peubah
pencilan
12 Plot

5% yang memiliki rataan

, dan proporsi
dan ragam

...............30

untuk satu data yang dibangkitkan dengan ukuran contoh
, jumlah peubah

pencilan
13 Plot

2, model

5% yang memiliki rataan

terhadap

contoh

2, model

, dan proporsi
dan ragam

...............31

untuk satu data yang dibangkitkan dengan ukuran

, jumlah peubah

proporsi pencilan

2, model

, dan

5% yang memiliki rataan

dan ragam

..............................................................................................................31
14 Plot

untuk satu data yang dibangkitkan dengan ukuran contoh
, jumlah peubah

pencilan

2, model

5% yang memiliki rataan

, dan proporsi
dan ragam

.............32

xiii 
 

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman

1 Kode R algoritma cepat penduga GS ...............................................................43
2 Kode R simulasi dalam evaluasi kinerja algoritma cepat penduga GS............47
3 Seeding yang digunakan dalam pembangkitan data ........................................48

xiv 
 

PENDAHULUAN
Latar Belakang
Penduga kuadrat terkecil merupakan penduga yang umum digunakan dalam
pendugaan parameter model regresi. Hal ini disebabkan oleh mudahnya
penghitungan penduga ini dan sifatnya sebagai penduga tak bias terbaik untuk
parameter model regresi jika data yang digunakan memenuhi asumsi klasik.
(Draper & Smith 1998: 34-38). Namun asumsi yang disyaratkan ini jarang
terpenuhi dengan sempurna pada data riil. Salah satu kenyataan yang kerap
ditemukan adalah adanya data dengan nilai pencilan pada sisaan yang
mengakibatkan gagalnya pemenuhan asumsi normalitas galat (Montgomery &
Peck 1991: 382-383). Aplikasi penduga kuadrat terkecil pada kondisi ini
menghasilkan dugaan yang tidak bagus. Dengan demikian diperlukan teknik
pendugaan parameter regresi yang resisten terhadap pencilan yang dinamakan
dengan pendugaan kekar (robust estimation).
Menurut Ryan (1997: 354-356) terdapat empat kelompok penduga kekar
parameter model regresi, yaitu: penduga M, penduga pengaruh terbatas, penduga
dengan titik breakdown tinggi, dan penduga prosedur dua tahap. Penduga M
(Huber 1973) dan penduga pengaruh terbatas, yang dinamakan juga dengan
penduga GM, merupakan penduga kekar yang memiliki titik breakdown yang
rendah. Sedangkan kelompok penduga yang ketiga, sesuai dengan namanya,
memiliki titik breakdown yang tinggi tetapi mempunyai efisiensi yang rendah.
Penduga yang termasuk dalam kelompok ini adalah penduga LTS (Rousseeuw
1984), LMS (Hampel 1975, diacu dalam Rousseeuw & Yohai 1984), dan penduga
S (Rousseeuw &Yohai 1984). Ketiga penduga ini diperoleh dengan pendekatan
pendugaan kekar parameter regresi berdasarkan dugaan kekar skala. Sementara
penduga prosedur dua tahap adalah kombinasi dua penduga dari kelompok yang
berbeda. Penduga MM (Yohai 1987) yang dibangun dari kombinasi penduga S
dan penduga M termasuk dalam kelompok ini.
Penduga MM mempunyai nilai titik breakdown yang tinggi dan efisiensi
yang tinggi sehingga penduga ini memenuhi kriteria yang diharapkan untuk suatu
penduga kekar. Suatu penduga kekar diharapkan menghasilkan dugaan yang tidak

