Bahan Ajar Kalk Integral

BAHAN AJAR KALKULUS INTEGRAL
Oleh: ENDANG LISTYANI
PERSAMAAN DIFERENSIAL

Masalah:
Tentukanlah persamaan suatu
kurva y= f(x) yang melalui titik
(1,3) dan kemiringan garis
singgung di sebarang titik pada
kurva samadengan empat kali
absis titik itu

PERSAMAAN DIFERENSIAL

Penyelesaian
 Misalkan persamaantersebut y = f(x)
 Kemiringan garis singgung kurva di (x,y)
dy
4 x
dx



Akan dicari suatu fungsi y=f(x) yang
dy
memenuhi persamaan
4 x
dx

dengan syarat y=3 jika x=1

dy
4 x  dy 4 xdx
dx
dy 4 xdx
2

2

y  C1 2 x  C 2  y 2 x  C
Kurva melalui titik (1,3), maka 3 2.12  C

C 1

Jadi persamaan kurva yang dimaksud
y  2x

2

1

PERSAMAAN DIFERENSIAL
 Sebarang

persamaan dengan yang tidak
diketahui berupa suatu fungsi dan
melibatkan turunan atau diferensial dari
fungsi yang tidak diketahui tersebut

 Menyelesaikan

suatu persamaan

diferensial berarti menentukan fungsi
yang tidak diketahui tersebut

Persamaan Diferensial


Contoh

dy
 xy 0
dx
dy x

dx y

Solusi
5.2
(1  t )  4 , v0 0,
18) Diket: a =
Ditanyakan v(2) dan S(2)

Jawab:


S o 10

dv
1
a   dv  adt  v (t )  (1  t )  3  C
dt
3

1
1
3
v(0) 0  (1  0)  C  C 
3
3
1
1
3

v(t )  (1  t ) 
3
3

Solusi

1
1
26
3
v(2)  (1  2)   v(2)  cm / det
3
3
81
dS
1
1
3
v   dS vdt  d S [ (1  t )  ]dt
dt

3
3

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

2
y

x
Misalkan Daerah R dibatasi kurva

sumbu-x dan garis x = 2. Akan dicari luas
daerah R

Dibuat partisi pada [0,2] menjadi n selang
bagian, dengan panjang selang bagian x  2
n

PENDAHULUAN LUAS

Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

2
2
x0 0, x1 x  , x2 2.x 2.
n
n

2
x3 3.x 3.
n
2
xi i.x i.
n

5.2 no 25
 Laju

perubahan volume

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

f ( xi  1 )

xi  1

xi

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

Luas daerah R dapat dihitung sbb

LR  f ( x0 )x  f ( x1 )x  ...  f ( xn  1 )x
2

 2i  2  8  2
f ( xi )x  x x   .  3 i
 n  n n 
2
i

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

8 2
8 2
8 2
8
LR  3 (0 )  3 (1 )  3 (2 )  ...  3 (n  1) 2
n
n
n
n

8 2

 3 [1  2 2  ...  (n  1) 2 ]
n

8 (n  1)n(2n  1)
 3[
]
n
6
Rumus 2, hal, 323 dengan n diganti n-1

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang dalam

8 4
4
LR    2
3 n 3n
4 
8 4
lim LR lim    2 

n 
n  3
n 3n 


8

3

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

Dengan cara sama dibuat PP luar

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

f ( xi )
xi  1

xi

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

LR  f ( x1 )x  f ( x2 )x  ...  f ( xn )x
8 2
8 2
8 2
8
2
LR  3 (1 )  3 (2 )  3 (3 )  ...  3 (n)
n
n
n
n
8 2
 3 [1  2 2  ...  n 2 ]
n

PENDAHULUAN LUAS
Luas menurut persegipanjang-persegipanjang luar

8 n(n  1)(2n  1)
LR  3 [
]
n
6

8
3 1
LR  [2   2 ]
6
n n

4
3 1  8
lim LR lim  2   2  
n 
n  3
n n  3


INTEGRAL TENTU
Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang [a,b]
*
Dibuat persegi panjang dengan lebar xi dan tinggi f ( xi )
dan xi* pada selang
, seperti pada gambar
i 1
i
berikut:

[x , x ]

