RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, REGRESSION ESTIMATOR

  RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, & REGRESSION ESTIMATOR

OLEH: ADHI KURNIAWAN

STAF DIREKTORAT PENGEMBANGAN METODOLOGI SENSUS DAN SURVEI

  

RATIO ESTIMATOR, DIFFERENCE ESTIMATOR, DAN REGRESSION ESTIMATOR

  Variabel pendukung (auxiliary variable) merupakan variabel yang mempunyai hubungan (korelasi) yang kuat dengan variabel yang diteliti ( ) pada suatu survei. Pada tahap estimasi, variabel pendukung ( ) dapat digunakan untuk memperkecil nilai varians sampling sehingga akan meningkatkan presisi pendugaan parameter. Prosedur ini mensyaratkan nilai rata-rata

  ( ̅) atau total populasi ( ) dari variabel pendukung harus diketahui. Bentuk umum dari pendugaan rata-rata dengan memanfaatkan variabel pendukung dirumuskan: ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) Keterangan: ̅ : estimasi rata-rata karakteristik berdasarkan prosedur penarikan sampel yang digunakan ̅ : estimasi rata-rata dari variabel pendukung berdasarkan prosedur penarikan sampel yang digunakan ̅ : nilai rata-rata populasi dari variabel pendukung : suatu konstanta tertentu Estimasi varians sampling untuk :

  ̅ ( ̅ ) = [ ̅ + ( ̅ − ̅)]

  = ( ̅ − ̅ + ̅) = ( ̅ − ̅)

  2

  ( ̅ ( ̅) ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) +

  Dalam hal ini, terdapat beberapa alternatif dalam menentukan nilai yaitu:

  1. Jika = 0 maka ̅ = ̅ ----> (rata-rata sederhana) 2.

  ⁄ ), maka Jika = ( = ̅ ̅

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) = ̅ ----> (ratio estimator) 3. Jika = ( adalah konstanta, tidak tergantung pada sampel), maka

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) ----> (difference estimator) 4. Jika = ( adalah konstanta, koefisien regresi populasi), maka

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) ----> (regression estimator) 5. Jika = ( adalah random variable, estimator untuk ), maka

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) ----> (regression estimator) Notasi yang digunakan:

  : nilai karakteristik yang diteliti dari unit sampel ke-i : nilai variabel pendukung dari unit sampel ke-i

  : total nilai karakteristik yang diteliti dari data sampel = ∑

  =1

  : total nilai variabel pendukung dari data sampel = ∑

  =1

  : total nilai karakteristik yang diteliti untuk populasi = ∑

  =1

  : total nilai variabel pendukung untuk populasi

  = ∑

  =1 1.

   Penduga rasio (ratio estimator)

̅

  Dari persamaan , maka akan diperoleh formulasi penduga rasio untuk ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅), jika nilai = ̂ =

  

̅

  rata-rata karakteristik, yaitu: ̅ = ̅ + ̂( ̅ − ̅)

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅)

  ̅ ̅

  = ̅ + ̅ − ̅ ̅

  ̅ ̅

  = ̅

  ̅ = ̂ ̅ Estimator total

  ̂ = ̂ Estimasi varians rata-rata:

  2

  ( ̅ ( ̅) ) = ( ̅) − 2 ̂ ( ̅, ̅) + ̂

  Untuk desain SRS WOR: 1 −

  2

  ( ̅ − ̂ ) ) =

  ( − 1) ∑(

  =1

  Rumus di atas dapat dijabarkan menjadi: 1 −

  2

  ( ̅ − ̅) + ( ̅ − ̂ )] ) = (

  ( − 1) ∑[

  =1

  1 −

  2

  2

  = − ̅) + 2( − ̅)( ̅ − ̂ ) + ( ̅ − ̂ ) ] (

  ( − 1) ∑ [

  =1

  1 −

  2

  2

  2

  ) = ( − ̅) + 2 ̂( − ̅)( ̅ − ) + ̂ ( ̅ − ]

  ( − 1) ∑[

  =1

  1 −

  2

  2

  2

  = − ̅) − 2 ̂( − ̅)( − ̅) + ̂ − ̅) ] ( (

  ( − 1) ∑[

  =1

  1 −

  1

  1

  1

  2

  2

  = − ̅) } − 2 ̂ { − ̅)( − ̅) } + { − ̅) }] ( ( (

  [{ − 1 ∑ − 1 ∑ − 1 ∑

  

=1 =1 =1

  (1 − )

  2

  2

  2

  ( ̅ ( − 2 ̂ + ̂ ) ) =

  (1 − )

  2

  2

  2

  = ( − 2 ̂ + ̂ ) Estimasi varians rasio:

  ( ̅ ) ( ̂) =

  2

  ̅ 1 −

  2

  2

  2

  = ( − 2 ̂ + ̂ )