2
 

terpengaruh oleh nilai pencilan ketika data memuat sisaan dengan nilai pencilan
dan memberikan dugaan yang mendekati hasil yang didapatkan dengan metoda
kuadrat terkecil ketika data tidak begitu jauh menyimpang dari asumsi normalitas.
Sifat yang pertama merujuk kepada nilai titik breakdown yang tinggi sedangkan
yang kedua merujuk kepada efisiensi yang tinggi.
Di samping keempat kelompok penduga kekar di atas terdapat pula dua
penduga kekar yang lain, yaitu penduga (Yohai & Zamar 1988) dan penduga GS
(Generalized S) (Croux et al. 1994). Kedua penduga ini memiliki kemiripan
dengan penduga yang memiliki titik breakdown yang tinggi karena termasuk ke
dalam penduga kekar berdasarkan dugaan kekar skala.
Penduga GS dapat dipandang sebagai perluasan penduga S. Penduga GS
ialah solusi minimasi dugaan M skala selisih sisaan sedangkan penduga S adalah
solusi minimasi dugaan M skala sisaan. Penduga ini dikemukakan oleh Croux et
al. (1994) untuk pendugaan parameter model regresi linear berganda. Roelant et
al. (2009) kemudian mengemukakan penduga GS untuk pendugaan parameter
model regresi linear peubah ganda. Menurut Roelant et al. (2009), penduga GS
parameter model regresi linear peubah ganda merupakan solusi minimasi
determinan dugaan kekar matriks pencar selisih sisaan.
Komputasi pendugaan parameter model regresi berganda berdasarkan
dugaan kekar skala sisaan dihadapkan kepada kendala adanya beberapa nilai
minimum lokal dalam minimasi dugaan kekar skala. Permasalahan ini diatasi
dengan penggunaan algoritma resampling yang diperkenalkan oleh Rousseeuw
dan Leroy (1987: 197-204) yang mengaplikasikan pendekatan ini dalam
penghitungan penduga LMS. Pendekatan yang sama juga digunakan oleh
Rousseeuw dan Basset (1991) dalam penghitungan penduga LTS. Di samping itu
mereka menambahkan bahwa aplikasi algoritma resampling pada penghitungan
penduga S memerlukan waktu komputasi yang lama.
Dengan

mengkombinasikan

algoritma

resampling

dengan

metoda

pembobotan ulang iteratif (Huber 1981: 179-192; Huber & Ronchetti 2009: 175186), Rousseeuw dan Driessen (2002) kemudian memperkenalkan algoritma cepat
(fast algorithm) untuk penduga LTS. Gagasan yang mereka kemukakan
selanjutnya dikembangkan oleh Salibian-Barrera dan Yohai (2006) untuk
 
 

3
 

membangun algoritma cepat penduga S dan oleh Salibian-Barrera et al. (2008)
untuk membangun algoritma cepat penduga

. Pendekatan yang sama juga

diterapkan oleh Roelant et al. (2009) pada penduga GS untuk pendugaan
parameter model regresi linear peubah ganda. Roelant et al. (2009) memodifikasi
algoritma cepat penduga S.
Di sisi lain, beberapa piranti lunak statistika telah memuat pendugaan kekar
parameter model regresi. Sejauh ini, untuk piranti lunak SAS, STATA, dan R,
pendekatan yang digunakan adalah penduga M, LTS, LMS, S, dan MM. Ketiga
piranti belum menyertakan penduga

dan penduga GS. Penjelasan lebih lanjut

tentang hal ini dibahas pada bagian Tinjauan Pustaka.
Berdasarkan pemikiran di atas, penulis tertarik untuk mengembangkan
algoritma cepat untuk penduga GS regresi berganda dengan memodifikasi metoda
yang

dipakai

dalam

pengembangan

algoritma

cepat

penduga

S

dan

membandingkan hasil dugaan yang diperoleh dari algoritma cepat penduga GS
dengan hasil yang didapatkan dari algoritma cepat penduga S dan metoda kuadrat
terkecil pada beberapa kondisi dengan memperhatikan proporsi, lokasi, dan skala
pencilan dalam data, jumlah peubah penjelas, dan model.
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk:
1 Memodifikasi algoritma cepat S guna mengembangkan algoritma cepat
penduga GS untuk parameter model regresi linear berganda dengan
memodifikasi algoritma cepat penduga S;
2 mengevaluasi efisiensi dugaan yang diperoleh dari algoritma cepat penduga GS
dengan membandingkan hasil yang didapatkan terhadap nilai dugaan yang
dihasilkan dari algoritma cepat penduga S dan penduga kuadrat terkecil dengan
membandingkan nilai efisiensi relatif algoritma cepat GS dan algoritma cepat S
dan nilai

dugaan dari ketiga pendekatan.

 
 

4
 

Ruang Lingkup Penelitian
Ruang lingkup penelitian ini mencakup:
1 model regresi linear berganda dengan intersep namun tidak mencakup model
tanpa intersep karena penduga GS hanya bisa digunakan pada model dengan
intersep;
2 penerapan algoritma cepat penduga GS untuk pendugaan paramater model
tetapi tidak meliputi kajian tentang uji hipotesis dan selang kepercayaan.

 
 

TINJAUAN PUSTAKA
Pendugaan Kekar Parameter Model Regresi
Secara umum model regresi linear berganda diformulasikan dalam bentuk
′

,

, … , , dengan

adalah peubah acak (random variables)
,…,

saling bebas yang dinamakan peubah respons,

berdimensi

′

,… ,

parameter regresi,

adalah

adalah peubah tetap (fixed variables)

yang disebut peubah penjelas, dan

adalah peubah acak yang
,

dinamakan bentuk galat. Jika model memuat intersep, maka
′

,

dan

,…,

. Misalkan

adalah penduga

,…,

′ diperoleh dari

parameter regresi, vektor sisaan
′

,

dan skala sisaan

sisaan ke bilangan riil dengan
| |, … , | |
,…,

,…,

,

adalah sebarang permutasi

didapatkan dari pemetaan

,

dan
,…,

,… ,

,…,
.