*
i

x
x x
*
1

*
2

INTEGRAL TENTU
Dibentuk pejumlahan
*
1

*
2

*
n

n

*
i

f ( x )x1  f ( x )x2  ...  f ( x )xn  f ( x )xi
n


i 1

i 1

f ( xi* )xi RP disebut jumlah Riemann

INTEGRAL TENTU
DEFINISI INTEGRAL TENTU
Misalkan f suatu fungsi terdefinisi pada selang [a,b].
Jika
n
lim
f ( xi* )xi ada
P  0 i 1



maka dikatakan f terintegralkan di [a,b]
Selanjutnya
n
*
i
i
P  0 i 1

b

lim  f ( x )x f ( x)dx

a
disebut integral tentu atau integral Riemann f dari a ke b

P  panjang

selang bagian terpanjang

Contoh Integral tentu dengan
definisi
Hitunglah integral tentu berikut dengan definisi.
1

2
(
x
  1)dx

2

1

( x

Penyelesaian

2

 1)dx

2

Dibuat partisi pada selang [ 2,1] menjadi

n selang bagian sama panjang x  3
n
*
Dalam tiap selang [ x , x ] gunakan x  x
i 1

i

x1   2  x  2  3
n
3
3
x2  2  2
 2 i
i
n
n
2
f ( xi )  xi  1 ( 2  i 3 ) 2  1
n

Maka, x0  2

x 

i

i

1

2

( x  1)dx

2

Penyelesaian

3 2
f ( xi )  x  1 ( 2  i )  1
n
n
n
2
i

Sehingga  f ( xi* )xi  f ( xi )x
i 1

i 1

2

 3
3
   2  i   1
n
i 1 
 n
n

3 n
12 2 9
  (4  i  i
) 1
2
n i 1
n
n
3 n
12 n
9 n 2
  5 
i  i 

n i 1
n i 1 n 2 i 1 

1

2

( x  1)dx

Penyelesaian

2

3 12 n(n  1) 3 9 n( n  1)(2n  1)
3
 f ( xi )x  .5n  n . n . 2  . 2 .
n n
6
n
i 1
n

18
27
9
15  18 
9

2n 2n 2
n
18 27
9
6 
  2
n 2n 2n

1

Penyelesaian
n

lim 
P  0 i 1

2

( x  1)dx

2

18 27
9
f ( x )xi lim(6 

 2)
n 
n 2n 2n
*
i

6

Hitunglah dengan menggunakan
definisi integral tentu
2

1)

(2 x 1)dx

1

1

2)

2
(
3
x
  2)dx

2

TEOREMA DASAR KALKULUS
TEOREMA
Misalkan f kontinu (shg f terintegralkan) pada
[a,b], dan misalkan F sebarang anti turunan
dari f pada [a,b], maka
b

f ( x)dx F (b) 
a

F (a)

Bukti Teorema dasar kalkulus
Dibuat partisi pada selang [a,b]

a x0  x1  ...  xi  ...  xn b

F (b)  F (a ) F ( xn )  F ( x0 )
F ( xn )  F ( x n  1)  F ( xn  1 )  F ( xn  2 )  ...  F ( x1 )  F ( x 0 )
n

 [ F ( xi )  F ( xi  1 )]
i 1

Bukti Teorema dasar kalkulus

(lanjutan)

Menurut Teorema rata-rata pada turunan
terdapat
xi* pada selang [ xi  1 , xi ]
*
i

sehingga F ( xi )  F ( x i  1 ) F ' ( x ).( xi  xi  1 )
*
i

 f ( x )xi
n

n

i 1

i 1

*
i

Jadi F (b)  F (a )  [ F ( xi )  F ( xi  1 )]  f ( x )xi

Bukti Teorema dasar kalkulus
n

lim [ F (b)  F (a)]  lim  f (xi* )xi
P0

P  0 i 1
b

F (b)  F (a) f ( x)dx
a

terbukti

(lanjutan)

Teorema dasar kalkulus
Notasi
F(b) – F(a) =
Contoh
2

 F ( x)

b
a

2

3 3 
3
3
3x dx F (2)  F (1)  3 x  2  1 7

1
1
2

Dibuat partisi pada selang [0,  ]
menjadi n
selang bagian dengan panjang xi 
n



x0 0, x1 x  , x2 2 , xi i
n
n
n

 2
f ( xi ) (sin xi ) (sin i )
n
2

Soal 5.6 no 43.
Menentukan Rumus

b

 x  dx
0

 x
Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x

Soal 5.6 no 43.
Menentukan Rumus

b

 x  dx
0

b

1

2

3

4

 b  -1  b 

b

Soal 5.6 no 43.
Menentukan Rumus
Luas = {b -

b

b b

 b  }(  b 

b

 x  dx
0

)