  2

  ̅ Estimasi varians total:

  2

  ( ̂ ) = ( ̅ )

  2

  (1 − )

  2

  2

  2

  = ( − 2 ̂ + ̂ )

  Soal Latihan 1:

  Dari data Sensus Ternak tahun lalu diperoleh informasi bahwa jumlah peternak sapi di suatu wilayah sebanyak 82.688 rumah tangga peternak dan rata-rata jumlah sapi untuk tiap peternak sebanyak 9 ekor. Sebuah sampel acak sederhana sebanyak 5.168 peternak diambil dari populasi tersebut untuk memperkirakan produksi susu yang dihasilkan. Jumlah sapi yang diperoleh dari hasil observasi adalah 48.450 ekor dan rata-rata produksi susu untuk tiap peternak sebanyak 300 liter per hari. Informasi lain yang diperoleh sebagai berikut:

  = 28,8 = 1,25

  = 0,875 Dengan menggunakan ratio estimator, a.

  Perkirakan rata-rata produksi susu per hari yang dihasilkan oleh satu ekor sapi beserta standar error, rse, dan 95% Confidence Interval-nya ! b.

  Perkirakan rata-rata produksi susu per hari yang dihasilkan oleh rumah tangga peternak beserta standar

  error, rse, dan 95% Confidence Interval-nya !

  c. Perkirakan total produksi susu per hari di wilayah tersebut beserta standar error, rse, dan 95% Confidence

  Interval-nya ! d.

  Interpretasikan hasil yang diperoleh ! 2.

   Penduga beda (difference estimator)

  Jika nilai = , di mana adalah suatu nilai konstanta yang ditetapkan tanpa mempertimbangkan nilai yang diperoleh dari data sampel, maka akan diperoleh formulasi untuk penduga beda, yaitu:

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) ̂ = ̅

  Estimasi varians:

  2

  ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) + ( ̅)

  2

  ( ̂ ) = ( ̅ )

  Soal Latihan 2:

  Sebuah pengamatan dilakukan terhadap 100 lahan yang ditanami pohon cabai merah di suatu desa. Dari hasil pengamatan dengan eye estimate diperoleh total produksi dari 100 lahan tersebut sebanyak 12500 kg. Sebuah random sampel sebanyak 10 lahan diambil secara SRS WOR dan setiap lahan terpilih dilakukan pemanenan cabai merah dan selanjutnya dilakukan pengukuran terhadap berat dari cabai yang dihasilkan. Data produksi cabai (kg) dari lahan terpilih yang diperoleh dari hasil pengamatan (eye estimate) dan hasil pengukuran sebagai berikut:

  No

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10 Produksi

  51

  42

  46

  39

  71

  61

  58

  57

  58

  67 (pengukuran) Produksi

  56

  47

  48

  40

  78

  59

  52

  58

  55

  67 (pengamatan)

  Perkirakan total produksi cabai merah di desa tersebut dengan menggunakan difference estimator ( = 1) beserta standar error, RSE, dan 95% confidence interval-nya !

3. Penduga regresi (regression estimator)

  Bentuk umum dari estimasi regresi untuk menduga nilai rata-rata adalah: ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅)

  Dengan unbiased sampling variance estimator adalah:

  2

  ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) + ( ̅) Estimasi total karakteristik:

  ̂ = ̅ = ̂ + ( − ̂)

  2

  ) ( ̂ ) = ( ̅

  Dari rumus varians di atas, nilai koefisien regresi ( ) yang meminimumkan varians bisa diperoleh dengan mendiferensialkan

  ( ̅ ) terhadap dan mempersamakan hasilnya dengan nol, yaitu:

  ( ̅ ) = 0

  2

  [ ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) + ( ̅)] = 0

  −2 ( ̅, ̅) + 2 ( ̅) = 0 ( ̅, ̅)

  = ( ̅)

  ( ̅, ̅)

  Dengan substitusi nilai terhadap = ( ̅ ) akan diperoleh formulasi varians yang lebih sederhana yaitu:

  ( ̅)

  2

  ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) + ( ̅)

  2

  ( ̅, ̅) ( ̅, ̅) = ( ̅) − 2 ( ̅)

  ( ̅, ̅) + ( ( ̅) ( ̅) )

  2

  ( ( ̅, ̅)) = ( ̅) −

  ( ̅)

  2

  ( ̅) ( ̅) = ( ̅) −

  ( ̅)

  2

  ( ̅ ) ) = ( ̅)(1 −

  Beberapa hal yang bisa disimpulkan dari rumus varians tsb: , maka presisinya lebih tinggi daripada .

  

• – Bila regresi linier, dan b adalah Least Square Estimate bagi ̅ ̅ – Bila regresi y dalam x linier sempurna sehingga | | ≈ 1, maka ( ̅ ) ≈ 0.
• – Bila bila y dan x tak berkorelasi ( = 0), maka ̅ = ̅ (penduga regresi sama dengan penduga SRS).