,…,

untuk

,

di

mana

Dalam pendugaan kekar parameter regresi, dugaan kekar skala sisaan bisa

diduga secara terpisah atau pun bersamaan dengan pendugaan parameter regresi.
Dugaan kekar skala sisaan yang diperoleh secara terpisah digunakan untuk
pendugaan kekar parameter regresi yang didasarkan pada pendugaan kekar lokasi.
Dugaan kekar skala sisaan yang didapatkan secara bersamaan dipakai untuk
pendugaan kekar parameter regresi yang dinamakan dengan pendugaan kekar
parameter berdasarkan dugaan kekar skala sisaan.
Penduga kekar yang termasuk pada kelompok pertama merupakan penduga
kekar dengan nilai titik breakdown yang rendah. Sejumlah kecil nilai pencilan
dalam data dapat merusak dugaan yang diperoleh dengan penduga ini. Sebaliknya,
penduga pada kelompok kedua merupakan penduga kekar dengan nilai titik
breakdown yang tinggi. Dengan demikian kelompok penduga yang terakhir
memenuhi salah satu dari dua kriteria yang diharapkan untuk suatu penduga kekar
selain efisiensi yang tinggi sebagaimana yang telah dikemukakan pada bahagian
pendahuluan.

6 
 

Berkenaan dengan efisiensi, Ryan (1997: 354) mengemukakan suatu
besaran yang disebut dengan efisiensi relatif. Jika data tidak memuat data dengan
nilai pencilan, maka efisiensi relatif adalah rasio kuadrat tengah galat yang
didapatkan dengan penduga kekar terhadap hasil yang diperoleh dari metoda
kuadrat terkecil. Untuk penduga dengan efisiensi yang tinggi, nilai rasio ini
diharapkan mendekati 1. Sementara itu, jika data memuat nilai pencilan, maka
efisiensi relatif ialah rasio kuadrat tengah galat yang didapatkan dengan penduga
kekar terhadap hasil yang diperoleh dari metoda kuadrat terkecil yang dihitung
tanpa menyertakan data dengan nilai pencilan.
Penduga S
Penduga S adalah salah satu penduga dengan titik breakdown tinggi namun
memiliki efisiensi yang rendah. Penduga ini diperoleh dari minimasi dugaan M
skala sisaan.
Definisi 1. Misalkan

penduga

dan

yang merupakan solusi ∑

dari dugaan M skala sisaan
(Rousseeuw & Yohai 1984)
Penduga
argmin

S
∑

̂

argmin

Penduga S didefinisikan sebagai

′ vektor sisaan.

,…,

dapat

dinyatakan

dalam

dengan ̂

diperoleh
.

̂

bentuk

lain,

yaitu

. Bentuk yang terakhir ini bisa representasikan
̂

dengan sistem persamaan yang merupakan formula penghitungan simultan
pendugaan kekar parameter regresi dan pendugaan kekar skala (Maronna et al.
2006: 103; Huber & Ronchetti 2009: 174), yaitu:

Besaran

̂

̂

.

pada sistem persamaan di atas adalah peubah kendali dengan nilai .5.

Sedangkan fungsi
asumsi, yaitu

merupakan suatu fungsi simetrik yang memenuhi beberapa
untuk setiap

dan

,

bersifat

 
 

7 
 

differentiable (dapat diturunkan) dan turunannya bersifat kontinu, sup

dan jika

dan

turunan fungsi

yang memenuhi beberapa asumsi, yakni:

untuk

fungsi terbatas,

dan

fungsi kontinu, dan |

maka

|

untuk

. Sementara fungsi

fungsi tidak turun dan lim

∞

,
adalah

,

.

Dalam literatur statistika kekar dikenal beberapa jenis fungsi

, namun

dalam tulisan ini hanya dipakai fungsi biweight Tukey atau bisquare Tukey, yaitu:
, jika | |

, jika | |

dengan turunan

Besaran

2

,

, jika | |

jika | |

.

pada Persamaan (2) dan (3) adalah tuning constant yang dihitung

berdasarkan efisiensi asimtotik dugaan dan bernilai
(Rousseeuw & Yohai 1984: 261).