Soal 5.6 no 43.
Menentukan Rumus

b

 x  dx
0

b

 x  dx 1  2  3  ...  ( b   1)  (b   b  ) b 

0

( b   1) b 

  b   b   b 
2

3, 2

 x dx

Contoh: Hitunglah

0

3, 2

1

2

3

3, 2

0

0

1

2

3

 x dx 0dx  1dx  2dx  3dx

0  1  2   3x

3, 2
3

3,6

Dengan rumus
( 3,2   1)( 3,2 
 (3,2   3,2  ) 3,2 
 x  
2
0

3, 2



(3  1)(3)
 (3,2  3)(3) 3,6
2

SIFAT-SIFAT INTEGRAL
TEOREMA A: PENAMBAHAN SELANG
 Jika

f terintegralkan pada suatu selang
yang mengandung tiga titik a, b, dan c,
b
c
maka c

f ( x)dx f ( x)dx  f ( x)dx

a

a

b

bagaimanapun urutan dari a, b, dan c
Contoh 2 xdx  2 xdx  2 xdx
5

4

5

2

2

4

6

5

2

6

atau

 2 xdx  2 xdx

SIFAT-SIFAT INTEGRAL
TEOREMA B: PEMBANDINGAN
Jika f dan g terintegralkan pada [a , b] dan
jika f(x)  g(x) untuk semua x dalam [a,b]
b
Maka b

f ( x)dx g ( x)dx

a

a

SIFAT-SIFAT INTEGRAL
TEOREMA C: KETERBATASAN
Jika f terintegralkan pada [a , b] dan jika
m  f(x)  M untuk semua x dalam [a,b]
b
Maka

m(b  a ) f ( x)dx M (b  a )
a

SIFAT-SIFAT INTEGRAL
TEOREMA D:
PENDIFERENSIALAN INTEGRAL TENTU

Andaikan f kontinu pada selang tertutup
[a , b] dan x titik dalam (a , b)
Maka
x

Dx  f (t )dt   f ( x)
a


x

Carilah Dx  (t  1)dt  dengan dua cara
2


x

Dx  (t  1)dt 
2


jawab
 Cara
x

I

1 2
1 2
x
(t  1)dt [ 2 t  t ]2  2 x  x  4
2
1 2
Dx [ x  x  4] x  1
2

 Jadi

x

Dx  (t  1)dt  x  1
2


jawab
 Cara

x

Dx  (t  1)dt 
2

II dengan teorema D

x

Dx  (t  1)dt  x  1
2


x2

Soal 1: tentukan

Dx [  2t  1dt ]
0

Jawab
Teorema D hanya berlaku untuk variabel
batas yang linear
u
Misalkan u x 2 , y  2t  1dt
0
Menurut aturan rantai Dx y Du y.Dx u
x2

u

0

0

Dx [  2t  1dt Du [  2t  1dt].Dx ( x 2 )

Soal 2: tentukan

Dx [

x2 x

3
sin
 (t )dt ]
x

Jawab
Dx [

x2 x

0

3
3
sin
(
t
)
dt
]
Dx [ sin (t )dt 

x

x

x

x2 x

Dx [ sin 3 (t )dt 
Misal u x 2  x
0
Dx [

x2 x

u

0

0

3

sin (t )dt ]

0
x2 x

3
sin
 (t )dt ]

0

3
3
2
sin
(
t
)
dt
]

D
[
sin
(
t
)
dt
].
D
(
x
 x)

u 
x

Dx [

x2 x

3

3

2

sin (t )dt ] Du [ sin (t )dt ].Dx ( x  x)
0

Jadi

Dx [

u

x2 x

3

0

sin (u ). (2 x  1)
( 2 x  1) sin 3 ( x 2  x)

3
3
3
2
sin
(
t
)
dt
]


sin
(
x
)

(
2
x

1
)
sin
(
x
 x)

x

 Bentuk

Substitusi

hasil

x a sin t

a cos t

a2  x2

x a tan t

a sec t

x2  a2

x a sec t

a tan t

a2  x2

Contoh
 1.

2
 25  x dx

SUBSTITUSI YANG MERASIONALKAN

•

 Bentuk

2

a  x

Substitusi
2

PENGINTEGRALAN PARSIAL (548)
 Metode

ini didasarkan pada rumus
turunan hasilkali dua fungsi
 Misalkan
u u ( x)
v v( x)
du
dv
u ' ( x)
v' ( x)
dx
dx
du u ' ( x)dx
dv v' ( x)dx
d (u ( x)v( x))
v( x)u ' ( x)  u ( x)v' ( x)
dx

d (u ( x)v( x)) v( x)u ' ( x)dx  u ( x)v' ( x)dx
d (uv) vdu  udv
 d (uv)  vdu   udv
uv  vdu   udv

 udv uv   vdu

 udv uv   vdu
 Contoh

ln x dx
Misal u ln x dv dx
1
du  dx v x
x
1

ln x dx x ln x  x. xdx

ln x dx x ln x  x  C