  Jika penarikan sampel dilakukan secara SRS WOR

  2

  ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅) + ( ̅) − ̅)( − ̅)

  ∑( = =

  2

  2

  − ̅) ∑(

  (1 − )

  2

  2

  2

  ( ̅ ) = + ( − 2 ) (1 − )

  2

  2

  2

• = ( − 2 )

  2

  1 −

  2

  2

  = − 2 + ( ) ]

  2

  2

  [

  2

  1 −

  2

  = − )

  2

  (

  2

  2

  2

  1 −

  2

  = − )

  2

  ( 1 −

  2

  2

  2

  = − ) (

  (1 − )

  2

  2

  ) ( ̅ ) = (1 −

  Keterangan:

  1

  2

  = √ ( − ̅) − 1 ∑

  =1

  1

  2

  = √ − ̅) (

  − 1 ∑

  =1

  1 = − ̅)( − ̅)

  ( − 1 ∑

  =1

  − ̅)( − ̅) ∑(

  =

  2

  2

  ) √(∑( − ̅) )(∑( − ̅)

  Soal Latihan 3:

  Dalam rangka Praktik Kerja Lapangan, mahasiswa Tingkat 3 STIS melakukan penelitian kondisi kesehatan masyarakat di suatu wilayah. Dari hasil pemutakhiran (updating) rumah tangga yang dilakukan secara sensus (complete enumeration) di blok sensus terpilih diperoleh informasi bahwa jumlah penduduk yang mengalami keluhan kesehatan selama sebulan yang lalu sebanyak 248 orang. Dari populasi eligible rumah tangga sebanyak 120 rumah tangga yang diperoleh dari hasil pemutakhiran, diambil sampel sebanyak 10 rumah tangga secara SRS WOR untuk dilakukan pencacahan yang lebih rinci. Data yang diperoleh:

  No urut ruta sampel

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10 Jumlah ART mengalami keluhan

  3

  3

  3

  2

  4

  4

  1 (hasil updating) Jumlah ART mengalami keluhan

  4

  1

  4

  1

  3

  1

  2

  4

  4

  1 (hasil pencacahan)

  Dengan menggunakan penduga regresi (regression estimator), perkirakan jumlah penduduk yang mengalami keluhan kesehatan selama sebulan yang lalu beserta standar error, rse, dan 95% Confidence Interval-nya !. Interpretasikan hasil yang diperoleh.

  Soal Latihan 4:

  Untuk meneliti kondisi pendidikan para penyandang cacat, dilakukan suatu survei disabilitas di pulau Jawa. Dari 118 kabupaten/kota diambil sampel sebanyak 30 kabupaten/kota secara SRS WOR, kemudian dilakukan pencacahan ke semua Sekolah Luar Biasa (SLB) yang ada di kabupaten/kota terpilih. Untuk setiap SLB yang dikunjungi, dilakukan tes terhadap para penyandang cacat yang belajar di sekolah tersebut. Misalkan, merupakan jumlah guru yang mengajar di SLB untuk kabupaten/kota ke-i, merupakan jumlah penyandang cacat yang nilai tesnya berada di atas standar nilai minimal yang ditetapkan. Ringkasan data yang diperoleh sebagai berikut:

  2

  2

  ∑ = 225 , ∑ = 1127 , ∑ = 14977 , ∑ = 3005 , ∑ = 75281

  =1 =1 =1 =1 =1

  Dengan regression estimator, perkirakan total penyandang cacat di pulau Jawa yang nilainya berada di atas standar minimal beserta standar error, RSE, dan 95% Confidence Interval-nya !

  Jika penarikan sampel secara PPS WR

  Estimasi total: ̂ = ̂ + ( − ̂ )

  ( )

  2

  ( ̂ ) = ( ̂ ) − 2 ( ̂ , ̂ ) + ( ̂ )

  ( )

  2

  ] = ( ̂ )[1 −

  Estimasi rata-rata: ̂

  ( )

  ̅ =

  ( )

  ( ̂ )

  ( )

  ( ̂ ) =

  ( )

2 Keterangan:

  1

  1 ̂ = =

  ∑ ∑

  =1 =1

  1

  1 ̂ = =

  ∑ ∑

  =1 =1

  = merupakan nilai dari variabel pendukung yang digunakan sebagai size (dasar peluang) dalam pengambilan sampel secara PPS merupakan variabel pendukung yang digunakan pada tahap estimasi regresi.