.5

untuk penduga S

Penduga S dihitung dengan metoda projection pursuit (Rousseeuw & Yohai
1984) atau dengan menerapkan algoritma resampling (Rousseeuw & Leroy 1987)
yang dilanjutkan dengan langkah perbaikan lokal (Rupert 1992 diacu dalam
Salibian-Barrera & Yohai 2006). Pada langkah perbaikan lokal ini dilakukan
perbaikan lokal atas kandidat dugaan yang diperoleh dari algoritma resampling
yang menurunkan nilai fungsi objektif.
Pendekatan yang lebih baik kemudian dikemukakan oleh Salibian-Barrera
dan Yohai (2006) yang dinamakan dengan algoritma cepat penduga S. Berbeda
dengan metoda yang diterapkan pada langkah perbaikan lokal, pada algoritma
cepat penduga S kandidat dugaan dari semua resampel diperbaiki. Sehingga
jumlah resampel yang diperlukan dalam algoritma cepat penduga S untuk
memperoleh penduga dengan nilai titik breakdown tinggi lebih sedikit dari pada
yang dibutuhkan dalam langkah perbaikan lokal.

 
 

8 
 

Algoritma Cepat Penduga S
Algoritma cepat penduga S dikembangkan dengan mengkombinasikan
konsep algoritma resampling (Rousseeuw & Leroy 1987) dan metoda
pembobotan ulang iteratif (Huber 1981 179-192). Kombinasi ini membedakan
pendekatan yang digunakan dalam algoritma cepat penduga S dengan yang
diterapkan dalam penghitungan penduga S sebelumnya.
Algoritma resampling adalah algoritma pengambilan secara acak
resampel berukuran

dari data untuk mencari

merupakan nilai awal kandidat dugaan kekar regresi
kekar skala sisaan ̂

pada resampel ke-

dan ̂

yang

dan kandidat dugaan

dengan

adalah dugaan kuadrat terkecil untuk data resampel dan ̂

,…, .

ialah

dugaan kekar skala sisaan yang diperoleh dengan data asli dengan rumus
̂

.

alir algoritma resampling.

,

, . . , . Gambar 1 mendeskripsikan diagram

Penerapan algoritma resampling mereduksi komputasi karena pendekatan
ini mengurangi jumlah penghitungan yang diperlukan dalam minimasi ̂
dari minimasi atas tak hingga banyaknya kandidat

menjadi minimasi atas

gugus berhingga resampel (Maronna et al. 2006: 136-147).
Jumlah resampel

ditentukan dari formula

data pencilan dalam subsampel dan

|

|

nilai peluang dimana

dengan

proporsi
merupakan

peluang terambil paling sedikit satu subsampel dari

subsampel yang tidak

memuat data pencilan. Daftar nilai

. 5 dapat dilihat pada

untuk

Leroy dan Rousseeuw (1987: 198) dan untuk
al.(2006: 137).

.

pada Maronna et

 
 

9 
 
Start
Untuk

sampai dengan

Ambil resampel berukuran  

Hitung dugaan kuadrat terkecil
data resampel ke-

berdasarkan

Dengan data asli, hitung sisaan

 

Hitung dugaan kekar skala ̂

 

End

Gambar 1 Diagram alir algoritma resampling untuk penduga S
Menurut Maronna et al. (2006: 138), penentuan nilai

dengan formula di

atas memastikan bahwa algoritma resampling mempunyai breakdown yang tinggi
tetapi tidak memberikan hampiran kandidat dugaan
menghasilkan nilai minimal lokal dugaan kekar skala sisaan ̂

yang baik untuk
satu gugus

resampel. Oleh karena itu hampiran yang diperoleh perlu diperbaiki dengan
menerapkan pengerjaan iteratif yang dinamakan dengan algoritma I-step yang
dikembangkan oleh Salibian-Barrera dan Yohai (2006).
Salibian-Barrera dan Yohai (2006) membangun algoritma I-step dengan
memodifikasi algoritma concentration step (C-step) yang diterapkan dalam
algoritma cepat penduga LTS yang dikemukakan oleh Rousseeuw dan Driesen
(2006). Mereka memodifikasi C-step menjadi local improvement step (I-step).
Baik algoritma C step maupun algoritma I step dibangun berdasarkan
konsep pembobotan ulang iteratif yang dikemukakan Huber (1981: 179-192).
Menurut Huber, minimasi dalam penghitungan untuk pendugaan kekar parameter
regresi berdasarkan dugaan kekar skala sisaan dapat dilakukan dengan
menggunakan konsep titik akumulasi yang merupakan gugus titik dengan nilai

 
 