  − ̂ ) ( − ̂ ) ∑ (

  =

  2

  ∑ ( − ̂ )

  − ̂ ) ( − ̂ ) ∑ (

  =

  2

  2

  √(∑ ( − ̂ ) ) (∑ ( − ̂ ) )

  Soal Latihan 5:

  Berdasarkan hasil pencacahan Potensi Desa (Podes) 2011, jumlah tindak kriminalitas di suatu kecamatan mencapai 775 kasus. Suatu survei dilakukan di kecamatan tersebut pada akhir tahun 2012 dengan mengambil sampel sebanyak 12 desa dari 30 desa secara PPS WR dengan size jumlah rumah tangga. Jumlah rumah tangga di kecamatan tersebut sebanyak 69.875 rumah tangga. Dari setiap desa terpilih diteliti jumlah kasus kriminalitas yang terjadi selama tahun 2012.

  Jumlah Kriminalitas Jumlah

  No 2011 2012 ruta

  (Podes) (survei) 1 1750

  19

  14 2 1500

  16

  9 3 2625

  28

  21 4 2000

  28

  14 5 3000

  24

  21 6 1000

  6

  9 7 3000

  38

  21 8 1250

  12

  10 9 3625

  38

  29 10 3250

  48

  26 11 3875

  35

  31 12 1000

  8

  7 a. Perkirakan total tindak kriminalitas di kecamatan tsb tahun 2012 dengan estimasi PPS beserta standar

  error, RSE, dan 95% Confidence interval-nya! b.

  Jika jumlah tindak kriminalitas tahun 2011 dijadikan sebagai auxiliarry variable, perkirakan total kasus kriminalitas yang terjadi di kecamatan tsb pada tahun 2012 dengan estimasi regresi beserta standar error,

  RSE, dan 95% Confidence interval-nya ! c.

  Hitung relative efficiency estimasi regresi terhadap estimasi PPS ! d.

  Interpretasikan hasil yang diperoleh

  Bias dari estimasi regresi Regression estimator merupakan penduga yang bias karena:

• – adalah merupakan nilai rasio dari dua buah nilai estimasi c ( ̅, ̅)dan ( ̅)
• – mengandung perkalian dua buah nilai estimasi, yaitu ̅ Estimasi regresi merupakan penduga yang bias konsisten, artinya semakin besar jumlah sampel maka biasnya akan semakin kecil. Bias dari estimasi regresi akan bernilai nol jika joint distribution dari dan mengikuti distribusi bivariate normal. Bias dari bisa diapproksimasi dengan rumus:

  ̅ ( ̅

  ) = − ( ̅, ) Bukti: Terlebih dahulu kita definisikan:

  ̅ − ̅ ̅ − ̅ − = , = , =

  1

  2

  ̅ ̅ ̅ = ̅(1 + ), ̅ = ̅(1 + )

  1 ), = (1 +

  2 Keterangan:

  ( ) = ( ) = ( ) = 0

  1

  2 Penjabaran dari rumus estimasi regresi:

  ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅) = ̅(1 + ) + (1 + )]

  2 )[ ̅ − ̅(1 +

  1

  = ̅ + ( ̅ − ̅) − ̅

  1

  1

2 Bias:

  ( ̅ ) ) = ̅ ( ) − ̅ (

  1 ) − ̅ (

  1

  2

  ̅ − ̅ − = − ̅ ( ) = − ̅ [( ) (

  1

  2

  )] ̅

  = − [( ̅ − ̅)( − )] = − ( ̅, )

  Soal latihan 6:

  Diketahui populasi hipotetis sebagai berikut: No

  1

  2

  5

  2

  3

  6

  3

  1

  3

  4

  5

  9

  5

  4

  7 Dari populasi di atas diambil sampel sebanyak 2 unit secara SRS WOR. Berdasarkan all possible sample, hitunglah besarnya varians, bias, dan mean square error (MSE) dari ̅ !

  Catatan: ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅)

  Perbandingan Estimasi Regresi dengan Estimasi SRS

  Secara umum, regression estimator akan selalu lebih efisien daripada estimator rata-rata per unit yang diperoleh dari penghitungan sampel acak sederhana (SRS). Regression estimator akan mempunyai efisiensi yang sama dengan penduga SRS hanya jika variabel dan tidak berkorelasi ( = 0). Bukti: 1 −

  2

  2

  ) (1 −

  ( ̅ )

  2

  ) = (1 −

  ( ̅) = 1 −

  2

2 Nilai

  (1 − ) akan selalu lebih kecil atau sama dengan 1, sehingga penduga SRS akan sama efisien dengan penduga regresi hanya jika = 0.

  Perbandingan Estimasi Regresi dengan Estimasi Rasio

  Secara umum, regression estimator akan lebih efisien daripada ratio estimator. Regression estimator akan mempunyai efisiensi yang sama dengan ratio estimator hanya .