10 
 

limit titik yang sama dengan nilai minimum lokal fungsi loss. Gugus titik ini
diperoleh dengan menerapkan teknik modifikasi sisaan atau teknik modifikasi
bobot dugaan dalam penyelesaian iteratif minimisasi fungsi loss.
Pada pendekatan modifikasi sisaan dilakukan penggantian sisaan dengan
sisaan terwinsorisasi sedangkan pada pendekatan modifikasi bobot dugaan
dilakukan perbaikan bobot dugaan pada tiap iterasi. Metoda yang terakhir inilah
yang dinamakan dengan metoda pembobotan ulang iteratif. Dengan menggunakan
skala yang sama untuk tiap iterasi pada metoda pembobotan ulang iteratif, nilai
hampiran dugaan regresi yang didapatkan konvergen menuju ke suatu nilai yang
menghasilkan skala dengan nilai minimum. Huber menambahkan bahwa, nilai
hampiran yang dihasilkan dengan metoda ini lebih cepat konvergen dari pada nilai
hampiran yang didapatkan dengan cara sisaan termodifikasi.
Namun, Salibian-Barrera dan Yohai (2006) mengemukakan pendapat
berbeda. Menurut mereka skala yang digunakan dalam penghitungan mesti
diperbaharui pada tiap iterasi. Meskipun secara teoritis kebenaran pernyataan ini
belum bisa dibuktikan, tetapi secara simulasi pendekatan ini meningkatkan
efisiensi komputasi. Lebih lanjut, menurut Salibian-Barrera dan Yohai (2006),
untuk sebarang nilai awal

, sebarang titik akumulasi dari barisan

diperoleh dengan menerapkan
minimum lokal ̂

yang

kali algoritma I-step secara iteratif adalah

.

Pembahasan yang analog dengan metoda pembobotan ulang iteratif dapat

ditemukan dalam Maronna et al.(2006). Berdasarkan Maronna et al.(2006: 136),
untuk penduga S, penghitungan yang dilakukan merupakan pendugaan kuadrat
terkecil terboboti iteratif dengan skala yang diperbaiki pada tiap iterasi. Formula
yang digunakan untuk kedua penghitungan dapat dilihat pada Maronna et
al.(2006: 41, 105). Kedua formula ini sebenarnya merupakan penghitungan
iteratif untuk Sistem Persamaan (1).
Berdasarkan formula yang dikemukakan Maronna et al.(2006) di atas, maka
formula dugaan kekar skala sisaan pada iterasi kedapat dinyatakan sebagai:

, ̂

 
 

11 
 

̂

̂
dan ̂

, , 2, … dan nilai awal

untuk

̂

,
yang didapatkan

dengan algoritma resampling. Sedangkan dugaan kekar parameter regresi
pada iterasi ke-

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan:
5

,

dengan
,

dimana

̂

untuk fungsi

,

pada Persamaan (3). Persamaan (5)

adalah bentuk lain persamaan kedua pada Sistem Persamaan (1) dan merupakan
bisa dilihat sebagai dugaan kuadrat

persamaan normal terboboti, sehingga
terkecil regresi

,

dilambangkan dengan

terhadap
dan ̃

,

. Misalkan hasil diperoleh di sini
. Diagram alir algoritma I-step

diilustrasikan pada Gambar 2.

Setelah aplikasi algoritma I step dengan menggunakan nilai awal kandidat
dugaan regresi dan dugaan skala pada tiap resampel yang diperoleh dengan
algoritma resampling, maka diperoleh kandidat dugaan parameter regresi yang
telah diperbaiki yang menghasilkan skala

yang merupakan minimum lokal.

Dengan demikian penghitungan dilanjutkan untuk mendapatkan dugaan parameter
regresi yang memberikan skala dengan nilai minimum global.
Menurut Maronna et al. (2006: 138-139), terdapat dua pendekatan dalam
pencarian nilai minimum global tersebut, yaitu dengan menjadikan kandidat
dugaan kekar parameter regresi yang menghasilkan dugaan kekar skala dengan
nilai terkecil sebagai nilai awal yang digunakan dalam penghitungan iteratif
dengan algoritma I-step hingga diperoleh hasil yang konvergen ke suatu nilai, atau
dengan menjadikan kandidat dugaan kekar regresi dan dugaan kekar skala dari
semua gugus resampel sebagai nilai awal yang dipakai dalam penghitungan
iteratif dengan algoritma I-step untuk mendapatkan kandidat dugaan kekar skala

 
 

12 
 

yang konvergen ke nilai minimum lokal pada tiap gugus resampel lalu menjadikan
kandidat dugaan kekar regresi yang mempunyai dugaan kekar skala terkecil
sebagai hasil akhir.
Start
Untuk

sampai dengan

, , 2, …  

Untuk

Hitung bobot

,

Hitung

,
̂

dari ∑

̂

, , 2,… 

,

 

,

Hitung sisaan

Hitung

 
̂

Masukkan 

 

 

,

∑
̂

̂

End

Gambar 2 Diagram alir algoritma I-step untuk penduga S
Kedua alternatif di atas mempunyai kelebihan dan kekurangan. Pendekatan
pertama memerlukan penghitungan yang sederhana namun memberikan hampiran
dugaan kekar regresi yang kurang bagus, sedangkan yang kedua memberikan
hampiran dugaan yang lebih bagus namun memerlukan penghitungan yang besar.
Oleh karena itu, kedua pendekatan tersebut dikombinasikan dengan cara
menerapkan I-step sebanyak

kali pada tiap gugus resampel yang

didapatkan dengan algoritma resampling lalu sebanyak

kandidat dugaan

 
 

13 
 

terbaik untuk parameter regresi dengan skala sisaan dihitung kembali dengan
algoritma I-step hingga diperoleh dugaan kekar skala yang konvergen ke nilai
minimum lokal. Pendekatan ini dimaksudkan untuk memastikan bahwa
pengerjaan hanya dilakukan untuk

kandidat dugaan terbaik. Proses di atas

dijabarkan sebagai berikut:
1 Untuk

dan ̃

, hitung

, ,2, …,

,

dan

hingga konvergen dengan algoritma I-step untuk nilai awal
̃

,

max

bangun

, ̃

,
̃

2 untuk

gugus

dan ̃

pasangan

dugaan

dan misalkan
;

, jika ∑

maka hitung

, ̃

yang sudah ada dengan

hingga konvergen dengan algoritma I-step, perbaharui

gugus pasangan
mensubstitusi nilai dugaan

dan ̃

yang baru diperoleh
pada iterasi sebelumnya,

dan mengeluarkan pasangan yang hasilkan
dan hitung kembali
3 ulangi langkah 2 hingga

.

max
̃

;

Misalkan dugaan regresi dan dugaan kekar skala sisaan yang dihasilkan pada
tahap ini adalah
diambil

dan ̃

5 dan

,

. Dalam tulisan ini

. Diagram alir untuk pendekatan di atas

diilustrasikan pada Gambar 3.
Berdasarkan uraian di atas, algoritma cepat penduga S untuk pendugaan
parameter model regresi linear berganda dapat diilustrasikan dengan diagram alir
pada Gambar 4 dengan tahap kerja seperti di bawah ini.

 
 

14 
 

1 Ambil
dugaan

subsampel berukuran
,

,…,

yang tidak kolinear dari data asli, hitung

dengan metoda kuadrat terkecil berdasarkan data

subsampel, dan hitung ̂

dengan menggunakan data asli;

kali I-step untuk memperoleh dugaan yang diperbaiki yang

2 terapkan

dilambangkan dengan
awal dugaan regresi

dan ̃

dengan menggunakan nilai

dan dugaan kekar skala sisaan ̂

;

3 hitung dugaan kekar regresi dan dugaan kekar skala sisaan dengan
menerapkan I-step untuk kandidat penduga yang terbaik hingga konvergen
dengan nilai awal
̃

,

4 ambil dugaan

dan
;

̃

dan menghasilkan

dengan dugaan kekar skala sisaan ̃

dan

yang

minimal sebagai dugaan regresi .

 
 

15 
 

Start
Untuk
dengan

sampai
 

Masukkan nilai 

dan
 

̃

Hitung dengan I-step

Ya

dan ̃

,

hingga konvergen 
Bangun gugus

Tidak

sebagai

Hitung
max
Ya

 
̃

Hitung dengan I-step hingga konvergen
 

dan ̃

 

Tidak

 

, ̃

pasangan dugaan

Perbaharui gugus pasangan dugaan dengan
substitusi nilai yang baru diperoleh
 

, ̃

sebagai

Hitung kembali
max
̃

 

End

Gambar 3

Diagram alir penghitungan
cepat penduga S

kandidat terbaik dalam algoritma

 
 

16 
 

Start

Masukkan data 

ambil

resampel berukuran , hitung dugaan
,…,

terapkan

 
̂

kali I-step untuk memperoleh

̃

,
dan
 

dan ̂

dengan nilai awal

dan ̃
,
hitung dugaan
dengan I-step untuk kandidat penduga yang memenuhi syarat
dan ̃

hingga konvergen dengan nilai awal
ambil dugaan

 

dengan dugaan kekar skala sisaan

yang minimal sebagai dugaan regresi  
̃

End

Gambar 4

Diagram alir algoritma cepat penduga S
Penduga GS Parameter Regresi Linear Berganda

Penduga GS (Generalized S) adalah solusi minimasi dugaan M skala selisih
sisaan. Penggunaan dugaan M skala selisih ini menyebabkan penduga GS
mempunyai efisiensi yang lebih baik dari pada penduga S.
Definisi 2. Misalkan

penduga

,

,

, dan ∆

′

dengan

vektor selisih sisaan dengan ∆

GS didefinisikan sebagai

′

argmin

dari penduga M skala selisih
∑

′

∆

̂ ∆

′

sisaan

(Croux et al. 1994).