  = ̂ atau = Bukti: 1 −

  2

  2

  ) (1 −

  ( ̅ ) ) = 1 −

  ( ̅

  2

  2

  2

  − 2 ̂ + ̂ ) ( 1 −

  2

  2

  ) (1 −

  =

  2

  2

  1 −

  2

  ( ) ) (1 − 2 ̅ ̅ + ( ̅ ̅)

  2

  ) (1 −

  =

  2

  (1 − 2 + ( ) )

  2

  ) (1 −

  =

  2

  2

  2

  (1 − 2 + ( ) − ) +

  2

  ) (1 −

  =

  2

  2

  2

  ( − 2 + ( ) + 1 − )

  2

  ) (1 −

  =

  2

  2

  (( − ) + (1 − ))

• (1 −
• (1 −
• (1 −

  4 40 824

  Soal Latihan 7:

  Sebuah random sampel sebanyak 20 hotel diambil secara SRS WOR dari populasi sebanyak 80 hotel di suatu kota. Data yang dikumpulkan adalah jumlah kamar dan jumlah pengunjung hotel tersebut selama sebulan yang lalu. Dari hasil pendataan lengkap tahun lalu, diketahui rata-rata jumlah kamar hotel di kota tersebut sebanyak 64 kamar per hotel.

  Data yang diperoleh dari survei sebagai berikut: No

  Jumlah kamar Jumlah pengunjung

  No Jumlah kamar

  Jumlah pengunjung 1 20 377

  11 60 1428

  2 10 250

  12 50 840

  3 30 636

  13 30 526

  14 80 1220

  = ̅ ̅

  5 20 560

  15 50 1275

  6 15 348

  16 30 752

  7 25 520

  17 40 810

  8 30 696

  18 90 1743

  9 20 320

  19 60 1270

  10 20 548

  = ̂

  2

  ( ̅ )

  2

  ( ̅ ) = (1 −

  2

  ) (( − )

  2

  2

  )) Persamaan di atas selalu bernilai kurang dari atau sama dengan 1 sehingga secara umum regresi lebih efisien daripada ratio estimator. Regresi akan sama efisien dengan rasio jika

  ( ̅ ) ( ̅

  ) = (1 −

  2

  ) (( − )

  2

  )) = 1

  ↔ = ̅ ̅

  (1 −

  2

  ) = ( − )

  2

  2

  ) ( − )

  2

  = 0 ↔ − = 0 ↔ = Persamaan

  = sebagai kondisi di mana ratio sama efisien dengan regresi bisa dinyatakan dalam bentuk lain yaitu:

  = =

  ̅ ⁄

  ̅ ⁄

  20 70 857 a.

  Perkirakan jumlah pengunjung hotel di kota tersebut dengan penduga sampel acak sederhana (SRS) beserta standar error dan RSE-nya b.

  Perkirakan jumlah pengunjung hotel di kota tersebut dengan penduga rasio beserta standar error dan

  RSE-nya c.

  Perkirakan jumlah pengunjung hotel di kota tersebut dengan penduga regresi beserta standar error dan

  RSE-nya d.

  Bandingkan efisiensi dari ketiga metode tersebut.

  Estimasi Regresi Pada Desain Stratified Sampling

  Di dalam desain stratified sampling, populasi sebanyak unit dikelompokkan menjadi beberapa strata sehingga setiap strata memuat populasi sebanyak unit, kemudian dari setiap strata diambil random sampel sebanyak

  ℎ

  ℎ

  unit secara independen. Untuk desain ini, perkiraan nilai rata-rata dan total karakteristik dengan

  menggunakan estimasi regresi juga dapat dilakukan. Ada 2 metode yang bisa digunakan yaitu separate regression estimator dan combined regression estimator.

1. Separate Regression Estimator Dalam metode ini penghitungan estimasi koefisien regresi dilakukan terpisah untuk masing-masing strata.

  Misalkan populasi sebanyak ) maka setiap strata akan mempunyai dikelompokkan menjadi 3 strata (

  1 , 2 ,

  3

  nilai estimasi koefisien regresi yang berbeda. Koefisien regresi ini dihitung dari nilai karakteristik dan yang berasal dari data sampel pada strata tersebut. Separate regression estimator akan tepat digunakan jika true

  regression coefficient

  ) relatif ( ℎ ) nilainya bervariasi antarstrata dan jumlah sampel untuk setiap strata ( ℎ besar.