,…,
′

̂ ∆

∆

∆
,

′

vektor sisaan

,…,∆
′

dengan ̂ ∆

yang

′

. Penduga
diperoleh

merupakan solusi

 
 

17 
 

Analog dengan penduga S, penduga GS
∑

argmin

lain, yaitu

′

′

Besaran

∆

∆

′

∆

′

̂ ∆

dapat dinyatakan dalam bentuk

atau dalam bentuk sistem

′

̂ ∆
′

̂ ∆

′

.

pada Persamaan (7) merupakan peubah kendali yang juga bernilai .5.

Sedangkan tuning constant yang digunakan bernilai .

5 (Hossjer et al. 1994:

158). Penduga GS hanya digunakan untuk pendugaan model dengan intersep dan
dugaan intersep diperoleh dari pendugaan kekar lokasi sisaan

untuk

′

yang diperoleh dari pendugaan yang tidak menyertakan intersep karena

bentuk ̂ ∆

tidak bergantung pada intersep. Penduga S dan penduga GS

merupakan penduga yang konsisten dan menyebar normal asimtotik (Hossjer et
al. 1994, Salibian-Barrera & Yohai 2006).
Menurut Croux et al. (1994) komputasi penduga GS dilakukan dengan
menggunakan algoritma resampling yang disertai dengan langkah peningkatan
lokal seperti yang diterapkan Ruppert (1992 diacu dalam Croux et al. 1994) dalam
penghitungan penduga S.
Paket Piranti Lunak dalam Pendugaan Kekar Parameter Model Regresi
Terdapat dua penduga kekar parameter regresi yang diaplikasikan pada
perangkat lunak SAS, yakni penduga LTS dan LMS. Keduanya terhimpun dalam
SAS/IML dan SAS/STAT. Pada SAS/IML, aplikasi penduga LTS dan LMS
dilakukan dengan menggunakan sintaks call lts dan call lms. Sementara
pada SAS/STAT, kedua penduga kekar tersebut termasuk dalam PROC
ROBUSTREG. Algoritma yang digunakan dalam penghitungan penduga LTS
adalah algoritma cepat penduga LTS (Rousseeuw & Driesen 2006) (SAS Institute
2008).
Piranti lunak STATA menyertakan enam metoda untuk pendugaan kekar
parameter model regresi, yaitu penduga

atau penduga median regresi, penduga

M, penduga LMS, penduga LTS, penduga S, dan penduga MM. Penduga median

 
 

18 
 

regresi dalam STATA memiliki fungsi baku dengan perintah qreg, penduga M
dengan rreg, penduga LMS dengan lmsregress, penduga LTS dengan
ltsregress, dan penduga MM dengan MMregress, tetapi tak terdapat sintaks

khusus untuk penduga S. Penduga S pada perangkat lunak ini digunakan dalam
penghitungan nilai awal yang digunakan pada penduga MM. Dalam penghitungan
penduga M digunakan fungsi biweight Tukey. Dalam penghitungan penduga MM,
penduga S dihitung dengan menggunakan algoritma cepat penduga S (SalibianBarrera & Yohai 2006) (Verardi & Croux 2009).
Paket pendekatan pendugaan kekar parameter regresi yang lebih lengkap
dapat ditemukan pada piranti R. Beberapa pendekatan-pendekatan dimaksud
terhimpun dalam library robust, robustbase, dan MASS. Pada library
robust terdapat perintah lmRob. Pada library robustbase ada perintah
lmrob, lmrob..M..fit, lmrob.fit.MM, lmrob.S, dan ltsReg. Pada library
MASS terdapat perintah lqs dan rlm.

Perintah lmRob pada library robust digunakan untuk menghitung
dugaan kekar dengan titik breakdown dan efisiensi yang tinggi. lmrob pada
library robustbase dipakai untuk menghitung dugaan MM yang merupakan

kombinasi penduga M dan penduga S yang dihitung dengan lmrob.M.fit dan
lmrob.S. Sedangkan sintaks lmrob..M..fit digunakan untuk melakukan

iterasi kuadrat terkecil terboboti guna mencari penduga M regresi dengan fungsi
biweight Tukey. Perintah ini menghasilkan dugaan MM jika diawali dengan nilai
awal dugaan S. Sementara ltsReg diaplikasikan untuk memperoleh dugaan LTS.
Sintaks lqs pada library MASS digunakan untuk menghitung dugaan regresi
dari data yang “bagus”. Pada lqs terdapat opsi ltsreg dan lmsreg untuk
menghitung dugaan LTS dan LMS. Terakhir, perintah rlm dipakai untuk
penghitungan penduga M regresi.

 
 

 

METODOLOGI PENELITIAN
Penelitian ini terdiri dari dua tahap, yaitu pengembangan teori dan simulasi
statistika. Pengembangan teori meliputi:
1 Penurunan formula penghitungan iteratif penduga GS parameter model regresi
berganda dengan intersep yang akan digunakan dalam membangun algoritma
cepat penduga GS.
2 Modifikasi algoritma cepat penduga S untuk pengembangan algoritma cepat
penduga GS.
Simulasi statistika dilakukan dengan menggunakan bahasa pemrograman

(R

Development Core Team, Vienna, Austria). Pada simulasi ini, kode R untuk
algoritma cepat penduga S yang digunakan diunduh dari http://www.stat.ubc.ca
/~matias/ fasts.txt dan kode R untuk algoritma cepat GS yang diterapkan seperti
dicantumkan pada Lampiran 1. Kedua algoritma diaplikasikan dalam simulasi
dengan kode R seperti pada Lampiran 2 dan pengerjaan yang dilakukan meliputi:
1 Pembangkitan data dengan ukuran contoh

, dan jumlah peubah

dan 5 dengan langkah pengerjaan:

2

a penetapan vektor parameter model ,

b pembangkitan matriks peubah penjelas ~
c pembangkitan vektor peubah acak galat

dimana

yang terdiri:

% titik data yang “bagus” dengan galat

i
ii

, ,

% titik data yang “tidak bagus” dengan galat
dan

~

~

,

,

,

. 5 dan . 5 merupakan proporsi data dengan nilai pencilan,
rataan pencilan, dan

d penghitungan nilai vektor peubah respons

dan

ragam pencilan.

dengan persamaan

.

Pembangkitan data dilakukan dengan menggunakan model regresi dengan
intersep dan ditujukan untuk memperoleh data yang memuat pencilan sisaan.
Pembangkitan data dilaksanakan untuk dua model regresi. Di samping itu,
pembangkitan juga dilaksanakan untuk memperoleh gugus data yang tidak
memuat nilai pencilan. Pembangkitan ketiga kriteria data di atas dilakukan
secara simultan guna memperoleh data yang memiliki bahagian data “bagus”
yang sama. Sehingga pembandingan yang dilakukan sepenuhnya berkenaan

20 
 

dengan bahagian data yang”tidak bagus”. Pembangkitan data dilakukan
sebanyak 50 kali ulangan.
2 Pendugaan parameter model regresi dengan menggunakan data yang
dibangkitkan dengan menerapkan pendekatan kuadrat terkecil, algoritma cepat
penduga S, dan algoritma cepat penduga GS.
3 Pembandingan efisiensi relatif dugaan yang diperoleh dengan algoritma cepat
penduga S dengan yang didapatkan dengan algoritma cepat penduga GS pada
kasus tanpa data pencilan dan kasus dengan 5% data pencilan. Pada kondisi
tanpa data pencilan, efisiensi relatif adalah rasio kuadrat tengah galat dugaan
kekar terhadap kuadrat tengah galat dugaan kuadrat terkecil. Sementara pada
keadaan dengan 5% data pencilan, efisiensi relatif adalah rasio kuadrat tengah
galat dugaan kekar terhadap kuadrat tengah galat dugaan kuadrat terkecil untuk
data yang “bagus” saja.
4 Pembandingan

penduga yang diperoleh dengan ketiga pendekatan di

atas yang dihitung dengan rumus
model yang ditetapkan dan

∑

dengan

parameter

dugaan parameter regresi untuk ulangan ke

.

Pembandingan ini dilakukan untuk menyelidiki efisiensi dugaan algoritma
cepat penduga GS dalam beberapa kondisi yang dicobakan relatif terhadap
efisiensi dugaan algoritma cepat penduga S dan metoda kuadrat terkecil.

21 
 

Penurunan formula
penghitungan iteratif
penduga GS
Pengembangan Teori
Modifikasi algoritma
cepat penduga