  Estimasi koefisien regresi untuk masing-masing strata

  ( ̅ , ̅ )

  ℎ ℎ

  =

  ℎ

  ) ( ̅

  ℎ

  Jika penarikan sampel secara SRS maka:

  ℎ

  − ̅ − ̅ ) ∑ ( ℎ ℎ )( ℎ ℎ

  ℎ =1

  = =

  ℎ

  2

  2 ℎ

  − ̅ ) ∑ ( ℎ ℎ

  ℎ =1 Estimasi rata-rata karakteristik di strata ke-h

  ̅ − ̅ + = ̅ )

  ℎ ℎ ℎ ( ̅ ℎ ℎ

  Varians strata: 1 −

  ℎ

  2

  2

  2

  ( ̅ ( − 2 ) +

  ℎ ) = ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

  Estimasi rata-rata karakteristik populasi dirumuskan: ̅ = ∑ ℎ ̅ ℎ

  ℎ=1

  Rumus di atas dapat dijabarkan menjadi:

  1 1 ̂

  ℎ

  ̂ ̂ ̅ = ∑ = ( − ̂ ) + ] = =

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ

  ̅ [∑ ∑

  ℎ=1 ℎ=1 ℎ=1

  Varians :

  2

  ( ̅ ( ̅ ) ) = ∑ ℎ ℎ

  ℎ=1

  2

  (1 − )

  ℎ ℎ

  2

  2

  2

  = ∑ ( + − 2 )

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ=1

  Estimasi total karakteristik populasi

  ̂ = ̅ = ∑ ̂

  ℎ ℎ=1

  Varians :

  2

  2

  ( ̂ ) = ( ̅ ) = ∑ ( ̅ ) ) = ∑ ( ̂ ℎ ℎ ℎ

  ℎ=1 ℎ=1

  2

  (1 − )

  ℎ ℎ

  2

  2

  2

• = ∑ ( − 2 )

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ=1

  Soal Latihan 8:

  Untuk mengetahui dampak krisis Eropa 2012 terhadap industri tekstil, diadakan Survei Deteksi Dini Dampak Krisis terhadap Industri Tekstil dan Pengolahan Tekstil (TPT) di salah satu provinsi di Indonesia. Populasi industri TPT di provinsi tersebut dikelompokkan menjadi 2 strata: Strata 1: Industri TPT yang berorientasi pasar ekspor Strata 2: Industri TPT yang berorientasi pasar domestik.

  Untuk strata 1 dilakukan pendataan secara sensus karena populasi industri TPT yang berorientasi pasar ekspor jumlahnya kecil, tetapi diperkirakan industri ini berpotensi terkena dampak yang lebih besar dari adanya krisis. Untuk strata 2 dilakukan survei dengan pengambilan sampel secara SRS WOR. Data yang diperoleh sebagai berikut:

  Populasi Sampel Nilai Output (juta Rp)

  Nilai Strata Jumlah

  Output Tahun Sampel Sampel Sampel Sampel Sampel Sampel Sampel Sampel

  Industri 2011

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8 2011

  96 64 120

  72

  1 4 352 2012

  84 72 114

  60 2011

  16

  24

  8

  12

  4

  32

  28

  12

  2 20 348 2012

  15

  20

  10

  9

  4

  36

  30

  8 a. Dengan menggunakan metode separate regression estimator, perkirakan nilai rata-rata dan total output tahun 2012 beserta standar error, RSE dan 95% Confidence Interval-nya.

  b.

  Interpretasikan hasil yang diperoleh ! 2.

   Combined Regression Estimator

  Dalam metode ini, estimasi koefisien regresi diperoleh dari nilai karakteristik dan untuk keseluruhan sampel. Metode ini tepat digunakan jika true regression coefficient ) diasumsikan sama untuk semua strata.

  ( ℎ Sebelum melakukan penghitungan combined regression coefficient, terlebih dahulu dihitung nilai estimasi rata- rata atau estimasi total karakteristik dan beserta varians dan covariansnya berdasarkan desain stratified

  sampling. Jika penarikan sampel secara SRS WOR, estimasi rata-rata karakteristik

  dan dirumuskan: ̅ = ∑ ̅ , ̅ = ∑ ̅

  ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ=1 ℎ=1 Sampling variance dan sampling covariance:

  ) (1 −

  ℎ

  2

  2

  ( ̅ ) = ∑

  ℎ ℎ ℎ ℎ=1

  ) (1 − ℎ

  2

  2

  ( ̅ ) = ∑ ℎ ℎ

  ℎ ℎ=1

  ) (1 − ℎ

  2

  ( ̅ , ̅ ) = ∑ ℎ ℎ

  ℎ ℎ=1 Estimasi combined regression coefficient

  ) ( ̅ , ̅

  = ( ̅ )

  Estimasi rata-rata karakteristik

  = ̅ + ̅ ) ( ̅ − ̅

  Unbiased sampling variance:

  2

  (1 − )

  ℎ ℎ

  2

  2

  2

  ( ̅ ( − 2 + ) ) = ∑ ℎ

  ℎ ℎ ℎ ℎ=1

  Estimasi total karakteristik

  ̂ = ̅

  Unbiased sampling variance:

  2

  ) ( ̂ ) = ( ̅

  Soal Latihan 9:

  Suatu survei stratified random sampling dilakukan di suatu desa untuk mengetahui pengeluaran untuk bidang pendidikan di desa tersebut. RW dianggap sebagai strata dan setiap RW diambil sampel sebanyak 8 rumah tangga. Data yang diperoleh:

  Populasi Sampel Strata

  Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta Ruta Penduduk Variabel

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8 Pengeluaran 1000 1250 1400 1325 1174 1100 1450 1549 (000 rupiah)

  RW 1 62 210 ART usia

  2

  2

  3

  2

  1

  3

  4

  2 sekolah Pengeluaran 2250 1846 2094 2400 2350 1975 2000 2125 (000 rupiah)

  RW 2 90 288 ART usia

  3

  1

  2

  2

  3

  1

  2

  4 sekolah Pengeluaran 1500 1650 1742 1725 1792 1575 1850 1450 (000 rupiah)

  RW 3 88 352 ART usia

  3

  4

  4

  3

  4

  2

  5

  1 sekolah Jika diketahui proporsi penduduk usia sekolah di desa tersebut sebesar 44%, maka: a.

  Perkirakan pengeluaran rata-rata per rumah tangga di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI- nya dengan metode combined regression estimator.

  b.

  Perkirakan pengeluaran total di desa tsb beserta standar error, RSE, dan 95%CI-nya dengan metode combined regression estimator.

  Perbandingan Separate Regression Estimator dan Combined Regression Estimator

  Dalam praktiknya, tidak ada aturan yang pasti apakah separate atau combined yang lebih baik (lebih akurat) untuk digunakan pada kondisi tertentu. Konsekuensi dari separate regression estimator adalah biasnya akan besar jika jumlah sampel dalam tiap strata kecil, sedangkan penggunaan combined regression estimator akan menghasilkan varians yang besar jika koefisien regresi populasi tiap strata ) berbeda antarstrata. Beberapa

  (

  ℎ

  pertimbangan dalam pemilihan metode estimasi regresi dalam desain stratified sampling dapat dirinci sebagai berikut: diperkirakan sama untuk semua strata, combined regression estimator

  › Jika garis regresi adalah linear dan

  ℎ lebih direkomendasikan.

  berbeda antarstrata, separate › Jika garis regresi adalah linear (sehingga nilai bias diperkirakan kecil)dan

  ℎ regression estimator lebih baik untuk digunakan.

  › Jika garis regresi cenderung curvilinear (agak melengkung) lebih baik menggunakan combined regression estimator , kecuali jika jumlah sampel di setiap strata besar.

  Soal Latihan 10:

  Dari all possible sample, bandingkan mean square error (MSE) dari separate dan combined regression estimator untuk total dari populasi di bawah ini jika dilakukan pengambilan sampel secara SRS WOR sebanyak = 2.

  ℎ

  Untuk setiap metode, hitunglah besarnya relatif bias terhadap MSE ! Strata 1 Strata 2

  1

  1

  2

  2

  3

  4

  7

  5

  2

  6

  13

  7

  4

  8

  15 Bivariate Regression Estimator Dua atau lebih variabel pendukung dapat dikaji untuk menghasilkan estimasi regresi yang lebih efisien. Bivariate

  

Regression Estimator adalah penduga regresi yang memanfaatkan dua variabel pendukung untuk

  memaksimalkan ketelitian dari estimasi nilai karakteristik yang diteliti. Misalkan ̅ adalah estimasi rata-rata dari variabel adalah penduga yang tidak bias dari rata-rata populasi , dan adalah yang diteliti, ̅

  ̅ b

  k

  koefisien regresi dari y pada , di mana k=1,2. Formulasi untuk estimasi adalah ̅ = ̅ + ̅

  1

  1

  2

  2

  ) = ̅ +

  1 1 ( ̅ 1 − ̅ 1 ) +

  2 2 ( ̅ 2 − ̅

2 Unbiased sampling varians:

  2

  2

  ( ̅ ( ̅ ( ̅ ( ̅ , ̅ ) ) =

  1 1 ) +

  2 2 ) + 2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  = ( ̅) + ( ̅ ( ̅ ( ̅, ̅ ( ̅, ̅ ( ̅ , ̅ )

  1

  1 1 ) +

  2

  2 2 ) − 2

  1

  

1

1 ) − 2

  2

  2 2 ) + 2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Dengan substitusi dalam rumus varians di atas, kemudian melakukan diferensiasi terhadap

  = 1 −

  2

  1

  1

  dan mempersamakan hasilnya dengan nol, didapatkan penimbang yang akan meminimumkan varians, yaitu: )

  ( ̅

  2 ) − ( ̅ 1 , ̅

  2

  =

  1

  ( ̅ , ̅ )

  1 ) + ( ̅ 2 ) − 2 ( ̅

  1

  2

  ( ̅ , ̅ )

  1 ) − ( ̅

  1

  2

  =

  2

  ( ̅ , ̅ )

  1 ) + ( ̅ 2 ) − 2 ( ̅

  1

2 Keterangan:

  2

  ) ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅ ) + ( ̅

  1

  1

  1

  1

  1

  2

  ) ( ̅ ) = ( ̅) − 2 ( ̅, ̅ ) + ( ̅

  2

  2

  2

  2

  2

  ) ( ̅

  1 , ̅ 2 ) = ( ̅) − 1 ( ̅, ̅ 1 ) − 2 ( ̅, ̅ 2 ) +

  1 2 ( ̅ 1 , ̅

  2

  Soal Latihan 11:

  Berikut ini adalah data yang diperoleh dari penarikan sampel industri kerajinan rumah tangga di suatu kecamatan.

  No Tenaga kerja Input Output

  1

  2

  12

  14

  2

  3

  14

  14

  3

  5

  15

  24

  4

  4

  15

  16

  5

  2

  10

  10

  6

  3

  12

  15

  7

  4

  10

  11

  8

  1

  12

  16 Jika sampel di atas diambil secara SRS WOR dari populasi N=64 industri dan diketahui jumlah tenaga kerja industri kerajinan rumah tangga di kecamatan tersebut sebanyak 264 orang, serta jumlah input industri kerajinan rumah tangga sebanyak 1200, maka: a.

  Perkirakan rata-rata output dengan metode regression estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja, beserta standar error, dan RSE-nya.

  b.

  Perkirakan rata-rata output dengan metode regression estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah input, beserta standar error, dan RSE-nya.

  c.

  Perkirakan rata-rata output dengan metode bivariate regression estimator berdasarkan variabel pendukung jumlah tenaga kerja dan jumlah input, beserta standar error, dan RSE-nya.

  d.

  Bandingkan efisiensi dari ketiga metode di atas.

  Penghitungan Estimasi Regresi dengan SPSS

  Bentuk lain dari varians regression estimator: 1 − 1 −

  2

  2

  2

  2

  2

  ( ̅) = ( − ) (1 − ) =

  2

  2

  1 − 1 −

  2

  2

  2

  = − ) = − )

  2

  2

  2

  ( ( 1 − 1 −

  2

  = − ) = − ̅) − ∑( − ̅)( − ̅) ) (

  ( ( − 1) (∑

  = =

  1 − = [( − ̅) − ( − ̅)]

  ( − 1) ∑

  =

  1 − =

  ( − 1) ∙ Keterangan: = = ( − ̅) − ( − ̅) = = ∑[( − ̅) − ( − ̅)]

  =

  Contoh: Sebuah pengamatan dilakukan terhadap 100 lahan yang ditanami pohon cabai merah di suatu desa. Dari hasil pengamatan dengan eye estimate diperoleh total produksi dari 100 lahan tersebut sebanyak 12500 kg. Sebuah random sampel sebanyak 10 lahan diambil secara SRS WOR dan setiap lahan terpilih dilakukan pemanenan cabai merah dan selanjutnya dilakukan pengukuran terhadap berat dari cabai yang dihasilkan. Data produksi cabai

  (kg) dari lahan terpilih yang diperoleh dari hasil pengamatan (eye estimate) dan hasil pengukuran sebagai berikut: No

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  7

  8

  9

  10 Produksi

  51

  42

  46

  39

  71

  61

  58

  57

  58

  67 (pengukuran) Produksi

  56

  47

  48

  40

  78

  59

  52

  58

  55

  67 (pengamatan)

  Perkirakan rata-rata produksi cabai tiap lahan dan total produksi cabai merah di desa tersebut dengan menggunakan regression estimator beserta standar error-nya ! Penyelesaian dengan SPSS:

  Syntax SPSS

  REGRESSION /MISSING LISTWISE /STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA /CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10) /NOORIGIN /DEPENDENT Produksi_pengukuran /METHOD=ENTER Produksi_pengamatan.

  Output SPSS berdasarkan syntax di atas Koefisien korelasi

  ( )

  SSRes

  ̅ − ̅

  Koefisien regresi

  ( ) Berdasarkan output SPSS tersebut, dapat dihitung estimasi rata-rata dan total produksi cabai yaitu: Estimasi rata-rata ̅ = ̅ + ( ̅ − ̅)

  = ̅ + ̅ − ̅ = ̅ − ̅ + ̅ = 4,405 + 0,903 × 125 = 117,28 1 −

  ( ̅ ) =

  ( − 1) × 1 − 0,1 =

  10(10 − 1) × 134,347 = 1,34347

  ( ̅ ) = 1,15908

  Estimasi total ̂ = ̅

  = 100 × 117,28 = 11.728

  2

  ( ̂ ) = ( ̅ )

  2

  = 100 × 1,34347 = 13.434,7

  ( ̂ ) = 115,908